1. Introduction   : La théorie du chaos présente une étude sur les systèmes dynamiques qui sont rigoureusement déterministes, mais avec un aspect d'instabilité vis-à-vis aux conditions qui précèdent le début du fonctionnement, autrement dit une sensibilité aux conditions initiales. L'étude des systèmes chaotiques qui présentent une forte sensibilité aux conditions initiales ainsi qu'une forte récurrence ( Notion développée par Poincaré en 1890 ) est compliquée vu le comportement désordonné de ce genre de système . Ainsi, la théorie du chaos fournit de puissants outils d'analyse des systèmes non linéaires, encore peu appliqué aux systèmes électromécaniques, l'étude qu'on a fait prend comme exemple le moteur pas à pas hybride, ce moteur emprunte du moteur à aimant permanent et de la machine à réluctance variable. Il est donc à réluctance variable mais avec un rotor à aimants permanents. Son avantage est un nombre de pas très élevé.

2. Généralités sur la théorie du chaos   :

La théorie du chaos est une véritable théorie scientifique, qui a su trouver de l'ordre caché sous le désordre apparent.

2.1. Définition d'un système chaotique   : un système dynamique est dit chaotique si une portion significative de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

- le phénomène de sensibilité aux conditions initiales.- une forte récurrence.

La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné qualifié à juste titre de « chaotique ».

2.2. Qu'est-ce que la «   théorie du chaos   »   ? La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques (qui évoluent dans le temps)  rigoureusement  déterministes, mais qui présentent un phénomène fondamental d'instabilité appelé « sensibilité aux conditions initiales » qui, modulant une propriété supplémentaire de récurrence, les rend non prédictibles en pratique.

2.3.Sensibilité aux conditions initiales   : le phénomène connu aujourd'hui sous la dénomination de « sensibilité aux conditions initiales » a été découvert dès la fin du 19ème siècle par Henri Poincaré dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste : pour un système chaotique, une très petite erreur sur la connaissance de l'état initial  dans l'espace des phases va se trouver rapidement amplifiée.

2.4.Bref historique   : • Après la réussite de la mécanique newtonienne, quelques cas obscurs sont apparus, et mis de côté... ( problème de 3 corps).• Fin du 19ème siècle: Henri Poincaré pointe du doigt ces « exceptions », et découvre un certain ordre caché dans le désordre.• Peu après, Benoît Mandelbrot affine la théorie qui ne cessera de s’améliorer avec les recherches et les capacités de calcul.

2.5.Quelques exemples de comportement chaotique :_ Colonne de fumée au dessus d’une cigarette_ Mouvement d’un drapeau qui claque au vent_ Mouvements d’un ballon qui se dégonfle

_ Tectonique des plaques_ Dérives des continents_ Courants marins_ Trajectoire des planètes du système solaire_ Mouvements de certains astéroïdes_ Cyclones des planètes géantes_ Orages_ Trajectoire des éclairs

3. Le moteur pas à pas   : 3.1.Définition   : Un moteur pas à pas permet de transformer une impulsion électrique en une énergie mécanique permettant le déplacement angulaire du rotor, appelé " pas ". Ce type de moteur est très courant dans tous les dispositifs où l'on souhaite faire du contrôle de vitesse ou de position en boucle ouverte, typiquement dans les systèmes de positionnement. L'usage le plus connu du grand public est dans les imprimantes reliées à un ordinateur (positionnement de la tête d'impression et rotation du rouleau porte-papier dans les imprimantes à jet d'encre, et rotation du rouleau porte-papier seulement dans les imprimantes à laser).

3.2.Historique   : Le moteur pas à pas fut inventé par Marius Lavet en 1936 pour l'industrie horlogère.

3.3.Classification   : On distingue trois types de moteurs pas à pas :

3.3.1. Le moteur pas à pas à aimant permanent   :  Le rotor est constitué d’un aimant permanent, et le stator comporte 2 bobinages (ou 2 groupes de bobinages). En contrôlant l’alimentation des bobines, et le sens du courant dans celles-ci, on peut faire varier le champ dans le moteur, ainsi on obtient une rotation.

3.3.2. Le moteur pas à pas à réluctance variable   : Un moteur pas à pas à réluctance variable est composé d’un rotor feuilleté en fer doux comportant un certain nombre de dents, et d’un stator également en fer doux feuilleté comportant un certain nombre de bobines. Le nombre de bobines doit être différent du nombre de paires de dents du rotor. L’alimentation de chacune des bobines va permettre la création d’un champ magnétique dans le stator, et le rotor s’oriente suivant les lignes de champ. Le fonctionnement du moteur est assuré par un pilotage du type unipolaire et l'avance du rotor est obtenue en excitant tour à tour une paire de pôles du stator. On peut noter que lorsque le moteur n’est pas alimenté, comme il n’y a pas d’aimant permanent, le rotor peut prendre n’importe quelle position.

3.3.3. Le moteur pas à pas hybride   : Pour tirer profit des avantages des moteurs pas à pas à aimant permanent et à réluctance variable, on utilise des moteurs hybrides. La commande est similaire à un moteur pas à pas à aimant permanent mais la constitution du rotor permet d'obtenir beaucoup plus de pas. Le rotor présente plusieurs dents comme pour un moteur pas à pas à réluctance variable, mais chaque dent est polarisée comme pour un

moteur pas à pas à aimants permanents. Physiquement le rotor est composé de deux éléments identiques à un rotor de moteur à réluctance variable (rouge et bleu ici), reliés ensemble par un aimant permanent (noir), avec un déphasage d’une 1/2 dent. De ce fait ces deux éléments ont une polarisation différente (nord et sud) et vont réagir à la polarisation de chacune des dents du stator. C’est cette polarisation qui permet de n’utiliser que 2 bobines, qui forment en réalité 4 états différents puisque le sens du courant entre ici en jeu.

4. Application de la théorie du chaos à l’approche expérimentale de la dynamique non linéaire d’un moteur pas à pas   :

La théorie du chaos reste encore assez peu utilisée pour l’étude des systèmes électromécaniques. Ce travail permet de mettre en évidence au travers de nombreuses simulations le comportement chaotique d’un moteur pas à pas malgré un modèle relativement simple. Nous allons montrer ici la pertinence de ces modèles en comparant les résultats obtenus à une étude expérimentale.Ainsi par exemple, au-delà d’une certaine limite, l’accroissement de la fréquence d’alimentation d’un moteur pas à pas conduit à la perte du synchronisme. On dit encore qu’il perd des pas. Ces zones de fonctionnement, dans lesquelles le comportement du moteur semble à première vue aléatoire, sont le siège d’instabilités susceptibles de nuire gravement au processus entraîné. Le traitement traditionnel de ces problèmes consiste à les éviter d’emblée par une limitation arbitraire de la plage de

fréquence de commande du moteur et de sa dynamique. Les instabilités observées dans les comportements réels des moteurs pas à pas ont souvent été mises sur le compte de phénomènes secondaires négligés dans les modèles courants. En effet, on néglige souvent l’évolution de certains paramètres avec le temps ou la température ainsi que l’influence de phénomènes jugés a priori secondaires tels les pertes, les frottements et les jeux. De même les techniques habituelles de modélisation nécessitent la linéarisation de certaines caractéristiques autour d’un point de fonctionnement. Toutefois, ce travail permet de mettre en évidence au travers de nombreuses simulations le comportement chaotique d’un moteur pas à pas malgré un modèle relativement simple. En effet, ce type de convertisseur électromécanique présentant un modèle fortement non linéaire, nous proposons une étude de sa dynamique complexe à partir des puissants outils d’analyse fournis par la théorie du chaos. Nous démontrons alors que ces comportements sont dus à la nature même de ce convertisseur, ses non-linéarités essentielles, et non aux épiphénomènes. Pour cela nous décrivons dans un premier temps le modèle utilisé pour l’étude puis nous exposons ensuite les résultats obtenus par simulation. Dans un second temps, afin de valider l’étude théorique, nous présentons les relevés obtenus par des mesures réalisées sur un moteur pas à pas industriel correspondant au modèle décrit ainsi que les moyens expérimentaux mis en oeuvre pour y parvenir.

4.1. Modélisation   : Le moteur pas à pas utilisé pour cette étude est de type hybride diphasé. Il s’agit là de la technologie de moteur pas à pas la plus utilisé dans les domaines de la moyenne et forte puissance, d’où son intérêt.Les équations de cette machine sont semblables à celles du moteur à aimant permanent, le couple réluctant étant toujours négligeable. On considère aussi en première approximation, que les inductances propres sont constantes, et que les mutuelles sont nulles.

Le modèle d’état du moteur peut alors se mettre sous la forme suivante : (1)

Avec :

Les variables d’état sont : Les autres paramètres du moteur sont :

(Ces valeurs proviennent de données constructeur)

4.2. Simulations   : Pour intégrer le système différentiel ci-dessus des simulations ont été réalisées à l’aide du logiciel MatLab. Elles établissent la richesse des dynamiques que présente le moteur pas à pas en fonction de la fréquence de la tension d’alimentation.

4.2.1.Diagramme de bifurcations   : Soit le système différentiel continu d’ordre n : (2) (Avec α un

paramètre réel)

Lorsque α varie, la dynamique du système peut varier de façon considérable. La solution asymptotique peut même changer de nature au passage par certaines valeurs. On parle alors de bifurcation. En ces points une solution périodique peut changer

de périodicité, devenir apériodique c’est à dire quasi périodique voire chaotique. Le diagramme de bifurcation permet de visualiser le comportement asymptotique du système dynamique de façon synthétique en fonction des variations de α.Dans le cadre de l’étude du moteur pas à pas, nous nous intéressons au tracé du diagramme de bifurcations pour identifier l’ensemble des dynamiques présentées par le moteur. Le paramètre α correspond à la fréquence fc des tensions d’alimentation. Nous avons choisi arbitrairement de tracer le diagramme de bifurcations de Iα sachant que le type de solution asymptotique observé est celui du système tout entier.

Figure 1: Diagramme de bifurcation de Iα en fonction de fc

La Figure 1 représente la suite des états discrets de la variable, échantillonnée à la fréquence fondamentale fc, lorsque le régime asymptotique est atteint.

- Un seul point sur une verticale indique un fonctionnement périodique fondamental.

- Un ensemble de «q» points distincts est la marque d’un régime sous-harmonique de rang «q» car la fréquence de la variable est alors fc/q.

- Lorsque les points se répartissent densément sur un segment de la verticale, on peut en déduire que la solution est quasi-périodique ou chaotique sans toutefois pouvoir faire la distinction entre les deux.

Ce diagramme fait apparaître les différentes dynamiques du moteur. Les comportements périodiques sont facilement identifiables, par exemple à 50 Hz, 53 Hz ou encore 60 Hz.

Cette conclusion peut être facilement confirmée par une simulation temporelle de la grandeur étudiée comme celle de la figure 2.

Figure 2: Courant simulé à fc=60Hz

4.2.2. Sections de Poincaré   : La section de Poincaré permet d’étendre nos investigations. Cette technique est particulièrement adaptée à l’étude des régimes apériodiques puisqu’elle distingue clairement les régimes quasi-périodiques des régimes chaotiques. Le principe de construction de la section de Poincaré est illustré par la Figure 3 dans le cas d’un espace de dimension 3. La section de Poincaré est définie par l’ensemble des points d’intersection d’un plan avec la trajectoire du vecteur d’état dans l’espace.

Figure 3: Principe de la section de Poincaré

Les systèmes différentiels du type (2) n’ayant généralement pas de solution analytique, on doit étudier chaque solution en

considérant sa trajectoire dans l’espace d’état que l’on peut obtenir par intégration numérique. Cela s’avère souvent difficile à cause par exemple de la haute dimension de l’espace. La méthode de Poincaré permet simultanément de discrétiser le système et de réduire sa dimension.

4.2.3. Dynamiques quasi-périodiques   : Si la solution de (2) peut se mettre sous la forme :

(3)

F étant périodique pour chacun de ces n arguments. Si de plus les fréquences sont incommensurables, ce que l’on peut traduire par :

Alors le système est dit quasi-périodique. Si de plus n→∞, la solution est dite presque périodique. Dans ce cas, il est facile d’imaginer pour un espace de dimension 3 que l’attracteur est homogène à un tore sur lequel s’enroule la trajectoire, En choisissant judicieusement le plan de section, la section de Poincaré présente l’aspect d’une courbe fermée. C’est ce que l’on observe dans la Figure 4 avec la section de Poincaré obtenue pour une fréquence de commande du moteur de 56Hz. Alors que le diagramme de bifurcation de la Figure 1 ne permettait pas de conclure quant à la dynamique du moteur, on voit ici qu’il s’agit d’un comportement quasi-périodique, puisque la section de Poincaré obtenue est une courbe fermée.

Figure 4: Section de Poincaré pour fc=56Hz

4.2.4. Comportements chaotiques   : Aucune théorie, qu’elle soit mathématique ou physique ne donne de définition formelle du chaos. Le chaos est défini par défaut des autres types de solution. Du point de vue pratique, le chaos est identifié par ses propriétés. On peut citer la forte sensibilité aux conditions initiales, les flots faisant apparaître simultanément des phénomènes d’étirement, de repliement et de compression.La Figure 5 représente la section de Poincaré obtenue pour une fréquence de commande du moteur de 73Hz. Cette simulation est réalisée sur 15 secondes de temps moteur. On a éliminé les périodes transitoires en ne traçant pas les 200 premières périodes.

Figure 5: Section de Poincaré pour fc=73Hz

La section de Poincaré permet de conclure cette fois en faveur d’un comportement chaotique du moteur. En effet l’attracteur présente un aspect feuilleté dû aux phénomènes d’étirement et de repliement de la trajectoire, caractéristiques des attracteurs étranges. De plus, on constate sur cette simulation qu’une faible variation des conditions initiales (P1 et P2), produit très rapidement une importante variation de l’état du système (P’1 et P’2) rendant le système imprédictible.

4.3.Etude expérimentale   : Nous reprenons un certain nombre des cas que nous avons étudiés précédemment en simulations pour valider l’existence de multiples dynamiques mises en évidence par les simulations.Le moteur pas à pas choisi pour cette étude est un moteur de marque CROUZET 48 pas/tour.

4.3.1. Diagramme de bifurcations   : La Figure 6 représente le diagramme de bifurcations obtenu en enregistrant le courant Iα . Pour relever ce diagramme qui nécessite que le système soit en régime établi, nous avons systématiquement supprimé les 100 premières périodes de fonctionnement du moteur. Nous avons balayé la plage de fréquence intéressante, comprise ici entre 45Hz et 75Hz par pas de 0,1Hz. Pour chaque valeur de la fréquence nous avons relevé 1000 périodes. Il faut compter environ deux heures pour relever le diagramme qui suit.

Figure 6: Diagramme de bifurcation expérimental

L’analyse de ce diagramme nous amène à formuler plusieurs remarques.

- Premièrement le moteur pas à pas exhibe effectivement l’ensemble des dynamiques identifiées par simulation. C’est ainsi que l’on peut observer le fonctionnement périodique du moteur jusqu’à une fréquence de commande d’environ 48Hz, ce qui correspond à plage d’utilisation traditionnelle. Le diagramme de bifurcations nous apprend également que le moteur présente des comportements sous-harmoniques, comme la période 3 que l’on voit apparaître pour des fréquences de l’ordre de 51Hz.

- Deuxièmement, on observe des zones dans lesquelles le diagramme de bifurcations est constitué de segments verticaux que seules des sections de Poincaré vont permettre d’analyser.

4.3.2. Sections de Poincaré   : La Figure 7 est une section de Poincaré expérimentale réalisée dans la plage de fonctionnement sous-harmonique 3. Elle donne aussi une indication très intéressante concernant le niveau de bruit introduit par la chaîne de mesure.

Figure 7: Section de Poincaré à fc=51Hz

4.3.3. Comportements quasi-périodiques   : La Figure 8 reflète un comportement quasi-périodique du moteur pas à pas.

Figure 8: Section de Poincaré à fc=50Hz

Elle correspond en effet en tout point à la description de la section de Poincaré que nous avons présentée plus haut, le bruit de mesure en plus.

La Figure 9 correspond également à un fonctionnement quasi-périodique. Elle diffère cependant de la précédente car elle fait apparaître des zones claires et des zones plus denses. Ces zones denses sont des zones d’accumulation, prémices d’un accrochage sous-harmonique. L’apparition des points d’accumulation correspond à un changement dans les rapports

entre les fréquences définies dans (3) mais qui restent encore incommensurables. On assiste ici à une modification progressive de la dynamique du système.

Figure 9: Section de Poincaré à fc=55Hz

4.3.4. Comportements chaotiques   : Il n’est pas toujours facile d’identifier expérimentalement une dynamique chaotique.

Figure 10: Section de Poincaré à fc=53Hz

L’exemple présenté dans la Figure 10 en est la preuve. On soupçonne un comportement particulier, identifié par la boucle de repliement, mais le niveau de bruit ne permet pas à ce jour de conclure, si l’on s’en réfère aux propriétés exposées plus

haut. Par contre, la Figure 11, laisse clairement entrevoir un attracteur chaotique. Il se caractérise ici par une grande dispersion de la section de Poincaré. Son aspect fractal demeure cependant inaccessible, cette fois encore en raison du niveau de bruit.

Figure 11: Section de Poincaré pour fc=58Hz

5. Conclusion   : La théorie du chaos permet d'appréhender la complexité des systèmes non-linéaires en caractérisant leurs comportements, tant qualitativement que quantitativement et d’analyser l’ensemble des régimes que peuvent suivre ces systèmes, des plus simples et mieux connus – points d ‘équilibre et solutions périodiques – aux plus surprenants, les chaos. S’appuyant sur des concepts mathématiques complexes, elle fournit néanmoins des outils aussi puissants dans leur exploitation que simples dans leur mise en œuvre. Des modèles mathématiques, simples, ont fait l’objet d’études théoriques complètes. Leur portée est suffisamment générale pour révéler des mécanismes d‘apparition de chaos, liés à la nature topologique que partagent de

nombreux systèmes non-linéaires, au-delà de leur formulation mathématique singulière. Cependant, cette approche n'a encore été que rarement utilisée pour les systèmes électromécaniques. Nous avons appliqué cette méthode à un moteur pas à pas hybride. Le fonctionnement classique du moteur est la rotation synchrone, les autres modes étant qualifiés d'instabilités. Nous avons décrit ces régimes avec précision. L'association de diagrammes de bifurcations et de sections de Poincaré nous a permis de réaliser une analyse globale du comportement dynamique très riche de notre système, analyse résumée dans le Tableau 1.

Tableau 1   : Résumé des dynamiques du moteur

Au-delà du régime périodique, nous avons identifié une route vers le chaos via la quasi périodicité et une sortie de cette zone par une cascade sous-harmonique. La connaissance fine du comportement du système nous permettra d'établir une stratégie de contrôle des trajectoires chaotiques par stabilisation sur des attracteurs périodiques.