FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

NÉBIA MARA DE SOUZA

Vamos lembrar um pouco o ciclo trigonométrico?

O eixo y é chamado de eixo das ordenadas e também conhecido como seno, a função seno é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa no 3º e 4º quadrantes.

O eixo x é chamado eixo da abscissas, também chamado de cosseno, a função cosseno é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa no 2º e 3º quadrantes.

PROBLEMATIZAÇÃO

Em uma região, em determinado dia, a diferença entre os níveis da maré alta e da maré baixa é 1,4 m, e o intervalo de tempo entre duas marés alta consecutivas, (ou entre duas marés baixas consecutivas) é 12 horas. Em um plano vertical, pode-se imaginar uma circunferência acima do nível do mar e uma haste rígida ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento de Oy, tal que o movimento de sobe e desce da superfície do mar faça com que o ponto P gire sobre a circunferência, conforme mostra a figura.

Como você descreveria o movimento das marés nessa região em função do horário t, em hora nesse dia?

HISTORICIZAÇÃO

De acordo com relatos de historiadores, em tempos muito distantes, anteriores à era cristã, o interesse do homem pelo movimento dos astros deu origem à Trigonometria, e por séculos esse vínculo permaneceu. Em meados do século XVI, François Viète, advogado frânces dedicado à pesquisa matemática, destacou-se por recorrer sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a trigonometria na resolução de problemas algébricos, contribuindo, assim com o desenvolvimento da Matemática. Todo esse processo culmina com introdução do conceito de seno, cosseno e tangente como números reais, feita por Leonhard Euler (século XVIII), quando ele passa a considerar o círculo de raio unitário.

Leonhard Euler (1707 – 1783), matemático mais produtivo de todos os tempos. Foi primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele a notação f(x) para uma função.

A representação das relações trigonométricas no círculo de raio unitário levou os matemáticos a estudarem seu comportamento, esboçando-as graficamente. Assim, foram identificadas funções, sendo Gilles Roberval (matemático francês do século XVIII) o primeiro a esboçar a curva do seno. O estudo das funções trigonométricas teve seu ápice com Joseph Fourier, no século XIX, no campo dos movimentos periódicos.

GENERALIZAÇÃO

De modo geral as funções do tipo trigonométricas são escritas na forma:

f(x) = a + b . trig (cx – d)

Em que a, b, c, d são constantes (b ≠ 0 e c ≠ 0) e trig indica uma das seis funções trigonométricas que serão estudadas (seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente).

FUNÇÃO SENO

Chamamos de função seno a função f(x) = sen x

Vamos conhecer o gráfico dessa função.

Para construir o gráfico da função seno x vamos construir uma tabela com valores de x da 1ª volta positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados

O Gráfico da f(x) = sen x

Como a função f(x) = sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é IR, a curva pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR → IR, definida por f(x) = sen x, é a curva chamada senóide.

Vamos verificar no GeoGebra....

EXEMPLOS

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 + sen x.

X sen x y

0 0 2 + 0 = 2

π/2 1 2 + 1 = 3

Π 0 2 + 0 = 2

3π/2 -1 2 – 1 = 1

2π 0 2 + 0 = 2

D(f) = IR; Im (f) = [ y € IR/ 1 ≤ y ≤ 3 ]; p = 2π

Analisando o que cada parâmetro interfere na função

Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) = 2 + sen x, veremos que ele sofreu um deslocamento de duas unidades para cima.

De modo geral, ao considerarmos a função do tipo f(x) = a + sen x, o gráfico de f(x) = sen x será transladado para cima (a ˃ 0) ou para baixo sendo ( a ˂ 0 ) em a unidades.

EXEMPLO 2:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 sen x.

• Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x com f(x) 2. sen x, veremos que ele sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.

• Considerando a função do tipo f(x) = b . sen x, o gráfico de f(x) = sen x será dilatado se │b│ ˃ 1, ou comprimido se 0 ˂ │b│ ˂ 1 um número b de vezes.

• Caso b ˂ 0, o gráfico sofre uma rotação em relação ao eixo x, ficando simétrico ao gráfico com b ˃ 0.

Exemplo 3:

Esboçar o gráfico da função f(x) = sen 2x

Queremos que os ângulos sejam 0, π/2, π, 3π/2 e 2π; para isso devemos atribuir a x metade desses valores: segue abaixo a tabela.

X sen 2x Y

0 2 . 0 0

π/4 2 . π/4 = π/2 1

π/2 2 . π/2 = π 0

3π/4 2 . 3π/4 = 3π/2 -1

Π 2 . π = 2π 0

D(fx) = IR; Im (fx) = [ y € IR / -1 ≤ y ≤ 1 ]; p = π

• Ao comparar o gráfico de f(x) = sen x com o gráfico de f(x) = sen 2x, vemos que ele sofreu uma compressão horizontal de duas unidades, enquanto o período foi alterado para π.

• Considerando o gráfico do tipo f(x) = sen c . x, concluímos que o gráfico de f(x) = sen x será comprimido horizontalmente em c unidades se │c│ ˃ 1, porém sofrerá dilatação horizontal se 0 ˂ │c│ ˂ 1. Além disso, temos que o período é igual a 2π/│c│.

FUNÇÃO COSSENO

Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x

Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x, inicialmente para x € [0, 2π] e depois para x € IR. Alguns valores de cos x serão aproximados.

Como a função f(x) = cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é IR, a curva pode ser estendida para valores menores do que zero e maiores do que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR → IR definida por f(x) = cos x é a curva chamada cossenóide.

EXEMPLOS

Esboçar o gráfico da função f(x) = 2cos x.

Vamos construir primeiramente a tabela atribuindo valores para x.

X Y

0 2

π/2 0

Π -2

3π/2 0

2π 2

D(f) = IR; Im (f) = [y € IR / -2 ≤ y ≤ 2]; p = 2π

Se compararmos com o gráfico da função f(x) = cos x com f(x) = 2 . cos , veremos que ele sofreu uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.

Exemplo 2:

Esboçar o gráfico da função f(x) = 3 + 2 . cos x.

X 3 + 2 . cos x Y

0 3 + 2 .1 = 5

π/2 3 + 2 . 0 = 3

Π 3 + 2 . (-1) = 1

3π/2 3 + 2 . 0 = 3

2π 3 + 2 . 1 = 5

Comparando o gráfico obtido com o gráfico de f(x) = cos x, podemos observar que ele foi deslocado 3 unidades para cima (a = 3) e dilatado verticalmente 2 vezes (b = 2).

Período das funções seno e cosseno

• Obtemos o período da função f(x) = a + b . sen (cx - d) ou da função f(x) = a + b . cos (cx – d), em que a, b, c e d são números reais, com b ± 0 e c ≠ 0, fazendo a medida (cx - d) assumir todo os valores reais associados a uma volta completa da circunferência trigonométrica.

• Para isso adotamos a fórmula p= 2π / │c│.

Exemplos:

Determinar o período das funções.

a)y = 3 sen 2x

Resolução

P = 2π / │2│= π

b) y = 2 + 6cos (-4x)

Resolução

P = 2π / │-4│= 2π / 4 = π/2

Papel das constantes a, b, c e d As funções do tipo f(x) = a + b . trig (cx – d) têm

características que podem ser relacionadas com as funções trigonométricas e seus gráficos padrões, estudados anteriormente.

As constantes a e b alteram a imagem da função (valores de y), e as constantes c e d alteram as características relacionadas aos valores de x da seguinte forma:

→ A constante a translada o gráfico padrão em a unidades verticais. Se a ˃ 0, então o gráfico “sobe” a unidades, e, se a ˂ 0, então o gráfico “desce” │a│ unidades.

→ A constante b comprime ou dilata o gráfico verticalmente. Se │b│˃ 1, então o gráfico dilata, e, se 0 ˂ │b│ ˂1, o gráfico comprime.

→ A constante c altera o período padrão da função trig, ou seja, comprime ou dilata o gráfico padrão na horizontal. Se │c│ ˃1, f(x) será comprimido horizontalmente em │c│ unidades.

Se 0 ˂ │c│ ˂ 1, f (x) será dilatado horizontalmente em │c│ unidades.

→ A constante d translada o gráfico padrão │d/c│ unidades horizontais. Se d ˃ 0, o gráfico translada │d/c│ unidades para a direita, e, se d ˂ 0 o gráfico translada │d/c│ unidades para a esquerda.

Função Tangente

Definimos função tangente como a função real de variáveis reais que associa a cada número real x o valor tg x, desde que x não seja π/2 nem 3π/2 e nenhum de seus respectivos arcos côngruos, isto é: f(x): D → IR x → f(x) = tg x é a curva chamada tangentóide.

Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cos x = 0

Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = R ou .

REVISANDO AS FUNÇÕES SENO;

COSSENO E TANGENTE

Exemplo:

Sabemos que sen π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = √3 / 2 e tg π / 6 = √3 / 3. Podemos então calcular:

Cossec π / 6 = 1 / ½= 2 / 1 = 2

Sec π / 6 = 1 / √3/2 = 2 / √3= 2√3 / 3

Cotg π/6 = √3 / 2 / ½ = 2√3 / 2 = √3 ou cotg π / 6 = 1 / √3 / 3 = 3 / √3 = 3√3 / 3 = √3

As Funções Cossecantes, Secantes e Cotangentes

A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x, assim:

→ cossec x = 1/ sen x, para sen x ≠ 0

→ sec x = 1 / cos x, para cos x ≠ 0

→ cotg x = cox / sen x , para sen x ≠ 0. Quando sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0, podemos ainda escrever cotg x = 1 / tg x.

As Funções Cossecantes

Denomina-se função cossecante a função definida

por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para todo x € IR

tal que sen x ≠ 0.

Sinal da função: Como a função cossecante é a

inversa da função seno, então os sinais da função

cossecante são os mesmos da função seno.

GRÁFICO F(X) = COSSEC X

FUNÇÃO SECANTE

Denomina-se função secante a função definida

por f(x) = sec x ou f(x) = 1/cos x, para todo x € IR tal

que cos x ≠ 0.

Sinal da função: Como a função secante é a inversa

da função cosseno, então os sinais da função

secante são os mesmos da função cosseno.

GRÁFICO f(x) = sec x

FUNÇÃO COTANGENTE

Denomina-se função cotangente a função definida

por f(x) = cotg x ou f(x) = cos x / sen x, para todo x €

IR tal que sen x ≠ 0.

Sinal da função: Como a função cotangente é a

inversa da função tangente, então os sinais da

função cotangente é a razão entre o cosseno e o

seno.

GÁFICO DA f(x) = cotg x

Resolução do problema Imaginemos, em um plano vertical, uma circunferência acima do nível do mar e uma haste aguda ligando um ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar, no prolongamento do eixo Oy, conforme mostra a figura.

O subir e descer da maré, que lembra o movimento de um imenso pistão, provoca um movimento circular do ponto P. Supondo esse movimento com velocidade constante no sentido anti-horário, vamos calcular a medida ά do arco AP, em função do tempo t, em hora, em que t = 0 corresponda a um instante em que P passou pelo ponto A (0.7; 0):

Medida do arco (rad) Tempo (h)

2π ______________ 12

ά ______________ t

Logo, ά = πt/6 rad

Assim, podemos descrever o movimento da maré nesse dia, em função do tempo t, em hora,

(0 ≤ t ≤ 24):

pela ordenada do ponto P; f (t) = 0,7 sen πt/6 rad ou

pela abscissa do ponto P: g (t) = 0,7 cos πt/6 rad

Notas:

1º O período p da função f (t) = 0,7 sen πt/6 ou

da função g (t) = 0,7 cos πt/6 é dado por p = 2π /

π/6 = 12. Esse período, no contexto do

problema, chamado de período das marés, é o

tempo, em hora, transcorrido entre duas marés

altas ( ou duas marés baixas) consecutivas.

2º O gráfico da função f (t) = 0,7 sen πt/6, para 0

≤ t ≤ 24 é:

• Interpretando esse gráfico no contexto do problema, concluímos, por exemplo:

• - A zero hora, a maré estava em seu nível médio.

• - Às 3 h e às 15 h, a maré estava em nível máximo, 0,7 m acima do nível médio.

• - Às 9 h e às 21 h, a maré estava em seu nível mínimo, 0,7 m abaixo do nível médio.

EXERCICIOS

a) f(x) = 3. sen x

b) f(x) = 1 + cos x

TABELA COM OS VALORES DE ALGUNS ÂNGULOS NOTÁVEIS DAS FUNÇÕES

TRIGONOMÉTRICAS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto, Matemática

completa. 2º ano Ensino Médio.2ª Edição renovada, São

Paulo: editora FTD, 2005.

• XAVIER, Cláudio & BARRETO, Benigno. Matemática Aula por

Aula. 2º ano Ensino Médio. 2ª Edição renovada, São Paulo:

editora FTD, 2005.