Apunte Algebra Secretaria Tecnica Bicentenario

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LICEOS BICENTENARIO SECRETARÍA TÉCNICA

1

Liceos Bicentenario Matemática

Álgebra y ecuaciones

Material complementario Primeros Años Medios

Temas: - Breve reseña.

- Operatoria con expresiones algebraicas - Lenguaje algebraico - Ecuaciones - Factorización - Ejercitación

Versión: Estudiantes

2014

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2

Álgebra Breve historia:

Se cree que entre los años 2.000 a 1.800 antes de Cristo, los egipcios tenían

conocimientos del Álgebra. Existe un papiro llamado Papiro de Rhind (en honor al

anticuario escocés de apellido Rhind, que lo compró en 1858 cerca del Río Nilo). En ese

papiro se encuentran problemas que permiten creer en una aproximación a la resolución de

ecuaciones lineales.

Con los babilónicos, el álgebra alcanzó un nivel de abstracción superior; ellos podían

solucionar problemas que involucraban ecuaciones cuadráticas y cúbicas, sin embargo,

quien es considerado el padre del álgebra es el griego Diofanto de Alejandría, en cuyo

epitafio se lee lo siguiente, según la leyenda.

“Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te

dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después,

durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una

séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso

niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte

desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto

se deduce su edad.

donde x es la edad que vivió Diofanto.

Notas del estudiante

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3

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo

vivió.

En la India se inició el comienzo del álgebra con una estructura de abreviaturas de palabras

y algunos símbolos para describir las operaciones.

Los árabes contribuyeron primeramente con el nombre que ahora conocemos por

Álgebra y que viene de un libro escrito en año 830 por el astrónomo Mohamed

ibn Musa al-Khowârizmî, titulado Al-jabr w´al muqâbala, que significa restauración y

simplificación.

Lo que podemos destacar entonces es que el álgebra árabe tiene claramente influencias

babilónicas, hindúes y griegas.


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4

Conceptos básicos de álgebra

Término Algebraico: Es una agrupación de factores, números y / o letras.

Ejemplos: 4xy ; 9z2 ; 3x

3y

8z ; 48 ; x

3y ; 7,2mn

9 .

En todo término podemos distinguir dos partes; coeficiente y factor literal.

Si en un término no está escrito el coeficiente, significa que éste es 1.

Ejemplos: Término Algebraico 9x3y -17xz 4/5 a2b6 m7n5

Coeficiente 9 -17 4/5 1

Factor Literal x3y xz a2b m7n5

Grado de un término Algebraico: se obtiene al sumar los exponentes de las letras que tiene el

Factor literal.

Ejemplos: 1) 5x3 ; grado 3

2) -6a4b ; grado 5

3) 2,34m ; grado 1


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5

Ejercicios: Completa la siguiente tabla:

Término Algebraico Coeficiente Factor Literal Grado

4x2y 4 x2y 3

7ab3

-8m3n4

6 xyz

-14 pq2

0,5a2b2

¾ mn6

-1,5 x

1.000 a2b6

x2y3z

m/2

1 abcd

-1 x12y9


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6

Expresión Algebraica: Es un conjunto de términos, unidos entre sí por la operación adición

(suma o resta ). De acuerdo a la cantidad de términos que tenga se clasifican en:

* Monomios: tienen un solo término.

Ejemplos: 4xy ; -7a2

; -98ab3c

4 ; m

2n

7 ; ¾ xy

6 ; 0,5pq .

* Binomios: tienen dos términos.

Ejemplos: 9x + y ; 7a – 3b ; 3m + n/4 ; 0,23x3 – 8y .

* Trinomios: tienen tres términos.

Ejemplos: x – y + z ; 2a + 3b2 – 16 ; m/2 + 1,5n

2 – 6m

5n

2 .

* Polinomios: En general son aquellos que tienen más de dos términos.

Ejemplos: 2x + 3y – 5z2 + xy ; m

5 – 2m

4 + 0,7m

3 – m

2/5 + 3m – 23 .


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7

Grado de un Polinomio: El grado de un polinomio se lo da el término que tenga mayor grado.

Ejemplos: 1) 3x + y2 – 6 ; grado 2

2) 2abc – 3a2 ; grado 3

3) 4mn + 0,1m2n

3 – 7n

4 + 17/2 ; grado 5

4) 8 ; en este caso el grado es cero, ya que no hay factor literal.


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8

Ejercicios: Clasificar e indicar el grado a las siguientes expresiones algebraicas.

N° Expresiones Algebraicas Nombres Grado

1) 3x + 2y – 5z

2) 6m2n + mn

3) 2 – 7a + 5b + 7c

4) x2y + xy2

5) p5 + p4 – p3 + p2 + p – 1

6) 0,5xyz

7) ¾ x + ¾ y

8) 2a2 – 3b3 +4a2b3

9) 8m2n + 5nm2

10) 6,24xyz – 2,3x2y3z4

11) 3q6 – 4q5 + q4 – 9q3 + 10q2 – q

12) x2y + 2xy2 – 5yx2 – 16y2x


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Términos Semejantes: Dos o más términos algebraicos son semejantes si tienen igual factor

literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos

exponentes.

Ejemplos: 1) -5x2y con 4x

2y ; son semejantes

2) 2m3n con 2mn

3 ; no son semejantes

3) ¾ a4b

5 con 1,8a

5b

4 ; no son semejantes

4) -xy4z con 0,7y

4xz ; son semejantes

Operatoria con expresiones algebraicas

Reducción de Términos Semejantes: Consiste en sumar y/o restar términos semejantes

de un polinomio, para lo cual se suman o restan solo los coeficientes y se conserva el

factor literal.

Ejemplos: 1) 3xy + 5xy – xy = 7xy

2) 6m2n – m

2n + 8nm

2 = 13m

2n

3) 4a + 7b – 7a + 5a – 3b – 14a = -12a + 4b


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10

Ejercicios: Reducir términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas.

1) 3x + 4y -8x + 7y + 12x – y =

2) 8 – 2a – 3b + 9 – 6 – b + 5a + 7 =

3) 2m2 + 6m – m + 8m

2 – m

2 + 21m =

4) x2y + 5xy

2 – 6y

2x – 8yx

2 =

5) 3a2b + 4a

2b

2 – 7a

2b

3 + b

3a

2 + 8b

2a

2 – a

2b =

6) 6mn2 + n

2m – 6nm

2 – 11mn

2 + 3nm

2 – mn

2 =

7) 14 + pq – 5 + 3qp -1 + 23qp -31pq +17 =

8) x3y + 2yx

3 – 7xy

3 + 19y

3x – xy

3 – 3xy =


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11

9) (x + 2y) + (5x – 6y) =

10) (2ab – 3a + 6b) – (b + 4a – ab) =

11) (x2 + x -1) + (6 -2x +5x

2 ) – ( 7x – 4 + 8x

2 ) =

12) 3m – (2mn + n ) + ( -6n + 7m ) – 10n =

Multiplicación de expresiones algebraicas

Caso 1 Monomio por un monomio:

Veamos los ejemplos:

i) 3x · 6y = 18xy ; como ves, se multiplican los coeficientes numéricos y se multiplican los

factores literales.

ii) 5ab2 · 4a

3b = 20 a

4b

3 en este ejemplo se verifica que se multiplican los coeficientes numéricos

y se multiplican los factores literales, respetando las propiedades de

la multiplicación de potencias de igual base.


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12

Caso 2 Monomio por otra expresión (por binomio, por trinomios, por polinomios)

En los casos que veremos a continuación, usaremos la

propiedad distributiva.

Veamos los siguientes ejemplos:

i) -5x ( 4a – b) = -20ax + 5bx

ii) 8y2 ( 7xy – 3x + 2 ) = 56xy

3 – 24xy

2 + 16y

2

ii) 2x ( -3x3 + 4x

2 - 5x ) = -6x

4 + 8x

3 – 10x

2


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13

División de expresiones algebraicas: en la división de expresiones algebraicas se aplica

la simplificación (si fuese posible).

Veamos los siguientes ejemplos:

i)

= 4xy

2 ; recuerda usar las propiedades de la división de potencias de igual

base, conservas la base y restas los exponentes.

ii)

; a ≠ 0 entonces

= 4bc

Productos notables: son productos e s p e c i a l e s , q u e u s a r e m o s c o n b a s t a n t e

frecuencia, entre ellos están:

Cuadrado de binomio: i) (a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

ii) (a-b)2

= a2 -2ab + b

2

Suma por su diferencia: (a + b) · (a – b) = a2

– b2


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14

Cuadrado del trinomio: (a + b + c)2

= a2

+ b2

+ c2

+ 2ab + 2ac + 2bc

Suma de cubos: a3

+ b3

= (a + b)(a2

– ab + b2)

Resta de cubos: a3

- b3

= (a - b)(a2

+ ab + b2)

Cubo de binomio: i) (a + b)3 = a

3 + 3a

2b + 3ab

2 + b

3

ii) (a - b)3 = a

3 - 3a

2b + 3ab

2 - b

3

Trinomios de la forma: x2 + bx + c

Primeramente se debe inspeccionar si es un cuadrado perfecto, por lo que su factorización se

realizará como un cuadrado de binomio.

En el caso que no fuese factorizable de ese modo, deberemos verificar si sucede lo que veremos

en los ejemplos:


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15

i) x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)

Primero, factorizamos de tal forma de encontrar dos números que multiplicados den 18 y que

estos dos mismos números sumados den 11. Los números que nos permiten realizar esta

factorización son: el 2 y el 9

ii) X2 - 8X + 12 = (X – 2) (X – 6)

Factorizamos buscando dos números que multiplicados den 12 = (-2) · (-6)

y que sumados den -8 = -2 + -6

iii) X2 + 6X – 7 = ( X – 1) (X + 7)

Factorizamos de tal forma de encontrar dos números que multiplicados den

-7 = (-1) · 7 y que sumados den 6 = -1 + 7


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16

Trinomios de la forma: ax2 + bx + c

Veamos el siguiente ejemplo:

Calcule la factorización del siguiente trinomio: 4x2 + 3x - 7 =

1) Verificar que valor tiene el coeficiente a. En este caso el coeficiente a = 4

2) Se multiplica por un “uno especial”, este “uno especial” corresponde al coeficiente a dividido

por si mismo (

), lógicamente a ≠ 0. Entonces quedará así

4x2 + 3x – 7 /

( ) ( ) –

( )( )

(4x + 7) (x – 1)


OjO: recuerda que el 1 es

neutro para la

multiplicación y para la

división.

Se trabaja como si fuera un

trinomio de la forma:

x2 + bx + c , como

vimos anteriormente.

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Ejercicios

Factorice los siguientes trinomios:

i) 9x2 + 4x – 5 =

ii) 12x2 + 28x + 15 =


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18

Valorización de expresiones algebraicas:

Consiste en reemplazar los valores dados en las letras del factor literal de un polinomio,

luego se resuelve la operatoria teniendo presente la prioridad de las operaciones.

Ejemplos:

1) Si x = 2 ; y = -3 calcular 4y – 5x + xy

Al reemplazar los valores dados se obtiene:

4∙(-3) - 5∙2 + 2∙(-3) = -12 – 10 + (-6) = -28

2) Si a = -5 ; b = 4 calcular ( a – b ) + ( b – a ) = ( -5 – 4 ) + ( 4 – (-5) )

= -9 + 9 = 0

3) Si m = 6 ; n = -2 calcular n2∙m – 8 = (-2)

2 ∙ 6 - 8

= 4 ∙ 6 – 8 = 24 – 8 = 16


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19

Ejercicios

Valorizar las siguientes expresiones algebraicas:

1) Si x = -2 ; y = 5 ; calcular el valor de las siguientes expresiones:

a) 3x – 2y + xy =

b) x2 + y

2 -11 =

c) 4xy - 2x3 + 3y

2 =

d) ( x + y ) – ( y + x ) =

e) ( 5x – 3y ) + ( -y – x ) =


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20

2) Si p = 3 ; q = -1 ; r = -4 ; calcular el valor de las siguientes expresiones:

a) 5p + 2q – 8r =

b) pq + qr – pr =

c) p3 – q

4 + r

2 =

d) ( p – q ) + ( q – r ) =

e) ( p2 + q

2 ) – ( q

3 + pqr ) =

f) ( q2 - r

2 ) =


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21

Lenguaje Algebraico

Interpretación de expresiones algebraicas y su significado.

Ejemplos: 1) El triple de un número, aumentado en dos: 3x + 2

2) El triple, de un número aumentado en dos : 3 ( x + 2 )

3) ¿Qué significa (2x – 5) Km.?

El doble de una longitud, disminuida en 5 Km

Ejercicios

Escribir la expresión algebraica que corresponda en cada caso (suponga que el número

desconocido se llama “x”:

1) El doble de número:

2) Un número disminuido en siete:


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22

3) El cuádruple de un número:

4) El doble de un número, aumentado en tres:

5) El triple, de un número disminuido en catorce:

6) Tres números consecutivos:

7) Número par:

8) Dos números impares consecutivos:


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23

Escriba el significado de las siguientes expresiones algebraicas.

1) (3x + 1):

2) (x – 4 )

3) ( x + 1 ) + ( x + 2 ) :

4) 2x ; 2x + 2 ; 2x + 4 :

5) (2x + 1) + (2x + 3):

6) (4x + 7) :


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24

Ecuaciones y Problemas

Recordemos que una ecuación es una igualdad, donde debemos calcular el valor de la incógnita

para que se cumpla la igualdad planteada.

Ejemplo: 5x – 2 = 3x + 10 / ( -3x + 2 )

5x – 3x = 10 + 2

2x = 12 / ( ½ )

x = 12/2

x = 6

Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones: (se sugiere que verifique además que la solución

obtenida es la correcta)

1) 2x – 5 = 3

2) 4 + 3x = 8

3) 21 – x = 18

X=

X=

X=


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25

4) 5y + 120 = 80 – 30

5) 73 – 2w = 27 – w

6) 6m + 23 = 4m + 31

7) 5a + 26 = 7a – 17

8) 24 – 3y = 2y + 21 – 15

9) 150 -7x + 25 = 13 + 8x – 50

10) z + 24 -5z – 1 = 4z +19 - 2z +16

y=

w=


m=

a=

y=

X=

z=

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26

11) m - 8

3

12) 2x 16

5

13) 3y = 9

10

14) 4z -32

7 21

m=

x=


y=

z=

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27

Resolver los siguientes problemas:

1) El triple de un número, aumentado en 2 da como resultado 17.

¿Cuál es el número?

2) El doble de un número, disminuido en 7 da como resultado 11.


3) El cuádruple, de un número aumentado en 5 da como resultado – 8.


4) El quíntuple, de un número disminuido en 3 da como resultado 35.



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28

5) Juan tiene el triple de la edad de Arturo. Arturo tiene el doble de la edad de Alejandra que

tiene 8 años. ¿Qué edad tiene Juan?

6) María tiene la mitad de la edad de Patricia. Patricia tiene la tercera parte de la edad de Felipe

que tiene 24 años. ¿Qué edad tiene María?

7) El triple de bolitas que tiene Claudio más 9 equivale a las bolitas que tiene Jorge. Si Jorge

tiene 45 bolitas. ¿Cuántas bolitas tiene Claudio?

8) La edad de José más la edad de Pablo es 38 años. Si José tiene 8 años más que Pablo,

Entonces, ¿Qué edad tiene José y Pablo?


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29

9) La suma de cuatro números enteros consecutivos es 138. ¿Cuál es el número mayor?

11) La suma de tres números enteros pares consecutivos es 192. ¿Cuál es el número menor?

12) La suma de dos números enteros impares consecutivos es 156. ¿Cuáles son los números?


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30

Más Ejercicios…

Escriba la factorización de los siguientes polinomios:

1) X2 – 2X – 8 =

2) X2 – X – 2 =

3) Y2 – 2Y + 1=

4) Z2

+ 4Z + 4=

5) L2 – L – 6 =


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31

6) =

7) =

8) =

9) =

10) =

11) =

12)


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32

13)

14)

15) Calcule el valor de la incógnita en cada una de las siguientes expresiones:

i)

; entonces el valor de x =

ii)

; entonces el valor de la incógnita y =

iii)

= 2 ; entonces el valor de x=


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