Apuntes analisis.pdf

8/15/2019 Apuntes analisis.pdf

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERÍA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

EQUIPO 4: MÉTODO DE JACOBÍ

ALVAREZ CAMPOS ANA LAURA

FRANCO BUSTOS SAMUEL

MORA GOMEZ ANDREA ANAÍ

MORALES HERNÁNDEZ LAURA ITZEL

APUNTES

MARIA IVONNE GUTIERREZ VILLALBA

30 DE MAYO DE 2014

4CM1


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PRIMER DEPARTAMENTAL

MÉTODO NUMÉRICO

Los métodos numéricos son técnicas mediante los cuales es posible formular

problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas. Aunque

hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica

común, llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Exactitud

1. Es la capacidad de un instrumento de acercarse al valor de la magnitud real

2. Es la cercanía del valor experimental obtenido, con el valor exacto de dicha

medida

Precisión

Es la tolerancia de medida o de transmisión del instrumento y define los límites de

los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales

de servicio

Error

Es una desviación del valor medido de una magnitud física respecto al valor real

de dicha magnitud

Tipos de errores

1. Error absoluto

2. Error relativo


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Preguntas:

1. ¿Qué es un método numérico?

Son algoritmos con los cuales se resuelven problemas sencillos y complejos

por medio de la transformación de operaciones complicadas

2. ¿Qué es un error? ¿Cuáles son los tipos de error que existen?

Es una incertidumbre en el resultado de una medida, se define como la

diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este

Tipos de errores

Redondeo

Truncamiento

Numérico total

Humano

Inherente

Absoluto

Relativo

3. Definir la diferencia entre precisión y exactitud

Es que la exactitud está más cerca del valor verdadero y la precisión es que

tan cercano esta de un valor individual, la exactitud depende de la precisión

4. ¿Qué es un algoritmo?

Es el conjunto de pasos que resolverán un problema determinado (cotidiano)

mediante el uso de cálculos aritméticos, lógicos y haciendo uso de

herramientas computacionales para eficiente la rapidez de los cálculos


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5.-

Error numérico: redondeo: cuando se desea representar un numero con ciertas

cantidades de cifras truncamiento como son: π, e,

Valor Verdadero-Valor

Aproximado

Incertidumbre

Discrepancia

Diferencia

Variación


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Error numérico toral: suma de los errores de redondeo y truncamiento

Exactitud: aproximación de un numero al valor real o verdadero

Precisión: se refiere a la aproximación de datos que existen entre si

Errores deMétodo

Numerico

Error absoluto

Error Verdadero

Error Relativo

Error relativoporcentual

Error porFormulación

Error porMedición

Errores deobservación


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TAREA 2

1.- Cifras significativas: Representan el uso de uno o más escala de

incertidumbre en determinadas aproximaciones

2.- Punto flotante

f: es la fracción

e: es un entero positivo o negativo llamado exponente

A la versión en una computadora de ese tipo de notación le denomina punto

flotante

Ejemplo:

Series de Taylor

La serie de Taylor de una función f real o compleja f(x) infinitamente, diferenciable

en el entorno de un número real o complejo a la siguiente serie de potencias


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REPRESENTACIÓN DEL PUNTO FLOTANTE

Precisión (float) 32 bits-4 bytes

Precisión doble (doublé) 64 bits -8 bytes

Muchas de las aplicaciones requieren trabajar con números que no son enteros.

Existen varias formas de representar números no enteros. Una de las formas es la

que se conoce como punto flotante. Bajo este esquema, un número puede ser

expresado mediante un exponente y una mantisa. Por ejemplo, el numero 10.75

puede expresarse como

En general un número en un punto flotante puede ser representado como:

Donde es la mantisa, b es la base y exp exponente

¿Qué se necesita para representar un número en punto flotante?

NORMALIZACIÓN

Dado que un número en punto flotante puede representarse en diferentes formas

que son equivalentes, es necesario establecer una única representación.

Signo Numero

Signo exponente

Dígitos para el exponente

Dígitos para la Mantisa


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16 8 4 2 1

0 0 1 1 1

Normalizar el número binario 1112 =Calculamos el exponente con el exceso de 127

Exponente= 2+127=

Convertir

Representación en el estándar IEEE

S EXP MANTISA

0 10 000 001 1100000

1bit 8 bits 23 bits

Convertir a binario=

16 8 4 2 1

1 0 1 0 1

Normalización de =

Calculamos el exponente con el exceso de 127

Convertir =

Representación de punto flotante


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S EXP MANTISA

0 10000001 110000000

1bit 8 bits 23 bits

Algoritmo para conversión de un número en punto flotante decimal a binario

Dado un número en un punto decimal y una base b

Do= parte entera (Num 10)

= ( – do)*b

I=1

Repetir desde i=1 hasta N

D1=parte entera (Numero)

= ( -d1) *b

=

Ejemplo: Convertir a binario y hallar su representación en IEEE

1.- (0.5-0)= 0.5*2 =1

(1.00-1) = 0*2 = 0

= Normalizado

2.- Calculamos el exponente con exceso de 127

-1+127=


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3.- Representación de un punto flotante con IEEE

S EXP MANTISA

0 01111110 0000000

1bit 8 bits 23 bits

Ejercicio: Convertir a binario y hallar su representación en IEEE precisión

simple

1.- (0.3-0) = 0.3 * 2 = 0.6 d0= 0

(0.6-0) = 0.6 * 2 = 1.2 d1=0

(1.2-0) = 1.2 * 2 =2.4 d2 =1

(2.4 -1 ) = 1.4*2 =2.8 d3 =1

(0.8-0) = 0.8 *2 =1.6 d4=1

Convertir a binario y hallar su representación en IEEE precisión simple

3.5=11.1

Calculamos exponente con exceso de 127

-1+127= =01111110


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Representación de punto flotante con IEEE

S EXP MANTISA

0 01111110 1100000

1bit 8 bits 23 bits

Representación de punto flotante con IEEE para 64 bits (doublé)

S EXP MANTISA

0 011111001 1100000

1bit 11 bits 52 bits

SERIES DE TAYLOR

Una serie funcional que surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una

solución aproximada a una función y se define como

Cuando a=0

SERIE DE MCLAURIN

Ejemplo: Encuentre la serie de Taylor de

Cuando a=0


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Calcular cuando x=0.5

valor verdadero

nValor

aproximado

Er=valor verdadero-

valor aproximado

0 1 1.6487-1=0.6487 39.3461 %

1 1.5 1.6487-1.5=0.1487 9.0192 %

2 1.625 1.6487-1.625=0.0237 1.4374 %

3 1.645 1.6487-1.6458=0.0029 0.1758 %

Encuentre la serie de Taylor de cuando a=0


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S EXP MANTISA

0 01111101 01101000

1bit 8 bits 23 bits

(5.7525-5)=0.7525x2=1.505

(1.505-1)=0.505x2=1.01

(1.01-1)=0.01x2=0.01

(0.02-0)=0.02x2=0.04

(0.04-0)=0.04x2=0.08

S EXP MANTISA

0 01111101 0111000

1bit 8 bits 23 bits

(15.76-15)=0.76x2=1.52

(1.52-1)=0.52x2=1.04


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(1.04-1)=0.04x2=0.08

(0.08-0)=0.08x2=0.16

(0.16-0)=0.16x2=0.32

S EXP MANTISA

0 01111110 11111000

1bit 8 bits 23 bits

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Todo polinomio de grado n tendrá “n” raíces reales o complejas

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

Si tenemos un polinomio

(+).- La cantidad de raíces positivas es igual al número de cambios de signo de

p(x) o disminuido, en ese número en una cantidad entera par

(-).- La cantidad de raíces negativas es igual al número de cambios de signo de

P(-X) o disminuido en ese número en cantidad entera par


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Determinar la cantidad de posibles raíces reales, complejas, negativas, positivas

usando R.S.D

Raíces Positivas Negativas Complejas

5 0 5 0

0 3 2

0 1 4

Determine las raíces positivas / negativas del siguiente polinomio


2 1 1 0


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4 1 3 0

1 1 2

-3 1 7 13 -23

-3 -12 -3

1 4 1 -26 0

=


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Métodos abiertos(proponen puntosiniciales para la

busqueda)

Punto FIjo

Newton Raphson(Tangente)

Secante

“MÉTODOS DE BUSQUEDA DE RAICES”

Método de intervalos(cerrados)

Bisección

Regla Falsa


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MÉTODO DE BISECCIÓN

Conocido también como Corte Binario o Método Bolzano, es un método debúsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre entre 2. Si la funcióncambia de signo sobre un intervalo, se evaluar el valor de la función en el puntomedio. La posición de la raíz se determina situando en el punto medio delsubintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo.

El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

Algoritmo:

PASO 1: Elija valores iniciales inferior y superior de forma tal que lafunción cambie de signo sobre el intervalo. Esto se puede verificar

asegurándose de que:

PASO 2: La primera aproximación a la raíz se determina como:

PASO 3: Realice las siguientes evaluaciones:

a) Si entonces la raíz se encuentra en el subintervaloinferior.Por lo tanto:

Continuar al paso 2.b) Si entonces la raíz se encontrara en el subintervalo

superior.Por lo tanto:

PASO 4: Si es la raíz y termina el algoritmo. Encaso contrario repetir el cálculo hasta un criterio de paro (número deiteraciones, tolerancia, prefijada).


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Por fórmula general:

PASO 1:

PASO 2:

5 7.5 10 100%

5 6.25 7.5 20%6.25 6.87 7.5 9.02%6.87 7.18 7.5 4.3%

Ejercicio:

Determina la raíz de:

con valores iniciales y

a) Gráficamente

b) Analíticamentec) Por método de bisección, realice 5 iteraciones, calcule valor relativo.

Ejercicio:

Encuentre la raíz de:

con valores iniciales y

a) Gráficamenteb) Analíticamentec) Por método de bisección. Calcule hasta encontrar la raíz o hasta que


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MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Aunque el método de bisección es la técnica perfectamente válida para determinarraíces, su enfoque en algunas funciones es ineficiente. El método de la regla falsaes una alternativa basada en una visualización gráfica.

Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo de la a enmitades integrales no se toma en cuenta la magnitud de y por ejemplosi es mucho más cercana a 0 que , es lógico que la raíz se encuentramás cerca de que de Este método alternativo aprovecha la visualizacióngrafica de unir y con una línea recta la intersección de esta línea conel eje de las “x” representa una mejor estimación de la raíz. El hecho de que se

reemplace la curva por la línea recta de una posición falsa de la raíz.

Usando triángulos semejantes

El cual puede resolverse como:

Formula de regla falsa para nuevasaproximaciones de raíz

Algoritmo:

PASO 1: Establecer los puntos iniciales intervalo inferior y intervalosuperior y asegurar que ese intervalo encierre a la raíz.


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Si ; entonces el intervalo propuesto es el adecuado.

PASO 2: Realizar la aproximación a la raíz mediante la fórmula:

PASO 3: Realizar las evaluaciones para establecer los nuevossubintervalos.

a) Si entonces REPETIR PASO 2 b) Si entonces REPETIR PASO 2

PASO 4: Si entonces es la raíz. En caso contrariorepetir hasta un criterio de paro (No. De iteraciones, tolerancia prefijada).

Ejercicio:

Aplique método de regla falsa a la función:

En el intervalo [0.5, 2]

0.5 - 1.63 + . 2 + 100%0.5 - 1.50 + . 1.63 + 8.6%0.5 - 1.44 + . 1.50 + 4.1%0.5 + 1.42 1.44 + 1.4%0.5 - 1.41 1.42 + 0.7%


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Ejercicio:

Encuentre la raíz de:

a) Realice gráficab) Aplique regla falsa en el intervalo [3,4]. Realice 3 iteraciones.c) Aplique método de bisección en el mismo intervalo y número de iteraciones.

3 3.69 4 100%3.69 3.75 4 1.6%3.75 3.7580 4 0.21%


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“MÉTODOS ABIERTOS”

Se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio o querequiere un par de ellos, pero no necesariamente encierran a la raíz. Como talesalgunas veces divergen (se alejan de la raíz verdadera) a medida que crece el

número de iteraciones. Sin embargo cuando los métodos abiertos convergen, porlo general lo hacen más rápido (bisección, regla falsa), se empieza el análisis delos métodos abiertos con una versión simple que es útil, para mostrar su fórmulageneral.

((GRAFICA))

ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJO

Se basa en una fórmula que predice la raíz, atreves de sucesiones sucesivas, alarreglar la ecuación de tal modo que quede de lado izquierdo de la

ecuación y se formule:

Está transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones algebraicas osimplemente agregando a cada lado de la ecuación original.

Ejemplo:

1.

Se puede reordenar para obtener:Sumando x ambos lados de la ec.

ó ó

2.Sumando “x” ambos lados de la ecuación:

La utilidad de esta ecuación es que proporciona una fórmula para predecir un

nuevo valor de la . De esta manera dada un valor de inicio a la raíz de la


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ecuación se puede usar para obtener una nueva aproximación , expresada por

la fórmula:

Fórmula Iterativa de Punto Fijo

Criterio de convergencia:

Aproximación a la raíz (converge).

Para calcular el valor aproximado, se sigue la siguiente formula:

Ejercicio:

Use iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de con unvalor inicial . Calcule hasta 5 iteraciones.

a)

b)

c)

Para el caso a)


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1 1 100%2 0.3678 171.88%3 0.6922 46.86%4 0.5004 38.32%

5 0.6062 17.45

MÉTODO GRÁFICO (MÉTODO 2 CURVAS)

Separe la ecuación en 2 partes y determinar su raíz en forma gráfica.

0.0 0.0 1.00.2 0.2 0.8160.4 0.4 0.6700.6 0.6 0.5490.8 0.8 0.4491.0 1.0 0.368

Punto donde cruzan ambas

curvas la aproximación a la raíz.


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0.0 10.2 0.6180.4 0.270.6 -0.05110.8 -0.351.0 -0.63

Ejercicio:

a)

Raíz


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0 41.17

1 -1.33 27.81

2 -1.45 8.27

3 -1.40 3.57

4 -1.42 1.4

b)

Sumando x ambos lados


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0 0.70 100%

1 1.05 33.33%

2 1.23 14.63%

3 1.32 6.81%

4 1.36 2.94%

5 1.38 1.44%

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Dentro de las fórmulas para localizar raíces la fórmula de Newton-Raphson, es la

más ampliamente usada, su el valor inicial de la raíz es entonces se puedeextender una tangente desde el punto El punto donde está tangente

cruza al eje de las “x” representada una aproximación mejorada a la raíz.

FORMULA DE LA TANGENTE


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Ejercicio:

Aplique método de Newton-Raphson, para localizar la raíz de con

Realice 5 iteraciones y compare con el método de punto fijo.

Ejercicio:

Encuentre la raíz de

a) Grafique la función

b) Usando método de la tangente con con error


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0 0 0

1 -1 100%

2 -0.69 42.93%

3 -0.59 14.87%

4 -0.5867 3.73%

5 -0.5869 0.681%

Ejercicio:

Determine la raíz de

a) Grafique la función

b) Usando método de la tangente. Realice 5 iteraciones

c) Usando método de punto fijo


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MÉTODO DE LA SECANTE

Un problema potencial en la implementación del método de Newton-Raphson, es

la evaluación de la derivada, ya que en la aplicación existían algunas funciones

cuyas derivadas suelen ser difíciles de elevar. En estos casos, la derivada sepuede aproximar mediante una dif. dividida finita regresiva.

Esquema gráfico de la secante:

Observe que a partir de condiciones iniciales se puede aproximar a la raíz

en el punto , este se encuentra mediante el cruce que se obtiene a partir delos puntos y trazando la recta secante que los une.

De tal forma podemos decir que la derivada la podemos aproximarmediante:

Sustituyendo en la fórmula del método Newton-Raphson obtendremos:

Sustituyendo f 1(x):


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FORMULA DE LA SECANTE

Ejercicio:

Aplicar el método de la secante . Aplique método de la secantecon y realizar el cálculo hasta

Iteración

1 0 1.5 1 5.1518 -0.3612 515.28%

2 1.5 -0.3612 5.1518 0.5178 -0.5691 124.08%

3 -0.361 -0.5691 0.5178 0.0490 -0.5908 57.5581%


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SEGUNDO DEPARTAMENTAL

METODO DE GAUSS

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro

equivalente de forma que éste sea escalonado. La 1ª ecuación siempre se deja

igual, (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe

anular el término que lleva la x. O podemos intercambiarlas entre sí.

Este algoritmo consiste en dos procesos:

a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un

sistema triangular Superior:

Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera

incógnita aii (coeficiente pivote). A este procedimiento se le conoce como

normalización.

Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente

de la segunda ecuación.

Paso 3: Nótese que el primer termina de la primera ecuación es idéntico al primer

termino de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la

segunda ecuación restando la primera a la segunda.

Paso 4: Repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las

ecuaciones restantes.

Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta

convertir el sistema en una matriz triangular superior.

b) Sustitución hacia atrás:

Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es

más manejable y se puede resolver despejando primero la Xn y este valor

utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener el resultado

completo del sistema.


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OBJETIVO

En el objetivo de reducir el sistema a otro con las mismas soluciones pero más

sencillo, el método de Gauss utiliza tres tipos de transformaciones que

presentamos a continuación.

· Transformaciones empleadas por el método de Gauss:

· Transformación 1: permutar dos filas entre sí.

· Transformación 2: añadir a una fila una paralele previamente multiplicada por un

número.

· Transformación 3: multiplicar (o dividir) una fila por un número diferente de cero.

· Estas transformaciones se realizan en las filas de matriz hasta que

conseguimos que los elementos por debajo de la diagonal principal sean

todos nulos.


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VENTAJAS Y DESVENTAJAS

Ventajas

Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 o mas variables.

Puede resolver sistemas que involucran números complejos.

Desventajas

Si se tiene una variable multiplicada por cero, o por un numero muy

pequeño en la diagonal, se puede indeterminar o resultar un numero muy

grande.

Si se trabaja un sistema mal condicionado, se corre el riesgo de que el

resultado de la variable cambie por no tomar todas las cifras significativas.


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MÉTODO DE LU

El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones

lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original

de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).

LA FACTORIZACIÓN LU DE UNA MATRIZ

Es una factorización que resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a

la matriz y que es conveniente en términos del numero total de operaciones de

punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se

resolverá una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de

coeficientes.

Fórmula:

A=LU

Donde:

L - Matriz triangular inferior

U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal

principal iguales a 1.

PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MÉTODO

DE DESCOMPOSICIÓN LU

Obtener la matriz triangular inferior “L” y la matriz triangular superior “U”.

Resolver Ly = b (para encontrar y).

El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre “y”.

Realizar Ux = y (para encontrar x).


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El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada “x”, la

cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.

OBTENER LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR “L” Y LA MATRIZ

TRIANGULAR SUPERIOR “U”

Pasos para encontrar la matriz triangular superior (matriz [u])

1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.

2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario

para convertir a cero los valores abajo del pivote.

3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el

número pivote.

4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese

resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el

valor en la posición que se convertirá en cero).

Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [l])

o Construir una matriz de igual orden que la matriz original con unos en la

diagonal principal y ceros para los elementos que cumplan j > i.

Para matrices de 3x3 se escribe como:

=

Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos de ese producto

con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:


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De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:

A x = b

Lo cual resulta lo mismo escribir:

L U X = b

Definiendo a:

U X = Y

Podemos escribir:

L Y = b

Resolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar

primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva sobre "L Y = b".

En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución regresiva para

encontrar los valores de "x", obteniendo:


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Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de la ecuación 2, … , xn de la ecuación n,

quedando:

Desde la formula anterior resultan las fórmulas que se deberán ir aplicando en las

diferentes iteraciones. Para comenzar a aplicar el método debemos asignar unvalor arbitrario a las variables x2,…xn con el fin de obtener x1. Lo mas

conveniente en este caso es que los valores comiencen en cero, lo cual nos

facilitaría el trabajo ya que se reduce el cálculo de las primeras soluciones,

entonces de esto resulta que:

Ahora despejamos x2 de la ecuación 2 y reemplazamos a x1 por el valor obtenido

en la ecuación anterior. De esto nos queda:

Una vez que tenemos x2, despejamos x3 de la ecuación 3 y así sucesivamente

con las n ecuaciones, cada vez asignando el valor de las x1, x2,… xn -1 obtenido

en el paso anterior.

Cuando hemos despejado las xn, tenemos lo que se conoce como primera

solución o solución de la primera iteración:


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Con los nuevos valores de x1, x2,…,xn aplicamos los mismos pasos anteriores

pero con los nuevos valores de las xn, de esta manera conseguimos una segunda

solución:

Al tener esta segunda solución estamos en condiciones de calcular el error que se

calcula como sigue:

Así, repetimos el método tantas veces hasta que el error sea muy pequeño o los

suficientemente aceptable.

Ahora solo queda mencionar que para que un sistema sea convergente se debe

cumplir que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, y para ello se

debe verificar la siguiente expresión:

Si no se cumple esa condición, se puede permutar las filas de la matriz, con el fin

de poder convertirla en una diagonalmente dominante.


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Aplicación

EL método de Gauss Seidel tiene una amplia aplicación para resolver problemas

de ecuaciones lineales y cuando éstos son de alguna manera más fáciles de

computarizar a través de algún programa como Excel o bien WINQSB.

Esta es una de las tantas variaciones que tiene el Método de Gauss (método del

pivote) y son muy aplicados en algunas áreas como lo son Investigación de

Operaciones (Técnicas de Optimación) que son métodos para encontrar

soluciones óptimas a distintos tipos de problemas de transporte y asignación por

ejemplo.

También es muy utilizado para las áreas de mecánica (fluidos y sólidos) según el

tipo de experimento que estemos realizando y nos sirven en general para

encontrar un valor aproximado de lo que sucede en nuestro proceso.

El método de Gauss-Seidel encuentra su mayor aplicación dentro de la

programación ya que es fundamental para la operación de máquinas CNC

(Computerized Numeric controls) donde es más sencillo generar modelos lineales

para programar un proceso.

Ejemplo de la aplicación del Método de Gauss-Seidel

Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I

el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre.

¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4

toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre?

Solución: ¿Cuál es el problema? ¿Qué se busca?

Queremos saber el número de toneladas de mineral que hay que extraer de cada

mina, asignemos literales a esos números.


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Sean x el número de toneladas que se extrae de la mina I y el número de

toneladas que se extrae de la mina II.

Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales.

¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I?

0.01 x

¿Y de la mina II?

0.02 y

Entonces la ecuación queda: 0.01x + 0.02y =4

Análogamente para el cobre tenemos:

0.02x+0.05y = 9

Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos

resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

La matriz queda de la siguiente forma

Despejando las incógnitas


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Tomando como primer valor inicial a y1 = 75, resolvemos para x1 para obtener

posteriormente y2

Calculamos el error

Que aún es mayor al 1% Así que repetimos el proceso de iteración las veces

necesarias

Este proceso continua. Dándonos como resultado

X=100 Y=200

Que son las toneladas de material necesarias que se

deben extraer de cada mina para obtener 4

toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre


50/106


51/106

Para determinar si el método de Jacobi converge hacia una solución, se evalúan

las siguientes condiciones de convergencia:

La matriz sea estrictamente dominante diagonalmente por filas, es

decir, para toda desde 1 hasta que es el tamaño de la matriz A:

Es decir, el elemento de la diagonal correspondiente a la fila debe de ser mayor a

la suma de elementos de esa fila .

A partir de la siguiente identidad:

Dónde:

D= La matriz diagonal

L= La matriz triangular inferior

U=La matriz triangular superior

Para que el método de Jacobí converja hacia una solución:

Dónde:

= La matriz de iteración de Jacobí.

El método de Jacobi, es el método iterativo más elemental; ya que el proceso se

repite tantas veces hasta llegar a una tolerancia deseada, se empieza a partir de

un vector inicial (el vector de ceros la mayoría de las veces).

Dado el sistema A x = b.


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El método comienza resolviendo la ecuación 1 para x 1, x 2 y x 3 e introduciendo el

índice k que se utilizara para indicar el número de iteraciones, se obtiene:

Además se requiere de un vector inicial

xi = (x1(k), x2

(k), x3(k)) el cual representa la primera aproximación de la

solución del sistema, con lo que se produce x k+1 .

Este vector si no se conoce se puede asumir como:

x0 = (0 (0), 0

(0), 0 (0))

Con estos valores y las fórmulas de las ecuaciones (2) se van calculando

los nuevos valores de xi

El proceso se continua hasta que | xi+1 – xi| ≤ ea.

Ventajas y Desventajas:

Probablemente más eficientes que los directos para sistemas de orden alto

Más simples de programar

Puede aprovecharse una aproximación a la solución, si tal aproximación

existe


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Son menos sensibles a los errores de redondeo (valioso en sistemas mal

condicionados).

Si se tienen varios sistemas que comparten la matriz coeficiente, esto no

representara ahorro de cálculos, ya que por cada vector a la derecha de Atendrá que aplicarse el método.

Aun cuando la convergencia esté asegurada, puede ser lenta y , por lo

tanto, los cálculos requeridos para obtener una solución particular no son

predecibles.

El tiempo y la exactitud del resultado dependen del criterio de convergencia

Si la convergencia es lenta, los resultados deben interpretarse con cautela.

La matriz debe ser cuadrada , (para un sistema de n ecuaciones con n

incógnitas)

Ejercicio:

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Método de Jacobi, para una = 5% :

Las siguientes fórmulas las utilizamos para encontrar

X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones


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55/106


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INTERPOLACION LINEAL

INTERPOLACON PARA “n” POLINOMIOS

ALGORITMO

Paso 1: Analizar el conjunto de puntos coordenados propuestos en el problema

(puntos x con su respectiva f(x) o “y”)


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Pasó 2: Obtener para polinomios grado n, de la siguiente manera:

Paso 3: Sustituir cada obtenida en el paso 2 en la ecuación delpolinomio interpolador:

Paso 4: Realizar el desarrollo algebraico de la ecuación y el polinomio final

obtenido será el polinomio de Newton buscado.

Ejemplo 1

Determine el polinomio interpolado por el método de las diferencias divididas de

Newton para los puntos (1,0),(2,6),(4,12),(5,24).


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61/106

Calculamos su tabla:

f(x0,x1)=

f(x1,x2)=

f(x2,x3)=

f(x3,x4)=

f(x4,x5)=

f(x5,x6)=

f(x0,x1,x2)=

f(x1,x2,x3)=

f(x2,x3,x4)=


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f(x3,x4,x5)=

f(x4,x5,x6)=

f(x0,x1,x2,x3)= -

f(x1,x2,x3,x4)=

f(x2,x3,x4,x5)=

f(x3,x4,x5,x6)=

Obteniendo el siguiente polinomio:

P6(x)=35.5+.23(x-150)+.0175(x-150)(x-160)- (x-150)(x-160)(x-170)

+ (x-150)(x-160)(x-170)(x-180)- (x-150)(x-160)(x-170)(x-180)(x-

190) + (x-150)(x-160)(x-170)(x-180)(x-190)(x-200)

P6(x) = + -1.6152 +225.6883 -

16753.2981x+515880.55


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METODO DE LAGRANGE

En análisis numérico, el polinomio de LaGrange, llamado así en honor a Joseph-

Louis de LaGrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un

conjunto de puntos dado.

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de

puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de

LaGrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de

LaGrange.

Definición

Dado un conjunto de k + 1 puntos

( , )…( , )

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de

LaGrange es la combinación lineal.

k

i Xi f X Li X fn

0)()()(de bases polinómicas de Lagrange

Los polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad:

Las funciones en términos de x pueden ser de primero o segundo orden, de la

siguiente manera:

)()()( 101

00

10

11 X f

X X

X X X f

X X

X X X f


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Algoritmo

DATOS: El grado del polinomio de aproximación N, las N+1 parejas de valores

(X(I), FX(I), I=0,1,…, N) y el valor para que se desea la interpolación XINT.

RESULTADOS: La aproximación FXINT, el valor de la función en XINT.

Paso 1: Hacer FXINT=0.

PASO 2: Hacer I = 0.

PASO 3: Mientras I ≤ N, repetir los paso 4 a 10.

PASO 4: Hace L=1.

Paso 5: Hacer J = 0.PASO 6: Mientras J ≤ N, repetir los pasos 7 y 8 .

PASO 7: Si I ≠ J Hacer L = L *(XINT-X(J)/(X(I)-X(J)).

Paso 8: Hacer J= J + 1.

PASO 9. Hacer FXINT = FXINT + L * FX(I).

Paso 10: Hacer I = I + 1.

PASO 11: IMPRIMIR FXINT y TERMINAR.

Ventajas y Desventajas

El polinomio encontrado es único.

La forma de Lagrange es sencilla y se comprueba con facilidad que es un

polinomio de interpolación y su grado. Pero para conocer los coeficientes

del polinomio hay que simplificar los términos.

Otra característica de esta forma de encontrar el polinomio es que si

añadimos o quitamos puntos hay que recalcularlo otra vez.

Debe observarse que el método anterior no es el método de interpolación

más eficiente para determinar los coeficientes de un polinomio.

Los coeficientes suelen ser inexactos, en particular para n grandes.

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()( 2

1202

10

1

2101

20

0

2010

212 X f

X X X X

X X X X X f

X X X X

X X X X X f

X X X X

X X X X X f


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METODO DE MINIMOS CUADRADOS

Es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimización

matemática en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable

independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intentaencontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los

datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas.

Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de

mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

¿QUE SE BUSCA CON LA REGRESION?

Crear una función lineal que permita describir el comportamiento de una variable

dependiente Y en función de una o más variables independientes X

Estimación por mínimos cuadrados

• Es el mas utilizado para ajuste de curvas

• Fue desarrollado por Karl Gauss (1777-1855)

• La idea es producir estimadores de los parámetros (β0 , β1) que hagan

mínima la suma de cuadrados de las distancias entre los valores

observados, y los valores estimados.

La regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación

entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un

término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

p Xp + ɛ

variable dependiente, explicada o regresando.

, ,…, Xp variables explicativas, independientes o regresores.


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, ,…, p parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen

sobre el regresando.

Donde es la intersección o término "constante", las son los

parámetros respectivos a cada variable independiente y „p‟ es el número deparámetros independientes a tener en cuenta en la regresión

La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Cuando se asocia un error sustancial con los datos, la interpolación polinomial es

inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorios cuando se usa para

predecir valores intermedios. Los datos experimentales a menudo son de este

tipo. Por ejemplo, en la figura se muestran siete datos obtenidos

experimentalmente que muestran una variación significativa. La inspección visual

de los datos sugiere una relación positiva entre y y x. Es decir, la tendencia total

indica que a valores mayores de y se le asocian valores mayores a x.

Ahora, si se ajusta un polinomio interpolante de sexto orden a estos datos (Figura)

, pasará exactamente por todos los puntos. Sin embargo, debido a la variabilidad

de los datos, la curva oscila ampliamente en los intervalos entre puntos. Enparticular, los valores interpolados x = 1.5 y x = 6.5 parecen ir más allá del rango

sugerido por los datos.


68/106

Una estrategia más apropiada en estos casos es la de obtener una función

aproximada que ajuste “adecuadamente” el comportamiento o la tendencia

general de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular La

figura.

La manera de quitar esta subjetividad es considerar un criterio que cuantifique la

suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la

diferencia entre los datos y la curva.

Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados

De la ecuación ya dada:

Ahora para determinar los valores de a0 y a1, la ecuación anterior se deriva con

respecto a cada uno de los coeficientes:


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Si Observamos hemos simplificado los símbolos de la sumatoria; a menos que se

indique otra cosa, todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Al igualar estas

derivadas a cero, se dará como resultado un Sr mínimo. Si se hace esto, las

ecuaciones se expresaran de la siguiente forma:

Ahora, si observamos que ∑a0 = na0, expresamos las ecuaciones como un

conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas, con dos incógnitas (a0 y a1):

……..(2) ……..(3)

Éstas se llaman ecuaciones

normales, y se resuelven en

forma simultánea

……….(4)

Este resultado se utiliza conjuntamente con la ecuación (2) para obtener

………..(5)

Donde son las medias de y y x, respectivamente.


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Cuantificación del error en la regresión lineal

Varias propiedades de este ajuste se observan al examinar más de cerca la forma

en que se calcularon los residuos. Recordemos que la suma de los cuadrados se

define como:

En esta ecuación, el cuadrado del residuo representa el cuadrado de la distancia

vertical entre el dato y otra medida de tendencia central: la línea recta

La analogía se puede extender aún más en casos donde 1. la dispersión de lospuntos alrededor de la línea es de magnitud similar en todo el rango de los datos,

y 2. la distribución de estos puntos cerca de la línea es normal. Es posible

demostrar que si estos criterios se cumplen, la regresión por mínimos cuadrados

proporcionará la mejor estimación de a0 y a1. Esto se conoce en estadística como


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el principio de máxima verosimilitud. Además, si estos criterios se satisfacen, una

“desviación estándar” para la línea de regresión se determina como sigue

donde a sy/x se le llama error estándar del estimado. El subíndice “y/x” designa

que el error es para un valor predicho de y correspondiente a un valor particular dex. Así como en el caso de la desviación estándar, el error estándar del estimado

cuantifica la dispersión de los datos. Aunque, sy/x cuantifica la dispersión

alrededor de la línea de regresión, como se muestra en la figura b, a diferencia de

la desviación estándar original sy que cuantifica la dispersión alrededor de la

media figura a

MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES EN GENERAL

FORMULACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ PARA MÍNIMOS CUADRADOS

LINEALES

En las páginas anteriores presentamos tres tipos de regresión: lineal simple,

Polinomial y lineal múltiple. De hecho, las tres pertenecen al siguiente modelo

lineal general de mínimos cuadrados:

y = a0z0 + a1z1 + a2z2 + · · · + amzm + e

Donde z0, z1, … , zm son m + 1 funciones diferentes. Se observa con facilidad

cómo la regresión lineal simple y múltiple se encuentran dentro de este modelo; es

decir, z0 = 1, z1 = x1, z2 = x2,…, zm = xm. Además, la regresión Polinomial se

incluye también si las z son monomios simples como z0 = x0 = 1, z1 = x, z2 = x2,…,

zm = xm.


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Observe que la terminología “lineal” se refiere sólo a la dependencia del modelo

sobre sus parámetros (es decir, las a). Como en el caso de la regresión

PolinomIal, las mismas funciones llegan a ser altamente no lineales. Por ejemplo,

las z pueden ser senoidal, como en

y = a0 + a1 cos (wt) + a2 sen (wt)

Esta forma es la base del análisis de Fourier. Por otro lado, un modelo de

apariencia simple como

f(x) = a0 (1 – e ̂–a1x)

es no lineal porque no es posible llevarlo a la forma de la ecuación y = a0z0 +

a1z1 + a2z2 + · · · + amzm + e,

Mientras tanto, la ecuación y = a0z0 + a1z1 + a2z2 + · · · + amzm + e, se expresa

en notación matricial como

{Y} = [Z]{A} + {E}

donde [Z] es una matriz de los valores calculados de las funciones z en los valores

medidos de las variables independientes

Donde m es el número de variables en el modelo y n es el número de datos.

Como n > m + 1, se reconoce que, la mayoría de las veces, [Z] no es una matrizcuadrada. El vector columna {Y} contiene los valores observados de la variable

dependiente

{Y}T = ⎣ y1 y2 · · · yn⎦

El vector columna {A} contiene los coeficientes desconocidos


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11

1

( ) ( )'( ) 0( )

i iin i i

i i

f X f X f X X X

X X

Ó '( ) 0( )i f

f x hh

Donde „ f ‟ se le conoce como diferencia hacia adelante y a „ h „ se le llama

tamaño de paso, esto es la longitud del ibtervalo sobre el cual se hace la

aproximación.

Grafica de aproximación hacia adelante.

Aproximación de derivada por diferencia hacia atrás

La serie de Taylor se pueden expandir hacia atrás para calcular un valor anterior

sobre el valor actual, como;

2

1'( ) ''( )

( ) ( )1! 2!

i f Xi h f Xi h

f X f Xi

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos

se obtiene:

Error


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1( ) ( )'( ) 0( )

i i ii

i

f X f X f f X h

h h

Donde i f es conocida como la primera diferencia dividida hacia atrás.

Grafica de aproximación hacia atrás

Aproximación de derivadas por diferencias centradas

Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restando las diferencias

hacia atrás de la expansión de Taylor hacia adelante.

2

1'( ) ''( )

( ) ( ) ......1! 2!

i f Xi h f Xi h

f X f Xi

Para obtener

3 3

1( )

'( ) ( ) 2 '( ) ...3!

ii i i

f X h f X f X f X h

Que se puede resolver como:


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77/106

1 1

1 1

0 ( ) 1.2

0.5 ( ) 0.925

1 ( ) 0.2

i i

i i

i i

x f x

x f x

x f x

b) Diferencias hacia adelante

1 ( ) 0.2 0.925'( ) 1.45

0.5

i i

i

f x f x f x

h

Valor verd - Valor aprox% *100Valor verd

0.9125 1.45% *100 58.9%

0.9125

Ev

Ev

c) Diferencias hacia atrás

1( ) 0.925 1.2'( ) 0.55

0.5

i i

i

f x f x f x

h

0.9125 0.55% *100 37.7%

0.9125 Ev

d) Diferencias centrales

1 1( ) 0.2 1.2'( ) 1

2 1

i i

i

f x f x f x

h


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0.9125 1% *100 9.58%

0.9125 Ev

METODOS DE INTEGRACIÓN NUMERICA

Fórmulas de Newton-Cotes

Trapecio

Simpson 1/3

Simpson 3/8

Son esquemas de integración Numérica más comunes, se basan en la estrategia

de remplazar una función complicada o datos tabulados con una función

aproximada que sea fácil de integrar:

( ) ( )b b

n

a a

I f x dx f x dx

Donde fn(x) es un polinomio de la forma

2

0 1 2 ......

n

na a x a x a x y „n‟ es elorden del polinomio.

“ Esquema gráfico de las fórmulas de Newton-Cotes”

Aproximación el área bajo un

polinomio de primer orden.

2 puntos Trapecio.


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El resultado de la integración es:

( ) ( )( )

2

f a f b I b a ----------------- Regla Trapezoidal

A= (altura) (

Ejemplo:

Aplique el método del trapecio a la función:

2 3 4 5( ) 0.2 25 200 675 900 400 f x x x x x x donde a=0 hasta

b=0.8

a) Analíticamente:

2 3 4 5 60.8

0( ) 0.2 25 200 675 900 400 ] 1.640532 3 4 5 6

b

a

x x x x x f x dx x ---------

Valor verdadero

b) Numéricamente

( ) ( ) (0.2) (0.232)( ) (0.8) 0.1728

2 2

f a f b I b a Valor aproximado.

“APLICACIÓN MULTIPLE DE LA REGLA TRAPEZOIDAL”

Una forma de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es dividir el intervalo de

integración desde a hasta b, en un número de segmentos y aplicar el método de

cada uno de ellos.

En consecuencia sea „n‟ segmentos de igual anchura:


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a) Analíticamente:

2 3 4 5 60.8

0( ) 0.2 25 200 675 900 400 ] 1.640532 3 4 5 6

b

a

x x x x x f x dx x ---------

Valor verdadero

b) Numéricamente

Aplicando Trapecio Múltiple con n=4

0 0

0.80.2

4

0 ( ) .2

0.8 ( ) .232n n

h

x f x

x f x

1 1

2 2

3 3

0.2 ( ) 1.288

0.4 ( ) 2.45

0.6 ( ) 3.462

7.198

x f x

x f x

x f x

0.2 2(7.198) 0.232(0.8) 1.488

I

Aplicando Trapecio Múltiple con n=8

0 0

0.8 0.18

0 ( ) .2

0.8 ( ) .232n n

h

x f x

x f x


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1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6

0.1 ( ) .0934

0.2 ( ) .223

0.3 ( ) 1.462

0.4 ( ) 1.5880.5 ( ) 2.45

0.6

x f x

x f x

x f x

x f x x f x

x 6

7 7

( ) 3.462

0.7 ( ) 4.462

15.153

f x

x f x

0.2 2(15.153) 0.232(0.8) 1.536916

I

“REGLAS DE SIMPSON”

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentación más fina otra forma de

obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de

orden superior para conectar los puntos.

Ejemplo: si hay un punto extra a la mitad del camino entre f (a) y f (b), los tres

punto se pueden conectar mediante una parábola de forma similar si existen dos

puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden

conectar con un polinomio de tercer orden. Las fórmulas que resultan al tomar las

integrales bajo esos poli8nomios son conocidas como las reglas de Simpson.

“REGLA DE SIMPSON 1/3”

La regla de Simpson 1/3 resulta cuando una interpolación polinomial de segundoorden es sustituida como sigue:


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Grafica de Simpson 1/3

Si a y b se designan como X0 y X2, y F2(x) es representada por un polinomoideLagrange de segundo orden, la integral se transforma en:

Después de la integración y manejo algebraico, resulta la siguiente formula:

0 1 2( ) 4 ( ) ( )3

h I f x f x f x Donde

2

b ah

Sustituyendo h

0 1 2( ) 4 ( ) ( )

6

f x f x f x I b a ------ Regla de Simpson 1/3

Ejemplo: Aplique Regla de Simpson 1/3 a la función:

2 3 4 5( ) 0.2 25 200 675 900 400 f x x x x x x Donde: a=0 hasta

b=0.8

F2(x)

Polinomio de grado 2 que

conecta tres puntos y los

segmentos son pares.


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1

2

b ah

x h

0.80.4

2h

0 0

1 1

2 2

0 ( ) .2

0.4 ( ) 2.45

0.8 ( ) .232

x f x

x f x

x f x

0.2 4(2.45) .232(0.8) 1.36

61.64055 1.36

% *100 17.1%1.64055

I

Ev

“APLICACIÓN DE SIMPSON 1/3 MULTIPLE”

Así como la regla de trapecio, la regla de Simpson se puede mejorar al dividir el

intervalo de integración en un número de segmentos de igual anchura, para este

caso:

b ah

n

La integral total se puede representar como:


86/106

Al sustituir la regla de Simpson 1/3 para la integral individual se obtiene:

Combinando términos obtenemos:

1 1

0 1 2

1,3,5 0,2,4

( ) 4 ( ) 2 ( ) ( )

3

n n

n

i i

f x f x f x f x

I b an

Aplicación de Simpson Múltiple.

Ejemplo: aplique a la misma función el método de Simpson 1/3 múltiple:

2 3 4 5

( ) 0.2 25 200 675 900 400 f x x x x x x Donde: a=0 hastab=0.8

Con n=4:

b ah

n

0 0.8

0.8 0.2

4

n

x a x b

h


87/106

Sumando los puntos impares:

1 1

3 3

0.2 ( ) 1.28

0.6 ( ) 3.40

4.74

x f x

x f x

Sumando los puntos pares:

0 0

2 2

0 ( ) .2

0.8 ( ) .232

.432

x f x

x f x

0.2 4(2.45) 2(.432) .232(0.8) 1.6112

1.64055 1.61% *100 1.61%

1.64055

I

Ev

“REGLA DE SIMPSON 3/8”

De manera similar a la integración de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson

de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos a

integrar.

Para obtener:

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/zim38.mhttp://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/zim38.m


88/106

Ejemplo: aplique el método de Simpson 3/8 la siguiente función:

2 3 4 5( ) 0.2 25 200 675 900 400 f x x x x x x Donde: a=0 hasta

b=0.8

0 0

.8

0.8 0.26666

3

n

x a

x b

h

0 0

1 1

2 2

3 3

0 ( ) .2

0.266 ( ) 1.4299

0.533 ( ) 3.486

0.8 ( ) .232

x f x

x f x

x f x

x f x

.2 3(1.4299) 3(3.486) .2320.8 1.5179

8 I

1.64055 1.5179% *100 7.47%

1.64055

Ev

INTEGRACIÓN CON SEGMENTOS DESIGUALES

0 1 1 2 11 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )..............

2 2 2

n nn

f x f x f x f x f x f x I h h h

Donde hi= ancho del segmento;

Observe que es el mismo procedimiento que se uso en la regla trapezoidal solo

que en este caso h no son constantes;


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Ejemplo: Dados los siguientes datos

X 0 .12 .22 .32 .36 .40 .44 .54 .64 .70 .80

F(x) 0.20 1.309 1.305 1.743 2.074 2.456 2.842 3.507 3.181 2.303 .232

Integración por trapecio:

( ) ( )( )

2

f a f b I b a

.20 1.309 1.309 1.305 1.305 1.743(.12) (.10) +(.10) +

2 2 2

1.743 2.074 2.074 2.456(.04) +(.06) 1.5948

2 2

I

Por Simpson 1/3, trapecio, y Simpson 3/8:

1.309 4(1.305) 1.7430.20 .2757

6

1.743 3(2.074) 3(2.456) 2.8420.12 .2726

8

I

I

2.842 4(3.507) 3.1810.20 .668

6 I

I .12975+.166321+.090+.2757+.2726+.6683 1.6026


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Ejemplo: Dada la tabla

x -4 0 4

F(x) 16 -16 16

a) Encuentre el polinomio a interpolar de grado n

Newton

X F(x) Primera

diferencia

Segunda

diferencia

-4 16

F(x1,x0)=-8 F(x2, x1, x0)=20 -16

4 16 F(X2,x1)=8

0 1 0 2 0 1

2

2

( ) ( )( )

16 8( 4) 2( 4)( )

16 8 32 2 9

2 16

b b x x b x x x x

x x x

x x x

x

b) Encuentre el área bajo la curva:

16 4( 16) 168 42.66

6 I


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INTEGRACIÓN DE ROMBERG

La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales

numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones

sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulacionesmatemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.

EL ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG.

Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de

extrapolación suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación

que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor

estimación de la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general

muy adecuada para la implementación en computadora:

Donde 1ʲ +1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e

Ijk=Ia integral mejorada. El subíndice significa el nivel de la integración

donde k=1 corresponde a la estimación original con la regla del

trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴), k=3 a 0(h⁶) y así sucesivamente. El subíndice j

se usa para distinguir entre las estimaciones más (j+1) i meno (j) exactas. Por

ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación (22.8) se convierte en

Que es equivalente a la ecuación


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La forma general representada por la ecuación se atribuye a Romberg, y su

aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de

Romberg.

La primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio, designadaspor I j,1, donde j=1 indica una aplicación con un solo segmento (el tamaño de

paso es b-a) , j=2 corresponde a una aplicación con dos segmentos [el tamaño de

paso es (b-a)/2], j=3 corresponde a una aplicación de cuatro segmentos [el

tamaño de paso es (b-a)/4], y así sucesivamente. Las otras columnas de la matriz

se generan mediante la aplicación sistemática de la ecuación para obtener

sucesivamente mejores estimaciones de la integral.

Si TN.1es el valor calculado de la integral (en donde 2N corresponde al número deintervalos los de 1 es el orden del polinomio de interpolación usado):

Usado para el cálculo numérico la fórmula de los trapecios. T0, 1 sería el primer

estimado; es decir, usando directamente las fórmulas de los trapecios;

T1,1 sería el estimado para dos intervalos idénticos de ancho (b-a)/2:

Simplificado,


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Método de Romberg

Se trata de resolver el mismo ejercicio propuesto en el ejercicio anterior, pero

utilizando ahora el método de Romberg. Es importante señalar que el

procedimiento de calculo, todos los resultados I2n=corresponden exactamente a

la primera fila de la tabla de Romberg. Los valores subsiguientes se obtienen delas formulas de extrapolación de Richardson:

Tabla de Romberg

i/j

1 2 3 4 5

0 0,362707725 0,369382672 0,3693364500 0,3693364529 0,3693364529

1 0,367713935 0,369365636 0,3693364529 0,3693364529

2 0,368995271 0,369364598 0,3693364529

3 0,3369261626 0,3693364534


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B. Halle el valor de la integral

El valor reportado por las calculadoras es de 98,4276846 (utilizando el método de

Romberg). Para todos los métodos se utilizan n=6, por lo que H=(3-0)/6=0.5

Trapecios:

I= [f(0)+2f(0,5)+2f(1)+ 2f(1,5)+ 2f(2)+ 2f(2,5)+ f(3)]

I=104,6479952

% Error = 6,319 %

Simpson 1/3

I= [f(0)+4f(0,5)+2f(1)+ 4f(1,5)+ 2f(2)+ 4f(2,5)+ f(3)]

I= 98,64418613

% Error = 0,219 %

Simpson 3/8

I= [f(0)+3f(0,5)+3f(1)+ 2f(1,5)+ 3f(2)+ 3f(2,5)+ f(3)]

I= 98,89111022

% Error = 0,471 %

Romberg con extrapolación de Richardson:


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Resolviendo de igual manera para los demás y aplicando la fórmula de

extrapolación de Richardson, se obtiene:

…

271,1547485

150,7030748 110,5525169

112,2683938 99,45683347 98,71712124

101,9404118 98,49775113 98,43381231 …

99,3092397 98,43216136 98,42778871 …

98,64828042 98,42796597 98,42769628 … 98,42768319

% Error = 1,43x10-6 c/c


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MÉTODO DE CUADRATURA DE GAUSS

En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una

integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura

que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma

igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado

2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n.

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un

polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita

como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es

conocido.

Cuadratura de Gauss

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración

cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El

investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera

óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el

intervalo [a, b] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error

esperado que se obtiene al efectuar la aproximación:

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un

polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita

como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


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Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero

tenemos que cambiar los límites de integración a [-1, 1] mediante la siguiente

formula:

Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que

quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:

Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros

términos estén en función de “Z”.

Para tal caso queda la siguiente función:


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Este caso fue resuelto con dos puntos pero el método de Gauss puede extenderse

a 3, 4 ó más puntos, el algoritmo general ya en función de z tiene la forma de:

Así también puede expresarse de la siguiente forma:

Donde los valores de wi y zi se extraen de la siguiente tabla:

No. de Puntos Coeficientes wi Raíces zi

2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.5773502

3 w1= w3 = 0.55555

w2= 0.88888

-z1 = z3 = 0.7745966

z2 = 0.0

4 w1 = w4 = 0.3478548451

w2 = w3 = 0.6521451549

-z1 = z4 = 0.861136311

-z2 = z3 = 0.33998104

5 w1 = w5 = 0.2369268850

w2 = w4 = 0.4786286705

w3 = 0.56888888

-z1 = z5 = 0.90617984

z3 = 0.0

-z2 = z4 = 0.53846931

6 w1 = w6 = 0.1713244924

w2 = w5 = 0.3607615730

w3 = w4 = 0.4679139346

-z1=z6=0.9324695142

-z2=z5=0.6612093865

-z3=z4=0.2386191861

Por ultimo determinamos el número de puntos en que queremos dividir nuestro

intervalo, mientras más puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.


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El método de cuadratura de Gauss está diseñado para que cuando se use dos

puntos obtener exactitud en polinomios cúbicos, con tres puntos en polinomios de

cuarto grado y así sucesivamente.

MÉTODO DE EULER

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, el método de Euleres la primera aproximación de solución. Consideremos un sistema de variables

que dependen de Las ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la

siguiente forma: Escogiendo un paso de

pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para

calcular los valores de en el tiempo se necesitan conocer en el tiempo

La fórmula sería: Entonces paraaveriguar los valores de a cualquier basta conocer sus valores iníciales

(condiciones iníciales a y resolviendo iterativamente con un paso hastallegar a ese valor de

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significadogeométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial ytrazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al puntode tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una

aproximación al valor deseado

http://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/sumato/sumato.shtml#SOLUCIONhttp://www.monografias.com/trabajos11/teosis/teosis.shtml


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Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación

diferencial dada en el punto De los cursos de Geometría Analítica, sabemosque la ecuación de la recta es:

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la rectatangente se calcula con la derivada:

MÉTODOS DE RUNGE KUTTA

Los métodos de Taylor tienen la propiedad de un error local de truncamiento deorden superior, pero la desventaja de requerir el cálculo y la evaluación de las

derivadas de f(t, y). Esto resulta algo lento y complicado, en la mayoría de losproblemas, razón por la cual, en la práctica casi no se utilizan. El método de Euler,lamentablemente requiere de un paso muy pequeño para una precisión razonable.

Los métodos de Runge kutta tienen el error local de truncamiento del mismo ordenque los métodos de Taylor, pero prescinden del cálculo y evaluación de lasderivadas de la función f (t, y).

Se presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intentaaproximar:

(1)

Como en los métodos anteriores, se determina primero la malla {t0, t1, ... , tN} depaso h, donde t0 = a y tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener laaproximación de la solución.

http://www.monografias.com/trabajos28/geometria/geometria.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos28/geometria/geometria.shtml


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En esencia, los métodos de Runge-Kutta son generalizaciones de la fórmulabásica de Euler yi+1 = yi + h f(ti, yi) en los que el valor de la función f se reemplazapor un promedio ponderado de valores de f en el intervalo t i ≤ t ≤ ti+1, es decir,

(2)

En esta expresión las ponderaciones wi, i = 1, ..., m son constantes para las queen general se pide que su suma sea igual a 1, es decir, w1 + w2 + ... + wm = 1, ycada k j es la función f evaluada en un punto seleccionado (t, y) para el cual t i ≤ t ≤ti+1. Se mostrará que los k j se definen en forma recursiva.

Se define como orden del método al número m, es decir, a la cantidad de términosque se usan en el promedio ponderado.

Runge-Kutta de primer orden

Si m = 1, entonces se toma w1 = 1 y la fórmula (2) resulta

(3)

Igualando esta fórmula al desarrollo de Taylor de orden 1 de la función y(t),alrededor del punto ti, y calculado en el punto t i+1:

(4)

y teniendo en cuenta que y i @ y(ti), resulta k1= f(ti, yi), obteniendo así la fórmula deEuler yi+1 = yi + h f(ti, yi). Por lo tanto, se dice también que el método de Euler es unmétodo de Runge Kutta de primer orden.

Runge-Kutta de segundo orden

Ahora se plantea, con m = 2, una fórmula del tipo:

(5)

donde

(6)


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y las constantes a, b, a, b se deben determinar, de manera que la expresión (5)coincida con el desarrollo de Taylor de y de orden más alto posible.

Para ello, utilizando un desarrollo de Taylor para funciones de dos variables,tenemos que:

(7)

donde el subíndice i indica que todas las derivadas están evaluadas en el punto (t i,yi).

Reemplazando k1 y teniendo en cuenta la expresión de k2, usando (7) tenemosque:

Agrupando los términos de (8) por las potencias de h, y reemplazando en laexpresión (5) el valor de k1 y k2, resulta

(9)

Reacomodando términos en (9), resulta:

(10)

Por otro lado, se hace un desarrollo de Taylor de orden 3 de la función y(t),calculado en el punto t i+1, obteniendo:

(11)


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Aplicando regla de la cadena para las derivadas de f, se tiene:

(12)

Comparando las expresiones (10) y (12), e igualando los coeficientes de h y h 2, setiene:

(13)

Sucede que se tienen cuatro incógnitas, pero tres ecuaciones, con lo que queda

un grado de libertad en la solución del sistema dado en (13). Se trata de usar estegrado de libertad para hacer que los coeficientes de h3 en las expresiones (10) y(12) coincidan. Esto obviamente no se logra para cualquier f.

Hay muchas soluciones para el sistema (13), una de ellas es

(14)

obteniendo así la siguiente fórmula, del método de Runge Kutta de orden 2:

(15)

para i desde 0 hasta N-1, tomando un mallado {t i, i = 0, .., N}

Este método tiene un error local de O(h

3

), y global de O(h

2

).Mejora entonces el método de Euler, por lo que se espera poder usar con estemétodo un paso mayor. El precio que debe pagarse en este caso, es el de evaluardos veces la función en cada iteración.

De la misma manera que se realizó arriba, se pueden derivar fórmulas de Runge-Kutta de cualquier orden, pero estas deducciones resultan excesivamente


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complicadas. Una de las más populares, y más utilizada por su alta precisión, es lade orden 4, que se presenta a continuación.

Implementación del método RK4

Se presenta a continuación el pseudocódigo del método RK4, para serimplementado en cualquier lenguaje de programación, o software simbólico.

Documents

Apuntes analisis.pdf