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Apuntes de Calculo Numerico

Juan Manzanero Torrico

2do. Cuatrimestre curso 2013-14

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Indice general

1. El Error en la Interpolacion Polinomica 51.1. El error de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Nodos equiespaciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Nodos de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Nodos de Chebyshev-Gauss-Radau y Chebyshev-Gauss-Lobatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1. Comparativa de las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. El error con interpolantes a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Cuadratura Numerica 152.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Obtencion de formulas de cuadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Formulas de cuadraturas cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Integracion numerica compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Formulas de cuadraturas abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Cuadratura Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

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4 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

El Error en la Interpolacion Polinomica

1.1. El error de interpolacion

Teorema 1.1 Sea f ∈ [a, b] con N ≥ 1 derivadas contınuas en [a, b] y sea P (x) el polinomio de grado n que interpolaa f en los n+ 1 puntos x0, x1, ..., xn del intervalo [a, b]. Entonces ∀x ∈ [a, b] ∃ξ ∈ (a, b) tal que:

f(x)− P (x) =1

(n+ 1)!f (n+1)(ξ)

n∏i=0

(x− xj) (1.1)

Demostracion: Como es sabido la expresion del interpolante de grado N que pasa por {x0, x1, · · · , xN} es PN (x) =c0 + c1(x−x0) + c2(x−x0)(x−x1) + · · ·+ cN−1(x−x0)(x−x1) · · · (x−xN ) siendo cj = f [x0, x1, · · · , xj ] la diferenciadividida de orden j. Se construye la funcion g(t) definida como:

g(t) = f(t)− p(t)− (f(x)− p(x))

N∏i=0

t− xix− xi

t ∈ [a, b] x 6= xi

y como f(x) ∈ CN+1[a, b] entonces g ∈ CN+1[a, b] . Esta funcion ademas cumple que:

g(xk) =��

��:0

f(xk)− p(xk)− (f(x)− p(x))

N∏i=0

��: 0

xk − xix− xi

= 0

g(x) = f(x)− g(x)− (f(x)− g(x))

N∏i=0�

��>

1x− xix− xi

= 0

entonces segun lo argumentado, como g(x) ∈ CN+1 y posee N + 2 ceros en [a,b], su N + 1-esima derivada, g(N+1)

tendra un unico cero en un punto ξ ∈ [a, b]1:g(N+1)(ξ) = 0

El valor de la N + 1-esima derivada de g(t) es:

g(n+1)(t) = f (N+1)(t)− P (N+1)n (t)− (f(x)− g(x))

(N + 1)!∏Ni=0(x− xi)

y particularizada en ξ se obtiene la expresion del error:

0 = f (N+1)(ξ)− (f(x)− p(x))(N + 1)!∏Ni=0(x− xi)

−→ f(x)− p(x) =1

(N + 1)!f (N+1)(ξ)

N∏i=0

(x− xi)

De esta forma, el termino f (n+1)(ξ)/(n+ 1)! nos cuantifica el error y el termino (x− x0)(x− x1) · · · (x− xn) permiteanalizar cualitativamente el error.

1Segun el teorema de Rolle

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6 CAPITULO 1. EL ERROR EN LA INTERPOLACION POLINOMICA

Resulta interesante, pues, destacar que la forma del error solo depende de la distribucion de nodos sobre la que se hadividido el espacio x ∈ [a, b].

Si∣∣f (n+1)(ξ)

∣∣ ≤ K es una cota superior de f en x ∈ (a, b) entonces se cumple que:

∣∣f(x)− P (x)∣∣ ≤ ∣∣x− x0∣∣∣∣x− x1∣∣ · · · ∣∣x− xn∣∣ K

(n+ 1)!(1.2)

Como es fundamental conocer la distribucion de puntos en la que se ha dividido el espacio, a continuacion se presentanlos mas usuales.

1.2. Nodos equiespaciados

Son los nodos mas sencillos. Su regla general es:

xj = −1 + 2j

n, j = 0, · · · , n (1.3)

La forma que adopta el error de interpolacion es la representada:

Figura 1.1: Error de interpolacion con nodos Equiespaciados

(a) Escala lineal (b) Escala logarıtmica

Figura 1.2: Valor maximo del error de interpolacion con nodos Equiespaciados

1.3. NODOS DE CHEBYSHEV 7

1.3. Nodos de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev Tk(x), k = 0, 1, · · · se deducen del problema de Sturn-Liouville

(√

1− x2T ′k(x))′ +k2√

1− x2Tk(x) = 0 (1.4)

cuya solucion se obtiene a partir de la relacion recursiva

Tk+1 = 2xTk(x)− Tk−1(x) (1.5)

con las condiciones iniciales T0 = 1 y T1 = x.

Haciendo el cambio de variable tanto en la funcion como en la variable:

x = cosθ

Tn(x) = cosnθ

La anterior relacion se cumple de forma automatica:

cosnθ = 2cosθcos(n− 1)θ − cos(n− 2)θ (1.6)

(Tn = 2xTn−1 − Tn−2)

De esta forma se obtiene que la funcion de error viene dada por:

Π(x) = Kcos(n+ 1)θ (1.7)

donde la constante K depende del numero de nodos en los cuales se realiza la discretizacion. Una vez obtenida lafuncion de error los nodos se obtienen de hallar sus ceros:

Π(x) = 0 −→ cos(n+ 1)θj = 0 −→ (n+ 1)θj =π

2+ jπ (1.8)

obteniendo ası los nodos de Chebyshev

xj = cos((2j + 1)π

2n+ 2) (1.9)

Figura 1.3: Error de interpolacion con nodos de Chebyshev-Gauss


Por supuesto estos nodos tienen sentido para una interpolacion entre −1 ≤ x ≤ 1, si se pretende interpolar f(x) entre(a, b) simplemente hay que hacer el cambio de variable:

η =2x− b− ab− a

(1.10)

de tal forma que x ∈ (a, b) y η ∈ (−1, 1).

Derivando la expresion de la derivada de la funcion de error Π(x) es posible obtener los puntos en los cuales se alcanzael maximo error:

Π′(x) = 0 −→ Ksin[(n+ 1)θj ](n+ 1)

sinθj= 0 −→ θj =

πj

n+ 1−→ yj = cos(

πj

n+ 1) (1.11)

Y los valores maximos que alcanzara (obviamente sera en estos puntos) valdran Π(x) = K(−1)n.

El valor de esta K se puede hallar de forma analıtica, ya que como se ha argumentado, los nodos de Chebyshev seeligen de forma que el error esta acotado por este valor. De esta forma se tiene que:

Teorema 1.2 Sea f(x) ∈ [−1, 1] (si es f ∈ [a, b] realizar la transformacion para trasladar a [−1, 1]) y sean xj losnodos de Chebyshev para interpolar f(x) en N + 1 nodos, entonces se cumple que:

x = cosθ, Tk(x) = cosnθ −→ Π(x) = K · cos(N + 1)θ siendoK = 2−N (1.12)

K = 2−N

Demostracion: Los nodos de Chebyshev se obtienen de obtener los ceros de los polinomios de Chebyshev, de tal formaque si se dispone de N+1 nodos, el polinomio de menor orden que contiene esa cantidad de ceros es TN+1 = cos(N+1)θ.No se debe olvidar que los polinomios de Chebyshev provienen de la relacion de recurrencia TN+1(x) = 2xTN (x) −TN−1(x) de tal forma que los primeros polinomios son:

T0(x) = 1

T1(x) = x = cosθ

T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1 = cos2θ

T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 4x3 − 3x = cos3θ

T4(x) = 2xT3(x)− T2(x) = 8x4 − 8x2 + 1 = cos4θ

Todo polinomio se puede expresar como PN (x) = a(x− x0)(x− x1) · · · (x− xN ) donde a es el factor que multiplica altermino de mayor orden. Para los polinomios de Chebyshev se obtiene que a = 2N−1 sin mas que ver la relacion derecurrencia, por lo que es posible afirmar:

cos(N + 1)θ = 2N (x− x0)(x− x1) · · · (x− xN ) = 2NΠ(x) −→ Π(x) = 2−N︸︷︷︸K

cos(N + 1)θ


Figura 1.4: Valor maximo del error de interpolacion con nodos Chebyshev-Gauss

1.4. NODOS DE CHEBYSHEV-GAUSS-RADAU Y CHEBYSHEV-GAUSS-LOBATTO 9

1.4. Nodos de Chebyshev-Gauss-Radau y Chebyshev-Gauss-Lobatto

Otra alternativa a los nodos de Chebyshev-Gauss son los nodos de Chebyshev-Gauss-Radau y los nodos deChebyshev-Gauss-Lobatto:

xj = cos2πj

2n+ 1(Chebyshev −Gauss−Radau) (1.13)

xj = cosπj

n(Chebyshev −Gauss− Lobatto) (1.14)

De esta forma, para los nodos de Chebyshev-Gauss-Radau se obtiene una configuracion con n = 10 nodos como la quese muestra en la figura:

Figura 1.5: Error de interpolacion con nodos de Chebyshev-Gauss-Radau


Figura 1.6: Valor maximo del error de interpolacion con nodos Chebyshev-Gauss-Radau

De la misma manera para la distribucion Chebyshev-Gauss-Lobatto:


Figura 1.7: Error de interpolacion con nodos de Chebyshev-Gauss-Lobatto


Figura 1.8: Valor maximo del error de interpolacion con nodos Chebyshev-Gauss-Lobatto

1.5. EL ERROR CON INTERPOLANTES A TROZOS 11

1.4.1. Comparativa de las distribuciones

Superponiendo en el mismo grafico todas las distribuciones de error vistas hasta ahora:

Figura 1.9: Error de interpolacion

1.5. El error con interpolantes a trozos

En este apartado, se considerara la interpolacion de una funcion f(x) en (−1, 1) en N + 1 puntos mediante inter-polantes a trozos de orden 2m+ 1 (para que el grado sea impar y siempre este centrado en uno de los nodos).

Si la interpolacion se diera mediante interpolante contınuo (de grado N) el error de interpolacion serıa

Π(x) =

N∏k=0

(x− xk)

sin embargo, al emplear interpolantes a trozos o splines, la expresion del error cambia sutilmente:

Πj(x) =

k=j+m∏k=j−m

(x− xk) (1.15)

donde el subındice j expresa que el interpolante esta centrado en el nodo xj .

El error, sin embargo, difiere en la funcion Π(x) en una constante que depende de la funcion (y es lo unico que dependede esta):

E(x) =Π(x)

(N + 1)!f (N+1)(ξ) (Interpolacion continua) (1.16)

Ej(x) =Π(x)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) (Interpolacion a trozos) (1.17)

Derivando la expresion del error para obtener su valor en los puntos nodales (donde hacemos colocacion, es decir,donde nos interesa):

E′j(x) =Π′j(x)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) +

Πj(x)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ)

dξ

dx(1.18)

E′j(xj) =Π′j(xj)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) +

��: 0

Πj(xj)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ)

dξ

dx=

Π′j(xj)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) (1.19)


Donde Π′j(xj) es la derivada de la funcion error de interpolacion centrada en el nodo xj y particularizada en uno delos nodos (el propio xj o por ejemplo tambien un extremo xj+m).

Π′(xl) =

k=j+m∏k=j−m

k 6=l

(xl − xk) (1.20)

Por ejemplo la derivada del error en el punto en el cual se centra el interpolante

∣∣Π′(xj)∣∣ = (∆x · 2∆x · 3∆x · · ·m∆x)2 = (m!∆xm)2 = (m!)2∆x2m (1.21)

Y tambien en el punto extremo del dominio a trozos

∣∣Π′(xj+m)∣∣ = (∆x · 2∆x · 3∆x · · · 2m∆x) = (2m)!∆x2m (1.22)

De tal forma que como se verifica que (2m)! > (m!)2 la derivada del error en Π(x) es mucho mas acusada en losextremos que en punto en el que se realiza la colocacion.

El error de interpolacion es:

∣∣E′j(xj)∣∣ =Π′j(xj)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) =

(m!)2∆x2m

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) (Puntomedio) (1.23)

∣∣Ej(xj+m)∣∣ =

Π(x)

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) =

(2m)!∆x2m

(2m+ 1)!f (2m+1)(ξ) (Punto extremo) (1.24)

Por ejemplo, con una distribucion de nodos equiespaciada entre (−1, 1) con N + 1 nodos el espaciado sera ∆x = 2/Ny en funcion del numero de nodos con los que se construya el interpolante se tiene:

m = 1

{ ∣∣E′j(xj)∣∣ = ∆x2∣∣E′j(xj+1)∣∣ = 2∆x2

m = 2

{ ∣∣E′j(xj)∣∣ = 2∆x4∣∣E′j(xj+2)∣∣ = 4!∆x4

m =N

2

{ ∣∣E′j(xj)∣∣ = (N2 )!∆xN∣∣E′j(xj+m)

∣∣ = N !∆xN

La utilidad de estas derivadas reside en poder determinar la pendiente de la curva Πmax(N) tomando ademas m comoparametro, de tal forma que, tomando logaritmos y teniendo en cuenta que ∆x = 2/N :

log(∣∣Πmax

∣∣) ∝ −(2m+ 1) · logN

1.5. EL ERROR CON INTERPOLANTES A TROZOS 13

Figura 1.10: Error con interpolantes a trozos


Capıtulo 2

Cuadratura Numerica

2.1. Introduccion

El objetivo del capıtulo es la obtencion de:

I(f) =

∫ b

a

f(x)dx

siendo [a, b] un intervalo cerrado y compacto.

El termino cuadratura numerica difiere del termino integracion numerica: el primero se refiere al calculo numerico de∫ b

af(x)dx mientras que el segundo se reserva para referirse a la resolucion de ecuaciones diferenciales.

Supongamos f(x) a aproximar, y g(x) la funcion que aproxima. Entonces, si∣∣f(x)− g(x)

∣∣ ≤ ε ocurre que:

∣∣f(x)− g(x)∣∣ ≤ ε −→ ∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

g(x)dx

∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣b− a∣∣ε (2.1)

Ademas ocurre que la integracion numerica es mucho mas estable que la derivacion numerica ya que pequenas modi-ficaciones en la funcion a derivar pueden producir cambios drasticos en el valor de su derivada, mientras que esto noocurre en la integracion.Los metodos de integracion numerica se basan en los metodos de aproximacion de funciones mediante polinomiosinterpolantes, de tal forma que al final el resultado se reducira a calcular:

IN (f) = α0f(x0) + α1f(x1) + · · ·αNf(xN ) =

j=N∑j=0

αjf(xj) (2.2)

siendo {x0, x1, · · · , xN} una particion de [a, b] (“Nodos de cuadratura”) y {α0, α1, · · · , αN} los pesos o coeficientes decuadratura.

El objetivo se convierte en hallar la combinacion lineal que aproxime el valor de la integral:

I(f) ' IN (f)←→ I(f) = IN + EN (f)

Se define el grado de exactitud de la formula de cuadratura como el grado del polinomio para el cual lacuadratura obtiene el valor exacto.

2.2. Obtencion de formulas de cuadratura

Supongamos {x0, x1, · · · , xN} ∈ [a, b] y sus respectivas fi = f(xi). El polinomio de grado N que pasa por estospuntos es1:

PN (x) = F0l0(x) + F1l1(x) + · · ·+ F (xN )lN (x)

1Utilizando la forma de Lagrange

15

16 CAPITULO 2. CUADRATURA NUMERICA

Ademas conocemos la expresion que estima el error:

f(x) = PN (x) +

N∏j=0

(x− xj)f (N+1)(ξ)

(N + 1)!, ξ ∈ [a, b]

integrando ambos: ∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

PN (x)dx+

∫ b

a

N∏j=0

(x− xj)f (N+1)(ξ)

(N + 1)!dx︸︷︷︸

EN+1

= IN+1(f) + EN+1(f)

como conocemos la expresion de PN (x) con la forma de Lagrange

PN (x) = F0l0(x) + F1l1(x) + · · ·+ F (xN )lN (x)∫ b

a

f(x)dx = f0

∫ b

a

l0(x)dx︸︷︷︸α0

+ · · ·+ fN

∫ b

a

lN (x)dx︸︷︷︸αN

+

∫ b

a

N∏j=0

(x− xj)f (N+1)(ξ)

(N + 1)!dx (2.3)

De aquı una vez mas se concluye que si f(x) es un polinomio de grado N entonces el error es identicamente nulo yaque f (N+1)(x) = 0 ∀x. Dado {x0, x1, · · · , xN} se obtienen un conjunto de pesos (los αj) que hacen que el grado deexactitud sea N .

2.3. Formulas de cuadraturas cerradas

SeanN+1 puntos equiespaciados en el intervalo [a, b]. Variando el valor deN se obtienen las formulas de cuadraturascerradas o de Newton-Cotes mediante (2.3):

xj = a+ ∆x · j, j = 0, · · · , N, ∆x =b− aN

N = 1 :Regla del trapecio I(f) =∆x

2(f0 + f1) + o(∆x3) (2.4)

N = 2 :Regla de Simpson I(f) =∆x

3(f0 + 4f1 + f2) + o(∆x4) (2.5)

N = 3 :Regla de Simpson3

8I(f) =

3∆x

8(f0 + 3f1 + 3f2 + f3) + o(∆x5) (2.6)

N = 4 :Regla de Newton-Cotes I(f) =2∆x

45(7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4) + o(∆x6) (2.7)

Gracias a la aproximacion del error resulta muy intuitivo confirmar que este resulta tremendamente influido por lamagnitud del intervalo ∆x, ya que por ejemplo en la formula del trapecio reducir el intervalo a la mitad se traduce enreducir en 1/8 el error.

Se trabajara, pues, con interpolantes a trozos, ya que el error sera mucho menor, lo que da lugar a las reglas deintegracion numerica compuesta

2.4. Integracion numerica compuesta

Esta claro que cualquiera de las formulas de Newton-Cotes producen un resultado mas preciso cuanto menor sea lalongitud del intervalo de integracion [a, b] ya que hace disminuir el paso de integracion ∆x. Normalmente el interva-lo de integracion es grande lo que darıa lugar a formulas con un numero elevado de nodos (mas complicadas de obtener).

En lugar de utilizar un polinomio de grado alto se descompondra dicho intervalo en subintervalos mas pequenos y encada uno de ellos se emplean las formulas de Newton-Cotes de orden bajo (trapecio o Simpson).

2.5. FORMULAS DE CUADRATURAS ABIERTAS 17

Regla compuesta del trapecio: Subdividimos el intervalo de integracion [a, b] en N subintervalos de anchura∆x = (b− a)/N . En cada uno de dichos subintervalos la regla del trapecio produce el resultado:

Ii(f) =

∫ xi+1

xi

f(x)dx =∆x

2[f(xi) + f(xi+1)] + o(∆x3)

Sumando todas las integrales:

I(f) =

N−1∑i=0

Ii(f) =

N−1∑i=0

∫ xi+1

xi

f(x)dx =

N−1∑i=0

∆x

2[f(xi) + f(xi+1)] =

∆x

2[f(a) + 2

N−1∑i=1

f(xi) + f(b)] + o(∆x2)∣∣2 (2.8)

La regla del trapecio compuesta sigue siendo de orden 1, es decir, es exacta a la hora de integrar una recta (y ademasse gana el poder integrar rectas diferentes a tramos si los cambios en la definicion se dan en los nodos).

Regla compuesta de Simpson: Este metodo presenta una dificultad adicional, ya que el numero N desubintervalos ha de ser par para poder aplicar la regla de Simpson simple cada dos subintervalos consecutivos. Entoncessea N = 2m, se cumple ∆x = (b− a)/2m. A cada par de intervalos se le aplicara la formula:

I2i(f) =

∫ x2i+2

x2i

f(x)dx =∆x

3[f(x2i) + 4f(x2i+1) + f(x2i+2)] + o(∆x5), i = 0, 1, · · · ,m− 1

Cuando se suman las contribuciones de cada par de intervalos se obtiene la integral por la regla compuesta de Simpson:

I(f) =

m−1∑i=0

I2i(f) =∆x

3[f(x0) + 2

m−1∑i=1

f(x2i)︸︷︷︸pares

+4

m∑i=1

f(x2i+1)︸︷︷︸impares

+f(x2m)] + o(∆x4) (2.9)

2.5. Formulas de cuadraturas abiertas

Las formulas abiertas de Newton-Cotes tienen su utilidad en que se evita evaluar la funcion f(x) a integrar en losextremos del intervalo de integracion. Resulta util cuando el valor de f es desconocido en los extremos o bien cuandola integral es impropia.

Se tienen N + 1 nodos en el intervalo x ∈ [a, b]. En este caso es ∆x = (b− a)/(N + 2) y se considerara x0 = a+ ∆x yxN = b−∆x y los extremos son x−1 = a y xN+1 = b. En funcion del valor elegido de N se obtienen diferentes reglasde integracion:

N = 0 :Regla del punto medio

∫ x1

x−1

f(x)dx =2∆xf0 + o(∆x3) (2.10)

N = 1 :

∫ x2

x−1

f(x)dx =3∆x

2(f0 + f1) + o(∆x3) (2.11)

2NO es una errata, efectivamente se pierde precision ya que se han sumado N terminos o(∆x3) con ∆x ∼ N−1

18 CAPITULO 2. CUADRATURA NUMERICA

Figura 2.1: Newton cotes abiertas

2.6. Cuadratura Gaussiana

Sean {x0, x1, · · · , xN ;α0, α1, · · · , αN} el objetivo de la cuadratura Gaussiana es buscar la mejor aproximacion de3:

∫ b

a

f(x)dx =

N∑j=0

αjf(xj) +

∫ b

a

N∏j=0

(x− xj)f (N+1)(ξ)

(N + 1)!dx (2.12)

Entonces consiste en mantener el mismo conjunto de puntos y se fuerza a que el error sea nulo. Sabiendo que:

f (N+1)(ξ)

(N + 1)!= f [x0, x1, · · · , xN , x] (2.13)

Entonces, la mejor eleccion para ~x y ~α sera aquella que permita obtener el resultado exacto para polinomios delmayor grado posible.

Ejemplo N=1 El intervalo de integracion sera [−1, 1]. El objetivo es determinar α1, α2, x1, x2 de tal forma que

la formula de integracion∫ 1

−1 f(x)dx ' α1f(x1) + α2f(x2) ofrece el resultado exacto cuando f(x) es un polinomio

de grado 2(2) − 1 = 3 o menor, es decir, cuando f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3,∀a0, a1, a2, a3. Entonces decir quef(x) = f(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 posee integral exacta equivale a afirmar que tambien la tienen {1, x, x2, x3}.

Integrando cada uno de ellos:

α1 · 1 + α2 · 1 =

∫ 1

−11dx = 2 (2.14)

α1 · x1 + α2 · x2 =

∫ 1

−1xdx = 0 (2.15)

α1 · x21 + α2 · x22 =

∫ 1

−1x2dx =

2

3(2.16)

α1 · x31 + α2 · x33 =

∫ 1

−1x3dx = 0 (2.17)

La solucion de este sistema es unica y es:

α1 = 1, α2 = 1, x1 = −√

3

3, x2 =

√3

3

3Notar que el grado de exactitud de la expresion es N

2.6. CUADRATURA GAUSSIANA 19

y permite obtener la formula de cuadratura gaussiana∫ 1

−1f(x)dx ' f(−

√3

3) + f(

√3

3) (2.18)

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