Apuntes de Clase Física de Plasmas

Fsica de plasmas y sus aplicaciones.Notas para el curso de Fsica de Plasmas.

20 de julio de 2015

1

Introduccin.Este texto presenta en forma abreviada los temas del curso deFsica de Plasmas y sus aplicaciones, y como tal se pretende queste sea una guia y base para el estudio requerido en el curso. Alnal de este documento se encuentran las referencias utilizadas parael desarrollo del texto. A pesar de que en este documento solo seabordan temas basicos de la gran rama de la fsica de plasmas,es importante tener en cuenta que algunos campos de la sica deplasmas se encuentran en pleno desarrollo; y por lo tanto nuevasaplicaciones y conceptos emergentes no son extraos en su contexto.

ndice general1. Concepto de plasma y trminos relacionados.Plasma

5

1.1.

Concepto de

1.2.

Tipos de plasmas

1.3.

Diagrama

1.4.

Ecuaciones que gobiernan el plasma . . . . . . . . . .

8

1.5.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Ecuacin de Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5.1.

n

vs.

T

La descripcion de movimiento para particulasindividuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.2.

La descripcion cintica. . . . . . . . . . . . . .

8

1.5.3.

La descripcion de uido.

. . . . . . . . . . . .

9

1.6.

Temperatura y constante de Boltzmann . . . . . . . .

9

1.7.

Oscilaciones del plasma . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.8.

Longitud de Debye

11

1.9.

Criterio para plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10. Aplicaciones de plasmas1.10.1. Fusin Nuclear

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10.2. Descargas electricas en gases.

14

. . . . . . . . .

15

1.10.2.1. Tipos de descargas . . . . . . . . . .

16

1.10.3. Astrosica.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.10.4. Maquinas de propulsin. . . . . . . . . . . . .

17

2. Movimiento de partculas individuales.2.1.

1314

20

Las ecuaciones Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1.

20

Ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1.1.

Derivacin de la ley de Gauss desdela ley de Coulomb. . . . . . . . . . .

20

2.1.2.

La ley de Gauss del magnetismo.

2.1.3.

La ley de Faraday.

2.1.4.

La ley de Ampere con la correccion de Maxwell. 22

2

. . . . . . .

21

. . . . . . . . . . . . . . .

21

3

NDICE GENERAL

2.1.5.

Obtencion de la ecuacion de onda a partir delas ecuaciones de Maxwell

2.2.

. . . . . . . . . . .

Movimiento de partculas en un campo electrico ymagntico uniforme.2.2.1.

B uniforme y2.2.1.1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

E=0.

. . . . . . . . . . . . . .

2.2.3.

2424

Relacion de conservacion para campo magnetico uniforme . . . . . . . .

2.2.2.

26

Movimiento de partculas con B y E uniformes. 26Movimiento en campo gravitacional y campomagnetico uniforme.

2.3.

22

. . . . . . . . . . . . . .

Movimiento en un campo magnetico no uniforme

28

. .

28

2.3.1.

Gradiente de B perpendicular a B . . . . . . .

28

2.3.2.

B curvado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.3.

Espejos magneticos . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.

Movimiento en un campo electrico no uniforme

2.5.

Campo magnetico no constante (variante en el tiempo) 30

. . .

2.6.

Campo electrico no constante (variante en el tiempo)

30

2.7.

Invariantes adiabaticas . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.7.1.

Primera invariante adiabatica

. . . . . . . . .

30

2.7.2.

Segunda invariante adiabatica . . . . . . . . .

30

2.7.3.

Tercera invariante adiabatica

30

. . . . . . . . .

3. Descripcion de plasma como un uido.3.1.

30

31

La ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . .

31

3.1.1.

Derivada material.

31

3.1.2.

La ecuacin de continuidad.

3.1.3.

Descripcin3.1.3.1.

. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Aceleracion convectiva. . . . . . . . .

34

3.2.

La ecuacion de movimiento para un uido

. . . . . .

34

3.3.

Deriva del uido perpendicular al campo magnetico .

34

3.4.

Deriva del uido paralela al campo magnetico

34

. . . .

4. Ondas en plasmas

35

4.1.

Ondas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.2.

Velocidad de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.3.

Oscilaciones en el plasma . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.4.

Ondas de plasma para electrones

. . . . . . . . . . .

35

4.5.

Ondas de plasma para iones

. . . . . . . . . . . . . .

35

NDICE GENERAL

4

A. Solucin de ecuaciones diferenciales lineales homegneas.36

Captulo 1Concepto de plasma y trminos relacionados.

1.1.

Concepto de Plasma

Se puede decir que

plasma es un cuarto estado de la materia,

ya que ste posee propiedades particulares que los estados de gas,liquido o slido no presentan.Segun la denicin de

Chen [1]; un plasma es un gas cuasineutralcom-

de particulas electricamente cargadas y neutras que exhibe un

portamiento colectivo . El trmino cuasinetral indica que la densidadde carga negativa (electrones) es igual o similar a la densidad decarga positiva (iones positivos). Con comportamiento colectivo sequiere decir que las perturbaciones no actuan solamente de maneralocal en el plasma si no que todo el plasma idealmente se ve afectadorespondiendo de alguna manera a perturbaciones remotas.

1.2.

Tipos de plasmas

Los plasmas pueden ser descritos y diferenciados mediante variascaracteristicas como temperatura, densidad, grado de ionizacin ,neutralidad, entre otras.Se puede hablar de

plasmas calientes

(hot

plasmas ) cuando

el plasma se encuentra en un estado de equilibrio termodinamico.En este caso los electrones y las particulas pesadas estan a la mismatemperatura, i.e las distintas especias que componen el plasma estanen equilibrio termico. A estos plasmas se les conoce tambien comoplasmas termicos. Los

plasmas frios

(o

plasmas no termicos)

son plasmas en los que no se considera que exista el equilibrio ter-

5

CAPTULO 1.

CONCEPTO DE PLASMA Y TRMINOS RELACIONADOS.6

midinamico; esto puede suceder cuando las expecies de cargas tienendiferentes temperaturas (usualmente se considera que los electronestiene unas temperatura mucho mas alta que los iones, por el hechode la gran diferencia en la magnitud de las masas entre electronesy iones) o cuando la distribucion de velocidad de alguna de las especies no es una distribucion de Maxwell-Bolztmann. Son tipos deplasmas para cuales el movimiento termico de los iones puede serdespreciado o ignorado; y por lo tanto no se considera la fuerza dadapor la presion, y solo la fuerza electrica es considerada en la dinamica de las particulas. Se puede hablar de plasma

ultrafrios cuando

la temperatura est por debajo de 1 K[4].El grado de ionizacion

en un plasma se puede obtener mediante

la siguiente ecuacion:

=donde

ni

nini + nn

es el numero de iones, y

nn

(1.1)es el numero de atomos

neutro.Algunas veces a los plasmas calientes se les considera plasmatotalmente ionizados (i.e.

1),

y a los plasmas frios plasmas se

les considera parcialmente ionizados.Ademas, se considera

plasma ideal al plasma para el cual las

colisiones debidas a la fuerza de Coulomb son despreciables, en casocontrario al plasma se le llama

1.3.

plasma no ideal.

Diagrama n vs. T

En un diagrama de densidad

n

contra temperatura

T (n

y

T

siendo parametros esenciales para caracterizar plasmas) podemosubicar los distintos plasmas que se pueden encontrar naturalmente(como el plasma de la corona solar, o el plasma interestelar) o quese pueden ser producidos articialmente (como el plasma de lasers).La gura 1.1 es un diagrama tpico en donde se denen los rangoso intervalos para varios especies de plasmas.

1.4.

Ecuacin de Saha

Para que el plasma exista primero debe de existir un procesode ionizacion [falta]. La ecuacion de Saha determina el grado de

CAPTULO 1.


Figura 1.1: Diagrama de densidad de electrones vs. temperatura. Figura tomada de Wikimedia Commons.

ionizacion que puede experimentar un gas en equilibrio termico anicierta temperatura. La ecuacion en su forma completa es=nn

3/22pim2e(KT )3/2 ZZni e(Ui /KT ) , cuya forma simplicada es:neh2

niT 2/3 Ui /KT= 2,41021ennni

(1.2)

ni y nn son las densidades para iones y para atomos neutrosrespectivamente, T es la temperatura en Kelvin, K es la constantede Boltzmann (su magnitud se d en la siguiente seccion) y Ui es ladonde

energia de ionizacion (es decir, el umbral de energia para removerel electron mas externo (i.e mas debilmente ligado) de una tomo).Si se usa una temperatura de 300 K (

27C)

y una energia de

ionizacion de 14.5 eV en la ecuacion 1.2 el cociente resultante entrecantidad de iones y cantidad de atomos neutro es un numero muy120bajo, de una orden de 10, lo cual es de esperarse, pues nuestroambiente es un ambiente electricamente neutro. Si consideramos queen el espacio cercano a las estrellas la temperatura promedio esmucho mas alta que la experimetada en la atmosfera terrestre, y queademas la densidad en medios interestelares es muy baja, obtemossegun la ecuacin de Saha un conciente de ionizacion alto, y he ahi

CAPTULO 1.


la razn por la cual se dice que el plasma es un estado de ocurrenciamayor (si no se considera la

energia oscura y la materia oscura ) en

el universo.

1.5.

Ecuaciones que gobiernan el plasma

Para estudiar el comportamiento de un plasma se utilizan variosmodelos o descripciones. Tradicionalmente se utilizan los siguientesmodelos.

1.5.1. La descripcion de movimiento para particulas individuales.Este modelo describe el plasmas como iones y electrones individuales que se mueven en campos electricos y magneticos externos.El movimiensto de cada particula se describe a partir de la fuerzade

Lorentz . Mas adelante (capitulo 2) se ver que este movimiento

se puede ver muchas veces como la superposicion de un movimientooscilatorio (alrededor de un centro guia) y un movimiento de traslacin.

1.5.2. La descripcion cintica.El modelo cinetico describe la funcion de distribucion de velocidad localmente para cada punto del plasma. La descripcion cintica produce una funcion de distribucion con las variables de posicion

Boltzmann (tambien llamada la ecuacion de transporte de Boltzmann :y velocidad. Esta descripcion se logra resolviendo la ecuacion de

es una ecuacion que describe el comportameminto estadistico de unsistema termodinamico que no est en equilibrio termodinamico,es decir cuando hay cambios en las variables microscpicas como

Insertar ecuacion?) (cuando la interaccion debida aCoulomb es requerida) con la resolucion de la ecuacionde Vlasov (la ecuacion de Vlasov es una ecuacion diferencial que

temperatura.fuerzas de

describe la evolucion temporal para la interaccion de partcuals de

Insertar ecuacion? con la resolucion de la ecuacion de Fokker-PlanckInsertar ecuacion?un plasma bajo la accion de una campo electromagnetico)

La descripcion cintica es aplicable a plasmas que no consideran colisiones. Existen dos formas comunes de desarrollar el modelo

CAPTULO 1.


cintico, una es basada es la representacion de la funcione de distribucion en una cuadrcula de velocidad y posicion. La otra forma esconocida como PIC (particle

in a cell ), la cual da informacion basa-

do en el seguimiento de una gran numero de partculas individuales,de aqu se sigue que el modelo cintico es un modelo que requiereimplementacion computacional.

1.5.3. La descripcion de uido.Con el proposito de reducir complejidad del modelo; el modelo de uido hace una descripcion del plasma basado en cantidadesmacrascpicas, como velocidad media, energia media y densidad.El modelo mas comun dentro de esta descripcion es el modelo deMagnetohidrodinmica, ste modelo trata el plasma como un uido

Navier-StokesMaxwell (capitulo 2). El modelo de

simple utlizando para su descripcion las ecuaciones de(capitulo 3) y las ecuaciones de

uido es preciso o aproximaddo cuando el grado de colision entrelos elemetos del plasma es alto, de tal forma que se puede utilizarla distribucion de velocidad de

1.6.

Maxwell-Boltzmannn.

Temperatura y constante de Boltzmann

Segun el modelo cinetico molecular de los gases, desde una perspectiva microscopica

la temperatura es una medida de la energia

cinetica de las particulas que conforman determinado sistema. Considerando un distribucion de rapideces Maxweliana (es decir unadistribucion de la forma

f (u) = Ae

mv 22kT

, esta funcion describe la

distribicion estadistica de cierto parmetro de un sistema sico, eneste caso la velocidad de las partculas), se puede demostrar quela energia cinetica promedio por partcula para un sistema de una3densidad de particulas n (numero de partculas por m ) es:

1Eprom = KT2En la ecuacion (1.1)Joule/Kelvin) y

T

K

(1.3)

es la constante de Boltzmann (unidades

es la temperatura (unidades Kelvin)

K = 1,38123 J/K

(1.4)

CAPTULO 1.


La costante de Boltzmann se relaciona con la constante de losK = NRA ; donde R es constante de los gasesideales y NA es el numero de Avogadro.

gases ideales segun

La ecuacion (1.1) nos muestra en efecto el resultado del

Teore-

ma de la Equiparticion de la Energia , que nos dice que por cadagrado de libertad (tipos y dimensiones de movimiento) considerado1KT .2Para la ecuacion 1.3 se consider el movimiento en una dimension,en una partcula se asocia una energia cinetica promedio de

si se considera el movimiento en tres dimensiones se obtiene (segun el Teorema de Equiparticion de la Energia) la energia cineticapromedio por partcula:

3Eprom = KT2

(1.5)

y la energia cintica promedio para todas las partculas es Epromtotal3N KT ; donde N es el numero de partculas que conforman el sis2tema. La ultima ecuacion relacionada directamente K y T , es usualen sica de plasmas dar temperatura en unidades de energia. Si1,61019KT = 1eV, entonces T = 1,381023 = 11600 K. Es decir:

1 electronV olt 11600 Kelvin1.7.

(1.6)

Oscilaciones del plasma

En los plasmas existen oscilaciones rapidas debidas a perturbaciones en la densidad de carga de los electrones. Si se considera unplasmas electricamente neutro en equilibrio, es decir consideremosun gas con iones positivos en igual cantidad de electrones. Ahora seintroduce una perturbacion desplazando los iones con respecto a loselectrones, entonces se produciria una fuerza de restitucion debidaa la fuerza de Coulomb. Si el movimiento termico de los electroneses ignorado (electrones frios), se puede demostrar (ver capitulo 4)que los electrones oscilan con una frecuencia:

spe =

ne es la densidad electronica, m es la masa del electron, e esunidad de carga fundamental y 0 es la permitividad del espaciodonde

la

ne e 2m0

=

CAPTULO 1.


vacio. Si consideraramos el movimiento termico de los electrones(electrones calientes) su frecuencia de oscilacion cambia a :

2 2 = pe+

(k

3KB Te 2kme

donde KB es la constante de Boltzmann y k es el numero de onda2) y Te es la temperatura de los electrones.

=

1.8.

Longitud de Debye

Un plasma posee la propiedad de apantallar o cancelar potenciales electricos aplicados en l. Si en un plasma se inserta una esfera cargada electricamente se formar una nube de carga (de signoopuesto al de la carga de la esfera) como consecuencia de la fuerzade Coulomb existente entre las cargas. Cual es el grosor o longitud(sheath ) de esa nube de carga que se formar alrededor de la esfera yque se encargar de cancelar o apantallar el potencial introducido?La longitud o grosor de esa nube de carga es lo que se conoce como

Longitud de Debye . El limite o limbo de esta nube de carga se dardonde la energia potencial dada por el potencial introducido igualela energia termica de la cargas que componen el plasma.Para obtener la longitud de Debye primero debemos simplicarla situacin asumiendo que las unicas cargas moviles del plasma sonlos electrones (puesto que la razon de masa entre un ion positivo yun electron es muy grande, es decir la masa de un ion es muy grandecomparada con la de un electron, entonces esto nos permite decirque en cierta escala temporal los electrones se mueven y los ionespositivos comportan un segundo plano de carga positiva esttica).Partiendo de la ecuacion de

2 =donde

e

Poisson en una dimension:

d2 e= (ni ne )2dx0

es la carga elemental del electrn,

des para los iones y electrones, y

0

ni , ne

(1.7)son las densida-

es la constante de permitividad,

la cual describe como un medio es afectado por un campo electrico. Si consideramos una region alejada del potencial para la cual ladensidad de particulas es

n

, entonces si

0 ni = ne = n .

Cerca del potencial la distribucion para los electrones se describe

CAPTULO 1.


ne = n ee/KTe y como consideramos que los iones se mueven muy lentamente ni = n . Note que para cada especie de cargaexiste una temperatura de equilibrio, Te y Ti puesto que la razon de

segun

colisiones cambia para cada especie. Sustituyendo en la ecuacion dePoisson:

en e/KTed2 (e 1)(1.8)=2dx0Si consideramos que KTe e ; entonces podemos simplicar elP xnxexponencial segun la serie de Taylor ( e =n=0 n! ), manteniendosolo el termino lineal (n = 1, esta simplicaion se justica considerando que la region donde KTe < e no contribuye mucho al grosorde la distacncia de apantallamiento, puesto que el potencial decaemuy rapidamente en esa regin):

d2 n e 2=dx20 KTDe la ecuacion anterior se puede denir el parmetro de

(1.9)

longitud

de Debye :

D =donde

n = n .

0 KTene2

1/2(1.10)

Finalmente podemos considerar que la solucion

de la ecuacion 1.9 (ver Apendice A) es:

= 0 ex/D

(1.11)

Analizando la igualdad para la expresion para la longitud de Debye se pueden hacer las siguientes observaciones; primero que a mayordensidad de carga menor longitud de Debye (es decir habria un mejor apantallamiento). Segundo, si las cargas tuvieran tuvieran pocaenergia trmica la longitud de Debye disminuye, podriamos extrapolar esta idea para decir que en el caso de que la cargas no tenganenergia termica la longitud de Debye tiende a cero. Ademas se considera solo la temperatura de los electrones ya que son los electroneslas unicas cargas que se consideran moviles en nuestro sistema, yellos se encargan de realizar el apantallamiento. Si se consideratambien el movimiento de los iones la longitud de Debye toma laforma:

CAPTULO 1.


Plasma

Densidad (m32

Medio interestelar

10102010161012107106105

Medio intergalactico

1

Nucleo SolarTokamakDescargaIonosferaMagnetoesferaViento Solar

3

)

Temperatura (K)7

10108104103107105104106

D (m)10111041041031021010105

Cuadro 1.1: Magnitud de D para distintos plasmas, Wikipedia.

0 Ke22ne+ ZTiniTe

D =

!(1.12)

D

En el cuadro 1.1 se dan valores tipicos deSi en un sistema de dimensiones

L D

para varios medios.

se introduce algun tipo

de perturbacion en la distribucion de carga o se introduce un potencial; este ser apantallado en una distancia pequea comparada con

L,

dejando la mayor parte del plasma libre del efecto del potencial,

por lo tanto fuera de la nube de apantallamiento (o longitud de Deb2ye) se puede decir que = 0 , es decir ni ne = 0 ni = ne elplasma es cuasineutral.

1.9.

Criterio para plasmas

Uno de los criterios para que un gas ionizado sea considera plasma es que las dimensiones del sistemaque la longitud

D

L

sean mucho mas grandes

; de esta condicion de deriva la necesidad de la

cuasineutrlidad. La cuasineutrlidad es necesaria para que el plasmatenga propiedades electromehgnaneticas sin ser puramente un uidode carga. De la condicion:

L D

(1.13)

se sigue la condicion de que:

donde al parametro

4ND = n 3D 13ND se le llama esfera

(1.14)de Debye.

CAPTULO 1.


Ademas considerando una frecuencia del plasma

(que se pue-

de entender como la frecuencia con la que las particulas del plasmaoscilan en respuesta una perturbacion, mas adelante se estudia estetrmino) y considerando que

es un tiempo promedio entre colisio-

nes, la tercera condicioen que debe satisfacer el plasma es:

> 1

(1.15)

Esta ltima condicion indica que para que un gas ionizado seaconsiderado plasma se necesita que las cargas sean lo sucientementarapidas como para que exista una respuesta electromagnetica antesde que otras fuerzas actuen; es decir las interaciones electromagneticas dominan sobre la dinamica ordinaria (de colisiones como ungas tipico) de las particulas.

1.10.

Aplicaciones de plasmas

He aqui una breve descripcion de algunas de las principales aplicaciones para plasmas.

1.10.1. Fusin NuclearLa fusion nuclear es en la actualidad una de las aplicaciones desica de plasmas alrededor de la cual se desarrolla mas investigacioncientca. La fusion nuclear es una alternativa para la produccionde energia a pequea y gran escala. La fusion nuclear se puede considerar como una respuesta viable ante la crisis energetica mundial.La fusion nuclear es una reaccion nuclear en la cual dos o mas nucleos atomicos se acercan y colisionan a gran velocidad para unirsey formar un nuevo tipo de nucleo atmico. Durante este proceso hayuna conversion de materia a energia. La fusion nuclear es el procesoque d energia a estrellas como el Sol. Para que la fusion se d sedeben de superar feurzas electroestticas, cuando la distancia entrenucleos es pequea la fuerza electroestatica puede superarse graciasla fuerza atractivas llamadas fuerzas residuales de interacccion fuer15te que se dan a distancia nucleares (10m). Adems; la fusin adiferencia de la sin; es un reaccin que no puede sostenerse pors misma, siendo as; es una fuente de energa que no representapeligros inherentes a su implementacin

CAPTULO 1.


H

3

4

H

He + 3.5 MeV

n + 14.1 MeV

Figura 1.2: Reaccion de fusion Deuterio-Tritio. Figura tomada de Wikimediacommons.Actualmente se da gran investigacion alrededor de la fusion porconnamiento magnetico. Por ejemplo, en Francia se desarrolla eldispositivo de fusion por connamiento magnetico mas grande delmundo hasta la fecha, el cual es llamado ITER (International Thermonuclaer Energy Reactor). Con este reactor de tipo tokamak sepretende obtener 10 veces la potencia que se entrega para hacer posible la fusion, es decir lograr una salida de 500 MW por cada 50MW dados al dispositivo. Con el Tokamak ITER se espera alcanzar temperaturas de aproximadamente 150 millones C (10 veces latemperatura del ncleo solar) usando como combustible deuterio ytritio para formar plasma. La reaccion de fusion de deuterio y tritiod como resultado el isotopo Helio 4, ademas esta reaccion liberaun neutron y 17.5 MeV de energia (el cambio de materia a energia2se d segun la ecuacion de equivalencia de masa-energia E = mc ).La reaccion de deuterio tritio se muestra en la gura 1.2.El proyecto ITER se encuentra actualmente en desarrollo y suoperacin esta planeada para el 2027. En la gura 1.3 se muestra unmodelo a escala del reactor ITER.

1.10.2. Descargas electricas en gases.Se da una gran aplicacion a los fenomenos derivados de la descargas electricas en gases, gases que comportan un plasma.Las descargas electricas en gases se dan cuando una corrienteelectrica pasa a travez del medio gaseoso debido a que el gas seencuentra ionizado; dependiendo de varios factores , las descargapuede irradiar luz en el espectro visible.

CAPTULO 1.


Figura 1.3: Modelo del Reactor tokamak ITER. Arriba de la marca B2 se ve eltamao de una persona. Imagen tomada de https://www.iter.org/1.10.2.1.

Tipos de descargas

En tubos catodicos, se puede dividir la descarga electrica en tresfases, que se denen segun sus caracteristica de corriente-voltage.

Townsend , la cual estapor debajo del voltage critico (breakdown voltage ). En esta fase elPrimero existe una la llamada descarga

campo electrico entre los catodos produce una avalancha de electrones, aumentando as la corriente muy rapidamente. El fenmeno sepuede visualizar en la gura 1.4Despues viene la descarga

brillante

(glow

discharge ) que se lo-

gra una vez que se supera el voltage critico. El voltage entre loselectrodos cae repentinamente debido a la acumulacion de carga yla corriente aumenta muy lentamente. Como se super el voltagecritico entonces el gas en medio de los electrodos experimenta ionizacin, provocando distintas transiciones energeticas de electronesy asi produciendo luz visible.En la ultima fase, se d una

descarga de arco

(arc

discharge ). En

esta fase el voltage entre los electrodos dacae conforme se aumentala correinte. La descarga de arco se da debido a una rapida reduccion

CAPTULO 1.


Figura

1.4:Avalanchadeelectrones,porDougsim(LicensedunderCCBY-SA3.0viaWikimediaCommons)https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electron_avalanche.gif#/media/File:Electron_avalanche.gifde la resistencia del gas convirtiendose en conductor electrico. Unresumen de la distintas fases de la descarga se puede ver en la gura1.5Ignicion, soldadura, uerecencia, aplicaciones medicas.

1.10.3. Astrosica.Teorias sobre plasmas has sido utilizadas para explicar la aceleracion de los rayos cosmicos. Las estrellas pueden considererse comoparticulas en un plasma, y la teoria cinetica de plasmas ha sidoutilizada para predecir el desarrollo de galaxias. Se han decubiertonumerosas fuentes de radiacion que probablemente tiene su origenen cuerpos de plasma.

1.10.4. Maquinas de propulsin.Una maquina de propulsion de plasma es un tipo de maquina depropulsion electrica que genera empuje a partir de plasma. Estasmaquinas utilizan corrientes y potenciales electricos los cuales songenerados internamanete por el plasma para acelerar los iones delplasma. Este tipo de maquina usualmente utiliza radiacion en el espectro de las microondas para producir el plasma, radiacion que esgenerada por antenas externas. Los diseos y tipos de propulsion son

CAPTULO 1.


Figura 1.5: "Curva de corriente-voltage para tres fases" por: Chetvorno - Derivativeof: GlowDischargeVoltAmpere.jpg. Licensed under CC BY-SA 3.0 via WikimediaCommons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Glow_discharge_currentvoltage_curve_English.svg#/media/File:Glow_discharge_currentvoltage_curve_English.svg

magnetoplasmadinamicos (magnetoplasmadynamics) y tambien entre ellos se encuentra el propulsor VASIMR (Variable Specic Impulse MagnetoplasmaRocket), maquina para la cual se desarrollan componentes en Costavariados, entre ellos se encuentra los propulsores

Rica por la compania Ad Astra Rocket.

CAPTULO 1.


Figura 1.6: Propulsor VASIMR, gura tomada de Wikimedia Commons

Captulo 2Movimiento de partculas individuales.

2.1.

Las ecuaciones Maxwell

Antes de estudiar el movimiento de partculas en campos electromagnticos es importante hechar un vistazo a las cuatro ecuacionesde Maxwell.

2.1.1. Ley de Gauss.La ley de Gauss describe la relacion entre un campo elctricoesttico y la carga o cargas electricas que lo producen. Mas particularmente relaciona el ujo electrico o lineas de campo electrico quepasan a traves de una supercie Gaussiana cerrada con una cargatotal (incluye la carga producida por la polarizacion del material)dividida por la permitividad del vaco 0 (o dielectricidad del espaciolibre):

E =2.1.1.1.

0

(2.1)

Derivacin de la ley de Gauss desde la ley de Coulomb.

Segn la ley de Coulomb, se tiene:

E=

q er40 r2

si ahora consideramos una carga distribuida en el espacio en lugarde una carga puntual, calculando en campo electrico en

20

r

entonces:

CAPTULO 2.

MOVIMIENTO DE PARTCULAS INDIVIDUALES.211E(r) =40

donde

s

(s)

(r s)d3 s3| (r s) |

es un vector que indica el punto de carga dentro del

volumen considerado por la densidad de carga

(s).

Ahora, si se

toma la divergencia en ambos lados de la ecuacion anterior y se usala siguiente agualdad:

donde

(r)

r| r |3

= 4(r)

es la funcin delta de Dirac (o funcin impulso). Se

obtendria como resultado:

1E(r) =0

(s)(r s)d3 s

utilizando las propiedades de la funcion impulso el resultado esla ecuacion 2.1.

2.1.2. La ley de Gauss del magnetismo.La ley de Gauss para el magnetismo establece que no hay cargasmagnticas aisladas o monopolos magnticos. Entonces si se aplicael mismo tratamiento que se aplic para cargas electricas se obtienecero como carga total. Las cargas magneticas siempre se presentancomo dipolos magneticos, que son una carga positiva y negativainseparables; que por lo tanto no representan una carga magnticaneta. La expresion matemtica para esta ley es:

B = 0

(2.2)

2.1.3. La ley de Faraday.La ley de Faraday describe como una campo magntico cambianteen el tiempo induce un campo elctrico. La induccion electromgnetica es el pricipio de funcionamiento de todo generador elctrico.Esta ley se represemta como:

E=

Bt

(2.3)

CAPTULO 2.

MOVIMIENTO DE PARTCULAS INDIVIDUALES.22

E

La unidad en el SI del campo electricoes el Newton porV N o voltio por metro; esto es una unidad de enCmergia por una unidad de carga por unidad de longitud, e.g. J/Cm.

coulomb

B

Ahora la unidad en el SI de la induccion magneticaes el Tesla22[1T = W b/m = 1V s/m ] (Wb : Weber es la unidad de ujo magntico). Considerando una analisis dimensional se tiene en ambosV lados de la ecuacion 2.3:.m2

2.1.4. La ley de Ampere con la correccion de Maxwell.Esta ley establece que los campos magnticos pueden ser producidos de dos maneras: por una corriente electrica (esta fu de hechooriginalmete la ley de Ampere) y por campos electricos cambiantesen el tiempo (esta fue la correccion de Maxwell). Esta ley junto conla ley de Faraday denen una dinmica de codependencia entre loscampos magnetico y electrico, es decir un campo magntico cambiante produce un campo elctrico, y un campo electrico cambianteproduce un campo magntico.

Esta ley se expresa convencional-

mente en unidades del SI como:

B = 0donde

0

EJ + 0t

es la permeabilidad del espacio vacio,

(2.4)

J es la densidad

de corriente.

2.1.5. Obtencion de la ecuacion de onda a partir de lasecuaciones de MaxwellCon las 4 ecuaciones de Maxwell denidas, ahora pasamos a verunas formas mas completas y generales de estas ecuaciones, asi comolo pertinente a la ecuacion de onda electromagntica.Al aplicar un campo elctrico sobre algunos materiales estos sufrirnuna polarizacion de sus particula o tomos, en otras palabras elcampo electrico va a provocar la separacion espacial de las cargas produciendo asi dipolos electricos, y estos ultimos a su vezdarn como resultado una polarizacion macroscpica total.

En el

caso ideal de una polarizacion (es decir campo un electrico uniforme produciendo dipolos alineados perfectamente unos con otros,de tal forma que una carga puntual (o polo aislado) va a ser neutralizada por una carga opuesta que est en su vecindad inmediata,

CAPTULO 2.


produciendo una carga neta de cero en ese espacio puntual.

Con

puntual aqui nos estamos rerendo a dimensiones microscpicas) seobtiene carga solamente en la supercie del objeto que est bajola inuencia de un campo electrico. Entonces, la polarizacion P sesuma y contribuye al campo electrico:

D = 0 E + P

D es llamado el campo de desplazamiento, y la carga producidaP se conoce como cargas ligadas o de ligadura (bound charges).

por

Ahora, naturalmente existe un efecto analogo al de polarizacionconocido como magnetizacion

M.

Los momentos magneticos con-

stituyentes (intrnsecos) de un material tienen asociados corrientes

I

cuya contribucion total establece lo que se conoce corrientes lig-

adas (bound currents) produciendo asi un campo de magnetizacion

H:

H=

1BM0

Las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse segun las

rela-

ciones constitutivas como:

D = EH = 1 Bentoncesy

la

1P = ( 0 )E y M = (10 )B. es la permitividad

permeabilidad del material en cuestin.

Ahora vamos a dar una pequea introduccion a las ecuacionesde onda electromagnticas. Las ondas electromagneticas son ondasde caracter transversal, es decir, la amplitud es perpendicular a ladireccion de propagacion de la onda. La ecuacion de onda electromagnetica se obtiene a partir de la aplicacion de las ecuaciones deMaxwell en el vacio (un medio sin carga y sin corrientes):

E = 0 ; B = 0 ; E = aplicando

BE; B = 0 0tt

la curva () a las ecuaciones dependientes del tiempo,

y sustituyendo estas mismas en el resultado

CAPTULO 2.

MOVIMIENTO DE PARTCULAS INDIVIDUALES.24 2E ( E) = B = 0 0 2tt 2B E = 0 0 2tt ( A) = ( A) 2 A,

( B) = 0 0haciendo uso de la igualdad

donde para nuestro caso se anula el trmino del producto escalar, seobtiene nalmente:

2 E = 0 0

2Et2

2 B = 0 0

2Bt2

estas dos ltimas ecuaciones tienen la forma general de una ecua2fcion de onda 2 f = v12 2 t en la cual v se relaciona con la velocidad1de propagacin de la onda, entonces v = = 3 108 m/s que es0 0precisamente la velocidad de propagacion de la luz en el vaco.

2.2.

Movimiento de partculas en un campo electrico ymagntico uniforme.

Si se queire comprender el comportameinto de un plasma es preciso conocer como actuan las partculas individuales que lo conforman. Es importante hacer notar que el anlisis de este capitulo se

el campo electromagnetico generado por las partculas en movimiento no afecta el campoelectrico (o magntico) externo que est actuando sobre stas.hace bajo el presupuesto de que

2.2.1. B uniforme y E = 0Partimos de la expresion de la fuerza de Lorentz. Si una particulacargada se mueve dentro de un campo magneticoelectrico

B

y un campo

E, esta experimentar una fuerza dada por (tome en cuenta

que las letras en negrita de las ecuaciones son vectores):

F = q[E + (v B)]Si

E=0 la ecuacion anterior se convierte en:

(2.5)


CAPTULO 2.

m

dv= qv Bdt

(2.6)

Si consideramos que B es un campo uniforme dirigido en

z, B =

B z entoncesdvxqBdvyqBdvz=vy ;=vx ; m=0dtmdtmdtderivando

d2 vxqB dvy==2dtm dt

qBm

2

d2 v yqB dvx==2dtm dt

vx

qBm

2vy(2.7)

Estas ultimas ecuaciones describen un movimiento armnico simple que tiene una frecuencia de oscilacion llamada

frecuencia ciclo-

tron y que se dene como:

c =

qBm

(2.8)

La solucion de las ecuaciones 2.7 se puede ver en el Apendice A.La solucion es:

vx,y = Acos(c t + )la solucion tambien puede darse como la parte real de la siguienteecuacion :

vx,y = v e(ic t+i)el signo

se utiliza segun el signo de la carga.

locidad un plano perpendicular a

v denota

la ve-

B, es decir v es la velocidad para

la cual la feurza de Lorentz es mayor. Ademas se puede escoger unagulo de fase

=0

entonces

vx = v eic t =entonces:

vy =

dxdt

m dvxdy= iv eit =qB dtdt

(2.9)

(2.10)

integrando las ultimas ecuaciones con respecto al tiempo se obtiene:

CAPTULO 2.

MOVIMIENTO DE PARTCULAS INDIVIDUALES.26x x0 = i

v ic tec

y y0 =

v ic tec

(2.11)

se dene el radio de giro ( o radio de Larmor) como sigue:

rL =

vmv=cqB

(2.12)

si se toma la parte real de la ecuacion 2.11 se obtiene:

x = rL senc t + x0

y = rL cosc t + y0

de estas ultimas ecuaciones se puede ver que las partcuals semueven oscilatoriamente alrededor de un punto de equilibrio y ademas

x0

y

y0

indican el origen de nuestro sistema de referencia. El

movimiento oscilatorio y la velocidad de la partcual producen enconjunto una trayecto con forma de helice o espiral. Ademas es importante notar que la componente de la velocidad que tenga la misma direccion que

B no se ve afectada por B .

Relacion de conservacion para campo magneticouniformeSi aplicamos el producto punto con v a la ecuacion 2.5 entonces

2.2.1.1.

obtenemos:

mv lo cual lleva a:

dvd 1= ( mv 2 ) = 0dtdt 2

1 2mv = constante2

es decir la energia cinetica de una particula en un campo magnetico uniforme es constante [3].

2.2.2. Movimiento de partculas con B y E uniformes.Ahora consideramos que existe un campo electrico E uniforme,este campo esta dirigido en el plano xz y B est dirigido en z comoen el caso anterior. Ver gura 2.1.Para comenzar rescribimos la ecuacion de fuerza de Lorentz:

F=m

dv= q[E + (v B)]dt

CAPTULO 2.


y

Ez

x

B

Figura 2.1: Movimiento de carga en campo electrico y magnetico uniforme.la componente z es

dvzdt

=

qE , integrando se obtiene:m z

vz =

qEzt + vz0m

dvxLos otros componentes de la ecuacion de Lorentz son= mq Ex dt2c vy y dvdty = c vx . Derivando estas ecuaciones se obtiene ddtv2x =2c2 vx y ddtv2y = c2 ( EBx + vy ) , esta ultima se puede reescribir

d2comovy + EBx = c2 vy + EBx . Esta ultima forma deja verdt2Eque el caso se reduce al caso de E=0 si se reemplaza vy por vy + x .BEntonces la ecuacion 2.9 puede escribirse como:

vx = v eic t

vy = iv eic t

ExB

La diferencia con respecto al movimiento anterior es que existe unmovimiento de deriva (drift ) del centro de referencia o centro guia(x0 ,y0 ) de la partcula. Podemos obtener la velocidad del centro guiaa partir de la ecuacion de Lorentz considerando la aceleracion iguala cero, puesto que el termino de aceleracion solo aporta la parteoscilatoria del movimiento de la particula, entonces:

E+v+B=0si se multiplica vectorialemte porrecordando que (abc

B

(producto cruz con

B)

y

= b(ac)c(ab)) entonces se obtiene que

el componente de la velocidad del centro guia que es perpendiculara

E y B es:

CAPTULO 2.

MOVIMIENTO DE PARTCULAS INDIVIDUALES.28vcentroguia =

EBv2

(2.13)

Este ultima velocidad representa la deriva del centro guia producida por el campo electrico.

2.2.3. Movimiento en campo gravitacional y campo magnetico uniforme.Si ahora en lugar de un campo electrico consideramos el campo

qE se consideramg entonces analogamente segun el resultado obtenido en

gravitacional, es decir en la ecuacion 2.5 en lugar deun fuerza

la ecuacion 2.13 se obtiene la velocidad deriva dada por la fuerzagravitacional:

vg =

mg BqB 2

Ademas si se considera una fuerza generica F que causa el desvio deriva de la particula entonces; se puede obtener la expresionpara la deriva del centro guia:

vf =2.3.

1FBq B2

(2.14)

Movimiento en un campo magnetico no uniforme

Consideremos un campo magnetico no uniforme ( y

E=0);

en

este caso el problema de describir el movimiento de la particula setorna mas complicado, entonces la descripcion se puede simplicar

rL /L es un numero pequeno (despreL es la escala a la que trabaja el campo

considerando que la relacionciable en el analisis), donde

no uniforme, con esta condicion podemos obtener una descripcionaproximada del movimiento de la partcula.

2.3.1. Gradiente de B perpendicular a BSi consideramos una orbita para un campo B uniforme y tomandola parte real se obtiene para la fuerza de Lorentz:

BFy = qvx Bz (y) = qv (cosc t) B0 rL (cosc t)y

CAPTULO 2.


en esta ultima ecuacion se consider una expansion de Taylor delcampo B alrededor del

x0 y y0 y ademas se utilizaron las ecuacionesy = rL cosc t + y0 . El primer termino para

x = rL senc t + x0Fy en promedio es cero (pues el giro considera movimientos arriba yabajo sobre tiempos iguales) y ademas el promedio la funcion coseno1y = qv rL 1B y asi el centro guia de la velocidades , entonces F22yderiva es

vgc =

1FB1 Fyv rL 1 B==xx2q BqBB 2 y

este resultado se puede generalizar y la velocidad deriva del gradiente de

B es

1B BvB = v rL2B2

2.3.2. B curvadoPara este caso se supone que las lineas de fuerza tienen una radiode curvatura constante

Rc

y la magnitud del campo magnetico es2constante. Se establece que vk denota una componente de la velomvk2r ; seguncidad a lo largo de B, la feurza centrifuga es Fcf =Rcla ecuacion 2.14 se obtiene la velocidad deriva que se conoce comoderiva de curvatura:

mvk2 Rc B1 Fcf BvR ==q B2qB 2 Rc2Ahora.

vR + vB =

mR B 2 1 2(vq + v )Rc2 B 22

2.3.3. Espejos magneticos1 2 = mv/B2

(2.15)

CAPTULO 2.

2.4.


Movimiento en un campo electrico no uniforme

1 2 2 EBvE = 1 + rl 4B2

2.5.

2.6.

Campo magnetico no constante (variante en el tiempo)Campo electrico no constante (variante en el tiempo)vp =

1 dEc B dt

RESUMEN2.7.

Invariantes adiabaticas

2.7.1. Primera invariante adiabatica2.7.2. Segunda invariante adiabaticaJ=

vk ds

2.7.3. Tercera invariante adiabatica

Captulo 3Descripcion de plasma como un uido.

La ecuaciones de Navier-Stokes.

3.1.

Las ecuaciones de Navier-Stokes son en esencia la aplicacion de lasegunda ley de Newton a un continuo (i.e. no se consideran partculas). Primero tenemos que conocer el concepto de derivada material(

material derivative ).

3.1.1. Derivada material.La derivada material describe la razn de cambio de una cantidadfsica en un campo de velocidad dependiente del espacio y del tiempo

v(t,x) .

La derivada material de un escalar

y un vector

u

son

denidas como:

D=+ vDttDuu=+ vuDttLa derivada total con respecto al tiempo aplicando la regla de la es 1 :

cadena de

si

x

d dx(x, t) =++ vdttx dtxes escogido de tal forma que tenga la misma velocidad del

uido entonces:1 Resultante

de

una

derivada

total

(x, y, z, t)31

para

un

escalar

tal

que

CAPTULO 3.

DESCRIPCION DE PLASMA COMO UN FLUIDO. 32

Figura 3.1: Flujo a travez de dos supercies distintas, q representa la cantidad de particulas.Figura tomada de Wikimedia Commons.

dx=vdtesto es decir, la posicion sigue la corriente del uido descrita porel campo de velocidad del uido. Entonces la derivada material delescalar

es:

D=+ vDttEs importarte notar que no hay diferenccia entre

(3.1)

v

y

v.

Ademas es conveniente recordar la siguiente igualdad vectorial:

(v)=v + v

3.1.2. La ecuacin de continuidad.La ecuacin de continuidad es una ecuacin que describe el transporte un parmetro fsico que se conserva. Consideremos un ujo j,ahora el ujo puede pasar a travez de dos superecies arbitrarias ycumplir con:

v1 S1 = v2 S2esto es lo mismo que (ver Figura 3.1):

j1 S1 = j2 S2Denamos:

CAPTULO 3.

DESCRIPCION DE PLASMA COMO UN FLUIDO. 33m(t) =

(r, t)dV

una derivada total con respecto al tiempo:

dm(t) =dt

(r, t)dVt

la razon de cambio de la masa (o cualquier otra variable) tambienpuede ser expresada como:

dm(t) =dt

j(r, t)dS+C

donde el primer trmino de la derecha es el paso a travez de unasuopercie cerrada y

C es la razon de produccion de la varable m

que podria tener unidades de kg/s. Ahora la ecuacin anterior puedeser rescrita como:

j(r, t)dS+C =

(r, t)dVt

utilizando en el teorema de la divergencia en la lado izquierdo dela ecuacin anteriror obtenemos:

j(r, t)dV +

donde se asume que

(r, t)dV =

(r, t)dVt

es una razon de produccion por unidad

de volumen. El primer trmino del la ecuacion anterior puede estarestar precedido por un mas o menos segun se considere si el ujo vahacia adentro o hacia afuera de la supercie; convencionalmente seescoje un menos, ademas; el volumen sobre el que se esta integrandoes escogido arbitrariamente, entonces:

j(r, t) + =

(r, t)t

nalmente llegamos a la ecuacion de continuidad:

(v) +

=t

(3.2)

CAPTULO 3.

DESCRIPCION DE PLASMA COMO UN FLUIDO. 34

3.1.3. DescripcinLa ecuacion de Navier-Stokes es, como ya se ha mencionado laaplicaion de la segunda ley de Newton a una porcion de uido. Enuna marco de referencia inercial esta ecuacin tiene la forma:

donde

v

v+ vvdt

= p + T + f

es la velocidad del ujo,

p

es la presion,

de estrs actuando sobre el uido estudiado, yel cuerpo (por unidad de volumen).

f

(3.3)

T

el tensor

son fuerzas sobre

Esta ecuacion usualmente se

escribe usando la derivada material sobre el lado izquierdo. De estamanera se ve mas claramente el lado izquierdo esta relacionado conaceleracion y el lado derecho con suma de fuerzas. Cuando el uidoes incompresible (es decir de densidad constante) el tensor de estrs2pasa a ser v y es interprestado como el trmino de viscosidaden el uido, siendo3.1.3.1.

una constante de viscosidad propia del uido.

Aceleracion convectiva.

La aceleracion convectiva se reere al efecto de una aceleracion(que es independiente del tiempo) de un uido con respecto al espacio. Las particulas individueles si presentan una aceleracion que esdependiente del tiempo, pero el la aceleracion convectiva del campode ujo es un efecto espacial, un ejemplo puede ser un uido enun cilindro pasando a travez de una boquilla, es decir la aceleracion del uido debida a la disminucion del diametro de un tubo. Laaceleracion convectiva se representa por

vv.

3.2.

La ecuacion de movimiento para un uido

3.3.

Deriva del uido perpendicular al campo magnetico

3.4.

Deriva del uido paralela al campo magnetico

Captulo 4Ondas en plasmas

4.1.

Ondas

4.2.

Velocidad de grupo

4.3.

Oscilaciones en el plasma

4.4.

Ondas de plasma para electrones

4.5.

Ondas de plasma para iones

35

Apndice ASolucin de ecuaciones diferenciales lineales homegneas.

Consideremos ecuaciones diferenciales de la forma:

by = f (x)Si

f (x) = 0

d2 ydx2

dy+ a dx+

entonces tenemos una ecuacin diferencial lineal

homognea de segundo orden:

d2 ydy+ a + by = 02dxdxrxuna solucin y = e

Ahora, si se asume

ecuacin (A.1) se obtiene la

cuyas soluciones son

(A.1)y se sustituye en la

ecuacin auxiliar:

r2 + ar + b = 0r1,2 = a 12 a2 4b2

Ahora se propone que la

solucin general de ecuaciones de la

y = c1 y1 + c2 y2independientes y c1 ,c2 son

y1 , y2

forma de la ecuacion (A.1) es

donde

son

soluciones linealmente

constantes reales.

Finalmente la solucion general para la ecuacin (A.1) es:

y = c1 er1 x + c2 er2 x si r1 6= r2

(A.2)

y = c1 erx + c2 xerx si r1 = r2 = r

(A.3)

En el caso de raices imaginarias para la ecuacin auxiliar se tiene:

er1 x = ex eix = ex (cosx + isenx)

36

APNDICE A.

SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMEGNEASABFigure A.1: Parmetro

er2 x = ex eix = ex (cosx isenx)La solucin general toma la forma:

y = ex [(c1 + c2 )cosx + i(c1 c2 )senx]Si se considera que

c1 y c2

son complejos conjugados entonces:

{A = c1 + c2 ; B = i(c1 c2 )} R

Si se dene

y = ex (Acosx + Bsenx)A2 + B 2una parametro tal que =

(A.4)y se multi-

plica y divide por el mismo entonces:

x

y = ey se dene un angulo

BAcosx + senx

como en la gura A.1:

entonces:

y = e (sencosx + cossenx)y como

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a),

se obtiene

y = ex sen(x + ) o y = ex cos(x + )Note que la utilizacin de

cos

o

sen

(A.5)

en la solucion general (5);

depende simplemente de la denicion de la fase

.

y

de la ecuacin (A.1) es (A.2), (A.3), (A.4),

(A.5) segn sea el caso.

Las soluciones (A.4) y (A.5) son equiva-

La solucion generallentes.

Bibliografa[1] F. Chen, Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, Springer,2006. 1.1[2] T.J.M Boyd y J.J Sanderson, The Physics of Plasmas, Cambridge UniversityPress, 2003.[3] J.P. Freidberg, Plasma Physics and Fusion Energy, Cambridge UniversityPress, 2007. 2.2.1.1[4] T. Killian, T. Pattard, T. Pohl, and J. Rost, "Ultracold neutral plasmas",Physics Reports 449, 77 (2007). 1.2[5] M. Kikuchi, K. Lackner, M.Q. Tran, Fusion Physics, IAEA, 2012[6] J. Wesson, Tokamaks, Oxford University Press, 2004.[7] R. Fitzpatrick, Plasma Physics an Introduction, CRC Press, 2015.[8] J. Marion, S. Thornton, Classical Dynamics of particles and systems, 5 edicion, 2003.

38

Documents

Apuntes de Clase Física de Plasmas