Arbeidsplan Kapittel 6 Losningsforslag.pdf · Author: Geir Granberg Created Date: 4/10/2019 4:10:52 PM

6 Sannsynlighet

6.1 Læreplan

6A Sannsynlighet og relativ frekvens

6B Sannsynlighet for en hendelse

6C Antall utfall i sammensatte forsøk

6D Komplementære hendelser

6E Krysstabell og venndiagram

6F Addisjonssetningen

6G Produktsetningen for uavhengige hendelser

6H Produktsetningen for avhengige hendelser

6I Sammensatte forsøk

Kapitteltest

6 Symboler, formler og eksempler

Læreplanmål for 1P og 2P-Y

• lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger og gjøre rede for begrepet sannsynlighet

• beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger

Læreplanmål for 1T

• formulere, eksperimentere med og drøfte uniforme og ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller

• beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen

Geir Granberg APR2019 1

6A Sannsynlighet og relativ frekvens

6.1

Tabellen viser hvor mange enere vi fikk da vi kastet terningen.

Tabellen gir også den relative frekvensen for enere etter 50 kast.

Antall kast 50 100 500 1000 5000 10 000

Antall enere 12 23 87 170 853 1678

Relativ frekvens 0,240

a Skriv av tabellen.

b Etter 100 kast hadde vi fått 23 enere.

b Bestem den relative frekvensen for enere etter 100 kast og skriv den inn i tabellen.

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 =𝑛

𝑁=

23

100= 0,230

c Bestem den relative frekvensen for enere etter 500, 1000, 5000 og 10 000 kast

c og skriv de relative frekvensene inn i tabellen.


𝑁=

87

500= 0,174


𝑁=

170

1000= 0,170


𝑁=

853

5000= 0,1706


𝑁=

1678

10 000= 0,1678

Antall kast 50 100 500 1000 5000 10 000

Antall enere 12 23 87 170 853 1678

Relativ frekvens 0,240 0,230 0,174 0,170 0,1706 0,1678

d Diskuter hvordan den relative frekvensen for enere endret seg etter hvert som antall kast økte.

Vi ser at relativ frekvens nærmer seg noe.

Sannsynligheten for å få ener når vi kaster en terning er den samme som relativ frekvens

når vi kaster terningen veldig mange ganger.

Vi regner ut sannsynligheten: 𝑃(𝑒𝑛𝑒𝑟) =1

6= 0,1666

Og ser at 0,1678 er veldig nær den beregnede sannsynligheten.


6.2

Kast en tikrone 250 ganger og se om hvert kast gir mynt eller krone.

(Gjør det gjerne i samarbeid med andre elever. For eksempel kan fem elever kaste 50 ganger hver.)

Har her valgt å kaste 25 kronestykker i hvert av kastene slik at jeg må kaste 10 ganger.

Kast nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antall KRONE 11 11 9 17 11 11 15 10 15 11

Antall MYNT 14 14 16 8 14 14 10 15 10 14

Relativ frekvens MYNT per kast

0,56 0,56 0,64 0,32 0,56 0,56 0,40 0,60 0,40 0,56

a Regn ut den relative frekvensen for mynt etter de 25 første kastene, etter de 50 første kastene, osv.

Antall kast 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250

Antall MYNT 14 28 44 52 66 80 90 105 115 129

Relativ frekvens for MYNT

0,560 0,560 0,587 0,520 0,528 0,533 0,514 0,525 0,511 0,516

b Diskuter hvordan den relative frekvensen endrer seg når du kaster flere ganger.

Ettersom sannsynligheten teoretisk skal være 0,500 så skal også relativ frekvens nærme seg denne

verdien. Ser vi litt stort på det er det nettopp dette som er i ferd med å skje, men det er en overvekt

av mynt i de fleste kastene og den relative frekvensen varierer en del p.g.a. det lave antallet kast.

6.3

I perioden 2008-2012 ble det født 304 221 barn i Norge. Av dem var 156 369 gutter.

a Bestem den relative frekvensen for guttefødsler.

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 𝑓𝑜𝑟 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑓ø𝑑𝑠𝑙𝑒𝑟 =𝑛

𝑁=

156 369

304 221= 0,514

b Hva er sannsynligheten for at et nyfødt barn er gutt.

Sannsynlighet kan oppgis som brøk, desimalbrøk eller prosent.

Velger her å oppgi sannsynligheten for at et nyfødt barn er en gutt i prosent.


𝑁=

156 369

304 221= 0,514 → 𝟓𝟏, 𝟒%


6.4 UTEN HJELPEMIDLER

Når vi kaster en tikrone, er sannsynligheten 50 % for å få mynt.

Nedenfor er det gitt fem påstander.

Avgjør for hver påstand om den er riktig eller gal.

a Når vi kaster en tikrone, er det like sannsynlig å få krone som mynt.

Riktig. Sannsynlighet for å få mynt eller krone er teoretisk like stor.

Vi må i praktiske forsøk være sikre på at tyngden på mynt og kronesiden av tikronen er lik.

b Hvis vi har kastet en tikrone 95 ganger og fått mynt 45 ganger, vil vi få mynt i de neste fem kastene.

Galt. Sannsynligheten for å få mynt (𝑀) fem ganger på rad er forholdvis liten. Prøv selv . . .

𝑃(𝑀𝑦𝑛𝑡 𝑓𝑒𝑚 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 𝑃(𝑀 ∩ 𝑀 ∩ 𝑀 ∩ 𝑀 ∩ 𝑀) =1

2∙

1

2∙

1

2∙

1

2∙

1

2=

1

32= 3,125%

c Hvis vi kaster en tikrone 100 ganger, vil vi få omtrent 50 mynt og 50 krone.

Riktig. Sannsynligheten er stor fordi det er like store teoretiske muligheter å få mynt som krone.

d Hvis vi kaster en tikrone 100 ganger, vil vi få akkurat 50 mynt og 50 krone.

Galt.

Sannsynligheten for dette utfallet er vesentlig mindre enn om vi ikke skulle få det etter 100 kast.

e Hvis vi kaster en tikrone veldig mange ganger, vil den relative frekvensen for mynt nærme seg 1

2 .

Riktig, fordi sannsynligheten for at vi får like mange mynt som krone øker for hvert kast.

Det forutsetter som påpekt i svaret til oppgave a at mynten har samme vekt på begge sider.


Du kaster to tikroner.

Hva tror du sannsynligheten er for at du får mynt på den ene og krone på den andre?

Er det er firedel, en tredel eller en halv?

En halv. MYNT-MYNT / KRONE-KRONE / MYNT-KRONE / KRONE-MYNT .

Hvordan kan du avgjøre det ved å kaste to tikroner mange ganger?

Lager en tabell for de fire utfallene.

Utfall MYNT-MYNT KRONE-KRONE MYNT-KRONE KRONE-MYNT

Relativ frekvens 0,250 0,250 0,250 0,250

En krone og en mynt har da 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 = 0,250 + 0,250 = 0,500 =1

2= 𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑙𝑣.


6.6

I de 60 årene fra 1951 til 2010 ble det født 1 833 033 gutter og 1 733 407 jenter i Norge.

a Bestem de relative frekvensene for guttefødsler og jentefødsler.


𝑁=

1 833 033

(1 833 033 + 1 733 407)= 0,514 → 𝟓𝟏, 𝟒%

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 𝑓𝑜𝑟 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑓ø𝑑𝑠𝑙𝑒𝑟 =𝑛

𝑁=

1 733 407

(1 833 033 + 1 733 407)= 0,486 → 𝟒𝟖, 𝟔%

b Hvordan stemmer de relative frekvensene i oppgave a med at sannsynligheten

er 51,4 % for at nyfødte barn er en gutt og 48,6 % for at det er en jente?

Det stemmer med oppgave a.

𝐺𝑢𝑡𝑡𝑒𝑓ø𝑑𝑠𝑙𝑒𝑟: 0,514 → 𝟓𝟏, 𝟒% og 𝐽𝑒𝑛𝑡𝑒𝑓ø𝑑𝑠𝑙𝑒𝑟: 0,486 → 𝟒𝟖, 𝟔% .

6.7

I de 20 årene fra 1961 til 1980 var det 1 219 206 fødsler i Norge. Av dem var 12 128 tvillingfødsler.

a Bestem den relative frekvensen for tvillinger i perioden 1961-1980.

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 𝑡𝑣𝑖𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔𝑓ø𝑑𝑠𝑙𝑒𝑟 𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑛 1961 − 1980 =𝑛

𝑁=

12 128

1 219 206= 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟒𝟕

Fra 1991 til 2010 var det 1 166 299 fødsler hvorav 19 164 var tvillingfødsler.

b Hva er den relative frekvensen for tvillinger i perioden 1991-2010?

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 𝑓𝑜𝑟 𝑡𝑣𝑖𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔𝑓ø𝑑𝑠𝑙𝑒𝑟 𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑛 1991 − 2010 =19 164

1 166 299= 𝟎, 𝟎𝟏𝟔𝟒𝟑𝟏

Ved et tilfeldig forsøk er sannsynligheten for et utfall det samme som relativ frekvens for utfallet når vi

gjentar forsøket veldig mange ganger. Men for at det skal være slik, må forsøket gjentas under like

betingelser. Hvis betingelsene endrer seg vil også sannsynligheten endre seg.

c Ser det ut til at sannsynligheten for tvillingfødsler har endret seg fra perioden 1961-1980 til perioden

1991-2010?

Ja, den relative frekvensen har gått opp fra 0,009947 til 0,016431. En økning på 65,2 %.

d Kunstig befruktning, der flere befruktede egg blir satt inn i kvinnens livmor, ble innført i Norge på

1980-tallet. Diskuter om det kan forklare forskjellen på de relative frekvensene i oppgave a og b.

Når flere forsøker å bli gravide med flere samtidig befruktede egg og som tidligere ikke har blitt

gravide vil det naturligvis være stor sannsynlighet for at flere av disse ender i tvillingstatestikken.


6B Sannsynlighet for en hendelse


I klasse 1B er det 27 elever. Emma er en av dem. Ved loddtrekning blir én elev valgt til å være med i en

spørrekonkurranse.

a Hvor mange mulig utfall er det?

Det er 27 utfall, når én blir valgt av de 27. Vi har en uniform sannsynlighetsmodell.

b Hva er sannsynligheten for at Emma blir valgt?

𝑆𝑎𝑛𝑛𝑠𝑦𝑛𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑡 𝐸𝑚𝑚𝑎 𝑏𝑙𝑖𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑔𝑡 =1

27= 0,037 = 3,7 %


Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer hjulet rundt og ser hvilken farge det stopper på.

a Hva er de mulige utfallene?

Det er 5 utfall. Fargene Rød, Blå, Gul, Grå og Grønn.

b Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på rødt?

𝑃(𝑅ø𝑑𝑡) =1

4 , fordi den røde sektoren dekker 1 4⁄ av lykkehjulet.

c Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på grønt?

𝑃(𝐺𝑟ø𝑛𝑡) =1

8 , fordi den grønne sektoren dekker 1/8 av lykkehjulet.



Du kaster et kronestykke og en femkrone.

Hva er sannsynligheten for at du får

a Minst én mynt (dvs. mynt på en av pengestykkene, eller mynt på begge)

Det er fire mulige utfall: MYNT-MYNT / KRONE-KRONE / MYNT-KRONE / KRONE-MYNT .

Vi ser da at i tre av fire utfall er det minst én mynt.

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 é𝑛 𝑚𝑦𝑛𝑡) =3

4

b Det samme på begge pengestykkene (dvs. mynt på begge eller krone på begge)

Det er fire mulige utfall: MYNT-MYNT / KRONE-KRONE / MYNT-KRONE / KRONE-MYNT .

Vi ser da at i to av fire utfall er det mynt på begge eller krone på begge.

𝑃(𝑚𝑦𝑛𝑡 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒 𝑝å 𝑏𝑒𝑔𝑔𝑒) =2

4=

1

2


I en klasse er det 12 jenter og 15 gutter.

Ved loddtrekning blir én elev valgt ut til å være med i en spørrekonkurranse.

a Hvor mange mulige utfall er det?

Det er 27 mulige utfall, 12 jenter + 15 gutter.

b Hvor mange utfall er gunstige for at en gutt blir trukket ut?

Det er 15 gutter. Det er da også 15 mulige gunstige utfall for at det skal bli en gutt.

c Hva er sannsynligheten for at en gutt blir trukket ut?

𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡 𝑏𝑙𝑖𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑘𝑘𝑒𝑡 𝑢𝑡) =15

27=

5

9= 55,5 %


Jonas har kjøpt en pose smågodt. I posen er det 8 sjokoladebiter, 7 lakrisbiter og 5 karameller.

Jonas tar tilfeldig én bit fra posen. Hva er sannsynligheten for at Jonas får

a en sjokoladebit Det er totalt 20 biter med smågodt. 𝑃(𝑠𝑗𝑜𝑘𝑜𝑙𝑎𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡) =8

20=

2

5= 40 %

b en lakrisbit Det er totalt 20 biter med smågodt. 𝑃(𝑙𝑎𝑘𝑟𝑖𝑠𝑏𝑖𝑡) =7

20= 35 %

c en karamell Det er totalt 20 biter med smågodt. 𝑃(𝑘𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑙𝑙) =5

20=

1

4= 25 %

𝑃(𝑓𝑜𝑟 å 𝑣𝑒𝑙𝑔𝑒 𝑒𝑛 𝑔𝑜𝑑𝑡𝑒𝑏𝑖𝑡) =𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙



Vi stokker en kortstokk godt og ser hvilket kort som ligger øverst.

a Hva er sannsynligheten for at kortet er et hjerterkort?

𝑃(ℎ𝑗𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟𝑘𝑜𝑟𝑡) =13

52=

1

4= 25 %

b Hva er sannsynligheten for at kortet er et ess?

𝑃(𝑒𝑠𝑠) =4

52=

1

13= 7,69 %

c Et kort kalles et honnørkort hvis det er en knekt, dame, konge eller ess.

c Hva er sannsynligheten for at kortet er et honnørkort?

𝑃(ℎ𝑜𝑛𝑛ø𝑟𝑘𝑜𝑟𝑡) =16

52=

4

13= 30,8 %


Du kaster én terning to ganger.

a Tegn utfallsrommet og merk av hendelsene.

1 sum øyne lik sju 2 minst én ener 3 terningene viser like mye (par)

b Finn sannsynligheten for hver av hendelsene i oppgave a .

𝑃(𝑠𝑢𝑚 ø𝑦𝑛𝑒 𝑙𝑖𝑘 𝑠𝑗𝑢) =6

36=

1

6= 16,6 %

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 é𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟) =11

36= 30,5 %

𝑃(𝑝𝑎𝑟) =6

36=

1

6= 16,6 %


I en skål ligger det flere seigmenn. Fem av dem er gule. Du trekker tilfeldig en seigmann fra skåla.

Sannsynligheten er 25 % for at den er gul. Hvor mange seigmenn er det i skåla?

Fem seigmenn tilsvarer 25 %. Setter opp et forhold og finner hvor mange 100 % tilsvarer.

5 𝑠𝑒𝑖𝑔𝑚𝑒𝑛𝑛

25%=

𝑥

100 % → 𝑥 =

5 𝑠𝑒𝑖𝑔𝑚𝑒𝑛𝑛 ∙ 100%

25%= 20 𝑠𝑒𝑖𝑔𝑚𝑒𝑛𝑛. Det er 20 seigmenn i skåla.


Første kast

Andre

kast

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

Første kast

Andre

kast

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

Første kast

Andre

kast

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6


Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer lykkehjulet rundt og ser hvilken farge det stopper på.

Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet

a stopper på en blå eller gul

𝑃(𝑏𝑙å 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑔𝑢𝑙) = 𝑃(𝑏𝑙å) + 𝑃(𝑔𝑢𝑙) =1

4+

1

4=

2

4=

1

2= 50 % 𝑃(𝑏𝑙å ∪ 𝑔𝑢𝑙)

a stopper på en rød eller grønn

𝑃(𝑟ø𝑑 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑔𝑟ø𝑛𝑛) = 𝑃(𝑟ø𝑑) + 𝑃(𝑔𝑟ø𝑛𝑛) =1

4+

1

8=

3

8= 37,5 % 𝑃(𝑟ø𝑑 ∪ 𝑔𝑟ø𝑛𝑛)

a ikke stopper på en grå

𝑃(𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑔𝑟å) = 𝑃(ℎ𝑒𝑙𝑒 𝑙𝑦𝑘𝑘𝑒ℎ𝑗𝑢𝑙𝑒𝑡) − 𝑃(𝑔𝑟å) =1

1−

1

8=

7

8= 87,5 % 𝐾𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡æ𝑟𝑒 ℎ𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟


Et menneske kan ha blodtype A, B, AB eller 0.

I Norge har 48 % blodtype A, 8 % blodtype B, 4 % blodtype AB og 40 % blodtype 0.

En lege ved blodbanken undersøker blodtypen til en ny blodgiver.

Hva er sannsynligheten for at blodgiveren

a har blodtype A eller blodtype AB

𝑃(𝐴 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐴𝐵) =48

100+

4

100=

52

100=

13

25= 𝟓𝟐 % 𝑃(𝐴 ∪ 𝐴𝐵)

b ikke har blodtype 0

𝑃(𝑖𝑘𝑘𝑒 0) = 𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑡𝑦𝑝𝑒𝑟 − 𝑡𝑦𝑝𝑒 0 =100

100−

40

100=

60

100=

3

5= 𝟔𝟎 % 𝐾𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡æ𝑟𝑒 ℎ𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟

Ved blodoverføring må blodgiveren og pasienten ha blodtyper som «passer» sammen.

For eksempel kan en pasient med blodtype A bare få overført blod av typene A og 0.

c Hva er sannsynligheten for at en pasient med blodtype A kan få overført blod fra den nye

blodgiveren?

𝑃(𝐴 𝑘𝑎𝑛 𝑓å 𝑏𝑙𝑜𝑑) = 𝑡𝑦𝑝𝑒 𝐴 + 𝑡𝑦𝑝𝑒 0 =48

100+

40

100=

88

100=

22

25= 𝟖𝟖 %


6C Antall utfall i sammensatte forsøk


Du kaster et kronestykke, en femkrone og en tikrone, og ser for hvert pengestykke om du får mynt eller

krone. Hva er sannsynligheten for at du får

a tre kroner b tre mynter c to krone og én mynt

Lager en skisse over utfallene:

a Det er som vi kan telle opp åtte (23) mulige utfall. Tre kroner (KKK) har bare vi bare én gang.

𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟) =𝑔

𝑚=

𝟏

𝟖

b Det er som vi kan telle opp åtte (23) mulige utfall. Tre mynter (MMM) har bare vi bare én gang.

𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑚𝑦𝑛𝑡𝑒𝑟) =𝑔

𝑚=

𝟏

𝟖

c Det er som vi kan telle opp åtte mulige utfall.

To kroner og en mynt har vi tre ganger, KKM, KMK, MKK.

𝑃(𝑡𝑜 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑜𝑔 𝑒𝑛 𝑚𝑦𝑛𝑡) =𝑔

𝑚=

𝟑

𝟖

K

KKK KKM KMK KMM MKK MKM MMK MMM

Kaster et kronestykke

Kaster en femkrone

Kaster en tikrone

M

K M

K MK

M

K M

K

M KM

Mulige utfall



I en skål ligger det tre biter smågodt: én sjokoladebit, én karamell og én lakrisbit.

Du tar tilfeldig én bit fra skåla og spiser den. Så tar du en bit til.

a Forklar at du kan velge de to bitene på seks måter.

For hver av de tre smågodtbitene som kan velges har vi så to andre å velge i deretter.

Det betyr at du nå velger blant to av smågodtbitene som da enten er

(𝐾𝐴𝑅𝐴𝑀𝐸𝐿𝐿−𝐿𝐴𝐾𝑅𝐼𝑆

𝐿𝐴𝐾𝑅𝐼𝑆−𝐾𝐴𝑅𝐴𝑀𝐸𝐿𝐿) , (𝑆𝐽𝑂𝐾𝑂𝐿𝐴𝐷𝐸−𝐿𝐴𝐾𝑅𝐼𝑆

𝐿𝐴𝐾𝑅𝐼𝑆−𝑆𝐽𝑂𝐾𝑂𝐿𝐴𝐷𝐸) eller (𝐾𝐴𝑅𝐴𝑀𝐸𝐿𝐿−𝑆𝐽𝑂𝐾𝑂𝐿𝐴𝐷𝐸

𝑆𝐽𝑂𝐾𝑂𝐿𝐴𝐷𝐸−𝐾𝐴𝑅𝐴𝑀𝐸𝐿𝐿) som er 6 ulike måter.

Skrevet på en annen måte: Først har vi 1 av 3 å velge blant (1

3) og deretter 1 av 2 å velge blant (

1

2).

Vi kan da velge på seks ulike måter: (1

3) ∙ (

1

2) =

1

6 . Det gir oss en sannsynlighet: 𝑃(𝑣𝑎𝑙𝑔 𝑎𝑣 𝑏𝑖𝑡) =

1

6

b Tegn et valgtre som viser de 6 måtene du kan velge bitene på.

6.27

En klasse med 15 jenter og 10 gutter skal ved loddtrekning velge ett medlem og ett varamedlem til

elevrådet. De trekker først lodd om hvem som skal være medlem. Deretter trekker de lodd om hvem

som skal være varamedlem.

a På hvor mange måter kan vi velge medlem og varamedlem?

Det er totalt 25 elever i klassen. Når vi trekker om hvem som skal være medlem har vi 25 å velge i.

Når vi så skal trekke om hvem som skal være varamedlem har vi 24 å velge i.

Regne stykket blir da slik: 𝑀𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙 (𝑚) = 25 ∙ 24 = 600 𝑚å𝑡𝑒𝑟

b På hvor mange måter kan vi velge en jente både til medlem og varamedlem?

Det er totalt 15 jenter i klassen. Når vi trekker om hvem som skal være medlem har vi 15 å velge i.

Når vi så skal trekke om hvem som skal være varamedlem har vi 14 å velge i.

Regne stykket blir da slik: 𝑀𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙 (𝑚) = 15 ∙ 14 = 210 𝑚å𝑡𝑒𝑟

c Hva er sannsynligheten for at både medlem og varamedlem blir jente?

Alle utfall er like sannsynlige da det er loddtrekkning. Vi vet fra oppgave b at mulige utfall

er 210 for en jente og fra oppgave a at mulige utfall for hele klassen er 600.

Regnestykket blir da slik: 𝑃(𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑏𝑙𝑖𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑔𝑡) =210

600=

7

20= 0,35 = 35 %

Sjokolade LakrisKaramell

LakrisLakris KaramellKaramell SjokoladeSjokolade


6D Komplementære hendelser


Du kaster et kronestykke og en femkrone og ser hva du får.

a Hvilke utfall er med i hendelsen 𝐵 = «𝑁ø𝑦𝑎𝑘𝑡𝑖𝑔 é𝑛 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒» ?

Det er hendelsene 𝑀𝐾 og 𝐾𝑀, fordi skal ha kun én krone, verken mer eller mindre.

b Hvilke utfall er med i 𝐵 ?

Vi går her utfra at 𝐵 = «𝑁ø𝑦𝑎𝑘𝑡𝑖𝑔 é𝑛 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒» altså det motsatte av 𝐵 som utelater 𝑀𝐾 og 𝐾𝑀.

Vi har da to hendelsene 𝑀𝑀 og 𝐾𝐾.

c Hva er sannsynligheten for hendelsene 𝐵 og 𝐵 ?

For to komplementære hendelser har vi den generelle formelen 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐵) = 1.

I dette tilfelle har vi at 𝑃(𝐵) =1

4+

1

4=

𝟏

𝟐 og 𝑃(𝐵) =

1

4+

1

4=

𝟏

𝟐 ⇒ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐵) =

1

2+

1

2= 1

som stemmer med den generelle formelen.

6.35

En klasse med 15 jenter og 10 gutter skal ved loddtrekning velge medlem og ett varamedlem i elevrådet.

De trekker først lodd om hvem som skal være medlem. Deretter trekker de lodd om hvem som skal

være varamedlem. Hva er sannsynligheten for at minst én gutt ble valgt?

Hendelsene 𝒎𝒊𝒏𝒔𝒕 𝒆𝒏 𝒈𝒖𝒕𝒕 𝒃𝒍𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒈𝒕 og 𝒕𝒐 𝒋𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓 𝒃𝒍𝒊𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒈𝒕 er komplementære.

Det betyr her at når minst én gutt blir valgt vil alle andre hendelser (valg) inneholde to jenter.

Som vi skrives slik: 𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡) + 𝑃(𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟) = 1

Det vil være enklest å finne ut sannsynligheten for å velge 𝒕𝒐 𝒋𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓 for så å finne 𝒎𝒊𝒏𝒔𝒕 𝒆𝒏 𝒈𝒖𝒕𝒕.

𝑃(𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟) =15

25∙

14

24=

15 ∙ 14

25 ∙ 24=

210

600=

7

20= 0,35

Vi gjør om formelen: 𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 1 − 𝑃(𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟)

. . . og regner ut: 𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 1 − 0,35 = 0,65 = 𝟔𝟓 %


6E Krysstabell og venndiagram

6.42

I klasse 1B er det 27 elever. En uke har 10 elever sett Senkveld, mens 7 elever har sett

Robinsonekspedisjonen. Tre elever har sett begge TV-programmene.

a Lag en krysstabell som viser hvor mange elever som

▪ har sett begge programmene

▪ har sett Senkveld, men ikke Robinsonekspedisjonen

▪ har sett Robinsonekspedisjonen, men ikke Senkveld

▪ ikke har sett noen av programmene

𝑅𝑜𝑏𝑖𝑛𝑠𝑜𝑛𝑒𝑘𝑠𝑝𝑒𝑑𝑖𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑅𝑜𝑏𝑖𝑛𝑠𝑜𝑛𝑒𝑘𝑠𝑝𝑒𝑑𝑖𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑛 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡

𝑆𝑒𝑛𝑘𝑣𝑒𝑙𝑑 3 7 10

𝑆𝑒𝑛𝑘𝑣𝑒𝑙𝑑 4 13 17

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡 7 20 27

b Lag et venndiagram som viser informasjonen i spørsmål a.

En elev blir trukket ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at eleven

c har sett begge programmene

𝑃(ℎ𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑡𝑡 𝑏𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒𝑛𝑒) =3

27=

1

9= 𝟏𝟏, 𝟏 %

d ikke har sett noen av programmene

𝑃(ℎ𝑎𝑟 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑠𝑒𝑡𝑡 𝑛𝑜𝑒𝑛 𝑎𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒𝑛𝑒) =13

27= 𝟒𝟖, 𝟏 %

e har sett minst ett av programmene

Vi har to komplementære størrelser og bruker:

𝑃(ℎ𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑡𝑡 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑒𝑛𝑒) = 1 − 𝑃(𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑠𝑒𝑡𝑡 𝑛𝑜𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚) =27

27−

13

27=

14

27= 𝟓𝟏, 𝟗 %

Hele klassen

R S

R SR S

13

37 10

27


6.43

I en klasse er det 25 elever. 15 elever har valgt matematikk og 8 har valgt samfunnsøkonomi.

Sju av elevene har verken valgt matematikk eller samfunnsøkonomi.

Vi velger tilfeldig én elev fra klassen.

Velger å lage både venndiagram og eller krysstabell for å få se hva som er best for å løse oppgaven.

Vi ser at hvis vi bruker venndiagram vil vi ikke direkte få svar på oppgave a, men må fordele antallet i

«de to boblene» 15 ? 8 → 10 5 3. Vi kan bruke krysstabellen for å slippe denne omregningen.

a Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt både matematikk og samfunnsøkonomi?

𝑃(𝑏å𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑘 𝑜𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑓𝑢𝑛𝑛𝑠ø𝑘𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖) =5

25=

1

5= 𝟐𝟎 %

b Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt bare ett av fagene?

Vi har to komplementære størrelser og bruker:

𝑃(𝑏𝑎𝑟𝑒 𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑣 𝑓𝑎𝑔𝑒𝑛𝑒) = 1 − 𝑃(𝑏𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑓𝑎𝑔) − 𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑓𝑎𝑔) =25

25−

5

25−

7

25=

13

25= 𝟓𝟐 %

Eller vi kan bruke denne notasjonen: 𝑆 ∩ 𝑀 + 𝑀 ∩ 𝑆 =3

25+

10

25=

13

25= 𝟓𝟐 % ∩ = Snitt, leses som OG

Vi velger tilfeldig én av elevene som har matematikk

c Hva er sannsynligheten for at eleven også har samfunnsøkonomi?

Oppgaveteksten sier at 15 har valgt matematikk.

Av krysstabellen finner vi at 5 har valgt både matematikk og samfunnsøkonomi.

𝑃(𝑏å𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑘 𝑜𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑓𝑢𝑛𝑛𝑠ø𝑘𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖) =5

15=

1

3= 𝟑𝟑, 𝟑 %

Hele klassen

M S

M SM S

13

37 10

25

7

?15 8

𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑘 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑘 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡

𝑆𝑎𝑚𝑓𝑢𝑛𝑛𝑠ø𝑘𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖 5 3 8

𝑆𝑎𝑚𝑓𝑢𝑛𝑛𝑠ø𝑘𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖 10 7 17



6F Addisjonssetningen

6.48

Idrettslaget Friskus har 90 aktive medlemmer. Av dem spiller 20 fotball, 20 spiller håndball, 15 spiller

volleyball, 20 løper orientering og 15 driver med friidrett. Ingen av medlemmene holder på med mer en

én aktivitet. Et medlem velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at medlemmet

a spiller fotball eller håndball

Ettersom ingen av medlemmene driver med mer enn én aktivitet kan vi bruke ADDISJONSSETNINGEN.

𝑃(𝑓𝑜𝑡𝑏𝑎𝑙𝑙 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 ℎå𝑛𝑑𝑏𝑎𝑙𝑙) = 𝑃(𝑓𝑜𝑡𝑏𝑎𝑙𝑙) + 𝑃(ℎå𝑛𝑑𝑏𝑎𝑙𝑙) =20

90+

20

90=

40

90=

4

9= 𝟒𝟒, 𝟒 %

b løper orientering eller driver med friidrett


𝑃(𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑖𝑑𝑟𝑒𝑡𝑡) = 𝑃(𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔) + 𝑃(𝑓𝑟𝑖𝑖𝑑𝑟𝑒𝑡𝑡) =20

90+

15

90=

35

90=

7

18= 𝟑𝟖, 𝟗 %

c spiller et ballspill


Men først må vi velge hva som er et ballspill. Velger at Fotball, Håndball og Volleyball er ballspill.

𝑃(𝑓𝑜𝑡, ℎå𝑛𝑑 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑣𝑜𝑙𝑙𝑒𝑦𝑏𝑎𝑙𝑙) = 𝑃(𝑓𝑜𝑡) + 𝑃(ℎå𝑛𝑑) + 𝑃(𝑣𝑜𝑙𝑙𝑒𝑦) =20

90+

20

90+

15

90=

55

90=

11

18= 𝟔𝟏, 𝟏 %

6.49

Du kaster to terninger. Se på hendelsene 𝐴 = «𝑠𝑢𝑚 ø𝑦𝑛𝑒 ℎø𝑦𝑠𝑡 𝑛𝑖» og 𝐵 = «𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 é𝑛 𝑓𝑒𝑚𝑚𝑒𝑟» .

NB! Høyst ni betyr ni eller mindre. Minst én femmer betyr her en eller to femmere.

a Tegn en figur som viser alle utfallene og merk av hendelsene A og B.

b Hvilke utfall er med i hendelsene 𝐴 ∩ 𝐵 og 𝐴 ∪ 𝐵 ?

𝐴 ∩ 𝐵 er 𝐴 𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡 𝐵, men vi leser det som 𝐴 𝑜𝑔 𝐵. Da er spørsmålet lettere å forstå.

Velger å skrive hendelsene dette gjelder på samme måte som når vi angir ett punkt.

𝐴 ∩ 𝐵 = (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3) 𝑜𝑔 (5, 4)

𝐴 ∪ 𝐵 er 𝐴 𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛 𝐵, men vi leser det som 𝐴 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐵. Da er spørsmålet lettere å forstå.

Det er her p.g.a. det store antallet utfall enklere å si alle unntatt : (4, 6), (6, 4) 𝑜𝑔 (6, 6)

Første kast

Andre

kast

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

A

B


6.49 Fortsettelse

c Bestem sannsynligheten for 𝐴 ∪ 𝐵

1 ved å bruke den generelle addisjonssetningen

Den generelle addisjonssetningen skrives slik: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =30

36+

11

36−

8

36=

𝟑𝟑

𝟑𝟔

2 ved å telle opp antall gunstige utfall

Vet at vi har 36 punkter, ser at 3 av disse ikke er med i unionen.

Får da til sammen 33 punkter av totalt 36.

6G Produktsetningen for uavhengige hendelser

6.56

I en eske er det to blå og tre røde kuler. Du trekker tilfeldig én kule fra

esken og ser hvilken farge den har. Du legger kula tilbake og trekker

tilfeldig én kule til. Hva er sannsynligheten for at

a begge kulene er røde

Vi bruker produktsetningen for uavhengige størresler:

𝑃(𝑟ø𝑑 ∩ 𝑟ø𝑑) = 𝑃(𝑟ø𝑑) ∙ 𝑃(𝑟ø𝑑) =3

5∙

3

5=

9

25= 𝟑𝟔 %

b begge kulene er blå


𝑃(𝑏𝑙å ∩ 𝑏𝑙å) = 𝑃(𝑏𝑙å) ∙ 𝑃(𝑏𝑙å) =2

5∙

2

5=

4

25= 𝟏𝟔 %

c den første kula er rød og den andre er blå


𝑃(𝑟ø𝑑 ∩ 𝑏𝑙å) = 𝑃(𝑟ø𝑑) ∙ 𝑃(𝑏𝑙å) =3

5∙

2

5=

6

25= 𝟐𝟒 %


6.57

Et ektepar har to barn som ikke er tvillinger. Hva er sannsynligheten for at

a paret har to gutter

For å løse oppgaven må vi kjenne til hvor stor sannsynlighet (𝑃) det er for å få en gutt.

Tidligere i boka er det oppgitt at sannsynligheten (𝑃) for å en jente er 48,6%.

Det betyr at det er 51,4% sannsynlighet (𝑃) for å få en gutt. Det betyr at 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡) = 0,514.

𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡 ∩ 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡) ∙ 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡) = 0,514 ∙ 0,514 = 0,264 = 𝟐𝟔, 𝟒 %

b det eldste barnet er en gutt og det yngste er en jente

𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡 ∩ 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡) ∙ 𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = 0,514 ∙ 0,486 = 0,250 = 𝟐𝟓, 𝟎 %

c det eldste barnet er en jente og det yngste er en gutt

𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 ∩ 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) ∙ 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡) = 0,486 ∙ 0,514 = 0,250 = 𝟐𝟓, 𝟎 %

6.58

Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer hjulet rundt to ganger og ser hvilken farge det stopper på.

Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper

a på det røde feltet

For å løse oppgavene må vi vite hvor stor del hver farge fyller i sirkelen. Det ser ut til at den røde

og den blå delen dekker 2

6 hver. Det ser også ut som den gule og den grå delen dekker

1

6 hver.

𝑃(𝑟ø𝑑𝑡 ∩ 𝑟ø𝑑𝑡) = 𝑃(𝑟ø𝑑𝑡) ∙ 𝑃(𝑟ø𝑑𝑡) =2

6∙

2

6=

4

36=

1

9= 𝟏𝟏, 𝟏 %

b på det røde feltet første gang og det gule feltet andre gang

𝑃(𝑟ø𝑑𝑡 ∩ 𝑔𝑢𝑙𝑡) = 𝑃(𝑟ø𝑑𝑡) ∙ 𝑃(𝑔𝑢𝑙𝑡) =2

6∙

1

6=

2

36=

1

18= 𝟓, 𝟔 %


6.59

Du kaster fem terninger. Hva er sannsynligheten for at du

a ikke får en eneste sekser

Ikke får sekser i ett kast med én terning = 5

6 .

Ikke får sekser i ett kast med fem terninger = (5

6)

5=

3125

7776= 0,402 = 𝟒𝟎, 𝟐 %

b får minst én sekser

Hendelsen «𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟» er komplementær med «𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒».

Det betyr at vi finner sannsynligheten (𝑃) for «𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒» først.

𝑃(𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) = (5

6)

5=

3125

7776= 0,402

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟) = 1 − 𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) = 1 − 0,402 = 0,598 = 𝟓𝟗, 𝟖 %

6.60

En familie har tre barn som ikke er tvillinger eller trillinger. Hva er sannsynligheten for at

a alle er jenter

Vi vet fra før at sannsynligheten for å få jente er 0,486.

𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 ∩ 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 ∩ 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = 𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) ∙ 𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) ∙ 𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = (0,486)3 = 0,115 = 𝟏𝟏, 𝟓 %

b minst ett av barna er gutt

Hendelsen «𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡» er komplementær med «𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟».

Det betyr at vi finner sannsynligheten (𝑃) for «𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟» først.

𝑃(𝐼𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟) = (0,514)3 = 0,136

Så bruker vi formelen for komplementære hendelser:

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 1 − 𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟) = 1 − 0,136 = 0,864 = 𝟖𝟔, 𝟒 %


6H Produktsetningen for avhengige hendelser


I syskrinet til bestemor ligger det to blå og tre røde knapper. Mons trekker tilfeldig én knapp og ser

hvilken farge den har. Uten å legge knappen tilbake trekker han tilfeldig én knapp til.

Hva er sannsynligheten for at

a begge knappene er røde

Sannsynligheten (𝑃) for at vi trekker en rød først: 𝑃(𝑟ø𝑑 𝑓ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =3

5

Når vi har trukket en rød er det to røde og to blå igjen, totalt 4 knapper.

Sannsynligheten (𝑃) for å trekke en rød andre gang: 𝑃(𝑟ø𝑑 𝑎𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =2

4

𝑃(𝑡𝑜 𝑟ø𝑑𝑒 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) =3

5∙

2

4=

6

20=

3

10= 𝟑𝟎 % 𝐴 = 𝐹ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔

𝐵 = 𝐴𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔

b begge knappene er blå

Sannsynligheten (𝑃) for at vi trekker en blå først: 𝑃(𝑏𝑙å 𝑓ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =2

5

Når vi har trukket en blå er det tre røde og en blå igjen, totalt fire knapper.

Sannsynligheten (𝑃) for å trekke en blå andre gang: 𝑃(𝑏𝑙å 𝑎𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =1

4

𝑃(𝑡𝑜 𝑏𝑙å 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) =2

5∙

1

4=

2

20=

1

10= 𝟏𝟎 %

c den første knappen er rød og den andre blå


5

Når vi har trukket en rød er det to røde og to blå igjen, totalt fire knapper.


4

𝑃(𝑓ø𝑟𝑠𝑡 𝑏𝑙å 𝑠å 𝑟ø𝑑) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) =3

5∙

2

4=

6

20=

3

10= 𝟑𝟎 %


6.69

I en eske er det 7 blå og 4 røde kuler. Vi trekker tilfeldig én kule fra esken og ser hvilken farge den har.

Uten å legge kula tilbake trekker vi tilfeldig én kule til.

Hva er sannsynligheten for at

a begge kulene er blå

Sannsynligheten (𝑃) for at vi trekker en blå først: 𝑃(𝑏𝑙å 𝑓ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =7

11

Når vi har trukket en blå er det seks blå igjen og totalt ti kuler.


10


11∙

6

10=

42

110=

21

55= 𝟑𝟖, 𝟏 % 𝐴 = 𝐹ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔


b begge kulene er rød


11

Når vi har trukket en rød er det tre røde igjen og totalt ti kuler.

Sannsynligheten (𝑃) for å trekke en rød andre gang: 𝑃(𝑟ø𝑑 𝑎𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =3

10


11∙

3

10=

12

110=

6

55= 𝟏𝟎, 𝟗 %

c den første kula rød og den andre blå


11

Når vi har trukket en rød er det sju blå igjen og totalt ti kuler.


10

𝑃(𝑟ø𝑑 𝑓ø𝑟𝑠𝑡 𝑜𝑔 𝑠å 𝑏𝑙å) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) =4

11∙

7

10=

28

110=

14

55= 𝟐𝟓, 𝟒 %


6.70

En klasse med 15 jenter og 10 gutter skal ved loddtrekning velge et medlem og ett varamedlem til

elevrådet. De trekker først lodd om hvem som skal være medlem. Deretter trekker de lodd om hvem

som skal være varamedlem. Hva er sannsynligheten for at

a både medlem og varamedlem blir gutter

Sannsynligheten (𝑃) for at vi trekker en gutt først: 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡 𝑓ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =10

25

Når vi har trukket en gutt er det ni gutter igjen av totalt 24 elever.

Sannsynligheten (𝑃) for å trekke en gutt andre gang: 𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡 𝑎𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =9

24

𝑃(𝑡𝑜 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) =10

25∙

9

24=

90

600=

3

20= 𝟏𝟓 % 𝐴 = 𝐹ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔


b minst én jente blir valgt

Hendelsen «𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒» betyr at vi ikke får «𝑡𝑜 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑝å 𝑟𝑎𝑑».

I oppgave a fant vi svaret på «𝑡𝑜 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑝å 𝑟𝑎𝑑». Som var 0,15.

Vi bruker formelen for komplementære hendelser:

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = 1 − 𝑃(𝑡𝑜 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 1 − 0,15 = 0,85 = 𝟖𝟓 %

6.71

I en skål ligger det 15 FOX-karameller og 10 NOX-karameller. Uten å se på skåla tar Signe tre karameller.

Hva er sannsynligheten for at Signe

a får tre NOX

Sannsynligheten (𝑃) for at vi trekker en NOX først: 𝑃(𝑁𝑂𝑋 𝑓ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =10

25

Når vi har trukket en NOX er det ni NOX igjen av totalt 25 karameller.

Sannsynligheten (𝑃) for å trekke en NOX andre gang: 𝑃(𝑁𝑂𝑋 𝑎𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =9

24

Når vi har trukket en NOX til er det åtte NOX igjen av totalt 23 karameller.

Sannsynligheten (𝑃) for å trekke en NOX andre gang: 𝑃(𝑁𝑂𝑋 𝑎𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔) =8

23

𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑁𝑂𝑋 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) =10

25∙

9

24∙

8

23=

720

13800=

6

115= 0,052 = 𝟓, 𝟐 %

b får minst én FOX

Hendelsen «𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝐹𝑂𝑋» betyr at vi ikke får «𝑡𝑟𝑒 𝑁𝑂𝑋 𝑝å 𝑟𝑎𝑑».

I oppgave a fant vi svaret på «𝑡𝑟𝑒 𝑁𝑂𝑋 𝑝å 𝑟𝑎𝑑». Som var 0,052.


𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝐹𝑂𝑋) = 1 − 𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑁𝑂𝑋 𝑝å 𝑟𝑎𝑑) = 1 − 0,052 = 0,948 = 𝟗𝟒, 𝟖 %


6I Sammensatte forsøk

6.81

Et ektepar har to barn som ikke er tvillinger.

Hva er sannsynligheten for at paret har

a én gutt og én jente

Vi vet fra før at sannsynligheten for å få jente er 0,486 og for å få en gutt er 0,514 som vist i figuren.

𝑃(𝑒𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑔 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 𝑃(𝐽𝐺) + 𝑃(𝐺𝐽) = (0,486 ∙ 0,514) + (0,514 ∙ 0,486) = 0,499 = 49,9 %

b minst én gutt


𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑔𝑢𝑡𝑡) = 𝑃(𝐽𝐺) + 𝑃(𝐺𝐽) + 𝑃(𝐺𝐺) = (0,486 ∙ 0,514) + (0,514 ∙ 0,486) + (0,514 ∙ 0,514) =

0,764 = 𝟕𝟔, 𝟒 %

c minst én jente


𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = 𝑃(𝐽𝐺) + 𝑃(𝐺𝐽) + 𝑃(𝐽𝐽) = (0,486 ∙ 0,514) + (0,514 ∙ 0,486) + (0,486 ∙ 0,486) =

0,736 = 𝟕𝟑, 𝟔 %

G

P(JJ) = 0,486 • 0,486

P(JG) = 0,486 • 0,514

P(GJ) = 0,514 • 0,486

P(GG) = 0,514 • 0,514

J

G

J

G

J



I en skål ligger det 15 FOX-karameller og 10 NOX-karameller. Uten å se i skåla tar Signe to karameller.

Dette er et sammensatt forsøk med ett delforsøk for hver karamell Signe tar.

a tegn ett valgtre for det sammensatte forsøket

Hva er sannsynligheten for at Signe får

a to FOX

𝑃(𝑡𝑜 𝐹𝑂𝑋) = 𝑃(𝐹𝐹) = (15

25∙

14

24) =

7

20= 0,35 = 𝟑𝟓 %

b to NOX

𝑃(𝑡𝑜 𝐹𝑂𝑋) = 𝑃(𝑁𝑁) = (10

25∙

9

24) =

3

20= 0,15 = 𝟏𝟓 %

c nøyaktig én FOX

𝑃(𝑛ø𝑦𝑎𝑘𝑡𝑖𝑔 𝑒𝑛 𝐹𝑂𝑋) = 𝑃(𝑁𝐹) + 𝑃(𝐹𝑁) = (10

25∙

15

24) + (

15

25∙

10

24) =

1

2= 0,50 = 𝟓𝟎 %

d minst én FOX

𝑃(𝑛ø𝑦𝑎𝑘𝑡𝑖𝑔 𝑒𝑛 𝐹𝑂𝑋) = 𝑃(𝑁𝐹) + 𝑃(𝐹𝑁) + 𝑃(𝐹𝐹) = (10

25∙

15

24) + (

15

25∙

10

24) + (

15

25∙

14

24) =

17

20= 0,85 = 𝟖𝟓 %

P(FF) = 15/25 • 14/24

P(FN) = 15/25 • 10/24

P(NF) = 10/25 • 15/24

P(NN) = 10/25 • 9/24

NOX

FOX

FOX

NOX

FOX

NOX


6.84

I en skål ligger det 8 seigmenn og 12 seigdamer. Du trekker tilfeldig to «seigpersoner» fra skåla.

Dette er et sammensatt forsøk med ett delforsøk for hver «seigperson» du trekker.

a tegn et valgtre for det sammensatte forsøket

Hva er sannsynligheten for at du får

b to seigdamer

𝑃(𝑡𝑜 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑑𝑎𝑚𝑒𝑟) = 𝑃(𝑆𝐷 ∩ 𝑆𝐷) = (12

20∙

11

19) =

33

95= 0,347 = 𝟑𝟒, 𝟕 %

c to seigmenn

𝑃(𝑡𝑜 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑚𝑒𝑛𝑛) = 𝑃(𝑆𝑀 ∩ 𝑆𝑀) = (8

20∙

7

19) =

14

95= 0,147 = 𝟏𝟒, 𝟕 %

d én seigdame og én seigmann

𝑃(𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑑𝑎𝑚𝑒 𝑜𝑔 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑚𝑎𝑛𝑛) = 𝑃(𝑆𝐷 ∩ 𝑆𝑀) ∪ (𝑆𝑀 ∩ 𝑆𝐷) = (12

20∙

8

19) + (

8

20∙

12

19) =

48

95= 0,505 = 𝟓𝟎, 𝟓 %

e minst én seigmann

I oppgave b fant vi svaret på 𝑃(𝑡𝑜 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑑𝑎𝑚𝑒𝑟). Som var 0,347.


𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑚𝑎𝑛𝑛) = 1 − 𝑃(𝑡𝑜 𝑆𝑒𝑖𝑔𝑑𝑎𝑚𝑒𝑟) = 1 − 0,347 = 0,653 = 𝟔𝟓, 𝟑 %

820

SDSM SDSM

1220

719

1219

819

1119

SM SD


Kapitteltest

Oppgave 1 UTEN HJELPEMIDLER

I klesskapet til Hanna er det 12 bluser. Tre av dem er røde, mens de andre har en annen farge.

Hanna velger tilfeldig én bluse fra skapet.

a Hva er sannsynligheten for at blusen er rød?

𝑆𝑎𝑛𝑛𝑠𝑦𝑛𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑡 𝑏𝑙𝑢𝑠𝑒𝑛 𝑒𝑟 𝑟ø𝑑 =3

12= 0,25 = 𝟐𝟓 %

Sannsynligheten for at blusen er grønn er 25%

b Hvor mange grønne bluser har Hanna?

Tre bluser tilsvarer 25 %. Da vil også 25 % grønne bluser tilsvare tre bluser.

Oppgave 3 UTEN HJELPEMIDLER

I klasse 1A er det 20 elever.

Av dem har 10 elever spansk og 6 elever tysk. To elever har begge de to språkfagene.

a Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.

Klassen skal på tur til Barcelona og velger tilfeldig én elev som reiseleder.

b Hva er sannsynligheten for at reiselederen verken har spansk eller tysk?

𝑃(𝑣𝑒𝑟𝑘𝑒𝑛 𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑘 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑡𝑦𝑠𝑘) =6

20=

3

10= 𝟑𝟎 %

c Hva er sannsynligheten for at reiselederen har spansk, men ikke tysk?

𝑃(ℎ𝑎𝑟 𝑠𝑝𝑎𝑛𝑠𝑘, 𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑡𝑦𝑠𝑘) =8

20=

2

5= 𝟒𝟎 %

Hele klassen

S T

S TS T

13

37 10

20

6

28 4

𝑇𝑦𝑠𝑘 𝑇𝑦𝑠𝑘 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑡

𝑆𝑝𝑎𝑛𝑠𝑘 2 8 10

𝑆𝑝𝑎𝑛𝑠𝑘 4 6 10



Symboler, formler og eksempler i sannsynlighet

P Sannsynlighet (eng: probability) 𝑃( )

∪ Union «Den eller den» + (𝐴 ∪ 𝐵)

∩ Snitt «Den og den» ∙ (𝐴 ∩ 𝐵)

| Gitt En forutsetning (𝐴|𝐵)

Ikke Det omvendte 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴)

∅ Den tomme mengde

! Fakultet Eksempel: 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

Sannsynlighet (𝑃) kan presenteres som:

Brøk (1

7) Desimalbrøk (0,143) Prosent (14,3%)

Utfall / Utfallsrom:

På en terning med seks sider har vi seks utfall og utfallsrommet er = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Relativ frekvens (Relativ hyppighet):

Vi kaster 50 terninger (𝑁) og får 12 enere (𝑛). 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑣𝑒𝑛𝑠 =𝑛

𝑁=

12

50= 0,240.

Sannsynligheten (𝑃) for å få ener når vi kaster en terning, er det samme som den

relative frekvensen for enere når vi kaster terningen veldig mange ganger.


Formler

Uniform sannsynlighet :

ALLE UTFALL ER LIKE SANNSYNLIGE 𝑃(𝐴) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 ℎ𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 ℎ𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟

Addisjonssetningen : NÅR HENDELSENE IKKE HAR FELLES UTFALL (Hendelsene er disjunkte)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) ∪= 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛 (𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟)

Addisjonssetningen : NÅR HENDELSENE HAR FELLES UTFALL (Den generelle addisjonssetningen)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ∪= 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛 (𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟) ∩= 𝑆𝑛𝑖𝑡𝑡 (𝑜𝑔)

Produktsetningen : FOR UAVHENGIGE STØRRELSER 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) ∩= 𝑆𝑛𝑖𝑡𝑡 (𝑜𝑔)

Produktsetningen : FOR AVHENGIGE STØRRELSER 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴)

∩= 𝑆𝑛𝑖𝑡𝑡 (𝑜𝑔) | = 𝐺𝑖𝑡𝑡

Betinget sannsynlighet :

𝑃(𝐵 | 𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

| = 𝐺𝑖𝑡𝑡 ∩= 𝑆𝑛𝑖𝑡𝑡 (𝑜𝑔)

Hendingen 𝑨 : KOMPLEMENTÆRE HENDELSER 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) 𝑃(𝑚𝑦𝑛𝑡) = 1 − 𝑃(𝑚𝑦𝑛𝑡)

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴) = 1 𝑃(𝑚𝑦𝑛𝑡) + 𝑃(𝑚𝑦𝑛𝑡) = 1


Binomialkoeffisienten:

(𝑛𝑘

) Uttales «𝑛 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑘».

Brukes når rekkefølgen vi velger i ikke har betydning, ett uordnet utvalg.

𝑛 er antall gjenstander og 𝑘 er det antall som skal velges.

Eksempel:

Finn hvor mange måter det er å velge epler på når

vi har 7 epler og skal velge 3 av dem.

(73

) =7∙6∙5

3∙2∙1=

210

6= 35

(𝑛𝑘

) =𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)! (

73

) =7!

3!(7−3)!=

5040

6 ∙ 24= 35 ! uttales «𝑓𝑎𝑘𝑢𝑙𝑡𝑒𝑡»

Bionomisk modell:

(𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 1 − 𝑝 = 𝑃(𝐴)

Eksempel:

Vi kaster en mynt der den ene siden er MYNT og den andre siden er KRON.

Vi kaster mynten fem ganger på rad og skal finne sannsynligheten for KRON nøyaktig to ganger.

De fem kastene er da uavhengige.

(𝑛𝑘

) = (52

) =5 ∙ 4

2 ∙ 1=

20

2= 10 Det er 10 muligheter for å få KRON nøyaktig to ganger.

(𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (52

) ∙ 𝑝2(1 − 𝑝)5−2 = 10 ∙ 𝑝2(1 − 𝑝)5−2

La oss si at vi gjennom uendelig mange forsøk har funnet ut at sannsynligheten for å få KRON

når vi kaster mynten er er 0,50.

Da blir: 𝑝 = 0,50

(𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (52

) ∙ 0,502(1 − 0,50)5−2 = 10 ∙ 0,502(1 − 0,50)5−2 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓

Sannsynligheten for å få KRON nøyaktig to ganger når vi kaster mynten fem ganger er 0,3125.


Krysstabell / Venndiagram / Valgtre

Eksempel:

På en skole med 450 elever er det 80 som spiller fotball og 50 som går på ski. 30 av elevene går både på

ski og spiller fotball.

Krysstabell:

Ski (S) IKKE ski Sum

Fotball (F) 30 50 80

IKKE fotball 20 350 370

Sum 50 400 450

Enkelt Venndiagram av krysstabellen:

Utvidet Venndiagram av krysstabellen:

Valgtre med verdier av krysstabellen på to ulike måter:

S FS F 30Ski Fotball 3020 50

Alle (Sum / Sum)

S F

S FS F

350

3020 50

450

Går på ski (S)

Spiller fotball (F)

JA

NE

I

JA

NE

I

Alle (Sum / Sum)

S F S F S F S F

JA

NE

I

450

400 50

350 50 20 30

Spiller fotball (F)

Går på ski (S)

JA

NE

I

JA

NE

I

Alle (Sum / Sum)

F S F S F S F S

JA

NE

I

450

370 80

350 20 50 30


Valgtre

Dette valgtreet viser muligheten for å få krone

eller mynt. BLÅ er krone og RØD er mynt.

For å få krone to ganger etter hverandre følger

vi den BLÅ ubrutte linjen og multipliserer

sannsynlighetene: 1

2∙

1

2=

𝟏

𝟒

. . . for å få krone to ganger på rad.

Valgtre med verdier

I en klasse på 30 elever er det 10 som spiser fisk. 5 spiser kjøtt hvorav 2 spiser både fisk og kjøtt.

Vi kan da sette opp ett valgtre som vist i figuren over.

Legg merke til at tallene horisontalt bli 30 når de summeres

og at summen av sannsynlighetene på hver av grenene er 1.

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "ikke F og ikke K"

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "ikke F og K"

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "F og ikke K"

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "F og K"

Sannsynligheten (𝑃) for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk (𝐹):

𝑃(𝐹) =20

30= 0,66

Sannsynligheten (𝑃) for at en tilfeldig elev spiser fisk (𝐹):

𝑃(𝐹) =10

30= 0,33 eller slik 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑃(𝐹) = 1 −

20

30= 0,33

30

20 10

8 217 3

Spiser fisk (F)

Spiser kjøtt (K)

KF KF KF KF

JANEI

JA

JA

NE

I

NE

I

0,330,

67

0,8

5

0,1

5

0,2

00,8

0

Antall elever i klassen

12

MK MK

12

12

12

12

12

K M


Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk og ikke spiser kjøtt:

𝑃(𝐹 ∩ 𝐾) = 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃(𝐾|𝐹) = 0,67 ∙ 0,85 = 0,57 𝐾|𝐹 betyr at 𝐾 er gitt av at 𝐹 gjelder.

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk men spiser kjøtt:


Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser fisk men ikke spiser kjøtt:


Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser kjøtt og spiser fisk:


30

20 10

8 217 3

Spiser fisk (F)

Spiser kjøtt (K)

KF KF KF KF

JANEI

JA

JA

NE

I

NE

I

0,330,

670,8

5

0,1

5

0,2

00,8

0

Antall elever i klassen

Documents

Arbeidsplan Kapittel 6 Losningsforslag.pdf · Author: Geir Granberg Created Date: 4/10/2019 4:10:52 PM