AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

DEFINICION

El resultado de la medicion de la superficie de una figura plana, utilizando otra como unidad, expresa el numero de veces que aquella contiene a esta. Es la medida de su area .

En el sistema metrico decimal establecido. La unidad de superficie es el metro cuadrado, es decir , un cuadrado de 1 metro de lado .

Para medir superficies pequeñas hay que utilizar sus submultiplos, decimetro cuadrado,, centimetro cuadrado, etc, cuadrado de 1 decimetro, 1 centimetro , etc., de lado.

Con los metodos de que dispone la geomtria elemental, no siempre puede determinarse el valor exacto, del area de una superficie limitada, aunque exista y pueda obtenerse con otros con otros de carácter superior .

En general, las medidas seran solamente aproximadas, por que incluso valores determinados con exactitud, tienen que expresarse con infinitas cifras decimales el numero π utilizado para expresar la longitud de la circunferencia , es un ejemplo.

Cuando dos figuras tienen la mismo area se llaman equivalentes.

Si para medir longitudes se utiliza la unidad de longitud u, los resultados obtenidos para indicar

medida de superficie vendrán expresadas en unidades cuadradas

FIGURAS SEMEJANTES:

Si una figura es semejante a otra de area el area de medida con la

unidad semejante de la de vendrá expresada con la misma medida m, y será:

Tendremos entonces que :

Siendo

La razón de semejanza entre

Por lo tanto: es decir: el area de de una figura semejante a otra con area

se obtiene multiplicando esta por el cuadrado de la razón de semejanza .

RECTANGULO:

El area mas fácil de determinar es el rectangulo.

Para calcular el area de un rectangulo basta pues multiplicar las longitudes de su base b y de su altura h.

ROMBOIDE:

El area de un romboide se obtiene también multiplicando la longitud b de su base por la altura h (distancia entre las bases)

En efecto , si al romboide ABCD le deducimos el triangulo rectangulo ABE y le añadimos el DCF, queda el rectangulo EBCF

equivalente y este tiene la misma base y la misma altura que el romboide inicial . queda pues justificada e n la formula establecida.

TRIANGULO:

El area de un triangulo ABC, se obtiene multiplicando la longitud de su base AC por la de su altura h (distancia de B a AC) y dividiendo por 2 puesto que es la mitad del romboide que se obtiene añadiendo el triangulo BCD definido por las

paralelas por B y C a sus lados opuestos, AC Y AB , y que tiene la misma base y la misma altura que el triangulo dado , es pues:

TRAPECIO:

EL area de un trapecio ABCD se obtiene dividiendo por 2 el producto de la suma de sus bases AD y BC por su altura h (distancia entre ellas ) ya que es la mitad del romboide que se

obtiene prolongando las bases del trapecio en las longitudes CE = AD y DF = BC , pues el trapecio CDEF añadido es igual y por tanto equivalente al dado ABCD .

E s pues:

(producto de la semisuma de las bases por las alturas)

POLIGONOS :

El area de cualquier polígono puede obtenerse dividiéndolo en triangulos y sumando después las areas calculadas para ellos .

En particular, para los polígonos regulares estudiados , triangulo equilátero, cuadrado , pentágono , exagono y decágono se utiliza la expresión:

Siendo el n el numero de lados l la longitud de uno de ellas , a la apotema y p el perímetro .

Para el triangulo equilátero:

Para el cuadrado :

Para el exagono :

Se llama circunfería focal a la que tiene por centro por centro un foco y por radio la constante 2ª

En la figura:

Si se une un foco con un punto M de la cirunferencia foca del otro, la mediatriz t del

segmento es tangente a la elipse en el punto T de su interseccion pues

y para cualquier otro de ella es:

Las dos tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada se obtiene trazando la perpendicular

a dicha dirección, que cortare a la focal de las mediatrices de son

las tengentes buscadas y los puntos de tangencia son sus intersecciones con

Las tangentes desde un punto exterior P se obtiene cortando a la focal por la circunferencia de

centro P y radio en las mediatrices de son las tangentes buscadas

Si el punto P fuera interior no existen tangentes desde el. S fuera de la elipse existiría solo la tangente en él.

LA HIPERBOLA:

Es el lugar geométrico de los puntos P de un plano cuya diferencia de distancia a otros dos fijos en una constante .

Los puntos fijos se llaman focos y su distancia se designa por :

La contante es un segmento de longiud 2a y es :

Tiene que ser en el triangulo :

Es decir:

La curva será simetrica respecto de la recta y de su mediatriz que son sus ejes. El primero

se llama real , y corta a la curva en dos puntos , las verticales y el segundo , imaginario y es exterior a ella. Su intersección O es centro de simetría .

Esta constituida por dos ramas que se van alejando de el centro O hacia el infinito y tanto mas empinadas, cuanto mayor sea c .

Por el contrario la hipérbola es tanto mas achatada cuanto menor es c, en el caso limite en que

c = a degenera a las dos semirectas que resultan de excluir el segmento de la propia recta

y cuando se hace infinito la curva se transforma en dos rectas perpendiculares a por

los estremos del segmento

En la figura:

Las direcciones en las que se alejan las ramas son las de las rectas que pasan por O y forman

angulos de coceno a / c con los segmentos como se muestra en la figura :

Estas rectas se llaman asíntotas y la rama de las curva se va acercando ilimitadamente a ellas.

Para obtener sus puntos basta tomar otros , R, exteriores Al

segmento de la misma recta y con centros

y radios trazar dos circunferencias que se cortan en dos de los puntos buscados

En efecto para

Lo mismo para su simetrico no dibujado .

Se llama circunferencia focal a la que se tiene por centro un foco y por radio la constante 2ª , en la figura:

Si se une con un punto M de la focal de , la mediatriz t de es tangente a la curva en su

intersección con

Si el punto M fuera el de la tangencia desde la mediatriz t es asíntota (tangente en el infinito)

pues t y resultan paralelas (en la figura)

T forma con y con un triangulo rectangulo de catetos a y b e hipotenusa por lo

que para trazar t basta con levanta a la perpendicular P pues la intersección con la

circunferencia de radio y centro O naturalmente será :

Existen dos asíntotas simetricas como se ve en la figura:

La curva tiene dos ramas que se van aproximando a ellas las tangentes paralelas a una dirección se

obtiene como en la elipse trazando desde la perpendicular a ella y tomando las intersecciones con la focal como referencias.

Si hay dos intersecciones resultan dos tangente, si solo hay una, solo hay una tangente que es presisamente la asíntota y si no corta no hay tangente en la dirección dada.

Las tangentes desde un punto exterior se trazan igual que en la elipse.

LA PARABOLA:

L a parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de otro , fijo , y de una recta también fija d.

El punto fijo se llama foco y la recta , directriz(como en la figura inferior A).

La curva es simetrica respecto de la perpendicular e , desde f a d , que corta d en h y que se llama eje de la parablola y pasa evidentemente por el punto medio V de HF .

Cuando F esta muy próximo a d , la curva es muy cerrada y en el caso extremo en que FH = O, coincide en la semirecta de e y extremo F = H.

Por el contrario si FH crece , la curva se va abriendo y aproximándose a la recta paralela a d, cada vez mas lejana, que pasa por el punto medio V.

Los puntos P de la curva se obtienen cortanto paralelas a e por las mediatrices t de los

segmentos o cortando paralelas a d, a la distancia r, por circunferencia de centro F y

radio r pues

Si se desliza un cartabón perpendicularmente a e , como indica la figura Iinferior B y se dispone de un hilo de longitud igual a un cateto paralelo a e, con sus extremos fijos en F y en A, un lápiz que lo mantenga tenso y ajustado al cartabón describirá la parábola por que :

Si se une el foco F con un punto M de d, la mediatriz t de FM, es tangente a la parábola en el

punto de intersección T, con la paralela a e por M pues y en consecuencia T

pertenece a la curva; al mismo tiempo cualquier otro de sus puntos es exterior pues

(figura E)

Figura A figura B

La tangente a una dirección dada r, se obtiene como mediatriz al segundo FM , perpendicular a r (figura c )

Cuando t es vertical resulta tangente en el vértice V .

Las tangentes desde un punto exterior P se determinan utilizando las intersecciones con d,

de la circunferencia con centro en P y radio PF (figura d) son las meditrices

Figura E Figura C Figura D

Ejercicios :

Sea el rectangulo de la figura inferior de lado 5,3 u, y 3,2 u, que suelen denominarse base y altura con la unidad de superficie de lado u, se pueden contar 15 unidades enteras, producto de las partes enteras de las medidas de sus lados 5 x 3

Para medir los 5 rectangulos de dimensiones 1 x 0,2 de la parte superior , de la parte superior y los 3 de dimensiones 0,3 x 1 de la derecha y el de dimensiones 0,3 X 0,2 de la esquina es necesario utilizar el cuadro de lados 0,1 u, que es 1/100 de la unidad principal.

El resultado de la medición expresado en unidades será:

Este es el resultado es el mismo que se obtiene al multiplicar directamente las medidas de sus lados :

Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

SOLIDOS DE REVOLUCION Si tomamos una figura geométrica plana poligonoal y convexa y la hacemos girar alrededor de uno de sus lados, claro esta, manteniendo fijo este lado,obtendremos un cuerpo solido, llamado solido de revolución o solido por rotación. De una manera mas general, podremos hacer girar una figura plana cerrada y convexa alrrededos de una recta que mantenemos fija y también asi obtendremos un solido de revolución.La recta alrededor de la cual gira la figura plana para crear un cuerpo solido se llama eje de rotación o eje del solido. Esta situación se ve con los ejemplos de las figuras que siguen.

Los solidos que se obtienen por rotación y que podemos estudiar, calcular su area y su volumen en el contexto de la geometría euclidiana, con el cilindro , el cono y la espera.

CILINDRO:Muchos objetos de nuestro medio nos dan la idea de un cilindro,los troncos de los arboles, los postes del alumbrado eléctrico, tubos de acueducto etc.

Estos objetos nos dan la idea de lo que en geometría se conoce como cilindro circular recto , al cual nosotros centraremos nuestros estudios.Como dijimos anteriormente enfocamos nuestros estudios de los cilindros como solidos de revolcion y en ese sentido hablamos de los cilindros circulares rectos.

Se considera dos planos y una curva S cerrada en . Esta curva se llama generatriz del cilindro. Se considera una recta L no paralela a los planos . El conjunto de segmentos

constituyen el cilindro con generatriz S y directriz L, con este enfoque un cilindro circular se logra tomando como generatriz un circulo Y como directriz un recta perpendicular al plano

En el contexto de solidos de revolución llamaremos cilindro circular recto al solido que se obtiene por la rotación de un rectangulo alrededor de uno de sus lados y que gira hasta volver a ocupar su posición inicial. SOLIDOS DE REVOLUCION

Durante la rotación del rectangulo ABCD, sus lados AD Y BC permanecen perpendiculares al eje AB , estos círculos se llaman bases del cilindro, el radio AD de la base se llama radio del cilindro y el lado AB , el eje del cilindro ,se llama altura de este.La superficie que describe el lado CD del rectangulo se llama superficie lateral y el lado CD generatriz del cilindro. El modo de cómo se obtiene un cilindro nos sugiere el calculo de su area

Se obtuvo el cilindro por la rotación de un rectangulo del lado r y altura h, girándolo alrededor de h. Si se ”desdobla”el cilindro, se obtendrá un rectangulo, de altura h, y de ancho igual al perímetro del circulo de la base , es decir 2 r.Entonces el area lateral será:

Y el total será:

Para efecto de visualizar el calculo del volumen de un cilindro, es necesario considerar los primas rectos inscritos a un cilindro y primas rectos circunscritos al cilindro. Un prisma recto se dice inscrito a un cilindro dado, si las bases del prisma están inscritas a las bases del cilindro, y se dice circunscrito si sus bases están circunscritas a las del cilindro.

Recordemos que el volumen de un prisma es igual al producto del area de la base por la altura del prisma. El volumen de un cilindro también viene dado por el producto del area de la base por la altura del cilindro. Si la base tiene radio r y la altura es h, entonces, el volumen V del cilindro viene dado por :

A esta formula se llega considerando prismas inscritos y prismas circunscritos al cilindro, al tener estos la misma altura que el cilindro. El volumen de este ultimo, esta entre el volumen del prisma inscrito y el volumen del prisma circunscrito al cilindro. Se aumenta el numero de lados de los polígonos de los prismas y el volumen del cilindro resulta ser el limite del volumen de los prismas. Haciendo tener a infinito el numero de lados a estos. Llamamos cilindros semejantes dos cilindros que provienen de la rotación de rectángulos semejantes alrededor de lados homologos de los rectángulos. Recordemos que dos polígonos son semejantes si y solo si tienen angulos homologos iguales y lados homologos de los rectángulos.

En el caso de dos rectángulos ABCD y los angulos todos son iguales y semejantes si cumplen la relación.

La intersección de un cilindro circular recto con un plano paralelo a su eje es un rectangulo. La intersección de un cilindro circular con un plano perpendicular a su eje es un circulo.Las figuras que siguen representan la intersección de un cilindro con un plano y se observa que según el plano sea paralelo, perpendicular u oblicuo al eje del cilindro, la intersección será un rectangulo, un circulo o un elipse respectivamente .

CONOS Y ESFERAS Los conos y las esperas son solidos que se pueden obtener por la rotación de una figura geométrica plana alrededor de una recta fija.

CONOS:Se llama cono al solido que se obtiene por la rotación de un triangulo rectangulo alrededor de uno de sus catetos. Hoy sabemos que la tierra sigue una trayectoria elíptica alrededor del sol. Estamos acostumbrados a las antenas parabolicas, al servicio de las telecomunicaciones.Las palabras parábola, hipérbola, elipse, son conocidos como conica debido a que se obtienen por la intersección de un cono yun plano. Estas curvas que encuentran una gran cantidad de aplicaciones se estudian ahora con el uso de la geometría analítica. Sin

embargo Apolonio de Perga (llamado por sus sucesores el gran geometra ) escribió en 220 A.C. una exelente obra en ocho libros, llamada conicas y en las cuales tiene su origen en el cono tal como indica la figura

Vista las conicas en un cono de dos mantos resulta :

En la figura del costado se presenta un cono obtenido por la rotación del triangulo rectangulo SOA alrededor del lado SO.El lado SO del triangulo SOA alrededor del cual gira el triangulo se llama eje del cono.

El lado OA que a lo largo de la rotación se mantiene fija en cuanto a longitud perpendicular al eje del cono, describe un ciruculo que se llama base del cono y su radio OA se llama radio del cono.La hipotenusa SA del triangulo SOA describe una superficie llamda , superficie lateral del cono.SA se llama generatriz del cono y también lado del cono o apotema del cono.Si se intersecta un cono por un plano perpendicular a su eje se obtiene un circulo paralelo a su base.El solido comprendido entre la base de un cono y una sección perpendicular a su eje se llama cono truncado. La intersección de un cono con un plano que pasa por el eje de este es un triangulo isoceles.

AREA Y VOLUMEN DEL CONO:Para obtener el volumen de un cilindro se considera prismas inscritos y prismas circunscritos a este. De manera análoga, para obtener el volumen de un cono se considera pirámides inscritas y cirscunscritas al cono. La formula que se obtiene para el area y el volumen del cono son:

Dos conos que se obtienen por la rotación de triangulos semejantes alrededor de catetos homologos se llaman conos semejantes.Podemos encontrar relaciones entre conos semejantes, tal como se izo con los cilindros semejantes. Represetamos conos semejantes con conos que no son semejantes para apreciar la diferencia.

Aquí tenemos conos que no son semejantes, que determina el plano cortante que sean iguales es suficiente que

Osea

Entonces:

B)En este caso tenemos que :

c) por parte a) tenemos:

ENTONCES:

ESFERAS:

Al hablar de esferas pensamos a lo que, por su fabricación y su forma casi perfecta es aun hoy un enigma para la arqueología. Las esferas de Costa Rica, según el boletín del museo de Costa Rica, el departamento de antropología, e historia investiga. Desde hace tres años, las esferas de piedras localizadas en palma sur.A pesar de que las esferas se conocen desde 1940, la ausencia de información hizo pensar en teorías de todo tipo. Se hablo de que fueran moldeadas por energía volcánica. Se dijo son vestigios que dejaron seres extraterrestres. Se conjeturo que en su interior había tesoros almacenados. Las investigaciones indican que las esferas son bloques de piedra, monolitos, con una antigüedad de 800 a 1000 años, y se piensa que tuvieron un sentido ritual o astronómico para los indígenas.Las hay de distintos tamaños, siendo la mayor de 2,5 metros de diámetro. Aunque todavía hay interrogantes sin respuesta, las esferas son bellísimas y son objeto de admiración del mundo entero.

Esta esfera se encuentra en la universidad de Costa Rica, Facultad de Agronimia.Para nuestro estudio podemos decir que las esferas son cuerpos geometricos con los que estamos bastante familiarizados desde nuestros juegos infantiles.Podemos definir a la esfera como el conjunto de puntos en el espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro de la esfera.Tambien podemos considerar a la esfera como el solido que se obtiene por la rotacion de un semicírculo alrededor de su diámetro.Las dos definiciones equivalen:

En una esfera se tiene:

POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS Y PLANOS CON UNA ESFERA:Si tenemos una esfera y una recta se dan las siguientes posibilidades en cuanto a su posición.

La esfera y la recta no se intersecan

La esfera y la recta se intersecan en un punto.Decimos que la recta es tangente de la esfera.

La esfera y la recta se intersecan en dos puntos. Decimos q la recta es secante de la esfera.

Consideramos ahora una esfera de centro C y un plano . En cuanto a su posición relativa tenemos:

El plano y la esfera no se intersecan.

El plano y la esfera se intersecan en un solo punto. Decimos que el plano es tangente a la esfera.

El plano y la esfera se intersecan en un círculo.

Estas ideas, intuitivamente claras, las podemos demostrar.

Pasamos a ver algunas proposiciones relacionadas con la esfera.

EJERCICIOS:

Un triangulo rectangulo gira sucesivamente alrededor de sus tres lados. Muestre que los volúmenes de los solidos que se obtienen son inversamente proporcionales a los lados alrededor de los cuales gira.

De (1)( 2)( 3 ) se observa que los volumenes son inversamente proporcionales a los lados alrededor de los cuales gira el triangulo

Los radios de dos secciones paralelas de una esfera son a y b y la distancia entre ellos es d, determinar el radio de la esfera

Solución : Usando el teorema de pitagoras tenemos :

De donde:

Sustituyendo en tenemos :

http://books.google.com.pe/books?id=oeOIHEtXNHEC&pg=PA139&dq=area+de+una+figura+plana&hl=es&ei=5wgLT7jnF8HY0QHVm6XHAg&sa=X&oi=book_result&ct=book-thumbnail&resnum=2&ved=0CDsQ6wEwAQ#v=onepage&q=area%20de%20una%20figura%20plana&f=false