Embed Size (px)
Citation preview
Mira Mihajlović Petković 1
Na Def: http://public.carnet.hr/~sgrabus/Aniz.php?id=uvod možete provjeriti svoje rješenja zadataka od 1. do 15. iz aritmetičkog niza.
Za niz kažemo da je aritmetički niz ako je razlika susjednih članova niza stalna (konstanta). Ta razlika se označava s d.
2 1 3 2 ..d a a a a
odnosno za n > 1 1n nd a a
Def. (rekurzivna definicija aritmetičkog niza)
1n na a d
A opći član aritmetičkog niza dan je formulom:
1 1na a n d
Svaki član aritmetičkog niza aritmetička je sredina susjednih članova u nizu
1 1
2n n
n
a aa
Suma prvih n članova aritmetičkog niza:
12 1 ,2n
nS a n d n
Izračunavanje diferencije pri interpolaciji r- članova aritmetičkog niza između a i b
1
1
b a r d
b ad
r
Mira Mihajlović Petković 2
Primjer:
1. 2,4,6,8,... - aritmetički niz s razlikom 2
2. 8,6,4,2,... - aritmetički niz s razlikom - 2
Niz je rastući ako mu je razlika d pozitivna, odnosno padajući ako je razlika dnegativna.
U gornjem primjeru prvi niz je rastući a drugi je padajući
Zadatci:
1. Za koje od navedenih nizova možemo naslutiti da su aritmetički nizovi
2, 4.5, 7, 9.5, 12, ...
900,800,700,600,500, ...
2, 4, 8, 16, 32, ...
1, 1, 2, 3, 5, ...
5, 2, -1, -4, -7
2. Kolika je razlika sljedećeg aritmetičkog niza: - 2.7, -2.4, -2.1, -1.8, -1.5 ,... ?
3. Kolika je razlika sljedećeg aritmetičkog niza: 10, 5, 0, -5, -10, .... ?
4. Aritmetički niz 10, 5, 0, -5, -10, ... je rastući. Ova tvrdnja je
Točna
Pogrešna
5. Koji od navedenih aritmetičkih nizova nisu padajući?
10, 5, 0, -5, -10, ...
- 2.7, -2.4, -2.1, -1.8, -1.5 ,...
2, 4.5, 7, 9.5, 12, ...
5, 2, -1, -4, -7
900,800,700,600,500, ...
6. Odredi 13. član aritmetičkog niza kojem je a5 = 2, a40 = 142
a13 =
Mira Mihajlović Petković 3
7. Odredi prvi član aritmetičkog niza ako je:a1 + a7 = 42a10 - a3 = 21
a1 =
8. Za koji realni broj x su brojevi log2, log(2x - 1), log(2x + 3) tri uzastopna člana aritmetičkog niza
x = log 2 x = log52 x = log25 ne postoji x > 1
9. Odredi prvi član aritmetičkog niza kod kojeg je suma trećeg i sedmog člana jednaka 24, a razlika šestog i čtvrtog 4.
a1 =
10. Odredi sumu prvih 18 članova aritmetićkog niza kod kojeg je a5 = 6, a12 = - 15
S18 =
11. Četvrti član aritmetičkog niza je -5, a sedmi - 14. Koliko članova tog niza treba zbrojiti da bi suma bila -387?
n =
12. Kod kojeg od navedenih aritmetičkih nizova je suma prva tri člana 18, a suma njihovih kvadrata 126
a1 = 3, d = -3
a1 = -3, d = 3
a1 = 3, d = 3 a1 = -3, d = -3 a1 = 6, d = 6
13. Stranice pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. Odredi hipotenuzu trokuta ako je njegov opseg 12
c =
14. Riješi jednadžbu:5 + 8 + 11 + 14 + ... + x = 124
x =
Mira Mihajlović Petković 4
15. Koliko brojeva treba umetnuti izmeðu 5 i 25 da bi se dobio aritmetički niz čiji je zbroj 60
broj članova koje treba umetnuti =
16. Odredi aritmetički niz ako je zbroj drugog, trećeg i četvrtog člana jednak 3, a umnožak prvog i četvrtog člana aritmetičkog niza jednak -20.
1a = d=
17. Odredi aritmetički niz ako je zbroj kvadrata trećeg i sedmog člana 122, a zbroj prvog i sedmog člana jednak 4.
1a = d=
18. Koliki je zbroj svih prirodnih brojeva manjih od 5000, a djeljivih s19?
zbroj svih brojeva =
19. Zbroj prvih pedeset članova aritmetičkog niza je 200, a zbroj sljedećih 50 iznosi 2700. Odredi ovaj niz.
1a = d=
20. Odredi sumu prvih 15 članova niza, ako je: 21,42 31071 aaaa
15S =
21. Odredi sumu prvih 100 članova niza, ako je: 6.2,2.0 104115 aaaa
100S =
22. Odredi sumu prvih 10 članova niza, ako je: 60,24 3251 aaaa
10S =
23. Odredi sumu prvih 15 članova niza, ako je: 20,3 41432 aaaaa
15S =
Provjera rezultata
Mira Mihajlović Petković 5
Za niz kažemo da je geometrijski niz ako je kvocijent susjednih članova niza stalan (konstantan). Taj kvocjent se označava s q.
2 1 3 2: : ...q a a a a
odnosno za n > 1 vrijedi: 1:n nq a a
Def. (rekurzivna definicija geometrijskog niza)
1n na a q
A opći član geometrijskog niza dan je formulom:
11
nna a q
Svaki član aritmetičkog niza aritmetička je sredina susjednih članova u nizu
1 1n n na a a
Suma prvih n članova aritmetičkog niza:
1
1
1
n
n
qS a
q
Ako je 1q tada i beskonačni geometrijski niz ima konačan zbroj:
1
1
aS
q .
Izračunavanje kvocjenta pri interpolaciji r- članova geometrijskog niza između a i b
1
1
r
r
b a q
bq
a
Mira Mihajlović Petković 6
Ovaj kviz ćete nažalost morati riješiti djelomično sami:
Zadatci:
1. Za koje od navedenih nizova možemo naslutiti da su geometrijski nizovi
2, 4.5, 7, 9.5, 12, ...
900,450,225.5,112.75, ...
2, 4, 8, 16, 32, ...
1, 1, 2, 3, 5, ...
5, 2, -1, -4, -7
2. Koliki je kvocijent sljedećeg geometrijskog niza: - 2, -1, -0.5, -0.25, ... ?
3. Koliki je kvocijent sljedećeg geometrijskog niza: 10, 5, 1, 0.2, 0.04, .... ?
4. Geometrijski niz 10, 5, 0, 0.5, 0.04, ... je rastući. Ova tvrdnja je
Točna
Pogrešna
5. Koji od navedenih aritmetičkih nizova nisu padajući?
81,27,9,3,1/3
625,125,25,5 ,...
2, 4,8,16,32, ...
1,4,16,64,256,…
1000,100,10,1, ...
6. Odredi 13. član geometrijskog niza kojem je a5 = 5, a8 = 625
a7 =
7. Odredi prvi član geometrijskog niza ako je:
7 1
7 4
728
702
a a
a a
a1 =
Mira Mihajlović Petković 7
8. Odredi prvi član geometrijskog niza kod kojeg je razliku sedmog i trećeg člana jednaka 720, a suma šestog i četvrtog 270.
a1 =
9. Odredi sumu prvih 18 članova geometrijskog niza kod kojeg je a5 = 162, a2 = 6
S18 =
10. Četvrti član geometrijskog niza je 54, a sedmi 648. Koliko članova tog niza
treba zbrojiti da bi suma bila26240
9?
n =
11. Kod kojeg od navedenih geometrijskih nizova je suma prva tri člana 26, asuma njihovih kvadrata 364
a1 = 2, q = 3
a1 = -2, q = 3
a1 = 2, q = -3 a1 = -2,
q = -3 a1 = 6,q = 6
12. Stranice pravokutnog trokuta čine geometrijski niz. Odredi najdužu stranicu trokuta ako je njegov opseg 19.
c =
13. Riješi jednadžbu:8
3+ 4 + 6 + 9 + ... + x =
665
12
x =
14. Koliko brojeva treba umetnuti između 1 i 625 da bi se dobio geometrijski niz čiji je zbroj 781
broj članova koje treba umetnuti =
15. Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: ...,21
,1,2
zbroj članova geometrijskog reda S =
Mira Mihajlović Petković 8
16. Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: ...,97
1,32
2,4
zbroj članova geometrijskog reda S =
17. Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: ...,2.11
,2.1
1,1
2
zbroj članova geometrijskog reda S =
18. Odredite zbroj članova beskonačnog geometrijskog niza: ...,24
1,
2
1,2
zbroj članova geometrijskog reda S =
19. Riješi jednadžbu: 5.0xza2.14.3...)2(...421 2 xxxx n
rješenje jednadžbe x =
20. Riješite jednadžbu 1
5 4
1
5 4
1
5 4
1
5 971 1 2 1 3x x x x
( ) ( )... .
rješenje jednadžbe x =
Provjera rezultata
Mira Mihajlović Petković 9
Geometrijski niz
7.
7 1
7 4
728
702
a a
a a
=>
7 1 67 1 1
4 1 34 1 1
a a q a q
a a q a q
=>
61 1
6 31 1
728
702
a q a
a q a q
=>6
1
3 31
( 1) 728
( 1) 702
a q
a q q
=> 1a 6
1
( 1)q
a
3 3
728
( 1)q q
28
702 27
=>
3 3( 1) ( 1)q q 3 3( 1)q q
328/ 27
27q => 3 327( 1) 28q q => 3 327 /q
=> 3q => 6
1
1
(3 1) 728
1
a
a
8.
7 3
6 4
720
270
a a
a a
=>
3 1 23 1 1
7 1 67 1 1
6 1 56 1 1
4 1 34 1 1
a a q a q
a a q a q
a a q a q
a a q a q
=> 6 2
1 1
5 31 1
720
270
a q a q
a q a q
=>
2 41
3 21
( 1) 720
( 1) 270
a q q
a q q
=>
21a q 4
1
( 1)q
a
3q 2
720
270( 1)q
=>
2( 1)q 2
2
( 1)
( 1)
q
q q
8720
3270
=> 2( 1) 8
/ 33
q
=> 23( 1) 8q q => 23 8 3 0q q
22
1.2 1 2
8 8 4 3 34 8 10 23,
2 2 3 6 3
b b acq q q
a
1
2 41
1 1
3
3 (3 1) 720
1
q
a
a
Mira Mihajlović Petković 10
2
2 4
1
1
2
3
2 21 720
3 3
4 161 720
9 81
q
a
a
=>
1
1
1 2
4 65720
9 81
260720
729
720
a
a
a
36 729
260
13
26244
13
9.4
5 1
2 1
162
6
a a q
a a q
=> 1a 4q
3
1a q
27162
6 => 3 327 /q => 3q
=> 2 1 3 6/ :3a a => 1 2a => 18 18
18 1
1 3 12 387420488
1 3 1
qS a
q
10. 34 124a a q
67 1648a a q
26240
9?
nS
n
1a 6q3
31a q
648
27
24 => 3 327 /q => 3q
8
34 1 1
2454 3a a a
27 9
8
9
1
1 26240
1 9
8 3 1 26240
9 3 1 9
n
n
n
qS a
q
/ 9 2
8 (3 1) 52480/ :8n
=>8
3 1 6560
3 6561
3 3
8
n
n
n
n
11.1 2 3
2 2 21 2 3
26
364
a a a
a a a
a1 = 2, q = 3
a1 = -2, q = 3
a1 = 2, q = -3 a1 = -2,
q = -3 a1 = 6,q = -6
Mira Mihajlović Petković 11
12. 1a a
2 1
23 1
2 2 21 2 3
19
b a a q
c a a q
a a a
a b c
=>2 2 2 21 1 1
21 1 1
( ) ( )
19
a a q a q
a a q a q
=>
21a 2 2
1(1 )q a 4 21
21
/ :
(1 ) 19
q a
a q q =>
2 4
2
2
22
1,2
1
1
1 0
1 0
1 1 4 1 14 1 5
2 2 1 2
1,62
0,62
q q
q x
x x
b b acx
a
x
x
=>
2
1,2
3,4
/
1,62 1, 27
0,62 0,79
q x
q x
q
q i
Rješenje je jedino 1 1,27q =>
21
1
1
(1 1, 27 1, 27 ) 19
3,8829 19/ : 3,8829
4,8932
a
a
a
=> 2 23 1 4,8932 1,27 7,8923c a a q
13.8
3+ 4 + 6 + 9 + ... + x =
665
12
1
1
8
34 6 9 38 4 6 23
31
1 8 665231 3 1212
n
n
n
a
q
qS a
q
=>
31
8 665213 122
16 3 665 31 /
3 2 12 16
3 6651
2 64
n
n
n
=> 6
3 6651
2 64
3 729
2 64
3 3
2 2
6
n
n
n
n
Mira Mihajlović Petković 12
14. 1 1a 1 1
1
1
625 1
1781
1
n nn
n
n
a a q q
qS a
q
1 625
625
625
n
n
n
q
q
q
q q
=>
1 781 ( 1)
625 1 781 781
625 781 781 1
7805
156
nq q
q q
q q
q
=>4
5 625
5 5
4
_ 2 2 _
n
n
n
Umetnuti n člana
15. 1 2a 1
1 22 1
q => 1 24
11 12
aS
q
16. 1 4a
2 7 82 1 23 9 3
24 4 323
q => 1 412
21 13
aS
q
17. 1 1a
2
1 111.2 1.2
11 1.21.2
q => 1 1 16
1 0.21 11.2 1.2
aS
q
18. 1 2a
11222
q => 1 2 22 2
1 11 12 2
aS
q
Mira Mihajlović Petković 13
19. 1 1a
1
22
11
3.4 1.2 / (1 2 )1 1 2
xq x
aS x x
q x
=> 2
2
1 (3.4 1.2 ) (1 2 )
1 3.4 6.8 1.2 2.4
2.4 8 2.4 0
x x
x x x
x x
=>
2 2
1,2 1
2
4 8 8 4 2.4 2.4 8 6.4 8 6.4 31
2 2 2.4 4.8 4.8 128 6.4 1
4.8 3
b b acx x
a
x
zbog 0.5x => 1
2
31 310.5 _ _
12 12
1 10.5 _ _
3 3
x nije rješenje
x je rješenje
20. 1 1
1
5 4xa
1 2
1
1
11(5 4)
1 5 45 4
x
x
x
q
111
1
115 45 4
11 15 4
xx
x
aS
q
1
1
5 4 1
5 4
x
x
1
1
5 3x
11
1
1
1 1/ 5 3 5 97
5 3 5 97
5 97 5 3
5 97 5 3 0
55 100 0 / 5
5
x xx x
x x
x x
xx
=>2
5 5 5 100 0
4 5 100/ : 4
5 25
5 5
2
x x
x
x
x
x
Mira Mihajlović Petković 14
1. Izračunaj:
a) Napiši prvih 5 članova niza i utvrdi je li niz aritmetički ako je: 13 nan .
b) Odredi opći član aritmetičkog niza ako je: 31 a , 2
3d .
c) Odredi član aritmetičkog niza ako su mu zadani neposredni prethodnik i
neposredni sljedbenik: 1
22
a
aa,
1
1
a.
2.Izračunaj nepoznatu veličinu aritmetičkog niza:
121 a , 4d , ?n , 100na , ?nS .
3. Izračunaj:
a) Između brojeva 62 i 22 umetni 6 brojeva tako da svi zajedno čine aritmetički niz.
b) Između brojeva 5 i 160 umetni 4 broja tako da svi zajedno čine geometrijski niz.
4.Izračunaj nepoznatu veličinu geometrijskog niza:
3
11
a , ?q , 6n , 81na , ?nS .
5. Odredi sedmi član geometrijskog niza za koji vrijedi: 335 aa , 145 aa .
6. Odredi realni broj x tako da zadani niz bude geometrijski:
3
1
x,
2
1
x,
4
1
x.
Mira Mihajlović Petković 15
1. Napiši prvih pet članova niza ako je zadan opći član:a) 13 2 nan
b) nna nn 232
2. Izračunaj: a) Napiši prvih pet članova aritmetičkog niza ako je zadano: 2,51 da
b) Nađi 15a aritmetičkog niza, ako je zadano: 20,14 107 aa
c) Za koji aritmetički niz vrijedi: 1
34
25
107
aa
aa . Ispiši prvih pet članova
dobivenog niza.
3. Izračunaj:
a) Napiši prvih pet članova geometrijskog niza ako je zadano: 5
1,251 qa
b) Nađi 7a geometrijskog niza, ako je zadano: 27
5,
3
553 aa
c) Za koji geometrijski niz vrijedi:
243
40027
50
73
53
aa
aa . Ispiši prvih pet članova
dobivenog niza.
4. Izračunaj
a) Koliko brojeva treba umetnuti između 5 i 25 da bi se dobio aritmetički niz čiji je zbroj 60
b) Koliko brojeva treba umetnuti između 1 i 625 da bi se dobio geometrijski niz čiji je zbroj 781
Mira Mihajlović Petković 16
1. Napiši prvih 10 članova niza:
1
1
1
) 1
, 2
1) 1 , 1
1
n n
n
n
a a
a n a n
nb a n
n
2. Odredi aritmetički niz u kojem je:
5 3 6
8 8 4
) 11 ) 22
20 16
a a b a a
a a a
. Napiši prvih 5 članova.
3. Odredi geometrijski niz u kojem je
3 4 2
6 5 3
1) ) 18
24 36
a a b a a
a a a
Napiši prvih 5 članova.
4. Izračunaj sumu 8 4 2 1
...3 3 3 3
![P ZBIRKE U P · >>> niz[5] 'a' >>> niz[len(niz)] Traceback (most recent call last): File "", line 1, in niz[len(niz)] IndexError:](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f79b21423d375299c22149f/p-zbirke-u-p-niz5-a-nizlenniz-traceback-most.jpg)
![Složeni tipovi podatakaapeg.ac.me/nastava/Slozeni tipovi podataka.pdf · niz[5] niz[6] niz[7] Polja NIZOVI ? Deklaracija niza Opšti oblik deklaracije: tip ime_niza [broj_elemenata]](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f2d05b7ebe5654d53174c0d/sloeni-tipovi-tipovi-podatakapdf-niz5-niz6-niz7-polja-nizovi-deklaracija.jpg)
