Aritmetik. A - skolverket.se · DIAMANT – NATIONELLA DIAGNOSER I MATEMATIK 5 A Aritmetik komment Arer k AS9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform AS3 Addition och

DIAMANT – NATIONELLA DIAGNOSER I MATEMATIK 1

A

Aritmetik. A

Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna har grundläggande färdigheter i aritmetik och därmed nödvändiga förkunskaper för att kunna arbeta med andra områden inom matematiken.

Området består av följande fyra delområden:AF Förberedande aritmetikAG Grundläggande aritmetikAS Skriftlig räkningAU Utvidgad aritmetik

Sambandet mellan delområdena ser ut så här:

AS Skriftlig aritmetik

AU Utvidgad Aritmetik

AF FörberedandeAritmetik

AG GrundläggandeAritmetik

R Rationella tal

Strukturschemat visar att förberedande aritmetik, AF är förkunskaper till grundläggande aritmetik, AG, som i sin tur innehåller förkunskaper till skriftlig räkning, AS och utvidgad aritmetik, AU. AG är även förkun-skap till R som handlar om de rationella talen och dess aritmetik.


A

Aritm

etik

kommentArerk

I kursplanen i matematik i Lgr11 har det centrala inne-håller delats in i ett antal områden. Ett sådant område är Taluppfattning och tals användning. Detta är ett stort område och omfattar en mycket stor del av den matematik som undervisas i grundskolan. Den tidigare versionen av Diamant bygger på strukturen i Lpo 94. För att inte skapa förvirring för dem som tidigare an-vänt Diamantdiagnoserna, har vi i huvudsak bibehållet den gamla strukturen. Detta innebär att vi delat upp den aritmetik som ingår i Taluppfattning och tals an-vändning i två områden, A, aritmetik och R, rationella tal. Område A är här uppdelat i fyra delområden AF, förberedande aritmetik, AG grundläggande aritmetik, AS skriftlig räkning och AU utvidgad aritmetik, där de tre förstnämnda omfattar aritmetik med naturliga tal och AU, även aritmetik med irrationella tal. Samtidigt handlar område R, som omfattar delområdena RB, tal i bråkform, RD, tal i decimal form och RP Pro-portionalitet och procent, om de rationella talen och dess aritmetik. Logiskt sett borde givetvis RB, RD och RP vara delområden till A, men området A skulle då bli ohanterligt stort. Ett annat alternativ skulle vara att kalla AU för RU och låta det till höra område R. Förkunskapsmässigt hänger AU emellertid närmare samman med AG, vilket motiverar vårt val.

Med hjälp av diagnoserna inom detta område kan man ta reda på kvalitet och omfattning av de begrepp och metoder som eleven har inom aritmetik för att kunna utveckla förmågan att:

– formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,

– använda och analysera matematiska begrepp och sam-band mellan begrepp,

– välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter

– föra och följa matematiska resonemang, och

– använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser

En väsentlig del av den grundläggande matematik-undervisningen bygger på räknelagar och räkneregler. Genom att tidigt synliggöra detta i undervisningen underlättar man för eleverna att utveckla förmågan att kunna resonera, bygga begrepp och se samband samt att senare kunna generalisera den grundläggande arit-metiken till andra områden. Genom att tala matematik ska eleven få hjälp att se olika beräkningsmetoders styrkor och svagheter samt lära sig att använda de matematiska uttrycksformerna, inom området, på ett korrekt sätt.

Diagnoserna ger eleven möjlighet att visa kunskaper inom följande centrala innehåll:

Årskurs 1–3Taluppfattning och tals användning:

– Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning.

– Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal….

– De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.

– Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräk-ningar med skriftliga metoder…..

– Rimlighetsbedömningar vid enkla beräkningar…

I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3 finns följande:

– Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–200. Detta innebär att eleven ska klara att utföra subtraktioner av typ 142 – 69, vilket ställer krav på tabellkunskaper i talområdet 0–20 med 10-talsöver-gång, användning av räknelagar och god taluppfatt-ning. Eleven ska således behärska grundläggande additioner och subtraktioner. Att behärska delar av multiplikationstabellen är också nödvändigt för att nå en godtagbar kvalitet när det gäller förmågan att välja och använda matematiska metoder.

Området Aritmetik i relation till syfte och centralt innehåll i kursplanen i matematik


A

Aritm

etik

kommentArerkÅrskurs 4–6Taluppfattning och tals användning:

– Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal och enkla tal i decimalform ….vid beräkningar med skriftliga metoder.

I kunskapskraven i slutet av årskurs 6 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men det är nödvändigt att behärska de fyra räknesätten med naturliga tal och tal i decimalform såväl i huvudet som med skriftlig metod för att nå godtagbar kvalitet när det gäller förmågan att välja och använda matema-tiska metoder anpassade till ett sammanhang samt att utveckla sin förmåga att utföra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik med allt bättre resultat.

Årskurs 7–9Taluppfattning och tals användning:

– Talsystemets utveckling från naturliga tal till reella tal.

– Potensform för att uttrycka små och stora tal samt användning av prefix.

I kunskapskraven i slutet av årskurs 9 finns ingen direkt beskrivning i relation till det centrala innehållet men eleven ska kunna välja i ett utbyggt begrepps och verktygsförråd samt kunna använda sig av olika mate-matiska uttrycksformer vid problemlösning.

I årskurs 7–9 sker en utveckling av elevens kun-skaper från vardagens matematik till en mer formell och generell matematik. För att med framgång kunna arbeta med reella tal och algebra krävs det att eleven är säker på den grundläggande aritmetiken, på räknelagar och räkneregler.


A

Aritm

etik

kommentArerk

om räknelagar och räknereglerDen grundläggande aritmetiken har en avgörande betydelse för elevens fortsatta matematikinlärning. Matematikkunskaper handlar inte enbart om att kunna räkna, utan om att förstå den matematik som används. Redan i årskurs 1 bör eleverna få kännedom om de grundläggande begrepp som utgör basen för all matematik. Alla dessa begrepp kan konkretiseras i undervisningen. Målet med konkretiseringen är att den ska leda till abstraktion. Ju tidigare en elev tillägnar sig dessa grundläggande begrepp desto lättare blir det för eleven att såväl lära sig mer matematik, som att ut-veckla intresse för matematik och tilltro till sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang.

Under de första skolåren är det viktigt att eleverna utvecklar en bra taluppfattning och att de får ett bra flyt i räknandet. En förutsättning för detta är att man talar matematik med eleverna och att de får öva på ett meningsfullt och utvecklande sätt. Eleverna bör också göras medvetna om att undervisningen inte går ut på att enbart göra saker inom matematik utan att förstå vad de gör, t.ex. att kunna utföra beräkningar på ett sätt som senare kan generaliseras till nya områden. Följande aspekter av en taluppfattning bör eleven möta under de första skolåren, med början redan i förskolan och förskoleklassen.

Taluppfattning handlar om att ha en sådan känsla för hur talen är uppbyggda, att man direkt, utan att reflektera, kan operera med talen. I en sådan talupp-fattning ingår

• attbehärskatalensordningochdessgrannarsåsom- att 6 + 1 = 7 eftersom 7 är talet efter 6 - att 8 – 1 = 7 eftersom 7 är talet före 8 - att 8 – 7 = 1 eftersom talen 7 och 8 är grannar

• attbehärskapositionssystemetmedbasen10samt10 tals- och 100 tals-övergångar såsom- att 18 betyder 10 + 8- att 35 betyder 3 ∙ 10 + 5- att 98 + 3 = 101 - att 101 – 2 = 99

• attkunnatillämpadegrundlägganderäknelagarna, i första hand - de kommutativa räknelagarna: a + b = b + a och

a ∙ b = b ∙ a- de associativa räknelagarna (a + b) + c = a + (b + c)

och (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c) - den distributiva lagen a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c

• attbehärskatalsuppdelningitermerochfaktorersåsom- att 10 = 8 + 2 och 7 = 5 + 2,

vilket i sin tur ger en förklaring till tiotals-övergången 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5

- att 28 = 4 ∙ 7 och 100 = 4 ∙ 25, vilket kan utnyttjas vid beräkningar som 28 ∙ 25 = 7 ∙ 4 ∙ 25 = 7 ∙ 100 i huvudet

• attbehärskatalsstorleksordning,attavrundataloch- att arbeta med runda tal såsom- att 32 – 19 är ungefär lika med 32 – 20, men 1

mer. (Det är som att köpa något för 19 kr, betala med två tior och få en krona tillbaka.)

- att genom lika tillägg (differens) se att 32 – 19 = 33 – 20, (Man kan t.ex. tänka på åldersskillnaden 32 år och 19 år, som är densamma om ett år.)

Elever bygger inte upp en grundläggande taluppfatt-ning av sig själva. För detta krävs en genomtänkt, långsiktig planering från lärarens sida och rika tillfäl-len för eleven att praktisera kunskapen. Detta arbete bör grundläggas i årskurs 1 och därefter följas upp och fördjupas under hela skoltiden.

Det räcker emellertid inte med att ha en bra tal-uppfattning. En förutsättning för att elever ska kunna operera med tal, alltså att kunna utföra beräkningar, är att de behärskar talen och dess egenskaper på ett sådant sätt att operationerna kan ske med flyt. Det kan jämfö-ras med läsinlärning. Det räcker inte med att förstå hur bokstäverna uttalas och hur de kan sammanfogas till ord. För att läsningen ska bli funktionell måste läsan-det ske med flyt, alltså kunna utföras så automatiskt att eleverna kan fokusera på innehållet i det lästa och inte på avkodandet av bokstäver och morfem.

Diagnoserna inom området aritmetik testar om eleven har abstraherat det grundläggande aritmetik-kunnandet. Dessa diagnoser ska ges först när man tror att eleven har abstraherat och behärskar detta kunnande. Diagnoserna ges på tid för att eleven ska få möjlighet att visa att hon har flyt i sitt kunnande.

Didaktiska kommentarer till område A


A

Aritm

etik

kommentArerk

AS9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform

AS3 Addition och subtraktion, textuppgifter

AS2 Skriftlig substraktion

AUn1 Negativa tal, taluppfattning

AUp1 Potenser grundläggande

AUn2 Negativa tal, addition och subtraktion

AUp2 Potenslagar 1

AUp4 Kvadratrötter

AUn3 Negativa tal, multiplikation och division

AUp3 Potenslagar 2

AUn4 Negativa tal

AUp5 Potenser och kvadratrötter

AS1 Skriftlig addition

AS4 Skriftlig multiplikation

RD2 RD4

RD3 RD5

AF Förberedande aritmetik

AG1 Addition och subtraktion, talområdet 1–9

AG2 Addition och subtraktion, talområdet 10–19, utan tiotalsövergång

AG4 Addition och subtraktion, inom talområdet 20–99


AG5 Räknesättens innebörd, addition och subtraktion

AG7 Generaliserad multiplikationstabell

AG9 Räknesättens innebörd, multiplikation och division

AS8 Skriftlig division, tvåsiffrig nämnare

AS7 Skriftlig multiplikation, flersiffriga faktorer

AS6 Multiplikation och division, textuppgifter

AS10 Skriftlig multiplikation, tal i decimalform

AS11 Skriftlig division, tal i decimalform

AS5 Skriftlig division

AG8 Divisions-tabell

AG6 Multiplikationstabellen

Aritmetik. Alla diagnoser


A

Aritm

etik

kommentArerk

Delområdet AF innehåller en diagnos med tio upp-gifter som syftar till att undersöka om eleven har den grundläggande taluppfattning som behövs för att börja addera och subtrahera.


AG Grundläggande aritmetik

Förberedande Aritmetik. AF


A

Aritm

etik

kommentArerk

Vad ingår i en grundläggande taluppfattning?När eleverna börjar förskoleklassen/skolan har de mycket olika erfarenheter av matematik. Vissa av dem kan redan talens namn och ordning upp till 20 och kan dessutom räkna 10–20 föremål. Andra kan ännu inte detta. Såväl forskning som beprövad erfarenhet visar att elever i den senare gruppen riskerar att få svårigheter i sin matematiska utveckling.

Forskning visar att barn har en förmåga att förstå och lära grundläggande matematik i tidiga åldrar. Två forskare som ägnat stor uppmärksamhet åt detta och som fortfarande utgör en central referens inom området, är Gelman och Galistel (1978). De menar att barns förmåga att hantera tal är i det närmaste gene-tiskt betingat och byggs upp på samma sätt som mo-dersmålet. Det innebär att barn som har utvecklat sin förmåga att tala också borde kunna hantera grundläg-gande räkning. Den enda väsentliga skillnaden består i att barn hela tiden omges av ett språk medan de inte alltid omges av motsvarande numeriska miljö. Som exempel vet man att barn som är döva blir sena i sin språkutveckling, men att detta inte beror på bristande språklig förmåga. På motsvarande sätt kan ett barn inte bygga upp en förmåga att räkna om det växer upp i en miljö där man inte räknar.

När elever lär sig läsa, bygger läsandet på att de har en erfarenhet av att tala. Samma sak gäller för matema-tik. I skolan börjar man tidigt med att läsa och skriva siffror. För de elever som ännu inte har upptäckt och lärt sig använda matematik i vardagen kan detta för-svåra inlärningen. Av det skälet är det viktigt att tidigt kartlägga elevers grundläggande taluppfattning och därmed förebygga svårigheter som annars kan uppstå.

Genom bland andra Gelman och Galistels forskning kan man bilda sig en uppfattning om vad det innebär att kunna räkna föremål. De delar upp denna förmåga i fem delar, fem principer. De första tre av dessa är:

1. Abstraktionsprincipen som innebär att det är möj-ligt att bestämma antalet föremål (element) i varje väl avgränsad mängd.

2. ett-till-ett principen som innebär att man, genom att ordna föremål parvis, kan avgöra om två mäng-der innehåller lika eller olika många föremål.

3. Principen om godtycklig ordning som innebär att man får samma resultat oavsett i vilken ordning man räknar föremålen.

De här tre principerna anses vara genetiskt nedärvda och brukar utvecklas i tidig ålder. För att barn ska kunna hantera dem krävs det emellertid en miljö där principerna kan användas. De två övriga principerna utvecklas i en social kontext (sammanhang) och kräver träning. Dessa principer är:

4. Principen om talens stabila ordning. För att kunna ange antalet föremål i en mängd krävs det att man gör en ett-till-ett tillordning (parbildning) mellan räkneord och föremål. Detta kräver att man behärskar talens namn i rätt ordning.

5. Antalsprincipen som innebär att det sist nämnda talnamnet vid en uppräkning (enligt princip 4) anger antalet föremål i den uppräknade mängden.

Att ett barn får svårt med att hantera tal eller antal, beror i allmänhet på att barnet ifråga ännu inte har förstått en eller flera av de nämnda principerna. Denna grundläggande förståelse är nödvändigt för att kunna följa skolans undervisning i matematik.

En del av syftet med undervisningen i matematik är att eleven ska abstrahera, alltså lämna det konkretise-rande arbetet och utföra matematiska operationer i hu-vudet. Det som diagnostiseras i uppgifterna 7 och 8 på diagnosen inom delområdet är om eleverna nått detta stadium i sin utveckling, att de på en enkel nivå har lämnat det konkretiserande arbetet. För de elever som ännu inte har abstraherat och därmed inte klarat dessa delar av diagnosen krävs ny inlärning. Denna inlärning bör utgå från en konkretisering med avsikten att eleven ska förstå idén, alltså att de har abstraherat. Detta inne-bär att dessa båda uppgifter ska lösas i huvudet, inte med hjälp av fingrar eller material.

Didaktiska kommentarer till delområdet AF


A

Aritm

etik

kommentArerk

Förberedande aritmetik | DIAGnoS AF

Diagnosen är muntlig och omfattar tio uppgifter där eleverna ges möjligheter att visa om de har en tillräck-ligt god taluppfattning inför skolstarten. Diagnosen bör helst genomföras och följas upp redan i försko-leklassen men allra senast vid skolstarten i årskurs 1. Syftet med de olika uppgifterna framgår av diagnosen. Vad som kartläggs i diagnosen är om eleven har en grundläggande taluppfattning och kan:

• användatalradenföruppräkning

• kännaigentalensgrannar

• skrivasiffror.

GenomförandeDiagnosen ska genomföras i intervjuform med en elev i sänder. Det material man behöver är 22 föremål såsom knappar, gem eller något liknande. Materialet används i frågorna 4, 5, 6, 9 och 10. Däremot är det viktigt att eleverna inte använder material när de svarar på frågorna 7 och 8.

De tio frågorna på diagnosen ska helst formuleras exakt som de är ställda i diagnosen. Däremot kan antalet knappar som används varieras beroende på vilken elev man intervjuar. Det viktiga är att man är medveten om syftet med respektive fråga och vet vad man frågar om.

Alla frågorna i diagnosen behöver inte ställas vid samma tillfälle, utan kan spridas ut under en längre tid. Däremot är det viktigt att man efter hand som man intervjuar eleverna successivt antecknar resultatet i den bifogade resultattabellen.

Det tar cirka 5–10 minuter att genomföra den här diagnosen. Notera kontinuerligt resultaten i resultat-tabellen. Använd gärna de förslag till noteringar som ges i diagnosen.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultattabellen. Där kan man se om det bara är enstaka elever som är osäkra på en uppgift eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Med den typen av information som den här diag-nosen ger blir det möjligt att möta respektive elev på sin nivå och att under en inskolningsperiod korrigera så mycket som möjligt av eventuella brister i elevernas taluppfattning. Genom att upptäcka elever som redan kommit långt i sin utveckling av taluppfattning, kan man även undvika att ge dem för enkla och därmed ointressanta uppgifter. För de elever som ännu inte utvecklat denna förståelse kan man få reda på vilken förförståelse som saknas och som man successivt måste förbättra. Under själva intervjun får man dessutom en hel del annan värdefull information om elevernas syn på skola och matematik.

FacitDet går givetvis inte att ge ett exakt facit till de här uppgifterna, utan här får du som lärare själv bedöma kvaliteten i elevens svar. För elevens bästa bör varje tendens till osäkerhet noteras och följas upp.


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

material: 22 föremål såsom gem eller knappar.

1 Syfte: Att ta reda på hur stor del av talraden eleven behärskar, alltså klarar direkt, utan att tveka.

Uppgift: Hur långt kan du räkna?

Om eleven inte uppfattar frågan kan man hjälpa eleven på traven genom att börja räkna: ett, två, tre … hur fortsätter man?

Notera i resultatblanketten hur långt eleven kommer i talraden utan att staka sig eller hoppa över något tal.

2 Syfte: Att ta reda på om eleven har förkun-skaper för att kunna ”räkna från första/största termen”, en viktig förkunskap för addition.

Uppgift: Börja på 5 och fortsätta räkna.

Om eleven inte uppfattar innebörden i frågan kan man ge ett exempel: När man räknar från 3, så räknar man 4, 5, 6 osv. Försök nu fortsätta räkna från 5.

Notera Ja eller Nej i resultatblanketten.

3 Syfte: Att ta reda på om eleven kan räkna bakåt från ett givet tal, en viktig förkunskap för sub-traktion.

Uppgift: Börja på 10 och räkna bakåt.

Om eleven inte uppfattar innebörden i frågan så kan man ge följande exempel: När man räknar från 7 och bakåt så räknar man 6, 5, 4, 3 osv.

Om eleven inte klarar bakåträkning från 10, så pröva om hon kan räkna bakåt från 5.

Notera Nej eller Ja från 5 eller Ja från 10.

4 Syfte: Att ta reda på om eleven kan visa hur många föremål (vilket antal) som svarar mot ett givet tal.

Uppgift: Lägg upp 14 knappar (föremål) på bordet.

Notera hur många knappar eleven klarar av att räkna utan att staka sig.

5 Syfte: Att ta reda på om eleven kan använda tal-raden korrekt för att bestämma antalet föremål.

Inled genom att lägga 22 knappar (föremål) i oregelbunden ordning på bordet.

Uppgift: Hur många knappar ligger det på bor-det? Om en elev inte kan räkna alla knapparna, minska antalet knappar till 15, 10 eller 5 och upprepa därefter frågan.

Notera hur många knappar eleven klarar av att räkna. Notera också om eleven säger att det är 1, 2, 3, … 10 knappar eller att det är 10 knappar (antalsprincipen).

6 Syfte: Att ta reda på om eleven förstår principen om godtycklig ordning, dvs. att det blir samma resultat oavsett i vilken ordning man räknar föremålen.

Låt det antal knappar (föremål) som eleven kla-rade av att räkna i fråga 5, ligga kvar på bordet. Fortsätt samtalet från fråga 5.

Uppgift: Du sade att det var 22 (el. motsv.) knappar. Nu ska jag räkna och börjar på den knappen. (Peka på en annan knapp än den som eleven började på.) Hur många tror du jag får det till? … Varför?

Om eleven direkt säger 22 (el. motsv.) med en korrekt motivering, notera Ja. Om eleven tvekar, eller om eleven gissar på ett nytt tal, notera Nej.

7 Syfte: Att ta reda på om eleven förstår att addi-tion av ett tal med 1 ger nästa tal i talraden, en viktig förkunskap till addition.

Uppgift: Det ligger 6 apelsiner i en skål. Om du lägger dit en apelsin till, hur många apelsiner är det då i skålen? Eleven ska kunna svara utan att använda föremål eller fingrar. Här gäller det att se om eleven kan abstrahera (kan utföra opera-tionen i huvudet).

Notera Ja eller Nej.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

8 Syfte: Att ta reda på om eleven förstår att sub-traktion av ett tal med 1 ger föregående tal, en viktig förkunskap till subtraktion.

Uppgift: Det ligger 6 apelsiner i en skål. Om du tar bort en apelsin, hur många är det då i skålen? Eleven ska kunna svara utan att använda föremål eller fingrar. Det gäller att se om eleven kan abstrahera (kan utföra operationen i huvudet).


9 Syfte: Att ta reda på vilken additionsstrategi eleven använder

Lägg 3 knappar i elevens ena hand och 5 knap-par i en av dina händer.

Uppgift: Hur många knappar har du?

(Peka på handen med 3 knappar.) Hur många knappar har jag? (Visar din hand med 5 knap-par.) Hur många knappar har vi tillsammans? (Håll händerna öppna bredvid varandra.)

Notera Räknar alla (uppräkning från början), räknar från 3 (från första), räknar från 5 (från största) eller Ser direkt (Vet).

10 Syfte: Att ta reda på om eleven behärskar tal-skrivning. Detta brukar vara en bra indikator på om eleven har en grundläggande taluppfattning. Lägg framför eleven det antal knapparna som framgår av respektive uppgift. En uppgift i taget.

Fråga: Skriv med siffror hur många knappar du ser.

a) b) c)

Fortsätt och lägg upp knappar.

d) 13 e) 17 f ) 21



DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

11

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a 10b 10c 10d 10e 10fKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Delområdet AG omfattar följande nio diagnoser:

AG1 Additioner och subtraktioner inom talområdet 1–9

AG2 Additioner och subtraktioner inom talområdet 10–19, utan tiotalsövergång

AG3 Additioner och subtraktioner inom talområdet 10–19, med tiotalsövergång

AG4 Additioner och subtraktioner inom talområdet 20–99




AG8 Divisionstabell och generaliserad divisionstabell


Alla diagnoserna bygger på att eleverna behärskar diagnosen Förberedande aritmetik (AF). Att behärska diagnoserna inom AG utgör i sin tur förutsättning för att eleverna ska kunna gå vidare med diagnoserna Aritmetik, skriftlig räkning (AS) och diagnoserna Aritmetik, utvidgad (AU).

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan:

Genom att följa pilarna i strukturschemat kan du t.ex. se att diagnos AG1 innehåller förkunskap till AG2, AG3, AG5 och AG6. På motsvarande sätt innehåller AG7 förkunskaper till AS4, AG8 och AG9. Det här betyder att en elev som inte klarat uppgifterna i AG2 kanske ännu inte behärskar alla uppgifter i AG1.

När det gäller AS2, alltså skriftlig subtraktion, så krävs förkunskapen AG3 om man använder lånemeto-den. Om man istället använder utfyllnadsmetoden så räcker det med förkunskapen AG2. På motsvarande sätt kan du genom att följa pilarna baklänges se vilka förkun-skaper som krävs för att behärska en viss typ av uppgift.

Grundläggande aritmetik. AG


A

Aritm

etik

kommentArerk

Grundläggande Aritmetik. AG

AS Skriftlig räkning AU Utvidgad Aritmetik



AG2 Addition och subtraktion, talområdet 10–19, utan tiotalsövergång

AG4 Addition och subtraktion, inom talområdet 20–99





AG8 Divisions-tabell



A

Aritm

etik

kommentArerk

En del av syftet med undervisningen i matematik är att eleven ska abstrahera, alltså lämna det konkretiserande arbetet och utföra matematiska operationer i huvu-det. Det som diagnostiseras med AG diagnoserna är om eleverna nått detta stadium i sin utveckling inom området. För de elever som ännu inte har abstraherat och därmed inte klarat vissa delar av en diagnos AF krävs en ny inlärning. Denna inlärning kräver ofta en konkretisering. Men avsikten är då fortfarande att de ska förstå idén, alltså att de har abstraherat. Detta inne-bär att uppgifterna i de här diagnoserna ska lösas som huvudräkning, inte med hjälp av fingrar eller konkre-tiserande material. Det är därför viktigt att observera eleverna medan de gör diagnosen. Eftersom eleverna bör behärska de här uppgifterna i huvudet och på rim-lig tid, är det viktigt att notera vilka elever som använ-der orimligt lång tid för att lösa uppgifterna, använder fingrarna eller i övrigt saknar flyt i sitt räknande. Dessa elever bör följas upp.

God taluppfattning inom grundläggande aritmetikFör att kunna utföra beräkningar, såväl i huvudet som med skriftliga metoder, behöver eleverna ha en god taluppfattning. En central del av denna taluppfattning är att eleverna behärskar de s.k. tabellerna för addi-tion, subtraktion, multiplikation och division med flyt. En god taluppfattning inom grundläggande aritmetik omfattar bland annat följande delar:

• En känsla för hur tal är uppbyggda

Det gäller t.ex. att känna till talens ordning och talens grannar såsom att 6 + 1 = 7 eftersom 7 är talet efter 6 och att 8 – 7 = 1 eftersom talen 7 och 8 är grannar. Det gäller också att känna till uppbyggnaden av vårt positionssystem med basen 10, till exempel att talet 18 är komponerat av 1 tiotal och 8 ental och 35 av 3 tiotal och 5 ental. Eleverna behöver också behärska 10-tals- och 100-talsövergångarna såsom 8 + 3 = 11 och 11 – 2 = 9, vilket senare ska generaliseras till 98 + 3 = 101 och 101 – 2 = 99.

• De grundläggande räknelagarna

De grundläggande räknelagarna är de kommutativa och associativa lagarna samt den distributiva lagen. Det är med hjälp av dessa lagar man kan analysera tal och dela upp dem i termer och faktorer. Det är på dessa lagar de viktigaste aritmetiska operationerna byg-ger. Exempel på den associativa lagen är att 8 + 7 kan beräknas genom att talet 7 delas upp i 2 + 5 att 8 + 2 = 10. Detta ger i sin tur 8 + 7 = 8 + 2 + 5 = 10 + 5. På motsvarande sätt kan man beräkna 28 ∙ 25 genom att dela upp 28 i 7 ∙ 4 = 28 och 4 ∙ 25 = 100. Man får då 28 ∙ 25 = 7 ∙ 4 ∙ 25 = 7 ∙ 100.

De grundläggande räknelagarna kan också användas i följande situationer. Det är lättare att beräkna 5 + 32 som 32 + 5, enligt den kommutativa lagen. Det är också lättare att beräkna 8 ∙ 53 ∙ 25 som 8 ∙ 25 ∙ 53 = 200 ∙ 53 och 4 ∙ 98 som 4 (100 – 2 ) = 400 – 8. För den som vill bli duktig i huvudräkning är det av stort värde att behärska denna typ av operationer och det krävs att man kan utföra dem i huvudet och med flyt.

• Tals avrundning

Vid all beräkning är det viktigt att kontinuerligt kunna göra en rimlighetsbedömning av det man gör. För den som kan göra bra avrundningar av tal är det också enkelt att genom överslagsräkning göra lämpliga rim-lighetsbedömningar. Detta ger samtidigt en säkerhets-känsla under hela beräkningen. Ett exempel på detta är att 32 – 19 är ungefär lika med 30 – 20 = 10. Med en god taluppfattning kan man emellertid gå ett steg längre och avrunda till 32 – 20 = 12, vilket är 1 för lite. Ännu smartare kan det vara att addera 1 till båda talen, alltså att utnyttja att 32 – 19 = (32 + 1) – (19 + 1) = 33 – 20. Den känsla för tal som byggs upp på det här sättet, kan senare överföras till algebran.

Didaktiska kommentarer till delområdet AG


A

Aritm

etik

kommentArerk

Additioner och subtraktioner inom tal området 1–9Diagnosen omfattar sex grupper av uppgifter som representerar olika aspekter av addition och subtrak-tion. Här ges eleverna möjligheter att visa sin förmåga att med flyt hantera de mest grundläggande räkneope-rationerna i huvudet. Detta är en nödvändig förutsätt-ning för att eleven senare ska kunna generalisera sin taluppfattning till ett större talområde och för att gå vidare med de fyra räknesätten. Innehållet i de sex grupperna är:

1a Talens grannar till höger, alltså uppgifter av typen 8 + 1 och 6 + 2 och deras kommutativa varianter 1 + 8 och 2 + 6

1b Talens grannar till vänster alltså uppgifter av typen 7 − 1 och 9 − 2 och avståndet till gran-narna, alltså typen 7 − 6 och 9 − 7

2a Dubblorna och dubblorna ± 1, alltså typen 4 + 4, 4 + 5 och 3 + 5

2b Hälften och hälften ± 1, alltså typen 8 − 4 och 9 − 4

3a, 3b Tals uppdelning i termer, alltså uppgifter av typerna 4 + __ = 9 och 8 = 3 + __ . Likhets-tecknets innebörd.

Additionen omfattar följande typer av uppgifter:

1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 1+7 1+8

2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 2+7

3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6

4+1 4+2 4+3 4+4 4+5

5+1 5+2 5+3 5+4

6+1 6+2 6+3

7+1 7+2

8+1

Subtraktionen omfattar följande typer av uppgifter:

9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8

8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7

7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6

6-1 6-2 6-3 6-4 6-5

5-1 5-2 5-3 5-4

4-1 4-2 4-3

3-1 3-2

2-1

Arbete med matematik kräver i allmänhet att eleverna har en rad förkunskaper och kan använda dem med flyt. Detta ska inte tolkas så att kunskapen är procedu-rell och inte kräver någon förståelse.

De förmågor eleverna utvecklar under de första årskurserna är avgörande för resten av skoltiden. Ett exempel på detta är grundläggande subtraktion och öppna utsagor som innebär ett bra tillfälle att använda och analysera grundläggande matematiska begrepp och samband mellan begreppen samt använda matemati-kens uttrycksformer.

När man arbetar med uppgifter som 4 + 3, 7 – 3, 3 + __ = 7, 7 – __ = 3, 7 = 3 + __ , osv. är det viktigt att se dem som olika uttryck för samma idé och inte arbeta med uppgifterna isolerat från varandra. När man ska arbeta med talet 5 kan man börja med att dela upp talet i 5 + 0, 4 + 1,

3 + 2, 2 + 3, 1 + 4 och 0 + 5. Uppdelningen av talet 5 i 3 + 2 kan då konkretiseras så här:

Det gäller nu att tolka vad man ser. Vissa ser 3 + 2, andra ser 5 – 3 osv. Men detta är bara olika sätt att ut-trycka samma sak. Vet man att 5 = 3 + 2 så är subtrak-tionen 5 – 3 eller öppna utsagor som 3 + __ = 5 och 5 – __ = 3 bara olika uttryck för samma uppdelning av talet 5.

Eleverna lär sig att tolka uttryck som 5 = 3 + 2 ur olika perspektiv genom att tala matematik på ett varierat sätt. Detta svarar mot förmågan att använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argu-mentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. Man behöver inte upprepa detta för alla tal om man börjar med talet 5 som är ett hanterligt tal och ser till att eleverna förstått idén. Det gäller då bara att generalisera idén på samma sätt till övriga tal. Det som däremot måste kompletteras innan eleverna börjar arbeta med talen i talområdet 0 – 19, är att eleverna lär sig hantera de grundläggande räkneoperationerna såsom additions- och subtraktionstabellerna med flyt.

De kunskapsområden som omfattas av de här diag-noserna bör förankras med konkretisering och i varda-gens matematik. Det som konkretiserats ska emellertid också kunna abstraheras på ett sådant sätt att det blir ett effektivt instrument i elevernas tänkande. Det som diagnostiseras är om eleverna nått målet, alltså om det skett en abstraktion, inte vilka metoder lärare använder för att hjälpa eleverna att nå målet.

Grundläggande aritmetik | DIAGnoS AG1


A

Aritm

etik

kommentArerkGenomförandeBeroende på hur du undervisat kan diagnosen ges an-tingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge additionsdelarna 1a och 2a för sig, subtraktionsdelarna 1b, 2b för sig och de öppna utsagorna 3a och 3b för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 2–3 minuter att genomföra hela diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid och t.ex. räknar på fing-rarna saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck (–) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgiftstyp eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

För planering kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos AG1 kräver förkunskaper från AF. Om en elev gör ett eller flera fel på en del av diagnosen har hon sannolikt inte abstraherat de aktuella opera-tionerna. Det är då angeläget att följa upp diagnosen med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på t.ex. genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

För elever som behöver mera hjälp underlättas inlär-ningen om man delar upp uppgifterna i grupper som representerar samma mönster. Uppgifterna 1a omfattar t.ex. bara uppgifter av typen + 1 och + 2, där eleverna kan tänka ett år äldre eller två år äldre. Därefter är det bara tio uppgifter kvar varav sex är dubblor eller dub-belt ±1.

Det lönar sig alltid att lägga extra lång tid på att ar-beta med de här grundläggande uppgifterna, eftersom färdighet inom detta område ger flyt åt det fortsatta räknandet. För elever som är mer osäkra i detta är det lämpligt att göra diagnos AF för att undersöka om dessa grundläggande förkunskaper är klara.

Facit

1a 7 8 1b 8 6 6 9 5 5 8 9 1 2

2a 8 8 2b 5 3 6 9 3 4 9 7 4 4

3a 5 6 3b 6 2 4 3 5 4 6 6 6 3


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

6 + 1 = __ 6 + 2 = __ 9 – 1 = __ 8 – 2 = __

4 + 2 = __ 8 + 1 = __ 7 – 2 = __ 6 – 1 = __

1 + 7 = __ 2 + 7 = __ 9 – 8 = __ 8 – 6 = __

2a 2b

4 + 4 = __ 3 + 5 = __ 9 – 4 = __ 6 – 3 = __

3 + 3 = __ 5 + 4 = __ 7 – 4 = __ 9 – 5 = __

4 + 5 = __ 4 + 3 = __ 8 – 4 = __ 7 – 3 = __

3a 3b

4 + __ = 9 2 + __ = 8 8 = 2 + __ 9 = 7 + __

3 + __ = 7 5 + __ = 8 7 = 2 + __ 9 = 5 + __

1 + __ = 7 3 + __ = 9 9 = 3 + __ 7 = 4 + __

DIAGnoS AG1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

18

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk


Additioner och subtraktioner inom talområdet 10–19, utan tiotalsövergångDiagnosen omfattar åtta delar som representerar olika aspekter av addition och subtraktion. Här ges eleverna möjligheter att visa om de har en sådan taluppfattning att de, i huvudet och med flyt, kan hantera de mest grund-läggande räkneoperationerna (utan tiotalsövergång) inom talområdet 10–19. Innehållet i de åtta delarna är:

1a Addition av 10 och ett ental, typ 10 + 7 och 7 + 10 samt motsvarande öppna utsagor

1b Subtraktion av ett tal mellan 11 och 19 och talet 10 eller ett ental, alltså uppgifter av typen 18 – 10 och 18 – 8, samt motsvarande öppna utsagor

2a, 2b Generalisering av uppgifterna i 1a respektive 1b i diagnos AG1



I talområdet 10–19 finns det uppgifter av två olika slag:

• Uppgifterutantiotalsövergång,alltsåavtypen 12 + 4, 16 – 4 och 16 – 14. Det är dessa uppgifter som finns i AG2.

• Uppgiftermedtiotalsövergång,alltsåavtypen 8 + 6 och 12 – 8. Uppgifter med tiotalsövergångar återfinns i AG3.

Uppgifterna i AG2 är en generalisering av de uppgif-ter som förekommer i AG1. Det gäller att utveckla förmågan att värdera valda strategier och metoder, att använda och analysera begrepp och samband mellan begrepp, att föra och följa matematiska resonemang samt att använda matematikens uttrycksformer. När det gäller addition ser man viktiga samband i följande tabell. Mot uppgiften 3 + 5 i additionstriangel 1, svarar uppgiften 3 + 15 i additionstriangel 2, och uppgiften 13 + 5 i additionstriangel 3. Det här betyder att för den elev som behärskar uppgifterna i AG1 är steget mycket kort till att behärska även uppgifterna i AG2.

Additionstriangel 1 Additionstriangel 2

1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 1+6 1+7 1+8 1+11 1+12 1+13 1+14 1+15 1+16 1+17 1+18

2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 2+7 2+8 2+11 2+12 2+13 2+14 2+15 2+16 2+17

3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 3+7 3+8 3+11 3+12 3+13 3+14 3+15 3+16

4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 4+7 4+8 4+11 4+12 4+13 4+14 4+15

5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6 5+7 5+8 5+11 5+12 5+13 5+14

6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6 6+7 6+8 6+11 6+12 6+13

7+1 7+2 7+3 7+4 7+5 7+6 7+7 7+8 7+11 7+12

8+1 8+2 8+3 8+4 8+5 8+6 8+7 8+8 8+11

Additionstriangel 3

10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9

11+1 11+2 11+3 11+4 11+5 11+6 11+7 11+8

12+1 12+2 12+3 12+4 12+5 12+6 12+7

13+1 13+2 13+3 13+4 13+5 13+6

14+1 14+2 14+3 14+4 14+5

15+1 15+2 15+3 15+4

16+1 16+2 16+3

17+1 17+2

18+1


A

Aritm

etik

kommentArerkSubtraktionstriangel 2 Subtraktionstriangel 3

19–1 19–2 19–3 19–4 19–5 19–6 19–7 19–8 19–9 19–10 19–11 19–12 19–13 19–14 19–15 19–16 19–17 19–18

18–1 18–2 18–3 18–4 18–5 18–6 18–7 18–8 18–9 18–10 18–11 18–12 18–13 18–14 18–15 18–16 18–17

17–1 17–2 17–3 17–4 17–5 17–6 17–7 17–8 17–9 17–10 17–11 17–12 17–13 17–14 17–15 17–16

16–1 16–2 16–3 16–4 16–5 16–6 16–7 16–8 16–9 16–10 16–11 16–12 16–13 16–14 16–15

15–1 15–2 15–3 15–4 15–5 15–6 15–7 15–8 15–9 15–10 15–11 15–12 15–13 15–14

14–1 14–2 14–3 14–4 14–5 14–6 14–7 14–8 14–9 14–10 14–11 14–12 14–13

13–1 13–2 13–3 13–4 13–5 13–6 13–7 13–8 13–9 13–10 13–11 13–12

12–1 12–2 12–3 12–4 12–5 12–6 12–7 12–8 12–9 12–10 12–11

11–1 11–2 11–3 11–4 11–5 11–6 11–7 11–8 11–9 11–10

10–1 10–2 10–3 10–4 10–5 10–6 10–7 10–8 10–9

Subtraktionstriangel 1

9–1 9–2 9–3 9–4 9–5 9–6 9–7 9–8

8–1 8–2 8–3 8–4 8–5 8–6 8–7

7–1 7–2 7–3 7–4 7–5 7–6

6–1 6–2 6–3 6–4 6–5

5–1 5–2 5–3 5–4

4–1 4–2 4–3

3–1 3–2

2–1

Motsvarande gäller för subtraktion. Mot uppgiften 7 – 3 i subtraktionstriangel 1, svarar uppgiften 17 – 3 i subtraktionstriangel 2, och uppgiften 17 – 13 i subtraktionstriangel 3. För den elev som behärskar uppgifterna i AG1 är steget kort till att behärska även uppgifterna i AG2.

GenomförandeBeroende på hur du undervisat kan diagnosen ges antingen i sin helhet eller i mindre delar, t.ex. addition och subtraktion var för sig eller de öppna utsagorna för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid, och t.ex. räknar på fing-rarna, saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck (–) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en

uppgiftstyp eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att diagnos AG2 bygger på diagnos AG1. För den som har abstraherat uppgifter som 4 + 3 och 7 – 4 är det enkelt att bara lägga till ett tiotal för att lösa uppgifter som 14 + 3, 17 – 4 och 17 – 14. Gör eleven fel på AG2 beror det ofta på att hon inte har flyt när hon arbetar med AG1 hon kan kanske inte abstrahera detta steg utan löser uppgifterna med hjälp av fingrarna.

Om en elev gör ett eller flera fel på diagnosen, bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, till exempel genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker. Om eleven behärskar uppgifterna i AG1, men har svårigheter med AG2, är det sannolikt att förståelsen för positionssystemet och hur det kan användas för effektiva beräkningar behöver utvecklas och konkretiseras till exempel genom en genomgång av typen:

Om man har 3 kr och får 4 kr till så har man 7 kr.

Om man har 10 + 3 kr och får 4 kr till så har man 10 + 7 kr.

Om man har 17 kr och köper något för 3 kr så har man 7 – 3 = 4 kr kvar, plus tian, alltså 14 kr.


A

Aritm

etik

kommentArerkFacit1a 17 16 1b 8 5 14 18 10 10 3 10 4 10

2a 18 17 2b 18 16 17 19 5 5 17 16 1 2

3a 17 18 3b 15 13 16 19 13 4 19 17 4 5

4a 5 16 4b 15 3 4 13 13 5 6 16 15 3


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

10 + 7 = __ 10 + 6 = ___ 18 – 10 = __ 15 – 10 = __

4 + 10 = __ 8 + 10 = __ 16 – 6 = __ 18 – 8 = __

10 + __ = 13 2 + __ = 12 14 – __ = 10 19 – __ = 9

2a 2b

17 + 1 = __ 15 + 2 = __ 19 – 1 = __ 18 – 2= __

12 + 5 = __ 11 + 8 = __ 17 – 12 = __ 16 – 11 = __

1 + 16 = __ 2 + 14 = __ 19 – 18 = __ 18 – 16 = __

3a 3b

14 + 3 = __ 13 + 5 = __ 19 – 4 = __ 16 – 3 = __

3 + 13 = __ 5 + 14 = __ 17 – 4 = __ 19 – 15 = __

14 + 5 = __ 4 + 13 = __ 18 – 14 = __ 17 – 12 = __

4a 4b

14 + __ = 19 2 + __ = 18 18 = 3 + __ 19 = 16 + __

13 + __ = 17 5 + __ = 18 15 = 2 + __ 18 = 13 + __

11 + __ = 17 3 + __ = 19 19 = 4 + __ 17 = 14 + __

DIAGnoS AG2

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

23

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4bKommentarer

re

SU

ltA

tr


A

Aritm

etik

kommentArerk


Additioner och subtraktioner inom talområdet 10–19Diagnosen AG3 omfattar åtta grupper av uppgifter som representerar olika aspekter av addition och sub-traktion, där eleven ges möjligheter att visa att hon har en sådan taluppfattning inom talområdet 10–19 att hon i huvudet och med flyt kan behärska additioner och subtraktioner med tiotalsövergång. Detta är en förutsättning för att eleven, skriftligt eller i huvudet, ska kunna utföra additioner och subtraktioner med tiotalsövergång i ett större talområde.

Innehållet i de åtta grupperna är:

1a, 1b Tiokamraterna, alltså de uppgifter vars summa är 10.

2a Addition med 9, alltså typerna 9 + 3 och 4 + 9.

2b Subtraktion med 9 och då differensen blir 9, typ 14 – 9 och 15 – 6.

3a Additioner med 8, alltså typerna 8 + 5 och 6 + 8.

3b Subtraktion med 8 och då differensen blir 8, typ 13 – 8 och 15 – 7.

4a Dubblorna 6 + 6, 7 + 7 och 8 + 8 samt dubbelt ± 1 såsom 6 + 7 och 5 + 7.

4b Hälften och hälften ±1, alltså typerna 14 – 7, 13 – 7, 13 – 6.

Additionen omfattar följande typer av uppgifter:

1 + 9

2 + 9 2 + 9

3 + 7 3 + 8 3 + 9

4 + 6 4 + 7 4 + 8 4 + 9

5 + 5 5 + 6 5 + 7 5 + 8 5 + 9

6 + 4 6 + 5 6 + 6 6 + 7 6 + 8 6 + 9

7 + 3 7 + 4 7 + 5 7 + 6 7 + 7 7 + 8 7 + 9

8 + 2 8 + 3 8 + 4 8 + 5 8 + 6 8 + 7 8 + 8 8 + 9

9 + 1 9 + 2 9 + 3 9 + 4 9 + 5 9 + 6 9 + 7 9 + 8 9 + 9

Subtraktionen omfattar följande typer av uppgifter:

18 – 9

17 – 8 17 – 9

16 – 7 16 – 8 16 – 9

15 – 6 15 – 7 15 – 8 15 – 9

14 – 5 14 – 6 14 – 7 14 – 8 14 – 9

13 – 4 13 – 5 13 – 6 13 – 7 13 – 8 13 – 9

12 – 3 12 – 4 12 – 5 12 – 6 12 – 7 12 – 8 12 – 9

11 – 2 11 – 3 11 – 4 11 – 5 11 – 6 11 – 7 11 – 8 11 – 9

10 – 1 10 – 2 10 – 3 10 – 4 10 – 5 10 – 6 10 – 7 10 – 8 10 – 9

För att eleverna senare ska få flyt i sitt räknande bör de här kunskaperna vara automatiserade. Detta underlät-tas väsentligt om eleverna behärskar de grundläggande räknelagarna och har förmåga att formulera, använda, analysera matematiska begrepp samt se samband mel-lan dem.

GenomförandeBeroende på hur du undervisat kan diagnosen ges, antingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge additionsdelarna för sig, subtraktionsdelarna för sig och de öppna utsagorna för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid, och t.ex. räknar på fing-rarna, saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive gruppen som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Skriv ett streck (–) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever som gjort fel på en uppgiftstyp eller om det är många elever. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet.


A

Aritm

etik

kommentArerkOm en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på t.ex. genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker.

Även om det är viktigt att behärska de här uppgif-terna i huvudet och med flyt, är det också viktigt att de är konkret förankrade. Detta underlättar inlärningen. Det är därför angeläget att använda bra strategier. Exempel på sådana strategier kan vara följande:

8 + 7 kan uppfattas som 8 + 2 + 5 = 10 + 5. Detta kräver att eleven behärskar de uppgifter i AG1, som behandlar uppdelning av tal och de uppgifter i AG2, som är av typerna 10 + 5 =, 5 + _ = 15 och 15 – 5 =.

15 – 9 kan uppfattas som att man har 15 kr (en tia och fem enkronor) och ska köpa något som kostar 9 kr. Man betalar då med en tia och får 1 kr tillbaka. Då har man 1 krona och 5 kronor kvar alltså 6 kronor.

15 – 6 kan uppfattas på ett liknande sätt. Om man har 15 kr (en tia och fem enkronor) och ska köpa nå-got för sex kronor så räcker inte enkronorna. Det fattas en krona som man kan ta från tian.

Det är genom att variera lösningsmetoder och ut-trycksformer på det här sätter som man hjälper elever-na att bygga upp de förmågor som nämns i kursplanen.

Facit

1a 10 10 1b 4 7 5 8 9 2 1 4 5 3

2a 11 13 2b 5 9 15 14 3 9 17 16 9 7

3a 15 13 3b 5 8 12 16 8 7 11 14 4 8

4a 12 11 4b 7 6 12 14 5 6 11 12 7 5


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

4 + 6 = __ 3 + 7 = __ 10 – 6 = __ 10 – 3 = __

5 + __ = 10 2 + __ = 10 10 – 1 = __ 10 – __ = 8

__ + 9 = 10 __ + 6 = 10 10 – __ = 5 10 – __ = 7

2a 2b

9 + 2 = __ 4 + 9 = __ 14 – 9 = __ 17 – 8 = __

9 + 6 = __ 5 + 9 = __ 12 – 9 = __ 18 – 9 = __

9 + 8 = __ 7 + 9 = __ 15 – 6 = __ 16 – 9 = __

3a 3b

8 + 7 = __ 5 + 8 = __ 13 – 8 = __ 14 – 6 = __

8 + 4 = __ 8 + 8 = __ 16 – 8 = __ 15 – 8 = __

3 + 8 = __ 8 + 6 = __ 12 – 8 = __ 11 – 3 = __

4a 4b

6 + 6 = __ 5 + 6 = __ 14 – 7 = __ 11 – 5 = __

7 + 5 = __ 7 + 7 = __ 12 – 7 = __ 12 – 6 = __

6 + 5 = __ 5 + 7 = __ 13 – 6 = __ 11 – 6 = __

DIAGnoS AG3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

27

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Additioner och subtraktioner inom talområdet 20–99, generaliseringDiagnosen omfattar åtta grupper av uppgifter som representerar olika aspekter av addition och subtrak-tion. Eleven ges möjlighet att visa sin förmåga att, inom talområdet 20–99, generalisera de grundläggande additioner och subtraktioner som förekommer i diag-noserna AG1–AG3. Detta ska ske i huvudet och utan hjälp av fingrar eller andra hjälpmedel.

Innehållet i de åtta grupperna är:

1a och 1b Generalisering av uppgifterna i diagnos AG1 från ental till tiotal

2a Additioner av tiotal och ental och mot-svarande öppna utsagor

2b Subtraktioner med ett ental, sådana att svaret blir ett tiotal och motsvarande öppna utsagor

3a och 3b Generalisering av uppgifterna i AG2, utan tiotalsövergångar, till ett större talområde

4a och 4b Generalisering av uppgifterna i AG3, med tiotalsövergångar, till ett större talområde

Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna med ett sådant flyt att de kan användas vid huvudräk-ning. Här ges också goda möjligheter att tillämpa och diskutera räknelagarna samt att öva de förmågor som beskrivs i kursplanens syfte.

GenomförandeBeroende på hur du undervisat kan diagnosen ges, antingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge additionsdelarna för sig, subtraktionsdelarna för sig och de öppna utsagorna för sig. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid, och t.ex. räknar på fing-rarna, saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck (– ) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev

använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier, vilket är angeläget att notera och följa upp.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AG4, bygger på alla de tidigare di-agnoserna. Uppgifterna i 3a och 3b bygger på motsva-rande uppgifter i AG1 och AG2, medan uppgifterna i 4a och 4b bygger på uppgifterna i AG3. Om en elev inte klarar en grupp uppgifter i AG4 bör man därför i första hand kontrollera förkunskaperna och i andra hand kontrollera om det är generalisering till ett större talområde som eleven inte behärskar.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker.

Facit

1a 70 90 1b 30 50 40 20 50 20 50 50 40 40

2a 47 68 2b 90 60 8 4 6 4 30 9 93 79

3a 28 26 3b 36 52 47 68 2 1 78 89 82 61

4a 93 83 4b 55 48 72 84 2 2 71 64 64 78



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

40 + 30 = __ 20 + 70 = __ 90 – 60 = __ 80 – 30 = __

50 + __ = 90 60 + __ = 80 70 – 20 = __ 60 – __ = 40

__ + 30 = 80 __ + 40 = 90 90 – __ = 50 70 – __ = 30

2a 2b

40 + 7 = __ 60 + 8 = __ 95 – 5 = __ 68 – 8 = __

30 + __ = 38 70 + __ = 74 56 – __ = 50 84 – __ = 80

__ + 6 = 36 __ + 40 = 49 __ – 3 = 90 __ – 9 = 70

3a 3b

27 + 1 = __ 24 + 2 = __ 38 – 2 = __ 57 – 5 = __

5 + 42 = __ 6 + 62 = __ 77 – 75 = __ 58 – 57 = __

72 +6 = __ 81 + 8 = __ 89 – 7 = __ 65 – 4 = __

4a 4b

84 + 9 = __ 75 + 8 = __ 63 – 8 = __ 54 – 6 = __

7 + 65 = __ 6 + 78 = __ 51 – 49 = __ 91 – 89 = __

63 + 8 = __ 58 + 6 = __ 72 – 8 = __ 81 – 3 = __

DIAGnoS AG4

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

30

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Räknesättens innebörd, addition och subtraktionDiagnosen omfattar åtta uppgifter som leder till ad-dition eller subtraktion där eleven ges möjligheter att visa att hon kan tolka texten i uppgifterna, välja rätt räknesätt och lösa uppgifterna korrekt. Av de åtta uppgifterna leder

1–3 till addition eller subtraktion inom tal området 1–9

4–8 till addition eller subtraktion inom tal området 10–19.

Uppgifterna är konstruerade på ett sådant sätt att eleverna kan tillämpa olika strategier vid addition och subtraktion. Detta motsvarar förmågan att välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter, samt förmågan att i svaret använda matematikens uttrycksformer.

GenomförandeInled med att gå igenom exemplet, som står först på diagnosblanketten. Tala om för eleverna att det är viktigt att de skriver ner vilken räkneoperation de använder. Det räcker alltså inte med att de ger rätt svar. Om det finns elever i klassen som har svårigheter med att läsa, kan du läsa texten högt för eleven.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AG5, bygger på diagnoserna AG1, AG2 och AG3.

Att lösa denna typ av uppgifter kräver kunskaper av tre slag. Först och främst måste eleven kunna tolka texten och ge uppgiften en mening. Därefter gäller det att välja rätt matematisk modell – alltså rätt räknesätt. På längre sikt är det viktigt att eleven lär sig att teckna (skriva) detta på ett matematiskt vedertaget sätt. Slutli-gen ska eleven kunna utföra en beräkning.

För att följa upp en elev som ännu inte utvecklat de kunskaper som denna diagnos mäter, gäller det att ta reda på vilket eller vilka av de tre alternativen eleven ännu inte behärskar. Det kan du göra genom en riktad intervju, där man tar reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon tänker.

En viktig förutsättning för att elever ska lära sig lösa uppgifter av det här slaget är att de får möta olika typer av enkla matematiska problem och då diskutera alternativa lösningar med lärare och/eller kamrater och även teckna dem (skriva dem matematiskt). Här ges eleven möjligheter att utveckla flera av de förmågor som beskrivs i kursplanens syfte.

Facit

1 5 + 4 = 9 Svar: 9 år

2 9 – 6 = 3 Svar: 3 år

3 8 – 6 = 2 Svar: 2 år

4 14 – 9 = 5 Svar 5 kr

5 8 + 7 = 15 Svar: 15 kr

6 13 – 7 = 6 Svar: 6 (plommon)

7 3 + 9 = 12 Svar: 12 (katter)

8 17 – 15 = 2 Svar: 2 år

På uppgifterna 2, 3, 4, 6 och 8 kan man tänka sig alter-nativen 6 + 3 = 9, 6 + 2 = 8 etc. Dessa svar är givetvis korrekta. Samtidigt är det viktigt att veta om eleven också kan skriva (teckna) uppgifterna med hjälp av subtraktionen. De kan annars tappa en viktig aspekt av subtraktion och kan då få svårigheter med att subtra-hera större tal på en miniräknare.

På uppgifterna 6 och 7 står enheten inom parentes i facit. Der beror på att det här frågas efter ett mätetal, inte en storhet.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

exempel

Pia har 7 bollar. 3 bollar är röda och resten är gula. Hur många bollar är gula?

7 – 3 = 4

Svar: 4 (bollar)

1Fatima är 5 år. Hur gammal är Fatima om 4 år?

=

Svar:

2Tobias är 9 år. Hur gammal var Tobias för 6 år sedan?

=

Svar:

3Sofia är 8 år och Markus är 6 år. Hur mycket äldre är Sofia än Markus?

=

Svar:

4En glass kostar 14 kr. Reza har 9 kr. Hur mycket pengar fattas det för att Reza ska kunna köpa glassen?

=

Svar:

5Maria får 8 kr av sin mamma och 7 kr av sin pappa. Hur mycket är det tillsammans?

=

Svar:

DIAGnoS AG5


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

6My hade 13 plommon. Hon gav 7 plommon till Ivan. Hur många plommon har hon då kvar?

=

Svar:

7Evelina hade 3 katter. Katterna fick tillsammans 9 ungar. Hur många katter hade hon då?

=

Svar:

8Elin är 17 år och Johan är 15 år. Hur mycket äldre är Elin än Johan?

=

Svar:

DIAGnoS AG5

DIAGnoSD

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

34

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 8 Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

MultiplikationstabellenDiagnosen omfattar sex grupper av uppgifter där elev-en ges möjligheter att visa att hon behärskar de olika kombinationerna i multiplikationstabellen med flyt. Detta är en förutsättning för fortsatt räknande efter-som multiplikationstabellen används som förkunskap i en rad sammanhang, inte minst vid huvudräkning och skriftlig räkning.

Innehållet i de sex grupperna är:

1a Dubblorna, alltså multiplikation med 2

1b Dubbelt, dubbelt, alltså multiplikation med 4

2a Multiplikation med 3

2b Dubbelt multiplikation med 3, alltså multiplikation med 6

3a Multiplikation med 5

3b Övriga multiplikationer, de som innehåller enbart faktorerna 7, 8 och 9

GenomförandeBeroende på hur du undervisat kan diagnosen ges, an-tingen i sin helhet eller i mindre delar. Du kan t.ex. ge 1a, 1b, 2a och 3a om eleverna ännu inte lärt sig hela multiplikationstabellen. Målet är emellertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 2–3 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmän-het tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 6 minuter. Skriv i resultatblanket-ten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck (–) om alla sex uppgifterna i en grupp är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier. Det är viktigt att eleven kan lösa dessa uppgifter snabbt och i huvudet utan att använda fingrar eller andra hjälpmedel.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna uppgifterna högt och berätta hur hon gör.

Att lära sig de här kombinationerna i multipli-kationstabellen utantill är inte svårt, men kräver en viss systematik. Det gäller att erbjuda eleverna enkla mönster och att sedan öva ett sådant mönster i sänder tills eleverna behärskar uppgifterna i fråga. Det är också viktigt att man inte introducerar olika strategier/uppgiftsgrupper samtidigt, eftersom detta försvårar inlärningen. Vid övning blandas uppgifterna successivt.

Facit

1a 14 18 1b 20 28 10 12 32 36 16 8 16 24

2a 15 24 2b 30 42 21 18 54 36 12 27 24 48

3a 20 35 3b 56 72 45 40 81 49 15 25 64 63



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

2 ∙ 7 = __ 9 ∙ 2 = __ 4 ∙ 5 = __ 7 ∙ 4 = __

2 ∙ 5 = __ 6 ∙ 2 = __ 4 ∙ 8 = __ 9 ∙ 4 = __

2 ∙ 8 = __ 4 ∙ 2 = __ 4 ∙ 4 = __ 4 ∙ 6 = __

2a 2b

3 ∙ 5 = __ 8 ∙ 3 = __ 6 ∙ 5 = __ 7 ∙ 6 = __

3 ∙ 7 = __ 6 ∙ 3 = __ 6 ∙ 9 = __ 6 ∙ 6 = __

3 ∙ 4 = __ 9 ∙ 3 = __ 6 ∙ 4 = __ 8 ∙ 6 = __

3a 3b

5 ∙ 4 = __ 7 ∙ 5 = __ 7 ∙ 8 = __ 8 ∙ 9 = __

5 ∙ 9 = __ 8 ∙ 5 = __ 9 ∙ 9 = __ 7 ∙ 7 = __

5 ∙ 3 = __ 5 ∙ 5 = __ 8 ∙ 8 = __ 9 ∙ 7 = __

DIAGnoS AG6

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

37

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Generaliserad multiplikationstabellDiagnosen omfattar sex grupper av uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan generalisera sina kunskaper i multiplikationstabellen på olika sätt. Med generalisering menas här tre olika saker:

• Attihuvudetutföraenmultiplikationföljtavenaddition, vilket sker när man vid skriftlig multipli-kation ska beräkna 7 ∙ 45. Den andra delmultiplika-tionen ger i det här fallet 7 ∙ 4 + 3 där 3 är minnes-siffran från föregående delmultiplikation.

• Attmultipliceraettentalmedetttiotal.

• Attarbetamedöppnamultiplikationsutsagor,vilketegentligen är en innehållsdivision.

Det här handlar om förmågan att använda matema-tikens uttrycksformer vilket förenklar beräkningar av olika slag. Generalisering av multiplikationstabellen utgör en central förkunskap vid huvudräkning.


1a Generaliserad multiplikationstabell där multi-plikationen följs upp med en ”minnessiffra”, men där additionen inte leder till en tiotalsövergång

1b Generaliserad multiplikationstabell där multipli-kationen följs upp med en ”minnessiffra” och där additionen leder till en tiotalsövergång

2a Generaliserad multiplikationstabell där ena fak-torn är ett tiotal (här är den ena faktorn högst 5 eller 5 tiotal)

2b Generaliserad multiplikationstabell där ena fak-torn är ett tiotal (här är alla faktorer större än 5 eller 5 tiotal)

3a Öppna multiplikationer där en av faktorerna är högst 5

3b Öppna multiplikationer där båda faktorerna är större än 5.

GenomförandeBeroende på hur du undervisat, kan diagnosen ges an-tingen i sin helhet eller i mindre delar. Målet är emel-lertid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-

vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit kor-rekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck (–) om alla sex uppgifterna är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagno-sen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

En elev som behärskar de här uppgifterna ska kunna utföra dem i huvudet utan betänketid och utan hjälp av fingrar eller annat material. Under diagnosen bör du notera vilka elever som inte har flyt i sitt räknande.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AG7, bygger på diagnos AG6, tabell-kunskaper. Gör eleven fel på AG7 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon arbetar med AG6. Eleven använder kanske fingrarna för att lösa uppgifterna.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på t.ex. genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

Facit

1a 19 38 1b 33 33 29 58 52 53 59 69 26 43

2a 150 180 2b 480 420 120 200 540 480 240 270 490 720

3a 9 8 3b 6 9 4 7 6 7 3 8 9 7



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

2 ∙ 8 + 3 = __ 9 ∙ 4 + 2 = __ 7 ∙ 4 + 5 = __ 9 ∙ 3 + 6 = __

8 ∙ 3 + 5 = __ 6 ∙ 9 + 4 = __ 6 ∙ 8 + 4 = __ 7 ∙ 7 + 4 = __

7 ∙ 8 + 3 = __ 9 ∙ 7 + 6 = __ 3 ∙ 6 + 8 = __ 6 ∙ 6 +7 = __

2a 2b

3 ∙ 50 = __ 6 ∙ 30 = __ 6 ∙ 80 = __ 7 ∙ 60 = __

30 ∙ 4 = __ 40 ∙ 5 = __ 60 ∙ 9 = __ 80 ∙ 6 = __

3 ∙ 80 = __ 90 ∙ 3 = __ 7 ∙ 70 = __ 90 ∙ 8 = __

3a 3b

2 ∙ __ = 18 4 ∙ __ = 32 7 ∙ __ = 42 6 ∙ __ = 54

9 ∙ __ = 36 4 ∙ __ = 28 9 ∙ __ = 54 7 ∙ __ = 49

8 ∙ __ = 24 5 ∙ __ = 40 8 ∙ __ = 72 9 ∙ __ = 63

DIAGnoS AG7

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

40

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

DivisionstabellDiagnosen omfattar sex grupper av uppgifter där eleven ges möjligheter att visa sin förmåga att behärska olika kombinationer i divisionstabellen. Detta är en förutsättning för att hon senare ska kunna utföra hu-vudräkning och skriftlig räkning med flyt.


1a Mycket enkel divisionstabell där kvoten eller nämnaren är 2 eller 3. (Inverser till 1a och 2a i diagnos AG6)

1b Divisionstabell där kvoten eller nämnaren är 4 eller 6. (I inverser till 1b och 2b i diagnos AG6)

2a Divisionstabell där kvoten eller nämnaren är 5. (I inverser till 3a i diagnos AG6)

2b Den svårare delen av divisionstabellen, alltså inverser till den svårare delen av multiplika-tionstabellen (3b i AG 6)

3a Enkel divisionstabell som ger rest

3b Svårare divisionstabell som ger rest

GenomförandeTala om för eleverna att division i den här diagnosen tecknas med /. Eftersom den nedre delen av diagnosen är något annorlunda än de övre delarna, kan man even-tuellt dela upp diagnosen i två delar. Målet är emeller-tid att eleven behärskar samtliga grupper med flyt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid, saknar sannolikt tillräckliga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter. Skriv i resultatblanketten hur många uppgifter inom respektive grupp som blivit korrekt lösta av de sex möjliga. Sätt ett streck (–) om alla sex uppgifterna i en grupp är överhoppade. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

En elev som behärskar de här uppgifterna kan utföra dem i huvudet utan betänketid och utan hjälp av fingrar eller annat material. Under diagnosen bör du notera vilka elever som använder sina fingrar eller på annat sätt visar att de inte har flyt i sitt räknande.


Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AG8, bygger på diagnoserna AG6, multiplikationstabellerna, och AG7, generaliserad mul-tiplikation. Gör eleven fel på AG8 beror det ofta på att hon inte har flyt när hon arbetar med uppgifterna i AG6 och AG7, alltså att hon inte abstraherat dessa steg utan löser uppgifterna t.ex. med hjälp av fingrarna. En elev som gör fel på 1a, 1b, 2a eller 2b, bör öva mera på multiplikationstabellen. Uppgifterna 3a och 3b kräver ännu bättre kunskaper i multiplikationstabellen. Här förekommer nämligen inte bara inverser till multiplika-tionstabellen såsom 48 / 6 = 8 utan även 49 / 6 = 8 rest 1, 50 / 6 = 8 rest 2 osv. Detta är avgörande förkunska-per för både lång och kort division samt för att skriva bråk iblandad form.

Eftersom uppgifterna i den här diagnosen är en viktig förkunskap till division, såväl i huvudet som med hjälp av skriftlig räkning, bör eleven behärska dem med flyt. Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

Facit

1a 7 5 1b 9 6 3 9 4 7 3 3 7 4

2a 5 5 2b 7 8 7 4 9 8 9 5 9 7

3a 3 rest 1 3b 7 rest 1 3 rest 2 8 rest 3 9 rest 2 9 rest 4 4 rest 4 7 rest 3 9 rest 2 7 rest 7 4 rest 3 6 rest 7



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1a 1b

14 / 2 = __ 15 / 3 = __ 54 / 6 = __ 48 / 8 = __

21 / 7 = __ 27 / 3 = __ 24 / 6 = __ 42 / 6 = __

24 / 8 = __ 18 / 6 = __ 28 / 4 = __ 32 / 8 = __

2a 2b

30 / 6 = __ 45 / 9 = __ 56 / 8 = __ 72 / 9 = __

35 / 5 = __ 20 / 5 = __ 63 / 7 = __ 64 / 8 = __

45 / 5= __ 40 / 8 = __ 81 / 9 = __ 49 / 7 = __

3a 3b

19 / 6 = __ rest __ 57 / 8 = __ rest __

26 / 8 = __ rest __ 75 / 9 = __ rest __

47/ 5 = __ rest __ 85 / 9 = __ rest __

28 / 6 = __ rest __ 52 / 7 = __ rest __

29 / 3 = __ rest __ 63 / 8 = __ rest __

39 / 9 = __ rest __ 61 / 9 = __ rest __

DIAGnoS AG8

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

43

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentarerk

Räknesättens innebörd, multiplikation och divisionDiagnosen omfattar fyra grupper av uppgifter som repre-senterar olika uppgiftstyper i multiplikation och division. Eleven ges här möjlighet att visa att hon kan tolka texten i uppgifterna, välja rätt räknesätt och lösa uppgifterna korrekt. Uppgifterna svarar mot de multiplikationer och divisioner som förekommer i AG6, multiplikationstabel-len, AG7, generaliserad multiplikationstabell och AG8, divisionstabell och generaliserad divisionstabell.

Innehållet i de fyra grupperna är:

1–2 Tillämpningar av multiplikationstabellen

3–4 Tillämpningar av generaliserad multiplikationsta-bell

5–7 Tillämpningar av division (öppen multiplikation)

8 Tillämpning av division med rest.

GenomförandeInled med att gå igenom exemplet, som står överst på diagnosen. Tala samtidigt om för eleverna att det inte räcker med att skriva ett svar utan att de även bör teckna den beräkning de utför. Om det finns elever i klassen som har svårigheter med att läsa, så kan man läsa uppgifterna högt för eleven.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar sannolikt tillräckliga kunskaper för att utföra den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta di-agnosen efter cirka 10 minuter. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagno-sen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck(–) om uppgiften är överhoppad.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AG9, bygger på diagnoserna AG6, multiplikationstabell, AG7, generaliserad multiplika-

tionstabell och AG8, divisionstabell och generaliserad divisionstabell.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

Att lösa denna typ av uppgifter kräver kunskaper av fyra slag. Först och främst måste eleven kunna tolka texten och ge uppgiften en mening. Därefter gäller det att välja rätt matematisk modell – alltså rätt räknesätt. På längre sikt är det viktigt att eleven lär sig teckna (skriva) detta på ett matematiskt vedertaget sätt. Slutli-gen ska eleven utföra en beräkning. För att följa upp en elev som ännu inte utvecklat de kunskaper som denna diagnos mäter, gäller det att ta reda på vilket eller vilka av de fyra alternativen eleven ännu inte behärskar. Det gör man genom en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, t.ex. genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

En viktig förutsättning för att elever ska lära sig lösa denna typ av uppgifter är att de får möta enkla problem av olika slag och då diskutera alternativa lösningar med lärare och/eller kamrater och även skriva dem på ett vedertaget matematiskt sätt (använda mate-matikens uttrycksformer).

Facit

1 3 ∙ 7 = 21 Svar: 21 (dagar)

2 8 ∙ 6 = 48 Svar: 48 (ägg)

3 4 ∙ 8 + 2 = 34 Svar: 34 kr

4 6 ∙ 90 = 540 Svar: 540 kr

5 48 / 6 = 8 Svar: 8 (dagar)

6 32 / 4 = 8 Svar 8 (plommon)

7 28 / 4 = 7 Svar: 7 (elever)

8 50 / 7 = 7 (rest 1) Svar: 7 (bullar)

Lägg märke till att svaren på de två första och de fyra sista uppgifterna har enheten inom parentes. Eftersom det frågas efter ett mätetal ska det inte vara enhet i sva-ret, men svar med enhet ska självklart också bedömas som korrekta.

Uppgift 5 kan givetvis även tecknas 6 ∙ __ = 48, upp-gift 6 kan tecknas 4 ∙ __ = 32 och 7 kan tecknas 4 ∙ __ = 28. Om en elev gör så bör emellertid detta följas upp för att ta reda på om eleven även kan teckna uppgifterna som en division. Annars kan en viktig aspekt av division tappas bort och eleven kan dessutom få svårigheter med att dividera större tal med hjälp av miniräknare.

Grundläggande aritmetik | DIaGnoS aG9


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

ExempelAntonia, Boris, Cecilia och David har sex cd-skivor var. Hur många cd-skivor har de tillsammans?

4 ∙ 6 = 24

Svar: 24 st

1En vecka har sju dagar. Hur många dagar går det på 3 veckor?

=

Svar:

2En äggkartong innehåller 6 ägg. Hur många ägg finns det i 8 äggkartonger?

=

Svar:

3Ett kg potatis kostar 8 kr. Moa köper 4 kg potatis och en kasse för 2 kr. Hur mycket ska hon betala?

=

Svar:

4Markus får 90 kr i timman för att rensa ogräs. Hur mycket tjänar han om han arbetar 6 timmar?

=

Svar:

5Teresia räknar sex matteuppgifter varje dag. Efter hur många dagar har hon räknat 48 matteuppgifter?

=

Svar:

DIAGnoS AG9


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

6Lisa ska bjuda tre kamrater på plom-mon. Hon har 32 plommon och ska dela upp plommonen på 4 tallrikar. Hur många plommon blir det på varje tallrik?

=

Svar:

7Under lektionen i idrott är det 28 elever närvarande. De ställer upp sig i fyra rader med lika många i varje rad. Hur många elever är det då i varje rad?

=

Svar:

8En bulle kostar 7 kr. Karin har 50 kr. Hur många bullar kan hon köpa?

=

Svar:

DIAGnoS AG9

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

47

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 8 Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Delområdet AS omfattar följande elva diagnoser:

AS1 Addition av två tal i talområdet 0–1 999

AS2 Subtraktion av två tal i talområdet 0–999

AS3 Additions- och subtraktion, textuppgifter

AS4 Multiplikation där ena faktorn är ensiffrig inom talområdet 0–999

AS5 Division där nämnaren (divisorn) är ensiffrig inom talområdet 0–999

AS6 Multiplikations- och division, textuppgifter

AS7 Multiplikation med flersiffriga faktorer

AS8 Skriftlig division med tvåsiffrig nämnare

AS9 Addition och subtraktion av två tal i decimalform

AS10 Multiplikation av tal i decimalform

AS11 Division av tal i decimalform

Arbetet med de här diagnoserna förutsätter att elev-erna har förkunskaper från delområdet grundläggande aritmetik (AG).

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Här framgår vilka förkunska-per från grundläggande aritmetik (AG), som krävs för att kunna utföra skriftliga beräkningar. Det framgår även att AS1 och AS2 är förkunskaper till AS3 och att AS4 och AS5 är förkunskaper till AS6. Den här struk-turen visar också att elevernas möjligheter att lyckas med diagnoserna i AS är i hög grad beroende av att de behärskar de kunskaper som diagnostiseras i AG.

AS9, AS10 och AS11 kräver även förkunskaper från RD4 och RD5 alltså att eleverna har en taluppfattning om tal i decimal form och att de kan lösa enklare beräkningar i huvudet för att göra rimlighetsbedöm-ningar. Vidare behövs förkunskaper från motsvarande diagnoser inom AS1, AS2 respektive AS4 och AS5 för skriftlig räkning inom de naturliga talen.

Skriftlig räkning. AS


A

Aritm

etik

kommentarerk

AG Grundläggande Aritmetik

AS9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform

AS3 Addition och subtraktion, textuppgifter

AS2 Skriftlig substraktion

AS1 Skriftlig addition

RD2 RD4

AS4 Skriftlig multiplikation

RD3 RD5

AS8 Skriftlig division, tvåsiffrig nämnare

AS7 Skriftlig multiplikation, flersiffriga faktorer

AS6 Multiplikation och division, textuppgifter

AS10 Skriftlig multiplikation, tal i decimalform

AS11 Skriftlig division, tal i decimalform

AS5 Skriftlig division

Skriftlig räkning. AS


A

Aritm

etik

kommentArerk

Som framgår av kursplanen är det inte tillräckligt att en elev kan räkna i huvudet eller med miniräknare. Eleven ska också behärska skriftliga metoder. En rimlig tolkning av detta är att alla elever ska ges en möjlighet att lära sig någon skriftlig metod (algoritm) för addi-tion, subtraktion, multiplikation och division.

Vad menas med en skriftlig metod? Med utveck-lingsbar metod menas att tillvägagångssättet är effektivt och generellt användbart. Det innebär att alla upp-gifter, åtminstone inom talområdet 0–1 000, ska vara lösbara med metoden ifråga, inte bara vissa speciellt utvalda uppgifter.

Just det faktum att det räcker med en enda metod för att behärska en viss uppgiftstyp, är det som skiljer skriftlig räkning från huvudräkning. För att bli en bra huvudräknare måste man behärska en rad olika metoder (som var och en ofta är en typ av algoritm), eftersom metoden ofta måste väljas utgående från den typ av uppgift som för tillfället ska lösas. Vid skriftlig räkning räcker det däremot att behärska en enda me-tod (algoritm) för respektive räknesätt.

I kunskapskrav för godtagbara kunskaper i årskurs 3 finns följande: Vid addition och subtraktion kan eleven välja att använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom

heltalsområdet 0–200. Detta är ett högt ställt krav med tanke på att alla de deloperationer som förekommer i ett större talområde även förekommer i detta begrän-sade talområde.

För en elev som lärt sig en algoritm mekaniskt alltså utan djupare förståelse kan det vara svårt att byte me-tod. Detta är speciellt viktigt att uppmärksamma när en invandrad elev tidigare lärt en annan algoritm än klasskamraterna. I olika kulturer används olika meto-der för skriftlig räkning. I varje kultur anses just deras metod vara den bästa. Detta bör tolkas så att det inte finns någon metod som är den generellt sett bästa. Alla metoder har sina för- och nackdelar. Däremot är det viktigt att de metoder eleverna lär sig är funktionella, och att de fungerar för att lösa alla uppgiftstyper inom respektive räknesätt. Oberoende av vilka metoder för skriftlig räkning man väljer att erbjuda eleverna, kräver dessa metoder lämp-liga förkunskaper, så att de deloperationer eleverna ska utföra kan utföras med flyt. För att en elev t.ex. ska kunna använda lånemetoden i subtraktion med flyt bör hon behärska den stora subtraktionstabellen och för att kunna använda utfyllnadsmetoden i subtraktion räcker det om hon behärskar tabellen upp till 10.

Didaktiska kommentarer till delområdet AS


A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig additionDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan addera två- eller tresiffriga tal inom talområdet 0–999. Alla uppgifterna innehål-ler någon tiotalsövergång. Antalet tiotalsövergångar varierar mellan en och tre.

Med diagnosen AS1 undersöks elevens säkerhet i att utföra skriftliga beräkningar i addition. Beräkningarna kan göras på olika sätt och med olika metoder. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga me-tod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig addition handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algo-ritmerna/uppställningarna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett ef-fektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp och elevens förmåga att välja lämpliga mate-matiska modeller och uttrycksformer.

GenomförandeTala om för eleverna att de ska skriva ned de beräk-ningar de utför. Det räcker alltså inte med ett svar. Studera hur eleverna arbetar med diagnosen. Har de flyt i sitt räknande, räknar de på fingrarna etc.? En elev som använder betydligt längre tid än kamraterna bör följas upp speciellt.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 3–4 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att lösa denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 8 minuter.

Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst (skriv ett S om bara svaret är rätt), skriv 0 om uppgiften är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagno-sen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området. Där kan man se att denna diagnos, AS1, bygger på diagnosen AG3, addition och subtraktion inom talområdet 10–19, med tiotalsöver-gång.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, till exempel genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

Observera speciellt om eleven gör fel av typen ± 1, ± 10 och ± 100. Fel av typen ± 1 beror ofta på att eleven inte behärskar grundläggande addition. Under-sök i så fall hur eleven lyckas med diagnos AG3. Fel av typerna ± 10 och ± 100 kan bero på brister i grundläg-gande addition, men även på att elever inte behärskar tiotalsövergångarna. Eleven har i så fall troligen lärt sig beräkningen som en procedur utan grundläggande förståelse för de olika räkneoperationerna och posi-tionssystemets uppbyggnad.

Att lära sig behärska skriftlig addition handlar inte om att enbart färdighetsträna. Inled med att konkreti-sera de olika operationerna för att på detta sätt stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebörden i uppställningen för eleverna.

Facit

1 153 2 347 3 5854 635 5 1 207

Kontrollera inte bara svaren på uppgifterna, utan även hur eleverna har räknat. Ofta kan man av beräkning-arna dra slutsatser om orsakerna till varför en elev miss-lyckats med en uppgift.

Skriftlig räkning | DIAGnoS AS1


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS1

Namn Klass

Räkna i rutorna till höger.

1Beräkna 67 + 86

Svar: _________________

2Beräkna 264 + 83

Svar: _________________

3Beräkna 429 + 156

Svar: _________________

4Beräkna 347 + 288

Svar: _________________

5Beräkna 739 + 468

Svar: _________________

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

53

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig subtraktion Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan subtrahera två eller tresiffriga tal med skriftlig metod inom talområdet 0–999. Alla uppgifterna innehåller någon tiotalsövergång. Antalet tiotalsövergångar varierar mellan en och två. Beräk-ningarna kan göras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig subtraktion handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagar och räkneregler samt visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp och elevens förmåga att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.

GenomförandeTala om för eleverna att de ska skriva ned de beräk-ningar de utför. Det räcker alltså inte med ett svar. Studera hur eleverna arbetar med diagnosen. Har de flyt i sitt räknande, räknar de på fingrarna etc.? En elev som använder betydligt längre tid än kamraterna bör följas upp speciellt.



UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområde. Här kan man se att denna diagnos, AS2, bygger på diagnos AG3, addition och subtraktion inom talområdet 10–19, med tiotals-övergång.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på till exempel genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

Observera speciellt om eleven gör fel av typen ± 1, ± 10 och ± 100. Fel av typen ± 1 beror ofta på att eleven inte behärskar grundläggande subtraktion. Undersök i så fall hur eleven lyckas med diagnos AG3. Fel av typerna ± 10 och ± 100 kan bero på brister i grundläggande subtraktion, men även på att elever inte behärskar tiotalsövergångarna. Eleven har i så fall troligen lärt sig beräkningen som en procedur utan grundläggande förståelse för de olika operationerna.

Att lära sig behärska skriftlig subtraktion handlar inte om att enbart färdighetsträna. Inled med att kon-kretisera de olika operationerna, för att på detta sätt stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebör-den i uppställningen.

Facit

1 35 2 77 3 2054 266 5 447

Kontrollera inte bara svaren på uppgifterna, utan även hur eleverna har räknat. Ofta kan man av beräkning-arna dra slutsatser om orsakerna till varför en elev miss-lyckats med en uppgift.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS2

Namn Klass

1Beräkna 82 – 47

Svar: _________________

2Beräkna 146 – 69

Svar: _________________

3Beräkna 632 – 427

Svar: _________________

4Beräkna 541 – 275

Svar: _________________

5Beräkna 703 – 256

Svar: _________________

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

56

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Additions och subtraktion, textuppgifterDiagnosen omfattar sju uppgifter av vilka tre leder till addition och fyra till subtraktion. Eleven ges här möjlighet att visa sin förmåga att tolka och teckna den addition eller subtraktion som svarar mot en given text samt sin förmåga att använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar. Eftersom ett syfte är att diagnostisera elevens förmåga att utföra skriftlig räkning, räcker det inte med att ge ett korrekt svar. Det krävs också någon form av skriftlig uträkning.

GenomförandeTala i förväg om för eleverna att det inte räcker med att skriva rätt svar. Det krävs också att de redovisar någon form av beräkning. Det är alltså inte enbart svaret som är intressant utan hur eleven kommit fram till svaret. Den beräkning eleven redovisat kan vara ett stöd för att bedöma elevens resultat.

För att få flyt i den skriftliga räkningen krävs det att eleven behärskar grundläggande addition och subtrak-tion. Studera därför hur eleverna arbetar med diagnos-uppgifterna.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att lösa denna typ av uppgif-ter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten X om lösningen är korrekt (skriv S om bara svaret är kor-rekt), 0 om lösningen är felaktig och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad. Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagno-sen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan man använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos AS3, additions- och subtraktionspro-

blem, bygger på diagnoserna AS1, addition av två tal och AS2, subtraktion av två tal. Gör eleven fel på AS3 beror det ofta på att hon inte har flyt när hon arbetar med AS1 och AS2.


Att lösa denna typ av uppgifter kräver kunskaper av fyra slag. Först och främst måste eleven kunna tolka texten och ge uppgiften en mening. Därefter gäller det att välja rätt matematisk modell – alltså rätt räknesätt. På längre sikt är det viktigt att eleven lär sig teckna detta på ett vedertaget sätt. Slutligen ska eleven utföra en beräkning. För att följa upp en elev som ännu inte utvecklat den kunskap som den här diagnosen mäter, gäller det att ta reda på vilket av de fyra alternativen eleven ännu inte behärskar.

En elev som har valt fel metod bör få hjälp med att diskutera räknesättens innebörd och att skriva ned motsvarande beräkning.

Facit

1 72 kr 2 26 år 3 152 cm4 572 (st) 5 525 kr 6 147 kr7 166 cm

Studera noga den beräkning eleven redovisar. Eftersom det finns ett stort antal skriftliga metoder, inte minst för subtraktion, så är det inte en speciell uppställning som krävs. Däremot är det viktigt att analysera om den uppställning eleven redovisat är funktionell. I uppgifterna 1–4 förekommer bara en tiotalsövergång medan det i uppgifterna 5–7 förekommer två tiotal-sövergångar. Genom att jämföra hur eleverna löser dessa uppgifter får man en uppfattning om hur hållbar elevens strategi är.

I något av svaren står enheten inom parentes. Orsa-ken är att man i uppgiften frågar om ett mätetal, inte en storhet. Givetvis ska ett svar med enhet bedömas som korrekt.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS3

Namn Klass

1Lina köper en anteckningsbok för 48 kr och en penna för 24 kr. Hur mycket får hon betala?

Svar: _________________

2Morfar är 63 år och mamma är 37 år. Hur mycket äldre är morfar än mamma?

Svar: _________________

3Nicolas hoppar 528 cm i längdhopp. Hans lilla syster Stina hoppar 376 cm. Hur mycket längre hoppar Nicolas än Stina?

Svar: _________________

4Erik har 325 svenska frimärken och 247 utländska frimären. Hur många frimärken har han sammanlagt?

Svar: _________________


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

5Marco köper ett par byxor för 346 kr och en skjorta för 179 kr. Hur mycket kostar det tillsammans?

Svar: _________________

6Malin sparar till en cykel som kostar 525 kr. Hon har nu 378 kr. Hur mycket pengar fattas för att hon ska kunna köpa cykeln?

Svar: _________________

7Ett band är 304 cm långt. Du klipper av 138 cm. Hur mycket är det då kvar av bandet?

Svar: _________________

DIAGnoS AS3

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

60

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig multiplikationDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan multiplicera ett två- eller tresiffrigt tal med ett ensiffrigt tal, med skriftlig metod inom talområdet 0–999. Alla uppgifterna innehål-ler någon tiotalsövergång. Antalet tiotalsövergångar varierar mellan en och två. Beräkningarna kan göras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter..

Skriftlig multiplikation handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp och elevens förmåga att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.

GenomförandeTala om för eleverna att de ska skriva ned de beräk-ningar de utför. Det räcker alltså inte med ett svar. Studera hur eleverna arbetar med diagnosen. Har de flyt i sitt räknande, räknar de på fingrarna etc.?

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att behärska denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter.


UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan

ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AS4, bygger på diagnoserna AG6 och AG7. Gör eleven fel på AS4 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon räknar, vilket i sin tur troligen beror på brister i förkunskaper från diagnoserna AG6 och AG7.


Observera speciellt om eleven gör fel av typen ± 1, ± 10 och ± 100 eller på plus minus den ensiffriga faktorn. Fel av typen ± 1 eller att eleven tagit ena fak-torn en gång för mycket eller för lite, beror ofta på att eleven inte behärskar grundläggande multiplikation. Undersök i så fall hur eleven lyckas med diagnos AG6. Fel av typerna ± 10 och ± 100 kan också bero på bris-ter i grundläggande multiplikation, men även på att eleven inte behärskar tiotalsövergångarna. Eleven har i så fall troligen lärt sig beräkningen som en procedur utan grundläggande förståelse för de olika räkneopera-tionerna och positionssystemets uppbyggnad.

Att lära sig behärska skriftlig multiplikation hand-lar inte om att enbart färdighetsträna. Inled med att konkretisera de olika operationerna för att på detta sätt stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebör-den i uppställningen för eleverna.

Facit

1 108 2 282 3 4414 536 5 1 116

Kontrollera inte bara svaren på uppgifterna utan även hur eleverna har räknat. De ska även visa att de har en generellt användbar metod för multiplikation. En upprepad addition är alltså inte en acceptabel metod här. Ofta kan man av beräkningarna dra slutsatser om orsakerna till att en elev misslyckats med en uppgift.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS4

Namn Klass

1Beräkna 4 ∙ 27

Svar: _________________

2Beräkna 6 ∙ 47

Svar: _________________

3Beräkna 7 ∙ 63

Svar: _________________

4Beräkna 8 ∙ 67

Svar: _________________

5Beräkna 4 ∙ 279

Svar: _________________

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

63

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig divisionDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ska ges möjlighet att visa att hon kan dividera två- eller tresiffriga tal med ett ensiffrigt tal, med hjälp av en skriftlig metod inom talområdet 0–999. Beräkningarna kan göras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig division handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp och elevens förmåga att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.




UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AS5, bygger på diagnosen AG8 och indirekt på diagnoserna AG6 och AG7. Gör eleven fel på AS5 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon arbetar med AG6, AG7 och AG8.


Att lära sig behärska skriftlig division handlar inte om att enbart färdighetsträna. Det bör handla om att konkretisera de olika operationerna för att på det sättet stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebör-den i uppställningen för eleverna.

Facit

1 23 2 12 3 44 4 1085 114

Kontrollera inte bara svaren på uppgifterna, utan även hur eleverna har räknat. De ska även visa att de har en generellt användbar metod för division. En upprepad subtraktion är alltså inte en acceptabel metod. Ofta kan man av beräkningarna dra slutsatser om orsakerna till varför en elev misslyckats med en uppgift.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS5

Namn Klass

1Beräkna 69 ___

3

Svar: _________________

2Beräkna 84 ___

7

Svar: _________________

3Beräkna 176 ____

4

Svar: _________________

4Beräkna 864 ____

8

Svar: _________________

5Beräkna 1026 _____

9

Svar: _________________

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

66

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Multiplikation och division, textuppgifterDiagnosen omfattar sju uppgifter av vilka tre leder till multiplikation och fyra till division. Eleven ges här möjlighet att visa sin förmåga att tolka och teckna den multiplikation eller division som svarar mot en given text samt sin förmåga att använda lämpliga matematis-ka metoder för att göra beräkningar. Eftersom ett syfte är att diagnostisera elevens förmåga att utföra skriftlig räkning, räcker det inte med att ge ett korrekt svar. Det krävs också någon form av skriftlig uträkning.

GenomförandeTala i förväg om för eleverna att det inte räcker med att skriva rätt svar. Det krävs också att de redovisar någon form av beräkning. Det är alltså inte enbart svaret som är intressant utan hur eleven kommit fram till svaret. Den beräkning eleven redovisat kan vara ett stöd för att bedöma elevens resultat.

För att få flyt i den skriftliga räkningen krävs det att eleven behärskar grundläggande multiplikation och division. Studera därför hur eleverna arbetar med diagnosuppgifterna.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som använder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräckliga kunskaper för att behärska den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter. Skriv i resultatblan-ketten X om lösningen är korrekt (skriv ett S om bara svaret är korrekt), 0 om lösningen är felaktig och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.

Notera gärna hur lång tid respektive elev använder för att genomföra diagnosen. Elever som använder lång tid brukar i allmänhet använda mindre bra strategier.

UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se

att denna diagnos, AS6, bygger på diagnoserna AS4, multiplikation där ena faktorn är ensiffrig, och AS5, division där nämnaren (divisorn) är ensiffrig. Gör eleven fel på AS6 beror det ofta på att hon inte har flyt när hon arbetar med AS4 och AS5.

Att lösa denna typ av uppgifter kräver kunskaper av fyra slag. Först och främst måste eleven kunna tolka texten och ge uppgiften en mening. Därefter gäller det att välja rätt matematisk modell – alltså rätt räknesätt. På längre sikt är det viktigt att eleven lär sig teckna detta på ett vedertaget sätt. Slutligen ska eleven utföra en beräkning. För att följa upp en elev som ännu inte utvecklat den kunskap som den här diagnosen mäter, gäller det att ta reda på vilket av de fyra alternativen eleven inte behärskar.


Facit

1 63 km 2 23 (kulor) 3 22 (elever) 4 896 kr 5 72 kr 6 2 274 kr7 45 dagar

Studera noga den beräkning eleven redovisar. Eftersom det finns ett stort antal skriftliga metoder, inte minst för division, så är det inte en speciell uppställning som krävs. Däremot är det viktigt att analysera om den uppställning eleven redovisat är funktionell.

I vissa av svaren står enheten inom parentes. Orsa-ken är att man i uppgiften frågar om ett mätetal, inte en storhet. Givetvis ska ett svar med enhet bedömas som korrekt.

Vissa av multiplikationerna kan utföras som uppre-pad addition. Detta är emellertid inte avsikten här. Vad som diagnostiseras är om eleverna behärskar skriftlig multiplikation. På motsvarande sätt kan divisionerna lösas med hjälp av upprepad subtraktion. Detta är inte avsikten. Vad som ska diagnostiseras är om eleven kan utföra skriftlig räkning.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS6

Namn Klass

1Ola kan cykla 21 km på en timma. Hur långt kan Ola då cykla på tre timmar?

Svar: _________________

2Asha, Claudia och Lisa har tillsammans 69 kulor. Hur många kulor har Asha om alla har lika många kulor?

Svar: _________________

3I en skola finns 7 klasser med lika många elever i varje. På skolan finns det sammanlagt 154 elever. Hur många elever finns det i varje klass?

Svar: _________________

4En resa till X-köping kostar 128 kr. Hur mycket kostar det om 7 personer ska resa till X-köping?

Svar: _________________


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS6

5När Lisa hade delat ut reklam fick hon 432 kr. Hon hade då arbetat i 6 timmar. Hur mycket tjänade hon i timman?

Svar: _________________

6En tröja kostar 379 kr. Hur mycket kostar 6 sådana tröjor?

Svar: _________________

7Kim har fått en bok som innehåller 405 sidor. Han tänker läsa nio sidor varje dag. Hur lång tid tar det då att läsa ut boken?

Svar: _________________

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

70

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 7 Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig multiplikation, flersiffriga faktorerDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan multiplicera ett tvåsiffrigt tal med ett flersiffrigt tal med skriftlig metod. Alla upp-gifterna innehåller någon tiotalsövergång och antalet tiotalsövergångar varierar.

I diagnos AS4 diagnostiseras elevens säkerhet i att utföra skriftliga beräkningar i multiplikation med ena faktorn ensiffrig, vilken är en förkunskap till de här uppgifterna. Beräkningarna kan utföras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skrift-liga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig multiplikation handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp samt förmågan att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.

Den här diagnosen bör ges med urskiljning. De elever som har problem redan med AS4, bör lära sig den enklare algoritmen innan de börjar arbeta med flersiffriga faktorer.


För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar sannolikt tillräckliga kunskaper för att lösa denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter.


UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor bety-delse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AS7, bygger på diagnoserna AG6, AG7 och AS4. Gör eleven fel på AS7 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon arbetar, vilket i sin tur troligen beror på brister i förkunskaper från diagnoserna AG6, AG7 och AS4.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Ta reda på hur eleven löser de uppgifter hon gjorde fel på, till exempel genom att låta eleven räkna högt och berätta hur hon gör.

Observera speciellt om eleven gör fel av typen ± 1, ± 10 och ± 100 eller på plus minus den ensiffriga faktorn. Fel av typen ± 1 eller att eleven tagit ena fak-torn en gång för mycket eller för lite, beror ofta på att eleven inte behärskar grundläggande multiplikation. Undersök i så fall hur eleven lyckas med diagnos AG6. Fel av typerna ± 10 och ± 100 kan också bero på bris-ter i grundläggande multiplikation, men även på att eleven inte behärskar tiotalsövergångarna. Eleven har i så fall troligen lärt sig beräkningen som en procedur utan grundläggande förståelse för de olika räkneopera-tionerna och positionssystemets uppbyggnad.

Att lära sig behärska skriftlig multiplikation hand-lar inte om att enbart färdighetsträna. Inled med att konkretisera de olika operationerna för att på detta sätt stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebör-den i uppställningen för eleverna.

Facit

1 720 2 1 080 3 2 562 4 1 692 5 6 003 6 3 542




A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1Beräkna 36 ∙ 20

Svar: _________________

2Beräkna 40 ∙ 27

Svar: _________________

3Beräkna 42 ∙ 61

Svar: _________________

4Beräkna 47 ∙ 36

Svar: _________________

DIAGnoS AS7


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

5Beräkna 87 ∙ 69

Svar: _________________

6Beräkna 23 ∙ 154

Svar: _________________

DIAGnoS AS7

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

74

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1 2 3 4 5 6 Kommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig division, tvåsiffrig nämnareDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-ligheter att visa att hon kan dividera två- eller tresiffriga tal med ett tvåsiffrigt tal, med hjälp av en skriftlig metod. Beräkningarna kan göras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga me-tod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig division handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp samt förmågan att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.

Den här diagnosen bör ges med urskiljning. De elever som har problem redan med AS5, bör givetvis lära sig den enklare algoritmen innan de börjar arbeta med flersiffriga nämnare.




UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, bygger på diagnosen AS5 och på förkunskaper från diagnoserna AG6, AG7 och AG8.

Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Fråga hur eleven löser de upp-gifter hon gjorde fel på och ta reda på vilken strategi hon använder.

Att lära sig behärska skriftlig division handlar inte om att enbart färdighetsträna. Det bör handla om att konkretisera de olika operationerna för att på det sättet stärka elevernas taluppfattning.

Facit

1 23 2 33 3 34 4 5,4 eller 5 rest 10 5 27




A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1Beräkna 460 ____

20

Svar: _________________

2Beräkna 363 ____

11

Svar: _________________

3Beräkna 782 ____

23

Svar: _________________

4Beräkna 135 ____

25

Svar: _________________

5Beräkna 1134 _____

42

Svar: _________________

DIAGnoS AS8

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

77

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalformDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon kan addera och subtrahera tal i decimalform med skriftlig metod. Alla uppgifterna innehåller någon tiotalsövergång och antalet tiotalsö-vergångar varierar. Beräkningarna i den här diagnosen kan utföras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig addition och subtraktion handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att disku-tera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar även om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och sam-band mellan begrepp och att välja lämpliga matema-tiska modeller och uttrycksformer.

Den här diagnosen bör ges med urskiljning. De elever som har problem redan med AS1 och AS2, bör givetvis lära sig de enklare algoritmerna innan de börjar arbeta med skriftlig addition och subtraktion med tal i decimalform.




UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AS9, bygger på diagnoserna AS1 och AS2 samt diagnoserna RD2 och RD4. Gör eleven fel på AS9 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon arbetar, vilket i sin tur troligen beror på brister i förkunskaper från diagnoserna AG3, AS1 och AS2. Ett räknefel kan också bero på bristande kunskaper om decimaltal. Detta kan diagnostiseras med hjälp av RD2 och RD4.


Att lära sig behärska skriftlig addition och subtrak-tion handlar inte om att enbart färdighetsträna. Inled med att konkretisera de olika operationerna för att på detta sätt stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebörden i uppställningen för eleverna. Det är också angeläget att eleverna lär sig utföra överslagsräkningar för att kunna beräkna rimligheter i sina svar.

Facit

1 11,63 2 11,711 3 8,21 4 0,43 5 5,078

Kontrollera inte bara svaren på uppgifterna utan även hur eleverna har räknat. De ska även visa att de använder en generellt användbar metod. Ofta kan man av beräkningarna dra slutsatser om orsakerna till att en elev misslyckats med en uppgift.



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1Beräkna 3,26 + 8,37

Svar: _________________

2Beräkna 6,052 + 5,659

Svar: _________________

3Beräkna 13,62 – 5,41

Svar: _________________

4Beräkna 6,27 – 5,84

Svar: _________________

5Beräkna 13,345 – 8,267

Svar: _________________

DIAGnoS AS9

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

80

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig multiplikation med tal i decimalformDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan multiplicera tal i decimal-form med skriftlig metod. Alla uppgifterna innehåller någon tiotalsövergång och antalet tiotalsövergångar varierar. Beräkningarna kan utföras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig multiplikation handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp samt förmågan att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.

Den här diagnosen bör ges med urskiljning. De elever som har problem redan med AS4 och AS7, bör givetvis lära sig de enklare algoritmerna innan de börjar arbeta med skriftlig multiplikation av tal i decimalform




UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AS10, bygger på diagnoserna AS4 och AS7. Gör eleven fel på AS10 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon arbetar, vilket i sin tur troligen beror på brister i förkunskaper från diagno-serna AG6, AG7, AS4 och AS7. Ett räknefel kan också bero på bristande kunskaper om decimaltal. Detta kan diagnostiseras med hjälp av RD3 och RD5.


Att lära sig behärska skriftlig multiplikation hand-lar inte om att enbart färdighetsträna. Inled med att konkretisera de olika operationerna för att på detta sätt stärka elevernas taluppfattning och synliggöra innebörden i uppställningen för eleverna. Det är också angeläget att eleverna lär sig utföra överslagsräkningar för att kunna beräkna rimligheter i sina svar.

Facit

1 21,6 2 5,34 3 3,55 4 3,96 5 1,188




A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1Beräkna 27 ∙ 0,8

Svar: _________________

2Beräkna 8,9 ∙ 0,6

Svar: _________________

3Beräkna 1,42 ∙ 2,5

Svar: _________________

4Beräkna 26,4 ∙ 0,15

Svar: _________________

5Beräkna 0,045 ∙ 26,4

Svar: _________________

DIAGnoS AS10

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

83

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Skriftlig division, tal i decimalformDiagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon kan dividera två- eller tresiffriga tal i decimalform med ett tvåsiffrigt tal i decimal-form, med hjälp av en skriftlig metod. Beräkningarna kan göras på olika sätt. Det är emellertid viktigt att kontrollera att den skriftliga metod eleven använder är generell och inte endast duger för att lösa vissa typer av uppgifter.

Skriftlig division handlar om så mycket mera än att bara utföra beräkningar mekaniskt. Arbetet med algoritmerna gör det möjligt att diskutera räknelagarna och visa på hur de kan användas på ett effektivt sätt. Det handlar om förmågan att använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp samt förmågan att välja lämpliga matematiska modeller och uttrycksformer.

Den här diagnosen bör ges med urskiljning. De elever som har problem redan med AS5 och AS8, bör givetvis lära sig de enklare algoritmerna innan de börjar arbeta med skriftlig division av tal i decimalform med flersiffriga nämnare


För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 5–6 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att lösa den här typen av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 12 minuter.


UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgiftstyp. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå. Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, bygger på diagnoserna AS5 och AS8. Gör eleven fel på AS11 beror det ofta på att eleven inte har flyt när hon arbetar, vilket i sin tur troligen beror på brister i förkunskaper från diagnoserna AG6, AG7 och AG8. När det gäller förståelsen av tal i decimal-form bygger de här diagnoserna på RD3 och RD5.


Att lära sig behärska skriftlig division handlar inte om att bara färdighetsträna. Det bör handla om att konkretisera de olika operationerna för att på det sättet stärka elevernas taluppfattning. Det är också angeläget att eleverna lär sig utföra överslagsräkningar för att kunna beräkna rimligheter i sina svar.

Facit

1 380 2 17 3 720 4 4,355 12,5




A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AS11

Namn Klass

1Beräkna 342 ____

0,9

Svar: _________________

2Beräkna 13,6 ____

0,8

Svar: _________________

3Beräkna 79,2 ____

0,11

Svar: _________________

4Beräkna 0,522 _____

0,12

Svar: _________________

5Beräkna 6 ____

0,48

Svar: _________________

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

86

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Delområdet AU omfattar följande tio diagnoser som är grupperade i tre delar, negativa tal, potenser och närmevärden:




AUn4 Negativa tal

AUp1 Potenser, grundläggande

AUp2 Potenslagar 1

AUp3 Potenslagar 2

AUp4 Kvadratrötter


Arbetet med de här diagnoserna förutsätter att eleverna har förkunskaper från delområdet Grundläggande aritmetik (AG).

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i struk-turschemat nedan. Här framgår att de olika delarna negativa tal, potenser och närmevärde inledningsvis är oberoende av varandra men alla kräver förkunskaper i grundläggande aritmetik.

En hel del av uppgifterna på de här diagnoserna är centrala förkunskaper på flera program inom gymna-sieskolan. Även om alla elever inte behöver behärska samtliga dessa uppgifter så är diagnoserna viktiga. Diagnoserna ska kunna användas för att ge stöd vid bedömning av de duktiga eleverna.

Sambandet mellan de olika diagnoserna ser du i strukturschemat nedan. Genom att följa pilarna i strukturschemat kan du till exempel se att diagnosen AU1 innehåller förkunskaper till AU2, att AU2 inne-håller förkunskaper till AU3 o.s.v.

På motsvarande sätt innehåller AUp1 förkunskaper till AUp2, att AUp2 innehåller förkunskaper till AUp3, o.s.v. Ett avsteg från detta är AUp4 som fordrar för-kunskaper från AUp1 och ger förkunskaper till AUp5.

Utvidgad aritmetik. AU


AUp1 Potenser grundläggande

AG Grundläggande aritmetik


AUp2 Potenslagar 1

AUp4 Kvadratrötter


AUp3 Potenslagar 2

AUn4 Negativa tal



A

Aritm

etik

kommentArerk

De negativa talenDet är en ny utmaning för eleverna när talområdet utvidgas till att omfatta även de negativa talen. Det gäller att eleverna får en grundläggande förståelse för hur man opererar med de negativa talen, och hur man generaliserar räknelagarna, innan de lär sig regler som annars kan verka förbryllande.

De negativa talen dyker upp i en rad olika situatio-ner, bland annat som svar till vissa ekvationer såsom x + 1 = 0 och 2x + 7 = 3 eller som koordinater på grafen till y = 3 – 2x. En förutsättning för att eleverna med framgång ska kunna arbeta med negativa tal, är att de förstår vad ett negativt tal är och vilka egenska-per de negativa talen har. Många av de svårigheter som uppstår, till exempel, vid multiplikation av två binom, beror på att eleverna inte förstår vad de gör. Det lönar dig därför att ägna lite tid åt att reda ut innebörden av detta, så att eleverna senare kan använda operationerna på ett korrekt sätt och utveckla sin förståelse.

De negativa talen −1, −2, −3, −4, −5 …. är de motsatta talen till 1, 2, 3, 4, 5 …, vilket innebär att 5 + (−5) = 0. Om man på tallinjen speglar ett naturligt tal i punkten 0, så får man motsvarande negativa tal. Som framgår av figuren så är −5 spegelbilden till 5. Eftersom eleverna redan vet att 5 – 5 = 0, bör man nu koppla samman de här två erfarenheterna, vilket ger det användbara sambandet 5 – 5 = 5 + (−5).

−5 50

En konsekvens av detta är att uttryck som 4x – 5 – 2x + 6 kan skrivas 4x + (−5) + (−2)x + 6. Eftersom den kommutativa räknelagen gäller vid addition (men inte vid subtraktion) kan termerna byta ordning. Detta för-klarar varför man har rätt att skriva det här uttrycket som 4x + (−2)x + 6 + (−5) = 4x – 2x + 6 – 5 = 2x + 1.

För att undvika sammanblandning mellan det minustecken som betecknar ett negativt tal och det minustecken som betecknar subtraktion är det ofta lämpligt att skriva talet −6 som (−6).

Elever som i årskurs 1 har lärt sig förstå kopplingen mellan subtraktion och öppen utsaga, kan nu använda den strategin även vid subtraktion av negativa tal.

Subtraktionen 6 – (−4) kan ses som en öppen utsaga, nämligen (−4) + __ = 6, vilket är avståndet på tallinjen från (−4) till 6 alltså 10.

Subtraktionen (−6) – (−4) kan ses som den öppna utsagan (−4) + __ = (−6), vilket är avståndet från (−4) till (−6) på tallinjen (i negativ riktning) alltså (−2).

En bra regel, som alltid fungerar, är annars att subtraktion av ett negativt tal är detsamma som en addition av det motsatta talet. Det betyder att (−6) – (−4) = (−6) + 4.

Subtraktioner som 6 – (−4) kan också lösas med hjälp av lika tillägg. Idén är detsamma som att 32 – 19 = 33 – 20 = 34 – 21. Om man adderar samma tal till båda termerna i en subtraktion så förändras inte differensen. På motsvarande sätt kan man addera 4 till båda termerna i subtraktionen 6 – (−4) vilket ger 6 + 4 – (−4) + 4 = 10 – 0.

multiplikation och division med negativa tal

Den enklaste multiplikationen med ett negativt tal är av typen 3 ∙ (−4) som i sin tur är lika med (−4) + (−4) + (−4) = (−12). På motsvarande sätt är (−12) ____ 3 = 3 ∙ (−4) ___ 3 = (−4) därför att ( −12) = (−4) + (−4) + (−4) = 3 ∙ (−4). Eftersom multi plikation är kommu-tativ gäller det även att (−4) ∙ 3 = 3 ∙ (−4) = (−12).

Att multiplicera två negativa tal är lite svårare. För att beräkna produkten (−3) ∙ (−4) kan man börja med att addera talet (−3) ∙ 4 vilket ger (−3) ∙ (−4) + (−3) ∙ 4. Genom att bryta ut (−3) kan man skriva om detta som (−3)[(−4) + 4] = (−3) ∙ 0. Eftersom summan av de två talen är noll måste de två talen (−3) ∙ (−4) och (−3) ∙ 4 vara motsatta tal. Vi vet emellertid redan att (−3) ∙ 4 = (−12). Alltså är det motsatta talet (−3) ∙ (−4) = 12. På motsvarande sätt är (−12) ____ (−4) = (−3). Det är genom att resonera så här med eleverna och göra dem förtrogna med matematikens uttrycksfor-mer som de lär sig matematik såsom att operera med negativa tal. Detta underlättar även förståelsen för de formler man så småningom kommer att använda.

Diskussioner av det här slaget som hjälper eleverna att förstå formler som (−a)(−b) = ab och (−a) ___ (−b) = a _ b eller att a ___ (−b) = (−a) ___ b . Detta leder i sin tur till en större säker-het när de ska arbeta med algebra.

Grundpotensform Med hjälp av grundpotensform kan talet 3 000 skrivas som 3 ∙ 103, talet 3 900 som 3,9 ∙ 103 och talet 3 980 som 3,98 ∙ 103. På motsvarande sätt som man kan skriva 1 000 som 103, och 100 som 102 och 10 som 101 kan man skriva 0,1 som 10−1, 0,01 som 10−2 och 0,001 som 10−3. Det betyder att man även kan skriva små tal i grundpotensform. Talet 0,00345 kan skrivas som 3,45 ∙ 0,001 eller i grundpotensform 3,45 ∙ 10−3.

Didaktiska kommentarer till delområdet AU


A

Aritm

etik

kommentArerkDet innebär t.ex. att protonens massa kan skrivas som 1,67 ∙ 10−27 kg.

Ett alternativ till att använda grundpotensform är prefixen. Istället för att skriva 4 ∙ 109 watt kan man skriva 4 gigawatt (GW). På motsvarande sätt kan man skriva 3 ∙ 106 volt som 3 megavolt (MV), 5 ∙ 10−6 meter som 5 mikrometer (μm) och 2 ∙ 10−9 sekunder som 2 nanosekunder (ns). Arbetet med detta bör ske i samverkan med NO−ämnena. Det här handlar om att använda matematikens uttrycksformer.

räkneregler för multiplikation och division av tal i potensform

För att multiplicera tal som 2³ och 2⁵ bör man vara medveten om att talen står för 2 ∙ 2 ∙ 2 respektive 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2. Det innebär att 23 ∙ 25 = (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2). Detta kan i sin tur skrivas 2³+⁵ = 2⁸. På motsvarande sätt kan man skriva (2³)² som (2 ∙ 2 ∙ 2) ∙ (2 ∙ 2 ∙ 2) = 2³∙² = 2⁶. Samtidigt finner man att 2

5 __ 23 = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) ___________ (2 ∙ 2 ∙ 2) = 2⁵−³ = 2².

Genom att från början tänka så här blir det lättare att förstå innebörden av räkneregler som 2a ∙ 2b = 2a+b, 2

a __ 2b = 2a−b och (2a)b = 2a∙b.

multiplikation och division av potenser med negativa exponenter

Potenser som 3⁵ och 3² multipliceras genom att exponenterna adderas. 3⁵ ∙ 3² = 3⁵+² = 3⁷. På motsva-rande sätt divideras potenser genom att exponenterna subtraheras. 3

5 __ 32 = 3⁵−² = 3³.

Genom att tänja på gränserna och tillämpa ”for-meln” finner man att 3

2 __ 35 = 3²−⁵ = 3−³. Det innebär

att 3−³ = 1 __ 33 = 1 __ 27 . För negativa exponenter gäller alltså

att a−³ = 1 __ a3 . Logiken blir tydlig i följande talföljd:

a³ = a ∙ a ∙ a, a² = a ∙ a, a¹ = a, a0 = 1, a−¹ = 1 _ a ,

a−² = 1 __ a2 , a−³ = 1 __ a3 .

Det är genom matematiska resonemang och använd-ning av matematiska begrepp och metoder elever lär sig detta, samtidigt som det skapar mening i de formler de använder.

räkneregler för kvadratrötterEleverna bör sedan tidigare veta att om a>0 så är √

__

a2 = a = ( √

__ a )2 vilket kan relateras till kvadratens sidor och

area. Det bör nu föras en diskussion med eleverna om varför √

____

(−a)2 = a men att √ ___

−a2 inte är ett reellt tal, lik-som att ekvationen x² = a har två lösningar, x = a och x = (−a). När man förklarar detta för eleverna kan man utgå från en kvadrat med sidan a.

Vid introduktion av övriga räkneregler såsom √

__ a ∙ √

__

b = √ ____

a ∙ b kan man utgå från ett konkret exempel: ( √

__ 2 ∙ √

__ 3 )2 = ( √

__ 2 ∙ √

__ 3 ) ∙ ( √

__ 2 ∙ √

__ 3 ) =

√ __

2 ∙ √ __

2 ∙ √ __

3 ∙ √ __

3 = 2 ∙ 3. Genom att ta kvadratroten ur båda leden i ( √

__ 2 ∙ √

__ 3 )2 = 2 ∙ 3 får man √

__ 2 ∙ √

__ 3 = √

____ 2 ∙ 3

( √ __

2 ∙ √ __

3 = − √ ____

2 ∙ 3 kan inte accepteras). Detta leder i sin tur till beräkningar som att √

__ 3 ∙ √

___ 12 = √

___ 36 = 6

Det är angeläget att man för den här typen av resone-mang med eleverna. Det handlar om att ge dem förtro-genhet med grundläggande matematiska begrepp och att föra matematiska resonemang.

På motsvarande sätt kan man visa att √ __

a ___ √ __

b = √ __

a _ b alltså

att √ __

2 ___ √ __

3 = √ __

2 _ 3 . Vilket i sin tur leder till beräkningar som

att √ ___

12 ____ √ __

3 = √ ___

12 __ 3 = √ __

4 = 2.


A

Aritm

etik

kommentarerk

Negativa tal, taluppfattningDiagnosen omfattar tre uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon behärskar negativa tals placering på tallinjen och dess inbördes storleksordning.

Innehållet i de olika uppgifterna är: 1a Storleksordna negativa tal1b Storleksordna negativa tal i decimal form2 Placera ut negativa tal på tallinjen3 Placera ut negativa tal i decimal form på tallinjen 4 Avläsa hela tal på tallinjen5 Avläsa tal i decimal form på tallinjen

Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna och därigenom visar att de förstår talens ordning inom det utvidgade talområdet som innehåller de negativa talen.

GenomförandePå den här diagnosen gäller det för eleverna att tänka efter vad ett negativt tal innebär och hur tallinjen i det utvidgade talområdet är uppbyggd. Tala om för eleverna att i uppgift 2 ska de vara noggranna när de skriver ut/ markerar talen. Det ska vara lätt att avläsa exakt var de har placerat ett tal. Tala även om för dem att vara observanta på indelningen av tallinjen i uppgif-terna 2−5.

För elever som behärskar de här uppgifterna tar det 4–5 minuter att genomföra diagnosen. Elever som an-vänder betydligt längre tid saknar i allmänhet tillräck-liga kunskaper för att lösa denna typ av uppgifter. Det kan därför vara lämpligt att avbryta diagnosen efter cirka 10 minuter. Skriv i resultatblanketten ett X om uppgiften är korrekt löst, 0 om den är felaktigt löst och sätt ett streck (–) om uppgiften är överhoppad.


Vid planeringen kan du använda det struktursche-ma som gäller för området. Här kan man se att denna diagnos, AUn1, bygger på de tidigare diagnoserna i AG. Om en elev gör ett eller flera fel bör detta följas upp med en riktad intervju. Låt eleven storleksordna tal och berätta varför de placerar de olika talen där de gör. Ta reda på hur eleven storleksordnar naturliga tal samt placerar ut dem på tallinjen. Kanske klarar eleven de hela negativa talen men har problem med talen i decimalform.

Facit

1a −12, −6, −1, 0, 41b −2,1, −0,5, −0,1, 0, 1,22

−5

e a c db

5

3

0 1−1

e d b a c

4 8, 0, 3, −2, −7 5 0,2, 1,4, −0,4, −1,2, −1,8

Utvidgad aritmetik | DIaGnoS aUn1


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

Namn Klass

1 Skriv följande tal i storleksordning. Börja med det minsta.

a (−1) 4 0 (−12) (−6)

____ ____ ____ ____ ____

b (−0,5) 1,2 0 (−2,1) (−0,1)

____ ____ ____ ____ ____

2 Placera följande tal på tallinjen.

a (−3) b 0 c (−1) d 4 e (−6)

−5 5

3 Placera följande tal på tallinjen.

a 0,1 b (−0,4) c 1,2 d (−0,9) e (−1,8)

0 1−1

DIAGnoS AUn1


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

4 Vilka tal på tallinjen står bokstäverna för.

a ____ b ____ c ____ d ____ e ____

5 Vilka tal på tallinjen står bokstäverna för.

1−1

acde b

a ____ b ____ c ____ d ____ e ____

0

cbde a

5

DIAGnoS AUn1

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

93

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr

Utvidgad aritmetik | DIAGnoS AUn1

Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 2c 2d 2e 3a 3b 3c 3d 3e 4a 4b 4c 4d 4 e 5a 5b 5c 5d 5eKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Negativa tal, addition och subtraktionDiagnosen omfattar åtta uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon behärskar additions- och subtrak-tionsoperationer med negativa tal.

Innehållet i de olika uppgifterna är:

1 Operationen subtraktion med naturliga tal kan ge ett negativt tal.

2 Definitionen av ett negativt tal som det mot-satta talet.

3–4 Addition av ett naturligt tal och ett negativt tal

5 Addition av två negativa tal

6 Addition av tre tal

7 Subtraktion av ett negativt tal från ett naturligt tal

8 Subtraktion av ett negativt tal från ett negativt tal.

Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna och kan lösa dem med flyt vilket är en central förkun-skap inom olika områden till exempel algebra.

GenomförandePå den här diagnosen gäller det för eleverna att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för elev-erna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal.



Vid planeringen kan du använda det struktur-schema som gäller för området/delområdet. Där kan du se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Du ser att denna diagnos, AUn2, bygger på AUn1 samt de tidigare diagnoserna i AG. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika typer av operationer med negativa tal. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterli-gare undervisning om.

Facit

1 a −4, b −22 a 0, b 03 a 1, b 24 a 2, b −15 a −6, b −106 a −6, b −27 a 5, b 68 a 0, b 4



A

Aritm

etik

diagnosd

diagnos aUn2

Namn Klass

Beräkna

1a 0 − 4 = _____ b 5 – 7 = _____

2a 5 + (−5) = _____ b (−9) + 9 = _____

3a 2 + (−1) = _____ b (−2) + 4 = _____

4a 5 + (−3) = _____ b 4 + (−5) = _____

5a (−2) + (−4) = _____ b (−3) + (−7) = _____

6a (−1) + (−2) + (−3) = _____ b (−1) + 2 + (−3) = _____

7a 3 – (−2) = _____ b 2 – (−4) = _____

8a (−4) – (−4) = _____ b (−3) − (−7) = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

96

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7b 8a 8bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Negativa tal, multiplikation och divisionDiagnosen omfattar sex uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon behärskar multiplikations- och divisionsoperationer med negativa tal.


1 Multiplikation av ett negativt tal med att natur-ligt tal

2–3 Multiplikation av två negativa tal.

4 Division när antingen täljaren eller nämnaren är negativ.

5–6 Division när nämnaren är negativ.

Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna och kan lösa dem med flyt vilket är en central förkun-skap inom olika områden till exempel algebra.

GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Tala därför om för eleverna att uppgifterna är enklare än de ser ut och att det snarare gäller att tänka än att räkna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal.



Vid planeringen kan du använda det struktursche-ma som gäller för området/delområdet. Där kan du se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Du ser att denna diagnos, AUn3, bygger på AUn2 och AUn1 samt de tidigare diagnoserna i AG. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika typer av operationer i multiplikation och division med negativa tal. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a −2, b −62a 3, b 303a −63, b 724a −2, b −25a 2, b 56a −4, b 3



A

Aritm

etik

diagnosd

diagnos aUn3

Namn Klass

Beräkna

1a 2 · (−1) = _____ b (−2) · 3 = _____

2a (−3) · (− 1) = _____ b (−6) · (−5) = _____

3a (−7) · 9 = _____ b (−9) · (− 8) = _____

4a (−4) ____ 2 = _____ b

2 ____ (−1) = _____

5a (−4) ____ (−2) = _____ b

(−5) ____ (−1) = _____

6a 8 ____ (−2) = _____ b

(−9) ____ (−3) = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

ATIK

99

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 6a 6bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Negativa talDiagnosen omfattar fyra uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon behärskar operationer med negativa tal som även innehåller parenteser.


1–2 Hela tal och parenteser

3 Addition och subtraktion av tre hela tal.

4 Negativa tal, alla räknesätten och parenteser.

Målet är att många elever ska behärska den här typen av uppgifterna vilka utgör en bra förkunskap inom olika områden till exempel algebra.

GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär. Det gäller att tänka innan man utför beräkningarna. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna bety-der att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal.



Vid planeringen kan du använda det struktursche-ma som gäller för området/delområdet. Där kan du se vilka förkunskaper som krävs för diagnosen i fråga och var bristerna kan ha sin grund. Du ser att denna diagnos, AUn4, bygger på AUn3, AUn2 och AUn1. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika typer av operationer med negativa tal där en del innehåller parenteser. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om. Sista uppgiften är relativt komplex och kanske inte möjlig att klara för alla elever.

Facit

1a 1 b 42a −12 b −163a −8 b −104a −10 1 _ 2 b −0,5



A

Aritm

etik

diagnosd

diagnos aUn4

Namn Klass

Beräkna

1a 3 + (2 − 4) = _____ b 6 − (4 − 2) = _____

2a 3(1 − 5) = _____ b (−2)[(3 − (−5)] = _____

3a (−7) + (−3) − (−2) = _____ b (−3) + (−4) − 3 = _____

4a (−3) ( 2 − 3 ____ (−2)

) = _____ b (−0,5) ( 2 + (− 3) − (−0,4) ______ 0,2

) = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

AT

IK

10

2

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev



A

Aritm

etik

kommentArerk

Potenser, grundläggandeDiagnosen omfattar åtta uppgifter där eleven ges möjlighet att visa att hon behärskar hur tal kan skrivas i potensform.


1–2 Att beräkna enkla tal skrivna i potensform.

3 Att skriva tal i potensform med basen 2

4–5 Att skriva tal givna i potensform utan potenser

6 Att skriva givna tal i grundpotensform

7 Att skriva tal med en negativ potens i decimal-form

8 Att skriva tal givna i decimal form i grundpo-tensform

Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna och kan lösa dem med flyt vilket är en central för-kunskap inom olika områden till exempel algebra och inom NO-ämnen.

GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär och hur man ska svara på dem. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att upp-giften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal.


UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan du se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgift. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppfölj-ningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det struktursche-ma som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AUp1, kräver förkunskaper från diagnoserna i AG. Uppgifterna i diagnosen är varie-rade på ett sådant sätt att de testar olika aspekter av tal skrivna i potensform. Genom att studera vilka upp-gifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 9 b 322a 4 b 13a 23 b 26

4a 500 b 70 000 0005a 32 000 b 143,56a 6 ∙ 102 b 5,7 ∙ 104

7a 0,004 b 0,000 6238a 3,2 ∙ 10−2 b 1,3 ∙ 10−8

Utvidgad aritmetik | DIAGnoS AUp1


A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AUp1

Namn Klass

Beräkna

1a 32 = _____ b 25 = _____

Beräkna

2a 41 = _____ b 50 = _____

Skriv som potens med bas 2

3a 8 = _____ b 64 = _____

Skriv utan potenser

4a 5 ∙ 102 = _____ b 7 ∙ 107 = _____

Skriv utan potenser

5a 3,2 ∙ 104 = _____ b 1,435 ∙ 102 = _____

Skriv i grundpotensform

6a 600 = _____ b 57 000 = _____

Skriv utan potenser

7a 4 ∙ 10−3 = _____ b 6,23 ∙ 10−4 = _____

Skriv i grundpotensform

8a 0,032 = _____ b 0,000 000 013 = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

AT

IK

10

5

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7b 8a 8bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Potenslagar 1Diagnosen omfattar fem uppgifter där eleven ges möj-lighet att använda räknelagarna för potenser när dessa är positiva.


1–2 Att förenkla multiplikationsuttryck skrivna i potensform.

3 Att förenkla divisionsuttryck skrivna i potens-form

4–5 Att använda potenslagarna vid beräkning av uttryck

Målet är att eleverna ska behärska de här uppgifterna och lösa dem med flyt vilket är en central förkunskap inom olika områden till exempel algebra och inom NO ämnen.

GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär och hur de kan lösas på ett enkelt sätt. Uppmuntra dem att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal och att Förenkla här betyder att svaret ska ges med ett enklare uttryck.


UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan du studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgift. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av upp-följningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AUp2, kräver förkunskaper från AUp1 samt diagnoserna i AG. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika aspekter av förenklingar och beräkningar med hjälp av potensla-garna. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 35 b 5¹⁹2a 3³ b 3²3a 4¹⁰ b 12⁸4a 36 b 355a 16 b 54



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AUp2

Namn Klass

Förenkla

1a 32 ∙ 33= _____ b 512 ∙ 57 = _____

2a 3 ∙ 32 = _____ b 30 ∙ 32 = _____

3a 435 ___ 425 = _____ b 1218

____ 1210 = _____

Beräkna

4a 44 ∙ 37

_____ 43 ∙ 35 = _____ b 74 ∙ 55

_____ 73 ∙ 54 = _____

5a 64

__ 34 = _____ b 65 ∙ 34

_____ 42 ∙ 36 = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

AT

IK

10

8

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Potenslagar 2Diagnosen omfattar sex uppgifter där eleven möjlig-het att använda räknelagar för potenser när dessa är negativa eller när basen är ett negativt tal.


1 Att beräkna uttryck skrivna i potensform med basen ett negativt tal.

2–3 Att beräkna uttryck skrivna i potensform med negativ exponent.

4 Att skriva tal i potensform med basen 2.

5–6 Att använda potenslagarna vid förenkling av uttryck.


GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär och hur de kan lösas på ett enkelt sätt. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal och att Förenkla här betyder att svaret ska ges med ett enklare uttryck.


UppföljningFör att få underlag för en uppföljning av diagnosen kan man studera den ifyllda resultatblanketten. Där kan man se om det bara är enstaka elever eller om det är flera elever som gjort fel på en uppgift. Detta kan ha stor betydelse för planering och genomförande av uppföljningen såväl på individnivå som på gruppnivå.

Vid planeringen kan du använda det struktur schema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AUp3, kräver förkunskaper från AUp2 och AUp1. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika aspekter av förenklingar och beräkningar med hjälp av potens lagarna. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 16 b −1

2a 1 __ 25 b 1 __ 16

3a 1 _ 9 b −1

4a 2−3 b 2−1

5a 42 b 2−4

6a 23 = 8 b 3−1 = 1 _ 3



A

Aritm

etik

DIAGnoSD

DIAGnoS AUp3

Namn Klass

Beräkna

1a (−4)2= _____ b (−1)5 = _____

2a 5−2 = _____ b 2−4 = _____

3a (−3)−2 = _____ b (−1)−7= _____

Skriv i potensform med basen 2

4a 1 __ 8 = _____ b 1 __ 2 = _____

Förenkla

5a 47 ∙ 4−5 = _____ b 2−3 ∙ 2−1 = _____

Beräkna

6a 1 ___ 2−3 = _____ b 3−2 ___ 3−1 = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

AT

IK

11

1

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 6a 6bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

KvadratrötterDiagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa att hon behärskar rotuttryck och regler för att räkna med kvadratrötter.


1–4 Att beräkna olika rotuttryck.

5–7 Att förenkla rotuttryck med hjälp av räkne-lagarna för kvadratrötter.


Observera speciellt att √ ___

16 = 4 , inte (−4). Däremot har ekvationen x2 = 16 rötterna 4 och (−4)

GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär och hur de kan lösas på ett enkelt sätt. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal och att Förenkla betyder att svaret ska ges med ett så enkelt uttryck som möjligt.



Vid planeringen kan du använda det struktur-schema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AUp4, kräver förkunskaper från AUp1. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika aspekter av förenklingar och beräkningar med hjälp av rotlagarna. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst respektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 4 b 7

2a 5 b 3

3a 7 b 6

4a 5 b 3

5a 4 √ __

2 b 3 √ __

3

6a 4 √ __

3 b 6 √ __

3

7a 1 _ 3 b √ __

3 _ 4 = √ __

3 __ 2



A

Aritm

etik

DIAGNOSD

DIAGNOS AUp4

Namn Klass

Beräkna

1a √ ___

16 = _____ b √ ___

49 = _____

2a √ ___

52 = _____ b ( √ __

3 )2 = _____

3a √ ___

16 + √ __

9 = _____ b √ ___

12 · √ __

3 = _____

4a √ ______

16 + 9 = _____ b √ ____

4 +5 = _____

Förenkla

5a √ ___

32 = _____ b √ ___

27 = _____

6a √ __

3 + √ ___

27 = _____ b √ ___

18 · √ __

6 = _____

7a √ __

1 __ 9 = _____ b √

___ 12 ____ √

___ 16 = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

AT

IK

11

4

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7bKommentarer


A

Aritm

etik

kommentArerk

Potenser och kvadratrötterDiagnosen omfattar sju uppgifter där eleven ges möj-lighet att visa sitt kunnande när det gäller att beräkna och förenkla uppgifter med användning av räknelagar för potenser och kvadratrötter. Diagnosen innehåller en del komplexa uppgifter som kanske inte alla elever behärskar.


1–3 Att beräkna olika uttryck som innehåller poten-ser.

4–7 Att förenkla olika uttryck som innehåller rötter och potenser.


Observera att √ ___

−3 inte är ett reellt tal. Det betyder att det inte heller ( √

___ −3 )2 är definierat talområdet R.

GenomförandeTala om för eleverna att på den här diagnosen gäller det att tänka efter vad uppgifterna innebär och hur de kan lösas på ett enkelt sätt. Uppmuntra eleverna att hellre försöka svara än hoppa över uppgiften även om de är tveksamma. Förklara att Beräkna här betyder att uppgiften ska räknas ut och svaret ska ges med ett tal och att Förenkla här betyder att svaret ska ges med ett enklare uttryck.



Vid planeringen kan du använda det strukturschema som gäller för området/delområdet. Här kan man se att denna diagnos, AUp5, kräver förkunskaper från AUp1 till AUp4. Uppgifterna i diagnosen är varierade på ett sådant sätt att de testar olika aspekter av förenklingar och beräkningar med hjälp av potenslagar och rotla-gar. Genom att studera vilka uppgifter eleverna löst res-pektive inte klarat av kan du få en uppfattning om vad vissa elever behöver ytterligare undervisning om.

Facit

1a 69 b 12

2a −12 500 b 1 _ 9

3a 2 b 2

4a −4 b 4

5a 3 b Saknar reell lösning

6a Saknar reell lösning b 3

7a 6 b Saknar reell lösning



A

Aritm

etik

DIAGNOSD

DIAGNOS AUp5

Namn Klass

Beräkna

1a 43 + 5 = _____ b 3 + 32 = _____

2a (−5)3 ∙ 102 = _____ b (−3)-2 = _____

3a 45 + 45

______ 45 = _____ b 5−5 + 5−5

_______ 5−5 = _____

Förenkla så långt som möjligt

4a 45 ∙ 27

______ (−2)15 = _____ b 4

5 ∙ (−2)7 ________

(−2)15 = _____

5a √ _____

(−3)2 = _____ b √ _____

−(3)2 = _____

6a ( √ ____

(−3) ) 2 = _____ b ( − √ __

3 ) 2 = _____

7a 2 √ __

3 ∙ √ __

3 = _____ b 2 √ ___

−3 ∙ √ ___

−3 = _____

DIA

MA

NT

– N

AT

ION

EL

LA

DIA

GN

OS

ER

I M

AT

EM

AT

IK

11

7

A Aritmetikr

eS

Ult

Atr


Uppgift nrElev

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b 5a 5b 6a 6b 7a 7bKommentarer

Documents

Aritmetik. A - skolverket.se · DIAMANT – NATIONELLA DIAGNOSER I MATEMATIK 5 A Aritmetik komment Arer k AS9 Skriftlig addition och subtraktion, tal i decimalform AS3 Addition och