Arquitectura Estructuras 3

ESTRUCTURAS 3 apuntes

ESTRUCTURAS 3 Apuntes Programa

PROGRAMA Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4 Tema 5 Tema 6 Tema 7 Tema 8 Tema 9 Tema 10 Tema 11 Tema 12 Tema 13 Tema 14

Concepción del hormigón armado Reseña histórica. Adherencia. Anclaje. Fisuración. Tipos y disposición de las armaduras Estados límites. Bases de cálculo. Dominios de deformación. Criterios de dimensionado. Variables de cálculo Características de las secciones. Características mecánicas de las secciones. Cuantías. Valores de referencia. Flexión Ecuaciones de equilibrio. Cálculo de armaduras. Armadura comprimida. Cuantías mínimas y máximas. Flexión compuesta Cálculo de secciones rectangulares a flexión, compresión y tracción compuestas. Pilares Problemática de las columnas. Armadura simétrica. Cercos. Ecuaciones. Excentricidad mínima. Cuantías máximas y mínimas. Flexión esviada Comportamiento espacial de soportes. Flexión esviada. Comprobación de secciones. Método de cálculo. Pandeo de soportes de hormigón Inestabilidad de piezas comprimidas. Influencia de la traslacionalidad de la estructura. Excentricidad adicional. Método de cálculo. Esfuerzo cortante Rotura de piezas de hormigón ante esfuerzos tangenciales. Armadura de cosido. Método de Ritter. Compresión oblicua del alma. Torsión Torsión. Cortante y torsión simultáneos. Armadura longitudinal Armado de piezas. Distribución de armaduras. Corte de barras. Anclajes. Armado de nudos. Armadura transversal Cálculo de cercos. Distribución de la armadura transversal. Nudos. Viga con sección en T Dimensiones. Ancho eficaz. Comprobaciones a flexión. Armado a cortante. Armado del ala: rasante y flexión transversal. Aplicación a forjados. Resistencias y deformaciones Valores característicos. Resistencias (compresión, tracción, cortante, cizalladura). Cansancio. Estados bi y tridimensionales. Curva tensión-deformación. Fluencia y relajación. El hormigón y el acero. Fragilidad y ductilidad.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 1. Concepción del hormigón armado

TEMA 1. Concepción del hormigón armado Reseña histórica Adherencia Favorable Desfavorable

- Aparece a principios del siglo XIX (1820-1830) en fábricas de cemento - En 1855 Lambot soluciona el problema de las tuberías de hormigón en masa colocando espiras de acero que soportaban las tracciones. - En 1860 Coignet hace lo mismo para unas macetas - En 1861 ya aparece como tal bajo patente de Monier y en 1875 de Hyatt.

¿Por qué armamos el hormigón? Pongamos el ejemplo de una viga sometida a dos cargas: Analizamos el tercio central donde la viga comienza a figurarse debido a los momentos que sufre. A medida que avanza la fisura la viga se descuelga de su estado. Para evitar esto hay que armar esa viga y así coser esa fisura, que se quedará anclada gracias al redondo. Como el acero es dúctil se deformará más con el hormigón y la fisura será más pronunciada ya que se abrirá más debido a las tracciones. Pero esto es normal dentro de un límite. Un hormigón que no se fisura le pasa algo, no avisa antes de romperse. Para que funcione el hormigón armado debe haber adherencia entre el hormigón y el acero, deben unirse en su sección. Esta adherencia está favorecida por tres elementos: 1. Composición química. Existen unos elementos llamados álcalis que reaccionan con el acero favoreciendo su adherencia con el hormigón. 2. Rozamiento interno. Ambos materiales tienen rozamiento, lo que genera unas tensiones que hace que se agarren uno con el otro. Este rozamiento se denomina µ y también favorece la adherencia. 3. Acodalamientos. Las corrugas favorecen la adherencia ya que los áridos van quedando enganchados entre las corrugas. También hay enemigos de la adherencia, que la desfavorecen: 1. Óxidos. La armadura puede oxidarse, la capa de óxidos en las barras impiden la adherencia, por esta razón la EHE prohíbe las barras oxidadas. 2. Desencofrantes. Para el desencofrado usamos un líquido aceitoso que no debe entrar en contacto con la barra de acero ya que supone un deslizamiento de dicha barra en el interior de la viga de hormigón. 3. Vibración. En ocasiones no podemos hormigonar vigas enteras. Esta vibración se pro-


Fisuración Tipos de armadura Vigas

duce por un aparato que remueve el hormigón para que los áridos más pesados no se queden abajo. La vibración posterior a una zona hormigonada ya seca puede afectar a las armaduras, que descarrilan por la viga. Cuando el hormigón se fisura provoca que las barras de acero queden expuestas al ambiente, que puede ser perjudicial para estas barras (durabilidad). Tomaremos medidas oportunas como revestimientos especiales, pinturas, etc. Otra medida es limitar la apertura de la fisura mediante y parámetro wk, apertura característica de fisura, cuyo valor no debe sobrepasar 0.4 mm para ambiente normal y 0.1 mm para ambiente agresivo. Si cosemos la apertura de la fisura con un redondo grande esta fisura se va a agrandar. Es mejor colocar muchos redondos de pequeños diámetros, que afectan a varios puntos. Se trata de un problema de áreas y no tienen nada que ver con los tamaños de diámetros. Recordar que una fisura es diferente de una grita porque no se ve.

Se estudiarán las armaduras según los elementos estructurales. En general, se colocarán donde haya tracción. El hormigón va a traccionarse y eso provocará la fisuración, por lo que habrá que armar por aquellas zonas donde se produzcan esas fisuraciones. Tenemos que tener en cuenta la vida de la estructura ya que puede haber cambios de carga que producen cambios de tracciones y tensiones. Hay que prever todo este tipo de cosas, sobre todo si sabemos de antemano que va a haber un cambio de uso.

Para cada situación de carga habrá una posición de armadura distinta, según las hipótesis de carga. Al final habrá armadura arriba y abajo.


Pilares

Ojo con el cortante, que genera tracciones y que tendremos que armar por ello. Ante una carga continua se producen roturas a 45º según la dirección de la ley. Para ajustar esto se sustituye la barra inclinada por mallas soldadas que resisten mejor las tracciones.

Armaduras principales: - Longitudinales: T+C - Transversales: T (cortante o torsor) Armaduras secundarias: - Montaje - Piel Para recoger las armaduras que van a decidir en el hormigón usamos la caja de armaduras, que es un conjunto de redondos que van formando una armadura de montaje o jaula con los cercos. No es una armadura a calcular sino de montaje. No tiene misión resistente sino de formación de montaje para la viga. La tendremos en cuenta en la sección solo para resistir a tracción y flexión. La norma nos dice que no debemos dejar más de 30 cm sin armar, ya que sirve para coser las fisuras del hormigón. Cuando la sección sea mayor del límite de 30 cm habrá que colocar otra armadura longitudinal llamada armadura de piel. En la vigas, los cercos (s<30cm) soportan el cortante y ayudan a que las barras a compresión no pandeen. A parte, soportan el cortante en los apoyos. Aparentemente no es necesarios armarlos, pero sí se hace en realidad ya que: a) Nunca hay un caso de compresión pura. Siempre las cargas estarán excéntricas con un mínimo de 2 cm, según norma, por lo que siempre habrá flexión. b) Aunque esté solicitado a compresión, si el hormigón está armado la rotura es menos frágil. Los cercos actúan como un cinturón que abraza al hormigón absorbiendo las tracciones que provocan las cargas del pilar, como si fuese un levantador de pesas. Pregunta de examen: ¿Para qué sirven los cercos en un pilar? - Para soportar los esfuerzos cortantes que se produzcan (sismo, viento). - Evitan el pandeo de la armadura longitudinal. - Zunchan el hormigón.


Anclaje Solapes y empalmes

Cuando un redondo está funcionando y deja de ser necesario según el cálculo se prolonga una longitud adicional llamada longitud de anclaje que permite al acero transmitir correctamente las tensiones al hormigón.

Cuando se dan grandes luces (Lmax = 12-14m) podemos solapar una barra para que a través del hormigón intermedio se transmita el esfuerzo de tracción de una barra a otra. En los empalmes por solape se aprovecha la adherencia para transmitir esfuerzos del acero al hormigón. Resultan zonas delicadas, por eso no deben coincidir con las zonas de máximo esfuerzo. Ejemplos:

En definitiva, los tipos pueden ser: - Solape clásico - Soldado: Resulta caro - Manguito: Es un cilindro de doble rosca. Se deja para sitios donde no haya espacio para solapar.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 2. Estados límites

Recordar que en resistencia de materiales el diagrama era lineal elástico

TEMA 2. Estados límites Bases de cálculo Diagrama de tensiones

¿Cómo se rompe una sección de hormigón armado? Suponemos nuestra viga de hormigón biapoyada con dos cargas aplicadas y su ley de momentos.

Si analizamos la sección tenemos una rebanada sometida a un flector. El ángulo de la rebanada deformada resultado del flector aplicado en la cara superior es el ángulo de curvatura y’’ que es la derivada segunda de la deformada. Hay por tanto una relación directa entre la curvatura y el momento, cuyo valor es la rigidez a flexión. Su valor es y’’ = M / E·I.

Sabemos que σ < 0.45 fc, por lo que podemos decir que la relación es lineal ya que disminuye con la tensión. La relación M-y’’ es verdad para tensiones pequeñas ya que en este régimen el hormigón es elástico y lineal. Esta era la base para el cálculo por resistencia de materiales. 1er tipo En este caso σc < 0.45 fc, mientras que σt < fct. Si la tensión de tracción no supera la resistencia a la rotura por tracción el hormigón romperá bien. En este caso se da para la flexión simple. Para cargas pequeñas, el diagrama es lineal.

2º tipo En este caso la tensión acaba de alcanzar el valor de la resistencia a la rotura por tracción. Si continuamos ejerciendo esta tensión de tracción la fisura irá de la parte inferior a la superior de la sección. Ahora σt = fct.

3º tipo El material ya no es elástico y ahora tenemos que σc ≥ 0.45 fc. En la parte inferior del diagrama, al igual que en el caso anterior, tenemos una fisura en la que solo aparece el acero sometido a tracción. Si σ aumenta por encima de σmax entra en régimen plástico, se dice que la sección ha plastificado, por lo que no aguantará más por mucho momento que haya.


Estados límites E.L.U. solicitaciones normales

Queremos buscar el momento previo en la que la sección rompe, no que esté fisurada. Lo que buscamos es la carga de rotura o carga de diseño. Si sabemos a cuanto rompe la sección podremos calcularla. Ojo con los conceptos de momento de rotura y carga de rotura (MR y PR). Si establecemos la relación entre ambos se produce linealmente para valores pequeños de M y P. Si estos son mayores, la relación no es lineal, no podemos decir que a doble P, doble M. Hay que tener en cuenta unos principios básicos en el hormigón armado: - No es homogéneo. - Son dos materiales diferentes - El hormigón trabaja bien a compresión, pero mal a tracción. - No es lineal. ¿Se puede usar la teoría de materiales? Sí, pero modificada. El cálculo en régimen tensional es diferente a la resistencia de materiales. Los estados límites se basan en métodos semiprobabilísticos. Trabajamos con - Acciones - Cálculo Esfuerzos - Materiales No son elástico-lineales Se usan - Coeficientes de seguridad: recogen incertidumbres · De mayoración de cargas

· De minoración de resistencias - Estados límites de servicio (E.L.S.): a lo que se enfrenta a diario la estructura (vida útil) - Estados límites últimos (E.L.U.): para una combinación de carga la estructura no rompe (agotamiento)

E.L.S. - Fisuración E.L.U. - Solicitaciones normales - Deformación - Cortante - Vibraciones - Torsión - Pandeo - Anclaje Esquema E.L.U. - Acciones ψ γ Acciones Combinaciones (norma) (cálculo) Cálculo Esfuerzos de cálculo (Fd) - Material Esfuerzos resistentes (Fu) En definitiva, los E.L.U. consisten en comprobar que se cumple: Fu > Fd Principios básicos Volvamos a la sección a la sección plástica de hormigón armado. Llamaremos Bc a la resultante de las compresiones, y Us a la resultante de las tracciones en el acero. La distancia entre una y otra es z, brazo mecánico, cuyo valor suele ser z = 0.8 h, siendo h el canto de la sección.


Ejemplo

Podemos equilibrar las fuerzas diciendo: Σ F = 0 Bc = Us Para el equilibrio de momentos: Σ Mo = Us · z Us = Md / z La primera ecuación nos dice que lo que se comprime el hormigón armado es lo que se tracciona el acero. La segunda nos permite ligar tres parámetros: la armadura (Us), el momento (Md) y el canto de la sección (z). Si despejamos el momento: Md = z · Us (Fu) (Fd) Por tanto, para resistir un determinado momento dado podemos optar por que uno de los dos parámetros sea más pequeño que otro o que ambos sean igual de grandes. Para tres vigas con un mismo canto pero diferente armado tenemos que cuanto más armado (Us) más resistencia (Md). Para un mismo momento, a más canto menos armado se necesita. Se pueden dar infinitas soluciones para un mismo Md.

Caso 1 Para resistir el momento tenemos una sección de 1m de canto y 20cm de ancho.

Md = Us · z Us = Md / z z ≈ 0.8 h Us = 100 / 0.8 = 125 KN

Luego la tracción en el acero vale 125 KN. Como el acero aproximadamente resiste 35 KN/cm2, luego necesitaremos:

125 / 35 = 3.5 cm2 ≈ 1Φ20 Sabemos que por la parte traccionada necesitaremos 1Φ20. Por la parte comprimida del hormigón armado tendremos una compresión igual a la tracción ya que Bc = Us = 125 KN. El hormigón resiste ≈ 1.5 KN/cm2 luego, actuando igual que antes:

125 / 1.5 = 83 cm2 Pondremos entonces 5cm para tener un área aproximada a la que puede resistir en este caso. Nuestro bloque de hormigón comprimido es de 0.20x0.05m. Secciones de mucho canto y poca armadura tienen siempre una rotura dúctil, como es el caso de ésta. Caso 2 Tenemos ahora una sección de menor canto. Actuamos igual que en el caso anterior:


Dominios de deformación

Md = Us · z Us = Md / z z ≈ 0.8 h = 0.8 · 0.5 = 0.4 Us = 100 / 0.4 = 250 KN

Comparándola con el caso anterior necesitaremos doble cantidad de acero, esto es, 2Φ20. La capa de hormigón comprimido será por tanto el doble del valor del caso anterior, 10cm. Con ello conseguimos que trabaje el doble de hormigón y el doble de armadura (Us = Bc) Cuanto más hormigón se comprima más frágil será la rotura de la sección. Caso 3 Tomando ahora una viga plana de 0.2x0.2m, tenemos:

Md = Us · z Us = Md / z z ≈ 0.8 h = 0.8 · 0.2 = 0.16 Us = 100 / 0.16 = 625 KN

Comparándola con el primer caso, deberemos colocar cinco veces más cantidad de acero, con lo cual tenemos 5Φ20. El volumen de hormigón también aumenta y abarca toda la sección. Toda ella está comprimida, por lo que su rotura es totalmente frágil. No aguanta por mucho acero que se le ponga. Reducir canto no se soluciona aumentando el armado. Por esto conviene colocar grandes cantos (dentro de la lógica) normalmente de 0.5m con poca armadura. En los dos primeros casos, la rotura de la viga será dúctil, por romper antes el acero. En el tercer caso la rotura será frágil, al romper antes el hormigón. En resumen, las vigas de canto y poco armadas tienen rotura dúctil, mientras que las vigas planas y muy armadas tienen rotura dúctil. El hormigón romperá a tracción y decidimos que se ha roto cuando su deformación es superior al 10‰: εs = 0.01 El hormigón romperá por compresión, y romperá así debido a dos valores de rotura diferentes: - A flexión simple: εc flexión = 0.0035 - A compresión: εc compresión = 0.002

Como en la flexión simple el ‘ataque’ es puntual. La norma establece un valor mayor ya que solo afecta prácticamente a la parte superior de la sección.


Tracción pura o simple

Hormigón: Acero: fck fy fcd = 0.85 ——— fyd = ——— │ γc γs │ │ │ │ │ │ │ Incertidumbre 1.15 │ 1.5 Cansancio Se establecerá como hipótesis a Bernouilli, tomando la sección plana antes y después de la deformación. Esto es cierto siempre que se desprecie la deformación por cortante. Se intentará determinar como ha girado o deformado la estructura antes de romper. Se considerará la deformación por axil y por flexión. En caso de flexión, la rebanada gira. Si además hay axil, la rebanada además de girar se desplaza.

Sea una sección determinada en la que toda ella está traccionada. Este tipo de tensiones tienen fisuras de arriba abajo, ya que el hormigón a efectos prácticos no resiste a tracción, solo trabajan las barras de acero arriba y abajo. Es por esto que es mejor no realizar elementos de hormigón armado que trabajen a tracción pura. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el acero resiste hasta el valor de 0.01. El plano de rotura será el correspondiente a la rotura del acero, paralelo a la sección inicial. El punto de rotura del acero es el pivote A, por el cual deben pasar todos los planos de rotura a tracción simple. El pivote A será el correspondiente a la rotura por deformación del acero: ε = 10 ‰


Tracción compuesta Flexión compuesta

Es un estado de carga compuesto por una tracción y una pequeña flexión. En este caso la tracción es el valor más importante de la sección. Para una situación compuesta, el plano de rotura estará inclinado pasando por A. Cuanto mayor sea el flector mayor será la inclinación ya que la tracción es más pequeña en la parte superior de la sección. Es lógico, sobre todo si pensamos que en la sección el momento tira más por la parte de abajo y, por tanto, se desplazará en el sentido del plano. Los dominios de deformación son los conjuntos de formas de rotura que tienen las vigas de hormigón armado que están sometidas a diferentes esfuerzos. Existen en total cinco dominios. Art. 42.1.3 El dominio I es el conjunto de planos de rotura de vigas de hormigón armado que están sometidas atracción simple o compuesta. Por eso el plano comienza a pivotar sobre hasta llegar al primer punto de la sección. De ahí que reciba el nombre de diagrama de pivotes. Éstos suponen deformaciones planas, por eso los planos son lineales (Art. 40). En definitiva, el dominio I estará marcado por un plano vertical de tracción pura que pasa por el pivote A (rotura del acero εs = 10‰) y otro plano que estará más o menos inclinado según la distribución de las tracciones según la flexión. Este plano inclinado no llega a sobrepasar el plano inicial de la rebanada por no haber compresiones en la viga. El dominio I no es frecuente ya que no aprovecha bien el hormigón de la pieza. En este caso, el esfuerzo mayoritario será un flector que aparecerá junto a un axil, que será de menor importancia. Este axil puede ser de tracción o de compresión. Ya no hay parte comprimida en la sección debido al momento flector. Este plano pivota hasta que el hormigón aguante, es decir hasta el valor de 0.0035. Este es el dominio II, conjunto de planos de rotura en la sección de hormigón armado sometidos a flexión compuesta por tracción y en los que además sigue rompiendo el acero por tracción. La sección sigue rompiendo por el acero en A y además por el hormigón en B, cuando el plano es el que llega al valor de la deformación máxima. Ese es ahora el pivote B, definido por el punto de rotura del hormigón por compresión máxima, esto es: εc flexión = 0.0035 El dominio I y II son de tipo dúctil ya que lo que rompe en el hormigón armado es el acero, por lo que nos avisa antes de romper. El dominio II es propio de las vigas de canto, donde el hormigón sobra y el acero rompe rápidamente. La fibra neutra es aquella que no sufre deformación en la sección del acero.


En el hormigón σc < fcd y en el acero σs = fyd, por haber alcanzado el máximo. Este caso es de flexión compuesta con rotura del acero:

Los planos del dominio III van a dejar de romper por el acero. Ahora se pivota en B y los planos giran en torno a este punto. Pasamos pues a la rotura frágil, que es la rotura del hormigón. El plano que pase por B y que tenga una importante deformación del acero podemos decir también que tiene rotura de tipo dúctil. Si marcamos el punto de deformación plástica del acero εy podemos diferenciar entre los valores mayores y menores a este. La rotura será dúctil por ser mayor a εy y tendrá más parte comprimida cuanto más se aumente el armado. El dominio III es el conjunto de planos de rotura de una sección de hormigón armado en el que el hormigón rompe primero, teniendo el acero una deformación superior a la plástica εy. El valor de εy depende del tipo de acero, tomando valores del 1 al 3‰. Debemos de tener en cuenta que la deformación del acero una vez alcanzada εy es todavía considerable. El plano que pasa por B es el plano límite, que separa la zona de rotura frágil de la dúctil. Al alcanzar el acero el valor de σy nos daba el valor de εy y comenzaba a plastificarse, de ahí que el acero posea una deformación importante. Por su parte, xlímite define el plano límite de rotura para la rotura frágil. Es el dominio ideal ya que hay rotura dúctil, aprovechando el hormigón al máximo y haciendo que el acero supere εy. Es el dominio más económico y óptimo.


Compresión compuesta

Si seguimos pivotando en torno a B entramos en dominio IV, donde la pieza de hormigón armado estará sometida a una flexión compuesta por compresión, esto es, un flector importante al que se le ha sumado un axil de compresión. La fibra neutra baja de la sección del hormigón t la armadura trabaja cada vez menos. Dentro del dominio IV distinguimos dos dominios diferentes. El dominio IV es el conjunto de planos de rotura de una sección de hormigón armado en los que la sección está solicitada por una flexión compuesta por compresión. La rotura es del hormigón y, por tanto, estamos en una zona frágil Se corresponde con vigas planas, por esto hay que evitar entrar en el dominio IV. El primer dominio será pivotando hasta la fibra de acero a partir del valor εy. El otro dominio (IVa) será desde esta fibra hasta el punto inferior de la sección de hormigón. Las rectas que delimitan el dominio IVa son: por encima x = d, y por abajo x = h.

Es habitual en pilares, que rompen frágilmente por compresión. El dominio V es el conjunto de planos de rotura del hormigón armado de secciones sometidas a compresión simple o compuesta. La rotura es frágil, por eso los pilares nunca avisan. El hormigón a compresión pura rompe a una valor de 0.002. Aparece así el pivote C, que se obtiene a partir de la intersección del últi-


Criterios de dimensionado

mo plano del dominio IVa con la paralela trazada a la distancia pertinente, es decir, la de esta deformación por compresión. El plano vertical que pasa por C es el caso de compresión simple, mientras que los demás planos del dominio serán de compresión compuesta. El dominio que siempre debemos conseguir es el III para todas las secciones de hormigón armado. Lo que interesa saber es el plano de rotura, que es único para un solo momento y una sola sección. Están marcados por los límites de deformación en torno a los puntos A, B y C. Existe una fibra llamada fibra neutra que ni se acorta ni se alarga, tiene una deformación neutra (ε = 0). Para saber su posición debemos conocer el valor de x. Dominio I -∞ ≤ x ≤0 Dominio II 0 ≤ x ≤ 0.259 d Dominio III 0.259 d ≤ x ≤ 0.625 d Dominio IV 0.625 d ≤ x ≤ d Dominio IVa d ≤ x ≤ h Dominio V h ≤ x ≤ +∞ En el dominio II el valor será: x / d = 0.0035 / (0.0035 + εy) Como εy = 0.02, podemos despejar: x = 0.625 d (pendiente recta A-B) El último plano del dominio III se calcula por trigonometría, en semejanza de triángulos: x / d = 0.0035 / (0.0035 + 0.01) x = 0.259 d (pendiente recta 2‰-B) Para el dominio IV, abarca hasta la distancia del canto útil, luego x = d. Lo mismo pasa con IVa, donde la distancia x = h es el canto de la sección. En el dominio V, al pasar por C y ser paralelo a la sección del hormigón el valor de x será infinito, al igual que pasaba en el dominio I (punto C x = 3/7 h).

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 3. Variables de cálculo

TEMA 3. VARIABLES DE CÁLCULO Características de las secciones

Definiremos una serie de conceptos para parametrizar nuestra sección de hormigón armado. Comenzaremos por la nomenclatura: Canto El canto de una sección depende del plano de flexión. Si la flexión es horizontal el canto de la sección es h2. Es la distancia entre el punto más alto y el más bajo de la sección, siempre dispuesto a la dependencia del plano de flexión. Éste se tomará generalmente horizontal.

Ancho El ancho de una sección es la dimensión perpendicular al canto de la sección. Lo llamaremos b y en ocasiones como en esta sección, el ancho b es función de la profundidad de la sección. Área de hormigón Ac = Asec h = h · b (El subíndice “c” es de hormigón en inglés: concrete) Área de la armadura Tendremos dos tipos de armaduras dispuestas en la sección: - As1: Suma de armaduras de la parte superior de la sección (compresión) - As2: Suma de armaduras de la parte inferior de la sección (tracción) (El subíndice “s” es de acero en inglés: steel) Disposición de las armaduras Imaginemos la sección de hormigón ampliada. El recubrimiento geométrico r se define como la distancia que hay desde el paramento inferior de la sección de hormigón armado hasta el cerco más próximo. Lo que hacemos con r es recubrir nuestra armadura y protegerla


Ejemplo

del exterior, por eso depende del tipo de ambiente. Mientras más agresivo sea el ambiente mayor será el recubrimiento. Para ambiente Tipo I, r = 3cm. Φc = diámetro del redondo del cerco Φi = diámetro de los redondos interiores Estos redondos deben cumplir una determinada separación s que en la norma viene condicionado por el máximo valor entre: │2cm s ≥ │Φi │1.25 TMA (tamaño máximo del árido) Normalmente barajamos los dos valores superiores: Φ ≤ 20 s = 2cm Φ > 20 s = Φ En el ancho b de la sección deben caber todos los redondos para armar. Por tanto, debe verificarse que el valor de b debe ser: b ≥ 2r + 2Φc + hΦi + (n-1)s Si podemos colocar los Φ en una sola fila es lo mejor. Es fundamental comprobar si cabe o no en la sección. 7Φ20 b > 2 · 3 + 2 · 0.6 + 7 · 2 + (7 - 1) 2 = 33.6cm b = 30cm s= 2 n = 7 r = 3 Φc = 6 Luego no caben las barras en una fila y habrá que colocarlas en dos. Hay que tener en cuenta que se deben colocar de forma simétrica y preferiblemente en los extremos. Es peor colocar dos filas porque la fuerza supuesta se corresponde con el centro de gravedad del área del acero, haciendo que el brazo mecánico z sea menor. El recubrimiento mecánico c es la distancia que hay desde el paramento inferior o extremo de la sección y el centro de gravedad de las armaduras. Interesa que sea lo más pequeño posible, por lo dicho antes. Su valor es: c = r + Φc + Φi/2 Suponiendo Φi = 20, ambiente Tipo I, cercos de 60mm y un recubrimiento geométrico de 3cmn (caso general) c = 3 + 0.6 +1 = 4.6cm Canto útil El canto útil de la sección es la distancia del paramento superior de la sección de hormigón


Características mecánicas de las secciones

armado al centro de gravedad de las armaduras. Se representa por d y su valor es: d = h – c d’ es la distancia del paramento superior al centro de gravedad de las armaduras superiores. Es el canto útil de la armadura superior. d’ no tiene porqué ser igual a c ya que podemos colocar diferentes armaduras en la zona superior e inferior. Todas las medidas van en metros, excepto para las áreas de acero que se expresan en cm2. Acero fy es el límite elástico del acero y es función del tipo de acero. Para un acero B-400 el límite elástico será de 400 MPa, mientras que para un B-500 será de 500 MPa. Suponiendo el acero B-400: 400 MPa 400 N/mm2 = 0.4 KN/mm2 = 40 KN/cm2 Podemos definir un límite elástico de cálculo fyd que resulta de dividir fy por un coeficiente de minoración de resistencia γs, cuyo valor en el acero es de 1.15 para situación permanente (1.1 para situación accidental). Obtenemos así un valor de cálculo, donde: B-400s fyd = 34.8 KN/cm2 (348 N/mm2) B-500s fyd = 43.48 KN/cm2 (435 N/mm2) La capacidad mecánica del acero Us se define como la fuerza en KN que soporta el acero en rotura. Su valor es por tanto: Us = fyd · As donde As es el área de la sección de acero Si tenemos armadura superior e inferior: Us1 = fyd · As1 Us2 = fyd · As2 Hormigón Sabemos que la nomenclatura de éstos son HA-25, HA-30, etc. Sabiendo que fck = 25 N/mm2 = 25000 KN/cm2, la resistencia de cálculo o de diseño fcd será el resultado de dividir fck por un coeficiente de minoración γc cuyo valor será de 1.5 en situación permanente (1.3 para situación accidental). Estas minoraciones se realizan para dar mayor margen a las resistencias en caso de errores en la fabricación. fcd = fck / γc = 25000 / 1.5 = 16.667 KN/m2 La capacidad mecánica del hormigón U0 es la cantidad o fuerza en KN que resiste el hormigón en rotura. Su valor sería en un principio U0: U0 = fcd · b ·d Pero como el hormigón se cansa y reduce su resistencia en un 15%, por lo que habrá que introducir en la ecuación un coeficiente reductor de valor 0.85 para que el cansancio no se aprecie en la sección. El resultado es la capacidad resistente del hormigón Uc: Uc = 0.85 fcd · b ·h


Cuantías Valores específicos

Relaciones entre magnitudes de acero respecto de hormigón Peso / volumen Kg de armadura / m3 de hormigón Suele oscilar alrededor de una cuantía media de 100, de tal manera que si tenemos un valor de 70 se trata de una viga poco armada, mientras que si tenemos un valor de 130-140 será una viga muy armada. Se usa para comprobar cálculos de secciones mediante las mediciones. Así se consigue averiguar rápidamente el comportamiento de la estructura. Cuantías geométricas Se obtiene al dividir el área de la armadura por el área de hormigón: ρ = Aacero / Ahormigón En vigas: ρ1 = As1 / Ac ρ2 = As2 / Ac En pilares: ρ = (As1 + As2) / Ac Cuantía mecánica Es la relación entre la capacidad mecánica del acero y la capacidad mecánica del hormigón. Se representa por ω y es el cociente entre las capacidades mecánicas del acero y el hormigón: ω = Us / U0 Para la armadura superior e inferior: ω1 = Us1 / U0 Varía entre 0.35 y 0.4 ω2 = Us2 / U0 Suele ser > 0.5 Momento específico El momento específico µ es la relación entre el momento de cálculo que solicita la sección Md entre la capacidad mecánica U0 del hormigón y su canto útil d. En definitiva, compara un momento resistente con las cualidades del material. Es un valor adimensional que suele oscilar entre 0.25 y 0.3. Para vigas, un buen valor es µ < 0.375. µ = Md / (U0 · d) µ є (0.1 - 1) Axil específico El axil específico ν es la relación entre el axil de cálculo de la sección y la capacidad resistente del hormigón (no la mecánica, porque todo está comprimido e interesa el canto real no el útil). ν = Nd / Uc Su valor deseable oscila entre 1.2 y 1.3, perteneciendo ν al intervalo 1- 2. En pilares debe ser ν < 1.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 4. Flexión

TEMA 4. FLEXIÓN Ecuaciones de equilibrio 1ª ecuación

La flexión simple consta de un esfuerzo limitado tan solo a un momento simple. La rotura del hormigón que buscamos siempre es la dúctil, la de los dominios I (poco probable), II y III, siendo éste último el más deseable. Para estudiar la rotura en el dominio III (en E.L.U.) necesitaremos las tensiones. El problema aparece en el hormigón. Se definió el diagrama de parábola rectángulo estudiando las tensiones. Este diagrama fue muy utilizado y estudiado por Torroja. En la zona de menor deformación tendremos la gráfica parabólica, admitiendo que el hormigón aguanta un poco a tracción. Como es de compleja aplicación, supondremos dos hipótesis: 1. Suponemos que fct = 0, por lo que no hay tensión de tracción en el hormigón. 2. Sustituimos el área parabólica por un área de igual magnitud pero rectangular que tendrá una profundidad menor a la parábola, sabiendo que y = 0.75 x. Para estar del lado de la seguridad usamos el 80%, es decir, tomamos y = 0.8 x (lo definió Torroja). Lo que se busca es compensar áreas. Si dibujamos el estado tensional de la sección obtenemos:

Se presentan algunas complicaciones en lo referente al centro de gravedad, por eso, se sustituirá la parábola por un rectángulo de manera que las áreas sean las mismas y el centro de gravedad esté más o menos a la misma altura. De todas formas el objetivo es sustituirla por un bloque de compresiones Bc. Por un lado, la tensión a compresión del hormigón y por otro la tensión a tracción del acero. Ésta se denomina como Us1 = As · fyd. Ante este estado, planteamos el equilibrio sabiendo que se produce el momento Md. Sumatoria de fuerzas: ΣF = 0 La resultante de la compresión del hormigón, teniendo siempre en cuenta el cansancio, es: 0.85 fcd · y · b = Us1 = As1 · fyd


2ª ecuación Cálculo de armaduras Armadura comprimida

Sumatoria de momentos: ΣMb = 0 0.85 fcd · by (d – y/2) = Md Tenemos como incógnitas y y el área del acero Us1, luego tenemos dos incógnitas y, por tanto, dos ecuaciones. Para resolver el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, simplificamos: - La primera ecuación la dividimos por U0, que es la capacidad mecánica del hormigón y su valor es 0.85 fcd · b. Tenemos que: 0.85 fcd · b · y Us1 y ——————— = —— — = ξ 0.85 fcd · b · d U0 d Sabiendo que y es la profundidad de la fibra neutra del diagrama de tensiones y no de deformaciones (recordar que hemos subido el punto con el área rectangular). Por su parte Us1/U0 es la capacidad mecánica del acero ω1. Luego la primera ecuación se queda en: ω1 = ξ - La segunda ecuación la dividimos por U0 · d. Entonces tenemos: 0.85 fcd · b · y (d – y/2) / d ———————————— 0.85 fcd · b · d · d / d Dividiendo entre d ambos miembros, obtenemos ξ (1 – ξ/2). El segundo miembro será –Md / (U0 · d) que es el momento específico µ. Obtenemos entonces: µ = ξ (1 – ξ/2) Sabiendo que µ es conocido, podemos calcular el valor de ξ a partir de: ξ = 1 - 1 - 2µ Conocido ξ vamos a la primera ecuación simplificada y sacamos ω1, sabiendo que ω1 = Us1 / U0, de donde obtenemos Us1, cuyo valor es: Us1 = As1 · fyd de donde a su vez se saca el área de la armadura necesaria As1. En zona de tracciones, cuanto menor sea el Φ a la hora de escoger la armadura será mejor ya que cose el hormigón. Recordemos el diagrama de pivotes donde teníamos: - Un plano que unía A-B y separaba los dominios II y III: x / d = 00.259 - Otro plano que separaba el dominio III del IV, o sea, la rotura dúctil de la frágil: x / d = 0.625 El parámetro que más vamos a usar es µ = Md / (U0 · d), por lo que sería conveniente relacionarla con las anteriores. Para ello sabemos que y = 0.8x, por lo que x = y / 0.8 que sustituimos en la ecuación:


Momento específico µ Valores de µ superiores a 0.375 Cálculo de la armadura

x / d = 0.259 y / (0.8 d) = 0.259 Como y / d = ξ, quedaría: ξ = 0.259 · 0.8 = 0.2 De donde se puede obtener el momento específico µ: µ = ξ (1 – ξ/2) µ = 0.2 (1 – 0.2/2) = 0.185 Por lo tanto, con valores de µ < 0.185 estaremos en el dominio II con rotura dúctil. Para el otro plano comentado se procede igualmente: y / (0.8 d) = 0.625 µ = 0.375 Si el momento específico que ‘ataca’ la sección es µ < 0.375 todavía estamos en el dominio III y, por lo tanto, sigue habiendo rotura dúctil. Si es mayor a este valor estaremos en rotura frágil con el dominio IV. Por ello, debemos intentar que µ no sobrepase el valor límite obtenido. Los valores óptimos oscilan entre 0.25 y 0.33. En caso de no cumplir µ < 0.375, podemos recurrir a dos soluciones: - Para bajar el resultado, podemos aumentar el denominador de la fórmula: Md µ = ——————— ≥ 0.375 0.85 fcd · b · d2 Si aumentamos fcd aumentamos la calidad del hormigón (secundario). Donde podemos actuar es en b y en d, al aumentar b disminuimos µ, al igual que si aumentamos el canto útil d. Hoy en día se tiende a usar pequeños cantos, lo que causa problemas con µ, ya que éste se dispara. Estas soluciones son posibles, pero no es recomendable porque implica cantos de 80 cm. - Cuando el momento específico µ sea mayor a 0.375 podemos recurrir a colocar la armadura de compresión. A efectos de cálculo esto supone dos estados:

El estado 2 comprende la diferencia de momentos, que será el resto hasta llegar al momento total que absorbe la armadura de compresión: Md = Mt + ∆M ∆M = Md - Mt Sabemos que µ = M / (U0 · d) y que el valor límite es µ = 0.375, luego tendremos que el momento tope Mt a partir del cual hay que añadir armadura de compresión:


Cuantías mínimas y máximas

Mt = 0.375 U0 d ∆M = Md – 0.375 U0 d Para hallar ∆M tomamos momento en el punto b: ∆M = Us2 (d-d’) Us2 = ∆M / (d-d’) = As2 · fyd La norma dice que Us2 < 0.5 Uc Recordar que Uc era la capacidad resistente del hormigón y valía 0.85 fcd Ac, siendo Ac = b ·h Luego ya sabemos con ello la armadura de compresión. Para hallar la de tracción Us1 aplicamos el valor límite de µ = 0.375, así obtenemos la armadura necesaria para soportar el momento topo y así formar el par con la armadura de compresión. Hay que cuidar mucho la ejecución en obra para que la armadura de arriba no baje al hormigonar, porque entonces la distancia entre ambas es menor y no absorbe el momento necesario del par, por lo que el hormigón trabajaría más de lo que desearíamos, en dominio IV, con rotura frágil. ξ = 1 - 1 – 2 µ = 0.5 Como ξ = ω1 = Us1 / U0, entonces Us1 / U0 = 0.5. Despejando, Us1 = 0.5 U0 Recordar que U0 era la capacidad mecánica del hormigón y valía fcd · b · d En el segundo estado de equilibrio se establece que Us1 = Us2 y, por tanto, tendremos: Us1 = 0.5 U0 + Us2 Cuando hablamos de armadura a tracción en el hormigón nos referimos a diferentes tipos de acero: B400s fyd t = 34.8 KN/cm2 B500s fyd t = 43.48 KN/cm2 Como el acero ayuda al hormigón a resistir a compresión, no le obligaremos a aguantar más que el hormigón, como mucho lo mismo que aguante el hormigón: εc = 0.002 = εs. La tensión para la deformación será: σs = E · εs = 210 MPa · 0.002 σs = 40 KN/cm2 Para examen: Por lo tanto, fyd para la compresión se limita a 40 KN/cm2 ya que para mayores valores de εc = 0.002 el hormigón ya rompe y el acero ya no sirve para nada. El acero B-500s, con 43.48 KN/cm2 se limita en compresión a 40 KN/cm2 ya que no sirve de nada a partir de esta tensión. a) Cuantía mínima es la cantidad mínima de acero que colocamos en una sección de hormigón para soportar. Esta cantidad viene determinada de dos maneras: - Cuantías mecánicas Imaginemos una sección de hormigón armado con un momento muy pequeño cuya tracción es menor a la resistencia del hormigón. En teoría no


necesitamos armaduras, pero según la norma (Art. 42.3.2) se establece un porcentaje de seguridad por si falla a compresión: fct = % fcd Viene a suponer un 16% Si suponemos que el hormigón armado no ofrece resistencia, el volumen de tracciones será: 1/2 · fct · h/2 · b que deberá ser ≤ Us1 = As1 · fyd Si sustituimos fct = 0.16 fcd 0.16 fcd · b · h Siendo b · h el área de la sección de Us1 ≥ ——————— hormigón Ac 4 0.04 fcd · Ac Y por tanto: As1 ≥ ——————— fyd - Cuantías geométricas La cuantía geométrica mínima controla la fisuración por retracción debida a las tracciones. Esta cuantía se de en tanto por mil de la sección de hormigón Ac. La tabla del Art. 42.3.5 nos da el ‰ en función del tipo de acero y el tipo de elemento que sea. De esta forma, para el caso de vigas por ejemplo: Hay que tener cuidado, ya que esto es armadura a tracción. Armadura mínima: ω1 > 0.04 o, más riguroso: ρ500 ≥ 28 cm/m2 ρ400 ≥ 33 cm/m2 La de compresión debe ser al menos un 30% de Ac y nos exigen siempre Φ12 como mínimo para evitar el pandeo de la armadura comprimida. No saldrá en el cálculo, pero constructivamente se necesitan para formas las jaulas (2 Φ12). Armadura mínima: ρ500 ≥ 9.33 cm/m2 ρ400 ≥ 11 cm/m2 b) Cuantía máxima es la cantidad máxima de armadura a compresión. Cuando el hormigón rompe a compresión el acero ya no sirve y por eso se limita su resistencia de tal forma que lo que trabaje la sección de hormigón será solo lo que trabaja la sección del acero. Us2 < 0.85 fcd · y · b Sustituimos: y = 0.8 x x = 0.625 d d = 0.9 h Ac = b · h En resumen, tenemos la limitación de Us2 < 0.5 Ac fcd En teoría los valores de µ son: µ µmax 0.0… As1 As2 0.95 0.375 0.8

B400s B500s As1 3.3‰ Ac 2.8‰ Ac

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 5. Flexión compuesta

TEMA 5. FLEXIÓN COMPUESTA Tipos de flexión compuesta

La flexión compuesta se produce porque la sección está sometida a un momento y un axil que como resultante lo podemos abreviar con una cierta excentricidad.

Md = Nd · e0 e0 = Md / Nd Para facilitar los cálculos lo supondremos referido a algo fijo, como la fibra superior de la armadura inferior. e = e0 + (d – d’) / 2 Existen varios tipos de flexión compuesta: 1. Tracción compuesta (T.C.) En la sección tenemos un axil negativo Nd < 0 ya que la tracción la suponemos negativa. Para definir si es tracción compuesta o no definimos el parámetro e, tal que si está más arriba de la armadura e > 0 y si está por debajo e > 0. Tendremos tracción compuesta cuando Nd < 0 y e > 0. En la sección tenemos un axil muy importante con una pequeña flexión. El momento que aplicamos modifica un poco las tracciones ya que es más pequeño que las tracciones que tenemos. En el límite (fibra de armadura) tendremos solo el axil aplicado, en definitiva, el diagrama será el de una tracción simple.

2. Flexión compuesta por tracción (F.C.T.) Al estar la tracción el axil será negativo Nd < 0. En este caso e será también negativo e < 0 y estará por debajo de la fibra de armadura. Lo principal es el


momento que existe en la sección. La tracción es menor y lo que hace es bajar la fibra neutra de la sección sometiéndola a mayores tracciones.

3. Flexión compuesta por compresión (F.C.C.) El axil en este caso es positivo, mientras que e debe valer e < d – d’ (altura de la armadura superior). Tenemos un momento importante al que le sumamos un axil de compresión. Estamos bajando las tracciones y aumentando la compresión.

4. Compresión compuesta (C.C.) En este caso el axil es Nd > 0 y la e estará comprendida entre los siguientes valores: 0 < e < d – d’, luego está entre amas fibras de armaduras. Se da sobre todo en pilares. Tenemos un axil importante frente a un momento más pequeño. Este tipo de secciones suelen romper en dominio V. La ley de compresión se hace trapezoidal.

Cada uno de estos tipos de flexiones conlleva una serie de cálculos para su obtención:


Flexión compuesta por compresión Ecuaciones de equilibrio Armadura a compresión

Hacemos un dibujo de la sección justo antes de romper. Desconocemos la profundidad y de la carga comprimida. El axil es mayor a d – d’ y las armaduras son Us2 comprimida y Us1 traccionada.

Establecemos las ecuaciones de equilibrio de la sección: Equilibrio de fuerzas: ΣF = 0 0.85 fcd · b · y + Us2 – Us1 = Nd Equilibrio de momentos: ΣMb = 0 0.85 fcd · b · y (d – y / 2) + Us2 (d - d’) = Nd · e El estado tensional de la sección del hormigón se debe al axil aplicado. Cuando aplicamos Nd, se producen todas las tras fuerzas y tensiones dentro de la sección. Por eso debemos igualar el axil a estas fuerzas internas. En el sistema tenemos las incógnitas y, Us1 y Us2 ya que no sabemos la cantidad de acero o armadura que tenemos. Es un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas, por lo que tiene infinitas soluciones. Habrá que fijar al menos una incógnita para poder resolver el sistema y hallar las otras dos incógnitas. Definiremos la armadura de compresión o armadura superior Us2. Esta armadura se define con cinco ecuaciones o cinco restricciones, de las que tomaremos la más restrictiva: 1. Como mínimo, según la Norma y a nivel de cálculo, hay que colocar 2Φ12, lo que implica As2 ≥ 2 cm2 o bien decimos que Us2 = 2 · 40 = 80 KN (para acero B-500s). Con esto último le exigimos al acero que soporte los mismo que el hormigón, ya que para el acero B-500s: fyd = 43.4 KN, que pasamos a 40 KN por ser la misma que el hormigón. 2. Se establece la cuantía geométrica mínima: Sirve para asegurar que cosemos las fisuras de retracción y los cambios de temperatura. As2 ≥ 9.33 Ac Para vigas de acero B-500s 8.4 Ac 30% Amin t 2.8‰ Ac, aunque suele colocarse 1/3 = 9.33 3. La cuantía mecánica mínima, donde Us2 ≥ 0.05 Nd (Art. 42.3.2). Se debe a la posible aparición de tracciones en la sección. 4. Limitación máxima tal que Us2 ≤ 0.5 fcd · Ac ya que cuando el hormigón rompa, ¿para qué queremos más sección de armadura? 5. Condicionante máximo tal que: Nd · e – 0.375 U0 · d Us2 ≥ —————————— d – d’


Flexión compuesta por tracción

Sabiendo que 0.375 U0 · d es el momento tope de nuestra sección, además es el límite para que aparezca armadura a compresión. Lo que hacemos es asegurarnos de la necesidad de colocar armadura inferior a compresión, ya que µ > 0.375. De estas ecuaciones tomaremos el resultado que nos salga más limitado. Volvemos a las ecuaciones: [1] 0.85 fcd · b · y + Us2 – Us1 = Nd [2] 0.85 fcd · b · y (d – y / 2) + Us2 (d - d’) = Nd · e Dividimos [1] entre U0, cuyo valor era 0.85 fcd · b · d 0.85 fcd · b · y + Us2 – Us1 = Nd —————— —— —— —— Recordar que Nd / U0 = ν U0 U0 U0 U0 ξ + ω2 – ω1 = ν Dividimos [2] entre U0 · d: 0.85 fcd · b · y (d – y / 2) + Us2 (d - d’) = Nd · e —————————— ————— ——— U0 · d U0 · d U0 · d Nd · e – Us2 (d – d’) ξ (1 – ξ / 2) = ————————— U0 · d Nd · e – Us2 (d – d’) es el momento al que le quitamos el momento de la compresión, que es el momento específico µ. Luego la ecuación [1] nos queda: ξ (1 – ξ / 2) = µ Como ya tenemos µ despejamos ξ: ξ = 1 - 1 – 2 µ De la ecuación [1] conocemos ν y ω2 con lo que despejamos ω1, obteniendo la armadura a tracción As1 y, a partir de ella, el armado de la sección. Se resuelve exactamente igual que la anterior, teniendo en cuenta que el axil es ahora negativo Nd < 0 y e es también negativo e < 0. Determinamos Us2 de las cinco restricciones comentadas: · As2 ≥ 2Φ12 · As2 ≥ 9.33 Ac · Us2 ≥ 0.05 Nd. Se va a cumplir siempre, por ser Nd < 0 · Us2 ≤ 0.5 fcd · Ac Nd · e – 0.375 U0 · d Como Nd · e es negativo sale · Us2 ≥ —————————— positivo. d – d’ Con este valor obtenido calculamos las ecuaciones:


Tracción compuesta Ejemplo 1

ξ = 1 - 1 – 2 µ ω1 = ξ + ω2 – ν Donde el axil específico ν será negativo, que se irá al multiplicar otro número negativo. Sacamos las demás incógnitas y obtenemos las armaduras de nuestra sección. ω1 = Us1 / U0 = As1 · fyd / U0 Tenemos una sección con las dos armaduras a compresión y a tracción. En este caso de tracción tenemos que Nd < 0 y e > 0. Tendremos por tanto dos esfuerzos en la sección: Us1 y Us2. Equilibramos y tenemos que (tomando momento en a): Us1 (d – d’) = Nd (d - d‘ - e), de donde sacamos Us1: Nd (d – d’ – e) Us1 = ———————— d – d‘ Us1 = Nd [1 – e / (d - d’)] Nd en valor absoluto. La norma nos dice que en tracción compuesta coloquemos siempre armadura simétrica, lo que implica que Us1 = Us2. En el Art. 42.3.4 se dice que debemos tener en cuenta las cuantías mínimas a tracción, entonces: Us1 = Us2 ≥ 38 Ac Es más limitativa que la de 28 Como Us1 + Us2 = Nd Us2 = Nd – Us1 Flexión compuesta por compresión 30 x 60 cm Md = 288 KNm Nd = 100 KN B500s y HA-25 El recubrimiento mecánico será (tomando como armadura Φ20 inicial): c = r + Φc + Φi / 2 = 3 + 0.6 + 2/2 = 4.6cm d’ = 0.046 m d = h – d = 0.6 – 0.046 = 0.554 m e = e0 + (d – d’) / 2 = 288 / 100 + (d – d’) / 2 e = 288 / 100 + (0.554 – 0.046) / 2 = 3.134 m U0 = 0.85 · 25000 / 1.5 · 0.3 · 0.554 = 2354 KN El área de hormigón es Ac = 0.3 · 0.6 = 0.18 m2 Calculamos Us2 a partir de las cinco restricciones: 1. As2 ≥ 2Φ12 As2 = 2 cm2 Us2 = 2 cm2 · fyd c = 80 KN fyd c = 40 KN/cm2 para que resista como máximo lo mismo que el hormigón Para B-500s: Tracción fyd = fyk / γ = 500 / 1.15 = 438 fyd = 43.8 KN/cm2


Ejemplo 2

2. As2 ≥ 9.33 Ac ≥ 9.33 · 0.18 = 1.68 cm2 Es menor que el valor obtenido en 1. 3. Us2 ≥ 0.05 Nd = 0.05 · 100 = 5 KN. No supera a 1. 4. Us2 ≤ 0.5 fcd · Ac = 1500 KN Si se pasa de 1500 es que se está tirando hormigón, hay que bajar el canto 5. Nd · e – 0.375 U0 · d Us2 ≥ —————————— = -3.46KN d – d’ Como sale negativo quiere decir que no me he pasado del dominio III (estoy en el II o en el III) y que µ < 0.375. Entonces colocaré 2Φ12 Nd · e – Us2 (d – d’) 100 · 3.134 – 80 (0.508) µ = ————————— = ———————————— = 0.209 U0 · d 2354 · 0.554 Como µ < 0.375 estamos en el dominio III. ξ = 1 - 1 – 2 µ = 0.237 ω1 = ξ + ω2 – ν = 0.237 + Us2 / U0 – Nd / U0 ω1 = 0.237 + 80 / 2354 – 100 / 2354 = 0.229 ω1 = Us1 / U0 = As1 · fyd / U0 As1 = ω1 · U0 / fyd = 0.229 · 2354 / 43.48 = 12.34 cm2 6Φ16 Flexión compuesta por tracción 30 x 40 cm Md = -100 KNm Se resuelve igual que en F.C.C. Nd = 100 KN pero teniendo en cuenta que B500s y HA-25 Nd < 0 y e < 0. c = r + Φc + Φi / 2 = 3 + 0.6 + 2/2 = 4.6cm d’ = 0.046 m d = h – d = 0.4 – 0.046 = 0.354 m e = e0 + (d – d’) / 2 = 100 / -100 + (d – d’) / 2 e = 100 / -100 + (0.354 – 0.046) / 2 = -0.846 m U0 = 0.85 · 25000 / 1.5 · 0.3 · 0.354 = 1504 KN El área de hormigón es Ac = 0.3 · 0.4 = 0.12 m2 Para As2: 1. As2 ≥ 2Φ12 (2 cm2) Us2 = As2 · fyd c = 2 · 40 = 80 KN 2. As2 ≥ 9.33 Ac 1.12 cm2. No limita por no superar los 2 cm2 3. Us2 ≥ 0.05 Nd Como Nd es negativo no tiene sentido. 4. Us2 ≤ 0.5 fcd · Ac = 0.5 · 25000 / 1.5 · 0.12 = 1000 KN 5. Nd · e – 0.375 U0 · d Us2 ≥ —————————— d – d’ -100 · (-0.846) – 0.375 · 1504 · 0.354 Us2 ≥ —————————————————— = -373.56 0.354 – 0.046


Ejemplo 3

Usaré entonces 2Φ12 Para As1: Nd · e – Us2 (d – d’) -100 · (-0.846) – 80 · (0.354 – 0.046) µ = ————————— = —————————————————— U0 · d 1504 · 0.354 µ = 0.113 Como µ < 0.375 estamos en el dominio III. ξ = 1 - 1 – 2 µ = 0.12 ω1 = ξ + ω2 – ν = ξ + ω2 + Nd / U0 = 0.12 + 80 / 1504 – (-100) / 1504 = 0.24 As1 = ω1 · U0 / fyd = 0.24 · 1504 / 43.48 = 8.3 cm2 3Φ20 30 x 40 cm Md = 50 KNm Nd = -500 KN B500s y HA-25 ¿Es flexión compuesta por tracción o tracción compuesta? e = 50 / -500 + (0.354 – 0.046) / 2 = 0.054 > 0 Tracción compuesta e 0.054 Us1 = Nd (1 - ————) = 500 (1 - ———————) = 412 KN d – d‘ 0.354 – 0.046 As1 = 412 / fyd = 412 / 43.48 = 9.5 cm2 5Φ12 Según norma Us1 = Us2, luego deberemos colocar la misma armadura arriba que abajo.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 6. Pilares

TEMA 6. PILARES Problemática de las columnas Armadura simétrica Cercos

Los pilares trabajan básicamente a compresión, por lo que existe la rotura frágil. Todos los pilares van armados, cuanto más dúctiles sean mejor. Los pilares son difíciles de orientar, no es como una viga que tiene una cara superior y otra inferior. Se colocará la misma armadura en las cuatro caras y, si el pilar es rectangular, tendrá dos caras simétricas dos a dos. Hay que tener cuidado al hormigonar los pilares. Los áridos gruesos posibles y existentes en el hormigón pueden golpear la armadura de tal forma que ésta baje o se incline. La mayor consecuencia de ello es que el redondo se salga y el pilar se descascarille por la zona donde ese redondo a pandeado. La solución es colocar unas chapas, como cercos más fuertes, que protegen la estructura y evitan que dañe al pilar. Con esto se protege además del confinamiento a pandeo. La EHE antigua (del 91) lo que hacía es reducir fcd en un 10% cuando se trataba de hormigonar elementos verticales. Cuando se hormigota y pasa el tiempo se produce la segregación que consiste en que los áridos más pesados se van al fondo y el la superficie se queda la parte más líquida llamada caldo. Por ello, los pilares se quedaban con una zona menos resistente. Actualmente, la EHE-98 decide que los métodos de hormigonado existentes son de la suficiente calidad como para que esta disminución de fcd no se produzca. Su armado será siempre simétrico. ¿Por qué se arman simétricamente? Podríamos pensar que se despilfarra dinero porque estamos utilizando armadura que no es necesaria. Pero esto no es así, solo hay que pensar en el funcionamiento de un edificio. Supongamos que tenemos un pórtico empotrado en sus nudos. Dependiendo de la flexión de un forjado u otro, el pilar flectará hacia un lado u otro. La facilidad de ejecución de forma simétrica es mayor. En edificaciones normales colocaremos la armadura de forma constante a lo largo de toda la sección del pilar. Las armaduras no simétricas se dejarán para edificaciones singulares, donde habrá un control elevado de la obra. Un problema que aparece en compresión es el pandeo. Al colocar los redondos éstos están sometidos a pandeo y, al estar embebidos en el hormigón, coartan ese esfuerzo. Lo que se hace es arriostrar mediante cercos esos redondos formando una jaula que zuncha el hormigón. Estos cercos ayudan también para el esfuerzo cortante y consiguen alejar el pilar de la rotura frágil. La distancia de separación entre cercos s, según la norma, es la menor de estas tres: s ≤ 30 cm Como mínimo (b, h) 15 veces Φmin


Ecuaciones

Siendo b la base, h el canto y Φmin el de la armadura longitudinal. Cogeremos el menor de los tres, que será el que nos determine s. Ahora determinamos la armadura del cerco Φc, que según la norma es: Φc ≥ Φlong / 4 Según esta regla, si obtenemos pilares con Φ25 nos sale Φc = 6, luego tendremos las relaciones siguientes: Φ25 Φc = 6 Φ32 Φc = 8 Φ40 Φc = 10 Lo más normal es la armadura Φc = 6, por eso se utiliza para predimensionar previamente el pilar. Los cercos tienen un problema. El redondo puede salirse del cerco ya que no arriostra bien en el sentido perpendicular al cerco, es decir, tiende a combarse y salirse del cerco. Los redondos de las esquinas también tienen problemas ya que se coartan por más lados. Por ello la norma nos obliga a colocar más cercos cada vez que s > 15 cm. Siempre que los redondos de la armadura longitudinal superen este límite se realizarán arriostramientos. Hay diferentes posibilidades. Estos cercos pueden colocarse formando un rombo dentro del perímetro. También puede darse el caso de una sección que cada dos redondos supere la distancia. Téngase siempre en cuenta el cerco exterior que engloba a todos de forma general.

Para calcular un pilar tenemos la sección con la armadura simétrica: As1 = As2 Un pilar puede trabajar a flexión compuesta por compresión, compresión compuesta o a compresión simple. Lo que intentaremos será formular el cálculo de forma general, independiente del esfuerzo a que trabaje. Para esto, a nuestra sección le dibujamos los esfuerzos a los que está sometido.


Equilibrio de fuerzas

Arriba tendremos una compresión y abajo no lo sabemos, pero colocamos una tensión σs y, dependiendo del esfuerzo a que esté sometida colocamos además el axil correspondiente con la excentricidad. Si σs > 0 compresión Si σs < 0 tracción Estados en un pilar dependiendo del flector y el axil: σs Flexión compuesta rompiendo en dominio III….. - fyd Flexión compuesta rompiendo en dominio IV…. 0 > σs > fyd Compresión compuesta ………………………….. σs > 0 Compresión simple……………………………….. fyd Recordemos que en el dominio III estamos en una plastificación del acero (límite elástico) y, por tanto, el acero alcanza el valor de fyd, es decir, Us2, la armadura de arriba, siempre romperá con un valor σs = fyd. En el dominio IV, σs = - β0 · fyd, siendo β0 < 1 ya que ahora estamos en el tramo de la recta del diagrama fyd – ε, donde fyd es menor al valor límite εy. Establecemos equilibrios: ΣF = 0 Lo que aguanta Lo que aguanta Lo que aguanta + la armadura + la armadura = Axil el hormigón de arriba de abajo x tensión 0.85 fcd · b · y + As2 · fyd + As2 · σs = Nd Tenemos: ξ + (Us2 + σs · As2) / (U0 – ω2) = ν Sacamos factor común de ω2 sabiendo que: ω2 = Us2 / U0 = As2 / fyd / U0 As2 = ω2 · U0 / fyd Que sustituimos en la ecuación: ξ + ω2 + (σs · ω2 · U0) / (fyd · U0) = ν ξ + ω2 (1 + σs / fyd) = ν - En el caso de compresión compuesta, σs > 0 ya que la sección está comprimida. - En la compresión simple, teniendo en cuenta el tipo de acero: B500s σs = 40 N/cm2 B400s σs = 34.8 N/cm2


Equilibrio de momentos

- En el caso de flexión compuesta en el dominio III, donde µ < 0.375, entonces ξ = 0.5. Para este caso límite no se necesita armadura de compresión y tenemos que ω2 = 0 y, por lo tanto, la ecuación se reduce a: ξ = ν lo que implica νmax ≤ 0.5 (entonces también ξ = 0.5) de manera que si ν ≤ 0.5 estaremos en dominio III. Todo pilar con ν ≤ 0.5 y con armadura simétrica rompe en el dominio III y, por tanto, con rotura dúctil. Cuando rompe en el dominio III (la profundidad de la fibra neutra estaba entre 0.2 y 0.5): - En caso de compresión compuesta, compresión simple y flexión compuesta por compresión en el dominio III: Esto implica que µ > 0.375 y, a su vez, ξ < ν, por lo tanto ν > 0.5. Volviendo al equilibrio anterior, establecemos el equilibrio de momentos, tomando como referencia la armadura inferior: ΣM = 0 0.85 fcd · b · y (d – y / 2) + Us2 (d – d’) = Nd · e Operando tenemos: 0.85 fcd · b · y (d – y / 2) + Nd · e Us2 = ——————————————— d – d’ Nd · e - ξ (1 – ξ / 2) · U0 · d Us2 = ————————————— d – d’ Al valor ξ (1 – ξ / 2) lo llamaremos α, entonces: Nd · e – α · U0 · d Us2 = ————————— d – d’ Que será Us1 = Us2 por ser la armadura simétrica. El dato que no conocemos es α: α = ξ (1 – ξ / 2) Antes dijimos que si: ν < 0.5 ξ = ν ν > 0.5 ξ < ν Si sacamos valores: Hasta que ξ = 0.5 este crece y conocemos su ley. Podemos sustituirlo en la ecuación de: ξ (1 – ξ/2) = ν (1 – ν/2)

ξ α 0.5 0.375 0.8 0.48 1 0.5

1.1 0.495


Cuantías Ejemplo

Cuanto más pequeño sea α más del lado de la seguridad estaremos por lo que cuando ν ≥ 0.5 adoptamos α = 0.375, que es el valor mínimo para el cual comienza a bajar ν. Luego, a partir de 0.5 el valor de ξ empieza a decrecer y ser siempre menor que ν. Se coge el menor de ξ ya que así nos saldría mayor armadura según la ecuación de Us2. La norma nos indica que hay que calcularla pero nosotros adoptaremos este criterio. Armadura mínima: Us1 ≥ 0.05 Nd As1 ≥ 20 Ac As1 ≥ 2Φ12 Us1 ≤ 0.5 fcd · Ac, es decir, no es válido un pilar con sección pequeña y mucha armadura.

d = 0.4 – 0.046 = 0.354 U0 = 0.85 fcd · 0.4 · 0.354 = 2006 KN ν = 400 / 2006 = 0.2 < 0.5, luego rompe en el dominio III y α vale: α = 0.2 (1 – 0.2 / 2) = 0.18 e = 40 / 400 + (0.354 – 0.046) / 2 = 0.254 Nd · e – α · U0 · d 400 · 0.254 – 0.18 · 2006 · 0.354 Us1 = ————————— = ————————————————— = - 85 d – d’ 0.354 – 0.046 Es normal que pilares con poco axil tengan Us1 negativo. Probablemente no haga falta armadura. Colocamos entonces la armadura mínima: Us1 = 20 KN As1 = 20 / 43.48 ≈ 0.4 cm2 As1 = 2Φ12 2 cm2 As1 = 20 · 0.16 = 3.2 2Φ14 Tomamos 2Φ14, entonces 15 · 14 = 210 mm = 21 cm, redondeando queda: Estribos Φ6 a 20 cm

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 7. Flexión esviada

TEMA 7. FLEXIÓN ESVIADA Comportamiento espacial de soportes Flexión esviada

Supongamos una distribución en retícula con un número de pilares. Analizamos el pilar 1 contenido en el pórtico A. Si se le somete a una carga ésta estaría en el eje A y se movería en ese pórtico, por ello la excentricidad se mueve en una dirección y es única. Si ahora estudiamos el caso del pilar 2 contenido en el pórtico A y B, por lo que la excentricidad será doble ya que tendremos dos axiles con excentricidades diferentes y con respecto a ejes diferentes. Si analizamos este caso tenemos como resultado un axil en el centro y una generación de dos momentos por llevarlos al centro de gravedad de la sección. Estos momentos, según los dos ejes principales son los siguientes: mB = N1 · a mA = N2 · b

En la flexión esviada tenemos un axil determinado y dos momentos según las direcciones de los ejes. La relación entre los momentos varía con la vida del pilar. La flexión esviada se complica aún más porque la resultante va variando y, por tanto, la sección irá variando también. El total de los momentos será la suma de ambos, que nos dará un momento total mt. Su resultante tendrá igual inclinación que NT, No podemos tomar cada esfuerzo por separado y luego sumar las armaduras ya que agotamos parte de la sección dos veces. A tracción podría valer este método pero para la compresión nunca usaremos este método. Se debe calcular por su eje resultante, pera lo haremos mediante una reducción simplificada y estudiada por Montoya. Definimos la excentricidad según el eje x y el eje y como: ex = my / N ey = mx / N Tenemos dos ejes de flexión y dos flexiones rectas. La norma nos aconseja que calculemos la situación mediante las siguientes operaciones: erx = ex / h ery = ey / b donde er es la excentricidad relativa.


Comprobación de secciones

La norma nos dice que calculemos el valor de ex / ey · b / h que debe estar comprendida entre 0.25 y 4 para tener una flexión esviada. Se calculará según un método reducido de la EHE. Si es inferior a 0.25 o es mayor a 4 la flexión es poco esviada y la norma nos permite calcularlo como dos flexiones rectas. La suma de ambas no produce el agotamiento doble de una parte de la sección como ocurriría si sumáramos la flexión esviada. Se ven las excentricidades relativas y si una de las dos es menor que el cuarto de la otra se considera una flexión esviada pequeña, en definitiva, relacionamos ex/b y ey/h: 0.25 < ex / ey · b / h < 4 Flexión esviada 0.25 > ex / ey · b / h > 4 Flexión poco esviada Estudiamos el primer caso según la norma EHE, en el Anejo 8, Apartado 6 (también es método de J. Montoya) lo que se hace es convertir la flexión esviada en una recta, que hace más daño. Tenemos entonces, partiendo de ex y ey como e’y que según la norma su valor es: e'y = ey + ex · β · h / b donde β es un parámetro función de β = Nd / (fcd · h · d) y adquiere algunos valores importantes que vienen en la norma:

β 0.6 0.7 0.8 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 Nd .

fcd · h · d 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Este valor solo funciona si la sección está bien orientada. El método funciona si ey / ex > h / b. Ya que no es lo mismo que la sección, si es rectangular, esté de pie o tumbada, si no cumple esta condición la sección estará tumbada. Lo que hacemos es quedarnos del lado de la seguridad. También tenemos que comprobar que nuestra sección no se agota debido a la flexión esviada (Art. 43.5.3) que nos dice que debe cumplirse para ello la siguiente imposición: Mxd / Mxu + Myd / Muy ≤ 1 Diagrama de interacción

Si tenemos flexiones rectas en cada eje de la sección nos aguantará Mxu y Muy. La unión ortogonal de ambas no aguanta en la sección. Si ambos momentos actúan a la vez es imposible que la sección aguante los momentos máximos de cada eje, sino que aguantará menos y su unión será curva. Para toda combinación o punto que tengamos por debajo de ella estaremos en zona de seguridad, mientras que si estamos por encima la sección romperá. Cada axil sometido en la sección tendrá su curva en la gráfica. Una curva supone un axil constante. Entraremos con nuestros valores de Mxd y Myd para ver si está dentro o fuera de la curva y así saber si debemos continuar o no, si nuestra sección rompe o no.


Método de cálculo Ejemplo

Nx = 270 KN mx = 50 mKN Ny = 100 KN my = 100 mKN B500s y HA-25

1º Cálculo de las excentricidades ex y ey Habría que calcular la excentricidad en cada eje. Como tenemos axiles en ambos ejes sumamos: NTotal = Nx + Ny = 370 KN Calculamos las excentricidades: ex = my / N = 100 / 370 = 0.27 ey = mx / N = 50 / 370 = 0.135 2º Comprobación de la orientación Tenemos que ver ahora si la sección está bien orientada: ey / ex > h / b 0.135 / 0.27 > 50 / 30 No cumple ya que 0.5 no es mayor que 1.66, así que tendremos que cambiarla y orientarla de forma diferente. De esta forma, ahora tenemos b = 50 cm y h = 30 cm. Teniendo el mismo axil, la excentricidad será: ex = 0.135 m ey = 0.27 m Ya no deberíamos hacer la comprobación ya que si no es una posición tiene que ser la otra, de todas formas: ey / ex > h / b 0.27 / 0.135 > 30 / 50 2 > 0.6 Cumple 3º Cálculo de la excentricidad virtual e’y Por ello, definimos una excentricidad e’y que estará en el eje y cuyo valor es: e’y = ey · β · ex · h / b = 0.27 + β · 0.135 · 30 / 50 β se calcula mediante la expresión: β = Nd / (fcd · h · d) = 370 / (14167 · 0.5 · 0.254) = 0.2 Entrando en la tabla con este valor de β (0.2): β = β (0.2) = 0.7 Luego la excentricidad es: e’y = 0.33 m


4º Obtención de la excentricidad e respecto a la cual se calcula la armadura e = e’y + (d – d’) / 2 = 0.33 + (0.254 – 0.046) / 2 = 0.434 5º Armadura Seguimos calculando ahora el axil específico que necesitaremos para hallar los valores de Us1 y Us2: ν = Nd / U0 = 370 / (14167 · 0.5 · 0.254) = 0.2 Como ν < 0.5 pasamos a obtener el valor de α que también necesitaremos: α = ν (1 – ν / 2) = 0.2 (1 – 0.1) = 0.18 Al tener el valor del axil específico y ver que ν < 0.5 calculábamos anteriormente α = ν (1 – ν / 2) = 0.15 y con esto: Nd · e – α · U0 · d 370 · 0.434 – 0.18 · 1800 · 0.254 Us2 = Us1 = ———————— = ——————————————— d – d’ (0.254 – 0.046) Obtenemos así Us2 = Us1 = 371 KN, que en cm2 de armadura son: As1 = As2 = Us2 / fyd = 371 / 40 = 9.2 cm2 3Φ20 6º Comparación con la armadura mínima > 5% del axil 5% de 370 = 18 KN > 3Φ12 As > 20 Ac 20 · 0.5 · 0.3 = 3 cm2 7º Disposición de la armadura Colocaremos 8Φ20 en total en todo el pilar, colocando la armadura igual en las cuatro caras. 8º Cercos Φc = 1/4 Φmax 1/4 · 20 = 5 Φ6, lo mínimo Como máximo estarán colocados a 30cm. Los cercos serán de Φ6 a 30cm Sin embargo, hay que tener en cuenta que para los redondos longitudinales planteados y para un recubrimiento de 3cm la separación entre armaduras s en las caras de 50cm es de 21.7cm, por lo tanto, como 204 > 150 mm los redondos centrales no están bien atados, por los que habrá que arriostrarlos de alguna manera:

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 8. Pandeo de soportes de hormigón

TEMA 8. PANDEO DE SOPORTES DE HOMIGÓN Inestabilidad de piezas comprimidas Carga crítica de Euler

Supongamos un pilar sometido a compresión en los dos extremos. Su deformación genera una pequeña flecha lateral que llamaremos v. Si además del axil N aplicamos los momentos m0 en los extremos tenemos que el momento en el centro del pilar no es m0 sino que es la suma de éste y la excentricidad que genera el momento. En la fórmula, la deformación N · v es en principio muy pequeña pero si va aumentando el pandeo. mr = m0 + N · v El pandeo es un fenómeno no lineal de segundo orden que surge como una deformación lateral debido a la flecha que se genera. En principio, si N · v es pequeño el propio pilar volverá a su posición inicial absorbiendo la flecha producida, pero a medida que N · v aumenta, el pilar llegará a un punto en que la flecha sea tan grande que ya no puede volver a su posición inicial. El pandeo existe siempre y la estructura puede romper al hacerse el equilibrio inestable, al no volver a su posición inicial. Euler se dedicó exclusivamente al estudio del pandeo de elementos y definió una serie de fórmulas para su cálculo. Tenemos por un lado las fuerzas atacantes y los mecanismos resistentes que evitan la rotura del elemento. En el caso del pilar del dibujo tenemos como fuerza resistente a la que produce P · y. El mecanismo resistente es la curvatura del elemento que será el momento que va a resistir en la sección, oposición que pone el mismo a y. MA = P · y MR = y’’ · E · I donde y’’es la segunda derivada de la deformada o curvatura de la pieza y E · I la rigidez de la pieza. Si MA < MR Vuelve el pilar a su posición después del esfuerzo (es la situación normal) Si MA = MR La pieza se curva y se queda en equilibrio Si MA > MR La pieza se agota y rompe Aplicando el equilibrio establecemos la ecuación diferencial del pandeo de Euler: P · y = y’’ · E · I En esta fórmula, y es la ecuación: y = sen (π · x / L) de manera que la primera derivada es: y’ = π/L · cos (π · x / L) y la segunda derivada es: y’’ = - π2/L2 · sen (π · x / L) que, sustituyendo en la ecuación inicial queda: P · sen (π · x / L) = π2/L2 · sen (π · x / L) · E · I P es la carga crítica de Euler cuyo valor es: Pcri = π2 · E · I / L2


Longitud de pandeo Tensión crítica Influencia de la traslacionalidad de la estructura

Todas las piezas comprimidas tienen una carga crítica, de manera que si la fuerza que actúa sobre ella es menor que ésta se comportarán establemente y si la carga es mayor que la crítica se comportarán inestablemente. Con cargas inferiores a Pcri no afecta el pandeo a la estructura. Si es superior la carga a Pcri habrá problemas de pandeo. Cuanto mayor sea L más problemas de pandeo habrá, ya que nos darán valores de Pcri bajos. La carga crítica de Euler se calcula suponiendo un elemento biarticulado, sin elasticidad y en condiciones ideales. Cuando se aplique a la realidad se modificará con varios factores. Para validar la ecuación de Pcri tenemos que considerar los puntos donde los momentos se anulan (en los puntos de inflexión nulos) y tener una determinada longitud de pandeo LP, longitud que existe entre puntos de momento flector nulo, en función de un factor β: LP = β · Lreal Para los diferentes casos, el valor de β será:

Habrá que incluir LP en la fórmula de Euler, de forma que la carga crítica venga definida en función del valor de la longitud de pandeo. Pcri = π2 · E · I / LP

2 Debe existir también una tensión crítica de pandeo σcri: σcri = Pcri / A = π2 · E · I / (LP

2 · A) Como el radio de giro i = I / A σcri = π2 · E · i2 / LP

2 Si incluimos en la fórmula la esbeltez mecánica de la pieza λ = LP / i σcri = π2 · E / λ2 Cuanto más esbelta sea una pieza pandea para una tensión menor. También depende de la situación de la pieza (empotrada, articulada…). Recordando lo comentado anteriormente para la esbeltez de las piezas λ y su longitud de pandeo LP, tenemos que tener en cuenta que habrá casos en los que el factor β no se corresponda con un valor dado sino que sea función de las rigideces en los extremos del elemento y, por tanto, haya que calcularlo expresamente para nuestra pieza. Tomando un pilar en un pórtico cualquiera y siendo A su extremo o nudo superior y B su extremo o nudo inferior tenemos como grado de empotramiento ψ en los nudos A y B:


Σ (E · I / L)pilares ΨA = ———————— Σ (E · I / L)vigas Para empotramiento perfecto: Ψ = 0 Para articulación: Ψ = ∞ Así, para pórticos intraslacionales o poco trasnacionales tendremos que el valor de β es: - Pórticos intraslacionales 0.64 + 1.4 (ΨA + ΨB) + 3 · ΨA · ΨB β = ———————————————— 1.28 + 2 (ΨA + ΨB) + 3 · ΨA · ΨB Aunque es un poco difícil. No pasa nada por tomar en pilares β = 0.7. - Pórticos poco traslacionales El pórtico traslacional provoca que se desplace la carga y aumente el riesgo de pandeo. 7.5 + 4 (ΨA + ΨB) + 1.6 · ΨA · ΨB β = ———————————————— 7.5 + (ΨA + ΨB) Para el caso de un pilar biempotrado β ya no es 0.5 sino 1. El límite de la traslacionalidad se obtiene, para un pórtico intraslacional: u / h < 1 / 2000 Y para pórtico poco traslacional: 1 / 2000 < u / h < 1 / 750 Si u / h > 1 / 750 debe hacerse un cálculo no lineal. También debería hacerse el cálculo de β en el otro pórtico al que pertenece el nudo. Conocido entonces β tenemos la longitud de pandeo Lp y la esbeltez mecánica λ. La norma diferencia cuatro casos: - Si el momento de segundo orden es P · v ≤ M1er orden / 10, es decir < 10% se considera el momento de segundo orden por el coeficiente de seguridad. - Si λ ≤ 35 no existe riesgo de pandeo. - Hay casos en los que la esbeltez es tan grande que el elemento se agota por inestabilidad. Así, si λ ≥ 200 no se puede construir, se rompe. - La norma interpone β = 100 para dividir entre: 35 < β < 100 Mediano M2º orden Usar método aprox. 100 < β < 200 Gran M2º orden Acudir a especialista En el proceso de cálculo tenemos:


Excentricidad adicional

i = I / A = b · h3 / (12 · b · h) = h / 3.5 Con esto resulta muy fácil calcular el radio de giro en una dirección y otra (ix e iy). Basta con tomar el canto h en cada dirección. Si sustituimos el valor obtenido en la esbeltez mecánica λ: λ = LP / i = 3.5 LP / h Podemos definir también la esbeltez geométrica λG: λG = LP / h Establecemos la relación entre ambos como λ = 3.5 λG. Si λG ≤ 10 no hay pandeo, lo que quiere decir que el canto h ≥ LP / 10, esto es, el 10% de la longitud de pandeo. Por ejemplo, para un pilar de 3m tenemos: LP = 2.1 λ = 2.1 / 0.25 = 8.4 Pilar mínimo 25 x 25cm El problema del pandeo aparece con las 2 o 3 alturas, si nos empeñamos en hacer pilares muy delgados. Otro ejemplo, para un pilar de 6m tenemos: LP = 4.2 λ = 4.2 / 0.3 = 1.4 Pilar de 30 x 30cm Si el pilar es grueso (por ejemplo de 45 x 45)no hay problema, aunque en cualquier caso, si la estructura es traslacional aparecerá de nuevo el problema, con un elevado riesgo de pandeo. En el caso de pilares pantalla también aparece riesgo de pandeo en la dirección corta. λ ≤ 35 λG ≤ 10 λ ≤ 100 λG ≤ 28 λ ≤ 200 λG = 56 Un pilar cualquiera puede resistir un axil y un momento flector, pero cuando ambos coexisten resiste menos. La curva define el límite para el cual rompe el pilar. Al ir cargando el pilar, van creciendo NA y MA proporcionalmente. Si hay efectos de segundo orden hay mayor MA, por lo que rompe con un axil menor del que lo hacía antes. El método consistirá en añadir un momento de segundo orden: Antes, Nd, Md, ahora Nd, (Md + 2º ν) Así, el cálculo aproximado no es más que determinar cual va a ser el valor de ν, determinando el pandeo. e0 = Md / Nd e = e0 + ea, donde la excentricidad adicional ea = p · v Por otra parte, Euler calculó que la deformación es:


En vigas En pilares

y = y0 – sen (x · π / L) y’’ = y · π2 / L2 y = y’’ · LP

2 / π La curvatura será y’’ = (εc + εs) / (d – d’) Aproximadamente y’’ = (εc + εs) / (0.75 h) = (εc + εs) / (25 i) Pero la norma da un valor ponderado de la curvatura: εc + εs 1 h + 20 e0 y'’ = ——— —— ————— 25 i 2 h + 10 e0 La excentricidad adicional será: LP

2 εc + εs 1 h + 20 e0 ea = —— ———— —— ————— π2 2.5 i 2 h + 10 e0 Donde: εc = 0.004, aunque sea 0.0033 se toma este valor por la fluencia εs = 0.0022 También se puede indicar en función de h y no de i: LP

2 h + 20 e0 1 ea = —— ————— ——— h h + 10 e0 2000 Un pilar tiene un momento superior y otro inferior, además de un axil. Si los dos momentos son del mismo signo el riesgo de pandeo es menor. Pero esta diferenciación no ha sido tenida en cuenta hasta ahora. Tomamos Ms y Mi y les llamamos: - M2 al mayor de los dos, de manera que M2 = 2 M1 - M2 siempre va a ser > 0 (positivo) Si el axil favorece a que el momento sea mayor, también se toma M1 con el mismo signo que M2. Cuando los momentos exteriores sean del mismo signo e1 < 0 y si los momentos exteriores son de signo diferente e1 > 0. e2 siempre es > 0, sin embargo, e1 depende, por lo que puede sumar o restar. e0 lo tomaremos como: e0 = 0.6 e2 + 0.4 e1 Si e0 no es menor que 0.4 e2 será un pórtico intraslacional. Si e0 no es mayor que e2 entonces es traslacional (no hacerlos nunca). El cálculo a pandeo debe realizarse con el pandeo en las dos direcciones, por lo que acabará siendo un caso de flexión esviada. Aunque no haya pilar en otra dirección habrá dos limitaciones: emin = h / 20 emin = 0.02m


Método de cálculo

P1 = N1A MyA N1A MyB P2 = N2A MzA N2A MzB Caso A: (ez = Mzd / Nd)A (ey = Myd / Nd)B Caso B: (ez = Mzd / Nd)A (ey = Myd / Nd)B Ninguna de las excentricidades será menor de 0.02 o h / 20. Para decidir si se calcula a pandeo hay que hallar la esbeltez de los pórticos: λG1 = LP1 / h1 λG2 = LP2 / h2 1º Hay que ver si es intraslacional 2º Calcular ψA1 y ψB2, valores con los que se calcula β1 LP1 = β1 · Lreal 3º Se calcula ψA1 y ψB2 para así obtener β2 LP2 = β2 · Lreal λG1 < 10, λG2 < 10 Sin pandeo (1) λG1 > 0, λG2 < 10 Pandeo de pórtico 1 λG1 < 0, λG2 > 10 Pandeo de pórtico 2 (2) λG1 > 0, λG2 > 10 Pandeo en los dos pórticos

(1) Se calculan A y B y la que dé mayor armadura se toma para armar como armadura constante en todo el pilar.

(2) Se calcula por la sección intermedia del pilar. Pórtico 1: e0 = 0.6 e2 + 0.4 e1 e0 no debe ser menor que 0.4 e2 ni que e2, calculando en la sección intermedia. LP1

2 h1 + 20 e0 1 ea1 = —— ————— ——— h h1 + 10 e0 2000 eTOTAL Y = e0 + ea1 Pórtico 2: e0 = 0.6 e2 + 0.4 e1 LP2

2 h2 + 20 e0 1 ea2 = —— ————— ——— h h2 + 10 e0 2000 eTOTAL Z = e0 + ea2 Se ha obtenido ya una sección, que será la que se calcula a pandeo. Lo normal es que no exista el pandeo en obras de edificación de hormigón armado.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 9. Esfuerzo cortante

TEMA 9. ESFUERZO CORTANTE Rotura de piezas de hormigón ante esfuerzos tangenciales Armadura de cosido Método de Ritter

En una viga fisurada por esfuerzo cortante aparecen estos indicios y, cuando rompe: Si rompe según la dirección indicada es porque existen tracciones perpendiculartes. Antes se armaba también a 45º pero se ha abandonado por la dificultad de doblaje. Se ha pasado al uso de una jaula con unos cercos, que son los que absorben el esfuerzo cortante. Los cercos o estribos se caracterizan por tres parámetros: a) El diámetro Φ en edificación es Φ6 o un Φ8 en caso de cortantes elevados. b) Número de ramas: Es el número de cercos que corta la grieta. Pueden ser de 2 ramas, 4 u 8 (4 dobles). c) Separación s: Debe estar todo tupido, pero con un máximo y un mínimo. No poner más de 10 cm sin armadura ara no tener problemas en el hormigonado. Es normal que los cercos estén más juntos en la zona cercana a los apoyos, mientras que están más separados en el centro. sc para el centro sa para los apoyos El esquema de cálculo de la armadura a cortante se va a basar en la asimilación de la viga de hormigón a una cercha, método grosero pero que funciona. El método es el llamado de Ritter-Morsh. Las grietas por cortante suelen ser con un ángulo determinado β. Vamos a coserlas mediante cercos. Tenemos el siguiente triángulo, donde V es el cortante y c la compresión:


Compresión oblicua del alma

Tomaremos una sección perpendicular a la grieta (CD), con un canto b. Lo que aguanta esta sección a compresión es: CD · b σC = Vd / sen β Se produce la compresión oblicua debido al cortante. Por trigonometría y tomando como altura del triángulo 0.9 d (se lo inventó el autor), tenemos: CD = CA · sen β = 0.9 · d · (cotg α + cotg β) · sen β El cortante será: Vd = 0.9 · d · (cotg α + cotg β) · sen2 β · σc · bw El ancho bw para el cálculo del cortante es el ancho del alma. Para secciones rectangulares coincide con el total de la viga. α = π / 2 β = π / 4 0.9 σc ≈ 0.6 fcd Vd = (0.9 / 2) · σc · bw · d = 0.3 · fcd · bw · d Las vigas con mucho cortante pueden romperse por compresión oblicua del alma. No se soluciona con más armadura sino aumentando la sección. Para fck = 25 N/mm2 (MPa) tendremos: Vc = 1350 · ξ · ρ1/3 · bw · d En la fórmula Vc estará en KN, bw y d en metros.

1º Comprobar la compresión oblicua: V1 ≤ 0.3 · fcd · bw · d 2º Comprobar lo que resiste el hormigón: Vc = 1350 · ξ · ρ1/3 · bw · d


Ejemplo Tipos de vigas según el cortante Cortante de la sección Cortante Vs Separación de cercos

En el esquema, la parte sombreada es el cortante que tiene que resistir la armadura. Vs = V2 – Vc Vs = 0.9 (d / s) · At · n · fyd La armadura obtenida habrá que compararla con los máximos. Aunque haya zonas en las que no hagan falta cercos por cortantes habrá que colocar cercos mínimos (Art. 44.2.3.4): fyd · At · n / s > 0.02 · fcd · bw En el diagrama de cortantes anterior, estos cercos mínimos se llevarán hasta la altura marcada por Vs min: Vs min = (0.9 d / s) · At · n · fyd En obras de ingeniería, puentes por ejemplo, sí se modifican los cercos cada 10 m (para luces de 100 m), haciendo un escalonamiento cada 10 m a fin de obtener el Vs correspondiente. Si tengo una viga de 20cm de canto y 30 de alto, con un cortante de 500KN. ¿Lo aguantaría la viga? 0.2 · 0.254 · 0.3 · 16.666 = 249 KN aguanta la viga a cortante El cortante nos divide a las vigas en tres tipos diferentes: - Vigas con poco cortante: Vd ≤ 1/5 Vmax - Vigas con cortante medio: 1/5 < Vd < 2/3 Vmax - Vigas con mucho cortante: Vd ≥ 2/3 Vmax Lo primero que tengo que hacer es calcular la Vmax de una sección. Aunque haya una fisura no se cae porque existe un rozamiento entre las dos caras. Necesita una fuerza exterior que supere ese rozamiento para que llegue a caerse. Vd = Vs + Vc donde Vs es el cortante que aguanta el acero Vc es el cortante que aguanta el hormigón At · n · (CA / s) · fyd = Vs / sen α donde At · n · (CA / s) es el área total de cercos que cosen el cortante fyd ≤ 40 KN/mm2 Vs = (At · n / s) · fyd · sen α · 0.9 · d · (cotg α + cotg β) Si α = π / 2 y β = π / 4, entonces: Vs = (0.9 · d / s) · At · n · fyd Esta fórmula nos dice cuanto de separado deben estar los cercos. n suele ser 2, puesto que normalmente hay dos ramas. Vs es el cortante que tienen que asumir los cercos. Normalmente los cercos son redondos de Φ6 a 30cm. Si la separación s nos sale muy grande no coserá bien. Deberá ser: s ≤ 0.8 d en vigas de poco cortante 30 cm


Cortante Vc

s ≤ 0.6 d en vigas de cortante medio 30 cm s ≤ 0.3 d en vigas de mucho cortante 20 cm La separación mínima es de 10 cm. Ahora, veamos Vc. ¿Cuánto cortante aguanta el hormigón? Vc = 0.1 · ξ · (100 · ρ · fck)1/3 · bw · d donde el cortante que soporta el hormigón Vc está en N, la resistencia característica del hormigón fck en MPa, bw y d en mm. ξ es la cuantía geométrica mínima a flexión. ξ = 1 + 200 / d (en mm) o ξ = 1 + 0.2 / d (en m) ρ = A1 / Ac El cálculo del cortante no solo se soluciona con los cercos, sino que hay que dar respuesta a la componente transversal de éste disminuyendo la distancia entre armadura en el borde.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 10. Torsión

TEMA 10. TORSIÓN Torsión Tensión tangencial Sección hueca equivalente

El otro esfuerzo que produce grandes deformaciones en la viga es la torsión. El efecto que provoca son tensiones tangenciales en la periferia de la sección. Una viga de sección rectangular soporta el mismo torsor que una del mismo canto y alto pero con el interior hueco. Por esto, calcularemos el torsor en las vigas como si fueran cajones.

be = b – he de = h – he El torsor genera dos pares de fuerzas que lo equilibran: Td = ζ he be de + ζ he de be = 2 ζ he be de donde be de es el área eficaz de la sección Por tanto, la tensión tangencial es ζ = Td / (2 he Ae) La tensión de torsión es proporcional a la distorsión. Conviene que las vigas de fachada resistan más a torsión que las interiores ya que las interiores compensan la torsión por ambos lados, mientras que las exteriores no la compensan. Una sección rectangular maciza realmente funciona a torsión igual que una de sección hueca, por lo que en el cálculo se sustituirá por esta última, que resulta equivalente (Art. 45.2.1). El espesor de la pared he de esta viga de cajón será: he = A / u = (b · h) / 2(b + h) u es el perímetro exterior de la sección


Grietas Torsor último

he no podrá ser inferior a dos veces el recubrimiento mecánico de la armadura (a eje) 2 c0. he no podrá ser superior a b/2. he, en caso de sección físicamente de cajón, no podrá ser superior al espesor de la pared de la sección hueca h0. Una vez que tenemos la sección en cajón, vemos los ejes de las paredes: be = b – he de = h – he Ae = be · de Ue = 2 (be + de) Los pares de fuerza son iguales. Uno es más débil, pero tiene más brazo. Td = 2 ζ he Ae La fórmula sirve para saber las tensiones que aparecen en una viga al aplicarle un momento torsor: ζ = Td / (2 he Ae) Cada tensión tangencial lleva consigo un esfuerzo rasante y otro cortante. Las grietas que van a aparecer con la torsión podrían confundirse con las provocadas por el cortante, sin embargo, se diferencian fácilmente ya que las provocadas por un torsor están distribuidas por toda la viga formando hélices. Cuando ζ < 0.025 fcd la torsión es aguantada por la viga de hormigón sin necesidad de armadura a torsor. fck = 25 fcd = 16 ζ = 0.4 A partir de este valor hay que armar a torsor la viga. La disposición de las armaduras de manera lógica, en principio, sería de forma helicoidal cosiendo las grietas producidas. Sin embargo, si bien esto funciona muy bien para un torsor dado, funciona muy mal para el momento de signo contrario. Por esto es preferible armar mediante cercos y armadura longitudinal, que absorben el torsor sea cual sea su signo. Hay que tener cuidado porque si se arma demasiado las compresiones aumentan. Por tanto, el torsor último o máximo es aquel que rompe el hormigón a compresión. Experimentalmente se sabe que ζ ≤ 0.18 fcd Por lo que el torsor último será Tul = 0.18 fcd · 2 Ae · he, es decir: Tul = 0.36 fcd · Ae · he


Cortante y torsión simultáneos Separación de cercos

Si el cerco está colocado de forma doble, esto es, en sección aparece un doble cerco uno dentro de otro (no es un cerco doble), aumenta el confinamiento del hormigón y, por tanto, el torsor último: ζ ≤ 0.225 fcd Tul = 0.45 fcd · Ae · he En general, nuestras vigas no deben tener torsor, estarían mal diseñadas. Si lo tenemos, hay que intentar que sea lo más bajo posible. Si ζ > 0.18 fcd cambio de sección, además de armar Si ζ > 0.025 fcd armar la sección ζ ≥ 0.18 fcd Recordar que dado un cortante la armadura a colocar era: Vs = 0.9 At · n · fyd · d / s Pero el cortante que resiste una viga es ζ · he · de, por lo que: ζ · he · de = 0.9 At · n · fyd · d / s Td · he · de / (2 he · Ae) = 0.9 At · n · fyd · d / s Con esto, tenemos la separación s a la que tenemos que colocar los cercos para resistir el torsor y el cortante: s = 2 Ae · At · n · fyd / Td Cuidado con el número de ramas n que cortan a la grieta, ya que en torsión solo se considera una pared (cada una de ellas tiene un esfuerzo), por lo que el número de ramas será normalmente 1. Según el Art. 45.2.3, la separación longitudinal entre cercos no excederá de: s ≤ ue/8 por tanto, el mínimo será ue = 80cm para que la viga resista a torsión s ≥ 10cm para un buen hormigonado s ≤ 0.8 a si Td < Tul/5 torsor pequeño (≥ 30cm) s ≤ 0.6 a si Tul/5 < Td < 2/3 Tul torsor medio (≥ 30cm) s ≤ 0.3 a si Td > 2/3 Tul torsor pequeño (< 20cm) siendo a = min (b, h), es decir, el menor de los lados que conforman el perímetro ue. La armadura longitudinal deber de igual densidad que la armadura transversal. n · At / s = A / ue At es el área de un redondo Al = ue · n · At / s = ue · Td / (2 Ae · fyd) Al es el área de toda la armadura longitudinal A torsión hay como mínimo 8 redondos. Son normalmente redondos muy delgados que se suman a la armadura longitudinal de flexión. La torsión nunca viene sola, hay normalmente flexión, torsión y cortante (Md, Td, Vd).


En torsión: U0 = 0.7 fcd · b · d para el cálculo a flexión y así se deja el 0.15 fcd · b · d para la torsión Según el Art. 45.3.2.2: (Td / Tul)β + (Vd / Vul)β ≤ 1 siendo β = 2 (1 – he/b), aunque para salir de líos, tomaremos β = 1 Si a cortante obtengo cercos Φ6 a 15cm y a torsor cercos Φ6 a 10cm, tendría entre algunos cercos una separación de 5cm, por lo que no se puede hormigonar bien. Por ello, se calculan a la vez los cercos a torsor y a cortante: (1 + hi/2) · At · fyd s = —————————— (Td / 2Ae) + (Vs / 1.8d) Vs ≥ 0.9 At · ni · fyd · d / s ni es el número de cercos interiores, luego para vigas normales es 0 y para cercos dobles es 2 Los cercos deben ser cerrados y soldados, a diferencia de los cercos solo de cortante, porque si no, no se cosen bien todas las grietas. La principal fuente de torsores en las vigas son los brochales (dan del orden de 100 KNm). Realmente, cuando hacemos brochales, al cargarse se parten y ya no funciona como viga empotrada sino articulada. Por todo esto: - Protegerla de la intemperie - No hacerla empotrada, sino articulada - Sujetarla bien para que no se caiga La jaula de armadura debe cumplir una serie de condiciones como elemento físico que es para que funcione adecuadamente. 1º Jaula base con sus cercos correspondientes 2º Suplemento en cada punto según lo que haga falta.

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 11. Armadura longitudinal

TEMA 11. ARMADURA LONGITUDINAL Armado de piezas Limitaciones a LN Distribución de armaduras

¿Puedo cortar la armadura cuando me deje de hacer falta? No, tengo que prolongarla una distancia LP: LP = d + 10 Φ + LN Donde: d es para que resista el esfuerzo cortante 10 Φ es por cuestiones sísmicas LN es para sujetar la armadura para que resista las tracciones La longitud neta de anclaje LN será: LN = β· α · Lb Siendo Lb la longitud básica de anclaje, de valor : Lb = m · Φ2 Entonces: LN = m · Φ2 · α · β Donde m depende del tipo de hormigón, de acero y de la posición de la armadura. L y Φ estarán en centímetros. Lo normal será encontrar el valor de Lb en formularios. De acuerdo con el Art. 66.5: 1. El valor de Lb dependerá de la posición de la armadura: - La posición II (armadura de arriba) es la zona de mal anclaje, por lo tanto Lb = 1.4 m · Φ2 - La posición I (armadura de abajo) es la zona de buen anclaje, por lo tanto Lb = m · Φ2 2. Para el valor de m: HA-25 y B400s m = 12 HA-25 y B500s m = 15 3. Para el valor de β se tendrá en cuenta el anclaje que podrá ser: - En prolongación recta, para tracciones y compresiones. Β = 1 - En patilla, solo para tracciones. Entonces β = 0.7 4. Para α: Anec / Areal = Aqueda / (Aqueda + Acort) La longitud neta de anclaje no podrá adoptar valores inferiores al mayor de los tres siguientes: LN ≥ 10Φ 15cm Lb / 3 Antes, cuando se hacía a mano, se calculaban las envolventes. Ahora, el ordenador calcula las armaduras para diferentes combinaciones.


Corte de barras Ejemplo

Las jaulas de armaduras no se cortan en pilares, a excepción del refuerzo necesario obtenido en el cálculo, que puede interrumpirse. No puede haber solape de armadura a menos de dos cantos de la viga. Las jaulas tienen que cortarse, pero esto debe hacerse en puntos de momento nulo. Al solapar armadura no lo haremos en el mismo plano.

La caja no se tiene en cuenta en el cálculo de la armadura (en el pilar). El solape si entra en el cálculo, pero hacer este solape lejos del pilar (2 h) Diagrama que indica la armadura en cada sección.

En el diagrama siguiente, en LP no necesito los 3Φ20, porque con los 2Φ16 ya tengo suficiente. Punto técnico de corte. Longitud de prolongación: LP = d + 10 Φ + Ln Donde: d = 0.55 10 Φ = 10 · 0.02 = 0.2 Longitud neta de anclaje Ln: Ln = m · Φ2 · α · β Armadura que sigue: 2Φ16 4 Armadura que sigue más la que se corta: 2Φ16 + 3Φ20 9.42 Como 4 / 13.42 < 1 / 3 tomaremos 1 / 3


Anclajes Ejemplo

α = 1.4 (posición II, armadura superior) α = 1 (posición I, armadura inferior) β = 1 β = 0.7 (en patilla) Entonces: Ln = 15 · 4 · 1 · 1 · 1/3 = 20 Sustituyendo en la fórmula de la longitud de prolongación: LP = 0.55 + 0.2 + 0.2 = 0.95 m No vale la pena estos cálculos. Se ha quedado a 15cm de la cara del pilar. Esto no es posible, siempre llegaremos hasta la cara del pilar en edificación. En todos los pilares cortaremos la armadura a cara del pilar, pero la que sobra, no la caja ni la que hace falta en ese punto. En el ejemplo, cortare a cara de pilar 3Φ20 pero no 1Φ20. Lb = 0, porque en el cociente hay un cero arriba por no necesitar armadura ahí. Colocaré 1/3 Ln = (15 · 4) / 3 = 20cm, pero yo no tengo 20, solo tengo 12cm (15 - r). Por tanto, necesito patilla, luego β = 0.7, entonces: 0.7 · 20 = 14 cm En planta un buen anclaje es:

No preocuparse excesivamente por los milímetros, ya que el hormigón no es una ciencia exacta. Lo importante es la buena construcción. Armadura de negativos Los dos redondos que se suelen colocar de caja son 2Φ12, pero en zonas sísmicas se colocan 2Φ16. Al colocar 2Φ16 (4 cm2) me queda: 4.8 · 0.9 / 8.8 = x x = 0.5m


A 0.5 m me deja de hacer falta.

En este tramo, la parábola la podremos asimilar a una recta. Ln = 15 · 4 · 1.4 · 2Φ16 / (2Φ20 + 2Φ16) = 0.84 2Φ16 / (2Φ20 + 2Φ16) = 4 / 10.28 = 0.4 > 0.33 x + Ln ≥ Lb x = 0.50 Ln = 0.34 d = 0.55 10Φ = 0.2 / 1.59 Patilla: β = 0.7 0.7 · 84 = 58.8 cm Lo más adecuado es que los redondos del pilar den la vuelta. Si en la patilla no hay longitud por abajo se dobla hacia arriba. En el pilar interior: 20% cuando los momentos por ambos lados sean diferentes. v = 1.2 / 24.3 · 20.3 = 1 m Lb = 1.4 · 15 · 2.52 = 131


Armado de nudos Resumen

Ln = 131 · 4 / 24.3 = 131 · 1/3 = 44 cm d = 0.55 10Φ = 0.25 Si 1 m + Ln hubiese sido menor que Lb colocaríamos en la suma 1.31 m. - Anclaje nudo extremo cara inferior Lanclaje = 1/3 Lb = 5 Φ2 · 0.7 = 3.5 Φ2 (Φ = 20, Lanc = 14cm) Suele caber en medio del pilar - Anclaje nudo exterior cara superior Lanclaje = 1.4 · 15 · 0.7 · Φ2 = 14.7 Φ2 Suele caber en el canto. Si es posible, traerla anclada del pilar. No se puede hacer: 1. Jaula corrida ensartada (en los pilares) 2. Empalme en la zona de M = 0 (entre 0.15 – 0.20 L y a 2 h del pilar) nunca en el mismo plano 3. Jaula de 4Φ corridos (normalmente 4Φ12, zona sísmica 4Φ16) 4. Suplemento positivo cortado a cara de pilar 5. Suplemento negativo cortado a x + Ln + 10Φ + d Donde x + Ln ≥ Lb x = 0.2 L · Asuplemento / Amax 6. Anclaje nudo extremo cara inferior Lanclaje = 1/3 Lb = 5 Φ2 · 0.7 = 3.5 Φ2 7. Anclaje nudo exterior cara superior Lanclaje = 1.4 · 15 · 0.7 · Φ2 = 14.7 Φ2

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 13. Viga con sección en T

TEMA 13. VIGA CON SECCIÓN EN T Dimensiones Ancho eficaz

Hasta ahora las vigas cuadradas eran consideradas como:

El inconveniente es que no tiene ala para resistir los cortantes. Así mismo, hay que ensanchar la parte baja para que quepan las armaduras, quedando. Con las vigas en T se ahorra hormigón. Con las vigas en T se pueden realizar forjados aligerados. Al usar viguetas en el forjado, éste flectará en la dirección de las viguetas. Por otro lado, los forjados macizos, son más caros por la cantidad de material, pero más baratos que los demás por la mano de obra. En este caso, flectan en las dos direcciones.

hf f – flange (ala) bw w – web (alma) ¿Cuál es la separación máxima entre las almas? Hay que estudiar el fenómeno del arrastre del cortante (shear lag). En las vigas, la parte superior está completamente comprimida a una distancia h del extremo de la viga. En la vigas en T, apenas si se contrae el alma, flectando así: be = bw + L0 / 5


Comprobaciones a flexión Fibra neutra

Siendo L0 la distancia entre puntos de momento nulo en la viga. Viga biapoyada:

q l2 / 8 Viga biempotrada:

Por tanto, en vigas de edificación (empotradas): be = bw + 0.14 L Si L = 6 m be = 10 + 84 = 94 cm Luego, la luz máxima entre los ejes de las almas es de 94 cm. La anchura no es conveniente que sea mayor que be: b ≤ be En los bordes (de las vigas en T / de los forjados) van a aparecer compresiones abajo y la viga con forma de T no aguanta las compresiones abajo. Por tanto, las viguetas del forjado se macizan en la zona próxima a la jácena hasta una distancia de 10 L, contada a partir de la jácena. En vigas de puentes, biapoyadas, se maciza en los bordes sin haber momentos negativos. Esto sucede porque el cortante es muy grande y necesita mucha alma. El cálculo es igual que siempre: U0 = 14167 b d µ = Md / (U0 · d) ω = 1 - 1 – 2 µ U1 = ω · U0 Tengo que saber donde está la fibra neutra, con ξ. y ≤ hf donde y es la distancia de la fibra neutra a la cara superior de la viga ξ = ω y = ω · d Si nos sale y < hf, se acepta, pero si y > hf tengo que aumentar hf.

q l2 / 16


Armadura necesaria Armado a cortante Armado del ala 1. Flexión transversal 2. Esfuerzo rasante

La armadura necesaria será, teniendo en cuenta que la sección objeto de estudio está marcada por el ancho x que es la separación entre viguetas o la zona de forjado que influye a la viga en cuestión: A1 ≥ β · bw · h para B400s, β = 0.003 para B500s, β = 0.004 A1 (cm2) ≥ 30 bw · h (m) 40 bw · h (m) Lo que aguanta a cortante es: Vmax = 0.3 fcd · bw · d El cortante que soporta el hormigón por rozamiento es: VC = 1350 · (1 + d / 200) · e1/3 · bw · d siendo ρ = A / (bw · d) VS = 0.9 d · fyd · At · n / s El ala habrá que armarla para que soporte diferentes esfuerzos, como es el caso del rasante y la flexión transversal. Como el ala flecta habrá que armarla. Dependiendo del caso: En vigas de forjado de edificación Para hf grande: (hf pequeño)

d = hf / 2 Mf = q (b / 2)2 / 2 M+ = M- = q l 2 / 16 Además, debe incluirse un mallazo, como todos los elementos superficiales de hormigón.


En planta:

Se produce un esfuerzo rasante en la zona sombreada que necesitará ser armada para evitar que aparezcan fisuras. Éstas se distribuirían de forma constante a lo largo de L/2 de la viga. Normalmente, los cercos de cortante son suficientes para el armado. Af = 0.5 b · At / s En la fórmula, b está en metros y s es la separación de la cuadrícula.

Hay dos capacidades mecánicas diferentes: U1+ y U1

- Por tanto, el esfuerzo rasante será: FR ala = (U1

+ y U1-) · (b - bw) / (b · 2)

Rasante (KN/m) = FR ala / (L/2) Para medio ala (b/2 x b/2): R · b/2 < 0.3 fcd · hf · b/2 R < 0.3 fcd · hf R · b/2 = 0.9 d · fyd · At · n / s s = fyd · At · n / R Por norma, entre la armadura de flexión de rasante, habrá que poner la mayor las dos. Sin embargo, se recomienda poner la suma de las dos. La armadura de rasante solo tiene importancia en vigas de gran luz. En edificación no importa mucho. AN > s0 · hf / fyd Aρ > AN / 2 Si hf = 5cm AN = s0 · 5 / 437 = 0.5 cm2/m Entonces utilizaremos Φ5 a 30cm (son 0.66 cm2/m).

ESTRUCTURAS 3 Apuntes TEMA 14. Resistencias y deformaciones

TEMA 14. RESISTENCIAS Y DEFORMACIONES Valores característicos Peso específico Resistencia

Se definirán diferentes propiedades del hormigón armado: El peso específico se representa por γ y se obtiene con el cociente peso/volmuen, esto es: Antes t/m3 x 10 Ahora KN/m3 La EHE dice que para el caso de hormigones en masa (H.M.) el peso específico será de 23 KN/m3 y para el caso del hormigón armado (H.A.) 25 KN/m3. Para un caso medio se tomará 24 KN/m3. Los que tienen menor peso específico, de unos 20 KN/m3 aproximadamente, se considerarán hormigones ligeros. Los pesados tienen alrededor de 27 KN/m3. Por ejemplo: Tenemos un muro que salva una carretera, con un talud. Al someterse al empuje y al peso propio, cuanto mayor sea el peso mejor ya que tendrá menos probabilidad de vuelco. Por eso, el peso es bueno, ya que puede contrarrestrar la inestabilidad. La resistencia es la tensión que rompe un material. Tenemos diferentes tipos: compresión, tracción, cortante, al fuego, etc. Si no decimos nada, por defecto se hablará de la resistencia a la compresión del hormigón. ¿Cómo se mide? Lo mejor es rompiendo probetas que son generalmente normalizadas y cilíndricas con Φ15cm y 30cm de altura. Al romper la probeta se produce una tensión, que será la resistencia: fc = P / Área Tener en cuenta que: - Cuantas más probetas ensayemos en el laboratorio mejor, aunque la probeta no tiene porqué dar la misma resistencia en el laboratorio que en el elemento de hormigón de la obra. - Son muy importantes las condiciones de curado del hormigón, ya que este va perdiendo su agua para hacerse más estable. Este curado influye mucho los primeros días del hormigón, ya que su cuidado es importante para obtener una resistencia más elevada. - La resistencia del hormigón depende de su edad. A partir de un año de edad, la resistencia del hormigón no varía apenas. Cuanto más edad, más resistencia. Antes se necesitaban 28 días para averiguar si la resistencia del hormigón es buena para cumplir en obra. Hoy en día, al tercer día se puede averiguar estas condiciones. Para la resistencia del hormigón la norma da los siguientes datos: Tenemos además diferentes tipos de hormigones, según el tiempo de fraguado: 1. Hormigón de fraguado rápido. Son aquellos en los que el curado se produce de forma más rápida que la normal, aunque luego, a largo plazo, tiene menos resistencia. Este hormigón se produce mediante aditivos que

f / fc28 0.40 0.65 1 1.20 1.35 t (días) 3 7 28 90 365


Ejemplo Control del hormigón

aceleran el fraguado con los que hay que tener cuidado ya que pueden corroer el acero si va con hormigón. Su cuadro de fraguado es: 2. Hormigón de fraguado lento. El curado se produce de forma más lenta que a largo plazo, consiguiendo una buena resistencia. Se usa en presas. Para conseguirlo se utilizan cenizas volantes que retardan el proceso. Tenemos una cantidad X de hormigón Siendo N el número de probetas a ensayar con el hormigón. La curva que nos aparece en todos los ensayos es la normal o curva de Gauss, cuyo valor medio es el de la resistencia media fm. Para la comprobación de los valores se estudia el valor característico del hormigón, que es aquel valor de resistencia que es superada por un 95% de los datos: es la resistencia característica del hormigón fck. Luego, hasta fc min, estará a un 5% de este valor característico. Este fck se va a aminorar con un coeficiente de resistencia a pesar de que ya estamos cogiendo un valor casi mínimo. Sus unidades se expresarán en N/mm2 (fck). Tenemos que averiguar si un hormigón es de buena o mala calidad. Imaginemos dos hormigones diferentes cuyas gráficas se representan:

El fabricante bueno es el del Hormigón 1 ya que ha realizado las probetas de una forma homogénea. Para medir si el fabricante es mejor o pero se usa el coeficiente de dispersión δ cuyo valor es: Σ (1 – (fc / fm)2) δ = —————————— N δ nos mide la homogeneidad del hormigón, de tal manera que se establece:

- Si δ está entre 0.08 – 0.13 es un hormigón excelente, clase A. - Si δ está entre 0.13 – 0.16 es un hormigón bueno, clase B. - Si δ está entre 0.16 – 0.20 es un hormigón vulgar, clase C. - Si δ está entre >0.20 es un hormigón inaceptable, clase D.

Según el Art. 88 el control del hormigón es obligatorio. Existen tres tipos de control: 1. Control reducido. En obras de poca importancia. Se realiza midiendo la consistencia del hormigón mediante el ensayo del cono de Abrams, donde se echa el hormigón, midiendo el asiento. Cuanto mayor sea el asiento me nor es la consistencia del hormigón y viceversa.

f / fc28 0.55 0.75 1 1.15 1.20 t (días) 3 7 28 90 365


Control estadístico Ejemplo

2. Control completo. Mide todas las resistencias de todas las amasadas que aparecen en una obra. Obtenemos así la resistencia real fc real. Es un método muy caro que se realiza en obras pequeñas y de mucha importancia. 3. Control estadístico. El más usado. Se calcula la resistencia de parte de las amasadas de la obra, obteniendo una resistencia estimada fc est. Para estudiar el control estadístico de acuerdo con el Art. 88.4 suponemos un edificio. Dividimos la obra en partes iguales llamadas lotes, según la Tabla 88.4a, que nos da en función de una cantidad determinada de volumen de hormigón, la cuantía de cada lote. Para pilares tenemos un volumen de hormigón de 100m3, entonces las amasadas serán 50. Cogemos todos los pilares y sumamos su volumen, dando 2000m3 que dividimos entre 100 para obtener los lotes: 2000 / 100 = 20 lotes. Una vez que los tenemos, dividimos los lotes entre las amasadas, que es la cantidad de hormigón que se fabrica de una sola vez, por ejemplo, la hormigonera de la obra es una amasada, llamando N al número de amasadas. Si fck ≤ 25 N/mm2 N ≥ 2 Si 25 < fck < 35 N/mm2 N ≥ 4 Si fck ≥ 35 N/mm2 N ≥ 6 Una vez que sabemos las amasadas que tenemos que tener, ensayamos con tres probetas el hormigón de la obra a 28 días (dos probetas) y a 7 días (una probeta). Se realizará el proceso por amasada obtenida. En resumen, cada una de las amasadas tiene que ensayarse mediante probetas, el número de amasadas dependerá de los lotes de obra. Visto esto, el cálculo de fc est se hará así: Sabiendo que xi es la resistencia de cada amasada, las ordenamos de menor a mayor: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xm ≤ … ≤ xn Si N < 6: fc est = KN · x1 Sabiendo que x1 nos da la menor resistencia de las amasadas y que KN es un coeficiente dado en la Tabla 88.4b y es función de: - Número de amasadas N - Clase de hormigón - Dispersión discreta r = (xmax - xmin) / xmedia Si N ≥ 6: fc est = 2 (x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xm ≤ … ≤ xn) / (m – 1) – xm ≥ KN · x1 Para m = N/2 con N par m = (N - 1) / 2 con N impar La norma nos dice que si la resistencia estimada es mayor que la característica será correcta la decisión de aceptar el hormigón: fc est ≥ fck Si fc est ≥ 0.9 fck Correcto si le damos un margen del 90%


Solicitación del hormigón a la fábrica Resistencias Resistencia a tracción

Si fc est < 0.9 fck No se admite a menos que se repitan muestras hasta conseguir 25 / Clase B o 20 / Clase C, ya que KN va en función de la clase del hormigón. La resistencia de la amasada xi se calcula si suponemos dos probetas por amasada: y1, y2 Hallamos xi = (y1 + y2) / 2 Esto es, la media aritmética de las dos, comprobando que su recorrido relativo no supere 0.20, es decir: r = (ymax - ymin) / ymed < 0.2 o 0.12 Tenemos tres posibilidades de pedir el hormigón:

Colocamos por orden: - La resistencia característica de cada tipo de hormigón. - La consistencia de cada uno de ellos: dura D, plástica P, blanda B o fluida F, cuanto más dura menos asiento y cuanto menos dura más asiento. - El tamaño máximo del árido, que se comprueba por el tamiz que deja pasar más de un 10% de los granos del árido, expresado en mm. - Los tipos de ambientes: · Tipo I Para interiores · Tipo II a – mayor humedad b – menor humedad · Tipo III a – sin contacto con el mar b – contacto con el mar c – en constante contacto con la marea · Especiales (con sulfatos por ejemplo) Un ejemplo de hormigón es: HA – 30 / B / 20 / II b Analizaremos los diferentes esfuerzos que soporta el hormigón. El hormigón no resiste bien las tracciones y por ello hay que reforzarlo con armaduras. Su valor es de un 9-10% de fc, valor de la resistencia a compresión. Hay dos ensayos diferentes para estudiar su comportamiento a tracción:

HM 20

HA -

253035

-

HP 404550

D 0-2

P 3-5

B 6-9

F 10-15

Tamaño máximo del árido

(mm)

Ambiente


Ensayo a flexotracción Ensayo brasileño Resistencia a cortante

Se realiza rompiendo probetas prismáticas de sección cuadrada con una proporción de 4a – 5a, siendo a el lado de la sección. Los más usados son 10x10x15 o 15x15x75. Cogemos la probeta, la colocamos en horizontal y biapoyada con unos apoyos separados 3a. Colocamos dos cargas a una separación a entre ellas aumentando cada una cada vez más. En un momento dado la viga rompe por la sección más débil, obteniendo un valor que será la tensión de rotura Prot, cuya fórmula es: σR = MR / w = P · a / (1/6 · a3) Siendo w el módulo resistente w = 1/6 a · b2. Nos queda σR = 6 P / a2, que es la resistencia a flexotracción en un ensayo de flexión: fct b = 6 P / a2 que no coincide exactamente con la resistencia a la tracción pura. Es aproximadamente un 16% mayor de fc, es decir: fct b = 0.16 fc La resistencia a tracción pura no coincide con este valor ya que estamos suponiendo una ley lineal de rotura Mf, pero realmente tenemos una curva, con lo que obtenemos un valor menor a la resistencia a tracción. Para pasar de la resistencia del ensayo a la real usamos esta fórmula: 1 + 1.5 (h / 100)0.7 fct = fct b ————————— 1.5 (h / 100)0.7 Siendo h la altura de la probeta, en nuestro caso a. Ahora, en el ensayo brasileño o de tracción indirecta las probetas son cilíndricas. Las colocamos en un aparato con dos perchas, una superior y otra inferior. Aplicamos dos cargas P y vemos si rompe antes por compresión o por tracción, ya que tenemos dos áreas diferentes. Su valor nos proporciona una tensión σt = 2 P / (π · D · L), estando π · D · L referidos a la sección circular. σt es fct i, cuyo valor es 0.11 fc. El valor de la resistencia real y pura es un valor menor: fct = 1.8 P / (π · D · L) Comprobamos con esto que los valores de tracción son menores. Es todavía más pequeña: fcr = 0.03 fc. El hormigón aguanta muy poco a cortante. Supongamos una rebanada sometida a cortante. La sección no está en equilibrio ya que giraría. Para equilibrarla se genera un esfuerzo que mantiene el equilibrio, llamado rasante. Este es necesario y debe existir para evitar las vigas de gran canto. El cortante produce una deformación angular γ en la sección, que es proporcional a la tensión tangencial ζ = G · γ


Cortante, debilidad a su resistencia

Imaginemos una viga de canto h y al lado otra igual de mismo canto pero compuesta por dos.

Los momentos de inercia se diferencian en que en la viga 1 tenemos dos secciones que hay que sumar: Viga 1 Viga 2 I = 2 · 1/12 · b · (h/2)3 I = 1/12 · b ·h3 En el segundo caso existe un rasante en el centro de la viga que no existe en 1 ya que solo hay fricción entre las dos vigas. Los momentos resistentes también varía: Viga 1 Viga 2 w2 = 2 · 1/6 · b · (h/2)2 w = 1/6 · b · h2 w2 = 1/2 · 1/6 · b · h2 w2 = 1/2 w1 Las tensiones serán la mitad de las que se produzcan en el caso 2. Los rasantes en el caso 1 se darán en cada una de las vigas y no en su unión, lo que no proporciona el equilibrio. Habría que unirlo mediante conectores que pierden en inercia, como por ejemplo, las estructuras mixtas de hormigón y metálicas. El cortante es una suma de una tracción y una compresión. ζ aparece gracias a la acción de este cortante. Q = T + C El círculo de Mohr es el lugar geométrico de los planos de rotura que rompen una estructura. Si desde el polo trazábamos una paralela al plano de rotura cortaremos a un punto de la circunferencia que tendrá coordenadas (σN, ζ). Queremos representar el estado de la sección sometida a ζ en el círculo de Mohr. Como el centro está sobre el eje σN el polo será el mismo punto (0, ζ) obtenemos los planos de rotura.


Caso de cortante puro

Se trata de una sección cuadrada. Por su parte, las tensiones principales son aquellas que actúan en el plano de rotura en los que ζ = 0, es decir, en 1 y 2 o en σ y –σ y estarán aplicadas en los planos de rotura que resulten de unir ambos puntos. El valor positivo de σ indica compresión y el negativo tracción. Sobre el plano está actuando un esfuerzo de compresión y en los otros de tracción, por lo que hemos pasado de un estado tangencial a uno de sumatorias de T y C. Todos los puntos del círculo son planos que agotan nuestra estructura. Imaginemos una viga con cortante y flexión. El momento producido provoca tracciones y compresiones en diferentes áreas de la viga (superior e inferior). a) En la zona de compresión Calculamos el círculo de Mohr.

El polo será el punto (c, ζ) ya que cogiendo planos paralelos y perpendiculares según la sección nos da él mismo. Determinamos los puntos de unión con el eje que nos da los planos de rotura. Los valores de tracción son mucho más pequeños ya que en valor absoluto tienen valor menor en el círculo de Mohr. b) En la zona de tracción Al igual que antes hallamos el círculo de Mohr. En este caso la compresión va a ser mucho más pequeña ya que así se muestra en el círculo de Mohr.


Resistencia a la cizalladura Cansancio Estados bi y tridimensionales

Luego la fisura resultante en la viga será parabólica. Para todas las vigas el cortante actuará a tracción y a compresión, siendo la primera la que fisura a la viga en la misma dirección de los puntos de aplicación en las caras de las vigas.

Es una resistencia parecida a la del cortante. Su ensayo consta de dos mordazas que tiran hacia arriba y hacia abajo. Su valor es fcz ≈ 0.18 fc. En este caso las fuerzas que se aplican no actúan sobre la misma línea de fuerza. El cansancio es la incapacidad del hormigón para resistir cargas continuas. Es una disminución de su resistencia. Cuando una carga se aplica constantemente sobre una viga de hormigón ésta se cansa y más lo hará cuanto más viejo sea el hormigón. El decremento ∆ es un 15% del total. De manera que a los 28 días se tiene 0.85 fc. Para el de un año la pérdida de resistencia oscila en el 25% del total.

El envejecimiento del hormigón es el aumento de la resistencia del hormigón con el pasar del tiempo. Un hormigón de calidad tendrá más resistencia con el paso del tiempo: a los 7 días, más a los 28 días, etc. Hasta ahora hemos ensayado el hormigón a tracción o a compresión, pero se puede dar el caso de unas tracciones o esfuerzos en varias direcciones. Supongamos una probeta sometida a dos esfuerzos de compresiones y uno perpendicular a tracción. La probeta en este estado aguantará menos de fc ya que estamos separando moléculas con el estado de T. Si lo comprimimos en T aguantará más de fc. Cuanto más comprimida la probeta en dirección y más resistirá en dirección x. Lo mismo pasa con las tracciones t, que será menos en este caso.


Curva tensión - deformación

Esta es la curva de resistencia intrínseca.

Si tuviéramos una tercera dimensión (z), obtenemos una superficie. Ambos casos siguen la teoría de Von Mises, que responde al comportamiento del acero. σx

2 + σy2 + σz

2 + 3 ζxy2 + 3 ζxz

2 + 3 ζyz2 ≤ fy2

fy2 es la tensión de plastificación del acero (límite elástico). En resumen, el hormigón me disminuirá la resistencia si combino compresiones con tracciones, y me aumentará la resistencia si combinamos compresiones con compresiones. La reología estudia el comportamiento de los materiales y considera su deformación. Para el caso de cargas instantáneas sin límite de tiempo, hay cuatro tipos de materiales: P ≠ P (t) 1. Elásticos Cuando le aplicamos a un sólido elástico una tensión puntual se deforma. Al desaparecer la carga recupera su deformación anterior. Este es el caso de un muelle. Hay dos tipos de materiales elásticos: - Lineales: La relación σ / ε es una recta. Se define en este caso un valor, el módulo de Young E que se corresponde con: E = tg θ. - No lineales: Su relación no es lineal. 2. Plásticos Al aplicar una carga puntual, el cuerpo se deforma, llegando a un punto en que se queda una deformación permanentemente, llamada deformación remanente.


3. Elastoplásticos Son una combinación de las dos anteriores. De esta manera, su deformación en el periodo descarga de manera paralela a la carga en elástica, quedando la deformación remanente. 4. Rigidoplásticos Su deformación es 0 (ε = 0) si σ < fz y ε > 0 cuando σ > fz, es decir, que tiene un valor límite para el cual el cuerpo se deforma. Al principio se carga y no se deforma nada y cuando llega un momento determinado la deformación crece y no recupera. La realidad es que las cargas varían con el tiempo P ≡ P (t), por lo que nos aparecen dos tipos de materiales. a) La deformación no es dependiente del tiempo. Es constante. ε ≠ ε (t) b) La deformación si varía con el tiempo. Son los materiales viscosos. ε = ε (t) Su deformación aumenta con el tiempo. Dentro de estos materiales (la mayoría de ellos) podemos distinguir tres tipos: - Viscoelásticos Si cuando comienza a deformarse con el tiempo, quitamos en un punto la carga, pierde parte de su deformación en el mismo instante y lo que queda lo va recuperando más lentamente hasta alcanzar su estado inicial. ε = σ / E = P · A / E - Viscoplásticos En esta ocasión se va deformando también el material, cuando quitamos la carga, al ser plástico, no recupera nada de la deformación y el punto se queda donde estaba.


Fluencia y relajación El hormigón

- Viscoelastoplásticos Al igual que en los casos anteriores se comienza con la εO. Al quitar la carga, la ε0 tiene una suma de la parte plástica y otra de la elástica. ε0 = ε0e + ε0P La deformación se recupera solo en su parte elástica hasta llegar a un punto en que se queda ahí. La deformación remanente εr será la deformación total que se produce en el tiempo. Gracias al estado plástico el cuerpo volvería a su deformación inicial pero se quedaría ahí por ser plástico. Estos tipos de materiales viscosos tienen algunas propiedades. 1. Ensayo a carga constante Cogemos la probeta del material viscoso enganchado y sometido a una fuerza P constante. Con estos esfuerzos, la probeta se comienza a deformar de manera constante, por ser un material viscoso. La fluencia es la propiedad de los materiales viscosos que tienden a aumentar su deformación con el paso del tiempo a carga constante. 2. Ensayo a deformación constante. Otro ensayo. A deformación constante la carga disminuye con el paso del tiempo. Es la propiedad de la relajación del material. En el hormigón armado, el que se relaje será el armado, mientras el que fluye será el propio hormigón. Si cogemos una probeta a ensayar tanto a tracción como a compresión sale algo diferente a lo de la gráfica. Podemos decir del hormigón que: a) Es un material muy heterogéneo, por lo que habrá zonas más dosificadas y más resistentes que otras. Por el hecho tan simple de la gravedad tenemos que la parte granular se irá a la parte inferior de cada probeta quedando arriba la parte más líquida, la menos resistente. b) Es un material frágil tanto a tracción como a compresión. c) Es asimétrico, no tiene el mismo comportamiento a tracción, que trabaja mal, de la compresión, que trabaja mejor. d) Es un material no elástico, aunque se puede admitir que si las tensiones son inferiores al 45% de las resistencias máximas podemos decir que es un material elástico y lineal, por lo que nos aparece el módulo de Young E, que puede definirse como secante o tangente.


El acero

La ET se usa para estados iniciales, mientras que la ES se usa a largo plazo, como puede verse: ET > ES Donde ET y ES (en N/mm2) se calculan: ET = 10000 · fcm

1/3 ES = 8500 · fcm

1/3 Es necesario saber que E365d = 1.15 E28d, mientras que E3d = 0.65 E28d. Cuanto más viejo es el hormigón más vale su módulo. Hay que considerar dos deformaciones importantes:

0.02 que es el valor de rotura a compresión 0.035 que es el valor de rotura a flexión

El límite de rotura se produce con un valor de 10-4. El hormigón es un material viscoelastoplástico, por lo que su curva ε / E es igual a la que hemos visto para estos materiales. El estado de deformación desde ε0 hasta la máxima que alcanza es la deformación por fluencia εf = 2 o 3 veces ε0. Hay que tenerla más en cuenta para puentes (Art. 39.8). La fluencia depende del perímetro, de la humedad, etc. Otra característica es la retracción que es la pérdida del agua de constitución del hormigón como consecuencia del proceso de curado. A consecuencia de la pérdida del agua, la ε disminuye. Depende de la sección y el perímetro estructural, de la temperatura, de la humedad (Art. 39.7). Las patologías más comunes debido a la retracción son las fisuras. Aparecen grietas en el hormigón al surgir tracciones. La mejor solución para evitar esto es regar ese hormigón de dos a tres veces por días. Es importante cubrir este hormigón por las noches ya que puede haber cambios bruscos de temperatura y de humedad. El acero es un material bastante homogéneo debido a su proceso de fabricación. Tiene una rotura dúctil y es un material simétrico, es decir, tiene igual comportamiento a tracción y a compresión. Es además un material elastoplástico, inicialmente tiene una parte lineal y, por tanto, tiene su E de 210 MPa, para el caso del acero. Llegamos a un punto llamado fy que será el límite plástico, en él se plastifica el acero y a partir de ahí a σ prácticamente constante aumenta su deformación. Es el escalón de cedencia, donde se endurece. Posteriormente, en un punto vuelve a cargar y alcanza un valor máximo de tensión fmax, de donde irá a un valor de rotura último donde romperá en la εrotura.


Tipos de acero Clasificación del acero Diámetros nominales normalizados

Para que la estructura rompa, el acero necesita pasar del 2 al 20% de deformación, por lo que antes de su rotura nos avisa con antelación. Sin embargo, aguanta muy mal el fuego, al contrario que el hormigón, que es prácticamente ignífugo. Si cogemos una probeta y la sometemos a tracción se producirá un estrechamiento en la parte media de acero, es el fenómeno de la estrición. Básicamente hay dos tipos: 1. Barras corrugadas. Las que más usamos son las llamadas redondos. Se laminan en caliente y las utilizamos para armar el hormigón. Puede usarse de forma aislada. 2. Alambres corrugados. No se pueden usar de forma aislada, sino como mallas electrosoldadas, retícula o mallazo para resistir a tracciones. Se laminan en frío. En los tipos de clasificación tenemos: a) B400s b) B500s Donde B es beton (hormigón en francés). El número se corresponde con el límite elástico del acero fy en N/mm2 (= MPa) a diferencia del hormigón que oscila entre 20-30 N/mm2. La letra s viene de soldable, esto es, que se puede soldar. ¿Qué podemos exigirle a estos aceros? Deben cumplir una serie de requisitos: 1. Tener límite elástico Recordar que εrot = ∆L / L 2. Tener tensión máxima. Los valores de la tabla se dan como mínimo. 3. Una relación entre fmax / fy. 4. Tener una εrot y una εmax. Hay un tercer tipo de acero que también se usa, el B400sd, donde la d indica que es dúctil, es decir, es un material que se deforma bastante antes de romperse. Se usa en zonas de alto riesgo sísmico para que nos avise bastante antes de la rotura. Sus características se exponen en la tabla. El diámetro nominal ocupa la circunferencia exterior a las corrugas, que es un diámetro intermedio. Algunos tipos de diámetros nominales en milímetros son: 6 8 10 12 14 16 20 25 32 40 Los más usados son: 12 14 16 20

fy fmax fmax / fy εrot εmax B400s ≥ 400 ≥ 440 ≥ 1.05 ≥ 14% ≥ 8% B500s ≥ 500 ≥ 550 ≥ 1.05 ≥ 12% ≥ 5% B400sd ≥ 400 ≥ 480 ≥ 1.10 ≥ 20% ≥ 9%


Diámetros equivalentes Ductilidad y fragilidad

El más usado de todos ellos hoy día es el de 14mm. Los demás son raramente usados en obra. Es importante saber la sección de cada uno de ellos: Es el diámetro de una circunferencia con sección igual a la que yo tengo realmente. Para calcularla usamos la siguiente fórmula: w (gr) / γ = π · Φeq

2 · L / 4 siendo γ = 7.85 Ambos son diferentes entre sí. Un material frágil es aquel que se deforma muy poco antes de romperse, no avisa antes de ello. Por el contrario, un material dúctil es aquel que se deforma mucho antes de romperse y nos avisa antes de ello. En los materiales frágiles tendremos roturas directas si es dúctil sufrirá ese estrechamiento en la parte central. En general, todos los materiales pétreos son frágiles tanto a tracción como a compresión. Los materiales dúctiles responden a todos los aceros en general, salvo en tres ocasiones que hay que evitar: a) Debido a su composición química: si el acero es rico en carbono (C) será más frágil cuanto mayor cantidad contenga. Ejemplo de ello fueron las fundiciones con alto contenido en carbono. b) Debido a las bajas temperaturas. El acero se cristaliza debido a ello y se hace más frágil. c) Cuando el acero está en estado de retracción. Como ocurre en el caso de las soldaduras, cuando se produce un cordón sometido a tensiones en las tres direcciones. Tenemos pues una composición de hormigón con rotura frágil y de acero con rotura dúctil. El hormigón armado (combinación de los dos) depende en su rotura: - Si rompe el hormigón antes que el acero (la rotura es gradual de los dos) se producirá la rotura frágil. - Si es al revés la rotura será dúctil. Esta es más conveniente. En el caso de pilares la rotura se produce frágilmente por la compresión, ya que el hormigón no aguanta tanto y se rompe antes. A flexión se busca siempre la rotura dúctil.

Φ (mm) 6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

S (cm2) ¼ ½ ¾ 1 1.5 2 3 5 8 13

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