ARTE E MATEMÁTICA - escoladematematicapontal.com.br€¦ · ARTE E MATEMÁTICA VOLUME I ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM Sumário 1 Abordagem Histórica 01 2 Abordagem Algébrica 00

COLEÇÃO ESCOLA DE ARTE E MATEMÁTICA

FUN

ARTE E MATEMÁTICA

VOLUME I

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ARTE E MATEMÁTICA


ARTE E MATEMÁTICA

VOLUME I


ARTE E MATEMÁTICA

VOLUME I


JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2020 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE ARTE E MATEMÁTICA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil


Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Arte e Matemática, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Matemática e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, inverno de 2020.

João Carlos Moreira


Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q


ARTE E MATEMÁTICA

VOLUME I

ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 01

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Números 00

2.1.1 Representação algébrica dos números 00

2.2 Curvas 00

2.2.1 Representação algébrica das curvas 00

2.3 Superfícies 00

2.3.1 Representação algébrica das superfícies 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Números 00

3.1.1 Representação geométrica dos números 00

3.2 Curvas 00

3.2.1 Representação geométrica das curvas 00

3.3 Superfícies 00

3.3.1 Representação geométrica das superfícies 00


4 Abordagem Computacional 00

4.1 Números 00

4.1.1 Representação computacional dos números 00

4.2 Curvas 00

4.2.1 Representação computacional das curvas 00

4.3 Superfícies 00

4.3.1 Representação computacional das superfícies 00

5 Abordagem Prática 00

5.1 Números 00

5.1.1 Aplicação de números na arte 00

5.2 Curvas 00

5.2.1 Aplicação de curvas na arte 00

5.3 Superfícies 00

5.3.1 Aplicação de superfícies na arte 00

6 Referências Bibliográficas 00


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

ABORDAGEM HISTÓRICA ARTE E MATEMÁTICA | ESCOLA DE ARTE E MATEMÁTICA

1

Pitágoras de Samos (c. 569 a.C. – 475 a.C.) é considerado um dos maiores matemáticos da antiguidade. Dentre suas principais contribuições, destacamos o estabelecimento das proporções da sequência de notas musicais em uma escala, a escala pitagórica.

1 A arte pode ser entendida como algo inerente ao ser humano, ligada às manifestações de ordem estética ou comunicativa.

2 A arte rupestre é o termo utilizado para representar todas as manifestações artísticas realizadas pelo homem no interior das cavernas (arte parietal) e ao ar livre, durante o período pré-histórico.

3 A pintura rupestre foi uma das primeiras manifestações intelectuais do homem, as mais conhecidas são datadas do período do paleolítico superior (40.000 a.C.). Ela se tornou em uma ferramenta muito eficiente para registrar as atividades do cotidiano do homem primitivo.

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Pythagoras.html



4 Em geral, as pinturas rupestres são marcadas pela presença de grandes animais selvagens como bisões, cavalos, entre outros e mais raramente o humano. Acredita-se que essas pinturas estejam ligadas a atividades humanas como dança, luta, ritos religiosos, relações sexuais e caça.

Fig.1. Gruta de Lascaux Fig.2. Bisão na Caverna de Altamira

Fig. 3 Caverna de Chauvet Fig. 4 Parque Nacional da Serra da Capivara

5 Algumas curvas, como as circunferências e as espirais, também são encontradas nas pinturas rupestres. Essas curvas eram traçadas utilizando-se como materiais básicos os dedos, as mãos e pigmentos minerais moídos (óxidos de ferro e manganês, hematita, limonite, argila, gesso e outros). O vermelho era a cor mais frequente, juntamente com preto, ocre, amarelo e branco em diferentes tonalidades que resultavam da mistura desses pigmentos.



Fig.5. Sítio de Bisnau-GO Fig.6. Piracuruca-PI

6 Esferas de pedra esculpidas, com cerca de três polegadas de diâmetro que datam do período neolítico (7000 a.C. – 2500 a.C.) foram encontradas na Escócia. Algumas lembram poliedros regulares, mas não se sabe ao certo o seu real significado.

Fig. 7 Esculturas em esferas de pedra

7 O escultor grego Polykleitos (c. 460 a.C. – 410 a.C.), também conhecido como Policleto de Argos, escreveu o tratado chamado Cânone, que consistia em um sistema de proporções

baseadas na razão 1: √2 para o nude masculino ideal, estabelecendo um padrão de excelência na escultura do corpo humano.



8 No mundo antigo, os arquitetos eram matemáticos e a arte

utilizada nas construções das pirâmides, zigurates, templos, estádios e projetos de irrigação, nos encantam até hoje. Na Grécia e na Roma antiga, os arquitetos também precisavam ser matemáticos.

Fig. 8 Necrópole de Gizé

9 Péricles, o chefe de Estado em Atenas, começou a reconstruir os templos do Parthenon em 447 a.C. Os arquitetos Ictinus e Callicrates foram empregados, assim como o escultor Phidias. As ideias pitagóricas de proporções de pequenos números foram usadas assim como a proporção áurea.

Fig. 9 Parthenon



10 Quando o imperador bizantino Justiniano planejou a construção da basílica de Santa Sofia (Hagia Sophia) como um edifício que superasse tudo que já havia sido construído antes, ele se voltou para dois matemáticos, Isidoro de Mileto (442-537) e Antêmio de Trales (474-534), para fazer o trabalho.

Fig. 10 Hagia Sophia (532-537)

11 Esta tradição continuou na civilização islâmica. Arquitetos islâmicos criaram uma riqueza de padrões de azulejos bidimensionais séculos antes que os matemáticos ocidentais estabelecessem uma classificação completa para eles.

Fig. 11 Rhombitrihexagonal

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Anthemius.html



12 Na sua definição mais simples, Música é "ritmo e som". Ou seja, é uma combinação de sons executados em determinada cadência. A importância da Matemática na Música está presente desde a concepção mais fundamental do que é "som musical" e do que é "ritmo".

13 A maneira como encadeamos os sons em nossas músicas também segue regras com fundamentos matemáticos. Todos os tipos de "ritmos" que podemos conceber musicalmente obedecem a algum tipo de divisão fracionária, cuja característica sempre está vinculada a um determinado gênero artístico ou a um tipo de cultura.

14 Conhecer essas influências matemáticas é, antes de tudo, conhecer a essência da própria Música. 15 O sábio matemático grego Pitágoras de Samos (c. 569 a.C – 475 a.C.) foi quem primeiro estabeleceu uma escala de sons adequados ao uso musical, formando uma série a partir da fração de 2/3 (que corresponde ao intervalo musical chamado de "quinta"). Usando uma sucessão de "quintas", ele conseguiu definir doze notas musicais, sendo sete "naturais" (Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si) e mais cinco "acidentes": Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, e Lá# (o símbolo # é chamado de "sustenido").

Fig. 12 O monocórdio de Pitágoras



16 A escala com intervalos acusticamente perfeitos definida por Pitágoras foi usada durante séculos, até pouco depois da Idade Média, quando a música ainda era restrita a regras rígidas de composição e execução. Com o renascimento, uma série de novas ideias surgiram nas artes em geral, e na Música em particular, e os compositores começaram a tentar ultrapassar os limites musicais impostos até aquela época. Foi quando surgiu, então, a necessidade de se transpor as melodias para outras tonalidades. Com a escala musical em vigor isso era impraticável, pois os intervalos "perfeitos" só podiam ser usados numa única tonalidade. Em outras palavras, uma melodia feita para a tonalidade de Dó não podia ser executada na tonalidade de Fá, por exemplo, pois os intervalos entre as notas passariam a soar desafinados. 17 Dentre as várias soluções apresentadas, a que vingou e é usada até os dias de hoje, foi a escala de temperamento igual, proposta em 1691. Essa escala, hoje em dia chamada apenas de escala temperada, possui também doze notas (sete "naturais" e cinco "acidentes"), mas no lugar de preservar os intervalos "perfeitos" (frações de 2/3, 3/4, etc.), as notas foram levemente ajustadas, tomou-se o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseado na raiz duodécima de 2. Isso fez com que a relação entre qualquer nota e sua vizinha anterior fosse sempre igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente 1,0594), o que permitiu, então, a execução de qualquer música em qualquer tonalidade, uma vez que as relações entre intervalos iguais são sempre as mesmas, não importa qual a referência (tonalidade) que se use. 18 Apesar de a escala temperada não possuir mais os intervalos acusticamente perfeitos de 3/2, 4/3, etc., os novos intervalos correspondentes têm erros muito pequenos, praticamente imperceptíveis para o ouvido.



19 A nova escala temperada contou com o apoio do famoso compositor Johann Sebastian Bach (séc. XVIII), que escreveu O Cravo Bem-Temperado , uma obra contendo 24 prelúdios e fugas, que cobrem as 24 tonalidades maiores e menores, e provando que a escala temperada não só era viável como não comprometia de forma alguma a qualidade e a beleza da Música.

20 Muitos poetas da antiguidade exaltaram os números, pois o número era considerado de essência divina.

21 A descoberta de que belos sons harmoniosos dependiam de proporções de pequenos números inteiros levou os arquitetos a projetar edifícios usando o mesmo tipo de proporções.

22 Para os pitagóricos a geometria era o estudo de formas e formas que eram determinadas por números. Daí vem a crença de que "todas as coisas são números". Mas mais que isso, eles desenvolveram uma noção de estética baseada na proporção.

23 Desde tempos remotos que a proporção áurea é aplicada na arte. O retângulo áureo é reconhecido como sendo uma forma visualmente equilibrada e harmoniosa. Ela é a proporção geométrica mais conhecida e usada na pintura, escultura e arquitetura clássica, renascentista e pós-modernista e é definida através do seguinte princípio: “Seccionar um segmento de reta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo.”



Fig. 13 Proporção áurea: a razão entre a +b e a coincide com a razão entre a e b.

24 Quando Pitágoras descobriu que o pentagrama tinha a proporção áurea, tornou este símbolo estrelado como a representação da Irmandade Pitagórica.

25 Leonardo da Vinci (1452-1519), afirmava que a arte deveria manifestar por ela própria um movimento contínuo e beleza. Ele estudou as proporções do corpo humano e descobriu a forte presença da proporção áurea. Neste caso, podemos ver a simetria na face de um homem desenhado por Leonardo na figura abaixo. O artista sobrepôs na pintura um quadrado subdividido por retângulos, alguns do quais com a razão áurea. Na sua obra Mona Lisa, destacamos várias partes do seu rosto com a presença da proporção áurea.

Fig. 14 Arte de Leonardo da Vinci



26 Um outro artista que utiliza muito a proporção área na sua arte, foi o pintor norte americano Piet Mondrian (1872-1944).

Fig. 15 Mona Lisa

Fig. 16 Arte de Piet Mondrian

27 Os matemáticos observaram que determinadas regularidades geométricas podem expressar beleza e harmonia e isso foi aplicado à arquitetura através do conceito de simetria. A palavra vem do antigo termo arquitetônico grego "symmetria", que indicava a repetição de formas e proporções das menores partes de uma estrutura.



28 Dentro da matemática estuda-se a simetria de um dado objeto, exibindo todas as operações que preservam a sua estrutura. Ao conjunto destas operações dá-se o nome de grupo. Se o objeto for geométrico, teremos um grupo de simetria.

29 Uma boa parte do que conhecemos sobre a matemática utilizada na arquitetura antiga vem da obra On Architectura de Marcus Vitruvius (c. 85 a.C. – 20 a.C), arquiteto e engenheiro encarregado de construir projetos em Roma. Esta é uma obra sobre arquitetura em dez livros, dedicada a Octavianus, filho adotivo de Júlio César, pouco antes de 27 a.C.

Fig. 17 Simetria bilateral

Fig. 18 Panteão romano



30 Na pintura muitos artistas utilizam a simetria em seus trabalhos. No Brasil, destacamos Milton Dacosta (1915-1988).

Fig. 19 Arte de Milton Dacosta

31 Destacamos também o artista Escher (1898-1970), que explorou muito bem o conceito de grupos de simetria nas suas obras (sem ter conhecimento de teoria de grupos).

Fig. 20 Arte de Escher



Fig. 21 Belmiro de Almeida (A Má Notícia – 1897) Fig. 22 David Austin

32 A circunferência e a esfera foram consideradas pelos pitagóricos como as mais perfeitas figuras geométricas, devido a sua simetria. Foram fonte de inspiração de pintores e escultores.

33 Uma das formas como a simetria se manifesta na literatura é através dos palíndromos. Um palíndromo é uma palavra, frase ou qualquer outra sequência de unidades que pode ser lida tanto da direita para a esquerda como da esquerda para a direita. Num palíndromo, normalmente são desconsiderados os sinais ortográficos (diacríticos ou de pontuação), assim como os espaços entre palavras. A palavra "palíndromo" vem das palavras gregas palin ("trás") e dromos ("corrida"). 34 Destacamos alguns exemplos de palíndromos:

• aba, acaiaca, Ada, ala, ama, Ana, anilina, ara, arara, asa, assa, ata, esse, iriri, mirim, mutum, mussum, Natan, oco, omo, osso, oto, ovo, racificar, radar, ralar,



ramar, ratar, reler, Renner, reter, rever, reviver, rir, rotor, salas, somos.

• "A base do teto desaba." (Rômulo Marinho) "A diva ávida, dádiva à vida" (Rogério Duarte Filho) "Ah, livre era papai noel, leon ia papar é ervilha." (Rogério Duarte Filho) "A cara rajada da jararaca." (Manu Lafer) "Acuda cadela da Leda caduca" (Rômulo Marinho)

Fig. 23 Palíndromo bi-dimensional

35 Existem várias manifestações artísticas visuais de poesia desde a Grécia antiga. O termo poesia concreta e visual refere-se a um fenômeno poético do século XX, em que o cruzamento das linguagens é decorrência direta do panorama visual das grandes cidades e dos meios de comunicação de massa. 36 No Brasil a poesia visual se confunde com a poesia concreta porque, a rigor, foi o concretismo o primeiro movimento literário brasileiro a usar recursos visuais e fazer deles a pedra de toque de sua poética.



Fig. 24 Forma Oval

37 A utilização de computadores para a produção, manipulação e exibição de imagens apenas se tornou possível a partir da década de 1950, graças ao surgimento de monitores capazes de exibir gráficos e de plotters para imprimi-los. Embora esses recursos tenham sido implementados prioritariamente para a visualização matemática e científica, muito cedo alguns artistas souberam tirar proveito deles para a exploração de uma nova visualidade dentro das artes plásticas.

38 Nas últimas décadas, com a evolução dos computadores têm-se intensificado o desenvolvimento de softwares como o Mathematica, Maple, Ultra Fractal entre outros que vem sendo utilizados como uma nova metodologia para o ensino da matemática.

39 Alguns matemáticos têm utilizado esses recursos não apenas para o ensino da matemática, mas também para produzir arte. Essa arte vem sendo chamada de arte computacional. Dentre esses matemáticos destacamos Thomas Banchoff, David Austin, John Robinson, Dick Thermes, George Hart e João Carlos Moreira.



Fig. 25 George Hart

Fig. 26 João Carlos Moreira

40 Foi al-Haytham (c. 965–1040) por volta do ano 1000 d.C. quem deu a primeira explicação correta da visão, mostrando que a luz é refletida de um objeto para o olho. Ele estudou a ciência completa da visão, chamada perspectiva nos tempos medievais, e embora ele não tenha aplicado suas ideias à pintura, os artistas da renascença mais tarde fizeram uso

da sua ótica.

41 O pintor e arquiteto italiano Giotto di Bondone (1266-1337) pintava cenas que davam a impressão de profundidade. Ele inclinava as linhas acima do nível dos olhos para baixo enquanto se afastavam do observador, as linhas abaixo do

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Al-Haytham.html



nível dos olhos estavam inclinadas para cima quando se afastavam do observador, e linhas similares à esquerda ou à direita seriam inclinadas para o centro. Embora não seja uma formulação matemática precisa, ele claramente trabalhou duro em como representar a profundidade no espaço e se examinarmos suas imagens cronologicamente podemos observar como as suas ideias se desenvolveram. Alguns de seus últimos trabalhos sugerem que ele pode ter chegado perto do entendimento correto da perspectiva linear.

Fig. 27 Giotto di Bondone

42 Em seguida, destacamos o escultor italiano renascentista Lo-renzo Ghiberti (1378-1456). A sua obra mais famosa são as por-tas de bronze no lado leste do batistério de Florença. Ele tam-bém é importante por seu tratado I Commentarii, escrito por volta de 1447, em três volumes. O trabalho contém uma histó-ria da arte nos tempos antigos, uma história de artistas do sé-culo XIII, uma autobiografia e uma compilação de textos me-

dievais sobre a teoria da visão, como a de al-Haytham (c. 965–

1040). Isso foi importante, uma vez que, al-Haytham e outros cientistas estudaram óptica e visão sem relacionar as ideias à pintura, enquanto Ghiberti mostrou a relevância das ideias an-teriores sobre óptica para a arte.



Fig. 27 Lorenzo Ghiberti (1401)

43 Vários outros matemáticos contribuíram para o uso e desenvolvimento da perspectiva na arte.

44 Filipo Brunelleschi (1377-1466) desenvolveu as suas habilidades em arquitetura visitando Roma. Ele colaborou com o avanço da descoberta dos princípios da perspectiva linear. Estudiosos clássicos entenderam alguns dos princípios da perspectiva, mas nenhum texto parece ter sido escrito sobre o assunto. Pensamos em uma compreensão da perspectiva como sendo essencial para uma representação bidimensional realista de uma cena tridimensional ao pintar em uma tela. No entanto, o entendimento de perspectiva dele foi usado em seu projeto de edifícios, enquanto ele criava seus projetos para garantir que o efeito visual que ele queria fosse visível de todas as posições do observador. Seguir as regras de proporção e simetria dos antigos era importante para Brunelleschi mas ele queria que esses princípios matemáticos de beleza fossem aqueles vistos por todos os observadores. De certa forma, ele estava tentando alcançar uma certa invariância de proporção, independente do ângulo de visão, e garantir que era a proporção aparente que estava certa, e não a proporção real.

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Brunelleschi.html




45 A mais matemática de todas as obras sobre perspectiva es-critas pelos artistas da Renascença italiana em meados do sé-culo XV foi a do pintor italiano Piero della Francesca (1416-1492) . De certa forma, isso não é surpreendente, já que, além de ser um dos principais artistas do período, ele também foi o principal matemático a escrever alguns textos matemáticos ex-celentes. Em Trattato d'abaco, que ele provavelmente escreveu por volta de 1450, ele inclui material sobre aritmética e álgebra e uma longa seção sobre geometria que era muito incomum para esses textos na época. A obra também contém resultados matemáticos originais que, novamente, são muito incomuns em um livro escrito no estilo de um texto de ensino (embora na introdução ele tenha dito que escreveu o livro a pedido de seu patrono e amigo e não como um livro de escola).

46 Piero della Francesca (1416-1492) escreveu um livreto sobre os cinco sólidos regulares. No entanto, é seu tratado de três vo-lumes sobre perspectiva para a pintura, que realmente a mate-mática está fortemente presente. Alguns acreditam que ele foi escrito em meados da década de 1470, outros acreditam ter sido escrito na década de 1460.

Fig. 28 Piero dela Francesca

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Francesca.html




47 Os trabalhos de Piero della Francesca foram fortemente con-fiados por Luca Pacioli para suas próprias publicações. Na verdade, o terceiro livro dele a Divina Proportione é uma tradu-ção italiana de Piero. As ilustrações da obra de Luca Pacioli fo-ram de Leonardo da Vinci e incluem alguns belos desenhos em perspectiva de sólidos regulares.

48 Leonardo da Vinci (1452-1519) desenvolveu fórmulas matemáticas para calcular a relação entre a distância do olho ao objeto e seu tamanho no plano de intersecção, que é a tela na qual a imagem será pintada. Ele não só estudou a perspectiva, mas também estudou os princípios ópticos do olho em suas tentativas de criar a realidade como vista pelo olho. Por volta de 1490, ele avançara em seu pensamento sobre a perspectiva. Ele foi um dos primeiros a estudar o problema inverso da perspectiva: dada uma imagem desenhada no cálculo da perspectiva linear correta, onde o olho deve ser colocado para ver essa perspectiva correta. Agora ele foi levado a perceber que uma imagem pintada na perspectiva linear correta só parecia correta se vista de um local exato.

Fig. 29 Poliedros de Leonardo da Vinci



https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Pacioli.html


https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Leonardo.html



49 Por volta de 1500, Albrechet Dürer (1471-1528) levou o de-senvolvimento da perspectiva para a Alemanha. Ele o fez ape-nas depois de aprender muito com viagens à Itália, onde aprendeu em primeira mão de matemáticos como Pacioli. Ele publicou Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richts-cheit em 1525, o quarto livro de que contém sua teoria de som-bras e perspectiva. Geometricamente sua teoria é semelhante à de Piero mas ele fez um acréscimo importante enfatizando a importância da luz e da sombra ao retratar a perspectiva cor-reta.

Brunelleschi estava bem ciente disso quando organizou sua demonstração de perspectiva através de um buraco. No entanto, para uma pintura em uma parede, digamos, muitas pessoas não a veriam da posição correta, na verdade, para muitas pinturas, seria impossível que alguém as visse de olho neste ponto correto, pois pode ter ficado bem acima de sua cabeça.

Fig. 30 Albrechet Dürer

https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Durer.html







50 Frederico Commandino (1506-1575) publicou Commentarius em planisphaerium Ptolemaei em 1558, reconhecendo que a projeção estereográfica de Ptolomeu está relacionada com a perspectiva utilizada pelos arquitetos. Wentzel Jamnitzer (1508-1585) escreveu um belo livro sobre sólidos platônicos em 1568, chamado Perspectiva corporum regularium.

51 De Daniele Barbaro (1514-1570), o tratado La Practica della perspectiva, publicado em 1569, mostra que ele havia estudado cuidadosamente os trabalhos de Piero e Dürer e os métodos que eles deram para as construções de perspectiva eram variações em seus métodos.

52 Destacamos Egnatio Danti (1536-1586) que foi um excelente matemático e artista italiano.

53 Mais tarde, no século XVII, viveu o arquiteto e matemático inglês Christopher Wern (1632-1723), em muitos aspectos, o arquiteto mais conhecido da história inglesa. Um cientista bem equilibrado, ele resolveu uma série de problemas matemáticos importantes antes de assumir a arquitetura como profissão. Embora ele seja mais conhecido como arquiteto do que como matemático, ele foi considerado um dos principais matemáticos de sua época por Newton. Ele via a matemática como um assunto que tinha aplicações para uma ampla variedade de disciplinas científicas e suas habilidades matemáticas desempenharam um papel importante em suas realizações arquitetônicas. Um dos arquitetos com quem ele trabalhou, Robert Hooke (1635-1703), é mais conhecido como matemático do que como arquiteto.



https://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Danti.html



54 O século XIX viu uma mudança de atitude que levou a uma separação na mente das pessoas do científico e do artístico. A partir desse período, os papéis de matemáticos e arquitetos foram vistos como distintos de uma maneira que não aconteceu no século XVII. Isso não quer dizer que as conexões entre matemática e arquitetura tenham desaparecido, apenas que os aspectos científicos e artísticos foram vistos como habilidades complementares que não podem ser encontradas na mesma pessoa.

55 Por fim destacamos dois talentos únicos do século XX, Maurits Escher (1898-1972) e Buckminster Fuler (1895-1983). Maurits Escher não era um matemático, apesar de seu fascínio pelo assunto e pelas profundas conexões matemáticas subjacentes à sua arte. Buckminster Fuler foi engenheiro, matemático e arquiteto que aplicou princípios geométricos para projetar um conceito totalmente novo em edifícios na segunda metade do século XX. Ele fez uma arte de pureza estrutural, usando formas geométricas simples para fins estéticos e funcionais.



[2] GEORGE, L. H., Architecture and Geometry in the Age of the Baroque. Chicago: The University of Chicago Press, 2000.

[3] IVARS, P., Fragments of Infinity: A Kaleidoscope of Math and Art. John Wiley & Sons, 2001.

[4] JANSON, H. W., História Geral da Arte. Ícone, 2001.

[5] KING J. P., The Art of Mathematics, Dover Publications, 2006.

[1] BRIAN, W., The World of Patterns. World Scientific, 2001.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARTE E MATEMÁTICA | ESCOLA DE ARTE E MATEMÁTICA

2

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

5

FUN

ARTE E MATEMÁTICA

VOLUME I

Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE ARTE E MATEMÁTICA

Documents

ARTE E MATEMÁTICA - escoladematematicapontal.com.br€¦ · ARTE E MATEMÁTICA VOLUME I ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM Sumário 1 Abordagem Histórica 01 2 Abordagem Algébrica 00