Articulo Polinomios 2

∮Revista Integración

Escuela de Matemáticas

Universidad Industrial de Santander

Vol. XX, No. XX, XXXX, pág. 1–21

xxxx xx x x x x x x x xx x x x x x xx x x xxx x x

x x x x x x x

Edinson Fuentes a, ∗, Luis E. Garza b.a Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Escuela de Matemáticas yEstadística, Tunja, Colombia.

b Universidad de Colima, Facultad de Ciencias, Colima, México.

Abstract. Dada una sucesión de momentos cnn∈Z asociada a un funcionallineal Hermitiano L definido en el espacio de los polinomios de Laurent, eneste artículo analizamos un nuevo funcional LΩ que es una perturbación de L,este funcional tiene la propiedad que perturba un número finito de la sucesiónde momentos, se dan condiciones para que el funcional sea cuasi-definido yse muestra una formula explicita para su nueva sucesión de polinomios or-togonales. Por otro lado si se supone que el funcional LΩ es definido positivoentonces se puede escribir en términos de una medida cuyo soporte es la cir-cunferencia unidad, se analiza su respectiva medida con soporte en [−1, 1]cuando están relacionadas con la transformación de Szegó inversa, se mues-tran explícitamente los momentos perturbados.Keywords: Orthogonal polynomials, Perturbation of moments, Unit circle,Szegó transformation.MSC2000: 42C05, 15A23

xxxx x x x x x x x x x x x x x x x x

Resumen. Dada una sucesión de momentos cnn∈Z asociada a un funcionallineal Hermitiano L definido en el espacio de los polinomios de Laurent, eneste artículo analizamos un nuevo funcional LΩ que es una perturbación de L,este funcional tiene la propiedad que perturba un número finito de la sucesiónde momentos, se dan condiciones para que el funcional sea cuasi-definido yse muestra una formula explicita para su nueva sucesión de polinomios orto-gonales. Por otro lado si se supone que el funcional LΩ es definido positivoentonces se puede escribir en términos de una medida cuyo soporte es la cir-cunferencia unidad, se analiza su respectiva medida con soporte en [−1, 1]cuando están relacionadas con la transformación de Szegó inversa, se mues-tran explícitamente los momentos perturbados.Palabras claves: Polinomios ortogonales, Perturbación de momentos, circun-ferencia unidad, transformación de Szegó.

0∗Corresponding author: E-mail: [email protected]: fecha de recibido, Accepted: fecha de aceptación.

1

2 Edinson Fuentes & Luis E. Garza

1. Introduction

En [1], los autores estudian la perturbación asociada al funcional lineal

〈p(z), q(z)〉L := 〈p(z), q(z)〉L +m

∫

T

p(z)q(z)dz

2πiz, (1)

con m ∈ R, p, q ∈ P, y L un funcional lineal Hermitiano definido en el espacio de lospolinomios de Laurent, todos los momentos asociados con L son iguales a los momentosde L, excepto el momento cero que es igual a c0 = c0 + m, la matriz de Toeplitz T

es igual a T sumandole m en la diagonal principal. Posteriormente en [2] estudian laperturbación asociada al funcional

〈p(z), q(z)〉Lj= 〈p(z), q(z)〉L +m〈zjp(z), q(z)〉Lθ

+ m〈p(z), zjq(z)〉Lθ, (2)

donde j ∈ N es un número fijo, y 〈·, ·〉Lθes el funcional bilineal asociado con la medida

normalizada de Lebesgue en la circunferencia unidad. Se puede ver que los momentosasociados a Lj son iguales a los momentos de L excepto el momento j-ésimo que esigual a cj = cj + m, la matriz de Toeplitz T es igual a T sumandole m en la diagonalj-ésima, también estudian las condiciones para que el funcional Lj sea cuasi-definido yse encuentra su correspondiente sucesión polinomios ortogonales.

Asumiendo que Lj es definido positivo (2) puede expresarse en términos de su correspon-diente medida, así

dσ = dσ +mzj dθ

2π+ mz−j dθ

2π, (3)

En [3] se analiza la relación existente entre la entre la medida (3) y su respectiva medidacon soporte en [−1, 1] cuando estas medidas están relacionadas bajo la transformación deSzegó inversa, además se muestra que los momentos perturbados asociados con la medidaque tiene soporte en [−1, 1] depende de los polinomios de Chebyshev de primera especie.

En este trabajo se extenderá el funcional (2) con el fin de perturbar un número finito demomentos, se daran condiciones necesarias y suficientes para que el funcional perturbadosea cuasi definido y así garantizar las existencia de una sucesión de polinomios ortogo-nales. En el caso en el que este funcional se definido positivo se analizara la relación consu correspondiente medida en [−1, 1] cuando estas medidas se encuentran relacionadascon la transformación de Szegó inversa.

2. Preliminares

Let L be a linear functional in the linear space of Laurent polynomials (Λ = spanzkk∈Z)such that L is Hermitian, i.e.

cn = 〈L, zn〉 = 〈L, z−n〉 = c−n, n ∈ Z.

The complex numbers cnn∈Z are said to be the moments associated with L. Underthis conditions, a bilinear functional can be defined in the linear space P = spanzkk∈N

of polynomials with complex coefficients by

〈p(z), q(z)〉L = 〈L, p(z)q(z−1)〉, p, q ∈ P.

[Revista Integración

xxxxxxxxx xxxxx 3

The Gram matrix associated with the canonical basis znn≥0 of P is

T =

c0 c1 · · · cn · · ·c−1 c0 · · · cn−1 · · ·

......

. . ....

c−n c−n+1 · · · c0 · · ·...

......

. . .

, (4)

is known in the literature as a Toeplitz matrix [5].

If Tn, the (n + 1) × (n + 1) principal leading submatrix of T, is non-singular for everyn ≥ 0, then L is said to be quasi-definite and the existence of a sequence of monicpolynomials (OPSM), orthogonal with respect to L, is guaranteed. On the other hand,if det Tn > 0, for every n ≥ 0, then L is said to be positive definite and it has thefollowing integral representation

〈L, p(z)〉 =

∫

T

p(z)dσ(z), p ∈ P, (5)

where σ is a nontrivial positive Borel measure supported on the unit circle T = z :|z| = 1. In such a case, there exists a (unique) family of polynomials ϕnn≥0, withdeg ϕn = n and positive leading coefficient, such that

∫

T

ϕn(z)ϕm(z)dσ(z) = δm,n. (6)

ϕnn≥0 is said to be the sequence of orthonormal polynomials with respect to σ. De-noting by κn the leading coefficient of ϕn(z), φn(z) = ϕn(z)/κn is the correspondingsequence of monic orthogonal polynomials. These polynomials satisfy the following for-ward and backward recurrence relations (see [5], [9], [10])

φn+1(z) = zφn(z) + φn+1(0)φ∗n(z), n ≥ 0, (7)

φn+1(z) =(

1 − |φn+1(0)|2)zφn(z) + φn+1(0)φ∗

n+1(z), n ≥ 0, (8)

where φ∗n(z) = znφn(z−1) is the so-called reversed polynomial and the complex numbers

φn(0)n≥1 are known as Verblunsky, Schur or reflection parameters. It is important tonotice that in the positive definite case we get |φn(0)| < 1, n ≥ 1, and

kn = 〈φn, φn〉L > 0, n ≥ 0.

Moreover,

kn =det Tn

det Tn−1, n ≥ 1,k0 = c0. (9)

The n-th polynomial kernel Kn(z, y) associated with φn≥0 is defined by

Kn(z, y) =n∑

j=0

φj(y)φj(z)

kj=φ∗

n+1(y)φ∗n+1(z) − φn+1(y)φn+1(z)

kn+1(1 + yz), (10)

Vol. XX, No. XX, XXXX]


and it satisfies the so called reproducing property, i.e.

∫

T

Kn(z, y)p(z)dσ(z) = p(y), (11)

for every polynomial p of degree at most n. K(i,j)n (z, y) be the i−th and j−th partial

derivative of Kn(z, y) with respecto to z and y respectively.

On the other hand,φ∗

n(z) = knKn(z, 0), n ≥ 0. (12)

Furthermore, in terms of the moments, an analytic function can be defined by

F (z) = c0 + 2

∞∑

k=1

c−kzk. (13)

If L is a positive definite functional, then (13) is analytic in D and its real part is positivein D. In such a case, (13) is called Carathéodory function, and can be represented bythe Riesz-Herglotz transform

F (z) =

∫

T

eiθ + z

eiθ − zdσ(θ),

where σ is the positive measure associated with L. By extension, for a quasi-definitelinear functional, we will call (13) its corresponding Carathéodory function.

Given a linear functional L, some perturbations that have been studied in the literatureare (see [2])

(1) The Christoffel transformation dσC = |z − ξ|2dσ, |z| = 1, ξ ∈ C.

(2) The Uvarov transformation dσU = dσ+Mcδ(z−ξ)+Mcδ(z−ξ−1), ξ ∈ C−0,Mc ∈

C.

(3) The Geronimus transformation dσG = dσ|z−ξ|2 + Mcδ(z − ξ) + M cδ(z − ξ

−1), ξ ∈

C − 0,Mc ∈ C, |ξ| 6= 1.

The so-called Christoffel (FC), Uvarov (FU ), and Geronimus (FG) transformations, re-spectively. A rational spectral transformation of a Carathéodory function F (z) is atransformation of the form

F (z) =A(z)F (z) +B(z)

C(z)F (z) +D(z),

where A(z), B(z), C(z) and D(z) are polynomials in z with AD − BC 6= 0, and suchthat F (z) is analytic in D and has positive real part therein. Again, if C(z) ≡ 0, thetransformation is said to be linear. The three transformations defined above correspondto linear spectral transformations, when they are expressed in terms of the correspondingCarathéodory functions (see [7]).

Perturbations (1) − (3) are related by


xxxxxxxxx xxxxx 5

(1) FC(α) FG(α,m) = I (Identity transformation),

(2) FG FC(α) = FU (α,m),

and are called linear spectral transformations.

From a positive, nontrivial Borel measure α supported in [−1, 1], we can define a positive,nontrivial Borel measure σ supported in [−π, π] by

dσ(θ) =1

2|dα(cos θ)|, (14)

in such a way that if dα(x) = ω(x)dx, then

dσ(θ) =1

2ω(cos θ)| sin θ|dθ. (15)

There exists a relation between the corresponding families of orthogonal polynomials(see [4]). On the other hand, since the moments cnn≥0 are real (see [4])), F (z), theCarathéodory function associated with σ has real coefficients. Therefore, we have

ReF (eiθ) = ReF (ei(2π−θ)),

and then dσ(θ) + dσ(2π − θ) = 0. Thus, there exists a simple relation between theStieltjes and Carathéodory functions associated with α and σ, respectively, given by

F (z) =1 − z2

2z

∫ 1

−1

dα(t)

x− t=

1 − z2

2zS(x), (16)

where x = z+z−1

2 , z = x +√x2 − 1 and S(x) Stieltjes functions ( the real line analog

of the Carathédory functions, given by S(x) =∑∞

n=0 µnx−(n+1), where µnn≥0 are the

moments associated with the measure on the real line) (see [8]). In the literature, thisrelation is known as the Szegó transformation. Conversely, if σ is a positive, nontrivialBorel measure with support in the unit circle such that its moments are real, then thereexists a positive, nontrivial Borel measure α, supported in [−1, 1], such that (14) holds.This is called the inverse Szegó transformation.

3. Perturbacion de un número finito de momentos asociado a unfuncional lineal L

Supongamos que tenemos un funcional lineal Hermitiano cuasi-definido L, asociado aeste funcional existe una sucesión de momentos cnn∈Z y una OPSM, al perturbar unnúmero finito de momentos de la sucesión cnn∈Z, es natural preguntarse ¿Este funcionalperturbado será cuasi-definido? ¿cuál es la OPSM asociada a está perturbación?

Sea Ω un conjunto finito de números naturales no repetidos fijos, los elementos en esteconjunto indicaran los momentos que se perturban de la sucesión de momentos.

Definition 3.1. Let L be an Hermitian linear functional and define a linear functionalLΩ such that the associated bilinear functional satisfies

〈p(z), q(z)〉LΩ= 〈p(z), q(z)〉L +

∑

r∈Ω

(Mr〈zrp(z), q(z)〉Lθ

+M r〈p(z), zrq(z)〉Lθ

), (17)



where Mr ∈ C, with, p, q ∈ P, and 〈·, ·〉Lθis the bilinear functional associated with the

normalized Lebesgue measure in the unit circle.

Assume L is a positive definite functional. Then, in terms of the corresponding measures,the above transformation can be expressed as

dσΩ = dσ +∑

r∈Ω

(Mrz

r dθ

2π+M rz

−r dθ

2π

)

= dσ + 2∑

r∈Ω

Re(Mrzr)dθ

2π.

(18)

From (17), one easily sees that

cn = 〈LΩ, zn〉 = 〈zn, 1〉LΩ

=

cn, if n /∈ Ω,

cn +Mn, if n ∈ −Ω,

cn +Mn, if n ∈ Ω.

(19)

In other words, LΩ perturbs the moments cr and c−r with r ∈ Ω, from the sequence ofmoments associated with L. The rest of the moments remain unchanged. This is, theToeplitz matrix associated with LΩ is equal to the Toeplitz matrix associated with L,except for the r-ths and −r-ths moments, which are equal to cr + M r and c−r + Mr,respectively, and therefore LΩ is also Hermitian.

Furthermore, if FΩ(z) is the Carathéodory function associated with LΩ, then

FΩ(z) = F (z) + 2∑

r∈Ω

Mrzr, (20)

i.e. a linear spectral transformation of F (z).

On the other hand, T, the infinite Toeplitz matrix associated with LΩ, is

T = T +∑

r∈Ω

0 · · · Mr 0 · · ·... 0 · · · M r · · ·Mr

.... . .

.... . .

0 Mr · · · 0 · · ·...

.... . .

.... . .

.

︸︷︷︸Mr esta en la r−ésima subdiagonal.

Algunas observaciones sobre notación

Se denotara por A(s1,s2;l1,l2;r) la matriz de tamaño (s2 −s1 +1)× (l2 − l1 +1) cuyasentradas son a(s,l)r

donde s1 ≤ s ≤ s2 y l1 ≤ l ≤ l2, por ejemplo

A(2,3;4,5;6) =

[a(2,4)6

a(2,5)6

a(3,4)6a(3,5)6

],

de igual manera para las matrices B(s1,s2;l1,l2;r) y A(s1,s2;l1,l2;r).


xxxxxxxxx xxxxx 7

Ψn(0) = [ψ(0)n (0), · · · , ψ(n−1)

n (0)] y Φn(0) = [φ(0)n (0), · · · , φ(n−1)

n (0)].

In es la matriz identidad de tamaño n× n.

Se asumirá que las derivadas negativas son iguales a cero.

Suponiendo que L es un funcional lineal definido positivo y φnn≥0 su correspondienteOPSM mónicos, ahora procederemos a determinar condiciones necesarias y suficientespara que el funcional LΩ sea cuasi-definido, además se encontrara una relación entreφnn≥0 y ψnn≥0, la OPSM con respecto a LΩ.

Proposition 3.2. Sea L un funcional lineal definido positivo. Las siguientes proposicionesson equivalentes 1

1. LΩ es un funcional lineal cuasi-definido.

2. La matriz In +∑

r∈Ω Srn es no singular, y ψnn≥0, la correspondiente OPSM

respecto a LΩ con n ≥ 1, se puede escribir

ψn(z) = φn(z) −∑

r∈Ω

(QrnW

rn)T

Krn−1(z, 0) −

∑

r∈Ω

Mr

K(0,n−r)n−1 (z, 0)

(n− r)!, (21)

donde

Qrn = (In +

∑

r∈Ω

Srn)−1,

Wrn = Φn(0) −

∑

r∈Ω

M rn!C(0,n−1;n,n;r),

Krn−1(z, 0) =

MrK

(0,r)n−1

(z,0)

0!r!...

MrK

(0,2r−1)n−1

(z,0)

(r−1)!(2r−1)!

MrK

(0,2r)n−1

(z,0)

r!(2r)! +M rK

(0,0)n−1

(z,0)

r!0!

...

MrK

(0,n−1)n−1

(z,0)

(n−r−1)!(n−1)! +MrK

(0,n−2r−1)n−1

(z,0)

(n−r−1)!(n−2r−1)!

M rK

(0,n−2r)n−1

(z,0)

(n−r)!(n−2r)!

...

M rK

(0,n−r−1)n−1

(z,0)

(n−1)!(n−r−1)! .

, (22)

1Cuando Ω sea un conjunto unitario en [2] fue estudiado, más particular cuando Ω = 0 se estudióen [1].



y

Srn =

MrA(0,r−1;0,r−1) B(0,r−1;r,n−r−1) MrC(0,r−1;n−r,n−1)

MrA(r,n−r−1;0,r−1) B(r,n−r−1;r,n−r−1) M rC(r,n−r−1;n−r,n−1)

MrA(n−r,n−1;0,r−1) B(n−r,n−1;r,n−r−1) M rC(n−r,n−1;n−r,n−1)

,

las entradas de las matrices A, B y C están dadas por

a(s,l)r=K

(s,l+r)n−1 (0, 0)

l!(l+ r)!,

b(s,l)r= Mr

K(s,l+r)n−1 (0, 0)

l!(l+ r)!+Mr

K(s,l−r)n−1 (0, 0)

l!(l− r)!,

c(s,l)r=K

(s,l−r)n−1 (0, 0)

l!(l− r)!.

Además

kn = kn +∑

r∈Ω

(QrnWr

n)T Yrn +

∑

r∈Ω

Mrφ

(n−r)n (0)

(n− r)!6= 0, n ≥ 1, (23)

con

Yrn =

Mrφ

(r)n (0)0!r!...

Mrφ

(2r−1)n (0)

(r−1)!(2r−1)!

Mrφ

(2r)n (0)

r!(2r)! +Mrφ

(0)n (0)r!0!

...

Mrφ

(n)n (0)

(n−r)!(n)! +M rφ

(n−2r)n (0)

(n−r)!(n−2r)!

M rφ

(n−2r+1)n (0)

(n−r+1)!(n−2r+1)!

...

Mrφ

(n−r−1)n (0)

(n−1)!(n−r−1)!

. (24)

Proof. Escribiendo ψn(z) como una combinación lineal de φn(z)

ψn(z) = φn(z) +

n−1∑

k=0

λn,kφk(z), (25)


xxxxxxxxx xxxxx 9

donde, 0 ≤ k ≤ n− 1,

λn,k =〈ψn(z), φk(z)〉L

kn

=〈ψn(z), φk(z)〉LΩ

−∑

r∈ΩMr

∫Tyrψn(y)φk(y) dy

2πiy −∑

r∈ΩM r

∫Ty−rψn(y)φk(y) dy

2πiy

kk

= −∑

r∈Ω

Mr

kk

∫

T

yrψn(y)φk(y)dy

2πiy−∑

r∈Ω

M r

kk

∫

T

y−rψn(y)φk(y)dy

2πiy,

observe que 〈ψn(z), φk(z)〉L 6= 0 pero 〈ψn(z), φk(z)〉LΩ= 0, porque ψn(z)n≥0 debe ser

ortogonal con respecto a LΩ y n > k.

Sustituyendo este último valor en (25) y usando (10)

ψn(z) = φn(z) −∑

r∈Ω

(Mr

∫

T

yrψn(y)

n−1∑

k=0

φk(z)φk(y)

kk

dy

2πiy

)

−∑

r∈Ω

(Mr

∫

T

y−rψn(y)

n−1∑

k=0

φk(z)φk(y)

kk

dy

2πiy

)

= φn(z) −∑

r∈Ω

(Mr

∫

T

yrψn(y)Kn−1(z, y)dy

2πiy−M r

∫

T

y−rψn(y)Kn−1(z, y)dy

2πiy

).

Desarrollando ψn(y) y Kn−1(z, y) en serie de potencias

yrψn(y) = yrn∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!yl

=

n∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!yl+r

=

n+r∑

l=r

ψ(l−r)n (0)

(l − r)!yl,

y para |y| = 1,

Kn−1(z, y) =

n−1∑

l=0

K(0,l)n−1 (z, 0)

l!

1

yl,

también como∫Tyr−t dy

2πiy es 1 si r = t y cero en otro caso. Entonces

∫

T

yrψn(y)Kn−1(z, y)dy

2πiy=

∫

T

n+r∑

l=r

ψ(l−r)n (0)

(l − r)!yl

n−1∑

l=0

K(0,l)n−1(z, 0)

l!

1

yl

dy

2πiy

=

n−1∑

l=r

ψ(l−r)n (0)

(l − r)!

K(0,l)n−1 (z, 0)

l!

=

n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!.



De igual manera

∫

T

y−rψn(y)Kn−1(z, y)dy

2πiy=

n−r∑

l=0

ψ(l+r)n (0)

(l + r)!

K(0,l)n−1 (z, 0)

l!

=

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!.

Entonces ψn(z) se convierte en

ψn(z) = φn(z) −∑

r∈Ω

(Mr

n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!−M r

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!

).

(26)Reescribiendo los últimos sumandos

n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!=

r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!+

n−r−1∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!,

también

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!=

n−r−1∑

l=r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!+

n∑

l=n−r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!.

Asi (26) se puede escribir

ψn(z) = φn(z) −∑

r∈Ω

(Mr

r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!+Mr

n∑

l=n−r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!

)

−∑

r∈Ω

(n−r−1∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

(Mr

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!+M r

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!

)).

(27)

Derivando s veces con 0 ≤ s ≤ n y evaluando en cero

ψ(s)n (0) = φ(s)

n (0) −∑

r∈Ω

(Mr

r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

K(s,l+r)n−1 (0, 0)

(l + r)!+Mr

n∑

l=n−r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(s,l−r)n−1 (0, 0)

(l − r)!

)

−∑

r∈Ω

(n−r−1∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

(Mr

K(s,l+r)n−1 (0, 0)

(l + r)!+M r

K(s,l−r)n−1 (0, 0)

(l − r)!

)).

Esta última expresión corresponde a un sistema lineal de n + 1 ecuaciones y n + 1

incógnitas ψ(s)n (0), el sistema es

ψ(s)n (0) = φ(s)

n (0)−∑

r∈Ω

(Mr

r−1∑

l=0

a(s,l)rψ(l)

n (0) +

n−r−1∑

l=r

b(s,l)rψ(l)

n (0) +Mr

n∑

l=n−r

c(s,l)rψ(l)

n (0),

)


xxxxxxxxx xxxxx 11

donde

a(s,l)r=K

(s,l+r)n−1 (0, 0)

l!(l + r)!,

b(s,l)r= Mr

K(s,l+r)n−1 (0, 0)

l!(l+ r)!+M r

K(s,l−r)n−1 (0, 0)

l!(l − r)!,

c(s,l)r=K

(s,l−r)n−1 (0, 0)

l!(l − r)!.

Al escribir

Srn+1 =

MrA(0,r−1;0,r−1) B(0,r−1;r,n−r−1) MrC(0,r−1;n−r,n)

MrA(r,n−r−1;0,r−1) B(r,n−r−1;r,n−r−1) M rC(r,n−r−1;n−r,n)

MrA(n−r,n;0,r−1) B(n−r,n;r,n−r−1) MrC(n−r,n;n−r,n)

.

Observe que en la última fila estamos derivando n-veces el kernel Kn−1(z, 0) por lo tanto

está fila es cero, de igual manera en la última columna tenemos que ψ(n)n (0) = n!, entonces

la matriz Sn+1 se reduce a

Srn+1 =

MrA(0,r−1;0,r−1) B(0,r−1;r,n−r−1) M rC(0,r−1;n−r,n−1)

MrA(r,n−r−1;0,r−1) B(r,n−r−1;r,n−r−1) MrC(r,n−r−1;n−r,n−1)

MrA(n−r,n−1;0,r−1) B(n−r,n−1;r,n−r−1) MrC(n−r,n−1;n−r,n−1)

+ M rn!C(0,n−1;n,n;r)

= Srn +M rn!C(0,n−1;n,n;r),

ahora se tiene un sistema lineal de tamaño n× n, el cual se puede expresar así

(In +∑

r∈Ω

Srn)Ψn(0) = Φn(0) −

∑

r∈Ω

M rn!C(0,n−1;n,n;r)

= Wrn.

(28)

Dado que LΩ es un funcional cuasi-definido, existe una única familia de polinomiosortogonales con respecto LΩ. Además la matriz In +

∑r∈Ω S

rn es no singular de acuerdo

con la existencia y unicidad del sistema anterior, entonces

Ψn(0) = (In +∑

r∈Ω

Srn)−1

Wrn. (29)

Si se usa (22) y teniendo en cuenta que ψ(n)n (0) = n!, la ecuación (27) se convierte en

ψn(z) = φn(z) −∑

r∈Ω

ΨTn (0)Kr

n−1(z, 0) −∑

r∈Ω

Mr

K(0,n−r)n−1 (z, 0)

(n− r)!,

Sustituyendo (29)

ψn(z) = φn(z) −∑

r∈Ω

(Wrn)T

(In +N∑

r=j

Srn)−1

T

Krn−1(z, 0) −

∑

r∈Ω

Mr

K(0,n−r)n−1 (z, 0)

(n− r)!,

(30)



este último resultado corresponde a (21).

Calculemos, kn = 〈ψn(z), ψn(z)〉LΩ= 〈ψn(z), φn(z)〉LΩ

6= 0, y n ≥ 0,

kn = 〈ψn(z), ψn(z)〉LΩ

= 〈ψn(z), φn(z)〉L +∑

r∈Ω

(Mr〈zrψn(z), φn(z)〉Lθ

+Mr〈ψn(z), zrφn(z)〉Lθ

)

= kn +∑

r∈Ω

Mr

∫

T

n∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!zl+r

n∑

l=0

φ(l)n (0)

l!z−l dz

2πiz

+∑

r∈Ω

Mr

∫

T

n∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!zl−r

n∑

l=0

φ(l)n (0)

l!z−l dz

2πiz

= kn +∑

r∈Ω

Mr

n−r∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)n (0)

(l + r)!+Mr

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)n (0)

(l − r)!

= kn +∑

r∈Ω

Mr

n−r∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)n (0)

(l + r)!+Mr

n−1∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)n (0)

(l − r)!

+∑

r∈Ω

M rφ

(n−r)n (0)

(n− r)!

= kn +∑

r∈Ω

Mr

r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)n (0)

(l + r)!+

n−r∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

Mrφ

(l+r)n (0)

(l + r)!+Mr

φ(l−r)n (0)

(l − r)!

+∑

r∈Ω

Mr

n−1∑

l=n−r+1

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)n (0)

(l − r)!

+∑

r∈Ω

M rφ

(n−r)n (0)

(n− r)!.

al simplificar usando (24), se convierte en

kn = kn +∑

r∈Ω

ΨTn (0)Yr

n(0) +∑

r∈Ω

Mrφ

(n−r)n (0)

(n− r)!,

al reemplazar (29), obtenemos (23),

kn = kn +∑

r∈Ω

(Wrn)T

(In +

N∑

r=j

Srn)−1

T

Yrn +

∑

r∈Ω

Mrφ

(n−r)n (0)

(n− r)!.

Recíprocamente, asumiendo que In+∑

r∈Ω Srn es no singular para todo n ≥ 1 y definiendo

ψnn≥0 como en (21). Se Demostrara que ψnn≥0 es ortogonal con respecto a LΩ.


xxxxxxxxx xxxxx 13

Primero hagamos unas observaciones cuando 0 ≤ k ≤ n− 1,⟨

n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!, φk(z)

⟩

L

=

n−r−1∑

l=0

⟨ψ

(l)n (0)

l!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!, φk(z)

⟩

L

=

n−r−1∑

l=0

⟨ψ

(l)n (0)

l!(l + r)!

n−1∑

t=0

φt(z)φ(l+r)t (0)

kt, φk(z)

⟩

L

=n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!(l + r)!φ

(l+r)k (0)

〈φk, φk〉Lkk

=n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)k (0)

(l + r)!,

de igual manera⟨

n∑

l=j

ψ(l)n (0)

l!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!, φk(z)

⟩

L

=n∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)k (0)

(l − r)!.

También

〈zrψn(z), φk(z)〉Lθ=

∫

T

zrψn(z)φk(z)dz

2πiz

=

∫

T

zr

(n∑

l=0

ψ(l)n (0)zl

l!

)

k∑

l=0

φ(l)n (0)z−l

l!

dz

2πiz

=

n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)k (0)

(l + r)!,

y de una manera análoga

〈ψn(z), zrφk(z)〉Lθ=

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)k (0)

(l − r)!.

Ahora probemos la ortogonalidad, para 0 ≤ k ≤ n − 1, teniendo en cuenta (26) y lasobservaciones anteriores, tenemos que

〈ψn(z), φk(z)〉LΩ= 〈ψn(z), φk(z)〉L +

∑

r∈Ω

(Mr〈zrψn(z), φk(z)〉Lθ

+M r〈ψn(z), zrφk(z)〉Lθ

)

= 〈φn(z), φn(z)〉L −∑

r∈Ω

Mr

⟨n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l+r)n−1 (z, 0)

(l + r)!, φk(z)

⟩

L

−∑

r∈Ω

M r

⟨n∑

l=r

ψ(l)n (0)

(l)!

K(0,l−r)n−1 (z, 0)

(l − r)!, φk(z)

⟩

L

+∑

r∈Ω

Mr

n−r−1∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)k (0)

(l + r)!

+

∑

r∈Ω

Mr

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)k (0)

(l − r)!

= 0.



Por otro lado,

kn = 〈ψn(z), φn(z)〉LΩ

= 〈ψn(z), φn(z)〉L +∑

r∈Ω

(Mr〈zrψn(z), φn(z)〉Lθ

+Mr〈ψn(z), zrφn(z)〉Lθ

)

= kn +∑

r∈Ω

Mr

∫

T

n∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!zl+r

n∑

l=0

φ(l)n (0)

l!z−l dz

2πiz

+∑

r∈Ω

Mr

∫

T

n∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!zl−r

n∑

l=0

φ(l)n (0)

l!z−l dz

2πiz

= kn +∑

r∈Ω

Mr

n−r∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)n (0)

(l + j)!+Mr

n∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)n (0)

(l − r)!

= kn +∑

r∈Ω

Mr

n−r∑

l=0

ψ(l)n (0)

l!

φ(l+r)n (0)

(l + j)!+Mr

n−1∑

l=r

ψ(l)n (0)

l!

φ(l−r)n (0)

(l − r)!

+

∑

r∈Ω

M rφ

(n−r)n (0)

(n− r)!

= kn +∑

r∈Ω

ΨTn (0)Yr

n(0) +∑

r∈Ω

Mrφ

(n−r)n (0)

(n− r)!

6= 0,

por hipotesis kn 6= 0, en consecuencia concluimos que LΩ es un funcional lineal cuasi-definido. XXX

De la proposición 3.2 se puede observar que si n < r para cualquier r ∈ Ω, se tiene

que Krn−1 = 0, K

(0,n−r)n−1 (z, 0) = 0 y según (21) ψn(z) = φn(z), esto significa que los

polinomios ortogonales de grado menor que r permanecen igual y solo cambian los degrado mayor o igual a r.

4. Transformación de Szegó inversa aplicada a la medida que perturbaun número finito de momentos

Let σ be a positive measure supported in the unit circle such that its correspondingmoments cnn∈Z are real. Assume also that the perturbed measure σΩ, defined by(18), is positive and that Mr with r ∈ Ω is real, so the moments associated with σΩ

are also real. Our goal in this Section is to determine the relation between the positiveBorel measures α and αΩ, supported in [−1, 1], which are associated with σ and σΩ,respectively, via the inverse Szegó transformation. This relation will be stated in termsof the corresponding the measure and sequences of moments.

Proposition 4.1. Let σ be a positive nontrivial Borel measure with real moments supportedin the unit circle, and let α be its corresponding measure in [−1, 1], obtained through theinverse Szego transformation. Let cnn∈Z and µnn≥0 be their corresponding sequencesof moments. Assume that σΩ, defined by (18) with r ∈ Ω and Mr ∈ R, is positive. Then,


xxxxxxxxx xxxxx 15

the measure αΩ, obtained by applying the inverse Szego transformation to σ(j,N), is givenby

dαΩ = dα+2

π

∑

r∈Ω

MrTr(x)dx√

1 − x2, (31)

and its corresponding sequence of moments is

µn =

µn, if 0 ≤ n < rm,

µn + 2π

∑r∈ΩMrB(n, r), if rm ≤ n,

(32)

where rm es el mínimo de Ω and

si r + n− 2k = 0,

B(n, r) =πr

2

[r/2]∑

k=0

((−1)k(r − k − 1)!(2)r−2k

k!(r − 2k)!

),

si r + n es impar entonces B(n, r) = 0,

si r + n es par,

B(n, r) =πr

2

[r/2]∑

k=0

(−1)k(r − k − 1)!(2)r−2k

k!(r − 2k)!

(r+n−2k)/2∏

i=1

r + n− 2k − (2i− 1)

r + n− 2k − 2(i− 1)

.

Proof. Notice that, setting z = eiθ, x = cos θ, and taking into account that the inverseSzegó transformation applied to the normalized Lebesgue measure dθ/2π yields the firstkind Chebyshev measure dx

π√

1−x2, the measure αΩ obtained by applying the inverse Szegó

transformation to σΩ is given by

dα(Ω = dα+∑

r∈Ω

(Mr(x+ i

√1 − x2)r +Mr(x+ i

√1 − x2)−r

) dx

π√

1 − x2

= dα+∑

r∈Ω

(Mr(cos rθ + i sin rθ) +Mr(cos rθ − i sin rθ))dx

π√

1 − x2

= dα+ 2∑

r∈Ω

Mrcos(rθ)dx

π√

1 − x2

= dα+2

π

∑

r∈Ω

MrTr(x)dx√

1 − x2,

where Tr(x) := cos(rθ) are the Chebyshev polynomials of the first kind. Notice that ameasure that changes its sign in the interval [−1, 1] is added to dα. Then, the momentsassociated with αΩ are given by

µn =

∫ 1

−1

xndαΩ(x) = µn +2

π

∑

r∈Ω

Mr

∫ 1

−1

xn Tr(x)dx√1 − x2

.



As a consequence, by the orthogonality of Tr(x), we obtain for the n−th moments withn /∈ Ω

µn =

µn, if 0 ≤ n < rm,

µn + 2π

∑r∈ΩMr

∫ 1

−1xn Tr(x)dx√

1−x2, if rm ≤ n,

(33)

Furthermore (see [6]), we have

Tr(x) =r

2

[r/2]∑

k=0

(−1)k(r − k − 1)!(2x)r−2k

k!(r − 2k)!, r = 1, 2, 3, ...,

where [r/2] = r/2 if r is even and [r/2] = (r − 1)/2 if r is odd. Therefore,

∫ 1

−1

xnTr(x)dx√

1 − x2=r

2

∫ 1

−1

xn

[r/2]∑

k=0

(−1)k(r − k − 1)!(2x)r−2k

k!(r − 2k)!

dx√1 − x2

=r

2

[r/2]∑

k=0

(−1)k(r − k − 1)!(2)r−2k

k!(r − 2k)!

∫ 1

−1

xr+n−2k dx√1 − x2

,

and, since

∫ 1

−1

xk dx√1 − x2

=

π, if k = 0,

0, if k is odd,

(∏k/2i=1

k−(2i−1)k−2(i−1)

)π, if k is even,

As a consequence, (33) becomes

µn =

µn, if 0 ≤ n < rm,

µn + 2π

∑r∈ΩMrB(n, r), if rm ≤ n,

(34)

where

si r + n− 2k = 0,

B(n, r) =πr

2

[r/2]∑

k=0

((−1)k(r − k − 1)!(2)r−2k

k!(r − 2k)!

),

si r + n es impar entonces B(n, r) = 0,

si r + n es par,

B(n, r) =πr

2

[r/2]∑

k=0

(−1)k(r − k − 1)!(2)r−2k

k!(r − 2k)!

(r+n−2k)/2∏

i=1

r + n− 2k − (2i− 1)

r + n− 2k − 2(i− 1)

.


xxxxxxxxx xxxxx 17

XXX

Of previous proposition we can to conclude that perturbation of the moments cr and c−r

with r ∈ Ω of a measure σ supported in the unit circle results in a perturbation, definedby (32), of the moments µn associated with a measure α supported in [−1, 1], when bothmeasures are related through the inverse Szegó transformation.

5. Example

Sea L una transformación de Christoffel de la medida normalizada de Lebesgue conparametro 1 para la cual se perturbar el momento uno, es decir, Ω = 1

〈p(z), q(z)〉L1 = 〈(z−1)p(z), (z−1)q(z)〉Lθ+M1〈zp(z), q(z)〉Lθ

+M1〈p(z), zq(z)〉Lθ. (35)

La OPSM asociada con 〈(z − 1)p(z), (z − 1)q(z)〉Lθes

φn(z) =1

z − 1

zn+1 − 1

n+ 1

n∑

j=0

zj

, n ≥ 1,

φn(z) = zn +n

n+ 1φn−1(z), n ≥ 1,

φ∗n(z) =

1

1 − z

1 − 1

n+ 1

n∑

j=0

zj+1

, n ≥ 1,

además si 0 ≤ s ≤ n,

φ(s)n (0) =

(s+ 1)!

(n+ 1),

φ∗(s)n (0) =

s!(n+ 1 − s)

(n+ 1),

kn =n+ 2

n+ 1,

si 0 ≤ t ≤ n− 1,

K(0,t)n−1 (z, 0) =

n−1∑

p=t

(t+ 1)!

p+ 2φp(z),

y si 0 ≤ s ≤ n− 1,

K(s,t)n−1 (0, 0) =

n−1∑

p=maxs,t

(t+ 1)!(s+ 1)!

(p+ 1)(p+ 2),

así, para el primer momento tenemos

a(s,l)1=

(s+ 1)!(l + 2)

l!

n−1∑

p=maxs,l+1

1

(p+ 1)(p+ 2),



c(s,l)1=

(s+ 1)!

(l − 1)!

n−1∑

p=maxs,l−1

1

(p+ 1)(p+ 2),

b(s,l)1= M1

(s+ 1)!(l + 2)

l!

n−1∑

p=maxs,l+1

1

(p+ 1)(p+ 2)+M1

(s+ 1)!

(l − 1)!

n−1∑

p=maxs,l−1

1

(p+ 1)(p+ 2).

Determinemos ψnn≥0, de (28) y de lo anterior c(s,n)1= (s+1)!

n!(n+1) ,

W1n =

φ(0)n (0)

φ(1)n (0)

...

φ(n−2)n (0)

φ(n−1)n (0)

−M1n!

c(0,n)1

c(1,n)1

...c(n−2,n)1

c(n−1,n)1

=

1!(n+1)

2!(n+1)

...(n−1)!(n+1)

n!(n+1)

−M1n!

1!n!(n+1)

2!n!(n+1)

...(n−1)!

n!(n+1)n!

n!(n+1)

=(1 −M1)

n+ 1

1!2!...

(n− 1)!n!

.

Observe que si M1 = 1 entonces W1n = 0, y así según (21) se tiene

ψn(z) = φn(z) − K(0,n−1)n−1 (z, 0)

(n− 1)!

= zn +n

n+ 1φn−1(z) − n

n+ 1φn−1(z)

= zn.

De igual manera al sustituir W1n en (23)

kn = kn +φ

(n−1)n (0)

(n− 1)!

=n+ 1

n+ 1+

(n− 1 + 1)

n+ 1

= 2.

Concluimos que al perturbar el primer momento de la OPSM φn(z)n≥0 obtenemos laOPSM ψn(z)n≥0 = znn≥0 con kn = 2.

Continuando con el caso general tenemos,

S1n =

M1a(0,0)1b(0,1)1

· · · b(0,n−2)1M1c(0,n−1)1

M1a(1,0)1b(1,1)1

· · · b(1,n−2)1M1c(1,n−1)1

......

. . ....

...M1a(n−2,0)1

b(n−2,1)1· · · b(n−2,n−2)1

M1c(n−2,n−1)1

M1a(n−1,0)1b(n−1,1)1

· · · b(n−1,n−2)1M1c(n−1,n−1)1

,


xxxxxxxxx xxxxx 19

para n ≥ 2

K1n−1(z, 0) =

2M1

0!

∑n−1p=1

φp(z)p+2

3M1

1!

∑n−1p=2

φp(z)p+2 + M1

0!

∑n−1p=0

φp(z)p+2

...nM1

(n−2)!

∑n−1p=n−1

φp(z)p+2 + M1

(n−3)!

∑n−1p=n−3

φp(z)p+2

M1

(n−2)!

∑n−1p=n−2

φp(z)p+2

.

Algunos elementos de la sucesión de polinomios ortogonales es son

El polinomio de grado cero es

ψ0(z) = φ0(z) = 1,

porque r = 1 > 0 = n, este polinomio permanece invariante.

El polinomio de grado uno es

ψ1(z) = φ1(z) − M1K(0,0)0 (z, 0)

0!1!

= z +(1 −M1)

2φ0(z),

porque K10(z, 0) = 0.

El polinomio de grado dos es

ψ2(z) = φ2(z) − 1 −M1

3[1! 2!]

M1

3 + 1 2M1

3

2M1

3M1

3 + 1

−1

T

2M1

3 (z + 12 )

2M1

3 (z + 2)

− 2M1

3φ1(z)

= z2 + (1 −M1)

(2z + 1 −M1

M1 +M1 − |M1|2 + 3

)

= z2 +(1 −M1)

3

(6φ1(z) − 3M1

det(I2 + S12)

).

En general el polinomio de grado n-ésimo es

ψn(z) = zn +n

n+ 1φn−1(z) − (1 −M1)

n+ 1

1!2!...n!

T

[(In + S

1n)−1

]TK

1n−1(z, 0) − nM1

n+ 1φn−1(z)

= zn +(1 −M1)

n+ 1

nφn−1(z) −

1!2!...n!

T

[(In + S

1n)−1

]TK

1n−1(z, 0)

.



Observe que al hacer M1 = 0 se tiene que ψn(z)=φn(z).

Suponiendo que el funcional (35) es definido positivo, la medida asociada es

dσ = |z − 1|2 dθ2π

+ 2Re(M1z)dθ

2π.

Los respectivos momentos

cn =

2, if n = 0,

−1 +M1, if n = 1,

−1 +M1, if n = −1,

0, in other case,

así la matriz de Toeplitz es

T =

2 −1 +M1 0 0 · · ·−1 +M1 2 −1 +M1 0 · · ·

0 −1 +M1 2 −1 +M1 · · ·0 0 −1 +M1 2 · · ·...

......

.... . .

,

observe que solo se esta perturbando la primer subdiagonal , además si M1 = 1 todoslos momentos son cero a excepción de los momentos de la diagonal principal, está nuevamatriz Toeplitz corresponde a la matriz de la medida normalizada de Lebesgue. Como

dα = 2π

√1−x1+xdx es la medida asoaciada bajo la transformación de Szegó inversa de la

medida dσ = |z − 1|2 dθ2π , entonces según (31) la medida con soporte en [−1, 1] es

dα =2

π

√1 − x

1 + xdx+

2

πM1T1(x)

1√1 − x2

dx. (36)

Al tomar M1 = 1, se convierte en la medida de los polinomios de Chebyshev de primeraespecie

dα =2

π

dx√1 − x2

,

cuyos momentos son (ver[3])

µn =

2, if n = 0,

0, if n es impar,

2∏n

2

i=1n−(2i−1)n−2(i−1) , if n es impar.


xxxxxxxxx xxxxx 21

En general los momentos perturbados generados por la medida (36) son

µn =

2, if n = 0,

2(M1 − 1)∏n+1

2

i=1n+1−(2i−1)n+1−2(i−1) , if n es impar,

2∏n

2i=1

n−(2i−1)n−2(i−1) , if n es par.

References

[1] Castillo K., Garza L.E. and Marcellán F., Linear spectral transformation, Hessenberg ma-trices and orthogonal polynomials, Rend. Circ. Mat. Palermo. vol. 82 (2015), no. 2, 3-26.

[2] Castillo K., Garza L.E. and Marcellán F., Pertubations on the subdiagonals of Toeplitzmatrices, Linear Algebra Appl. vol. 434 (2011), no. 6, 1563-1579.

[3] Fuentes E., Garza L.E., Analysis of perturbations of moments associated with orthogonal-ity linear functionals through the Szego transformation, Rev. Integr. Temas Mat. vol. 33(2015), no. 1, 61-82.

[4] Garza L., Hernández J., Marcellán F., Spectral transformations of measures supported onthe unit circle and the Szego transformation, Numer. Algorithms, vol. 49 (2008), 169-185.

[5] Grenander U., Szego G., Toeplitz Forms and their Applications, second ed., University ofCalifornia Press, Berkeley 1958, Chelsea, New York, 1984.

[6] Kreyszig E., Introduction to functional analysis with applications, John Wiley & Sons Inc.,New York, 1989.

[7] Marcellán F., Quintana Y., Polinomios ortogonales no estándar. Propiedades algebraicas yanalíticas, XXII Escuela Venezolana de Matemáticas, 2009.

[8] Peherstorfer F., A special class of polynomials orthogonal on the circle including the asso-ciated polynomials, Constr. Approx. vol. 12 (1996), 161-185.

[9] Simon B., Orthogonal Polynomials on the unit circle, 2 vol. Amer. Math. Soc. Coll. Publi.Series. vol 54, 2005.

[10] Szego G., Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Ser. 23, fourth ed.,1975.


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Articulo Polinomios 2