Arvutamine ratsionaalarvudegakodu.ut.ee/~evelyl/elmat1/praktikumid.pdf · 2011. 9. 7. · Teised harilikud murrud esitati summana eelmiste kaudu, kusjuures summas ei tohtinud olla

Elementaarmatemaatika I praktikumid

Arvutamine ratsionaalarvudega

1. Vana-Egiptuses kasutati murdude kirjutamiseks ainult ühikmurdusid1

2,1

3,1

4, . . . ning veel

üht murdu2

3. Teised harilikud murrud esitati summana eelmiste kaudu, kusjuures summas

ei tohtinud olla ühesuguseid liidetavaid. Näiteks3

8=

1

4+

1

8, mitte aga

3

8=

1

8+

1

8+

1

8.

Esita Egiptuse moodi murrud8

15,17

18,13

14,39

42ja

3

7.

2. Millised järgmistest arvudest on harilikud murrud, lihtmurrud, liigmurrud, segaarvud2

3, 16,

7

25, 6

3

4,7

2,7

7, 1

1

1000?

Millised järgmistest arvudest on puhtperioodilised kümnendmurrud, segaperioodilised küm-nendmurrud, lõpmatud mitteperioodilised kümnandmurrud

24; 15,141141... = 15,(141); 0,45;√2 = 1,41421...; 125,12525... = 125,1(25)?

3. Teisenda kümnendmurrud 2,(7); 0,(123) ja 4,2(114) harilikeks murdudeks. Teisenda harili-

kud murrud6

47; 1

8

15ja

7

99kümnendmurdudeks.

4. Arvuta

a) 61

4· 8− 3

2

3: 5

1

2+ 2

2

5· 4 7

12;

b)[(

91

5− 3,68

)

: 21

2

]

· [1 : (2,1 − 2,09)];

c)0,(6) + 0,(3)

0,12(3) : 37400

;

d)0,8(5) + 0,17(1)

0,8(5) − 0,17(1)+

0,8(3) + 0,1(6)

0,8(3) − 0,1(6).

5. Arvuta

a)72−1 · (−144)−2 · 123 · (−6)−1

36−3 · (−3)2; b)

[

3−3 −(

−34

)−4 · (−2)−5]

·(

13

)−4

0,1−1 +(

−18

)0 .

6. Arv 321 tähistab kümnendsüsteemis arvu 10 astmete ehk järguühikute kordsete summat32110 = 3 · 102 + 2 · 10 + 1. Neljandsüsteemis tähistaks arv 321 arvu neli astmete kordsetesummat 3214 = 3 · 42 + 2 · 4 + 1.

Tee joonis, et illustreerida arvude tähendusi erinevates arvusüsteemides 2410; 245; 2123;11012.

7. Teisenda arvud 24; 212; 1101 ja 7654321 kümnendsüsteemist kaheksandsüsteemi.

8. Teisenda arvud 24; 212 ja 1101 viiendsüsteemist kümnendsüsteemi.

9. Teosta tehted viiendsüsteemis olevate arvudega

a) 3135 + 21435; b) 4315 − 1205; c) 4235 · 325; d) 30235 : 235.

10. Teosta tehted kahendsüsteemi arvudega

a) 10111012 + 11011102;

b) 1111112 + 11011112 ;

c) 100010012 − 10101012 ;

d) 1010012 − 1001112;

e) 10012 · 11012;f) 11002 · 10002.

1


Tehted kompleksarvudega

Kompleksarvudeks nimetatakse reaalarvude järjestatud paare z = (x, y), millega teataval kind-lal viisil defineeritakse aritmeetilised tehted ning võrdus. Olgu antud kaks kompleksarvu z1 =(x1, y1) ja z2 = (x2, y2). Nende võrdus, summa ja korrutis defineeritakse järgmiselt:

z1 = z2, kui x1 = x2 ja y1 = y2;

z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2);

z1z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).

1. Näita, et iga z = (x, y) korral kehtib z = (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0).

Paneme tähele, et eriline osa on kompleksarvul i = (0, 1) ning kõigil neil kompleksarvudel,millele vastavas paaris teine arv on null. Kahe kompleksarvu vahe defineeritakse kui summapöördoperatsioon ning jagatis kui korrutise pöördoperatsioon. Osutub, et kõigi nende tehetesuhtes käitub paar (x, 0) nagu reaalarv x. Sel viisil saame, et kompleksarvude hulk sisaldabreaalarvude hulga.

Seda arvestades võime kompleksarvu z esitada kujul z = (x, y) = x + iy, mida nimetataksekompleksarvu algebraliseks kujuks. Reaalarve x = Re z = Re (x, y) ja y = Im z = Im (x, y)nimetatakse vastavalt kompleksarvu z reaal- ja imaginaarosaks. Kompleksarvu z = (x, y) =x+ iy kaaskompleksarvuks ehk kaaskompleksiks nimetatakse arvu z = (x,−y) = x− iy.

2. Näita, et i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), st. i2 = −1.

3. Tõesta, et a) z1 + z2 = z2 + z1 (summa kommutatiivsus);b) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (summa assotsiatiivsus);c) z1z2 = z2z1 (korrutise kommutatiivsus);d) (z1z2)z3 = z1(z2z3) (korrutise assotsiatiivsus);e) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 (distributiivsus).

Ülesanne 1∗. Leia kompleksarvude z1 ja z2 jagatisz1z2

. Veendu, et selline jagatis on üheselt

määratud iga z2 6= 0 korral.

Ülesanne 2∗. Tõesta, et kahe kompleksarvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üksteguritest on võrdne nulliga.

Ülesanne 3∗. Näita, etz1z2

=z1z3z2z3

, kus z1, z2, z3 on kompleksarvud, z2 6= 0, z3 6= 0.

4. Esita graafiliselt kompleksarvuda) z1 = 2 + i, z2 = 1 + 2i ja z1 + z2;b) z1 = −3 + i, z2 = 1 + 4i ja z1 − z2.

5. Teosta tehted

1) (2 + 5i) + (4− 7i); 2) (3− i)− (8− 4i); 3) (10 − i)− (−5 + 2i);4) (3− 2i)(5 + 6i); 5) (7 + 2i)(7 − 2i); 6) (−2 + 3i)(2 − 4i);7) (2 + 3i)2; 8) 2i(6 − 5i)(2 + 4i); 9) (−3− 5i)2;

2


10)5 + 2i

2− i; 11)

4− 3i

4 + 3i; 12)

10− i

−5 + 2i;

13)1 + i

1− i+

1− i

1 + i; 14)

2

1 + i; 15)

2i

1− i;

16) i18 + i35 + i97 + i100; 17) (i19 + i99)(i19 − i99); 18) (2 − i)3.

6. On antud kompleksarvud z1 = −1

2+

√3

2i; z2 = −1

2−

√3

2i; z3 = 1. Näita, et

1) z31 = z32 = z33 = 1; 2) z1 + z2 + z3 = 0; 3) z1z2z3 = 1;

4) z21 = z2; 5) z22 = z1; 6) 1 + z1 + z21 = 0.

Et tasandi punkti (x, y) saab määrata ka polaarkoordinaatides (r, ϕ), kusjuures x = r cosϕja y = r sinϕ, siis kompleksarvu z = x + iy määrab ka reaalarvupaar (r, ϕ), milles arvu rnimetatakse kompleksarvu mooduliks ning arvu ϕ argumendiks. Esitust z = r(cosϕ+ i sinϕ)

nimetatakse kompleksarvu trigonomeetriliseks kujuks. Kehtivad seosed r =√

x2 + y2 jatanϕ =

y

x.

Trigonomeetrilisel kujul olevaid kompleksarve on lihtne korrutada, jagada ja astendada. Olguz1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) ja z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2), kehtivad järgmised valemid:

z1 · z2 = r1 · r2 (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2));

z1 : z2 =r1r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2));

zn = rn(cosnϕ+ i sinnϕ) (de Moivre’i valem).

7. Teisenda kompleksarv trigonomeetrilisele kujule

1) 1 + i; 2)√2 + i

√2; 3) −1

2+ i

√3

2;

4) 2i; 5) −4 + 4i; 6) 5− 5i.

8. Teisenda kompleksarv algebralisele kujule

1) 4(cos 60◦ + i sin 60◦); 2) 3√2(cos

3π

4+ i sin

3π

4); 3) 4(cos

π

6+ i sin

π

6).

9. Teosta tehe

1) 4(cos 150◦ + i sin 150◦) · 2(cos 60◦ + i sin 60◦);

2) 5(

cosπ

6+ i sin

π

6

)

· 2(

cosπ

4+ i sin

π

4

)

;

3) 6(cos 45◦ + i sin 45◦) : 2(cos 15◦ + i sin 15◦);

4) 4(cos 120◦ + i sin 120◦) : 2(cos 30◦ + i sin 30◦);

5) 6(cos 305◦ + i sin 305◦) : 2(cos 165◦ + i sin 165◦).

10. Astenda

1) (cos 30◦ + i sin 30◦)9; 2) 2(cos 20◦ + i sin 20◦)3; 3) (cos 15◦ + i sin 15◦)10;

4) [2(cos 12◦ + i sin 12◦)]5; 5)[

3(

cosπ

4+ i sin

π

4

)]6; 6) (1 + i)30;

7) (√3 + i)17; 8) (−1 + i

√3)60; 9) (−3 + i)8.

3


Defineerides juurimise astendamise pöördtehtena ( n√z = w ⇔ wn = z, z, w ∈ C, n ∈ N), on

võimalik de Moivre’i valemit kasutades leida kompleksarvu z = r(cosϕ+ i sinϕ) n-astme juur

n√z = n

√r

(

cosϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπ

n

)

, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Juurel n√z on n erinevat väärtust, mis paiknevad kõik ühel ringjoonel raadiusega n

√r.

Näide. Leiame 3√27i. Selleks esitame juuritava trigonomeetrilisel kujul 27i = 27

(

cosπ

2+ i sin

π

2

)

ning kasutame ülaltoodud valemit

3√27i =

3√27

(

cosπ2 + 2kπ

3+ i sin

π2 + 2kπ

3

)

, k = 0, 1, 2,

millest 3√27i ∈

{

3(

cosπ

6+ i sin

π

6

)

, 3

(

cos5π

6+ i sin

5π

6

)

, 3

(

cos8π

6+ i sin

8π

6

)}

.

11. Leia juure kõik väärtused ning kujuta need komplekstasandil

1) 3√cos 135◦ + i sin 135◦; 2)

√

16(cos 60◦ + i sin 60◦); 3) 3√

8(cos 210◦ + i sin 210◦);

4) 3√8; 5) 4

√1; 6) 4

√−64;

7) 3√−2 + 2i; 8) 4

√16i; 9) 4

√−7− 24i.

12. Lahenda võrrand kompleksarvude hulgal

1) z3 − 1 = 0; 2) z4 − 16i = 0; 3) 2x2 − (5− i)x+ 6 = 0;4) x3 + 8 = 0; 5) x5 − 243 = 0; 6) x2 − 1 = 0.

13. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on

1) x1 = −1

3+ i

4

3

√5, x2 = −1

3− i

4

3

√5;

2) x1 = 3− 0,5i, x2 = 3− 0,5i;

3) x1 = 2− i, x2 = 3− 2i.

14. Näidata, et reaalarvude a, b 6= 0, p =1√2

√

√

a2 + b2 + a ja q =sign b√

2

√

√

a2 + b2 − a

korral kehtib√a+ bi = ±(p+ qi).

Lisamaterjale

Java programm, mis esitab kompleksarvu tasandil ja lubab jälgida tehteid kahe kompleksarvugahttp://www.teachers.ash.org.au/miKemath/PGC/PGC.html

Interaktiivne ülesannete kogu kompleksarvudega arvutamiseks: OEF complexhttp://wims.unice.fr/wims/en_H6~algebra~oefcomplex.en.html

Kompleksarvude ajaloost ja arvutamisest:http://teachers.ash.org.au/mikemath/mathsc/complexnumbers/notes.pdf

http://teachers.ash.org.au/mikemath/mathsc/complexnumbers/notespolarform.PDF

4


Polünoomide jäägiga jagamine. Bezout’ teoreem. Horneri skeem

Olgu antud polünoom P (x) = a0xn+a1x

n−1+. . .+an, a0 6= 0. Arve a0, . . . , an nimetatakse polü-noomi kordajateks, muutuja kõrgeima astmega liiget a0x

n, pealiikmeks ja arvu n polünoomiastmeks. Polünoomi P astet tähistatakse degP . Polünoomi P nullkohtadeks nimetataksemuutuja x neid väärtusi xi, mille korral P (xi) = 0.

Öeldakse, et polünoom P jagub polünoomiga Q 6= 0, kui leidub selline polünoom S, et P (x) =Q(x)S(x). Polünoomide P ja Q 6= 0 korral leiduvad üheselt määratud polünoomid S ja R nii, etkehtib P (x) = Q(x)S(x) +R(x), kusjuures degR < degQ. Öeldakse, et polünoomi P jagamiselpolünoomiga Q on jagatiseks S ja jäägiks R.

Kahe polünoomi jagamise algoritm on samasugune, nagu mitmekohaliste arvude jagamise algo-ritm. Algoritmi rakendamiseks tuleb esmalt polünoomid korrastada, st. paigutada polünoomideliikmed astendaja kahanemise järjekorda.

Näide.

(m4 −6m2 +1) : (m2 + 2m− 1)= m2 − 2m− 1

m4+2m3− m2

−2m3−5m2 +1 (2x2− 3x− 1) : (x+ 4) = 2x− 11 +43

x+ 4−2m3−4m2+2m 2x2+ 8x

− m2−2m+1 −11x− 1

− m2−2m+1 −11x−440 43

Bezout’ teoreem. Polünoomi P jagamisel kaksliikmega x−x0 tekkiv jääk on võrdne polünoomiväärtusega kohal x = x0.

Järeldus 1. Polünoom P jagub kaksliikmega x− x0 parajasti siis, kui x0 on polünoomi nullko-haks.Järeldus 2. Kui x1, x2, . . . , xn on polünoomi P erinevad nullkohad, siis P jagub polünoomiga(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn).

Bezout’ teoreem võimaldab leida polünoomi jagamisel kaksliikmega x − x0 tekkivat jääki, kuidmitte jagatist. Horneri skeem võimaldab leida nii jagatise kui jäägi kaksliikmega jagamisel.Horneri skeemi saab kasutada ka polünoomi väärtuse leidmiseks mingil argumendi väärtusel.

Näide (Horneri skeem kuuppolünoomi väärtuse arvutamisel). Olgu meil antud polünoom P (x) =ax3 + bx2 + cx + d = [(ax + b)x + c]x + d. Leiame polünoomi väärtuse argumendi väärtusel x0ning paigutame vastavad arvutused tabelisse

a b c dax0 (ax0 + b)x0 [(ax0 + b)x0 + c]x0

x0 a ax0 + b (ax0 + b)x0 + c [(ax0 + b)x0 + c]x0 + d = P (x0)

Tabeli viimase rea viimane element ongi polünoomi P väärtus kohal x0 ehk polünoomi P jaga-misel kaksliikmega x− x0 tekkinud jääk.

Näide. Leiame polünoomi P (x) = x4 + 13x3 + 21x2 − 13x − 22 väärtuse argumendi väärtuselx = 2 vahetult ja Horneri skeemiga.

P (2) = 24 + 13 · 23 + 21 · 22 − 13 · 2− 22 = . . . = 156

5


1 13 21 -13 -222 30 102 178

2 1 15 51 89 156

Horneri skeemi viimasest reast on võimalik välja lugeda ka jagatise kordajad

(x4 + 13x3 + 21x2 − 13x− 22) : (x− 2) = x3 + 15x2 + 51x+ 89 +156

x− 2.

1. Jaga polünoomid

1) (x5 + x4 − 8) : (x3 − 4x);2) (2x3 + x2 − 14x+ 3) : (x+ 3);3) (x5 + x4 + x3 + x2 + 1) : (x2 − x− 2);4) (2x4 − 3x3 + 4x2 + 1) : (x2 − 1);5) (x6 + x4 + x3 + x2 + 1) : (x2 + 1);6) (5x4 − 3x5 + 3x− 1) : (−x2 + x+ 1);7) (−12x6 + 4x5 − 3x4 + 4x3 + 8x2 − 1) : (x2 + 1);8) (2x4 + x3 − 5x2 − x+ 1) : (x2 − x).

2. Kas hulkliige x4 + 4x3 + 5x+ 8 jagub jäägita kaksliikmega 1) x+ 2; 2) x+ 1?

3. Leia jääk, mis tekib hulkliikme 2x5−4x4−x2+1 jagamisel kaksliikmega 1) x−2; 2) x+1.

4. Uuri, kas x− 1 on polünoomi P (x) = x3 + 2x2 + 7x− 2 tegur.

5. Tee kindlaks, kas polünoom 2x5 − 3x2 − 7x − 12 jagub polünoomiga x − 2. Kui jah, siisjaga polünoomid.

6. Kontrolli, kas murd on taanduv

1)x2 − 5x+ 6

x− 3; 2)

x3 − 3x2 + 2x+ 3

x− 5; 3)

2x3 + 3x2 − 10x− 3

x+ 3.

7. Leia, missuguse a väärtuse korral polünoomi P (x) = 2x5 − 3x3 + 11x2 − x + a jagamiselpolünoomiga x+ 2 tekib jääk 3.

8. Leia, missuguse a väärtuse korral hulkliikme 2x5 − 3x3 + 11x2 + ax − 60 jagamisel kaks-liikmega x− 2 tekib jääk 20.

9. Tee kindlaks, kas korrutis (x4 − 16)(x2 + 3x− 5) jagub kaksliikmega x− 2.

10. Mingi hulkliikme jagamisel kaksliikmetega x+1, x− 2 ja x− 3 tekkisid vastavalt jäägid 3,1 ja −1. Missugune jääk tekib selle hulkliikme jagamisel korrutisega (x+1)(x− 2)(x− 3)?

11. Tõesta Bezout’ teoreem ning selle järeldused.

12. Leia jagatis ja jääk (kasutades Horneri skeemi)

1) (5x3 − 44x2 + 81x+ 18) : (x− 3);2) (5x5 − 6x4 − x2 + x+ 1) : (x+ 1)3) (63x3 − 149x2 + 48x − 4) : (x− 2);4) (6x3 + 17x2 − 23x− 70) : (2x+ 5);5) (x4 − x3 − 10x2 + 4x+ 24) : (x− 1);6) (4x7 − 2x6 − 6x+ 3) : (2x− 1);7) (x4 − 10x2 + 9) : (x+ 2);8) (2x2 − 3x3 − x+ x5 + 1) : (x+ 1).

6


13. Tõesta, et Horneri skeemi alumises reas olevad arvud on polünoomi P (x) jagamisel kaks-liikmega x− x0 saadud jagatise kordajateks ja jäägiks.

14. Missuguse naturaalarvulise väärtusega n korral polünoom P jagub polünoomiga Q?

1) P (x) = xn − an ja Q(x) = x− a;2) P (x) = xn − an ja Q(x) = x+ a.

15. Missuguste a ja n väärtuste korral polünoom xn − axn−1 + ax − 1 jagub polünoomiga(x− 1)2?

Hulkliikme teguriteks lahutamine

1. Ühise teguri sulgude ette toomine

12ax4 − 6a7x7 + 3ax3 = 3ax3(4x− 2a6x+ 1)

3p(p − q)− 5(q − p)2 = 3p(p− q)− 5(p − q)2 =

= (p− q)(3p − 5p+ 5q) = (p− q)(−2p + 5q)

2. Rühmitamine

ab+ 2a− 3b− 6 = (ab+ 2a)− (3b+ 6) = a(b+ 2)− 3(b+ 2) = (b+ 2)(a− 3)

2x2 + 3x+ 1 = 2x2 + 2x+ x+ 1 = 2x(x+ 1) + (x+ 1) = (x+ 1)(2x + 1)

3. Korrutamise abivalemite rakendamine

a2 − b2 + 2bc− c2 = a2 − (b2 − 2bc+ c2) = a2 − (b− c)2 =

= [a− (b− c)][a+ (b− c)] = (a− b+ c)(a + b− c)

4. Ruutkolmliikme teguriteks lahutaminea) Täisruudu eraldamine ja ruutude vahe valemi kasutamine

x2 − 8x+ 7 = (x− 4)2 − 9 = (x− 4)2 − 32 =

= (x− 4− 3)(x − 4 + 3) = (x− 7)(x− 1)

b) Ruutpolünoomi nullkohtade leidmine ruutvõrrandi lahendamise teel

ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2), kus x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a

x2 + px+ q = (x− x1)(x− x2), kus x1,2 = −p

2±√

(p

2

)2− q

Korrutamise abivalemid

(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2

(a± b)3 = a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

7


an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + . . .+ bn−1)

an − bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − . . .− bn−1), kui n on paarisarv

a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)

an + bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − . . .+ bn−1), kui n on paaritu arv

1. Lahuta hulkliige teguriteks

1) x2 − x3 + 4− 4x; 2) x4 − 2x3 + 2x2 − 2x+ 1;3) 3x6 + 12x4 − 96x2; 4) x6 + 27;5) x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1.

2. Tuleta ruutvõrrandi lahendivalem.

Algebraline võrrand

Algebralise võrrandi kanooniline kuju on

a0xn + a1x

n−1 + . . .+ an−1x+ an = 0.

Algebra põhiteoreem (Gauss, 1799). Igal kompleksarvuliste kordajatega n-astme algebraliselvõrrandil on parajasti n komplekslahendit.

Kui x = xi on võrrandi P (x) = 0 lahend, siis Bezout’ teoreemi põhjal P (x) = (x− xi)Q(x), kusvõrrand Q(x) = 0 annab antud võrrandi ülejäänud lahendid. Iga n-astme polünoomi saab esitadan lineaarse teguri x− xi ja pealiikme kordaja a0 korrutisena. Näiteks a0x

3 + a1x2 + a2x+ a3 =

a0(x− x1)(x− x2)(x− x3).

Viète’i teoreem. Kui x1, x2, . . . , xn on taandatud algebralise võrrandi

xn + a1xn−1 + . . .+ an−1x+ an = 0

lahendid, siis

x1 + x2 + . . .+ xn = −a1,

x1x2 + x1x3 + . . . + xn−1xn = a2,

x1x2x3 + x1x2x4 + . . . + xn−2xn−1xn = −a3,

. . .

x1x2x3 . . . xn = (−1)nan.

1., 2., 3. ja 4. astme algebraliste võrrandite lahendamiseks on olemas lahendivalemid. On tões-tatud, et 5. ja kõrgema astme võrrandite lahendamiseks üldist lahendivalemit ei ole.

Teoreem. Kui taandumatu murdp

qon täisarvuliste kordajatega polünoomi P (x) = a0x

n +

a1xn−1 + . . .+ an, kus a0 6= 0, nullkohaks, siis vabaliige an jagub arvuga p ja pealiikme kordaja

a0 jagub arvuga q.

Järeldus. Kui täisarvuliste kordajatega polünoomil on täisarvuline nullkoht, siis on see vaba-liikme an jagajaks.

8


Järeldus. Kui täisarvuliste kordajatega polünoomi pealiikme kordaja a0 on 1, siis selle polü-noomi ratsionaalarvulisteks nullkohtadeks saavad olla vaid täisarvud.

Kui täisarvuliste kordajatega polünoomi vabaliikmel on palju jagajaid, võimaldab otseste kont-rollimiste arvu vähendada järgmine teoreem

Teoreem. Kui x0 ∈ Z on täisarvuliste kordajatega polünoomi P nullkoht, siis P (k) jagub arvugak − x0, kus k ∈ Z.

Erijuhul, kui k = ±1, saame P (1) = (1 − x0)m ja P (−1) = (1 + x0)n, kus m,n ∈ Z. Järelikult

kontrollida on vaja vaid neid vabaliikme jagajaid x0, mille puhul jagatisedP (1)

1− x0ja

P (−1)

1 + x0on

täisarvud.

1. Tõesta, et kui x1, x2 ja x3 on võrrandi x3+ax2+bx+c = 0 lahendid, siis x1+x2+x3 = −a,x1x2 + x1x3 + x2x3 = b, x1x2x3 = −c. (Viète’i valemid kuupvõrrandi jaoks.)

2. Võrrandi 3x3+ax2+bx+9 = 0 kaks lahendit on x1 = −1 ja x2 = 1. Leidke kolmas lahend.

3. Võrrandi x3−6x2+9x+m = 0 lahendid moodustavad aritmeetilise jada. Leia m ja lahendavõrrand.

4. Lahenda võrrandid

1) x3 + x2 + x+ 1 = 0; 2) x3 − x2 − 8x+ 12 = 0;3) x4 − x3 − x+ 1 = 0; 4) 5x4 + 9x3 − 2x2 − 4x− 8 = 0;5) x6 − 3x5 + 3x3 + 3x2 − 4 = 0; 6) x2 + 3x3 − x4 − 3x = 0.


1) x3 − 7x2 + 13x− 3 = 0; 2) x4 + 3x3 − 6x− 4 = 0;3) x4 − 3x3 − x2 + 9x− 6 = 0; 4) x4 + x3 − 15x2 + 7x+ 6 = 0;5) x4 − 3x3 − 14x2 + 48x− 32 = 0; 6) 4x3 − 12x2 + 13x − 6 = 0.

9


Lineaar-, ruut-, ja kõrgema astme võrrandid

Olgu f(x) ja g(x) mingid funktsioonid. Võrdust f(x) = g(x) nimetatakse ühe muutujagavõrrandiks, kui ülesandeks on leida need x väärtused, mille korral funktsioonide f(x) ja g(x)väärtused on võrdsed. Funktsioonide f(x) ja g(x) määramispiirkondade ühisosa nimetataksevõrrandi f(x) = g(x) määramispiirkonnaks. Võrrandi lahendeiks nimetatakse neid muutujax väärtusi, mis muudavad seose f(x) = g(x) tõeseks arvvõrduseks. Lahendada võrrand tähendableida kõik lahendid või tõestada, et võrrandil lahend puudub.

Võrrandit f1(x) = g1(x) nimetatakse võrrandi f(x) = g(x) järelduseks, kui teise võrrandi igalahend on ka esimese võrrandi lahendiks. Tähistus: f(x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x). Kaht võrranditf(x) = g(x) ja f1(x) = g1(x) nimetatakse samaväärseiks, kui esimese võrrandi iga lahend onteise võrrandi lahendiks ja vastupidi, teise võrrandi iga lahend on esimese võrrandi lahendiks.Tähistus: f(x) = g(x) ⇔ f1(x) = g1(x).

Näiteks võrrandid x = 0 ja x(x2 + 1) = 0 on samaväärsed reaalarvude hulgal R, seevastukompleksarvude hulgal C need võrrandid ei ole samaväärsed. Ka võrrandid x2+5 = 0 ja 2x2+7 =0 on reaalarvude hulgal samaväärsed, kuna kummalgi võrrandil ei ole reaalarvulisi lahendeid.

• Võrrandid f(x) = g(x) ja f(x)+h(x) = g(x)+h(x) on samaväärsed, kui funktsioonil h(x)on olemas väärtus võrrandi f(x) = g(x) määramispiirkonna igas punktis.

• Võrrandid f(x) = g(x) ja f(x) · h(x) = g(x) · h(x) on samaväärsed, kui funktsioonil h(x)on olemas nullist erinev väärtus võrrandi määramispiirkonna igas punktis.

• Paarisarvu n korral võrrand [f(x)]n = [g(x)]n on võrrandi f(x) = g(x) järeldus, paarituarvu n korral on võrrandid [f(x)]n = [g(x)]n ja f(x) = g(x) samaväärsed.

Võrrandi lahendamisel tuleb hoiduda teisendustest, mis põhjustavad lahendite kaotsiminekut.Kui kasutati teisendust, mis võis põhjustada võõrlahendite teket, tuleb pärast lahendamist kont-rollida, kas leitud lahendid rahuldavad lähtevõrrandit.

1. Antiikaja kuulsa matemaatiku Diofantese hauakivil on kirjas:Teekäija! Siia on maetud Diofantese põrm. Ning arvud võivad jutustada, kui pikk oli temaeluiga. Kuuendik sellest kujutas ilusat lapsepõlve. Möödus kaheteistkümnendik tema elustja tema lõug kattus udemetega. Seitsmendiku oma elust oli Diofantes abielus lastetuna.Möödus viis aastat; teda õnnistati esimese poja sünniga, kellele saatus andis elu, ilusa jahelge, mis oli poole lühem kui ta isal. Ja sügavas mures lõppes vanakese maine saatus. Taelas veel neli aastat pärast poja kaotamist. Ütle, kui vana oli Diofantes, kui ta suri?

2. Lahenda võrrand

1) 3x = 2(x− 3) + x+ 6; 2)2(x+ 4)

5+

3(x− 3)

15+ 10 = x− 2x− 29

3;

3) 2x2 − 5x = 3; 4) 5x = 5(x+ 19)− 6;5) 9x2 = 16; 6) x2 − 7x = 0;

7)3x2

8=

2

75; 8) x(2− x) = 3(x2 + 7) + (x+ 1)(x+ 2);

9) x(x− 2) = 2(x2 + 3)− (x+ 1)(x− 2); 10) (x2 + 1)2 = (x2 − 9)2.

10


3. Milline järgmistest tingimustest on samaväärne võrrandiga (x− 3)

(

x+1

x− 3

)

= 0?

1) x− 3 = 0 ja x+1

x− 3= 0; 2) x− 3 = 0 või x+

1

x− 3= 0;

3) x− 3 = 0 ja x2 − 3x+ 1 = 0; 4) x− 3 = 0 või x2 − 3x+ 1 = 0.

4. Tuleta ruutvõrrandi ax2 + bx+ c = 0 lahendivalem.

5. Kirjuta välja Viète’i teoreem taandatud ruutvõrrandi x2 + px+ q = 0 jaoks.

6. Lahenda võrrand peast

1) x2 + x− 12 = 0; 2) x2 − 2x− 143 = 0;3) x2 + 5x+ 6 = 0; 4) x2 − 6x+ 8 = 0.

7. Millise k väärtuse korral on võrrandil x2 + kx+ 5 = 0 üheks lahendiks arv 5?

8. Avalda võrrandi x2+px+q = 0 kordajate kaudu ilma võrrandit lahendamata tema lahenditeruutude summa ja lahendite kuupide summa.

9. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid on võrrandi ax2 + bx+ c = 0 lahendite(st)1) kolm korda suuremad; 2) pöördväärtused.

10. Leia sellised arvupaarid (p, q), et võrrandeil x2+px+ q = 0 ja x2−px+ q = 0 oleks täpseltüks ühine lahend.

11. Leia parameetri k väärtused, mille korral on võrrandil üks lahend1) kx =

√125; 2) (2 + k)x = k.

12. Leia võrrandi lahendid (ka kompleksarvulised) kasutades tegurdamist või Horneri skeemi

1) x6 − 64 = 0; 2) x6 − 7x3 − 8 = 0;3) x3 + 9x2 + 23x+ 15 = 0; 4) x4 + 5x3 + 4x2 − 24x − 24 = 0;5) x5 − 4x4 + 4x3 − x2 + 4x− 4 = 0; 6) 2x4 − 4x3 + 13x2 − 6x+ 15 = 0.

13. Koosta biruutvõrrand, mille kaks lahendit on võrrandi x2 − 5x+ 6 = 0 lahendid.

14. Lahenda võrrand

1) 15x3 + 23x2 + 9x+ 1 = 0; 2) 10x3 − 3x2 − 2x+ 1 = 0;3) (x− 1)x(x + 1)(x + 2) = 24; 4) x(x− 1)(x − 2)(x− 3) = 15;5) 6x4 − 5x3 − 38x2 − 5x+ 6 = 0; 6) 12x4 − 8x3 − 39x2 + 8x+ 12 = 0.

11


Murdvõrrandid

Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. Murdvõrran-di lahendamist tuleks alustada määramispiirkonna leidmisest. Olgu P (x) ja Q(x) algebralised

polünoomid. MurdvõrrandiP (x)

Q(x)= 0 lahendamiseks tuleb lahendada võrrandisüsteem

{

P (x) = 0,Q(x) 6= 0.

1. Lahenda murdvõrrand

1)x2 + 4x− 21

x2 − x− 3= 0; 2)

2x2 − x− 6

2x2 − 7x+ 6= 0;

3)2

x− 3=

5

x− 3; 4)

x− 4

x+ 80=

25

x+ 13;

5)1

x2 + x+ 2=

1

2x2 + 3x− 6; 6)

x2 − 6x− 9

x=

x2 − 4x− 9

x2 − 6x− 9;

7)2

x+ 3+

2

x− 3=

x2 − 21

x2 − 9; 8)

x+ 1

x− 1− x+ 2

x+ 3+

4

x2 + 2x− 3= 0;

9)x

3x2 − 3− 1

x3 + x+

2x2

3x− 3x5= 0; 10)

x2 + 1

x+

x

x2 + 1= 2,9;

11)2x

x− 2+

x− 2

x= 2; 12) 2

(

x2 +1

x2

)

− 7

(

x+1

x

)

+ 9 = 0.

2. Näita, et võrrandil1

x− a+

1

x− b=

1

c2on olemas reaalarvulised lahendid.

3. Ühe detaili tootmiseks kulutab üks tööline 3 minutit vähem aega kui teine. Mitu detailitoodab kumbki tööline 7 tunni jooksul, kui esimene toodab selle aja jooksul 7 detaili rohkemkui teine?

4. Kaks töölist koos töötades lõpetavad töö 8 tunniga. Esimene neist suudaks üksi töötadeslõpetada selle töö 12 tunni võrra kiiremini kui teine üksi töötades. Mitme tunniga lõpetaksselle töö kumbki tööline üksi töötades?

5. Kaks bussi sõidavad ühest linnast teise. Et esimene buss sõidab tunnis 4 km rohkem kuiteine, siis läbib ta selle vahemaa 15 minuti võrra lühema ajaga. Kui suure kiirusega liiguvadbussid, kui linnade vahemaa on 72 km?

6. Esimesel pumbal kuluks basseini täitmiseks 3 tundi vähem kui teisel pumbal. Basseinitäitmiseks pandi tööle korraga mõlemad pumbad, 10 tunni pärast esimene pump katkestastöö ja teine pump töötas üksi veel 5 tundi 45 minutit. Mitme tunniga täituks basseinkummagi pumba üksi töötamise korral?

12


Absoluutväärtust sisaldavad avaldised

1. Leia absoluutväärtuse definitsiooni põhjal

a) |3|;b) |0|;

c) | − 2009|;d) |a|, kui a < 0;

e) |b|, kui b > 5;

f) −| − c|, kui c < 0.

2. Leia absoluutväärtused

a) |π − 3,5|; b)∣

∣

∣

3√1001 − 10

∣

∣

∣; c)∣

∣

∣

√144 − 14

∣

∣

∣.

3. Leia avaldise4− 2|a| + 4|1− b|

| − a| · |b+ 3| · |1− b| väärtus, kui a = −22 ja b = −4.

4. Analüüsi avaldisi |2− |x|| ja ||x− 1|+ 2| lähtudes absoluutväärtuse defintsioonist.

5. Lihtsusta avaldised

a) |x− 2| − 2|3 + x|+ x, kui x > 25; kui x < −4; kui 0 < x ≤ 2;

b) |x− 10| + |x|, kui 5 < x < 15;

c)∣

∣x4 + 1∣

∣− | − 2|(x2 − 1,5);

d)∣

∣4− 12x+ 9x2∣

∣+ 6|x− 2,2|+ 9,2;

e)∣

∣x2 − 2|x|+ 3∣

∣, kui x ≥ 0;

f) |x2 + 5|+ |x2 − 9|.

6. Joonesta funktsiooni graafik

a) y = |x| − 1;

b) y = 2x+ |x| − 1;

c) y = |2x|+ x− 1;

d) y = |2x|+ |x| − 1.

Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid


1) |x| = 5; 2) |x− 4| = 0; 3) |x+ 5| = −8; 4) |x2 + 1| = 5;

5) |x− 12| = −6; 6) |x2| = 9; 7) |x| = x; 8)x

|x| = −1.

2. Joonesta funktsiooni y = 1+ |x−2|+ |x+1| graafik ning saadud joonist kasutades lahendavõrrandid

1) 1 + |x− 2|+ |x+ 1| = 0; 2) 1 + |x− 2|+ |x+ 1| = −1;3) 1 + |x− 2|+ |x+ 1| = 4; 4) 1 + |x− 2|+ |x+ 1| = 7.


1) |2x− 3| = 5; 2) |2x− 3| = x+ 1;3) 7− 4x = |4x− 7|; 4) |3x− 2| = 2x− 3;5) |x+ 7| = |2x− 3|; 6) |y − 3| = −|3− y|;7) |x− 2| = −|1− x|; 8) |3x|+ |x− 2| = −4;9) |x+ 1|+ |x+ 2| = 2; 10) |x− 6|+ |x− 6| = 0;

11) |x+ 1|+ |x− 1| = 2; 12) |4− y| − |y + 4| = −8;13) |y − 3| − |y − 1| = 6; 14) |x|+ |x+ 1| = 1− x;

13


15) |2x− 3| − |5x+ 4| = 3x+ 7; 16) |x− 1| − |x| = 2x− 1;17) (x+ 1)2 − 2|x+ 1|+ 1 = 0; 18) |6x2 − 5x+ 1| = 5x− 6x2 − 1;19) |x2 − 4|+ |9− x2| = 5; 20) |x2 − 9| − |x2 − 4| = 5;

21)x+ 1

|2x+ 2| = 1− x; 22) |x− 2| · |x+ 3| = |x− 1| · |x+ 1|.

Irratsionaalarvud. Juuravaldiste teisendamine

1. Kuidas tõestatakse vastuväiteliselt, et leidub ratsionaalarvudest erinevaid arve, täpsemalt,et

√5 ei ole ratsionaalarv?

2. Leia (lihtsusta peast)

a)√169; b) 3

√

−272; c) 6√−27; d)

4√243a4b12c2.

3. Uuri lahendust a

√

1

a2=

√

a2 · 1

a2=

√1 = 1.

4. Kaota irratsionaalsus nimetajas

a)3√3− 1

;

b)3√2 + 2

√5

2√2− 2

√5;

c)1

4√2 + 4

√3;

d)14

3√4− 3

√2 + 1

;

e)

√√5 +

√3

√√5−

√3;

f)1

3√2− 3

√3.

5. Lihtsusta

a)313

√

980 − 5

4

√

45 + 5

√

15 +

√20− 10

√0,2

312 ·

√32−

√

412 + 2

√

18 + 6

√

29 − 140

√0,02

·√

2

5;

b)

√

2 3√3 · 3√

3√2√

40:

3√2,5

√

3 3√40

; c)3√2−

√

1− 2 3√2 + 3

√4

√

(

2 +√5)2

;

d)6

2√3− 3

− 4√3 + 1

− 6√3.

6. Otsusta, kumb arvudest on suurem

a) 3√3 või

√

1 +√3 · 4

√

4− 2√3; b)

3

√

1 +6√10−1001 või

6

√

1 +3√10−1001.

7. Tegurda

a) 5 +√5;

b) b− 3√b+ 2;

c)√

0,027 −√125;

d)4√d8 −

√

d2 + 2d+ 1.

8. Vii tegur juuremärgi alla

a) a√a;

b) b4√b2;

c) (1− a) · 3√1 + a;

d) (1− a)

√

a

a− 1, kui a > 1.

14


9. Eralda juuritavas täisruut ja juuri või kasuta liitradikaali valemit.

a)√

4 + 2√3;

b)√

4− 2√3;

c)√

4√5 + 21;

d)√

5 +√24;

e)√

3√7 + 8;

f)

√

13 + 30

√

2 +

√

9 + 4√2.

10. Näita, et arv3

√

7 + 5√2 +

3

√

7− 5√2 rahuldab võrrandit x3 + 3x = 14.

11. Arvuta

a)3

3√

16√192 + 2

3√

36√432

3√

24√27 + 40

√243

; b)√

4 +√7−

√

4−√7−

√2.

12. Lihtsusta

a)(

1− a−2

a12 − a−

12

− 2

a2 :√a+

a−2 − a

a12 − a−

12

)

·(

1− 2a−2)−1

;

b)

(

2a+ a12 b

12

3a

)−1

·(

a32 − b

32

a− a12 b

12

− a− b

a12 + b

12

)

;

c)

√

(1 + a) 3√1 + a

3a· 3

√ √3

9 + 18a−1 + 9a−2, kus a > 0;

d)(

√1 + a√

1 + a−√1− a

+1− a√

1− a2 − 1 + a

)

·(

√

1

a2− 1− 1

a

)

;

e)(

y −√xy√

x+√y+

√x

)

:

(

y√xy − x

+x√

xy + y− x+ y√

xy

)

.

Juurvõrrandid

Vaatleme juurvõrrandeid reaalarvude hulgal, seega võrrandi määramispiirkonna leidmisel arves-tame, et paarituarvulise juurija korral on irratsionaalse avaldise määramispiirkonnaks juurealuseavaldise määramispiirkond, paarisarvulise juurija korral peab juurealune avaldis olema mittene-gatiivne. Lähtume aritmeetilise juure mõistest, st ka paarisarvulise juurija korral on juurel üheneväärtus.

Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb juuritavas avaldises. Lahenda-misel tõstetakse sageli võrrandi mõlemad pooled mingisse astmesse. Paarisarvulise astendajagaastendamisel võib nii saadud võrrand osutuda esialgse võrrandi järelduseks. Võõrlahendite eemal-damiseks on vajalik lahendite kontroll.

Näide. Lahenda juurvõrrand√1 + x−

√1− x = 2x.

Võrrandi määramispiirkonnaks on

{

1 + x ≥ 0

1− x ≥ 0ehk −1 ≤ x ≤ 1.

Lahendus 1. Ruutuvõtmisel saame 1 + x− 2√

1− x2 + 1− x = 4x2 ehk −√

1− x2 = 2x2 − 1.Teistkordsel ruutuvõtmisel saame 1 − x2 = 4x4 − 4x2 + 1 ehk 4x4 − 3x2 = 0. Üks võimalus on,

15


et x = 0. Kui x 6= 0, siis 4x2 − 3 = 0 ehk x = ±√3

2. Kontroll näitab, et x = 0 sobib lahendiks.

Ka ülejäänud lahendid on võrrandi määramispiirkonnast, kuid tegelikult võõrlahendid. Näitame,

et

√3

2on võõrlahend (−

√3

2korral on arutlus analoogiline). Selleks näitame, et

√

1 +

√3

2−

√

1−√3

26=

√3. Viimane kehtib, kuna

√

1 +

√3

2−

√

1−√3

2

2

= 2 − 2

√

1− 3

4= 1 6= 3.

Vastus: x = 0.

Lahendus 2. Korrutades võrrandi pooled teguriga√1 + x +

√1− x ja jagades 2-ga saame, et

x = x(√1 + x +

√1− x). Siit kas x = 0 või

√1 + x +

√1− x = 1. Võtame viimase võrrandi

pooled ruutu, siis saame, et 1+x+2√

1− x2+1−x = 1 ehk 2√

1− x2 = −1, mis on vastuolulinevõrrand. Kontroll näitab, et x = 0 sobib lahendiks.

Lahendus 3. Olgu f(x) =√x− x. Paneme tähele, et võrrand on tingimus kujul

f(1 + x) = f(1− x), x ∈ [−1, 1].

Funktsiooni f(x) =√x − x väärtused on piirkonnas (0, 1) positiivsed ja piirkonnas (1, 2) nega-

tiivsed. Kuna juhul x ∈ (−1, 0) kehtib 1 + x ∈ (0, 1) ja 1− x ∈ (1, 2) ning juhul x ∈ (0, 1) kehtib1 + x ∈ (1, 2) ja 1 − x ∈ (0, 1), on ainsad võimalikud lahendid x = −1, x = 0, x = 1. Kontrolliteel selgub, et ainult x = 0 rahuldab võrrandit.

1. Kas võrrandid on samaväärsed? Kumb võrranditest on teise järelduseks?

1)√u2 =

√v2 ja u = v;

2)√u2 =

√v2 ja |u| = |v|;

3)√u =

√v ja u = v tingimusel, et uv ≥ 0;

4)√u =

√v ja u = v;

5)√u =

√v ja u = v tingimusel, et u ≥ 0, v ≥ 0.


1)√x− 5 +

√10− x = 3;

2)√x+ 3 +

√3x− 2 = 7;

3)√x− 1 = 3−

√2− x;

4)√3x+ 7−

√x+ 1 = 2;

5)√x+ 8 = x− 2;

6)√x+ 1 = 11− x;

7)√x+ 1−

√9− x =

√2x− 12;

8)√

2x+√

6x2 + 1 = x+ 1;

9)√

7 +3√

x2 + 7 = 3;

10) x2 +√

x2 + 20 = 22;

11) x− 4 = x(√x+ 2);

12) x− 4 = x(√x− 2);

13) x+ 3√x = 2;

14)√

x2 − 2x+ 1 +√

x2 − 4x+ 4 = 3;

15)√

2x2 + 5x− 27−√

2x2 + 5x+ 12 = −3;

16)√

3x2 − 2x+ 15 +√

3x2 − 2x+ 8 = 7.

3. Täisnurkses kolmnurgas on hüpotenuus 15 cm. Kaatetite projektsioonide aritmeetiline kesk-mine on 25% võrra suurem nende geomeetrilisest keskmisest. Leia kolmnurga pindala.

16


Võrrandisüsteemid

Kahe tundmatuga võrrandisüsteem esitub kujul{

f1(x, y) = g1(x, y)

f2(x, y) = g2(x, y).

Süsteemi lahendiks nimetatakse arvupaari (x0, y0), mis muudab mõlemad võrandid tõesteks arv-võrdusteks. Lahendada süsteem, tähendab leida kõik lahendid. Lahendamisel kasutatakse järg-misi põhivõtteid.

Asendusvõte{

4x2 − 3y2 + 2xy − x+ 2y = −1

x+ 2y = 5

Teisest võrrandist avaldame muutuja x = 5− 2y ja asendame esimeses võrrandis, saame

4(5 − 2y)2 − 3y2 + 2(5− 2y)y − (5− 2y) + 2y = −1

ehk 9y2−66y+96 = 0, mille lahendamiseks teisendame 9y2−66y+121 = 121−96 ehk (3y−11)2 =

25. Saame ruutvõrrandid lahendid 51

3ja 2. Seega on süsteemi lahenditeks

(

−52

3; 5

1

3

)

ja (1; 2).

Liitmisvõte{

x2 = 13x+ 4y

y2 = 4x+ 13y{

x2 − y2 = 13x+ 4y − (4x+ 13y)

y2 = 4x+ 13y

Tegurdame esimese võrrandi (x − y)(x + y) − 9(x − y) = 0. Seega saame muutujate jaoks kakstingimust: x+ y − 9 = 0 või x− y = 0. Neid tingimusi teises võrrandis muutuja x asendamisekskasutades saame neli lahendite paari (−3; 12), (12;−3), (17; 17) ja (0; 0).

Abitundmatu võtePaljude võrrandisüsteemide lahendamisel on kasulik võrrandeis esinavate muutujate asemele va-lida uued, lihtsustades sellega lahendamist. Üldist reeglit uute muutujate valikuks pole.

{

2xy − y2 = 15

x2 + xy = 36(x = ty)

1

y+

1

x=

5

61

x2+

1

y2=

5

36

(

1

x= u,

1

y= v

)

Võrrandite vastavate poolte korrutamine või jagamineVõrrandite vastavate poolte jagamisel tuleb silmas pidada, et ei tekiks jagamist nulliga.

xy = 2

yz = 6

xz = 3

Korrutame nende võrrandite vastavad pooled. Saame x2y2z2 = 36, millest xyz = ±6. Asendadesviimasesse järjest lähtevõrrandid, mis sisaldavad kaht tundmatut, leiame kolmanda tundmatu.Võrrandisüsteemi lahenditeks on (1; 2; 3) ja (−1;−2;−3).

17


1. Lahenda võrrandisüsteem

1)

{

3x+ 14y − 47 = 0

2x− 21y − 1 = 02)

{

4x− 2y − 2,8 = 0

7x− 4y + 2,6 = 03)

{

2x+ y = 8

3x+ 4y = −2,6

4)

{

18x = 21y + 2

24x = 15y + 75)

2x+ y = 5

x+ 3z = 16

5y − z = 10

6)

x+ y − z = 36

x− y + z = 13

−x+ y + z = 7

7)

5x− 5y − 6z = 1

3z − 13x+ 4y = 1

z + y + 7x = 0

8)

{

x2 − y2 = 9

x− y = 19)

{

xy + x+ y = 11

x2y + xy2 = 30

10)

{

x3 + y3 = 27

x2 − xy + y2 = 911)

6

x− 9

y= 8

9

x+

6

y= −1

12)

x2y + y2x = 20

1

x+

1

y=

5

4

13)

{

x2 + xy + x = 10

y2 + xy + y = 2014)

{

x2 − 4y2 − xy + 5y = 1

x2 + 3y2 − xy − 4y = −1

15)

{

x2 − 5y2 = −1

3xy + 7y2 = 116)

{

5x2 − 6xy + 5y2 = 29

7y2 − 8xy + 7x2 = 43

17)

{

x2 + y2 = 13

xy = 6

2. Leia kaks kahekohalist arvu a ja b järgmistel tingimustel: kui a kirjutada b ette ja saadudneljakohaline arv jagada arvuga b, siis jagatis on 121; kui aga b kirjutada a ette ja saadudneljakohaline arv jagada a-ga, siis jagatis on 84 ja jääk 14.

18


Logaritmi omadused

Positiivse arvu x logaritmiks alusel a (a > 0, a 6= 1) nimetatakse arvu c, millega alust aastendades saadakse arv x, st

loga x = c ⇔ ac = x.

Lähtudes logaritmi definitsioonist on võimalik lahendada kolme tüüpi võrrandeid:1) arvu logaritmi leidmine

log2 8 = x ⇔ 2x = 8, millest x = 3, sest 23 = 8

log 124 = x ⇔

(

1

2

)x

= 4, millest x = −2, sest(

1

2

)−2

= 22 = 4

2) logaritmitava leidminelog2 x = 5 ⇔ 25 = x, millest x = 32

log 13x = −3 ⇔

(

1

3

)−3

= x, millest x = 33 = 27

3) logaritmi aluse leidminelogx 64 = 3 ⇔ x3 = 64, millest x = 4, sest 43 = 64

logx1

81= 4 ⇔ x4 =

1

81, millest x =

4

√

1

34=

4

√

(

1

3

)4

=1

3

Olgu x, y, a, b > 0, a 6= 1, b 6= 1. Logaritmil on järgmised omadused:

1◦ loga a = 1

2◦ loga 1 = 0

3◦ aloga x = x

4◦ loga xy = loga x+ loga y

5◦ logax

y= loga x− loga y

6◦ loga xn = n loga x

7◦ loga x =logb x

logb a(logaritmi aluse vahetamine)

8◦ loga b · logb a = 1

9◦ logan xn = loga x

Naturaallogaritmi loge x korral kasutatakse sageli tähistust lnx. Sümboli log x tähendus sõltubaga kontekstist: matemaatikute jaoks tähendab see enamasti loge x, matemaatilise analüüsi õpi-kutes kohtab log10 x tähenduses, bioloogide ja inseneride jaoks tähendab see tihtipeale log10 x,arvutiteadlaste jaoks log2 x (aines Elementaarmatemaatika log x = log10 x).

Antud arvu antilogaritmiks mingil alusel nimetatakse arvu, mille logaritm selsamal alusel onantud arv, st kui c = loga x, siis x on arvu c antilogaritm. Potentseerimine on arvu antiloga-ritmi leidmine (c potentseerimine alusel a tähendab leida selline x, et ac = x).

Näited

1) 491−14log7 25 = (72)1−

14log7 25 = 72·(1−

14log7 25) = 72−

12log7 25 = 72−log7 25

12 = 72−log7 5 =

= 72 : 7log7 5 = 72 : 5 = 9,8

2) Tõesta, et logan x =loga x

n.

logan x = logan(

x1n

)n 9◦= loga x

1n

6◦=

1

nloga x =

loga x

n

3) Avalda log 25, kui log 2 = a

log 25 = log100

4

5◦= log 100− log 4 = 2− log 22

6◦= 2− 2 log 2 = 2− 2a

19


4) Olgu log3 12 = a. Leia log3 18.

log3 18 = log3 9 · 24◦= 2 + log3 2

Paneme tähele, et a = log3 12 = log3 3 · 44◦= 1 + log3 4

6◦= 1 + 2 log3 2, seega log3 2 =

a− 1

2

ning log3 18 = 2 +a− 1

2.

Ülesanded

1. Lihtsusta

1) 5 log5 25 + 8 log2 64− 4 log3 27 + log2 2 + log5 1;

2) 31−log3 7 + 5log5 8+1 − 2,4log2,4 10+1;

3) log2 12 + log225

3+ 2 log2

4

5− log2 2

7;

4) 16log24√48−1;

5) 4 ·(

8114− 1

2log9 4 + 25log125 8

)

;

6) loga

[

a1,5 − a0,5b

(a0,5 − b0,5) (a0,5 + b0,5)· a−1

]

.

2. Arvuta avaldise

1) log7a

49bväärtus, kui log7 a = 2 ja log7 b = −1;

2)1

3log5

(√b)4

väärtus, kui log5 b = −3;

3) log30 8 väärtus, kui log 5 = a ja log 3 = b;

4) log 48 väärtus, kui log3 5 = a ja log5 8 = b.

3. Näita, et kehib võrdus bloga c = cloga b.

4. Arvuta avaldise väärtus

1) log log

√

5√10; 2) 36log6 5 − 81

1log5 3 + 101−log 2; 3) − log8 log4 log2 16.

5. Otsusta abivahendeid kasutamata, kumb arv on suurem1) log3 7 või log9 48; 2) log0,6 7 või log0,6 8; 3) log 1

27 või log 1

448.

6. Arvuta

1) log 10sin 30◦ + 100,5 log 9−log 2;

2) 10log(10 log 10) + log33

√

3√81;

3) log(

2 + log 13

√3 · log√3 3

)

;

4) log 5 · log 20 + (log 2)2.

7. Leia avaldise naturaallogaritm (logaritmimine) 1) u =x 5√

zy3

z2; 2) x = 4a

3√16b2.

8. Avalda muutuja x (potentseerimine) 1) log x = log2

a−2 log a; 2) log x = 0,2 log(32a)+2.

9. On teada, et a > b > 1. Millised järgmistest võrratustest on tõesed?1) log a > log b; 2) logn a > logn b, kui n > 1; 3) logn a > logn b, kui 0 < n < 1.

10. Tõesta järgmised võrdused

1) loga b·logb c·logc a = 1; 2) logab N =logaN · logb NlogaN + logbN

; 3) logbN (aN) =logb a+ logbN

1 + logb N.

11. Arvuta bb, kui ab = 8, bc = 10 ja ac = 2.

20


Logaritmvõrrandid

Võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses, nimetatakse logaritm-võrrandiks. Logaritmvõrrandi lahendamiseks puudub üldine meetod. Enne logaritmi omadusterakendamist tuleks veenduda, et logaritmi definitsioonis esinevad tingimused (logaritmi alus onpositiivne ja erineb nullist, logaritmitav on positiivne) on rahuldatud.

Näited

1) Logaritmi definitsiooni kasutamine

Võrrandi logx−1(3− x) = 2 määramispiirkonnaks on x− 1 > 0∧ x− 1 6= 1∧ 3− x > 0 ⇔x ∈ (1, 2) ∪ (2, 3). Logaritmi definitsiooni kohaselt logx−1(3 − x) = 2 ⇒ (x − 1)2 =3− x ⇔ x2 − x− 2 = 0 ⇔ x = 2∨ x = −1. Mõlemad lahendid on võõrlahendid, kunaei kuulu võrrandi määramispiirkonda.

2) Logaritmi omaduste kasutamine

log16 x+log4 x+log2 x = 7 ⇔ log24 x+log22 x+log2 x = 7 ⇔ log2 x

4+log2 x

2+log2 x =

7 ⇔ 7 log2 x = 28 ⇔ log2 x = 4 ⇔ x = 16

3) Potentseerimine

Võrrandit logϕ(x) f(x) = logϕ(x) g(x) potentseerides alusel ϕ(x) saadakse võrrand f(x) =g(x). Selle teisenduse käigus võib lahendeid juurde tekkida (potentseerides saadakse esialgsevõrrandi järeldus).log2 x = log2

(

6− x2)

⇒ x = 6− x2 ⇔ x = 2 ∨ x = −3Kontrollides selgub, et x = −3 on võõrlahend, seega võrrandi lahend on x = 2.

4) Abimuutujat kasutades algebraliseks võrrandiks teisendamine

(log2 x)2 − log2 x = 6

5) Uuele alusele üleminek

logx 2 · log2x 2 =1

2(lahendid on 2 ja 0,25)

6) Graafiline lahendamine

log2(x− 1) = log3 x

Ülesanded


1) log2(22x − 65) = 4;

2) log7 log4 log23(x− 7) = 0;

3) logx−2 x = 2;

4) log(x− 1)2 − log x2 = 2;

5) log4 x = log2 x;

6)log2(5x− 10)

log2(x2 − 4)

= 1;

7) log x− 2√

log x = −1;

8) log0,25(1− 2x) = 1,5;

9) log3−2x 9 = 2;

10) logx−2(2x2 − x− 1) = 2;

11) log1−x x2 = 4;

12) log3(2x2 − 1) = log3 x;

13) logx 3− logx 2 = 0,5;

14)1

5− log x+

2

1 + log x= 1;

15) log2√

x2 − 6x+ 9 = 3;

16) log√3(2x2 − 1) = log3 x

2;

21


17) 3 log8 x− log2(x+ 1) = 1;

18) log(x− 2) + log(x+ 9) = 2 log 2 + log 3;

19) log(x− 6)− 0,5 log 2 = log 3 + log√x− 10;

20) log(x+ 6)− 0,5 log(2x− 3) = 2− log 25;

21) 3 log(2x− 1) = log(8x3 − 12x2 + 32);

22) log logx

x− 18= 0;

23) log x2 + log(x+ 10)2 = 2 log 11;

24) 0,5 log(x2 − 2x+ 5)− log(x+ 5) = −0,5;

25) xlog x = 100x;

26) log2 log3(x2 − 16)− log2 log3

1

x2 − 16= 2;

27) log(3x) + log(2x)− log(4x)− log x = x+ 1;

28) 8, 11(ln u)2 − 10,31 ln u− 3,43 = 0;

29) (lnx+ 1)3 − (lnx− 1)3 = 27;

30) log2(u2 − u+ 10)− 3 log(u2 − u+ 10) = −2.

2. Lahenda võrrandisüsteem

{

x− 3y = 2

log0,5 x+ log0,5 y = 0.

3. Linnas on 100 000 elanikku. Iga-aastane iive on1

30. Kui mitme aasta pärast on selles linnas

elanikke 1 000 000?

Eksponentvõrrandid

Võrrandit, milles tundmatu esineb astendajas, nimetatakse eksponentvõrrandiks. Eksponentvõr-randi lahendamiseks puudub üldine meetod. Lahenduseni võivad viia järgmised võtted (eeldame,et a > 0, a 6= 1):

1) Logaritmimineaf(x) = b ⇔ f(x) = loga b

2) Võrdsete alustega astmete astendajate võrdsustaminebf(x) = bg(x) ⇔ f(x) = g(x)

3) Logaritmi samasuse kasutaminealoga f(x) = b ⇔ f(x) = b

4) Abimuutujat kasutades algebraliseks võrrandiks teisendamine

Ülesanded


1)√2x ·

√3x = 216;

2) 2x2−5x−6 = (x− 2)0;

3)22x−1 · 4x+1

64x−1= 0,25;

4)(

3

7

)3x−7

=

(

7

3

)7x−3

;

5) 2−x = −4;

6) 2x2−2x = 1;

22


7) 3x−2 = 23x−1;

8) 2logx+3x−2 = 8;

9) 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2;

10) 5x + 125 = 30 · 5x2 ;

11) 4x + 6x = 2 · 9x;12) 42x − 8x = 3 · 23x;13) 2

√x − 21−

√x = 1;

14) 3 · 52x−1 − 2 · 5x−1 = 0,2;

15) 52x − 7x − 35 · 52x − 35 · 7x = 0;

16) 3x+1 − 2 · 3x−1 − 4 · 3x−2 = 17;

17) log√x− 5 + log

√2x− 3 + 1 = log 30;

18)√

log x = log√x;

19) (log x)log x = 1;

20) 3x · 8x

x+2 = 6;

21) 5log x+1 = 150 − xlog 5;

22) 2√

log2 x + x√

logx 2 = 4;

23) x3−4 log4 x =1

4;

24) |x|x2+x = 1.

2. Lahenda võrrandisüsteemid

1)

{

4x · 5y = 16

2 · 3x = 18; 2)

{

2x · 3y = 12

2y · 3x = 18; 3)

{

xlog y = 100

logy x = 2.

3. Riigis on antud hetkel 100 miljonit elanikku. Statistiliste uuringutega tehti kindlaks, et iga10 aastaga suureneb riigi elanike arv 1,2 korda. Eeldades, et elanikkonna muutumise kiiruson võrdeline elanike arvuga, leida: a) riigi elanike arv 30 aasta pärast; b) mitme aastagakahekordistub riigi elanike arv.

4. Veenõu veega, mis oli kuumutatud temperatuurini 80◦C, hakkas õhu käes jahtuma. Veetemperatuuri mõõdeti iga kümne minuti tagant. Tulemused kanti järgmisse tabelisse

Aeg (min) 0 10 20 30 40 50 60Temperatuur (◦C) 80 60 44 32,5 24 18 13

Kujutage tabeli andmete põhjal jahtuva keha temperatuuri ja aja seos graafiliselt. Eeldades,et uuritav seos avaldub kujul T = ae−bt, kus muutuja t on aeg ja T temperatuur, arvutagevee temperatuur, kui nõu koos veega on jahtunud a) 15 minutit; b) 32 minutit.

5. Skitseeri järgmiste funktsioonide graafikud 1) y = log2(4x); 2) y = 2x − 27log8 2.

23


Võrratused

Võrratuse f(x) > g(x) määramispiirkonnaks nimetatakse võrratuse mõlemal poolel esinevatefunktsioonide f(x) ja g(x) määramispiirkondade ühisosa. Muutuja väärtuste hulka, mis kuulubvõrratuse määramispiirkonda ja muudab võrratuse tõeseks, nimetatakse võrratuse lahendiks.Kaht võrratust nimetatakse samaväärseteks, kui nende võrratuste lahendite hulgad on võrdsed.

Olgu T1, T2 ja T termid, st arvud või arvudest ja tähtedest koosnevad matemaatilised avaldised,milledel on kindel väärtus nendes esinevate tähtede avaldamisel arvudega. Võrratustega võimeteostada järgmisi teisendusi:

1. T1 < T2 ⇒ T1 + T < T2 + T ;

2. T1 < T2 ⇔ T1T < T2T , kui T > 0;T1 < T2 ⇔ T1T > T2T , kui T < 0;

3. 0 < T1 < T2 ⇔ 1

T1>

1

T2;

4. T1 < T2 ja T3 < T4 ⇒ T1 + T3 < T2 + T4;T1 < T2 ja T3 > T4 ⇒ T1 − T3 < T2 − T4;

5. T1 < T2 ja T3 < T4 ⇒ T1T3 < T2T4, kui T3, T4 > 0;

6. T1 < T2 ⇔ −T1 > −T2;

7. 0 < T1 < T2 ⇒ T n1 < T n

2 , kui n ∈ N;T1 < T2 < 0 ⇒ T n

1 > T n2 , kui n on paarisarv;

T1 < T2 < 0 ⇒ T n1 < T n

2 , kui n on paaritu arv;

8. T1 < T2 ⇔ m√

T1 <m√

T2, kui m on paaritu arv;

0 < T1 < T2 ⇔ m√

T1 <m√

T2, kui n on paarisarv;

9. 0 < T1 < T2 ⇔ loga T1 < loga T2, kui a > 1;0 < T1 < T2 ⇔ loga T1 > loga T2, kui 0 < a < 1;

10. T1 < T2 ⇔ aT1 < aT2 , kui a > 1;T1 < T2 ⇔ aT1 > aT2 , kui 0 < a < 1.

Nende teisenduste rakendamisel võib muutuda võrratuse määramispiirkond ja siis ei pruugi läh-tevõrratus teisendatud võrratusega enam samaväärne olla. Näiteks võrratus

x+√x− 1 < 2 +

√x− 1

on küll samaväärne temast teisenduse 1 abil saadud võrratusega x +√x− 1 −

√x− 1 < 2,

kuid viimasest peale koondamist saadud võrratuse x < 2 määramispiirkond X1 = R on esialgsevõrratuse määramispiirkonnaga X = {x ∈ R | x ≥ 1} võrreldes laienenud ja need võrratused eiole samaväärsed.

Lineaar-, ruut- ja kõrgma astme võrratused. Murdvõrratused. Intervallmeetod

1. Lahenda võrratus

24


1)x− 2

4< 0;

2)−2

3x+ 6> 0;

3) −x > x;

4)1

−x> 0;

5) −2x < 0;

6) 4x2 < 0;

7) −x2 > 5;

8) x2 ≤ 0;

9) 0 · x > x3.


1)3 + x

−2+

4− x

−4< 0;

2) −4(x− 1) < 1− (2− 3x);3) x− 3 > −2 + x;4) x− 7 ≤ 7− x;

5) (4x+ 9)2 ≤ 0;

6)x− 2

2+

2x− 1

3>

7x

6− 1

1

3;

7) 2(x+ 1)2 − (x− 4)2 > (x− 3)2 + 27x.

3. Lahenda võrratuste süsteem

1)

{

x < 3

3x < −15

2)

{

x ≤ 1

2x ≥ 2

3)

{

x > 5

10x > −30

4)

x

3> 1

−x

4< 2

5)

{

x < −x

x > 0

6)

{

−x ≤ x

x ≤ 0

7)

{

5x− 1 > 2x− 9− x

6x+ 11 < 6(x+ 1)

8)

{

x+ 4 < 2x

1− x > −2

9)

{

(x− 1)2 > 0

(2x− 3)2 ≤ 0

4. Lahenda ahelvõrratus

1) −1 < 2x+ 5 < 2;

2) −1 < 2x+ 5 < 1;

3) −7 ≤ 3x− 5

2≤ −4;

4) −7 ≤ 3x− 5

2≤ 7;

5) 4 ≤ 5− 3x

2≤ 7.

5. 1) Millal avaneb funktsiooni y = ax2 + bx+ c graafik „ülespoole”, millal „allapoole”?

2) Millal lõikab ruutfunktsiooni graafik x-telge kahes erinevas punktis?

3) Millal on ruutfunktsiooni graafikul ja x-teljel vaid üks ühine punkt?

4) Millal pole ruutfunktsiooni graafikul ja x-teljel ühiseid punkte?

6. Lahenda võrratus intervallmeetodiga

1) (x+ 3)4(x− 2)3(2− 3x)3(x+ 4)5 < 0;

2) x2(x+ 2)(x− 1)3(x2 + 4) ≤ 0;

3) x4(x2 − 1)3(x4 + 16) > 0;

4)x− 1

(3− x)(x2 − 9)≥ 0;

5)4√x+ 2 · (5x− 3)

(x+ 1) ·√1− x

≤ 0.


1) x2 − 5x+ 5 < 0;

2) x2 − 4x+ 3 > 0;

3) x2 + x+ 1 < 0;

4) x2 + 1 > 0;

5) −x2 + 9 ≥ 0;

6) (x+ 3)(x − 7) > x− 7;

7) x2 − 6x > 0;

8) x2 − 4 < 0;

9) x(x+ 1) > x.

25


8. Lahenda võrratus intervallmeetodiga

1) (x+ 2)(2x − 6)(x+ 7) > 0;

2) (3x− 1)(4 − x)(2x + 3)2 < 0;

3) (x+ 1)(9 − x2)(x2 + 3)(x− 3)2 > 0;

4) (x+ 1)(x2 − 3x+ 8) < 0;

5) (x− 1)(x2 − 1)(x3 − 1)(x4 − 1) ≤ 0;

6)(2− x)(x+ 5)

x+ 3> 0;

7)(x+ 1)(x+ 2)(x− 3)

(2x− 1)(x+ 4)(3 − x)> 0;

8)(x+ 1)2(x3 − 1)

x− 3≥ 0;

9)3x− x2 − 24

4x2 + 9> 0;

10)x2 − x− 42

(x+ 2)2< 0;

11)x3 + x2 + x

25− 9x2≥ 0;

12)1

x+ 1+

2

x+ 3<

3

x+ 2;

13)2x2 − 4x− 6

4x− 11≥ 2;

14)x2 + 2

x2 − 1< −2;

15)1

−2 + 3x− x2>

1

−4 + 7x− 3x2;

16)(x2 − x− 2)(x − 5)2

(x− 2)(3 − x)≥ 0;

17)(x2 − 4x+ 3)2

(4x− x2)(x− 3)≥ 0;

18)x3 − 3x2 + 9x− 27

x3 − 27≥ 0;

19) x2 + 3x3 < x4 + 3x;

20) x6 − 3x5 + 3x3 + 3x2 − 4 < 0;

21) (x2 − 2x)(1 − 2x)(x+ 3)4 ≤ 0.


1)1

x≤ 1

3;

2)x

x+ 3> 1;

3)x

x− 1< 1;

4)1

x≥ x;

5)1

x2> x;

6) x+ 4 ≤ − 2

x+ 1;

7)3x− 7

2− 5x> −1.

10. Lahenda võrratuste süsteem

1)

1

x− 2− x

2> 0

x− 1

x+ 1< 2

2)

x2 + 2x+ 3 > 0

x2 − 4

x2 − 1> 0

3)

{

(2x+ 3)(2x + 1)(x− 1) < 0

(x+ 5)(x+ 1)(1 − 2x)(x− 3) ≥ 0

11. Leia funktsiooni f(x) =

√

3x− 6

x+ 2+ 4√

(x4 − 5x3 + 6x2)(1− x2) määramispiirkond.


1) (ex + 2)(x − 1)3√x ≥ 0;

2) (x+ 2)(x − 1)3 ≥ x+ 2;

3) (x+ 2)(x− 1)2 ≥ x+ 2;

4)

√x+ 1(5x− 3)

x+ 1≥ 0.

13. Ehitatava 100 m pikkuse raudteetammi lõige peab kujutama võrdhaarset trapetsit, millesuurem alus on 5 m. Kaldenurk peab olema 45◦. Millise raudteetammi kõrguse korral oleksmullatööde maht suurem kui 400 m3 kuid ei ületaks 500 m3?

14. Mitu täisarvulist lahendit on võrratusel x2−8x+12 ≤ 0? Süsteemil

{

5x− 4− x2 ≥ 0

x2 − 8x+ 12 < 0?

26


Võrratuste tõestamine∗

Tõesta järgmised võrratused, otsusta, millal kehtib võrdus.1

1) x2 + y2 ≥ 2xy

2) x+ y ≥ 2√xy, kui x ≥ 0, y ≥ 0

3) x2 − 2xy + 4y2 ≥ 0

4) a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc

5) −1

2≤ ab+ bc+ ca ≤ 1, kui a2 + b2 + c2 = 1

6) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xz + 2yz ≥ 0

7)√

(a+ c)(b + d) ≥√ab+

√cd, kui a, b, c, d ≥ 0

8) x1x2 + x2x3 + . . .+ x2003x2004 + x2004x1 ≤ x21 + x22 + . . . + x22004

9) a4 + 1 ≥ 2a(a2 − a+ 1)

10) (a+ b)(b+ c)(c + a) ≥ 8abc, kui a, b, c ≥ 0

11) a2 + b2 + 1 ≥ ab+ a+ b

12)a2 + a+ 2√a2 + a+ 1

≥ 2

13)a2 + 3c2 + b2 + 1

2c≥ a+ b+ 1, kui c > 0

14) a4 + b4 ≥ 2ab3, kui a ≥ b ≥ 0

15)(

a+ b+ c

3

)2

≥ ab+ ac+ bc

3

16)n

√

2 +√3 +

n

√

2−√3 > 2, n ∈ N

17) m6 −m5 +m4 +m2 −m+ 1 > 0

18) k[n− (k − 1)] ≥ n, kui 1 ≤ k ≤ n

19) a4 + b4 ≥ a3b+ ab3

20) x4 + y4 + 32 ≥ 16xy

21)a

b+

b

a≥ 2, kui a > 0, b > 0

22)a3 − c3

3≥ abc

(

a− b

c+

b− c

a

)

, kui a ≥ b ≥ c > 0

Viited

[WZ] J. Willemson, I. Zolk, Võrratused, Tartu 2003.

1http://www.cs.ut.ee/~zolki/math/suursess05_zolki.pdf

27


Absoluutväärtust sisaldavad võrratused

1. Missuguste parameetri t reaalarvuliste väärtuste korral on võrrandi t(x − 3) + 3 = t2xlahend suurem kahest?


1) |5x− 3| ≤ 7;

2) |2x− 3| > 4;

3) |4x− 5| ≤ 0;

4) |2x− 3| > −4;

5) |2x− 3| > 0;

6) |x− 2| ≥ 3− x;

7) |x− 5| < |x| − 1;

8) |x+ 2| − 2|x− 1| < 4;

9) |x+ 1| − |x− 1|+ |x− 3| < 4;

10) |2− x|+ |7− 2x| ≤ 5;

11) |2− |x||+ |7− 2|x|| ≤ 5;

12) 2x2 − 5|x| + 3 ≥ 0;

13) x2 + x+ |x|+ 1 ≤ 0;

14) |x2 + x+ 10| ≤ 3x2 + 7x+ 2;

15) x2 − |4x+ 5| > x− 1;

16) |5x+ 3| > x2 + 2x+ 3;

17) |x2 − 2x− 8| > 5;

18) |2x+ 5|+ x · |x− 3| > 2;

19)

∣

∣

∣

∣

5x+ 2

3− 2x

∣

∣

∣

∣

> 3;

20) |x− 6| > |5x− (x2 + 9)|.


1) ||x− 1|+ x| < 3;

2) |2x− |3− x| − 2| ≤ 4;

3)

∣

∣

∣

∣

x2 − 2x+ 1

x2 + 4x+ 4

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

x− 1

x+ 2

∣

∣

∣

∣

− 12 ≥ 0;

4)√

(x− 1)2 +√

(x− 2)2 +√

(x− 3)2 ≥ 2.

4. Punkt B asetseb lõigul AC, |AB| = 2 ja |BC| = 1. Näidake sirgel AB kõik punktid M ,mille korral |AM |+ |BM | = |CM |. Märkus 1: | · | tähistab lõigu pikkust.

Juurvõrratused

Naturaalarvulise k korral

2k+1√

f(x) < g(x) ⇔ f(x) <(

g(x))2k+1

2k√

f(x) < g(x) ⇔

f(x) ≥ 0

g(x) > 0

f(x) <(

g(x))2k

2k√

f(x) > g(x) ⇔{

g(x) < 0

f(x) ≥ 0∨

g(x) ≥ 0

f(x) ≥ 0

f(x) >(

g(x))2k

28



1) 6√2x− 3 < −8;

2) (x+ 1)√x− 1 ≥ 0;

3) 3√x+ 2 < −2;

4)√

x2 + 9 > 4− x;

5)√

(x+ 2)(5 − x) >√6;

6)√2x+ 5 < 3;

7)√2− 3x > 5;

8)

√

x+ 3

4− x≥ 2;

9)√2x+ 10 < 3x− 5;

10) 3x− 5 ≤√2x+ 10;

11) 8 ≤√

9− 24x+ 16x2;

12)

√5x+ 11

1− 3x≤ 0;

13) (x− 2)√x < x

√x− 2;

14) (3− x)√2x+ 17 > 0;

15) 3(x+ 1) ≤√

(x− 3)(x+ 1);

16)√x+ 3−

√x− 4 ≥ 2;

17) 3√x+ 5 + 2 > 3

√x− 3;

18)

√

2x− 1

x+ 2−√

x+ 2

2x− 1≥ 7

12.

2. Raamatute ja vihikute ostmisel maksti raamatute eest $10.56, aga vihikute eest $0.56.Raamatuid osteti 6 võrra rohkem kui vihikuid. Kui palju osteti raamatuid, kui üks raamaton vihkust vähemalt $1 võrra kallim? (Märkus: puudub seos juurvõrratustega.)

3. Lahenda võrratus√

x+ 2√x− 1 +

√

x− 2√x− 1 >

x

2.


√

2(

x−√

x2 − a2)

>x+ a

5√x− a

muutuja x suhtes.

29


Eksponentvõrratused

Eeldame, et eksponentfunktsiooni alus a rahuldab tingimusi 0 < a 6= 1. Eksponentfunktsioony = ax on kasvav, kui a > 1 ning kahanev, kui 0 < a < 1.

Kui a > 1, siis af(x) < ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

Kui 0 < a < 1, siis af(x) < ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

1. Mida võib öelda arvude m ja n kohta, kui

1) 5m < 5n; 2)(

2

5

)m

<

(

2

5

)n

; 3) 10m > 10n; 4) 0,5m ≥ 0,5n; 5)(

3

2

)m

>

(

3

2

)n

?

2. Mida võib öelda arvu a kohta, kui

1) a23 < a

32 ; 2) a3 > a4; 3) a

34 > a

54 ; 4) a3 < a−2?

3. Lahenda võrratused

1) 2x+5 > 2−x;

2) 3x−4 < 9x+2;

3)(

1

2

)x

<

(

1

2

)4x−6

;

4) 0,25x+1 ≤ 4;

5)(

1

9

)−2x+5

>√3;

6)(

1

3

)x2−2x

>

(

1

9

)16+x

;

7) 36x−3

x <3√272x−1;

8)(

1

2

)2x2−5x

>1

8.


1) x23x − 3x+1 ≤ 0;

2) 22−x − 3 · x · 2−x − 2−xx2 ≤ 0;

3) 9x + 12 < 3x+1;

4) 22x − 12 < 2x;

5) 4x−1 − 2x+3 + 28 < 0;

6) 3x+1 + 2 · 32−x ≤ 29;

7) 10x − 5x−1 · 2x−2 > 950;

8) 3x · 23x − 3x+1 · 23x−1 > −288.


1) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2;

2) 3 · 16x + 2 · 81x ≥ 5 · 36x;

3)1

3x + 5<

1

3x+1 − 1;

4) 1 < 3|x2−x| < 9.

30


Logaritmvõrratused

Eeldame, et logaritmfunktsiooni alus a rahuldab tingimusi 0 < a 6= 1. Logaritmfunktsioon y =loga x on kasvav, kui a > 1 ning kahanev, kui 0 < a < 1.

Kui a > 1, siis loga f(x) < loga g(x) ⇔

f(x) > 0,

g(x) > 0,

f(x) < g(x).

Kui 0 < a < 1, siis loga f(x) < loga g(x) ⇔

f(x) > 0,

g(x) > 0,

f(x) > g(x).

1. Mida võib öelda arvude m ja n kohta, kui

1) log5 m < log5 n; 2) log0,5 m < log0,5 n; 3) lnm > lnn; 4) log 89m > log 8

9n;

5) log 32(2m)−1 > log 2

3n?

2. Mida võib öelda arvu a kohta, kui

1) loga2

3< loga

3

2; 2) loga 3 > loga 4; 3) log3 a > log4 a; 4) log 3

4a > log 5

4a?


1) log4(5x− 3) > 0;

2) log0,5(3− x) ≥ 0;

3) log2(x+ 5)− log2(−x) > 0;

4) log3(3x− 4) < 9;

5) log 12x < log 1

2(4x− 6);

6) 1 ≤ log0,25(x+ 1);

7) log 12(5 + 4x− x2) > −3;

8) log√3(x− 1) ≥ 2;

9) log 13x > log3 x;

10) log2x

2< log 1

4(x2 − 2x+ 1).


1) 2 log8(x− 2)− log8(x− 3) >2

3;

2)1

2+ log9 x− log3(5x) > log 1

3(x+ 3);

3) log 15(2x+ 5) < log0,2(16 − x2)− 1;

4) log1,2(x+2)+log1,2(x−2) < − log0,8(3) 5.


1) log3−2x1

3≥ 1;

2) logx(x− 1) ≥ 2;

3) x ln2x− 6

2x− 1≥ 0;

4) x2 lnx− 2x ln(2x) < 0;

5)(x− 0,5)(3 − x)

log2 |x− 1| > 0;

6) log20,5 x+ log0,5 x ≤ 2;

7) log5 x+ logxx

3>

(2− log3 x) log5 x

log3 x;

8) log4(3x − 1) · log 1

4

3x − 1

16≤ 3

4.

31


Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine

Geomeetrias defineeritakse nurka kui kujundit, mille moodustavad kaks ühest punktist väljuvatkiirt. Trigonomeetrias vaadeldakse nurka kui pöörleva kiire poolt läbitud teed. Nurga suuruseksloetakse pööre, mille kiir teeb oma lähteasendi suhtes. Kui kiir pöörleb kellaosuti liikumisele vas-tupidises suunas, siis loetakse tekkinud nurgad positiivseteks, kui pöörlemine toimub kellaosutiliikumise suunas, siis negatiivseteks.

Kraadimõõdus 1◦ on 1/360 osa täispöördest, 1′ (minut) on 1/60 osa kraadist, 1′′ (sekund) on1/3600 osa kraadist. Radiaanmõõdus 1 rad on nurk, mis toetub raadiuse pikkusele kaarele,360◦ = 2π rad, 180◦ = π rad, 1 rad ≈ 57◦17′45′′. Nurga radiaanmõõtu kasutatakse enamastiilma ühiku nimetuseta, st α = 3 rad asemel kirjutatakse α = 3.

Võtame koordinaattasandi alguspunkti ümber vabalt pöörleva kohavektori−→OA, mille lõpp-punkti

koordinaadid on x ja y ning moodul on r. Vaatleme nurka α, mis tekib x-telje positiivse suunaja kohavektori vahel. Nurga α siinuseks nimetatakse kohavektori lõpp-punkti ordinaadi ja sellevektori mooduli suhet: sinα =

y

r. Nurga α koosiinuseks nimetatakse kohavektori lõpp-punkti

abstsissi ja selle vektori mooduli suhet: cosα =x

r. Nurga α tangensiks nimetatakse kohavek-

tori lõpp-punkti ordinaadi ja abstsissi suhet: tanα =y

x. Nurga α kootangensiks nimetatakse

kohavektori lõpp-punkti abstsissi ja ordinaadi suhet: cotα =x

y.

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtusi:

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

sinα 01

2

√2

2

√3

21 0 −1 0

cosα 1

√3

2

√2

2

1

20 −1 0 1

tanα 0

√3

31

√3 puudub 0 puudub 0

Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised. Funktsioonide sinα ja cosα väikseim posi-tiivne periood on 2π, funktsioonide tanα ja cotα väikseim positiivne periood on π. Seega sinα =sin(α+ k · 360◦), cosα = cos(α+ k · 360◦), tanα = tan(α+ k · 180◦) ja cotα = cot(α+ k · 180◦),kus k ∈ Z.

Ülesanded

1. Tõesta järgmised seosed

[1] sin2 α+ cos2 α = 1;

[2]sinα

cosα= tanα;

[3] 1 + tan2 α =1

cos2 α(jaga [1] pooled avaldisega cos2 α);

[4] cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β (kasuta vektorite skalaarkorrutist);

[5] cos(α+ β) = cosα cos β − sinα sin β (kasuta [4], kus β rollis on −β);

[6] sin(α+β) = sinα cos β+cosα sinβ (kasuta [4] või [5], avaldades sin(α+β) koosinusekaudu sin γ = cos(90◦ − γ));

32


[7] sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sin β (kasuta [6]);

[8] tan(α+ β) =tanα+ tan β

1− tanα tan β(kasuta [5] ja [6]);

[9] tan(α− β) =tanα− tan β

1 + tanα tan β(kasuta [8]);

[10] sin 2α = 2 sinα cosα (kasuta [6]);

[11] cos 2α = cos2 α− sin2 α = 2cos2 α− 1 = 1− 2 sin2 α (kasuta [5]);

[12] tan 2α =2 tanα

1− tan2 α(kasuta [8]);

[13] sin2α

2=

1− cosα

2(kasuta [11]);

[14] cos2α

2=

1 + cosα

2(kasuta [11]);

[15] tanα

2=

sinα

1 + cosα=

1− cosα

sinα(kasuta [10] ja [11], kus α rollis on

α

2);

[16] sinx + sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y

2(esita x = α + β, y = α − β ning kasuta [6] ja

[7]);

[17] sinx− sin y = 2 sinx− y

2cos

x+ y

2(kasuta [16]);

[18] cos x+ cos y = 2cosx+ y

2cos

x− y

2(esita x = α + β, y = α − β ning kasuta [4] ja

[5]);

[19] cos x− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y

2(esita x = α+ β, y = α− β ning kasuta [4] ja

[5]);

[20] sinα cos β =1

2(sin(α+ β) + sin(α− β)) (kasuta [16]);

[21] cosα cos β =1

2(cos(α+ β) + cos(α− β)) (kasuta [18]);

[22] sinα sin β =1

2(cos(α− β)− cos(α+ β)) (kasuta [19]).

2. Teisenda radiaanideks täpselt ja arvutil arvutades 1) 144◦; 2) 99◦; 3) 504◦.

3. Teisenda kraadimõõtu täpselt ja arvutil arvutades 1)7π

4; 2) 2; 3)

3π

5.

4. Teisenda täiskraadideks 1) 58◦22′12′′; 2) 26◦43′3′′.

5. Leia antud nurkade täiendusnurkade suurused radiaanmõõdus 1)π

12; 2)

7π

20; 3) 0,6.

6. Leia antud nurkade kõrvunurkade suurused radiaanmõõdus 1)2

5π; 2)

7

9π; 3)

π

8.

7. Leia ülejäänud tigonomeetriliste funktsioonide väärtused, kui

1) sinx = − 5

13, π < x <

3π

2;

2) cos x = −24

25, π < x <

3π

2;

3) tan x =3

4, 0 < x <

π

2;

4) cos x = 0,6,3π

2< x < 2π.

33


8. Arvuta avaldise täpne väärtus

1) sin 390◦ + cos 240◦ − tan(−540◦);

2) cos 300◦ sin 210◦ − tan 135◦ tan 225◦ + cos 150◦ sin 120◦;

3) sin 750◦ sin 150◦ + cos 930◦ cos 870◦ + tan 600◦ tan 780◦;

4) tan 135◦ sin(−210◦) + cot(−135◦)− 0,5 tan(−180◦).


1) 16 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x,

kui x =π

64;

2) sin 140◦ + sin 40◦;

3)sin(45◦ + α)− sin(45◦ − α)

sin(45◦ + α) + sin(45◦ − α);

4)cos 2α

1− sin 2α− 1 + tanα

1− tanα;

5)cos x− 1

(

cos2 x4 − sin2 x

4

)2 ;

6)1 + sin 2x− cos 2x

1 + sin 2x+ cos 2x;

7)sin2 α

sinα− cosα− sinα+ cosα

tan2 α− 1;

8) sin2 β + cos4 β − sin4 β;

9)cosα tanα

sin2 α− cotα cosα;

10)2 cos2 α− 1

1− 2 sin2 α− cos2 α− 1

1− sin2 α.

10. Tõesta samasus

1) sin 3x = 3 sin x− 4 sin3 x;

2) cos 3x = 4cos3 x− 3 cos x;

3)2 sinα cosα− cosα

1− cos2 α− sinα+ sin2 α= cosα;

4) cot2 α− cot2 β =cos2 α− cos2 β

sin2 α sin2 β;

5)tanα

tanα+ cotα= sin2 α;

6)cos3 α− sin3 α

1 + sinα cosα= cosα− sinα;

7)2 cos2 x− 1

sinx cos x=

1− tan2 x

tan x;

8)(

1− 1− sinα

1 + sinα

)(

1 +1 + sinα

1− sinα

)

=4 sinα

cos2 α;

9) 2(sin6 x+ cos6 x) + 1 = 3(sin4 x+ cos4 x);

10)tan2 α

1 + tan2 α· 1 + cot2 α

cot2 α= tan2 α;

11) (1− cotα)2 + (1 + cotα)2 =2

sinα;

12) (tanα+ cotα)2 − (tanα− cotα)2 = 4;

13) sin6 x+ cos6 x = 1− 3 sin2 x cos2 x;

14) tan2 α− sin2 α = tan2 α sin2 α.

Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid)

Funktsiooni y = sinx, kus −π

2≤ x ≤ π

2, pöördfunktsiooniks y = arcsinx (arkussiinus) nime-

tatakse vähima absoluutväärtusega nurka, mille siinus võrdub arvuga x. Definitsiooni kohaseltsin(arcsin x) = x, kuid üldiselt arcsin(sinx) 6= x.

Funktsiooni y = cos x, kus 0 ≤ x ≤ π, pöördfunktsiooniks y = arccos x (arkuskoosinus) nimeta-takse vähimat mittenegatiivset nurka, mille koosiinus võrdub arvuga x.

Funktsiooni y = tan x, kus −π

2< x <

π

2, pöördfunktsiooniks y = arctan x (arkustangens)

nimetatakse vähima absoluutväärtusega nurka, mille tangens võrdub arvuga x.

Funktsiooni y = cot x, kus 0 < x < π, pöördfunktsiooniks y = arccot x (arkuskootangens)nimetatakse vähimat positiivset nurka, mille kootangens võrdub arvuga x.

34


1. Arvuta

1) arcsin

√3

2;

2) arccos

(

−√2

2

)

;

3) sin(arcsin 0,8);

4) cos(arccos(−0,25));

5) cos(arctan√3);

6) tan

(

arccos

(

−√3

2

))

;

7) arctan(tan 1,8π);

8) arcsin

(

− sin7π

3

)

;

9) arccos

(

− cos3π

4

)

;

10) arcsin

(

sin33π

7

)

+ arccos

(

cos46π

7

)

;

11) cos

(

2 arctan1

4+ arccos

3

5

)

.


1) cos(arcsinx);

2) sin(arctan x);

3) cos(arctan x);

4) tan(arcsin x)

5) sin(2 arcsin x);

6) tan(2 arctan x).

3. Leia funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.1) y = arcsin(2 + x); 2) y = arccos(2x− x2); 3) y = arctan(ln(x− 1)).

4. Konstrueeri funktsiooni y = arccos(cos x) graafik.

5. Tõesta, et arccos 0,5 + arccos

(

−1

7

)

= arccos

(

−13

14

)

.

35


Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud, määramis- ja muutumispiirkonnad

-1

1

-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

y = sin x

-1

1

-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

y = cos x

-2

-1

1

2

-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

y = tan x

-2

-1

1

2

-π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π

y = cot x

36


Funktsioon Määramispiirkond Muutumispiirkondy = sinx x ∈ R y ∈ [−1, 1]

y = cos x x ∈ R y ∈ [−1, 1]

y = tanx x ∈ R \{ π

2+ kπ

∣

∣

∣k ∈ Z

}

y ∈ R

y = cot x x ∈ R \ {kπ | k ∈ Z} y ∈ R

-π/2

π/2

-1 1

y = arcsin x

-π/2

π/2

-2 -1 1 2

y = arctan x

π/2

π

-1 1

y = arccos x

π/2

π

-2 -1 1 2

y = arccot x

Funktsioon Määramispiirkond Muutumispiirkond

y = arcsinx x ∈ [−1, 1] y ∈[

−π

2,π

2

]

y = arccos x x ∈ [−1, 1] y ∈ [0, π]

y = arctan x x ∈ R y ∈(

−π

2,π

2

)

y = arccot x x ∈ R y ∈ (0, π)

37


Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb trigonomeetrilisefunktsiooni argumendis.

Trigonomeetrilised põhivõrrandid ning nende lahendivalemid:

sinx = a x1 = arcsin a+ 2kπ, x2 = (π − arcsin a) + 2kπ, k ∈ Z,

ehk x = (−1)n arcsin a+ nπ, n ∈ Z

cos x = a x1 = arccos a+ 2nπ, x2 = − arccos a+ 2nπ, n ∈ Z,

ehk x = ± arccos a+ 2nπ, n ∈ Z

tan x = a x = arctan a+ nπ, n ∈ Z

Näide 1. Lahenda võrrand sinx = 0,5.a) Lahendus, mis tugineb siinusfunktsiooni omadustele. Siinus on positiivne I ja II veerandinurkade korral, ülejäänud lahendid saame kätte perioodi 2π lisamisega. Seega lahenditeks on

x1 =π

6+n · 2π = 30◦ +n · 360◦ ja x2 =

(

π − π

6

)

+n · 2π =5π

6+n · 2π = 150◦ +n · 360◦, n ∈ Z.

b) Trigonomeetrilise põhivõrrandi lahendivalemit kasutades x = (−1)n arcsin 0,5+nπ = (−1)nπ

6+

nπ, n ∈ Z.

Näide 2. Lahenda võrrand sin 2x = −√3

2.

Kuna siinus on paaritu funktsioon, võime võrrandi esitada kujul sin(−2x) =

√3

2. Kasutame

asendust −2x = y. Põhivõrrandi sin y =

√3

2lahendid on y1 = 60◦+n ·360◦, y2 = 120◦+n ·360◦,

n ∈ Z. Arvestades asendust −2x = y, saame −2x = 60◦ + n · 360◦ või −2x = 120◦ + n · 360◦,millest x1 = −30◦ − n · 360◦, x2 = −60◦ − n · 360◦, n ∈ Z. Vastuse võime kirjutada ka kujulx1 = −30◦ + n · 360◦, x2 = −60◦ + n · 360◦, n ∈ Z

Ülesanne 1. Lahenda järgmised võrrandid

1) cos 2x =

√3

2; 2) cos 4x = −1

2; 3) 2 sin(3x− 15◦)−

√3 = 0.

Näide 3. Lahenda võrrand 2 cos2 x+ 3cos x− 2 = 0.Asenduse y = cos x abil saame võrrandi taandada algebralise võrrandi lahendamisele. Ruutvõr-

randi 2y2 + 3y − 2 = 0 lahenditeks on y1 = −2 ja y2 =1

2. Vaatleme võrrandeid cos x = −2 ja

cosx =1

2. Esimesel võrrandil lahendid puuduvad, sest −2 ≤ cosα ≤ 1. Teise võrrandi lahendiks

on x = ±60◦ + n · 360◦, n ∈ Z.


1) 12 sin2 4x− 8 sin 4x+ 1 = 0;

2) 5 cos3 x+ 21 cos2 x− 20 cos x = 0;

3) tan3 x = 3 tan x.

38


Näide 4. Lahenda võrrand sin 3x− sinx = sinx.a) Teisendame võrduse vasakul pool oleva avaldise korrutiseks

sin 3x− sinx = 2 sin3x− x

2cos

3x+ x

2= 2 sinx cos 2x.

Lahendame esialgse võrrandiga samaväärse võrrandi 2 cos 2x sinx = sinx, millest tegurdadessaame sinx(cos 2x− 1) = 0. Seega kas sinx = 0 või cos 2x− 1 = 0. Võrrandi sinx = 0 lahendiks

on x = nπ, n ∈ Z. Võrrandi cos 2x =1

2lahendamisel saame 2x = ±π

3+2nπ, millest x = ±π

6+nπ,

n ∈ Z. Seega võrrandil on kolm seeriat lahendeid x1 = kπ, x2 =π

6+ nπ, x3 = −π

6+ nπ, n ∈ Z.

b) Kasutame kolmekordse nurga siinuse valemit sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x, mille abil teisenebalgne võrrand kujule 4 sin3 x = sinx. Tegurdades saame, et sinx = 0 või 4 sin2 x − 1 = 0.

Esimese võrrandi lahendiks on x = nπ, n ∈ Z. Teine võrrand teiseneb kujule sinx = ±1

2, millest

x = (−1)nπ

6+nπ, n ∈ Z, või x = −(−1)n

π

6+nπ, n ∈ Z. Seega teise võrrandi lahendi saab esitada

kujul x = ±π

6+ nπ, n ∈ Z. Algse võrrandi lahendiks on x1 = kπ, x2 =

π

6+ nπ, x3 = −π

6+ nπ,

n ∈ Z.


1) sinx cos x = −0,5; 2) sin2 x− cos2 x = 0.

Ülesanne 4. Leia funktsiooni y =√3 + tan

(

2x+π

6

)

nullkohad.

Näide 5. Lahenda võrrand sin 3x = cos x kasutades nn võrdlemise meetodit(?).Viime võrrandi kujule, kus mõlemal pool on sama funktsioon. Selleks kasutame täiendusnurgavalemeid sin(90◦ − α) = cosα, cos(90◦ − α) = sinα. Esialgne võrrand teiseneb kujule

sin 3x = sin(90◦ − x).

Kunasin y = sin z ⇔ z = y + n · 360◦ ∨ z = (180◦ − y) + n · 360◦, n ∈ Z,

siis võrrandi lahendi x korral 3x = (90◦ − x) + n · 360◦ või 3x = 180◦ − (90◦ − x) + n · 360◦,millest x1 = 22,5◦ + n · 90◦, x2 = 45◦ + n · 180◦, n ∈ Z.

Ülesanne 5. Lahenda järgmised võrrandid nn võrdlemise meetodit kasutades

1) tan 3x = tanx; 2) cos 3x = cos 2x;3) sin 2x = − sin 4x (näpunäide: siinus on paaritu funktsioon).

39


Kombinatoorika

Liitmisreegel. Kui mingit objekti A saab valida m viisil ja teist objekti B valida n viisil, siisvaliku „kas A või B” saab teha m+ n viisil.

Näide. Kui lapsel on valida 3 erineva auto ja 2 erineva nuku seast üks mänguasi, siis valikuvõi-malusi on 3 + 2 = 5.

Korrutamisreegel. Kui objekti A saab valida m viisil ja kui pärast seda valikut saab objektiB valida n viisil, siis on antud järjestusega paari (A,B) võimalik moodustada m · n viisil.

Näide. Kui lapsel tuleb valida 3 erineva auto hulgast üks auto ja 2 erineva nuku seast üks nukk,siis valikuvõimalusi on 3 · 2 = 6.

1. Puuviljavaagnal on 4 õuna, 5 pirni ja 8 ploomi. Mitu võimalust on ühe puuvilja valikuks?

2. Mitu erinevat kolmekäigulist lõunat on võimalik valida, kui menüüs on kolm suppi, nelipraadi ning kaks magustoitu?

3. Seitse poissi seisavad reas. Mitmel erineval moel nad seda teha saavad kui 1) üks kindelpoiss seisab alati rea lõpus? 2) üks kindel poiss seisab alati kas rea alguses või lõpus?3) kaks kindlat poissi on alati kõrvuti?

4. Mitmel erineval viisil võivad 12 õpilast istuda 12 erinevale kohale tööõpetuse klassis?

5. Mitmel erineval viisil võivad 7 tüdrukut ja 5 poissi istuda tööõpetuse tunnis 12 erinevalekohale, kui ühendis erinevuse tunnusena vaadeldakse vaid tüdruk-poiss paiknevust?

6. Kui palju kolmekohalisi arve saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 5, 8, kui iga number võibesineda arvus vaid üks kord?

7. Kui palju kolmekohalisi arve saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 5, 8, kui iga number võibesineda arvus suvaline arv kordi?

8. Mitu neljakohalist arvu saab moodustada numbritest 0, 1, 2, 3, 4, 5 (numbrid võivadkorduda)?

9. Mitmel viisil võib 28 doominokivi seast valida kaks kivi nii, et ühe neist võiks panna teisekõrvale (so nii, et mingi silmade arv esineks mõlemal kivil)?

10. Oletame, et kosmoselaeva meeskonnas peab olema kolm inimest: komandör, insener jaarst. komandöri kohale on neli kandidaati a1, a2, a3, a4, inseneri kohale kandidaadid b1,b2, b3 ja arsti kohale kandidaadid c1, c2, c3. Kontrollimine näitas, et komandör a1 sobibpsühholoogiliselt inseneridega b1, b3 ning arstidega c2 ja c3, komandör a2 inseneridega b1 jab2 ning kõigi arstidega, komandör a3 inseneridega b1 ja b2 ning arstidega c1 ja c3, komandöra4 – kõigi inseneridega ja arstiga c2. Peale selle ei sobi insener b1 psühholoogiliselt arstiga c3,insener b2 arstiga c1 ja insener b3 arstiga c2. Mitmel viisil saab nendel tingimustel koostadakosmoselaeva meeskonna? (Näpunäide: kujuta meeskonna koostamise protsessi puuna.)

11. Mitmel viisil võib malelauale paigutada 8 vankrit nii, et nad ei saaks üksteist lüüa?

12. Mitu sõnaraamatut tuleb välja anda, et oleks võimalik tõlkida inglise, prantsuse, hispaania,saksa ja vene keelest ükskõik millisesse neist keeltest?

40


Olgu antud mingi n-elemendiline hulk. Selle hulga kõikidest elementidest moodustatud järjestusinimetatakse permutatsioonideks. Permutatsioonide arvu n elemendist leiame järgmiselt

Pn = n · (n− 1) · (n − 2) · . . . · 2 · 1 = n!.

Antud n-elemendilise hulga m-elemendilisi alamhulki nimetatakse kombinatsioonideks n ele-mendist m kaupa. Erinevalt permutatsioonidest pole kombinatsioonide puhul elementide jär-jekord oluline ning neid eristatakse üksteisest ainult koosseisu järgi. Kombinatsioonide arvu n

elemendist m kaupa tähistame sümboliga(

n

m

)

või Cmn . Kombinatsioonide arvu leidmiseks vaat-

leme n-elemendilise hulga m-elemendilisi alamhulki. Iga sellist alamhulka võib teatavasti järjes-tada m! viisil ning temast ülejäänud n−m elementi (n−m)! viisil. Seega on n-elemendilise hulgam-elemendiliste alamhulkade arv m!(n−m)! korda väiksem kui n-elemendilise hulga järjestustearv. Kokkuvõttes

(

n

m

)

=n!

m!(n−m)!.

Antud n-elemendilise hulga m-elemendilisi järjestatud alamhulki nimetatakse variatsioonideksn elemendist m kaupa. Variatsioonide arvu n elemendist m kaupa leiame järgmiselt. Esimeseelemendi valikuks on n võimalust, teise elemendi valikuks on n−1 võimalust jne, m-nda elemendivalikuks on n−m+1 võimalust. Korrutamisreegli põhjal on m-elemendilise järjestatud alamhulgavalikuks n · (n− 1) · . . . · (n−m+ 1) võimalust. Seega

V mn = n · (n− 1) · . . . · (n−m+ 1) =

n!

(n−m)!.

Tõesta võrdused:2

1.(

n

k

)

=

(

n

n− k

)

;

2.(

n

k

)

=

(

n− 1

k − 1

)

+

(

n− 1

k

)

;

3.(

n

2

)

+

(

n+ 1

2

)

= n2

4.(

a

b

)(

b

c

)

=

(

a

a− c

)(

a− c

b− c

)

, kui 0 < c ≤ b ≤ a;

5.(

n

0

)

+

(

n

1

)

+

(

n

2

)

+ · · · +(

n

n

)

= 2n;

6.(

n

0

)

−(

n

1

)

+

(

n

2

)

− · · · + (−1)n(

n

n

)

= 0;

7.(

n

0

)

−(

n

1

)

+

(

n

2

)

− · · · + (−1)k(

n

k

)

= (−1)k(

n− 1

k

)

;

8.(

n

0

)2

+

(

n

1

)2

+ · · ·+(

n

n

)2

=

(

2n

n

)

;

2http://math.ut.ee/~zolki/math/dm06vilj.pdf

41


13. Kolmest ujujast koosnev võistkond võtab osa ujumisvõistlustest, milles osaleb veel 12 uju-jat. Mitmel erineval viisil võivad jaotuda selle 3-liikmelise võistkonna liikmete kohad võist-lusel?

14. Tasandil on antud 10 punkti, millest ükski kolmik ei paikne ühel sirgel ja ükski kaksik poleparalleelsetel sirgetel. Läbi nende 10 punkti on tõmmatud sirged. Kui palju tekib sirgetelõikepunkte eeldusel, et sirgete lõikepunktide hulgast on välja arvatud antud 10 punkti jaläbi sirgete lõikepunktide läheb ainult kaks sirget?

15. Mitmel erineval viisil saab 3 ühesugust palli paigutada 2 kasti? 10 ühesugust palli 4 kasti?n ühesugust palli m kasti?

16. Raudteel on 25 jaama. Mitu erinevat piletit peab olema igas raudteejaamas?

17. Viis sõpra sõidavad matkale viiekohalise autoga. Mitmel erineval viisil võivad nad istudaautosse, kui kolm neist oskavad juhtida autot?

18. Kaks postiljoni peavad ära viima 10 kirja kümnel aadressil. Mitmel viisil võivad nad selletöö omavahel jaotada?

19. Kaheteistkümnele õpilasele anti kontrolltööde variandid A ja B. Mitmel viisil saab õpetajapaigutada õpilased kahte ritta nii, et kõrvuti-istuvatel õpilastel oleksid erinevad variandid,üksteise taga istuvatel õpilastel aga samad variandid?

20. Õpilane peab viiest ülesandest valima vähemalt kaks. Kui mitmel viisil on lahendatavadülesanded valitavad? Kui mitmel korral on lahendatud ülesanded 1 ja 2?

Kirjandust.N. Vilenkin, Kombinatoorika, Tallinn 1975.

42

Documents

Arvutamine ratsionaalarvudegakodu.ut.ee/~evelyl/elmat1/praktikumid.pdf · 2011. 9. 7. · Teised harilikud murrud esitati summana eelmiste kaudu, kusjuures summas ei tohtinud olla