ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du Marais 1000-Bruxelles

L’ARC-EN-CIEL

Projet présenté par les élèves de 5ème et 6ème générales et de 6ème technique tourisme pour le Printemps des Sciences à l’ULB dans le cadre de

l’OPERATION CHERCHEURS D’EAU 2004.

Parrain: Jean Drabbe, Professeur Emérite à l’Université Libre de BruxellesProfesseur: Chantal Randour-Gabriel

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INTRODUCTION

Qui n’a pas rêvé après une pluie d’été, de découvrir un trésor au pied de l’arc-en-ciel déployé comme l’écharpe d’une déesse, ou de passer sous l’arche afin d’en percer le mystère?

Ce rêve nous a entraînés dans un voyage à travers diverses disciplines.Une recherche en bibliothèque et sur internet nous a permis de découvrir divers aspects scientifiques, artistiques et philosophiques de l’Iris.Nous avons assisté à une présentation par Monsieur Eric Fierens, professeur à Gatti de Gamond, des divers mouvements artistiques depuis la Renaissance afin de mieux situer les peintres de l’arc-en-ciel.Chacun d’entre-nous a découvert un de ces artistes de manière plus approfondie.Nous avons visité l’experimentarium de l’ULB pour observer les phénomènes optiques.Monsieur John W.Turner, chercheur à l’ULB, nous a expliqué la physique de l’arc-en-ciel.Nous avons assisté à une table ronde mettant en présence les professeurs de cours philosophiques de Gatti sur le thème du Déluge et cherché les origines de ce cataclysme. Les élèves de l’option Tourisme ont parcouru Bruxelles à la découverte de l’iris, symbole de la ville et nom de la déesse qui incarnait le phénomène de l’arc dans la culture grecque.Ils ont réalisé une recherche sur les artistes bruxellois du XVIème siècle et l’architecture bruxelloise du début du XXème siècle.Certains élèves ont réalisé des diaporama.

Nous avons enfin surtout étudié les aspects mathématiques de l’arc grâce aux conseils scientifiques de Monsieur Jean Drabbe, professeur Emérite de l’ULB.Nous avons crée des simulations à l’aide du logiciel Cabri-Géomètre TM et des modèles pour expliquer nos travaux aux visiteurs du Printemps de Sciences.

Parc de Bruxelles, septembre 2004

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ACHERCKI HananeAFLAH HafsaBALKAR GurpreetBEN ABID MohammedBILGE BurçinBOJJALAB MohammedBRUNO AlexandraBUELENS VirginieCASTANO DianaCHATCHOUA MilieCHELLAI AdilCHERIF SabriCINAL SeldaCOSTERS JulieDE SCHUYTENEER NoraDIALLO AissatouDIANZEYI ArnauldDOBRA RexhepEL AZZOUTI HamzaEL BOUHLALI SofeyanEL MADYOUNI MotacimESSOH Laetitia

FARRAG MustaphaGURI LirimHAMANE EmilieHAMEL FatimaKASSAMBA OumouKONE AissataKUBULANA JordanLETTANY LaeticiaMERTENS Marie-laureMEULEMANS NicolasMILEMBA EmilieMWANZA CedricNASIM AsiaNDOYE FatouOBLIE AbuREGRAGUI SihamSABIR AscharSAROUT JamilaSOUICI AmineTASPINAR OzmanVANBELLE SidneyVUZANTOKO Patrick

Elèves ayant participé au projet:

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Madame Françoise Dupuis, Ministre de l’Enseignement supérieur, de l’Enseignement de Promotion sociale et de la

Recherche scientifique en visite à notre stand.

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OPERATION CHERCHEURS D’EAU 2003-2004

TITRES DES PROJETS PRESENTES PAR LES ELEVES DE GATTI DE GAMOND

Les mathématiques de l’arc-en-cielLes peintres de l’arc-en-ciel Bruxelles aux irisLe déluge et l’arc-en-cielLes posters de l’expositionQuelques photos du Printemps des sciences à l’ULB

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LES MATHEMATIQUES DE L’ARC-EN-CIEL

Ce document présente les diverses constructions réalisées par les élèves avec Cabri-GéomètreTM.En cliquant sur les figures vous avez accès au fichier Cabri correspondant si vous disposez du logiciel.

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L’arc-en-ciel est une illusion d’optique due à la dispersion de la lumière du soleil sur un mur d’eau.Pour apercevoir l’arc, il faut tourner le dos au soleil. On peut observer parfois un arc intérieur et un arc extérieur moins lumineux séparés par une bande foncée appelée bande sombre d’Alexandre, du nom du philosophe grec Alexandre d’Aphrodisias (200 av.J.C.).

La lumière est réfléchie et réfractée à l’intérieur des gouttelettes.Comme l’indice de réfraction varie pour les différentes couleurs formant la lumière blanche, elles se séparent à la sortie de la goutte comme à la sortie d’un prisme.

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Diffraction de la lumière blanche à travers un prisme

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LA REFLEXION

Arundel castleTurner

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REFLEXIONL’oiseau désire prendre le plus court chemin pour se

rendre à son nid en passant boire à la rivière.Voici la solution optimale.

cabri

La lumière se réfléchit en empruntant aussi le plus

court chemin.

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Un sauveteur S cherche le plus court chemin pour sauver une personne N qui se noie. Le sauveteur court 2 (v) fois plus vite qu’il ne nage! Il y a une seule solution.Représentons la courbe du temps mis par le sauveteur pour atteindre le noyé, en fonction de x.Observons que cette courbe passe par un minimum qui correspond à l’intersection des fonctions sin i et v.sin rquand i est l’angle d’incidence et r l’angle de réfraction.

LA REFRACTION

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Lorsque la lumière passe d’un milieu dans un autre, elle change de vitesse.Elle cherche à minimiser le temps parcouru, comme le sauveteur.

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c.et 0 entre compris réel seul un en donc annule's )x('y

0²a²xv

c)c('y et

0)²xc(²b

c(0)' ycomme

croissantet strictemenest (x)' ydonc 0)x("y:x

)²)xc(²b(

²b

²)a²x(

²a)x("y

0)x(y:x

rsinv

isin0)x('y

)²xc(²b

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)²xc(²b

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²a²xv

x)x('t)x('y

)x(yv

)x(y)x(t)x(y

)²xc(²b)x(y

²a²x)x(y

3

3

3

33

2

3

2

33

3

3

3

3

21

3

2

1

Démontrons que le temps mis par le sauveteur passe par un seul minimum qui correspond à sin i = v.sin r

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REFLEXION ET REFRACTION

Les lois de la réflexion de la lumière sont connues depuis l' Antiquité. Héron d'Alexandrie les justifie par le principe du chemin minimum auquel Fermat (17ème siècle) fera appel pour l'étude de la réfraction.

La formulation qu'en donne Isaac Newton dans l'édition du 1730 de son Opticks est déja une formulation moderne. Voici un extrait du Premier Livre (basé sur des définitions et des axiomes ) :

DEFIN[ITION] IV .

The Angle of Incidence is that Angle, which the Line described by the incident Ray contains with the Perpendicular to the reflecting or refracting Surface at the point of Incidence.

DEFIN[ITION] V .

The Angle of Reflexion or Refraction, is the Angle which the line described by the reflected or refracted Ray containeth with the Perpendicular to the reflecting or refracting Surface at the Point of Incidence.

AX[IOM] I .

he Angles of Reflexion and Refraction, lie in one and the same Plane with the Angle of Incidence.

AX[IOM] II .

The Angle of Reflexion is equal to the Angle of Incidence.

AX[IOM] V.

The Sine of incidence is…in a given Ratio to the sine of Refraction.

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L’ARC PRIMAIRELe rayon lumineux entre dans la goutte et se réfléchit une fois au

fond de la goutte avant de ressortir.

Christoffer Wilhem Eckersbergpeintre néoclassique danois 1783-1853

Thorvaldsen ’s boat arriving in Copenhagen 1838Thorvaldsens Museum Copenhague

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Rayon solaire incident

Rayon sorti de la goutte après 1 réflexion

Les rayons incident et émergent sont situés dans le plan du rayon incident comprenant le centre de la goutte puisque la normale à la surface de la goutte est un de ses rayons.

18cabri

Les diverses couleurs ayant des indices de réfraction différents, les couleurs émergent dans différentes directions.

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En dessinant les chemins parcourus par 3 rayons lumineux parallèles assez proches, on s’aperçoit que les rayons émergents correspondants ne restent pas parallèles sauf aux abord d’un angle particulier (ici 59°6)comme sur la page suivante.

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Dans ce cas l’énergie lumineuse du rayon incident sera mieux conservée à la sortie.Comment trouver mathématiquement ce « meilleur » angle d’incidence?

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L’angle phi de déviation entre le rayon incident et le rayon émergent varie en fonction de l’angle d’incidence.Il passe par un angle im minimum. C’est pour cet angle que la déviation étant minimale, des rayons incidents ayant des angles d’incidence proches émergeront en faisceau parallèle et donneront une meilleure visibilité.

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3

1²nicos0)i('

1²ni²cos30)i('

)i²cos1(²ni²cos40)i('

i²sin²ni²cos40)i('

i²sin²nicos20)i('

i²sin²n

icos42

²n

i²sin²nn

icos

42

n

isin1

n

icos

42)i('

n

isinarcsin4i2180)i(

]90;0[ i avec r4i2180)i(

2

n=1.33

Calcul de l’angle d’incidence donnant la déviation minimale

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Chaque couleur a son meilleur angle d’incidence!

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ARC SECONDAIRELe rayon lumineux entre dans la goutte et se réfléchit deux fois

dans la goutte avant de ressortir.

John Everest Millais1829-1896

détail de La jeune fille aveugle 1856

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La déviation entre le rayon incident et le rayon émergent passe par un minimum pour un angle incident im.Dans ce cas le rayon émergent sera plus lumineux.

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ARC SECONDAIRE

Pour chaque couleur un angle incident particulier donnera la plus forte luminosité au rayon émergent pour former l’arc secondaire.

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288

1²ncosi

que lte est de minimum auant correspond i incidenced' anglel' donc

8

1²ncos²i 0)i('

1²n8cos²i 0)i('

i²cos1²n)i²cos1(²n9cos²i 0)i('

)i²cos1(²ni²sin²n3cosi 0)i('

3

1

)²i(sin²n

icos 0)i('

n

)²i(sin²nn

icos

62

n

isin

²n

²n

n

icos

62

n

isin1

n

icos

62)i('

i2n

isinarcsin6360)i(

n

isinarcsinr

rsin n i sin comme

i2r6360)r2180(2)ri(2)i(

m

m

22

Calcul de l’angle incident donnant la déviation minimale entre le rayon incident et le rayon émergent dans l’arc secondaire pour n donné.

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Chaque couleur possède son angle d’incidence donnant la meilleure intensité lumineuse au rayon émergent pour l’arc primaire et au rayon émergent pour l’arc secondaire (qui sera bien sûr plus faible).Les rayons qui arrivent dans l’oeil de l’observateur forment un cône dont le demi-angle au sommet vaut 180°- phim (où phim est la valeur minimum prise par la déviation entre rayons incident et émergent).

ARC PRIMAIREn cos im im imrad sin(rmrad) rmrad rmdeg phim demianglecone

lumière 1,33 0,506261 59,58492 1,039953 0,648406 0,705489 40,42155 137,4836 42,51638

rouge 1,332 0,50801 59,4686 1,037923 0,64666 0,703197 40,29024 137,7762 42,22375violet 1,344 0,518439 58,77242 1,025772 0,636246 0,689623 39,51247 139,495 40,50504

ARC SECONDAIREn cos im im imrad sin(rmrad) rmrad rmdeg phim demianglecone

lumière 1,33 0,31002 71,93955 1,255582 0,714835 0,796388 45,62964 230,1012 50,10125

rouge 1,332 0,311092 71,87497 1,254455 0,713498 0,794479 45,52028 230,6283 50,62829violet 1,344 0,317478 71,48955 1,247728 0,705555 0,783206 44,87439 233,7328 53,73276

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Les couleurs des 2 arcs sont inversées!

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La figure Cabri permet de fabriquer les demi-cônes pour avoir un modèle des arcs primaire et secondaire en 2 couleurs

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Voici une représentation 3d montrant les rayons rouges de l’arc primaire arrivant dans l’oeil d’un observateur.

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BIBLIOGRAPHIE

SLICING PIZZAS,RACING TURTLES, AND FURTHER ADVENTURES IN APPLIED MATHEMATICSRobert B.BanksPrinceton University Press1999

THE RAINBOW, FROM MYTH TO MATHEMATICSCarl B.BoyerPrinceton University Press1959

THE BOOK OF RAINBOWS, ART, LITERATURE, SCIENCE, & MYTHOLOGYRichard WhelanFirst Glance Books1997

THE RAINBOW BRIDGE, RAINBOWS IN ART, MYTH, AND SCIENCERaymond L.Lee, Jr., and Alistair B.FraserPennsylvania State University Press2001

http://sol.sci.uop.edu/~jfalward/physics17/chapter12/chapter12.html

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