att_1368

ИВО БАЙЧЕВ

ПОМОЩНИ ТАБЛИЦИ

ПО СТРОИТЕЛНА МЕХАНИКА

ЗА СТРОИТЕЛНИЯ И ТРАНСПОРТНИЯ ФАКУЛТЕТ

Част І – строителна статика

УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ

СОФИЯ

Проф. д-р инж. ИВО ВЕНКОВ БАЙЧЕВ

ПОМОЩНИ ТАБЛИЦИ

ПО СТРОИТЕЛНА МЕХАНИКА



УАСГ – УИК – ИЗДАТЕЛСКИ ЦЕНТЪР

Предлаганите таблици по строителна механика, част І – строителна статика, съдържат схеми и решения, съобразени с обучението на строителните инженери. Те са комплектовани въз основа на дългогодишния опит и традициите в катедра „Строителна механика” на УАСГ и на съществуващата справочна литература. Освен за обучаващи се студенти, специализанти и

аспиранти, тези таблици могат да служат и на строителни инженери от практиката, занимаващи

се с проектиране и изчисляване на равнинни рамкови конструкции.

С предварителна благодарност съставителят очаква оценки и препоръки на адрес: София, бул. „Хр. Смирненски” 1, Университет по архитектура, строителство и

геодезия, катедра „Строителна механика”.

ПОМОЩНИ ТАБЛИЦИ ПО СТРОИТЕЛНА МЕХАНИКА



Съставител: проф. д-р инж. ИВО БАЙЧЕВ

Националност българска

Формат 70х100/16

Печ. коли 1,75

Изд. коли 2,27

Компютърен набор и предпечатна подготовка Учебен изчислителен комплекс – УАСГ – Издателски център

УНИВЕРСИТЕТ ПО АРХИТЕКТУРА, СТРОИТЕЛСТВО И ГЕОДЕЗИЯ

София, бул. „Христо Смирненски” 1

3

СЪДЪРЖАНИЕ

Таблица 1. Опорни реакции и диаграми на разрезните усилия в

прости греди и конзоли ................................................................................. 5

Таблица 2. Подробни ординати на М-диаграми в прости греди ................................... 9

Таблица 3. Стойности на интегралите ( ) ( )1 2

0

d

L

I f x f x x= ∫ ........................................ 11

Таблица 4. Числено интегриране и диференциране ..................................................... 13

Таблица 5. Опорни завъртания за решаване на непрекъснати греди ......................... 15

Таблица 6. Опорни реакции в статически неопределими елементи с

постоянно напречно сечение....................................................................... 16

Таблица 7. Функции на формата с отчитане и на ъгловите деформации ................... 20

Таблица 8. Матрица на коравина за рамкови елементи в локална координатна

система с отчитане влиянието на напречните усилия ............................... 22

Таблица 9. Трансформационна (трансформираща) матрица за

равнинни рамкови елементи ....................................................................... 24

Таблица 10. Греди с правоъгълно сечение върху еластична основа −

метод на началните параметри ................................................................... 25

Литература ....................................................................................................................... 28

5

Таблица 1.

Диаграми и реакции в статически определими едноотворни греди и конзоли

1 2

3 4

5 6

7 8

6

Таблица 1 – продължение 1

9 10

11 12

13

14

7


15 16

17 18

8


19

( )26

a b

LA q q= +

( )46

a b c

LB q q q= + +

( )26

b c

LC q q= +

( ) 2

16

a bD

q q LM

+= ,

( ) 2

16

b cE

q q LM

+=

( )24

b aD

q q LQ

−= ,

( )24

c bE

q q LQ

−=

20

( )7 624

a b c

LA q q q= + −

( )1012

a b c

LB q q q= + +

( )6 724

a b c

LC q q q= − + +

( )2

19 34 5384

D a b c

LM q q q= + −

( )2

5 34 19384

E a b c

LM q q q= − + +

( )24

b aD

q q LQ

−= ,

( )24

c bE

q q LQ

−=

21

( )26

a d

LA q q= +

( )3

d b e

LB q q q= + +

( )26

e c

LC q q= +

( )2

1096

D a d b

LM q q q= + +

( )2

1096

E b e c

LM q q q= + +

( )24

b aD

q q LQ

−= ,

( )24

c bE

q q LQ

−=

9

Таблица 2.

Подробни ординати на М-диаграми в прости греди

Числата 1

ω и 2

ω служат за изчис-

ляване на ординатите на моментовите

диаграми в прости греди, натоварени с

равномерно разпределен и триъгълников

товар. Те могат да се използват и за изчер-

таване на квадратни и кубични параболи

от вида, показан на фиг. 2.2 и 2.3. В таб-

лиците са дадени ω -числата за т. i при

разделяне на интервала на n равни части

(фиг. 2.1).

Фиг. 2.1

Таблица за числата 1

ω

2

18

qLM = ω

14 1

x x

L L

ω = −

1y f= ω

Фиг. 2.2

i →→→→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n ↓↓↓↓

2 1,0000

3 0,8889 0,8889

4 0,7500 1,000 0,7500

5 0,6400 0,9600 0,9600 0,6400

6 0,5556 0,8889 1,0000 0,8889 0,5556

7 0,4898 0,8163 0,9796 0,9796 0,8163 0,4898

8 0,4375 0,7500 0,9375 1,0000 0,9375 0,7500 0,4375

9 0,3951 0,6914 0,8889 0,9877 0,9877 0,8889 0,6914 0,3951

10 0,3600 0,6400 0,8400 0,9600 1,0000 0,9600 0,8400 0,6400 0,3600

10

Таблица за числата 2

ω

2

16

qLM = ω ,

2

2 2

81

3

x x

L L

ω = −

.

Фиг. 2.3

i →→→→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n ↓↓↓↓

2 1,0000

3 0,7901 0,9877

4 0,6250 1,000 0,8750

5 0,5120 0,8960 1,0240 0,7680

6 0,4321 0,7901 1,0000 0,9877 0,6790

7 0,3732 0,6997 0,9329 1,0262 0,9329 0,6064

8 0,3281 0,6250 0,8594 1,0000 1,0156 0,8750 0,5469

9 0,2926 0,5633 0,7901 0,9511 1,0242 0,9877 0,8194 0,4975

10 0,2640 0,5120 0,7280 0,8960 1,0000 1,0240 0,9520 0,7680 0,4560

При товар с максимална ордината вляво числата се отчитат в обратен ред. В

този случай ω -числата се означават с "прим", като

2'2 2

82 3

3

x x x

L L L

ω = − +

11

Таблица 3.

Стойности на интегралите ( ) ( )1 2

0

d

L

I f x f x x= ∫

Указания за използване на таблицата

1. Формулите се тълкуват според взаимното разположение на ординатите на

фигурите (коя ордината под коя се намира – лява под лява, дясна под дясна), а не

според условната им големина, изобразена на схемите.

2. Ординатите могат да бъдат положителни или отрицателни. Те се включват

във формулите със знаците си. Ако ( )1f x и ( )2

f x са моментови диаграми, стойността

на интеграла е положителна, когато са опънати едни и същи нишки.

Фиг. 3.1 Фиг. 3.2

Фиг. 3.1 представлява трапец (като схема 4), но с разнозначни ординати. Фиг.

3.2 а е аналогична на квадратната парабола от схема 8, също с разнозначни ординати.

тя може да се представи още като сбор или разлика от трапец – фиг. 3.2 б и парабола –

фиг. 3.2 в (диаграма в проста греда от равномерно разпределен товар).

3. Квадратните параболи от схеми 5, 6 и 7 имат наклон на тангентата равен на

нула в местата, означени с плътно черно кръгче. Ако параболите са M-диаграми, в

местата с черно кръгче трябва Q да е равно на нула. В противен случай се ползва

схема 8, където някои от ординатите c , d или e може да са и нулеви.

4. Междинните стойности на схеми 5, 8 и 9 са в средите на участъците.

5. Последната схема 9 съответства на моментова диаграма в проста греда от

триъгълен товар. Светлото кръгче отговаря на нулевата ордината на товара.

6. Схемите могат да се комбинират, както е показано на фиг. 3.2. Така се

получават компонентите на съответните диаграми – реперната (фиг. 3.2 б ) и в простата

греда (фиг. 3.2 в ), а стойността на интеграла е сума от стойностите на съставящите

схеми.

7. Формулите от първата колонка, разделени на а дават лицата на фигурите в

ляво ( )( )2на f x .

12

Таблица 3.

Стойности на интегралите ( ) ( )1 2

0

d

L

I f x f x x= ∫

( )1f x

( )2f x

1

acL 2

acL

2

acL

( )

2

c a b L+

2 2

acL

3

acL

6

acL

( )2

6

c a b L+

3 2

acL

6

acL

3

acL

( )2

6

c a b L+

4

( )

2

a c d L+

( )2

6

a c d L+

( )2

6

a c d L+

( )( )

6

ac a b c d bd L+ + + +

5

2

3

acL

3

acL

3

acL

( )

3

c a b L+

6

3

acL

12

acL

4

acL

( )3

12

c a b L+

7

2

3

acL

4

acL

5

12

acL

( )3 5

12

c a b L+

8

( )4

6

a c e d L+ +

( )2

6

a c e L+

( )2

6

a d e L+

( )2

6

ac e a b bd L+ + +

9

2

3

acL

14

45

acL

16

45

acL

( )2 7 8

45

c a b L+

13

Таблица 4.

Числено интегриране и диференциране

Дадени са формули за числено интегриране и диференциране, приложими за

функции, зададени със стойностите им през равни разстояния. Ако търсим

произведение на такава функция, например

(4.1) ( ) ( ) ( )1 2F x f x f x= ,

където ( )1f x и ( )2f x са дадени с фиг. 4.1 a и 4.1 б , то резултатът от умножението е

нова фигура – фиг. 4.1 в .

Аналогично се постъпва и при умножение или деление на повече от две

функции и при повече ординати през равни разстояния.

Фиг. 4.1

Числено интегриране

Според гореизложеното изчисляването на интеграли от вида

( )1 1

0

d

L

I f x x= ∫ , ( ) ( )2 1 2

0

d

L

I f x f x x= ∫ , ( ) ( )

( )1 2

330

d

Lf x f x

I xf x

= ∫

се свежда до намирането на лице на фигура, например

( ) ( ) ( )2 1 2

0 0

d d

L L

A I f x f x x F x x= = =∫ ∫ .

Записаните по-долу формули са валидни, ако фигурите са гладки в разглеждания

интервал.

Фиг. 4.2

Когато върху три ординати е оформена квадратна или кубична парабола (фиг.

4.2 a ), лицето на фигурата е

(4.2) 2

23 2 2

a cA b

λ = + +

.

14

Ако върху четири ординати е оформена парабола от трета степен (фиг. 4.2 б ),

лицето на фигурата е

(4.3) ( )3

3 38

A a b c dλ

= + + + .

Чрез многократно прилагане на (4.2) се получава израз, валиден за произволен

четен брой полета. Например, при шест полета (фиг. 4.2 в ) лицето на фигурата е

(4.4) 2

2 2 23 2 2

a gА b c d e f

λ = + + + + + +

.

При многократно прилагане на (4.3) се получава аналогичен израз, валиден при

разделяне на интеграла на 3 n части ( n е броят на полетата с дължина λ ). За шест

полета (фиг. 4.2 в ) и за кубична парабола форм. (4.3) добива вида

(4.5) ( )3

3 3 2 3 38

А a b c d e f gλ

= + + + + + + .

При всички разгледани случаи ординатите могат да бъдат положителни,

отрицателни или нулеви Те се заместват във формулите със знаците си.

Числено диференциране

Ако върху три ординати е оформена парабола от втора степен (фиг. 4.2 a ),

първата производна (наклонът на тангентата) при ординатата a се дава с израза

(4.6) ( )1

tg 3 42a

a b cϕ = − + −λ

.

Първата производна при ордината b е

(4.7) ( )1

tg2b

a cϕ = − +λ

.

За кубичната парабола от фиг. 4.2 б първата производна при ордината a е

(4.8) ( )1

tg 11 18 9 26a

a b c dϕ = − + − +λ

.

Наклонът на тангентата при ординатата b e

(4.9) ( )1

tg 2 3 66b

a b c dϕ = − − + −λ

.

Когато функциите са по-сложни (от по-висока степен), резултатите от численото

интегриране и диференциране са приблизителни. За постигане на по-висока точност се

препоръчва да се проведе още едно решение със сгъстяване на ординатите (намаляване

на стъпката λ ). Ако резултатите са близки, второто решение може да се счита за

окончателно. В противен случай стъпката следва отново да се намали. Тази процедура

е особено ефективна при двойно, респективно четворно сгъстяване на ординатите.

15

Таблица 5.

Опорни завъртания за решаване на непрекъснати греди

AEIϕ

BEIϕ

1

16

Fab b

L

+

1

6

Fab a

L

+

2

2

16

FL

2

16

FL

3

2

2

31

6

ML b

L

−

2

2

31

6

ML a

L

−

4

3

ML

6

ML

5

23 2

21

24

qL b

L

−

23 2

21 1

24

qL a

L

− −

6

3

24

qL

3

24

qL

7

37

360

qL

3

45

qL

8

bEI

L

aEI

L

9

EI

L−

EI

L

10

EI

L

EI

L−

ТАБЛИЦА 6 – Диаграми и реакции в едноотворни двустранно запънати елементи–лист 1

AM

BM A B

1

2

6 6EI i

LL=

2

6 6EI i

LL=

3 2

12 12EI i

L L= A

2

44

EIi

L=

22

EIi

L=

2

6 6EI i

LL= A

3

2

2

Fab

L

2

2

Fa b

L

2

2

21

Fb a

LL

+

F A−

4

8

FL

8

FL

2

F A

5

2 2

2

8 36

12

qa a a

L L

− +

2 2

2

4 3

12

qa a a

L L

−

2 3

2 3

22

2

qa a a

L L

− +

qa A−

ТАБЛИЦА 6 – Диаграми и реакции в едноотворни двустранно запънати елементи – лист 2

AM

BM A B

6

2

12

qL

2

12

qL

2

qL

2

qL

7

2

30

qL

2

20

qL

3

20

qL

7

20

qL

8

25

96

qL

25

96

qL

4

qL

4

qL

9

32

Mb b

L L

−

32

Ma a

L L

−

3

6Mab

L A

10

EI t

h

α∆

EI t

h

α∆ 0 0

16


A

M A B

11

2

3 3EI i

LL=

3 2

3 3EI i

L L= A

12

33

EIi

L=

2

3 3EI i

LL= A

13

12

Fab b

L L

+

2

23

2

Fb b

L L

−

F A−

14

3

16

FL

11

16

F

5

16

F

15

22

28

qa a

L

−

2 3

2 3

48

8

qa a a

L L

− +

qa A−

16

2 2

22

8

qb b

L

−

3

3

6

8

qb b b

L L

−

qb A−

17

AM A B

17

2

8

qL

5

8

qL

3

8

qL

18

2

15

qL

2

5

qL

10

qL

19

27

120

qL

9

40

qL

11

40

qL

20

2

2

31

2

M b

L

−

2

2

31

2

M b

L L

−

A

21

2

M

3

2

M

L A

22

1,5EI t

h

α∆

1,5EI t

Lh

α∆ A

20

Таблица 7.

Функции на формата с отчитане и на ъгловите деформации

І тип елемент ІІ тип елемент

Е и G − модули на линейните и ъгловите деформации;

А и I − площ и инерционен момент на напречното сечение;

QA − ефективна площ на напречното сечение за поемане на напречните усилия.

Схема Функция на формата

1( ) 1

xx

LΦ = −

4( )

xx

LΦ =

2 3I тип2 2 3

1 12 3 2( ) 1 12

1 12

x x xx

L L L

βΦ = + β − − +

+ β

2 3II тип2 2 3

1 3 3( ) 1 3

1 3 2 2

x x xx

L L L

βΦ = + β − − +

+ β

21


( )2

I тип3 2

( ) 1 6 2 1 31 12

x x xx

L L

Φ = + β − + β +

+ β

2II тип3 2

3( ) 1

1 3 2 2

x x xx

L L

Φ = − +

+ β

−+

+=Φ

2

2типI

5

23β12

)β121()(

L

x

L

x

L

xx

( )

2II тип5 2

3( ) 3

1 3 2 2

x x xx

L L L

Φ = β + −

+ β

( )2

I тип6 2

( ) 6 1 61 12

x x xx

L L

Φ = − β − − β +

+ β

2

Q

EI

L GAβ = .

Стандартните функции на формата (без отчитане на деформациите от

напречните усилия) се получават от дадените в табл. 7 като се положи 0β = .

22

Таблица 8.

Матрица на коравина за рамкови елементи в локална координатна система с

отчитане влиянието на напречните усилия

Първи тип

Премествания Реактивни усилия

Означения:

i − начален възел; j − краен възел

EA

aL

= , 1

1

1 12

EIi

L=

+ β,

2Q

EI

L GAβ =

QA е ефективна площ на напречното сечение за поемане на Q -сили (за

правоъгълно сечение 1,2

Q

AA = ).

iu

iν

iϕ j

u j

ν j

ϕ

ixR a 0 0 a− 0 0

iyR

1

2

12i

L 1

6i

L 0

1

2

12i

L− 1

6i

L

iM ( )1

4 1 3i + β 0 16i

L− )61(2

1β−i

jxR симетрично

a 0 0

iyR

1

2

12i

L 1

6i

L−

jM ( )1

4 1 3i + β

23


Втори тип

EAa

L= ,

2

1

1 3

EIi

L=

+ β,

2Q

EI

L GAβ =

iu

iν

iϕ j

u j

ν j

ϕ

ixR a 0 0 a− 0 0

iyR

2

2

3i

L 2

3i

L 0

2

2

3i

L− 0

iM 2

3i 0 23i

L− 0

jxR симетрично

a 0 0

iyR

2

2

3i

L 0

− 0

Като се положи 0β = се получават стандартните матрици на коравина − без

отчитане на напречните усилия.

ТАБЛИЦА 4 – Трансформационна (трансформираща) матрица [Т]

за равнинни рамкови елементи

възлови премествания Означения:

x, y – локални оси,

X, Y – глобални оси,

u, v, ϕ − локални възлови

премествания,

U, V, ϕ − глобални възлови

премествания,

s = sin α; c = cos α.

[ ]

==

=

j

j

j

i

i

i

j

j

j

i

i

i

V

U

V

U

TT

v

u

v

u

z

φ

φ][ {Z}

φ

φ}{ ; [ ]

−

−

=

100000

0000

0000

000100

0000

0000

cs

sc

cs

sc

T ;

[T] T = [T]

– 1 ; [T] T

[T] = E .

Същата трансформираща матрица изразява и връзката между възловите усилия

в локалната и глобалната координатни системи.

Ако [k] e матрица на коравината в локална координатна система x–y, в

глобалната координатна система X–Y матрицата на коравина [K] се формира по израза

[K] = [T] T [k] [T].

X

Ui

ui

Vi

i

ϕi

vi

Vj

uj

j

ϕj

vj

y

x

α

Y

Uj

25

Таблица 10.

Греди с правоъгълно сечение върху еластична основа −−−−

метод на началните параметри

Напречно сечение

4

4

k

EIα =

0k K b= − константа на Винклер;

0K − коефициент на земното легло;

( ) ( )r x kv xα = α ;

2 3

0

2 0

02

0

3 2

4

4 4

4 4 4

B C DA

VEIv V VB C

D AEI

MM MB

C D A QQ Q

B C D A

− −

α α α = − α − − Φϕ = Φ Φ α α= +

α α α α α − α

.

Вектор на външните въздействия (частни интеграли)

( ) ( ) ( ) ( )2 3 4

( ) ( )4

M F qEI v V C m D f A n A kξ = ξ = − α + α − α − α

α α α,

( ) ( ) ( ) ( )2 3

( ) ( )M F q

EI B m C f D n D kϕ ξ = Φ ξ = − α + α + α − α α α α,

( ) ( ) ( ) ( )2

( )F q

M MA m B f C n C kξ = α − α − α − α α α,

( ) ( ) ( ) ( )( ) 4q

Q M D m FA f B n B kξ = − α α − α − α − α α.

26

Хиперболо-тригонометрични функции

xξ = α , ( ) ch cosA ξ = ξ ξ , ( ) 0,5(ch sin sh cos )B ξ = ξ ξ + ξ ξ ;

( ) 0,5sh sinC ξ = ξ ξ , ( ) 0,25(ch sin sh cos )D ξ = ξ ξ − ξ ξ .

xξ = α ( )A ξ ( )B ξ ( )C ξ ( )D ξ

0,00 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,10 1,0000 0,1000 0,0050 0,0002

0,20 0,9997 0,2000 0,0200 0,0013

0,30 0,9986 0,2999 0,0450 0,0045

0,40 0,9957 0,3997 0,0800 0,0107

0,50 0,9896 0,4990 0,1249 0,0208

0,60 0,9784 0,5974 0,1797 0,0360

0,70 0,9600 0,6944 0,2443 0,0571

0,80 0,9318 0,7891 0,3185 0,0852

0,90 0,8908 0,8803 0,4020 0,1211

1,00 0,8337 0,9667 0,4944 0,1659

1,10 0,7568 1,0464 0,5952 0,2203

1,20 0,6561 1,1173 0,7034 0,2851

1,30 0,5272 1,1767 0,8182 0,3612

1,40 0,3656 1,2216 0,9383 0,4490

1,50 0,1665 1,2486 1,0619 0,5489

1,60 -0,0752 1,2535 1,1873 0,6614

1,70 -0,3643 1,2319 1,3118 0,7864

1,80 -0,7059 1,1789 1,4326 0,9236

1,90 -1,1047 1,0889 1,5463 1,0726

2,00 -1,5654 0,9559 1,6489 1,2325

2,10 -2,0919 0,7736 1,7358 1,4019

2,20 -2,6878 0,5352 1,8017 1,5789

2,30 -3,3559 0,2336 1,8407 1,7613

2,40 -4,0973 -0,1384 1,8461 1,9460

27

xξ = α ( )A ξ ( )B ξ ( )C ξ ( )D ξ

2,50 -4,9123 -0,5882 1,8105 2,1292

2,60 -5,7997 -1,1232 1,7256 2,3064

2,70 -6,7558 -1,7504 1,5828 2,4723

2,80 -7,7751 -2,4764 1,3723 2,6207

2,90 -8,8489 -3,3071 1,0840 2,7442

3,00 -9,9661 -4,2477 0,7072 2,8345

3,10 -11,1110 -5,3013 0,2307 2,8823

3,20 -12,2647 -6,4701 -0,3569 2,8770

3,30 -13,4038 -7,7536 -1,0671 2,8069

3,40 -14,4997 -9,1492 -1,9112 2,6591

3,50 -15,5187 -10,6508 -2,9003 2,4198

3,60 -16,4212 -12,2488 -4,0444 2,0739

3,70 -17,1615 -13,9298 -5,3530 1,6054

3,80 -17,6870 -15,6741 -6,8326 0,9976

3,90 -17,9386 -17,4578 -8,4889 0,2331

4,00 -17,8502 -19,2503 -10,3243 -0,7060

4,10 -17,3482 -21,0138 -12,3377 -1,8376

4,20 -16,3522 -22,7032 -14,5243 -3,1792

4,30 -14,7748 -24,2647 -16,8738 -4,7477

4,40 -12,5214 -25,6358 -19,3711 -6,5591

4,50 -9,4933 -26,7433 -21,9924 -8,6262

4,60 -5,5853 -27,5049 -24,7079 -10,9604

4,70 -0,6889 -27,8273 -27,4784 -13,5693

4,80 5,3064 -27,6061 -30,2549 -16,4559

4,90 12,5116 -26,7258 -32,9772 -19,6180

5,00 21,0352 -25,0600 -35,5735 -23,0467

Когато 5,00xα > в практиката се прилагат други методи на решение.

28

Литература

1. Карамански, Т., Р. Рангелов. Приложение към методично ръководство за решаване

на задачи по строителна статика, Техника, 1971.

2. Baychev, I. Fixed–Hinged Beam Finite Elements used for Dynamic Analysis of Frames.

Mechanics Research Communications, New York, vol. 23, № 2/96.

Documents

att_1368