Aula 01 - Estatística Bacen

Estatstica para Bacen (rea 4) Prof Vtor Menezes Aula 01

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 01: Medidas de posio

1. MEDIDAS DE POSIO.................................................................................................................... 2

2. MDIA ............................................................................................................................................. 2

2.1. Mdia para dados em ROL ......................................................................................................... 2

2.2. Propriedades da mdia aritmtica ............................................................................................ 3

2.3. Mdia para dados agrupados por valor ..................................................................................... 5

2.4. Mdia para dados em classe ...................................................................................................... 9

2.5. Utilizao da varivel auxiliar .................................................................................................. 12

2.6. Simplificao das frequncias .................................................................................................. 14

2.7. Mdia ponderada..................................................................................................................... 16

3. MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES .......................................................................................... 26

3.1. Mediana para dados em ROL ................................................................................................... 26

3.2. Mediana para dados agrupados por valor ............................................................................... 29

3.3. Demais medidas separatrizes para dados em Rol ou agrupados por valor ............................. 31

3.4. Medidas separatrizes para dados em classe ........................................................................... 33

3.5. Medidas separatrizes e histograma ......................................................................................... 42

4. MODA ........................................................................................................................................... 47

4.1. Moda para dados em ROL ou agrupados por valor ................................................................. 47

4.2. Moda para dados em classe .................................................................................................... 48

4.3. Moda bruta, moda de King e moda de Pearson ...................................................................... 54

4.4. Moda quando as amplitudes de classe so diferentes ............................................................ 58

5. PROPRIEDADES DA MODA E DA MEDIANA .................................................................................. 62

6. QUESTES COMENTADAS ............................................................................................................ 63

6.1. Mdia aritmtica ...................................................................................................................... 63

6.2. Propriedades da mdia aritmtica .......................................................................................... 85

6.3. Mdia harmnica, geomtrica e ponderada ........................................................................... 88

6.4. Medidas separatrizes ............................................................................................................... 90

6.5. Moda ...................................................................................................................................... 108

7. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ........................................................................................ 115

7.1. Questes usadas em exemplos durante a parte terica ....................................................... 115

7.2. Questes comentadas ........................................................................................................... 119

8. GABARITO ................................................................................................................................... 135



1. MEDIDAS DE POSIO

Medidas de posio nos fornecem informaes acerca de posies que os dados ocupam. Podem ser de dois tipos:

Medidas de tendncia central (mdia, mediana e moda).

Medidas separatrizes

As medidas de tendncia central indicam valores em torno dos quais os dados giram. Um exemplo a mdia. Se dissermos que a nota mdia dos alunos em uma prova foi 6, razovel esperar que as notas giraram em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma nota intermediria, uns 4, 5, 6 ou 7.

Se dissermos que a nota mdia desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, razovel esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10.

As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz o quartil. Uma srie de dados possui trs quartis que separam a srie de dados em quatro partes com mesmo nmero de elementos.

2. MDIA

A mdia aritmtica dos dados dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total de observaes.

Vamos agora aprender a calcul-la, conforme os dados estejam em rol, agrupados por valor ou em classes.

2.1. Mdia para dados em ROL

Considere uma pesquisa salarial com os moradores do bairro Alfa. Numa amostra de 10 chefes de famlia, obtivemos os seguintes salrios:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Calculando a soma dos dados, temos:

= 36

S relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Quais valores? Valores de X para os quais i vai de 1 at 10. Ou seja, queremos somar todos os 10 valores observados.



A mdia fica:

= 3610 = 3,6 Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salrio mdio de R$ 3.600,00.

Mdia apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo nmero de dados.

Este smbolo adotado para mdia ( X ) muito comum. Muitos autores o utilizam.

importante saber isto porque s vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e no explicam que se trata da mdia.

Para um conjunto de n dados, a mdia pode ser representada por:

=

A frmula acima indica que, para obter a mdia aritmtica, somamos todos os dados e dividimos por n.

Uma coisa que muita gente confunde o seguinte. Muitas pessoas acham que a mdia precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto falso. No exemplo acima, a mdia foi 3,6. E na nossa amostra no h nenhuma pessoa que ganhe um salrio de R$ 3.600,00.

Este valor 3,6 s um indicativo de que os salrios das pessoas entrevistadas devem girar em torno de R$ 3.600,00.

Exemplo 1:

Calcular a mdia dos valores:

1, 2, 6, 8, 9

Resoluo:

So 5 observaes (n = 5). A soma das observaes :

= 1 + 2 + 6 + 8 + 9 = 26

A mdia fica:

= 265 Uma dica para fazer essa conta multiplicar o numerador e o denominador por 2:

= 5210 Agora temos uma diviso por 10, em que basta andar com a vrgula:

= 5,2 2.2. Propriedades da mdia aritmtica



Voltemos nossa pesquisa de salrios dos moradores do bairro.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. Agora, seus salrios so:

Salrios aps o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Qual a nova mdia?

A nova mdia ser:

6,410

8765543332 =+++++++++=X

O salrio mdio agora de R$ 4.600,00.

Antes, com os salrios antigos, a mdia era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram somados em R$ 1.000,00. E a mdia tambm foi somada de R$ 1.000,00.

Suponhamos agora que todos esses funcionrios, alm do salrio normal (j reajustado em R$ 1.000,00), vo receber em dezembro o dcimo terceiro integral. Assim, no ms de dezembro, os salrios vo ficar:

Salrio mais dcimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.

A nova mdia fica:

2,910

161412101086664 =+++++++++=X

Note que todos os valores foram dobrados. A mdia, que era de R$ 4.600,00, passou a R$ 9.200,00. Portanto, a mdia tambm dobrou.

Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a mdia do novo conjunto fica aumentada ou diminuda de c.

multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a mdia do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.

Outras duas propriedades da mdia so:

a mdia aritmtica o valor em relao ao qual mnima a soma dos quadrados dos desvios.

a soma de todos os desvios em relao mdia aritmtica igual a zero.

Sobre essas duas ltimas propriedades, por enquanto vai ficar s o registro de que elas existem. Explicaremos com mais detalhes no tpico de medidas de disperso.

Exemplo 2:

Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {1, 3, 5}



Resoluo:

= 1 + 3 + 53 = 3

Exemplo 3:

Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {3, 5, 7} (observe que esta foi obtida a partir da sequncia anterior, somando 2 a todos os elementos).

Resoluo:

= 3 + 5 + 73 = 5 Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relao sequncia anterior), a mdia tambm foi adicionada de 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelos dados.

Exemplo 4:

Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {6, 10, 14} (observe que esta sequncia foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2).

Resoluo:

= 6 + 10 + 143 = 10 Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relao sequncia anterior), a mdia tambm foi multiplicada por 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelos dados.

2.3. Mdia para dados agrupados por valor

Acima, vimos que, quando os dados esto em rol, basta somar todos eles e dividir por n (onde n o nmero de dados).

Quando os dados esto agrupados por valor, a ideia de clculo da mdia ser a mesma.

Vamos ver como fica. Para tanto, voltemos aos salrios dos moradores do bairro Alfa. Agrupando os dados em uma tabela de frequncias:



Salrios Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 1

4 2

5 1

6 1

7 1

Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a mdia a seguinte.

Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duas anteriores.

Salrios Frequncia absoluta simples = Salrio x frequncia

1 1 1

2 3 6

3 1 3

4 2 8

5 1 5

6 1 6

7 1 7

Segundo passo: calculamos os totais das duas ltimas colunas.

Salrios Frequncia absoluta simples = Salrio x frequncia

1 1 1

2 3 6

3 1 3

4 2 8

5 1 5

6 1 6

7 1 7

TOTAL 10 36

Terceiro passo: a mdia ser dada pela diviso do total da coluna (salrio x frequncia) pelo total da coluna de frequncias.

= 3610 = 3,6 Repare que a mdia foi de R$ 3.600,00. A mesma mdia obtida quando os dados estavam em rol. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, so os mesmos dados, apenas dispostos de forma diferente.

Outro aspecto interessante. O total da coluna de (salrio x frequncia) justamente a soma de todos os salrios.

Para fazer este procedimento, importante que se trabalhe apenas com frequncias simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser simples. Se o exerccio te der uma tabela de frequncias acumuladas, antes de resolver, tem que passar para a respectiva frequncia simples.



Vamos ver como seria. Se o exerccio trouxesse a seguinte tabela:

Salrios (em R$ 1.000,00)

Frequncia relativa acumulada

1 0,1

2 0,4

3 0,5

4 0,7

5 0,8

6 0,9

7 1,0

Como voc calcularia a mdia?

Antes de comear a resolver, temos que achar a frequncia relativa simples, pois, para calcular a mdia, no serve a frequncia acumulada.

Salrios (em R$ 1.000,00)

Memria de clculo

Frequncia relativa simples


1 (=0,1) 0,1 0,1

2 (=0,4 0,1) 0,3 0,4

3 (=0,5-0,4) 0,1 0,5

4 (=0,7-0,5) 0,2 0,7

5 (=0,8 0,7) 0,1 0,8

6 (=0,9 0,8) 0,1 0,9

7 (= 1 0,9) 0,1 1,0

Feito isto, podemos criar a coluna de (frequncia x salrios), calcular os totais de cada coluna e achar a mdia.

Salrio (em R$ 1.000,00)

Frequncia relativa simples ( fr )

= Salrio x frequncia

1 0,1 0,1

2 0,3 0,6

3 0,1 0,3

4 0,2 0,8

5 0,1 0,5

6 0,1 0,6

7 0,1 0,7

TOTAL 1 3,6

E a mdia fica:

= 3,61 = 3,6 Observe que a resposta a mesma (tanto para frequncias absolutas quanto relativas). O que importa que as frequncias sejam simples. Nunca acumuladas.

Se fssemos resumir todos os procedimentos para calcular a mdia, poderamos express-los por meio das seguintes frmulas:



n

fXX ii

= (quando trabalhamos com frequncias absolutas)

1 = ii

frXX (quando trabalhamos com frequncias relativas)

Quando os dados esto em ROL, vimos no comeo desta aula que a frmula da mdia :

=

E agora, quando temos dados agrupados, a frmula mudou. Mas todas elas so formas ligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. A ttulo de exemplo, vamos comparar

n

Xn

ii

=1 comn

fX ii .

A primeira frmula para dados em rol. A segunda, para dados agrupados.

O denominador das duas frmulas o mesmo. No caso dos salrios das pessoas do bairro pesquisado no exemplo dado no incio da aula, so 10 observaes. Portanto, 10=n . Agora vamos nos concentrar nos numeradores.

Quando os dados esto em rol, temos: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quando escrevemos os dados em rol, representamos cada termo por iX . Assim, temos dez

valores de Xi.

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7.

Deste modo, para somar todos os dez valores, fazemos:

= 36

E 36 o numerador da frmula n

Xn

ii

=1 .

J quando os dados esto agrupados, a notao muda um pouco. Ficamos com:

Salrios Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 1

4 2

5 1

6 1

7 1

Continuamos tendo dez observaes. Mas, para represent-las, no usamos mais dez valores de Xi. Usamos apenas sete. Um para cada valor diferente de salrio.



Assim, dizemos que X1 = 1. Isto porque o primeiro valor de salrio observado igual a 1.

Dizemos tambm que X1 tem frequncia igual a 1 ( 11 =f ).

Dizemos que X2 = 2. Isto porque o segundo valor observado igual a 2. Dizemos tambm

que sua frequncia igual a 3 ( 32 =f ). Ou seja, este segundo valor, na verdade, representa trs termos. Trs observaes esto representadas por este X2 = 2. Por isso dizemos que os dados esto agrupados. Agrupamos trs termos em uma nica linha da tabela.

Nesta representao, de dados agrupados, temos:

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 4; X5 = 5; X6 = 6; X7 = 7.

Mas, agora, se quisermos somar todas as observaes, no podemos simplesmente fazer:

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Isto estaria errado porque, como j dissemos, cada valor de Xi pode representar mais de uma observao. Por isso temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva frequncia. Deste modo, quando os dados esto agrupados, a soma de todos os valores fica ligeiramente diferente. Neste exemplo da pesquisa de salrios, ficamos com:

= 1 1 + 2 3 + 3 1 + 4 2 + 5 1 + 6 1 + 7 1 = 36

Resumindo:

Quando os dados esto em rol, para somar todos os dados fazemos: Quando os dados esto agrupados, para somar todos os dados fazemos: .

Estas duas frmulas fornecem exatamente o mesmo resultado.

2.4. Mdia para dados em classe

Considere a tabela abaixo, que representa os dados da nossa pesquisa sobre os salrios dos moradores do bairro.

Classes de valores Frequncia absoluta simples

[1;4) 5

[4;7) 4

[7;10) 1

A tabela acima outra forma de representao do rol que estamos estudando. Apenas agrupamos os valores, distribuindo-os em classes.

Vamos agora calcular a mdia. Novamente, a exemplo do que fizemos para os dados agrupados por valor, temos que garantir que as frequncias sejam simples. Tanto faz serem absolutas ou relativas. Mas tm que ser simples. Se o exerccio pedir clculo de mdia e fornecer frequncias acumuladas, voc tem que achar as respectivas frequncias simples.



Neste caso, j temos direto as frequncias absolutas simples. J d para comear a calcular a mdia.

Para clculo da mdia, sempre utilize frequncias simples (pode ser absoluta ou relativa).

Quando falamos sobre dados dispostos em classes, comentamos que se perdia informao. Olhemos para a primeira classe, com valores de R$ 1.000,00 a R$ 4.000,00. Sabemos que cinco pessoas esto nesta classe, mas no temos como determinar o salrio de cada uma delas. Sabemos apenas que ganham de R$ 1.000,00 at R$ 3.999,99 (repare que nesta classe no levamos em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00).

Para calcular a mdia, precisaramos somar todos os dez salrios e dividir por 10. Ora, se no sabemos mais, com exatido, o salrio de cada uma das dez pessoas, no temos mais como calcular a mdia.

Assim, quando os dados estiverem em classes, no possvel saber qual a verdadeira mdia dos dados. O que fazemos simplesmente dar um chute. isso mesmo! Um chute.

A mdia verdadeira, esta no d para achar. Mas d para estimar um valor para esta mdia. Como fazer?

O primeiro passo calcular o ponto mdio de cada classe.

Classes de valores Ponto mdio Frequncia absoluta

simples

[1;4) 2,5 5

[4;7) 5,5 4

[7;10) 8,5 1

Pronto, agora vamos ao nosso chute. Vamos considerar que todas as pessoas de cada classe ganham exatamente o salrio correspondente ao ponto mdio da classe. Ou seja, as 5 pessoas da primeira classe ganham R$ 2.500,00. As 4 pessoas da segunda classe ganham R$ 5.500,00. E a pessoa da terceira classe ganha R$ 8.500,00. Novamente, isto apenas um chute.

Feito isso, agora a questo que temos basicamente o clculo de uma mdia para dados agrupados. O procedimento o mesmo que vimos no tpico anterior. Relembrando.

Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, contendo o produto dos valores por suas respectivas frequncias.

Ponto mdio Frequncia absoluta

simples Ponto mdio x

frequncia

2,5 5 12,5

5,5 4 22

8,5 1 8,5

Segundo passo: somamos os valores das colunas.



Ponto mdio Frequncia absoluta

simples Ponto mdio x

frequncia

2,5 5 12,5

5,5 4 22

8,5 1 8,5

Totais 10 43

Terceiro passo: dividimos o total da coluna (valor x frequncia) pelo total da coluna de frequncias.

= 4310 = 4,3 Pronto, est calculada a mdia (ou melhor, chutada). Repare que este valor no igual mdia verdadeira (3,6). Quem tem acesso a todos os dados sabe que o salrio mdio das dez pessoas pesquisadas de R$ 3.600,00. Contudo, sem acesso a todas as informaes, estimamos a mdia em R$ 4.300,00.

Alm da mdia aritmtica, h outras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmtica a mais importante (porque a mais cobrada). Portanto, se o exerccio falar apenas mdia, sem mencionar que a aritmtica, pode supor que se trata dela.

Exemplo 5:

Calcular a mdia aritmtica para a seguinte distribuio de frequncias:

Classe Frequncia

1 a 7 5

7 a 13 10

13 a 19 20

19 a 25 15

Primeiro calculamos os pontos mdios das classes:

Classe Ponto mdio (X) Frequncia

1 a 7 4 5

7 a 13 10 10

13 a 19 16 20

19 a 25 22 15

Como as classes tm todas elas amplitude 6, basta calcularmos o primeiro ponto mdio (4) e depois ir somando 6 para achar os outros pontos mdios.

Agora multiplicamos cada valor por sua frequncia, e somamos:



Ponto mdio (X) Frequncia (f) 4 5 20

10 10 100

16 20 320

22 15 330

Total 50 770

A mdia fica:

= 77050 Uma dica para fazer essa conta multiplicar numerador e denominador por 2:

= 1540100 = 15,4

2.5. Utilizao da varivel auxiliar

Para facilitar o clculo da mdia, h um procedimento opcional, que envolve a varivel auxiliar. Eu costumo cham-la de d. Na falta de um smbolo melhor, uso o smbolo que a Esaf adotou na prova do AFRFB 1996, a nica vez em que vi uma questo exigir que o candidato usasse tal procedimento (o normal que o procedimento seja opcional).

Bom, o segredo para a varivel d usar propriedades da mdia. Utilizamos somas, subtraes, multiplicaes ou divises por constantes, para chegarmos a nmeros menores, mais fceis de se trabalhar.

H infinitas formas de fazer isso. A mais comum, que vale quando as amplitudes de classe so iguais entre si, a seguinte:

subtramos cada valor de X pelo valor de maior frequncia

dividimos pela amplitude de classe

Vamos fazer isso no exemplo acima:

Ponto mdio (X) Frequncia (f)

4 5

10 10

16 20

22 15

Total 50

O ponto de maior frequncia 16 (com frequncia 20).

A amplitude de classe 6.

Ento a varivel d fica:

= 166



Ponto mdio (X) Frequncia (f) 4 -2 5

10 -1 10

16 0 20

22 1 15

Total 50

Agora calculamos a mdia de d, que mais fcil (por envolver valores menores):

Frequncia (f) -2 5 -10

-1 10 -10

0 20 0

1 15 15

Total 50 -5

Logo:

= 550 = 0,1 Lembrando que:

= 166 = 6 + 16 Usando as propriedades da mdia:

= 6 + 16 = 6 0,1! + 16 = 0,6 + 16 = 15,4

O resultado exatamente o mesmo (15,4). S tivemos a vantagem de trabalhar com nmeros menores.

Como dissemos, h infinitas formas de criar a varivel d. Segue outro exemplo:

subtramos cada valor de X pelo primeiro valor




4 5

10 10

16 20

22 15

Total 50

O primeiro valor de X 4.



= 46



Ponto mdio (X) Frequncia (f) 4 0 5

10 1 10

16 2 20

22 3 15

Total 50

Agora calculamos a mdia de d, que mais fcil (por envolver valores menores):

Frequncia (f) 0 5 0

1 10 10

2 20 40

3 15 45

Total 50 95

Logo:



= 6 + 4 = 6 1,9 + 4 = 15,4

De novo, mesmo resultado.

A primeira tcnica costuma ser melhor, pois faz com que o valor 0 da varivel d seja aproveitado para multiplicar a maior frequncia.

2.6. Simplificao das frequncias

Um atalho bem legal, mas que no muito comum em provas, o seguinte.

A mdia aritmtica calculada assim:

= Lembrando que o nmero de observaes (n) justamente o total das frequncias:

= Se dividirmos todas as frequncias por uma mesma constante, reduzimos o numerador e o denominador na mesma proporo, e o resultado no se altera. Isso til quando todas as frequncias tm divisores em comum.

Fazendo esse procedimento no exemplo que acabamos de ver:




4 5

10 10

16 20

22 15

Total 50

Podemos dividir todas as frequncias por 5:

Ponto mdio (X) Frequncia (f) Frequncia modificada (f)

4 5 1 4

10 10 2 20

16 20 4 64

22 15 3 66

Total 50 10 154

E usamos essas frequncias modificadas para calcular a mdia:

= 15410 = 15,4 Podemos ainda combinar as duas coisas:

simplificao de frequncias;

varivel auxiliar

Assim:

subtramos cada valor de X pelo valor de maior frequncia


dividimos as frequncias por 5



4 5

10 10

16 20

22 15

Total 50

O ponto de maior frequncia 16 (com frequncia 20).



= 166



Ponto mdio (X) Frequncia (f) Frequncia modificada (f)

4 -2 5 1

10 -1 10 2

16 0 20 4

22 1 15 3

Total 50 10

Agora calculamos a mdia de d, usando as frequncias modificadas.

Frequncia modificada (f)

-2 1 -2

-1 2 -2

0 4 0

1 3 3

Total 10 -1

Logo:



= 6 + 16 = 6 0,1! + 16 = 0,6 + 16 = 15,4

De novo o mesmo resultado!

MEDIA PARA DADOS EM CLASSES

Utilize sempre frequncias simples.

Considerar que as frequncias so associadas aos pontos mdios das classes.

Procedimento opcional: criar varivel auxiliar.

Subtrair do ponto mdio com maior frequncia e dividir pela amplitude de classe.

Procedimento opcional, com intuito de facilitar as contas.

2.7. Mdia ponderada



A mdia ponderada uma variao da mdia aritmtica. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo.

Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final a mdia dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6.

A nota final fica:

84

67910 =+++=NF

Ok, at aqui nenhuma novidade. Fizemos a mdia aritmtica normal, a mesma que vimos nos tpicos anteriores.

Esse mesmo aluno faz outro curso, em que so aplicadas apenas duas provas. Suas notas so: 9,5 e 7,5.

A mdia aritmtica dessas notas fica:

5,82

5,75,9 =+

S que, nesse segundo curso, a nota final no calculada simplesmente por meio da mdia aritmtica. Isso porque a primeira prova de mltipla escolha. A segunda discursiva. Como a segunda prova mais complicada, mais difcil, ela vale mais. Ela tem peso trs. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso?

Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale trs vezes mais.

A nota final, nesse segundo curso, igual a:

84

5,735,91' =+=NF

como se a segunda prova fosse triplicada. como se estivssemos, na verdade, fazendo uma mdia aritmtica entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3.

( )5,735,914

1' +=NF

primeira notasegunda nota

peso da primeira notapeso da segunda nota

soma dos pesos(=1+3)



A nota final, neste segundo curso, uma mdia ponderada das notas das duas provas. uma modificao da mdia aritmtica. Na mdia ponderada, cada valor tem um peso diferente.

Se vocs lembrarem da mdia para dados agrupados, sua frmula era:

n

fXX ii

=

Esta frmula a de cima no deixa de ser uma mdia ponderada. Fazemos a mdia entre os valores de Xi, onde os pesos de ponderao so as frequncias.

A mdia ponderada tambm empregada quando queremos calcular a mdia da reunio de dois conjuntos. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 6:

Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A mdia salarial dos homens de R$ 825,00. A mdia salarial das mulheres R$ 600,00. Qual a mdia geral, de homens e mulheres?

Resoluo

Vamos chamar o salrio dos homens de H.

Como assim???

Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salrios:

725,00; 800,00; 850,00; 925,00.

Pronto, a mdia desses salrios de 825,00.

Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte:

O salrio do primeiro homem 725. Portanto: 7251 =H

O salrio do segundo homem 800. Portanto: 8002 =H

E assim por diante.

Pois bem, somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

4825 =

H

Multiplicando cruzado:

33008254 ==H

Ou seja, a soma dos salrios de todos os homens igual a R$ 3.300,00.

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:



300060055

600 === M

M

Ou seja, a soma dos salrios de todas as mulheres igual a R$ 3.000,00.

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

9_

+=

MHgeralMdia

Substituindo os valores:

7009

30003300_ =+=geralMdia

A mdia geral, incluindo homens e mulheres, de R$ 700,00.

Vamos reescrever a soluo? Vamos agora fazer aparecer a tal da mdia ponderada.

Chamamos os salrios dos homens de H.

Somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

4825 =

H


8254=H

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:

60055

600 == M

M

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

9_

+=

MHgeralMdia


7009

60058254_ =+=geralMdia



Observe que a mdia geral uma mdia ponderada entre as mdias dos homens e das mulheres. O peso da mdia dos homens o nmero de homens. O peso da mdia das mulheres o nmero de mulheres.

Um outro tipo de exerccio semelhante a este, porm com um nvel de dificuldade um pouco maior, o que segue.

Exemplo 7:

Numa empresa, temos 100 funcionrios. A mdia do salrio dos homens de R$ 1.000,00. A mdia do salrio das mulheres de R$ 900,00. A mdia geral, considerando homens e mulheres, R$ 960,00. Quantas mulheres h na empresa?

Resoluo

Este exerccio um pouco mais difcil que o anterior.

Como no sabemos o nmero de homens e de mulheres, vamos dizer que so a homens e b mulheres.

Portanto: 100=+ ba (h 100 funcionrios na empresa).

Esta a primeira equao.

100=+ ba (I)

Vamos, novamente, chamar o salrio dos homens de H e o das mulheres de M.

A mdia dos salrios dos homens R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salrios dos homens e dividindo por a (so a homens), temos a mdia salarial masculina (=1000).

a

H=1000


aH = 1000

mdia dos homens

mdia das mulheres

peso da mdia dos homens peso da mdia das

mulheres

soma dos pesos(=4+5)

( ) 700600582549

1_ =+=geralMdia



Assim, a soma dos salrios de todos os homens igual a mil vezes o nmero de homens.

A mdia dos salrios das mulheres R$ 900,00. Portanto, somando o salrio de todas as mulheres e dividindo por b (so b mulheres), temos a mdia salarial feminina (=900):

b

M=900


bM = 900

A soma dos salrios de todas as mulheres igual a 900 vezes o nmero de mulheres.

A mdia geral R$ 960,00. Ou seja, somando o salrio de todos os homens e de todas as mulheres, dividindo pelo nmero de pessoas (= ba + ), temos a mdia geral.

ba

MH

++

= 960


)(960 baMH +=+

Ou seja, a soma de salrios de homens e mulheres igual a 960 vezes o nmero de pessoas.

Substituindo as somas de salrios de homens e mulheres:

)(9609001000 baba +=+ (II)

Esta a equao II. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de resolver. Aqui, vamos fazer o seguinte:

)(9609001000 baba +=+

Substitumos a1000 por aa + 900100

Continuando:

)(960900900100 babaa +=++

Colocando 900 em evidncia:

)(960)(900100 babaa +=++

Lembrando que 100=+ ba

100960100900100 =+ a

Dividindo todos os termos por 100:

960900=+a

4060 == ba

)(9609001000 baba +=+

)(960900900100 babaa +=++



So quarenta mulheres na empresa.

Para quem tem facilidade com contas, esta resoluo rpida. J outras pessoas preferem, em vez de ficar montando essas equaes, decorar uma frmula que d direto o percentual de homens (ou de mulheres). Esta frmula nada mais que uma combinao das duas equaes vistas acima.

Vamos chamar a mdia dos salrios das mulheres de M . A mdia dos salrios dos homens

de H . A mdia geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e mulheres no conjunto fica:

%60100

60

9001000

900960hom__ ==

=

=

MH

MXensdeperc

%40100

40

1000900

1000960__ =

=

=

=

HM

HXmulheresdeperc

Outra opo fazer um desenho esquemtico, identificando os termos da frmula.

O tamanho total do segmento de reta igual a 100. Ele equivale, em mdulo, aos denominadores de ambas as frmulas. E os numeradores correspondem, em mdulo, s diferenas abaixo indicadas:

E temos que ter o cuidado na hora de montar as fraes. O nmero 60, que corresponde diferena entre a mdia feminina e a geral, vai entrar na frmula do percentual de homens. O nmero 40, correspondente diferena entre a mdia masculina e a geral, vai entrar na frmula do percentual de mulheres.

%60100

60hom__ ==ensdeperc

%40100

40__ ==mulheresdeperc

Por que que temos que fazer essas inverses?



Vamos imaginar uma situao em que a proporo de homens maior que a de mulheres. Nesse caso, a mdia geral vai estar mais prxima da mdia masculina. como se a mdia masculina puxasse a mdia geral mais para o seu lado.

Do contrrio, se tivermos mais mulheres que homens, a a mdia geral estar mais prxima da mdia feminina. A mdia feminina puxa a mdia geral para o seu lado.

Em resumo, o sexo que detiver a maior proporo puxar a mdia geral para prximo da sua mdia.

Quanto menor a proporo de mulheres, maior a distncia entre a mdia feminina e a mdia geral. Assim, uma distncia grande (entre a mdia feminina e a geral) est relacionada a uma proporo pequena de mulheres.

Para os homens a situao anloga. Quanto maior a proporo de homens, menor ser a distncia entre a mdia masculina e a geral. Em outras palavras, uma distncia pequena entre a mdia masculina e a geral corresponde a uma proporo grande de homens.

Notaram que as grandezas tm relao inversa? Quanto maior a proporo menor a distncia. Quanto menor a proporo, maior a distncia.

Da que surgem as inverses.

3.1. Mdia geomtrica e mdia harmnica

Este assunto no muito cobrado em concursos. Mas no custa nada comentar.

Aqui, tambm estamos interessados em calcular um valor mdio, assim como feito com a mdia aritmtica. S que a conta que fazemos outra.

Por definio, a mdia geomtrica de n valores no negativos (X1, X2, ..., Xn) :

n

n

ii

nn XXXXG

=

==1

21 ...

Por definio, a mdia harmnica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) :

1

1

11

=

= n

iiXn

H

Frmulas meio complicadas, no?

Vamos ver alguns exemplos que fica mais fcil.

Suponhamos que nossos dados so apenas: 3 e 12. Apenas dois nmeros (para facilitar as contas).

Para calcular a mdia aritmtica, conforme vimos na seo anterior, ficamos com:

5,72

123 =+=X

A mdia geomtrica diferente. Para obt-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramos a raiz ensima. Como neste caso so apenas dois valores, ser a raiz quadrada.



61232 ==G

A mdia harmnica um pouco mais complicada. Vamos dividir em trs passos.

Primeiro passo: achamos os recprocos de cada valor.

Para obter o recproco de um nmero, basta inverter seu numerador com seu denominador. Vamos a um exemplo.

Tomemos o nmero 3

2. Seu recproco

2

3.

No nosso caso, os valores so 3 e 12.

O recproco de 3 3

1.

O recproco de 12 12

1.

Segundo passo: calculamos a mdia aritmtica dos recprocos.

Ficamos com:

24

5

212

14

212

1

3

1

=

+

=+

Terceiro passo: calculamos o recproco do valor obtido acima. Pronto. Esta a mdia harmnica.

5

24=H

8,4=H

Se resumirmos todos esses trs passos numa frase, podemos dizer que a mdia harmnica o recproco da mdia aritmtica dos recprocos dos valores.

Uma coisa que cai bastante em concurso no essa parte de contas. simplesmente saber o seguinte:

Para qualquer conjunto de n nmeros positivos, a mdia harmnica menor ou igual mdia geomtrica e esta menor ou igual mdia aritmtica. A igualdade s ocorre se todos os nmeros forem iguais entre si.

Vamos olhar no caso dos nmeros 3 e 12. A mdia aritmtica foi de 7,5. Foi a maior das mdias. A mdia harmnica foi de 4,8. Foi a menor das trs. E a mdia geomtrica foi de 6, o valor intermedirio.

Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, a teramos:

12=== HGX Quando todos os valores so iguais, as mdias coincidem.

Resumindo, o que geralmente cai em prova saber que:



XGH (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

COMPARAO DAS MDIAS

XGH (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

Exemplo 8:

Para a sequncia (4,6,9), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

Resoluo:

Mdia aritmtica:

3

19

3

964

3=++== i

XX

Mdia geomtrica:

6216964 33 ===G

Mdia harmnica:

Primeiro passo: encontrando os recprocos:

9

1,

6

1,

4

1

Segundo passo: mdia dos recprocos:

108

19

3

1

36

469

39

1

6

1

4

1

=++=++

Terceiro passo: recproco do valor acima:

19

108=H

Exemplo 9:

Para a sequncia (4,4,4), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.



Resoluo:

Como todos os valores so iguais, todas as mdias so iguais a 4.

3. MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES

Medidas separatrizes so medidas que separam os dados de forma bem especfica.

Uma medida separatriz que ns j mencionamos a mediana. Quando a vimos pela primeira vez, dissemos que ela era uma medida de tendncia central. Ela, assim como a mdia e a moda, nos indica um valor em torno do qual os dados giram.

Alm de ser uma medida de tendncia central, ela tambm uma medida separatriz. Isto porque ela separa os dados de uma forma bem especfica. Sendo a mediana o termo do meio, ela deixa metade dos dados sua esquerda e a outra metade sua direita.

Outra medida separatriz o quartil. So trs quartis, dividindo a sequncia de dados em quatro partes iguais (em quatro partes com o mesmo nmero de termos).

O primeiro quartil separa a sequncia de dados de forma que sua esquerda fiquem 25% dos valores e sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil o valor que no superado por 25% das observaes.

O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.

O terceiro quartil deixa sua esquerda 75% dos valores e sua direita 25%. Logo, o terceiro quartil o valor que no superado por 75% das observaes.

Outra medida separatriz o decil. So nove decis que dividem a srie em dez partes iguais.

O primeiro decil deixa sua esquerda 10% dos valores; sua direita 90% (ou seja, no superado por 10% das observaes). O segundo decil deixa sua esquerda 20% dos valores; sua direita 80%. E assim por diante.

O quinto decil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.

A ltima medida separatriz que veremos o percentil. O primeiro percentil deixa sua esquerda 1% dos valores e sua direita 99% (ou seja, no superado por 1% das observaes). O segundo percentil deixa sua esquerda 2% dos valores e sua direita 98%. E assim por diante. O quinquagsimo percentil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.

Ento, resumindo as medidas separatrizes: a mediana, os quartis, os decis, os percentis.

3.1. Mediana para dados em ROL

Imaginemos o seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13.

So cinco elementos. O do meio o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de dados :

8=D



Repare que a mediana divide a srie em duas partes com a mesma quantidade de dados. esquerda do nmero 8 temos dois valores (2 e 7). direita do nmero 8 tambm temos dois valores (11 e 13).

Para o exemplo que estamos trabalhando desde o incio da aula, o rol :

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quem a mediana?

Neste rol, o nmero de dados par. Ou seja, no tem um termo que seja o do meio. Nestes casos, adotamos o seguinte procedimento:

1 tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento)

2 fazemos a mdia entre eles.

O quinto elemento 3 (X5 = 3). O sexto elemento 4 (X6 = 4).

A mediana fica:

5,32

43 =+=D

Quando a srie tem um nmero mpar de elementos, fatalmente a mediana far parte do conjunto de dados. Como existir um termo do meio, ele ser a mediana.

Quando a srie tem um nmero par de elementos, a mediana no necessariamente far parte do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta.

A mediana, alm de ser uma medida de tendncia central, tambm uma medida separatriz. Ela separa a srie de dados de forma bem especfica, em duas partes com mesmo nmero de elementos.

Exemplo 10:

Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 2, 8, 5, 1

c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

Resoluo:

a) A sequncia tem nove termos. A mediana simplesmente o termo central, ou seja, o quinto termo. O quinto termo o seis. Portanto:

6=D

Certo???

ERRADO!



Antes de fazermos qualquer coisa com a srie de dados, temos que pass-la para um rol, colocando os termos em ordem crescente.

ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6

Pronto. Agora a sequncia est ordenada. O quinto termo o 3.

3=D

b) Primeiro, achemos o rol.

ROL: 1, 2, 5, 8.

A sequncia tem quatro termos (nmero par). No h termo central. Fazemos a mdia dos dois termos centrais.

5,32

52 =+=D

c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

So vinte e um termos. O do meio o dcimo primeiro.

3=D

Apenas por curiosidade, vamos calcular a mdia deste conjunto.

52,721

158

21=== i

XX

A mediana deu 3. uma medida de tendncia central. Ns vimos l no incio desta aula que medidas de tendncia central nos do um indicativo de valores em torno dos quais os dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em torno de 3.

Mas a mdia tambm uma medida de tendncia central. Tomando apenas a mdia, dizemos que os dados giram em torno de 7,52.

Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52??? Na verdade, as medidas de tendncia central no precisam necessariamente coincidir. Elas coincidem quando a sequncia for simtrica. Ainda falaremos sobre simetria/assimetria mais adiante.

Mdia e mediana so obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os valores, dividido pelo nmero de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que tomamos o termo do meio. Cada uma delas procura expressar a tendncia central, mas de forma distinta.

Suponha que esta srie de dados da letra C represente os salrios dos funcionrios de uma dada empresa, em nmeros de salrios mnimos.

Assim, os quatro primeiros funcionrios ganhariam 1 salrio mnimo. Os seis seguintes, dois salrios mnimos. E assim por diante, at os dois ltimos, que ganham quarenta salrios mnimos.

Olha como a coisa interessante. Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos funcionrios recebe um salrio mais baixo. So operrios, tcnicos, secretrias etc. E poucos funcionrios recebem um salrio muito alto. So diretores, gerentes, etc.



Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que um timo lugar para trabalhar, dir que o salrio mdio por ela pago de mais de 7 salrios mnimos. que, mesmo com a grande maioria dos funcionrios ganhando um salrio muito baixo, temos uns poucos felizardos que ganham um salrio to alto a ponto de fazer com que a mdia no seja assim to baixa.

Por outro lado, se os funcionrios quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, podero dizer que o salrio mediano na empresa de apenas 3 salrios mnimos.

Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os dois funcionrios que ganham 40 salrios mnimos. Ficaramos com o seguinte conjunto:

1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19.

A mediana agora igual a 2. E a mdia passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos que a mdia. Isso porque a mediana menos influenciada por valores extremos. Ela pouco sensvel a tais valores. A mdia, contrariamente, mais influenciada por valores muito grandes (ou muito pequenos). Dizemos que a mdia mais sensvel que a mediana.

Por isso, em pesquisas de distribuio de renda, muitas vezes utilizada a mediana como medida de tendncia central. Geralmente poucas pessoas tm renda extremamente alta. Estas pessoas contribuem para aumentar a renda mdia, num quadro em que grande parte da populao tem renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, que descrevem melhor a populao pesquisada.

3.2. Mediana para dados agrupados por valor

Relembrando, a mediana o termo que divide a srie em duas partes com o mesmo nmero de termos. Ou ainda, o valor que no superado por 50% das observaes.

Retomemos a tabela de frequncias absolutas simples para o nosso rol formado pelos salrios dos moradores do bairro que utilizamos em nosso exemplo, visto no comeo desta aula.

Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 1

4 2

5 1

6 1

7 1

Ao contrrio da mdia e da moda, para encontrar a mediana no trabalhamos com frequncias simples. Trabalhamos sempre com frequncias acumuladas (tanto faz ser relativa ou absoluta).

Ento, o primeiro passo para encontrar a mediana encontrar a coluna de frequncias absolutas acumuladas.



Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta simples

Frequncia absoluta acumulada

1 1 1

2 3 4

3 1 5

4 2 7

5 1 8

6 1 9

7 1 10

Segundo passo: determinar qual o termo do meio (ou quais so). Neste caso, como so 10 elementos (ou seja, o nmero total de dados par), no temos um termo do meio. Temos dois termos centrais.

Numa sequncia de 10 termos, os centrais so o quinto e o sexto elementos.

Temos, portanto que determinar quem o quinto elemento e quem o sexto elemento. Para tanto, basta encontrar a quais valores de salrios correspondem as frequncias acumuladas 5 e 6.

Dirigindo-nos coluna de frequncia acumulada, procuramos pelo nmero 5 (ver linha em vermelho).

Qual valor de salrio corresponde frequncia acumulada 5?

Resposta: 3 (R$ 3.000,00).

Pronto, encontramos o quinto elemento.

Agora, encontremos o sexto elemento. Dirigindo-nos coluna de frequncia acumulada, procuramos pelo nmero 6. S que no h nenhum valor de frequncia acumulada igual a 6. Adotamos o nmero imediatamente superior, no caso, 7 (ver linha em azul).

Qual o valor de salrio correspondente frequncia acumulada 7?

Resposta: 4 (R$ 4.000,00).

Pronto, encontramos o stimo elemento (que igual ao sexto elemento).

Num caso de nmero par de dados, a mediana dada pela mdia entre os dois termos centrais.

5,32

43 =+=D

Talvez tenha ficado a dvida de por que utilizamos a frequncia acumulada 7 em vez de 6. Tentando explicar um pouco melhor, podemos pensar o seguinte. A frequncia acumulada do valor 3 5. O que significa isto? Significa que 5 pessoas ganham salrios menores ou iguais a R$ 3.000,00.

A frequncia acumulada do valor 4 7. O que significa isto? Significa que 7 pessoas ganham salrios menores ou iguais a R$ 4.000,00.

Ou seja, cinco pessoas ganham at R$ 3.000,00. Sete pessoas ganham at R$ 4.000,00. Eu estou procurando pela sexta pessoa. Eu sei que esta sexta pessoa ganha mais de R$



3.000,00, pois apenas as cinco primeiras ganham at R$ 3.000,00. Logo, a sexta e a stima pessoas ganham salrios de R$ 4.000,00. Ou seja, o sexto e o stimo valores so iguais.

3.3. Demais medidas separatrizes para dados em Rol ou agrupados por

valor

Quando os dados esto em ROL ou agrupados por valor, o clculo das medidas separatrizes pode ser meio complicado.

Para a mediana, ns vimos no tpico anterior que bastava identificar o termo central. Ou, caso o conjunto tivesse um nmero par de termos, bastava identificar os dois termos centrais e fazer a mdia.

Para as demais medidas, a maneira de calcular varia bastante. Costumo dizer que vai do gosto do fregus. Talvez por isso dificilmente caia em prova.

Vejamos um exemplo. Neste ponto especfico, vou utilizar a mesma ideia apresentada no livro Estatstica Aplicada Economia, Administrao e Contablidade, dos autores John Freund e Gary Simon. Os autores trabalham com um exemplo envolvendo quartis, demonstrando que h vasto campo para a arbitrariedade na definio do quartil inferior Q1 e do quartil superior Q3.

Ento isso. O que vem abaixo uma adaptao dos exemplos do livro citado.

Estamos pesquisando as alturas das crianas de uma escola.

Selecionamos doze crianas. Medimos suas alturas, obtendo o seguinte rol (valores em metros):

1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56.

Muito bem. Nossa tarefa agora encontrar os quartis.

So doze valores. Se vamos dividir o ROL em quatro partes iguais, cada parte ter trs elementos. Ficaremos com:

Acima temos as quatro partes de trs elementos. Portanto, quatro partes iguais.

Neste exemplo, uma forma de determinar os quartis poderia ser a que segue: tomamos os nmeros que ficam perto das fronteiras entre as partes e fazemos a mdia entre eles.

A primeira parte termina no 1,44. A segunda parte comea no 1,45. Fazendo a mdia entre eles temos:

445,12

45,144,1 =+

1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56



Assim, o primeiro quartil seria 1,445 ( 445,11 =Q ).

A segunda parte termina no 1,47. A terceira parte comea no 1,49. Fazendo a mdia entre eles temos:

48,12

49,147,1 =+

O segundo quartil (que coincide com a mediana) 1,48 ( 48,12 =Q ).

A terceira parte termina no 1,52. A quarta parte comea no 1,53. Fazendo a mdia entre eles temos:

525,12

53,152,1 =+

E o terceiro quartil igual a 1,525 ( 525,13 =Q ).

Pronto, descobrimos os trs quartis. Trs valores que separam a srie de dados em quatro partes iguais.

Agora vamos mudar a situao. Em vez de 12 crianas, medimos altura de apenas 11. A criana mais baixa, com 1,40, no foi analisada. O novo ROL, com 11 termos, fica:

1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56.

E agora? 11 no mltiplo de 4. Como separar a sequncia em quatro partes iguais?

Bom, o segundo quartil sempre coincide com a mediana. Agora temos um nmero mpar de elementos. H um termo do meio, que o sexto. A mediana igual a 1,49. Portanto, o segundo quartil tambm igual a 1,49.

O problema achar os demais quartis.

Neste caso, podemos pensar que:

direita do primeiro quartil existem trs vezes mais termos que sua esquerda; esquerda do terceiro quartil existem trs vezes mais termos que sua direita;

o nmero de elementos entre Q1 e Q2 igual ao nmero de elementos entre Q2 e Q3, que igual ao nmero de elementos esquerda de Q1, que igual ao nmero de elementos direita de Q3;

metade dos dados est entre Q1 e Q3.

Quando a sequncia tinha 12 termos (mltiplo de quatro) todas estas propriedades foram satisfeitas (pode conferir).

Agora, quando a sequncia tem apenas 11 termos, no possvel fazer com que todas sejam observadas ao mesmo tempo.

Adotando a segunda propriedade, poderamos determinar os quartis do seguinte modo:

1,40; 1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56

Q1=1,445 Q2=1,48 Q3=1,525



Mas observe que as demais propriedades no foram satisfeitas.

Pois bem, este mesmo problema enfrentado com os quartis acontece com todas as demais medidas separatrizes (decis e percentis).

Talvez, devido a este tipo de problema, no seja comum a cobrana de tais medidas em provas de concursos (para dados em ROL ou agrupados por valor).

No caso especfico de quartis, ainda se v cobrana vez ou outra. E o mtodo que se costuma utilizar para determinar o valor dos quartis sempre o mesmo e acaba correspondendo aplicao da segunda propriedade. O segundo quartil divide a sequncia em duas partes iguais. Consideramos que o primeiro quartil a mediana da primeira parte. E o terceiro quartil a mediana da segunda parte.

Para encerrar o tpico, s chamo a ateno para um detalhe.

Um nome importante que pode aparecer nas questes amplitude interquartlica, ou intervalo interquartlico:

Amplitude interquartlica ou intervalo interquartlico

a diferena entre o terceiro quartil e o primeiro quartil

3.4. Medidas separatrizes para dados em classe

Como dissemos acima, o que cai bastante em prova o clculo de medidas separatrizes para dados em classes. Costumo dizer que este o tpico mais importante de estatstica descritiva. Se voc considerar provas anteriores das mais importantes bancas, este o assunto mais cobrado.

A representao dos dados na forma agrupados em classes comum quando o nmero de observaes muito grande. Nestas situaes, os problemas que vimos na determinao das medidas separatrizes tornam-se irrelevantes. Especialmente levando-se em conta que nem acesso a todos os dados ns temos (ou seja, obrigatoriamente consideraes tm que ser feitas). Quando os dados esto agrupados em classes, no h mais vasto campo de arbitrariedade na determinao dos quartis (ou dos decis, ou dos percentis). O mtodo sempre o mesmo.

1,41; 1,44; 1,45; 1,46; 1,47; 1,49; 1,51; 1,52; 1,53; 1,55; 1,56

Q1=1,45 Q2=1,49 Q3=1,53



Para resolver exerccios de medidas separatrizes para dados agrupados em classes, utilizamos interpolao linear. Vai funcionar mais ou menos assim.

Precisamos trabalhar com valores de frequncias acumuladas (no importa se absolutas ou relativas, importa que sejam acumuladas). Neste ponto a conta diferente de mdia e moda. Para mdia e moda sempre usamos frequncias simples. Para medidas separatrizes (incluindo mediana) o contrrio: frequncias acumuladas.

Para determinados valores de frequncias acumuladas, saberemos muito bem quais os valores da nossa sequncia de dados so correspondentes. Para outros, no. Estes outros valores ns determinaremos por meio da interpolao linear.

Novamente: se tivssemos que apontar um tpico de estatstica descritiva como o mais cobrado em concursos, seria exatamente este: o clculo de medidas separatrizes para dados agrupados em classes utilizando interpolao linear. Vejamos um exerccio para ver como fica:

Exemplo 11:

AFRF 2003 [ESAF]

Considere a tabela de frequncias seguinte correspondente a uma amostra da varivel X. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes Frequncias Acumuladas

2.000 4.000 5

4.000 6.000 16

6.000 8.000 42

8.000 10.000 77

10.000 12.000 89

12.000 14.000 100

Assinale a opo que corresponde estimativa do valor x da distribuio amostral de X que no superado por cerca de 80% das observaes.

a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500

Resoluo:

A pergunta pode ser resumida como: qual o valor do oitavo decil? Ou seja, quer se saber qual valor deixa sua esquerda 80% dos dados. Ou ainda, qual valor no superado por 80% das observaes.

O primeiro passo verificar se as frequncias dadas so acumuladas. Para medidas separatrizes, sempre devemos utilizar frequncias acumuladas. No importa se forem



absolutas ou relativas. Basta que sejam acumuladas. Lembre que aqui o contrrio do clculo para mdia e moda. Para mdia e moda sempre utilizamos frequncias simples.

No caso, o exerccio j deu as frequncias acumuladas. No temos que fazer nenhuma transformao.

Antes de responder pergunta, vamos relembrar um pouco do significado de uma tabela de frequncias acumuladas. Observe a linha em vermelho.


2.000 4.000 5

4.000 6.000 16

6.000 8.000 42

8.000 10.000 77

10.000 12.000 89

12.000 14.000 100

O que ela significa?

O que significa dizer que a frequncia acumulada da classe 8.000 10.000 igual a 77?

Significa que temos 77 valores de X nesta classe ou nas classes anteriores. Significa que temos 77 valores de X entre 2.000 e 10.000.

E se a pergunta fosse: qual o valor que no superado por 77% das observaes? Se a pergunta fosse essa, no precisaramos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar direto na tabela.

Se 77 valores de X esto entre 2.000 e 10.000, conclumos que o valor de X que no superado por 77% das observaes justamente 10.000.


2.000 4.000 5

4.000 6.000 16

6.000 8.000 42

8.000 10.000 77

10.000 12.000 89

12.000 14.000 100

O valor 10.000 no superado por 77% observaes

E se a pergunta fosse: qual o valor no superado por 89% das observaes? Novamente, no precisaramos fazer nenhuma conta. Bastaria olhar na tabela. Veja a linha em vermelho.




2.000 4.000 5

4.000 6.000 16

6.000 8.000 42

8.000 10.000 77

10.000 12.000 89

12.000 14.000 100

Temos 89 valores entre 2.000 e 12.000. Ou seja, 12.000 no superado por 89% das observaes.


2.000 4.000 5

4.000 6.000 16

6.000 8.000 42

8.000 10.000 77

10.000 12.000 89

12.000 14.000 100

O valor 12.000 no superado por 89% observaes

O problema que a pergunta foi qual o valor no superado por 80% das observaes. E na coluna de frequncias acumuladas no temos o valor 80. Logo, no temos como saber qual o valor de X que no superado por 80% das observaes.

O que faremos? Vamos chutar. Vamos fazer uma considerao. Vamos considerar que o grfico dos valores de frequncias acumuladas versus valores de X se comporta como um conjunto de segmentos de reta.

Neste curso ns no vamos ficar desenhando grficos de segmentos de reta. Vamos s utilizar o resultado destes grficos.


2.000 4.000 5

4.000 6.000 16

6.000 8.000 42

8.000 10.000 77

10.000 12.000 89

12.000 14.000 100

Sabemos que o valor 10.000 corresponde a uma frequncia acumulada de 77. Sabemos que o valor 12.000 corresponde a uma frequncia acumulada de 89. A pergunta : quem corresponde a 80? (vamos chamar de Z)

Sabemos que 80 est entre 77 e 89. Portanto, o valor que a ele corresponde tem que estar entre 10.000 e 12.000.



10.000 77 10.000 corresponde a 77

Z = ? 80 Quem corresponde a 80?

12.000 89 12.000 corresponde a 89

Na interpolao linear, ns vamos fazer o seguinte. Fazemos a segunda linha menos a primeira. Fazemos a terceira linha menos a primeira.

Primeira linha 10.000 77

Segunda linha Z 80

Terceira linha 12.000 89

Subtraindo, ficamos com:

000.10Z 7780 000.10000.12 7789

A interpolao linear nos diz que as diferenas das linhas de baixo com a linha de cima so proporcionais.

7789

7780

000.10000.12

000.10

=

Z

Isolando o Z, temos:

12

3000.2000.10

+=Z

500.10=Z

Concluindo: O valor 10.500 no superado por 80 observaes.

Gabarito: E.

Vamos mostrar graficamente o que foi feito.

Para os dados fornecidos, podemos construir a seguinte tabela de frequncias acumuladas:

Valores F

2.000 0

4.000 5

6.000 16

8.000 42

10.000 77

12.000 89

14.000 100

Podemos plotar estes valores num grfico.



Ou seja, para alguns valores, sabemos exatamente as respectivas frequncias acumuladas. Mas no sabemos qual valor corresponde frequncia acumulada 80 (ou qual o oitavo decil).

Assim, supomos que o grfico acima composto por diversos segmentos de retas que unem os pontos conhecidos.

Com esta suposio, passamos a ter, para qualquer frequncia acumulada, a respectiva observao. E vice-versa.

Esta suposio de que o grfico formado por segmentos de reta justamente a interpolao linear. O grfico acima por vezes chamado de ogiva de Galton. E a interpolao linear acaba sendo chamada de interpolao da Ogiva. Mas estes so s nomes diferentes para a mesma coisa.

Assim, em vez de resolvermos o exerccio da forma como fizemos, poderamos trabalhar diretamente com o grfico. Mas como ficar desenhando grfico meio trabalhoso, vou fazer uma vez s.

A pergunta : qual valor corresponde frequncia acumulada 80?



Ou ainda: qual o valor de Z da figura acima?

Vamos analisar apenas uma parte do grfico. Vamos olhar apenas para o penltimo segmento de reta.

Podemos visualizar dois tringulos no grfico acima. O primeiro, menor, destacado em verde:



A altura deste tringulo igual a 3 ( 7780= ). A base deste tringulo igual a ( 000.10Z ).

H um outro tringulo, maior, destacado em azul:

A altura deste tringulo maior 12 ( 7789= ).

Sua base igual a 2.000 ( 000.10000.12 = ).

Esses dois tringulos so semelhantes.

Portanto, a relao entre as alturas igual relao entre as bases.

Assim:

azultrianguloaltura

verdetrianguloaltura

azultriangulobase

verdetriangulobase

__

__

__

__ =



12

3

000.2

000.10 =Z

E foi exatamente desta igualdade que partimos para resolver o problema. Ou seja, esta igualdade nada mais que o resultado da semelhana de tringulos, tringulos estes obtidos por causa da interpolao linear.

Aqui no curso on line, acho que no muito proveitoso ficar resolvendo os exerccios diretamente no grfico. Portanto, nos prximos exerccios de concursos, faremos o primeiro procedimento visto, achando as trs linhas, subtraindo as duas de baixo pela de cima.

Para encerrar o exerccio, destaco que, por causa das alternativas, h uma soluo mais rpida. Olhando a tabela do enunciado, temos que:

10.000 77 10.000 corresponde a 77

Z = ? 80 Quem corresponde a 80?

12.000 89 12.000 corresponde a 89

80 est entre 77 e 89. O nmero que a ele corresponde (=Z), portanto, est entre 10.000 e 12.000. Logo, no pode ser o prprio 10.000, nem o prprio 12.000. J descartamos as letras A e B.

a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500

Se o nmero procurado est entre 10.000 e 12.000, ento ele tambm no pode ser igual a 12.500. Descartamos a letra C.

a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500

Como 80 est mais prximo de 77 do que de 89, o nmero a ele correspondente deve estar mais prximo de 10.000 do que de 12.000. Assim, descartamos a letra D, pois 11.000 est exatamente no meio entre 10.000 e 12.000.

a) 10.000

b) 12.000

c) 12.500

d) 11.000

e) 10.500



E marcamos a letra E.

Medidas separatrizes:

Identificar o valor de frequncia acumulada desejada. Utilizar interpolao linear.

3.5. Medidas separatrizes e histograma

Vejamos a seguinte questo:

Exemplo 12:

MPU 2007 [FCC]

Considere o histograma da varivel X a seguir, em que as frequncias simples absolutas foram anotadas no interior dos retngulos.

O valor do terceiro quartil de X :

a) 40

b) 35

c) 30

d) 25

e) 12

Resoluo:

Vamos achar qual a tabela de frequncias simples que corresponde ao histograma acima.

O histograma dado corresponde seguinte tabela:



Classes Frequncia absoluta simples

20 25 5

25 30 15

30 35 25

35 40 8

40 - 45 7

Total 60

O terceiro quartil o valor que no superado por 75% das observaes. Como so 60 dados, o terceiro quartil valor que no superado a 45 observaes. Ou seja, o valor que corresponde frequncia acumulada 45.

Abaixo segue a tabela de frequncias acumuladas:

Classes Frequncia absoluta simples Frequncia acumulada simples

20 25 5 5

25 30 15 20

30 35 25 45

35 40 8 53

40 45 7 60

E nem precisamos fazer a interpolao linear. Na tabela acima temos direto o valor que corresponde frequncia acumulada 45. Este valor 35. Ou seja, 35 o terceiro quartil.

Gabarito: B.

Agora eu queria chamar a ateno para um detalhe. Voltemos ao histograma. Considere apenas a rea esquerda do terceiro quartil. a rea destacada em verde na figura abaixo.

Temos trs retngulos verdes. O primeiro tem altura igual a 5. O segundo tem altura igual a 15. O terceiro tem altura igual a 25. Todos eles tem base igual a 5. A rea total desses trs retngulos fica:

22525515555_ =++=verdeA

Agora vejamos qual a rea total de todos os retngulos (rea amarela da figura abaixo).



Temos cinco retngulos, todos com base 5. Os trs primeiros ns j analisamos. Juntos, eles tm rea de 225.

Os dois ltimos tm alturas de 8 e 7. A rea dos dois ltimos fica:

757585 =+

Portanto, a rea amarela de:

30075225_ =+=amarelaA

Vamos dividir as reas?

%7575,0300

225

_

_ ===amarelaA

verdeA

A rea esquerda de 35 (=rea verde) igual a 75% da rea total. E 35 justamente o terceiro quartil, ou seja, o valor que no superado por 75% das observaes.

Isso no coincidncia.

Um histograma tambm pode ser til para achar medidas separatrizes. As reas a esquerda de um dado valor tm ntima relao com a posio que este valor ocupa.

Por exemplo, a rea esquerda da mediana ser sempre igual a 50% da rea total.

A rea esquerda do primeiro quartil ser sempre igual a 25% da rea total. A rea esquerda do terceiro quartil ser sempre igual a 75% da rea total. E assim por diante.

Antes de passarmos ao prximo exerccio, um detalhe. O histograma uma forma grfica de representar dados agrupados em classes. Quando todas as classes tm a mesma amplitude, o histograma exatamente do jeito que vimos acima. As alturas dos retngulos correspondem s frequncias absolutas de cada classe.

H outra maneira de montar o histograma, que mais usual quando as classes tm amplitudes diferentes (embora tambm possa ser usada para o caso de amplitude de classe constante).

Quando as classes tiverem amplitudes diferentes, o histograma muda. Em vez de as alturas corresponderem s frequncias, elas correspondem s densidades de frequncia (= frequncia dividida pela amplitude de classe).



muito importante saber da existncia dos histogramas baseados em densidades de frequncia. Quando formos estudar as distribuies de probabilidade, retomaremos este assunto.

Exemplo 13:

TRT 3 2009 REGIO [FCC]

A distribuio dos salrios dos 200 funcionrios, em R$ 1.000,00, de determinada carreira profissional em um rgo pblico est representada pelo histograma abaixo. No eixo vertical esto assinaladas as respectivas densidades de frequncias, em (R$ 1.000,00)1. Define-se densidade de frequncia de um intervalo de classe como sendo o quociente da diviso da respectiva frequncia relativa pela correspondente amplitude do intervalo.

Considerando todos os intervalos de classe fechados esquerda e abertos direita, tem-se que a quantidade de funcionrios que possuem salrios maiores ou iguais a R$ 4.000,00 e inferiores a R$ 8.000,00

(A) 60

(B) 80

(C) 90

(D) 140

(E) 160

Resoluo.

Quando o histograma montando com base em densidades de frequncia, sua rea total sempre igual a 1.

Vamos checar?

A rea total formada por quatro retngulos.



O primeiro retngulo tem base 2 e altura 0,10. Sua rea igual a:

2 0,1 = 0,2 O segundo retngulo tem base 1 e altura 0,25.

Sua rea fica:

1 0,25 = 0,25 O terceiro retngulo tem base 3 e altura 0,15. rea: 3 0,15 = 0,45 O ltimo retngulo tem base 2 e altura 0,05. rea: 2 0,05 = 0,1

Somando todas as reas:

0,2 + 0,25 + 0,45 + 0,1 = 1

Isso vale sempre. Se o histograma for baseado em densidades de frequncias, a rea total 1.

A rea entre os salrios de 4.000 e 8.000 est destacada abaixo:

Esta rea corresponde soma das reas de 0,25 e 0,45.

A rea verde igual a:

0,25 + 0,45 = 0,70 70% dos funcionrios tm salrios entre R$4.000,00 e R$8.000,00.

Lembrando que ao todo so 200 funcionrios.

70%de200 = 0,7 200 = 140 140 funcionrios tm salrios entre R$ 4.000,00 e R$ 8.000,00.

Gabarito: D



4. MODA

A moda mais uma medida de tendncia central. A moda o termo que mais se repete. Fcil, no? Podemos at nos lembrar do uso comum da palavra. Geralmente o que est na moda o que todo mundo usa.

Pois bem, o termo que aparecer mais vezes na nossa srie de dados ser a moda.

4.1. Moda para dados em ROL ou agrupados por valor

Para variar um pouco, voltemos aos moradores do bairro em que fizemos a pesquisa de renda:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Qual o salrio que mais se repetiu? Foi o salrio de R$ 2.000,00. Trs pessoas ganham um salrio de R$ 2.000,00. Este valor justamente a moda.

2=M (valor em R$ 1.000,00)

Comparada s demais medidas de posio, a moda tem o inconveniente de no se prestar anlise matemtica. Tanto a mediana quanto a mdia (principalmente a mdia!) possuem propriedades matemticas que as tornam mais teis.

Em relao moda, o autor William Stevenson, em seu livro Estatstica Aplicada Administrao, traz:

Todavia, de um ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor tpico em termos da maior ocorrncia. A utilidade da moda se acentua quando um ou dois valores, ou um grupo de valores, ocorrem com muito maior frequncia que outros. Inversamente, quando todos ou quase todos os valores ocorrem aproximadamente com a mesma frequncia, a moda nada acrescenta em termos de descrio dos dados.

Assim como no caso da mdia, para determinao da moda sempre utilizamos frequncias simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa, mas tem que ser simples.

Exemplo 14:

Encontre a moda para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 1, 2, 2, 3, 3, 4

c) 2, 8, 5, 1

d) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 20, 20

Resoluo:

a) O termo que mais se repete o trs.

3=M



b) H dois termos que se repetem mais vezes. Tanto o 2 quanto o 3 ocorrem duas vezes. Dizemos que o conjunto tem duas modas. bimodal.

Um conjunto no precisar ter uma nica moda. Pode ter duas, trs, quatro, ou mais modas.

c) Note que todos os termos da sequncia ocorrem com a mesma frequncia. Dizemos que o conjunto amodal. No tem moda.

d) O termo que mais se repete o 2. Ocorre cinco vezes.

2=M .

Exemplo 15:

Considere a seguinte tabela:

Valor observado Frequncia relativa acumulada

10 0,1

15 0,2

18 0,5

20 0,7

21 1

Calcule a moda para os dados agrupados acima representados.

Resoluo:

Foram fornecidas frequncias acumuladas. Para calcular mdia e moda, sempre trabalhamos com frequncias simples (relativas ou absolutas, tanto faz).

Encontremos ento as frequncias relativas simples correspondentes.

Valor observado

Memria de clculo

Frequncia Relativa simples


10 =0,1 0,1 0,1

15 =0,2-0,1 0,1 0,2

18 =0,5-0,2 0,3 0,5

20 =0,7-0,5 0,2 0,7

21 =1-0,7 0,3 1

Para encontrar a moda, basta tomarmos o valor que corresponde maior frequncia simples. No caso, as maiores frequncias so iguais a 0,3. H duas modas. O conjunto bimodal. As modas so 18 e 21.

4.2. Moda para dados em classe

Quando os dados esto agrupados em classes, perdemos informao. Deste modo, a exemplo do que fizemos com a mdia, para determinao da moda precisaremos dar um chute. Isso mesmo. Precisaremos fazer algumas consideraes.



Vejamos como fica por meio de um exerccio.

Exemplo 16:

SEFAZ BA 2004 [FCC]

Considere a tabela abaixo, que mostra a distribuio de salrios (em reais) de 160 funcionrios de determinada empresa, com suas respectivas frequncias relativas acumuladas. Classes em reais Frequncia relativa acumulada (%)

Classes em reais

Frequncia relativa acumulada (%)

[600,1000) 10

[1000,1400) 30

[1400,1800) 70

[1800,2200) 95

[2200,2600) 100

O valor modal dos salrios (desprezando os centavos), :

a) 1784

b) 1666

c) 1648

d) 1636

e) 1628

Resoluo:

Vamos comear o clculo da moda.

Primeiro passo: encontrar a classe modal.

Classe modal a classe que contm a moda. Note que no temos como saber em qual classe a moda est. Isto porque apenas temos acesso quantidade de salrios em cada classe de valores. No sabemos quanto, exatamente, cada um dos 160 funcionrios desta empresa ganha. Se no sabemos disto, no temos como ver qual o salrio que mais se repete. Portanto, no temos como calcular a moda.

O que faremos?

Vamos chutar. isso mesmo. No temos como saber qual a moda real. O mximo que podemos fazer , a partir de algumas consideraes, determinar um provvel valor para a moda.

No clculo da moda so dois chutes (ou duas consideraes). A primeira delas dizer que a moda est na classe [1400;1800).

Por qu?

Porque esta a classe com maior frequncia simples. Chamamos de classe modal.



A classe com maior frequncia simples a classe modal.

Vamos supor que a moda pertence a esta classe.

Novamente, isto apenas um palpite. Seria perfeitamente possvel que todas as 64 pessoas (64 = 40% de 160) que pertencem classe [1400,1800) ganhem cada uma um salrio diferente. Ou seja, cada uma das ocorrncias nesta classe teria frequncia simples absoluta igual a 1.

E seria possvel que todas as oito pessoas (5% de 160) que pertencem classe [2200,2600) ganhem exatamente o mesmo salrio de R$ 2.300,00. Justamente a classe com menor frequncia poderia conter a moda. Esta situao seria perfeitamente possvel. Contudo, o palpite que se faz, por ser mais razovel, o de que a moda pertena classe que tem a maior frequncia.

Classes Frequncia simples (%)

[600,1000) 10

Classe anterior [1000,1400) 20

Classe modal [1400,1800) 40

Classe posterior [1800,2200) 25

[2200,2600) 5

Uma outra interpretao para classe modal a que segue. Quando os dados esto agrupados em classes, perdemos informao. No sabendo mais quais os valores foram observados, s podemos nos referir aos intervalos de classe. Considerando os intervalos, aquele que abriga mais ocorrncias seria a moda das classes, ou ainda, a classe modal.

Segundo passo: determinar os valores de amplitude, frequncia e limite inferior da classe modal.

A classe modal a de [1400,1800).

Qual sua amplitude?

A amplitude da classe a diferena entre o limite superior e o limite inferior. No caso:

=h 40014001800 =

Logo, sua amplitude de 400 (h = 400).

A frequncia da classe modal de 40% (fmo = 0,4). Basta olhar na tabela fornecida acima.

O limite inferior da classe modal 1400 (lM = 1400).

Terceiro passo: determinar os valores das frequncias das classes anterior e posterior.

A classe que vem logo antes da classe modal a classe [1000,1400). Esta a classe anterior. A frequncia da classe anterior 20% (fant = 0,2).

A classe que vem logo depois da classe modal a classe [1800,2200). Esta a classe posterior. A frequncia da classe posterior 25% (fpost = 0,25).



Identificados todos esses elementos, basta aplicar uma frmula. a chamada frmula de Czuber. Esta frmula fruto de uma segunda considerao. Ela considera que os valores das frequncias se comportam segundo uma parbola. claro que ns no vamos ficar desenhando grficos de parbola. Para concurso, muito mais prtico gravar logo a frmula de Czuber.

Resumindo: quando os dados esto em classes, o clculo da moda se resume aplicao da seguinte frmula (de Czuber):

)()( postMantM

antMM ffff

ffhlM

+

+=

Onde:

lM o limite inferior da classe modal

h a amplitude da classe modal

fM a frequncia simples da classe modal

fant a frequncia da classe anterior

fpost a frequncia da classe posterior


)()( postMantM

antMM ffff

ffhlM

+

+=

57,1628)25,04,0()2,04,0(

2,04,04001400 =

++=M

Gabarito: E.

Vamos tentar entender um pouquinho da frmula, pois assim fica mais fcil grav-la. Sabemos que a moda est na classe [1400; 1800), que a classe modal. Na figura abaixo, representamos o intervalo que contm a moda:

Assim, a moda ser igual a 1400 mais alguma coisa. Por isso a frmula comea com o limite inferior da classe modal.

...+= MlM

...1400+=M

(a moda igual a 1400 mais alguma coisa)

Em seguida, temos a amplitude de classe.

?+= hlM M



?4001400 +=M

Assim, ao 1400 ns somaremos a amplitude de classe, que ser multiplicada por um nmero ainda desconhecido ( a interrogao da equao acima).

Esse nmero desconhecido varia entre 0 e 1. Se ele valesse zero, ento a moda seria exatamente igual a 1400.

140004001400 =+=M

(se a interrogao valesse zero, a moda seria 1400)

Se o nmero desconhecido valesse 1, a moda seria exatamente igual a 1800:

180014001400 =+=M

(se a interrogao valesse 1, a moda seria 1800)

Sabemos que a moda vai estar no intervalo entre 1400 e 1800. O valor da interrogao pode variar entre zero e 1. medida que ele varia, a moda pode assumir qualquer valor nesse intervalo, partindo de um extremo (1400)

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Aula 01 - Estatística Bacen