Aula 02

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MATEMTICA FINANCEIRA E ESTATSTICA PARA ICMS/RJPROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br

Aula 2 ICMS/RJJuros Compostos

Frmula do Montante Composto Comparao entre as Capitalizaes Simples e Composta

Conveno Linear e Conveno Exponencial

Taxas Equivalentes

Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Taxa Real e Taxa Aparente

Relao das questes comentadas

Gabaritos

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Ol pessoal!

Vamos comear a segunda aula do curso de Matemtica Financeira eEstatstica para o concurso da SEFAZ/RJ.

Capitalizao composta: clculo de juros e montantes. Conveno linear eexponencial. Taxas equivalentes e efetivas. Influncia da inflao: taxa real etaxa aparente.

Juros Compostos

No regime de capitalizao composta, o juro gerado em cada perodoagrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o prximo

perodo. Da que surge a expresso juros sobre juros.

Imagine a seguinte situao: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juroscompostos durante 5 anos taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros geradosem cada perodo e o montante aps o perodo de cada aplicao.

Osjurosgerados no primeiro ano so 10.000 2.000e o montanteapso primeiro ano 10.000 + 2.000 = 12.000.

Osjurosgerados no segundo ano so

12.000 2.400e o montanteaps

o segundo ano 12.000+2.400=14.400.

Osjurosgerados no terceiro ano so 14.400 2.880e o montanteaps oterceiro ano 14.400 + 2.880 = 17.280.

Osjurosgerados no quarto ano so 17.280 3.456e o montanteaps oquarto ano 17.280 + 3.456 = 20.736.

Osjurosgerados no quinto ano so

20.736 4.147,20e o montanteaps

o quinto ano 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

Perodo de Capitalizao

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O intervalo de tempo em que os juros so incorporados ao capital chamado de perodo de capitalizao.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalizao mensal, ento os

juros so calculados todo ms e imediatamente incorporados ao capital.Capitalizao trimestral: os juros so calculados e incorporados ao capital umavez por trimestre.

E assim por diante.

Caso a periodicidade da taxa e do nmero de perodos no estiverem namesma unidade de tempo, dever ser efetuado um ajuste prvio para amesma unidade antes de efetuarmos qualquer clculo. Abordaremos este

assunto em sees posteriores (taxas de juros).

Frmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalizao composta utilizaremos aseguinte frmula bsica:

1 M montante (capital + juros).

C Capital inicial aplicado.

i taxa de juros

n nmero de perodos.

Observe que se a capitalizao bimestral e aplicao ser feita durante 8meses, ento o nmero de perodos igual a 4 bimestres.

No utilizaremos uma frmula especfica para o clculo dos juros compostos.Se por acaso em alguma questo precisarmos calcular o juro composto,utilizaremos a relao:

Comparao entre as Capitalizaes Simples e Composta

Considere a seguinte situao: Joo aplicar a quantia de R$ 1.000,00 a uma

taxa de 10% ao ms. Calcule os montantes simples e compostos para osseguintes perodos de capitalizao:

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a) 1 msb) 15 dias (meio ms)c) 2 meses

Resoluoa) Capitalizao Simples

1 1.000 1 0,1 1 1.100

Capitalizao Composta

1

1.000 1 0,1 1.100Observe que, para 1, o montante simples igual ao montante composto.b) Capitalizao Simples

1 1.000 1 0,1 0,5 1.050


1 1.000 1 0,1, 1.048,81

Observe que, para 0,5, o montante simples maior do que o montantecomposto.

c) Capitalizao Simples

1

1.000 1 0,1 2 1.200Capitalizao Composta

1 1.000 1 0,1 1.210

Observe que, para 2, o montante simples menor do que o montantecomposto.Em resumo, temos as seguintes relaes

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1 O montante simples igual ao montantecomposto.0 1 O montante simples maior do que omontante composto.

1 O montante simples menor do que omontante composto.

Conveno Linear e Conveno Exponencial

Vimos que se o nmero de perodos for menor do que 1, mais vantajoso parao credor cobrar juros simples.

Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalizao composta, onmero de perodos for fracionrio.

Por exemplo, estamos fazendo uma aplicao a juros compostos durante 3meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses igual a 3 meses + 0,5meses. Assim, poderamos calcular o montante no perodo fracionrio sob oregime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente).

Em Matemtica Financeira, quando o nmero de perodos fracionrio,podemos calcular o montante de duas maneiras:

- Conveno Exponencial

- Conveno Linear

Um capital de R$ 10.000,00 ser aplicado por 3 meses e meio taxa de 10%ao ms, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.

- Conveno Exponencial

A conveno exponencial diz que o perodo, mesmo fracionrio, ser utilizado

no expoente da expresso do montante.

Assim, (1 )nC i= +

3,510.000 (1 0,10)M = +

3,510.000 1,10M =

O valor 1,103,5= 1,395964 dever ser fornecido pela questo.

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10.000 1,395964M =

13.959,64M =

- Conveno Linear

A conveno linear considera juros compostos na parte inteira do perodo e,sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no perodo fracionrio.

Podemos resumir a seguinte frmula para a conveno linear:

(1 ) (1 )Int fracM C i i n= + +

Nessa formula Int significa a parte inteira do perodo e nfraca partefracionria do perodo.

310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = + +

310.000 1,10 1,05M =

13.975,50M =

Como era de se esperar, o montante da conveno linear foi maior do que omontante da conveno exponencial.

01. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimentode R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final dedois anos

a) R$ 45.000,00b) R$ 47.500,00c) R$ 60.000,00d) R$ 90.000,00e) R$ 50.000,00

Resoluo

Basta aplicar a formula do montante composto. O capital aplicado de R$20.000,00, a taxa de 50% = 50/100 = 0,50 ao ano e o tempo de aplicao igual a 2 anos.

1

20.000 1 0,50 45.000,00

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Letra A

02. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicao financeira deR$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao ms, juros compostos, durante 2 meses :(A) R$ 2.080,80(B) R$ 2.122,42(C) R$ 2.020,00(D) R$ 20.100,00(E) R$ 2.040,00

Resoluo

Novamente devemos aplicar a frmula do montante composto. 1 O capital aplicado de R$ 2.000,00, a taxa de 2% ao ms e o tempo iguala 2 meses.

2.000 1 0,02 2.000 1,0404 2.080,80

Letra A03. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante doisanos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse perodo, esseinvestimento totalizava:(A) R$ 694,44.(B) R$ 1.400,00.(C) R$ 1.440,00.(D) R$ 1.514,12.(E) R$ 2.200,00.

Resoluo

Mais uma questo idntica. Mera aplicao da frmula do montantecomposto...

O capital de R$ 1.000,00, o tempo de 2 anos e a taxa de 20% ao ano.

1 1.000 1 0,20 1.000 1,44

1.440,00

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Letra C

04. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que fazcom que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses

de:(A) 2%(B) 5%(C) 3%(D) 10%(E) 8%

Resoluo

Neste caso, o capital aplicado igual a 1.500,00 e o montante da aplicao igual a R$ 1.653,75.

Assim,

1.500 1.653,75O tempo de aplicao igual a 2 meses. Queremos calcular a taxa mensal...

1 1.653,75 1.500 1 O nmero 1.000 que est multiplicando o segundo membro, passa dividindo

o primeiro membro.

1 1,1025Vamos testar as alternativas.

Letra A 1 0,02 1,0404Letra B 1 0,05 1,1025(RESPOSTA)Gabarito: B05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 numCDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% aoms. O valor de resgate dessa operao foi, em reais, de (Nota: efetue asoperaes com 4 casas decimais)a) 20.999,66b) 21.985,34c) 22.111,33d) 22.400,00e) 22.498,00

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Resoluo

1

20.000 1,04O enunciado mandou efetuar as operaes com 4 casas decimais.

1,04 1,04 1,08161,0816 1,04 1,124864 1,1249 20.000 1,04 20.000 1,1249 22.498,00

Letra E06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicao de umcapital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juroscompostos de 8% ao ano, so iguais aos da aplicao de um outro capital novalor R$ 10.400,00, a juros simples, taxa de 15% ao ano. O tempo em que osegundo capital ficou aplicado foi igual a

a) 22 mesesb) 20 meses

c) 18 mesesd) 16 mesese) 15 meses

Resoluo

Aplicao a juros compostos:

1

12.500 1 0,08

14.580Assim, o juro composto a diferena entre o montante e o capital aplicado14.580 12.500 = 2.080.

Esse juro igual ao da aplicao taxa simples. A resposta do tempo deaplicao ser dada em meses. Como a taxa de 15% ao ano, a taxaequivalente mensal 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao ms.

2.080 10.400 0,0125 2.080 130

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16 Letra D

07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O grfico a seguir representa as evolues notempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos mesma taxa de juros. M dado em unidades monetrias e t, na mesmaunidade de tempo a que se refere taxa de juros utilizada.

Analisando-se o grfico, conclui-se que para o credor mais vantajosoemprestar a juros

a) compostos, sempre.b) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade detempo.

c) simples, sempre.d) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo.e) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resoluo

O grfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aqueleem que o montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o nmero de perodos da capitalizao for menor do que 1 o juro

simples ser maior do que o juro composto.

Letra E

08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A frao de perodo pela conveno linear produzuma renda a e pela conveno exponencial produz uma renda b. Pode-seafirmar que:

a) lgb)

c)

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d) e) Resoluo

Vimos que:

1 O montante simples igual ao montantecomposto.0 1 O montante simples maior do que omontante composto. 1 O montante simples menor do que omontante composto.

Assim, a frao de perodo pela conveno linear produz uma renda maior doque a conveno exponencial.

Letra E

09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 mesese 10 dias, a juros de 10% ao ms pela conveno linear, igual a:

a) R$ 370,00b) R$ 372,00

c) R$ 373,00d) R$ 375,10e) R$ 377,10

Resoluo

De acordo com a conveno linear, a parte inteira do perodo ser aplicada ajuros compostos enquanto que a parte fracionria ser aplicada a jurossimples. O perodo de 10 dias equivale a 1/3 do ms.

1 1

300 1 0,10 1 0,10 13 300 1,21 1 130 363 1 130

363 36330 363 12,1 375,10Letra D

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010. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de umprincipal deR$ 5.000,00 a juros de 10% ao ms, pela conveno linear.(A) R$ 6.250,00

(B) R$ 6.300,00(C) R$ 6.325,00(D) R$ 6.344,00(E) R$ 6.352,50

Resoluo

Vamos utilizar a frmula do montante composto pela conveno linear.

1 1 Ora, 75 dias = (60 + 15) dias = 2 meses e meio. 5.000 1 0,10 1 0,10 0,5

5.000 1,21 1,05 6.352,50

Letra E

011. (AFRE PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investidoa uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. Omontante no final do perodo, adotando a conveno linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00b) R$ 24.932,05c)) R$ 24.805,00d) R$ 23.780,00e) R$ 22.755,00

Resoluo

Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital ser investidodurante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a conveno linear, ento a partefracionria do perodo (3 meses) ser utilizada no regime simples. Como o anotem 12 meses, 3 meses igual a 1/4 do ano= 0,25 anos.

Assim,

(1 ) (1 )Int fracM C i i n= + +

220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = + +

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220.000 1,10 1,025M =

24.805,00M =

Letra C

012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Jos dispe de R$ 10.000,00 para aplicar duranteseis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostasde investimento:

I Juros simples de 2% ao ms.II Juros compostos de 1% ao ms.III Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um perodo de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno.b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento.c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento.d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento.e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

Resoluo

I Juros simples de 2% ao ms durante 6 meses.

1 10.000 1 0,02 6 11.200II - Juros compostos de 1% ao ms durante 6 meses.

1 10.000 1 0,01 10.615,20Portanto, a proposta III a melhor alternativa de investimento.

Letra D

013. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ 1.000foi aplicado durante 6 meses em um banco taxa de 21% ao ano, juroscompostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a

juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que omontante final fosse equivalente ao montante encontrado

a) 18,25%b) 16,00%c) 20,33%

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d) 25,00%e) 22,22%

Resoluo

Vejamos qual o montante encontrado:

1.000 1 0,21, 1 0,20 1.320,00Lembrando que

1,21, 1,21 1211001110 1,1O problema pede a taxa anual de modo que R$ 1.000,00 sejam aplicadosdurante 1,5 anos a uma taxa de juros compostos constante com montanteigual a R$ 1.320,00.

1.320 1.000 1 ,1,32 1 ,1,32 1

1,32 1 1,32 1 1,7424 1

Podemos neste momento testar as alternativas e verificar que

1 0,2033

1,74229

Assim, a resposta a letra C.

014. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicoumetade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8%ao semestre. Aplicou o restante do capital, tambm durante um ano, a umataxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicaesfoi igual a R$ 4.080,00. O montante referente parte do capital aplicado a

juros compostos apresentou o valor dea) R$ 14.400,00.

b) R$ 14.560,00.c) R$ 14.580,00.

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d) R$ 16.000,00.e) R$ 16.400,00.

Resoluo

Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim, como utilizamos ametade do capital em cada uma das aplicaes, ento o capital dasaplicaes ser x.

1 aplicao (Regime Composto)

Sabemos que No regime composto, a relao entre o montante e o capital a seguinte.

1 A taxa de 8% ao semestre e o tempo de aplicao igual a 1 ano (2semestres).

1,08 1,1664

Como , 1,1664 0,1664

2 aplicao (Regime Simples)

Lembrando que a taxa trimestral e que um ano composto por 4 trimestres.

0,04 4

0,16 A soma dos juros compostos com os juros simples igual a R$ 4.080,00.

4.0800,1664 0,16 4.080

0,3264 4.080

12.500

Na aplicao do regime composto tivemos o seguinte montante.

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1,1664 1,1664 12.500 14.580,00

Letra C

015. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por3 meses, taxa de 4% ao ms. O montante obtido nessa aplicao foi aplicadoa juros compostos por 2 meses taxa de 5% ao ms. Ao final da segundaaplicao, o montante obtido era de

a) R$ 560,00b) R$ 585,70c) R$ 593,20

d) R$ 616,00e) R$ 617,40

Resoluo

Temos nessa questo duas aplicaes: uma no regime de capitalizao simplese outra na capitalizao composta. fato que o montante na capitalizao

simples dado por (1 )S C i n= +

A taxa de juros e o tempo de aplicao do capital j esto na mesma unidade.Podemos aplicar diretamente a frmula acima. O enunciado informou que ataxa de 4% ao ms e o tempo igual a 3 meses. Dessa forma,

500 (1 0,04 3)SM = +

500 1,12SM =

560SM =

Esse montante obtido na capitalizao simples ser o capital da segundaaplicao.

Teremos agora uma aplicao em juros compostos com capital inicial igual aR$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao ms durante dois meses.

O montante da capitalizao composta dado por (1 )

n

C C i= +

.

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2560 (1 0,05)CM = +

2560 1,05CM =

617,40CM =

Letra E

016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juroscompostos taxa de 3% ao ms por um prazo de doze meses enquanto aoutra metade foi aplicada taxa de 3,5% ao ms, juros simples, no mesmoprazo de doze meses. Calcule o valor mais prximo deste capital, dado que as

duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo.(Considere que 1,0312= 1,425760)

a) R$ 25 000,00.b) R$ 39 000,00.c) R$ 31 000,00.d) R$ 48 000,00.e) R$ 50 000,00.

Resoluo

Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, metade (C) seraplicada a juros compostos e a outra metade (C) ser aplicada a jurossimples.

Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre a soma docapital com os juros.

C J J M C = + =


Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3% = 0,03 ao ms

Tempo de aplicao: 12 meses

Assim, o juro da capitalizao composta ser dado por:

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12(1 )C M C C i C = = +

121,03C C C=

1,425760 1CJ C C=

0,425760C C=

Capitalizao Simples

Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao ms

Tempo de aplicao: 12 meses

Assim, o juro da capitalizao simples ser dado por:

S C i n=

0,035 12SJ C=

0,42S C=

As duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21.144,02.

21.144,02S CJ J+ =

0,42 0,425760 21.144,02C C + =

0,84576 21.144,02C =

21.144,02

0,84576C =

25.000C =

O capital total aplicado 2 .

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Logo, 2 50.000C =

Letra E

017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda eda Administrao 2005 FEPESE) Determine o tempo em meses que umcapital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao ms ser triplicado.Informaes adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012.Assinale abaixo a nica alternativa correta.

a) 5 mesesb) 10 mesesc) 20 meses

d) 30 mesese) 40 meses

Resoluo

J que a taxa de juros mensal, ento diremos que a capitalizao tambm mensal.

Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante ser o triplo docapital (M = 3.C)

Assim, 3 C= .

Ora, mas sabemos que na capitalizao composta o montante dado por

(1 )nC i= + . Temos ento:

(1 ) 3nC i C + =

(1 0,03) 3n

+ =

1, 03 3n =

Para resolver esta equao exponencial, devemos logaritmar os doismembros.

log1,03 log 3n =

Aplicando a propriedade do logaritmo da potncia...

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log1,03 log 3n =

log3

log1,03n =

0,48

0,012n =

0,480 0480 48040 meses.

0,012 0012 12n = = = =

Letra E

Taxas Equivalentes

Duas taxas so ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capitalinicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Essa definio de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto ajuros compostos. S que falar em taxas equivalentes no regime simples o mesmo que falar em taxas proporcionais.

Essa afirmao no verdadeira quando se trata de juros compostos.

Exemplo

Qual a taxa trimestral equivalente taxa de juros compostos de 10% aoms?

Duas taxas so ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capitalinicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (trs meses), ento teremos aseguinte equao:

3 1(1 ) (1 )m tC i C i + = +

3

(1 0,10) 1 ti+ = +

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1 1,331ti+ =

0,331ti =

33,1%ti =

Portanto, a taxa de 10% ao ms equivalente a 33,1% ao trimestre.

Para o clculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparao dos fatores1 Exemplo

Qual a taxa anual equivalente taxa de juros compostos de 20% aotrimestre?

J que 1 ano o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relao:

1 1 1 1 0,2

1 2,0736 1,0736 107,36%

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Taxa Nominal e Taxa Efetiva

H um mau hbito em Matemtica Financeira de anunciar taxas proporcionais(no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expresso do tipo

24% ao ano com capitalizao mensal significa na realidade 2% ao ms.

A taxa de 24% ao ano chamada taxa nominal e a taxa 2% ao ms chamada de taxa efetiva.

No regime de juros compostos, uma taxa dita nominalquando o perodo aque a taxa se refere no coincidir com o perodo de capitalizao. Por exemplo,uma taxa de 24% ao ano com capitalizao mensal uma taxa nominalporquanto a taxa se refere ao perodo de um ano, mas a capitalizao dos

juros realizada mensalmente (ou seja, os juros so calculados uma vez porms e imediatamente incorporados ao capital). J quando a taxa efetivaquando o perodo a que a taxa se refere coincide como perodo decapitalizao. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao ms com capitalizaomensal uma taxa efetiva.

So exemplos de taxas nominais:

- 30% ao mscom capitalizao diria.

- 48% ao anocom capitalizao bimestral.

Uma taxa de juro dita efetivase o perodo a que ela estiver referenciada forcoincidente com o perodo de capitalizao. Assim, uma taxa de juros de 20%ao ano com capitalizao anual uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente taxa efetiva de 20% ao ano queestar subentendido 20% ao ano com capitalizao anual.

A taxa de juros nominal a mais comumente encontrada nos contratosfinanceiros. Contudo, apesar de sua larga utilizao, pode conduzir a ilusessobre o verdadeiro custo financeiro da transao, pois os clculos no sofeitos com taxa nominal!!!

Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de clculo, a mesma deveser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte frmula:

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Vejamos alguns exemplos que mostram a converso de taxa nominal para taxaefetiva.

Exemplo 1: Taxanominal de 60% ao ano com capitalizao bimestral.

1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral ser

60%10% a.b.

6bi = =

Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito detaxas equivalentes.

Portanto, a taxa efetiva anual ser calculada da seguinte maneira:

1 6(1 ) (1 )a bi i+ = +

61 (1 0,10)ai+ = +

61,10 1ai =

0,7715ai =

77,15%ai =

Ou seja, se a unidade do perodo utilizado for ano, a taxa que dever serutilizada para efeito de clculo ser 77,15% a.a. (essa a taxa efetiva) e no60% (taxa nominal). J se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizadapara efeito de clculo ser 10% a.b..

Para o clculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominaldiretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implcita na taxa nominal.

Taxa Real e Taxa Aparente

Imagine que Thiago fez uma aplicao financeira durante 2 anos e obteve umrendimento total de 80%. Mas nesse perodo de 2 anos houve uma inflaototal de 60%. Ento, na verdade, o ganho real no foi de 80%, pois se assimfosse, no estaramos levando em conta a perda causada pela inflao!

A taxa de 80% do nosso problema denominada taxa aparente.

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A taxa real aquela que leva em considerao a perda influenciada pelainflao.

E como calcular a taxa real nessa situao?

Para facilitar o processo mnemnico, utilizaremos as seguintes notaes:

Ataxa aparente

Iinflao no perodo

Rtaxa real

vlida a seguinte relao:

I R I R= + +

No nosso exemplo:

A = 80% = 0,8

I = 60% = 0,6

R taxa real = ?

I R I R= + +

0,8 0,6 0,6 R= + +

0,8 0,6 1,6 =

1,6 0, 2R =

0, 2 20,125

1, 6 16R = = =

12,5%R =

Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionrio foi de12,5%.

A expresso que fornece a taxa real em funo da taxa aparente e da inflao a seguinte:

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1

IR

I

=

+

No nosso exemplo,

0,8 0, 6 0, 212,5%

1 1 0,6 1,6

A IR

I

= = = =

+ +.

018. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostosanual equivalente taxa de 30% ao quadrimestre

a) 114,70%b) 107,55%c) 109,90%d) 90,00%e) 119,70%

Resoluo

Lembremos que o quadrimestre um perodo de 4 meses e que 1 ano composto por 3 quadrimestres. Assim,

1 1

1 1 0,31 2,197

1,197 119,70%Letra E

019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado,por um semestre, taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre,

com capitalizao trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando ocapital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, necessrio que ataxa de juros simples ao bimestre seja:a) 5,0%.b) 5,5%.c) 6,0%.d) 6,5%.e) 7,0%.

Resoluo

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Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de clculo, a mesma deveser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte frmula:

Como 1 semestre contm 2 trimestres, ento:

20%2 10% Vamos aplicar R$ 2.000,00, taxa de juros efetiva de 10% ao trimestredurante 1 semestre. O nmero de perodos

igual a 2 (trimestres).

1 2.000 1 0,10

2.420,00O que o problema pede?

Aplique R$ 2.000,00 a juros simples, durante 6 meses (3 bimestres) e

obtenha um montante igual a R$ 2.420,00. Qual a taxa bimestral?J que a taxa pedida bimestral, devemos utilizar o tempo em bimestres.

Ora, o juro auferido no perodo igual a R$ 420,00.

420 2.000 3

420 6.000

4206.000 0,07 7% Letra E

020. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de jurossemestral equivalente taxa de 125% ao ano igual a:(A) 45%.(B) 50%.(C) 61,25%.

(D) 62,25%.(E) 275%.

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Resoluo

Para o clculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparao dos fatores

1 J que 1 ano o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relao:1 1

1 1,25 1 1 2,25

1 225100

1 1510 1,5 1 0,5 50%Letra B

021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente taxa de 10% ao bimestre :(A) 3,33%.(B) 30,00%.(C) 31,33%.(D) 33,10%.(E) 36,66%.

Resoluo

Para o clculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparao dos fatores1 J que 1 semestre o mesmo que 3 bimestres, temos a seguinte relao:

1 1 1 1 0,10

1 1,331 0,331 33,1%

Letra D

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022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ 100.000,00, um indivduoretirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anualdesse investimento, no regime de juros compostos, foi de:(A) 50%.

(B) 125%.(C) 100%.(D) 5%.(E) 120%.

Resoluo

Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado durante 1 semestre e montanteobtido foi de R$ 150.000,00. Vamos calcular a taxa semestral.

1

150.000 100.000 1 1 150.000100.000

1 1,5 0,5 50%

Queremos calcular a rentabilidade anual. Basta calcular a taxa anualequivalente taxa calculada.

J que 1 ano o mesmo que 2 semestres, temos a seguinte relao:

1 1 1 1 0,5

1

2,25

1,25 125%Letra B

023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano taxade 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano,a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas so juros compostos. Para que amesma quantia, aplicada durante igual perodo, resultasse no mesmomontante, deveria ser aplicada taxa anual efetiva nica de:(A) 14,89%.(B) 15,25%.(C) 16,33%.

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(D) 18,45%.(E) 20,00%.

Vamos considerar que o capital aplicado foi de R$ 100,00.

Quando a taxa de juros compostos varia, podemos utilizar a seguinte frmulapara o clculo do montante:

1 1 100 1 0,10 1 0,20

132Queremos, para a mesma quantia de R$ 100,00, obter o mesmo montantecom uma taxa anual efetiva nica.

1 132 100 1

1 132100Queremos calcular a raiz quadrada de 132/100. A raiz quadrada de 100 10.

Existe um mtodo muito bom para calcular razes quadradas aproximadas. Omtodo chamado de Newton-Raphson e voc pode aprend-lo no seguinteartigo que eu escrevi na parte aberta do Ponto:http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/4950_D.pdf

O mtodo descrito da seguinte maneira:

2

2

a xa

x

+ , em que 2x o quadrado perfeito mais prximo de a.

132 132 112 11 132 25322 132 11,5

Se quisermos uma aproximao melhor, basta substituir novamente por11,5.

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132 132 11,5

2 11,5

132 264,2523 132 11,489

Voltando ao nosso problema...

1 132100

1 11,48910 1 1,1489

0,1489 14,89%Letra A

024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a30% ao ano com capitalizao semestral.(A) 60%(B) 63%(C) 65%(D) 67%(E) 69%

Resoluo

H uma taxa nominal assim descrita: 30% ao ano com capitalizao semestral.

Desta forma, a taxa semestral efetiva igual a:

30%2 15% Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente.


1 1 1 1 0,15

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1 1,3225 0,3225 32,25%

No h gabarito compatvel e a questo foi anulada pela FGV.

025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao anocom capitalizao semestral :(A) 40%(B) 42%(C) 44%(D) 48%(E) 56%

Resoluo

Questo idntica anterior.

H uma taxa nominal assim descrita: 40% ao ano com capitalizao semestral.Desta forma, a taxa semestral efetiva igual a:

40%2 20% Queremos calcular a taxa efetiva anual equivalente.


1 1 1 1 0,20

1 1,44 0,44 44%

Letra C

026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a ao ano,capitalizados vezes ao ano :

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Resoluo

Outra questo idntica!!

Neste caso, temos uma questo literal. Perceba que a resoluo idntica...

H uma taxa nominal assim descrita: ao ano capitalizados vezes ao ano.Desta forma, a taxa efetiva igual a:

A taxa efetiva anual ser calculada da seguinte forma:

1 1 1 1

1 1

Letra D

027. (Auditor da Receita Estadual Amap 2010/FGV) Seja i a taxa semestralde juros equivalente taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juroscompostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i :(A) 28,2%(B) 26,1%(C) 24,6%(D) 22,8%(E) 20,0%

Resoluo

J que 1 semestre o mesmo que 2 trimestres, temos a seguinte relao:

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1 1 1 1 0,123

1 1,261129

0,261129 26,1%

Letra B

028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema dejuros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre,capitalizada bimestralmente?

a) 75,0%b) 72,8%c) 67,5%d) 64,4%e) 60,0%

Resoluo

Vamos analisar cada parte do enunciado.

... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente.

J que um quadrimestre (4 meses) composto por dois bimestres (2 meses),a taxa efetiva bimestral dada por

40%20% a.b.

2bi = =

J que a taxa efetiva bimestral 20%, para calcular a taxa efetiva

semestral devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes.Lembrando que um semestre composto por 3 bimestres.

1 3(1 ) (1 )s bi i+ = +

31 (1 0,20)si+ = +

1,728 1 0,728si = =

72,8%si =

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Letra B

029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente taxa dejuros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal.a) 12,3600%b) 12,5508%c) 12,6825%d) 12,6162%e) 12,4864%

Resoluo

J que um ano composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal :

12%12 1% Devemos fazer a comparao dos fatores 1 para o clculo da taxa de

juros anual.

1 1 1 1 0,01

Consultando a tabela financeira:

1 1,126825 0,126825 12,6825%Letra C

030. (Auditor Fiscal Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$20.000,00 aplicado taxa nominal de 24% ao ano com capitalizaotrimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicao.a) R$ 27.200,00

b) R$ 27.616,11c) R$ 28.098,56d) R$ 28.370,38e) R$ 28.564,92

Resoluo

J que um ano composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral :

24%

4 6%

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O tempo de aplicao de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva trimestral, ento usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres.

1 20.000 1 0,06 28.370,38

Letra D

031. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um emprstimo em um banco novalor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o emprstimo aps 18 meses auma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalizao mensal. O valor dos jurosa serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

a)

1,02

1

b) 18 1,36 1c) 18 1,24 1d) 3 1,24 1e) 61,24 1Resoluo

O primeiro passo calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxanominal de 24% ao ano com capitalizao mensal. Portanto, a taxa efetivamensal de 24%/12 = 2%.

1 1

1 1 1

25.000 1 0,02

1

25.000 1,02 1Letra A032. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um emprstimo ps-fixadofoi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa deinflao no perodo do emprstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de

a) 12,00%b) 25,52%c) 16,52%d) 33,20%

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e) 13,20%

Resoluo

Para facilitar o processo mnemnico, chamarei de:Ataxa aparente

I inflao no perodo

Rtaxa real


0,2320 0,10 0,10 0,2320 0,10 1,10 1,10 0,1320 0,12 12%

Letra A

033. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um perodoem que a inflao foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de:(A) 20%(B) 44%(C) 50%(D) 55%(E) 60%

Resoluo

Para facilitar o processo mnemnico, chamaremos de:

Ataxa aparente

I inflao no perodo

Rtaxa real


0,80 0,20 0,20 0,60 1,20

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0,601,20 0,50 50%Letra C

034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1 da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007,que dispe sobre o salrio mnimo a partir de 1 de abril de 2007, transcritoa seguir: A partir de 1 de abril de 2007, aps a aplicao do percentualcorrespondente variao do ndice Nacional de Preos ao Consumidor INPC, referente ao perodo entre 1 de abril de 2006 e 31 de maro de 2007, attulo de reajuste, e de percentual a ttulo de aumento real, sobre o valor deR$ 350,00 (trezentos e cinqenta reais) o salrio mnimo ser de R$ 380,00(trezentos e oitenta reais). Considerando que o INPC acumulado no perodo

foi de 3,4%, o percentual a ttulo de aumento real a que a lei se refere foi de:a) 5,2%.b) 4,8%.c) 5,0%.d) 5,8%.e) 5,5%.

Resoluo

Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salrio mnimo

(reajuste nominal). 350 e 380 380 350350 8,57%

A inflao no perodo considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%. Calculemoso aumento real:

0,0857 0,034 0,034 0,0517 1,034

0,05171,034 0,05 5%Letra C

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035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, aser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada igual a 10%,enquanto a taxa de inflao, para esse mesmo perodo, de 5%. A taxaaparente anual para esse financiamento ser de:

(A) 50%.(B) 20%.(C) 15,5%.(D) 10%.(E) 5%.

Resoluo

Basta aplicar diretamente a frmula mencionada anteriormente.

0,05 0,10 0,05 0,10 0,05 0,10 0,005

0,155 15,5%Letra C

036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um emprstimo foi feito taxa de juros real de20%. Sabendo-se que a inflao foi de 10% no perodo, a taxa de jurosaparente :(A) 12%.(B) 22%.(C) 28%.(D) 30%.(E) 32%.

Resoluo

Mais uma questo idntica...

0,10 0,20 0,10 0,20

0,10 0,20 0,02 0,32 32%

Letra E

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037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salrio real, se o seusalrio nominal aumenta de 10% e h uma inflao de 40%?(A) 12%(B) 15%

(C) 18%(D) 21%(E) 30%

Resoluo

Se voc recebe um aumento de 10% e a inflao no perodo foi de 40%, entoo seu poder de compra diminui, obviamente. Ou seja, seu salrio aumentou

pouco se comparado com o aumento dos preos. Queremos ento, saberqual foi a variao percentual real do salrio, levando em conta a inflao.

0,10 0,40 0,40 0,10 0,40 1,40

0,30 1,40

0,30

1,40

0,2142 21,42%

Letra D

038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital deR$ 24.000,00, resgatando todo o montante aps um ano. Sabe-se que a taxa

real de juros desta aplicao e a taxa de inflao do perodo correspondenteforam iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado peloinvestidor foi de

a) R$ 27.060,00b) R$ 27.000,00c) R$ 26.460,00d) R$ 26.400,00e) R$ 25.800,00

Resoluo

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Para facilitar o processo mnemnico, chamaremos de:

Ataxa aparente

I inflao no perodo

Rtaxa real


, , , , , , %

Ento o montante resgatado pelo investidor dado por

1 24.000 1 0,1275 27.060,00Letra A

039. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no incio deum determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$98.280,00, esgotando-se totalmente seu crdito referente a esta operao.Sabe-se que a taxa de inflao referente ao primeiro ano de aplicao foi de5% e ao segundo, 4%. Ento, a correspondente taxa real de juros, no perododesta aplicao foi de

a) 11,25%b) 12,5%c) 12,85%d) 13,65%e) 13,85%

Resoluo

Para calcular a inflao acumulada podemos utilizar a seguinte

frmula:

Dessa forma, a inflao acumulada nos dois anos foi de:

1 0,051 0,04 1 0,092Para o clculo da taxa aparente, consideraremos 1, pois queremos calculara taxa real no perodo de 2 anos.

1

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98.280 80.000 1 0,2285

0,2285 0,092 0,092 0,1365 1,092

0,13651,092 0,125 12,5%Letra B

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Relao das questes comentadas

01. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimentode R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final dedois anos

a) R$ 45.000,00b) R$ 47.500,00c) R$ 60.000,00d) R$ 90.000,00e) R$ 50.000,00

02. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) O montante final de uma aplicao financeira deR$ 2.000,00 a uma taxa de 2% ao ms, juros compostos, durante 2 meses :(A) R$ 2.080,80(B) R$ 2.122,42(C) R$ 2.020,00(D) R$ 20.100,00(E) R$ 2.040,00

03. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 durante doisanos a uma taxa de 20% ao ano, juros compostos. Ao final desse perodo, esse

investimento totalizava:(A) R$ 694,44.(B) R$ 1.400,00.(C) R$ 1.440,00.(D) R$ 1.514,12.(E) R$ 2.200,00.

04. (SEFAZ/RJ 2008/FGV) A taxa de juros mensal, juros compostos, que fazcom que um capital aumente de R$ 1.500,00 para R$ 1.653,75 em dois meses de:

(A) 2%(B) 5%(C) 3%(D) 10%(E) 8%

05. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 numCDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% aoms. O valor de resgate dessa operao foi, em reais, de (Nota: efetue as

operaes com 4 casas decimais)a) 20.999,66

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b) 21.985,34c) 22.111,33d) 22.400,00e) 22.498,00

06. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicao de umcapital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juroscompostos de 8% ao ano, so iguais aos da aplicao de um outro capital novalor R$ 10.400,00, a juros simples, taxa de 15% ao ano. O tempo em que osegundo capital ficou aplicado foi igual a

a) 22 mesesb) 20 mesesc) 18 mesesd) 16 mesese) 15 meses

07. (CEF 2008 CESGRANRIO) O grfico a seguir representa as evolues notempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos mesma taxa de juros. M dado em unidades monetrias e t, na mesma

unidade de tempo a que se refere taxa de juros utilizada.

Analisando-se o grfico, conclui-se que para o credor mais vantajosoemprestar a juros

a) compostos, sempre.b) compostos, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade detempo.c) simples, sempre.d) simples, se o perodo do emprstimo for maior do que a unidade de tempo.e) simples, se o perodo do emprstimo for menor do que a unidade de tempo.

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08. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A frao de perodo pela conveno linear produzuma renda a e pela conveno exponencial produz uma renda b. Pode-seafirmar que:

a) lgb) c) d) e) 09. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 mesese 10 dias, a juros de 10% ao ms pela conveno linear, igual a:

a) R$ 370,00

b) R$ 372,00c) R$ 373,00d) R$ 375,10e) R$ 377,10

010. (SERC/MS 2006/FGV) Determine o montante, em 75 dias, de umprincipal deR$ 5.000,00 a juros de 10% ao ms, pela conveno linear.(A) R$ 6.250,00(B) R$ 6.300,00

(C) R$ 6.325,00(D) R$ 6.344,00(E) R$ 6.352,50

011. (AFRE PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investidoa uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. Omontante no final do perodo, adotando a conveno linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00b) R$ 24.932,05

c)) R$ 24.805,00d) R$ 23.780,00e) R$ 22.755,00

012. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Jos dispe de R$ 10.000,00 para aplicar duranteseis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostasde investimento:

I Juros simples de 2% ao ms.II Juros compostos de 1% ao ms.

III Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um perodo de seis meses.

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Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno.b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento.

c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento.d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento.e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

013. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um montante de R$ 1.000foi aplicado durante 6 meses em um banco taxa de 21% ao ano, juroscompostos e, a seguir, o montante resultante foi colocado em outro banco a

juros de 20% ao ano, durante mais 1 ano. A taxa anual que faria com que omontante final fosse equivalente ao montante encontrado

a) 18,25%b) 16,00%c) 20,33%d) 25,00%e) 22,22%

014. (Esp-Adm-Or-Fin-Pb Pref. de So Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicoumetade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8%

ao semestre. Aplicou o restante do capital, tambm durante um ano, a umataxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicaesfoi igual a R$ 4.080,00. O montante referente parte do capital aplicado a

juros compostos apresentou o valor dea) R$ 14.400,00.b) R$ 14.560,00.c) R$ 14.580,00.d) R$ 16.000,00.e) R$ 16.400,00.

015. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por3 meses, taxa de 4% ao ms. O montante obtido nessa aplicao foi aplicadoa juros compostos por 2 meses taxa de 5% ao ms. Ao final da segundaaplicao, o montante obtido era de

a) R$ 560,00b) R$ 585,70c) R$ 593,20d) R$ 616,00

e) R$ 617,40

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016. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juroscompostos taxa de 3% ao ms por um prazo de doze meses enquanto aoutra metade foi aplicada taxa de 3,5% ao ms, juros simples, no mesmoprazo de doze meses. Calcule o valor mais prximo deste capital, dado que as

duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo.(Considere que 1,0312= 1,425760)

a) R$ 25 000,00.b) R$ 39 000,00.c) R$ 31 000,00.d) R$ 48 000,00.e) R$ 50 000,00.

017. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda eda Administrao 2005 FEPESE) Determine o tempo em meses que umcapital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao ms ser triplicado.Informaes adicionais: log 3 0,48 e log 1,03 0,012.Assinale abaixo a nica alternativa correta.

a) 5 mesesb) 10 mesesc) 20 meses

d) 30 mesese) 40 meses

018. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostosanual equivalente taxa de 30% ao quadrimestre

a) 114,70%b) 107,55%c) 109,90%d) 90,00%e) 119,70%

019. (Senado Federal 2008/FGV) O capital inicial de R$ 2000,00 foi aplicado,por um semestre, taxa de juros compostos nominal de 20% ao semestre,com capitalizao trimestral. Para que se obtenha o mesmo lucro aplicando ocapital inicial a juros simples durante os mesmos 6 meses, necessrio que ataxa de juros simples ao bimestre seja:

a) 5,0%.b) 5,5%.

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c) 6,0%.d) 6,5%.e) 7,0%.

020. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) No regime de juros compostos, a taxa de jurossemestral equivalente taxa de 125% ao ano igual a:(A) 45%.(B) 50%.(C) 61,25%.(D) 62,25%.(E) 275%.

021. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) A taxa de juros compostos semestral equivalente taxa de 10% ao bimestre :(A) 3,33%.

(B) 30,00%.(C) 31,33%.(D) 33,10%.(E) 36,66%.

022. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um principal de R$ 100.000,00, um indivduoretirou o valor de R$ 150.000,00 ao final de 6 meses. A rentabilidade anualdesse investimento, no regime de juros compostos, foi de:(A) 50%.(B) 125%.

(C) 100%.(D) 5%.(E) 120%.

023. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Uma quantia foi aplicada durante um ano taxade 10% ao ano e a seguir, o valor resultante foi reaplicado, por mais um ano,a juros de 20% ao ano. Ambas as taxas so juros compostos. Para que amesma quantia, aplicada durante igual perodo, resultasse no mesmomontante, deveria ser aplicada taxa anual efetiva nica de:(A) 14,89%.

(B) 15,25%.(C) 16,33%.(D) 18,45%.(E) 20,00%.

024. (SERC/MS 2006/FGV) Determine a taxa efetiva anual correspondente a30% ao ano com capitalizao semestral.(A) 60%(B) 63%(C) 65%

(D) 67%(E) 69%

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025. (BESC 2004/FGV) A taxa efetiva anual correspondente a 40% ao anocom capitalizao semestral :(A) 40%

(B) 42%(C) 44%(D) 48%(E) 56%

026. (SEFAZ/RJ 2007/FGV) A taxa efetiva anual equivalente a ao ano,capitalizados vezes ao ano :

027. (Auditor da Receita Estadual Amap 2010/FGV) Seja i a taxa semestralde juros equivalente taxa de 12,3% ao trimestre no sistema de juroscompostos. Entre os valores a seguir, o que mais se aproxima do valor de i :(A) 28,2%(B) 26,1%(C) 24,6%(D) 22,8%(E) 20,0%

028. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema dejuros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre,capitalizada bimestralmente?

a) 75,0%b) 72,8%c) 67,5%d) 64,4%e) 60,0%

029. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente taxa dejuros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal.

a) 12,3600%b) 12,5508%

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c) 12,6825%d) 12,6162%e) 12,4864%

030. (Auditor Fiscal Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$20.000,00 aplicado taxa nominal de 24% ao ano com capitalizaotrimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicao.a) R$ 27.200,00b) R$ 27.616,11c) R$ 28.098,56d) R$ 28.370,38e) R$ 28.564,92

031. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um emprstimo em um banco novalor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o emprstimo aps 18 meses auma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalizao mensal. O valor dos jurosa serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por:

a) 1,02 1b) 18 1,36 1c) 18 1,24 1d) 3 1,24 1e) 61,24 1032. (AFRM Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um emprstimo ps-fixadofoi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa deinflao no perodo do emprstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de

a) 12,00%b) 25,52%c) 16,52%d) 33,20%e) 13,20%

033.(BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um perodoem que a inflao foi de20%, equivale a uma rentabilidade real de:

(A) 20%(B) 44%(C) 50%(D) 55%(E) 60%

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034. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1 da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007,que dispe sobre o salrio mnimo a partir de 1 de abril de 2007, transcritoa seguir: A partir de 1 de abril de 2007, aps a aplicao do percentualcorrespondente variao do ndice Nacional de Preos ao Consumidor

INPC, referente ao perodo entre 1 de abril de 2006 e 31 de maro de 2007, attulo de reajuste, e de percentual a ttulo de aumento real, sobre o valor deR$ 350,00 (trezentos e cinqenta reais) o salrio mnimo ser de R$ 380,00(trezentos e oitenta reais). Considerando que o INPC acumulado no perodofoi de 3,4%, o percentual a ttulo de aumento real a que a lei se refere foi de:a) 5,2%.b) 4,8%.c) 5,0%.d) 5,8%.e) 5,5%.

035. (SEFAZ/RJ 2009/FGV) Para um financiamento no valor de R$ 1000,00, aser pago ao final de um ano, a taxa de juros real a ser cobrada igual a 10%,enquanto a taxa de inflao, para esse mesmo perodo, de 5%. A taxaaparente anual para esse financiamento ser de:(A) 50%.(B) 20%.(C) 15,5%.(D) 10%.(E) 5%.

036. (SEFAZ/RJ 2010/FGV) Um emprstimo foi feito taxa de juros real de20%. Sabendo-se que a inflao foi de 10% no perodo, a taxa de jurosaparente :(A) 12%.(B) 22%.(C) 28%.(D) 30%.(E) 32%.

037. (SERC/MS 2006/FGV) De quanto diminui o seu salrio real, se o seusalrio nominal aumenta de 10% e h uma inflao de 40%?(A) 12%(B) 15%(C) 18%(D) 21%(E) 30%

038. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital deR$ 24.000,00, resgatando todo o montante aps um ano. Sabe-se que a taxareal de juros desta aplicao e a taxa de inflao do perodo correspondente

foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado peloinvestidor foi de

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a) R$ 27.060,00b) R$ 27.000,00c) R$ 26.460,00d) R$ 26.400,00

e) R$ 25.800,00

039. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no incio deum determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$98.280,00, esgotando-se totalmente seu crdito referente a esta operao.Sabe-se que a taxa de inflao referente ao primeiro ano de aplicao foi de5% e ao segundo, 4%. Ento, a correspondente taxa real de juros, no perododesta aplicao foi de

a) 11,25%b) 12,5%c) 12,85%d) 13,65%e) 13,85%

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Gabaritos

01. A02. A03. C04. B05. E06. D07. E08. E09. D10. E11. C12. D13. C14. C15. E16. E17. E18. E19. E20. B21. D22. B23. A24. Anulada25. C26. D27. B28. B29. C30. D31. A32. A33. C34. C35. C36. E37. D38. A

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39. B

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