Aula 09 - Estatística Bacen

Curso de Estatstica para Bacen

Prof. Vtor Menezes Aula 9

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AULA 9: Intervalos de confiana 1. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA ......................................................................... 2

2. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA QUANDO A VARINCIA DA POPULAO NO CONHECIDA .............................................................................................................................. 14

3. INTERVALO DE CONFIANA PARA UMA PROPORO ....................................................... 38

4. DISTRIBUIO DE QUI-QUADRADO .................................................................................... 46

5. INTERVALO DE CONFIANA PARA VARINCIA ................................................................... 47

6. INTERVALO DE CONFIANA E TAMANHO DA AMOSTRA ................................................... 56

7. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ................................................................................ 91

8. GABARITO ......................................................................................................................... 113

9. TABELA I DISTRIBUIO NORMAL ................................................................................. 115

10. TABELA II - DISTRIBUIO T-STUDENT ......................................................................... 116

11. TABELA DISTRIBUIO DE QUI-QUADRADO ............................................................. 117




1. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA

O intervalo de confiana para a mdia dado por:

Onde Z0 o valor para a distribuio normal reduzida que delimita a rea fixada pelo nvel de confiana.

Para gravarmos o resultado acima, vejamos um exemplo.

Por enquanto, no se preocupem em fazer contas. No se preocupem em decorar ou gravar qualquer coisa. S quero que entendam a ideia geral.

Depois, nos exerccios de concurso, a veremos o passo a passo da construo do intervalo de confiana. Ou seja, posteriormente que nos concentraremos em como resolver as questes. Neste momento, no se preocupem com isso.

Seja X uma varivel aleatria que representa uma populao infinita com varincia

conhecida ( 2 ). Este infinita s para ser rigoroso. Caso a populao seja finita, os resultados que veremos s se aplicam se a amostragem for feita com reposio.

Pois bem, ento X nossa varivel aleatria com varincia conhecida ( 2 ). X representa nossa populao. Apesar de conhecermos sua varincia, no conhecemos sua mdia ( ). Nosso objetivo ser obter uma amostra e, a partir dela, definir o chamado intervalo de confiana para .

Vamos supor que a varincia da populao seja de 16.

= = 16 A mdia da populao, esta ns no conhecemos. Vamos cham-la de .

= Vamos obter uma amostra de tamanho 4.

4=n

A mdia de uma amostra de tamanho 4 X .

Antes de efetivamente fazer uma amostragem (o que nos fornecer um valor

especfico para X ), vamos pensar em todas as amostras que poderiam ser obtidas

(com tamanho 4). Em cada uma delas, X assume um valor diferente. Conforme visto

no comeo da aula, X pode ser vista como uma varivel aleatria normal (ou aproximadamente normal) de mdia .

Sabemos tambm que X tem uma varincia dada por:

nXV

2

)(=




44

16)( ==XV

Portanto, o desvio padro da varivel X dado por:

24 ==X

Vamos criar a seguinte varivel transformada:

X

XZ

=

A varivel Z, conforme j estudado em aula anterior, tem mdia zero e desvio padro unitrio. a nossa varivel normal reduzida.

Sabemos que Z tem mdia zero e desvio padro unitrio. E Z tambm uma varivel normal.

Para a varivel Z ns podemos consultar a tabela da varivel normal reduzida. Vamos determinar o intervalo, centrado na mdia, que contm 95% dos valores de Z.

Consultando a TABELA I, colocada ao final da aula, temos que o intervalo de 0 a 1,96 contm 47,5% dos valores. Portanto, o intervalo de -1,96 a 0 tambm contm 47,5% dos valores.

Juntando os dois, temos que 95% dos valores esto entre -1,96 e 1,96 (rea verde abaixo).

Isto quer dizer que 95% dos valores de Z esto entre -1,96 e 1,96.

Mas quem Z?

Lembrando:

X

XZ

=




Ou seja, se fizssemos vrias amostras e para cada uma delas obtivssemos um valor

para X , em 95% dos casos o valor X

X

estaria entre -1,96 e 1,96.

Portanto, a probabilidade de X

X

assumir valores entre -1,96 e 1,96 de 95%.

Ok. Agora ns pegamos e realmente fazemos uma amostra com 4 valores. Esta amostra resultou em:

1, 5, 3, 1.

Para esta amostra especfica, o valor de X foi 2,5. Com base nesta amostra especfica,

temos um valor especfico para X . Se considerarmos apenas esta amostra, X no mais varivel. um valor nico (2,5).

E para esta amostra especfica o valor de Z :

2

5,2 =Z .

A probabilidade de este valor estar no intervalo de -1,96 a 1,96 no mais 95%. Isto porque a expresso acima no assume mais valores diversos, aleatrios. um valor nico.

2,5 um nmero, uma constante.

O valor de tambm um nmero, constante. desconhecido. Mas constante. A mdia da populao um nmero, um valor nico.

E, por fim, o denominador 2 tambm constante.

Fazendo a conta 2

5,2 , obtemos um valor que pode ou no estar no intervalo -1,96

a 1,96.

Quando substitumos a varivel X por um valor obtido para uma dada amostra especfica, no falamos mais em probabilidade.

errado afirmar que, com probabilidade de 95%, o valor 2

5,2 estar entre -1,96 e

1,96.

Mas, supondo que este valor esteja entre -1,96 e 1,96, ficamos com:

96,12

5,296,1

92,35,292,3

5,292,392,35,2

42,142,6

42,642,1




Este intervalo entre -1,42 e 6,42 chamado de intervalo de 95% de confiana para a mdia da populao.

Repare que no temos certeza de que a mdia da populao ( ) esteja neste intervalo. Nem podemos dizer que a probabilidade de ela estar neste intervalo seja de 95%.

Tentando explicar de outra forma o que foi feito.

Em 95% dos casos, X est distante menos de 1,96 desvios padro da mdia .

Como o desvio padro de X 2, temos que em 95% dos casos X dista menos que 3,92 da mdia .

Ou seja, em 95% dos casos X est entre 92,3 e 92,3+ .

Fazemos a amostragem. Obtemos um especfico valor para X (=2,5). Este valor pode estar ou no no intervalo entre 92,3 e 92,3+ . Se fizssemos inmeras amostragens, em 95% delas o valor de X de fato estaria contido no referido intervalo. Para este valor em particular (2,5), no temos como saber.

Vamos supor que este valor esteja neste intervalo. Se isto for verdade, qual o intervalo que contm ?

O valor encontrado para X de 2,5. Este valor pode tanto estar esquerda de quanto direita. Vamos fazer os dois casos extremos.

Se X estiver esquerda de , o caso mais extremo seria justamente quando:

92,3= X

92,35,2 =

Este caso extremo ocorreria se

42,6=




Se X estiver direita de , o caso mais extremo seria justamente quando:

92,3+= X

92,35,2 +=

Este caso extremo ocorreria se:

42,1=

Resumindo, supondo que o valor encontrado para X dista menos de 1,96 desvio padro de , os valores extremos que pode assumir so -1,42 e 6,42. Portanto, com 95% de confiana, est neste intervalo.

Esta estimativa da mdia da populao por vezes chamada de estimativa por intervalo. No estamos lhe atribuindo um valor nico, mas uma faixa de valores.

No comeo desta aula vimos como fazer a estimativa por ponto. Na estimativa por ponto no determinvamos uma faixa de valores. Sim um valor nico. Estimvamos o

valor de com o valor de X .

Vamos fazer mais um exemplo. Desta vez vou colocar o passo a passo, para gente comear a fixar como fazer.

Questo 1 INFRAERO 2009 [FCC]

Em um determinado ramo de atividade, os salrios dos empregados so considerados normalmente distribudos com uma mdia e uma varincia populacional igual a 1.600 (R$)2. Uma amostra aleatria com 100 destes empregados apresentou uma mdia de R$ 1.000,00 para os salrios. Deseja-se, com base nesta amostra, obter um intervalo de confiana para a mdia com um nvel de confiana de 95%, considerando a populao de tamanho infinito e a informao da distribuio normal padro (Z) que a probabilidade P (z > 2) = 0,025. O intervalo, com os valores em R$, igual a

(A) [960,00; 1.040,00]

(B) [992,00; 1.008,00]

(C) [994,00; 1.006,00]

(D) [996,00; 1.004,00]

(E) [920,00; 1.080,00]

Resoluo:

Para determinao do intervalo de confiana, seguimos 4 passos.

Primeiro passo: precisamos determinar o intervalo, para a varivel normal reduzida (Z), que contm 95% dos valores (pois este o nvel de confiana solicitado no enunciado). Chamamos este valor de Z0 associado a 95% de confiana.




O exerccio disse que este valor igual a 2.

Vejam:

> 2 = 2,5% Logo:

< 2 = 2,5% Portanto:

2 < < 2 = 100% 2,5% 2,5% = 95% Logo, 95% dos valores de Z esto no intervalo de -2 at 2.

Por isso, o valor de Z0 procurado 2. = 2

Segundo passo: determinar o valor especfico de para a amostragem feita. = 1.000fornecidopeloenunciado

Terceiro passo: determinar o desvio padro de . A amostra tem tamanho 100. (n = 100)

O desvio padro de fica: = * = 1.600100 = 16 = 16 = 4

Quarto passo: determinar o intervalo de confiana.

Para tanto, sabemos que em 95% dos casos o valor de Z estar entre -2, e 2.

Vamos substituir Z:

Isolando a mdia populacional:

+

O que isto significa? Significa que a probabilidade de a mdia populacional estar no intervalo acima definido de 95%.

Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos o seguinte. Se fosse possvel realizar, inmeras vezes, uma amostragem de tamanho n, em 95% das vezes o intervalo acima definido conteria a mdia populacional.




Muito bem. A a gente pega e faz uma nica amostra, obtendo um nico valor para a mdia amostral. Com isso, obtemos:

1.000 2 4 1.000 + 2 4 992 1.008

Agora no falamos mais em probabilidade. errado dizer que a probabilidade de a mdia populacional estar no intervalo acima de 95%. Isto porque, acima, no temos mais nenhuma varivel.

992 um nmero, 1.008 outro nmero, um nmero (desconhecido, mas constante, fixo).

Quando substitumos a varivel pelo seu valor especfico obtido para a amostra feita, falamos em confiana. Dizemos que, com 95% de confiana, a mdia populacional est contida no intervalo entre 992 e 1.008

Gabarito: B

Vocs podem guardar que o intervalo de confiana ser sempre da forma

+

E, para memorizar, s pensar assim.

Ns obtemos a mdia da amostra (no caso 1.000). Ns queremos achar um intervalo que contenha a mdia da populao. razovel supor que a mdia da populao seja prxima de 1.000.

Ento, para achar esse intervalo, ns andamos um pouco para esquerda e um pouco para a direita, ao longo da reta real. Ou seja, a mdia populacional deve estar no seguinte intervalo:

1.000? Ns partimos de 1.000 (mdia amostral). A partir deste nmero, ns vamos andar um pouquinho para esquerda (vamos subtrair alguma coisa) e um pouquinho para direita (vamos somar alguma coisa). E que coisa essa?

Ns vamos andar um certo nmero de desvios-padro para um lado e para o outro.

1.000 ? 1.000 4 ? E quantos desvios-padro ns vamos andar?

O exerccio que vai dizer o quanto vamos andar para um lado e para o outro. Isto ser dito pelo nvel de confiana. Ns vamos andar Z0 desvios-padro. 1.000 4 2 O intervalo de confiana nos permite determinar uma faixa de valores em que se pode estar a mdia populacional. uma estimativa por intervalo, pois no atribui mdia populacional um valor nico, sim um intervalo real.




Clculo do intervalo de confiana para a mdia da populao

1 Passo: Achar o valor de Z0 associado ao nvel de confiana dado no exerccio.

2 Passo: Encontrar o valor especfico de X para a amostra feita.

3 Passo: Encontrar o desvio padro de X . Utilizar a frmula: nX

=

4 Passo: Determinar o intervalo de confiana:

XXZXZX + 00

Questo 2 CGU 2008 [ESAF]

Construa um intervalo de 95% de confiana para a mdia de uma populao normal a partir dos dados de uma amostra aleatria simples de tamanho 64 desta populao, que forneceu uma mdia de 48 e um desvio-padro amostral de 16, considerando que F(1,96) = 0,975, onde F(z) a funo de distribuio de uma varivel aleatria normal padro Z.

a) 44,08 a 51,92.

b) 41,78 a 54,22.

c) 38,2 a 57,8.

d) 35,67 a 60,43.

e) 32,15 a 63,85.

Resoluo:

Repare que no conhecemos a varincia da populao. Sempre que isso acontece, ns devemos adotar os seguintes procedimentos:

- utilizamos a varincia da amostra no lugar da varincia da populao

- consultamos a tabela da distribuio T, em vez da tabela da distribuio normal.

Ns falaremos um pouco mais sobre isso no prximo tpico que vamos estudar.

Dito isso, conclumos que o certo seria utilizar a distribuio T. Contudo, o exerccio no forneceu a tabela da distribuio T. Forneceu apenas alguns valores da funo distribuio de probabilidade da varivel normal reduzida (= varivel normal padro).




No temos sada, teremos que utilizar os valores da varivel reduzida. O mais exato seria resolver o exerccio considerando a distribuio T. Mas no vamos brigar com o enunciado. Se o enunciado s deu informaes sobre a varivel normal, vamos usar a varivel normal.

Vamos considerar que essa amostra j razoavelmente grande, de forma que a diferena entre usar a distribuio normal no lugar da distribuio T no to grande.

Primeiro passo: determinando o valor de Z0 associado a 95% de confiana.

Se F(1,96) = 0,975, isto significa que a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 1,96 de 97,5%.

Ou seja, a rea verde da figura abaixo de 97,5%.

Sabemos que a rea inteira da figura acima igual a 1 (a probabilidade de Z assumir um valor qualquer de 100%).

Portanto, a rea amarela de 2,5%. Como o grfico simtrico, a rea esquerda de -1,96 tambm de 2,5%. Deste modo, a rea verde da figura abaixo de 95%.

Os valores -1,96 e 1,96 delimitam o intervalo de confiana de 95% para a varivel reduzida Z. Ou seja, o valor de Z0 associado a 95% 1,96.




96,10 =Z

Segundo passo: determinar o valor de X especfico para a amostra feita.

48=X

Terceiro passo: determinar o desvio padro de X .

A amostra tem tamanho 64 (n = 64).

O desvio padro de X dado pela frmula:

nX =

No conhecemos o desvio padro da populao. Estamos considerando que a amostra muito grande a tal ponto que a sua varincia seja um excelente estimador da populao. Vamos considerar que a varincia amostral igual varincia da populao. Portanto, o desvio padro da populao tambm igual ao desvio padro da amostra (=16).

16=

264

16 ==X

Quarto: determinar o intervalo de confiana.

O intervalo de confiana da forma: XX

ZXZX + 00

Substituindo os valores:

XXZXZX + 00

296,148296,148 +

92,34892,348 +

92,5108,44

Gabarito: A.

Questo 3 TRT 2 Regio 2008 [FCC]

A vida das lmpadas fabricadas por uma empresa apresenta uma distribuio normal com uma varincia populacional igual a 400 (horas)2 . Extrai-se uma amostra de 64 lmpadas e verifica-se que a respectiva vida mdia igual a 1.200 horas. Considerando a populao de tamanho infinito e a informao da distribuio normal padro (Z) que

a probabilidade P(Z > 2) = 2,5%, tem-se que o intervalo de confiana de 95% para a vida mdia das lmpadas

(A) [1.160 , 1.240]

(B) [1.164 , 1.236]

(C) [1.180 , 1.220]




(D) [1.184 , 1.216]

(E) [1.195 , 1.205]

Resoluo:

Primeiro passo:

= 2 Segundo passo:

= 1200 Terceiro passo:

= * = 2064 = 208 = 2,5 Quarto passo:

1.200 2,5 2 1.200 5 11.195; 1.2053

Gabarito: E

Questo 4 Abin 2010 [CESPE]

O tempo de durao de determinado aparelho eletrnico segue uma distribuio normal com mdia desconhecida e desvio padro = 400 horas. Um estudo feito com uma amostra de n = 1.600 aparelhos produziu um tempo mdio de durao igual a 5.000 horas.

Com base nessas informaes, e considerando que ,4 = 1,96, em que 5 definido por 5 = 1 7 e representa a funo de distribuio acumulada da distribuio normal padro, julgue o prximo item.

Um intervalo de confiana de 95% para essa estimativa dado por [380,4; 419,6].

[observao: pelo contexto da prova, "essa estimativa" a estimativa da mdia populacional]

Resoluo:

De cara j podemos assinalar errado. O intervalo de confiana para a mdia centrado na mdia amostral. Ou seja, centrado em 5000. O intervalo fornecido, de 380,4 a 419,6, sequer contempla o valor 5.000.




Gabarito: errado

Questo 5 Bacen 2000 [CESPE]

Um psiclogo deseja estudar o tempo (em minutos) que os empregados de uma companhia levam para realizar certa tarefa. Postula-se que os tempos na populao considerada seguem uma distribuio normal com mdia e varincia , ambas desconhecidas. O psiclogo obteve uma amostra de * = 100empregados e registrou o tempo que cada um deles precisou para realizar a tarefa. Para os 100 tempos registrados, obtiveram-se o valor mdio 8 = 6,25 minutos e o desvio-padro : =1minuto.

Valores selecionados da tabela normal

Se tem distribuio normal padro, as entradas representam a probabilidade Pr




8 + * = 6,41 6,25 + 1100 = 6,41

110 = 6,41 6,25 = 0,16 = 1,6 Se tivesse sido utilizado Z0 = 1,645 o nvel de confiana seria de 90%. Basta notar que: < 1,645 = 95% > 1,645 = 5%

< 1,645 = 5% 1,645 < < 1,645 = 100% 5% 5% = 90%

Contudo, desde que foi usado um valor menor que 1,645, ento certamente o nvel de confiana menor que o acima obtido. O nvel de confiana menor que 90%.

Gabarito: certo.

2. INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA QUANDO A VARINCIA

DA POPULAO NO CONHECIDA

Grande parte dos exerccios de concurso sobre intervalo de confiana no so resolvidos por meio da distribuio normal. Eles envolvem o conhecimento da distribuio T de Student. A grande vantagem que a forma de se resolverem os exerccios de intervalo de confiana por meio da distribuio T exatamente a mesma daquela vista acima, para a distribuio normal. A nica coisa que muda a tabela em que fazemos a consulta. No final da aula h duas tabelas. A nica coisa que vai mudar que vamos consultar a tabela II, em vez da tabela I.

Sabemos que X pode ser visto como uma varivel aleatria normal (ou

aproximadamente normal). Portanto, para X podemos utilizar a tabela de reas da varivel normal.

Para utilizar esta tabela, precisamos encontrar a varivel normal reduzida Z:

X

XZ

= .

Onde X

o desvio padro da varivel X . Sua frmula : nX

= .

Entretanto, se no soubermos a varincia da populao ( 2 ), no temos como calcular X

.

Nestes casos, utilizamos a varincia da amostra no lugar da varincia da populao. Em problemas assim, na verdade, ns estamos estimando duas grandezas ao mesmo tempo. Estamos estimando a mdia e a varincia da populao.




Como no temos certeza nem sobre o valor da mdia nem sobre o valor da varincia da populao, nosso intervalo de confiana tem que ser maior que aquele que seria

obtido caso conhecssemos o valor de 2 , para mantermos o mesmo nvel de confiana. exatamente esta a ideia da distribuio T.

Para ilustrar, seguem alguns grficos gerados com o excel.

As curvas em azul e vermelho indicam as distribuies T com 2 e 4 graus de liberdade. Por hora, apenas fiquem com a informao de que o nmero de graus de liberdade tem relao com o tamanho da amostra. Quanto maior o tamanho da amostra, maior o nmero de graus de liberdade.

Quando a amostra pequena (como o exemplo da curva azul, com 2 graus de liberdade), o grfico diferente da curva normal (em verde).

medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio T se aproxima da normal. Notem que a curva em vermelho j est mais prxima da curva verde. Isto at intuitivo. Se a amostra for muito grande, ento conhecer a varincia da amostra praticamente o mesmo que conhecer a varincia da populao. como se estivssemos caindo novamente num problema em que a varincia populacional conhecida.

Portanto, se no problema no soubermos a varincia da populao, as nicas coisas que mudam so:

Utilizamos a varincia da amostra no lugar da varincia da populao.

Em vez de consultar a tabela de reas da varivel reduzida normal, consultamos a tabela da distribuio T

Ao final desta aula consta uma tabela para a distribuio T (TABELA II). O seu grfico de fdp muito parecido com o da distribuio normal. Ele continua sendo simtrico, em um formato que lembra o de um sino.

Para consultar essa tabela, temos que saber o nmero de graus de liberdade.

O nmero de graus de liberdade igual a > ?, onde n o tamanho da amostra.




Questo 6 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

Um levantamento realizado a respeito dos salrios recebidos por uma determinada classe profissional utilizou uma amostra de 100 destes profissionais, na qual foram observados uma mdia de R$ 2.860,00 e um desvio padro de R$ 786,00. Qual ser, em reais, o desvio padro da distribuio das mdias amostrais dos salrios desta classe de profissionais?

(A) 3,64

(B) 7,86

(C) 78,60

(D) 786,00

(E) 7.860,00

Resoluo.

Quando o desvio padro da populao conhecido, normal com mdia igual a e desvio padro

@A. Se o desvio padro da populao desconhecido, substitumos este valor por sua estimativa.

O desvio padro amostral (= s) um estimador do desvio padro da populao (). Ou seja, como desconhecido, substitumos este valor por s, que seu estimador. Consequentemente, ter distribuio T de Student, com mdia igual a e desvio padro

BA. :* = 786100 = 78610 = 78,6 Gabarito: C

Alguns alunos confundem estas varincias que surgiram. Cuidado para no confundir! Relembrando:

1 - a varincia da populao. Tomamos cada valor da populao. Subtramos da mdia populacional, obtendo os desvios em relao mdia. Em seguida, calculamos a mdia dos quadrados dos desvios. Isto a varincia populacional.

2 s2 a varincia da amostra. um estimador de . Tomamos cada valor da amostra. Subtramos da mdia amostral, obtendo os desvios. Em seguida, calculamos a mdia dos quadrados dos desvios. Isto a varincia amostral.




3 a varincia de . Tomamos todos os possveis valores de .Subtramos da mdia desta varivel aleatria, obtendo os desvios. Calculamos a mdia dos quadrados dos desvios, obtendo a varincia de . J estudamos que = @DA

4 - : a estimativa da varincia de . obtida substituindo, na frmula acima indicada, a varincia populacional pela amostral.

: = :*

Questo 7 TRF 1 Regio/2001 [FCC]

Para responder questo seguinte, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da funo de distribuio F(x). A tabela 1 refere-se varivel normal padro, as tabelas 2 e 3 referem-se varivel t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente.

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3

x F(x) x F(x) x F(x)

1,20 0,885 1,37 0,90 1,75 0,95

1,60 0,945 1,81 0,95 2,25 0,98

1,64 0,950 2,36 0,98 2,60 0,99

O peso de crianas recm-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuio normal com mdia e desvio padro desconhecido. Uma amostra de 16 recm-nascidos indicou um peso mdio de 3,0 kg e desvio padro amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiana para , com coeficiente de confiana de 96% dado por:

a) 37,00,3

b) 41,00,3

c) 45,00,3

d) 68,00,3

e) 73,00,3

Resoluo.

Primeiro passo: obter t0 associado a 96% de confiana.

Como a amostra tem tamanho 16, o nmero de graus de liberdade igual a 15. Consultaremos a tabela 3 dada no enunciado.

A probabilidade de t ser menor ou igual a 2,25 de 0,98 (rea verde da figura abaixo). Portanto, a probabilidade de t ser maior que 2,25 de 2% (rea vermelha abaixo).




Como o grfico da fdp simtrico, a probabilidade de t ser menor que -2,25 tambm de 2%.

Cada uma das reas vermelhas abaixo vale 2%.

Sabemos que a rea total igual a 1. Conclumos que a rea verde abaixo de 96%.




Assim, a probabilidade de t estar entre -2,25 e 2,25 de 96% (=100% - 2% - 2%).

Conclumos que o valor de t0 que est associado a 96% 2,25.

Segundo passo: obter o valor especfico de X para a amostra feita

3=X (fornecido no enunciado)

Terceiro passo: obter o desvio padro de X

2,016

8,0 ===n

ss

X


O intervalo de confiana da forma:

XXstXstX + 00

2,025,232,025,23 +

45,0345,03 +

Gabarito: C

Questo 8 MPE PE 2006 [FCC]

Para resolver a questo abaixo, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da distribuio F(x). A tabela 1 refere-se varivel normal padro, as tabelas 2 e 3 referem-se varivel t de Student com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente:




Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3

X F(x) X F(x) x F(x)

1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95

1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98

2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educao, dos 600 municpios de uma regio, tem distribuio normal com mdia , deseja-se estimar essa mdia. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente e com reposio, 16 municpios e se observou os percentuais investidos por eles em educao. Os resultados indicaram uma mdia amostral de 8% e desvio padro amostral igual a 2%. Um intervalo de confiana para , com coeficiente de confiana de 96%, dado por:

a) )%124,18(

b) )%117,18(

c) )%877,08(

d) )%870,08(

e) )%755,08(

Resoluo.

Temos um exerccio de intervalo de confiana em que no se sabe a varincia da populao. Devemos consultar a tabela para a varivel t. Como a amostra tem tamanho 16, o nmero de graus de liberdade igual a 15. A tabela a ser utilizada a tabela 2 do enunciado.

Vamos para os passos de sempre.

Primeiro passo: determinar o valor de t0 associado a 96% de confiana.

Da tabela 2, sabemos que a probabilidade de t assumir valores menores que 2,248 de 98%. Logo, a probabilidade de t assumir valores maiores que 2,248 de 2%.

Como o grfico da fdp da distribuio t simtrico, a probabilidade de t assumir valores menores que -2,248 tambm de 2%.

Como consequncia, a probabilidade de t estar entre -2,248 e 2,248 de 96% (=100% - 2% - 2%).

Os valores de t que delimitam 96% dos valores so -2,248 e 2,248.

248,20 =t

Segundo passo: determinando o valor especfico de X .

%8=X (dado no enunciado)


16=n (fornecido no enunciado)




4

16

222

=

==

X

X n

Como no sabemos o desvio padro populacional, substitumos pela sua estimativa.

Desse modo, a estimativa do desvio padro de X :

4

ss

X=

5,04

2 ==X

s

Quarto passo: encontrando o intervalo de confiana.


XXstXstX + 00

5,0248,25,0248,28 + X

124,1124,18 + X

Gabarito: A.

Questo 9 TRT 7 REGIO 2009 [FCC]

Os salrios dos empregados de determinado ramo de atividade apresentam uma distribuio normal com uma varincia populacional desconhecida. Uma amostra aleatria de 16 empregados deste ramo foi analisada apresentando uma mdia igual a R$ 1.500,00 e um desvio padro igual a R$ 200,00. Considerando a populao de tamanho infinito e t0,025 o quantil da distribuio t de Student para teste unicaudal tal que P(t > t0,025) = 0,025 com n graus de liberdade, obteve-se um intervalo de confiana de 95% para a mdia populacional. O intervalo obtido, com os valores em reais, foi igual a

(A) [1.473,50; 1.526,50]

(B) [1.473,00; 1.527,00]

(C) [1.394,00; 1.606,00]

(D) [1.393,50; 1.606,50]

(E) [1.392,50; 1.607,50]




Resoluo:

Primeiro passo: determinando o valor de t0.

Como a amostra tem tamanho 16, temos 15 graus de liberdade. O valor de t0, fornecido na tabela, de 2,13.

E = 2,13 Segundo passo:

= 1.500 Terceiro passo:

: = :* : = 20016 = 2004 = 50

Quarto passo:

O intervalo de confiana fica:

E : 1.500 2,13 50 1.500 106,50 11.393,50; 1.606,503

Gabarito: D

Questo 10 BACEN 2002 [ESAF]

Tem-se amostras independentes, de mesmo tamanho 16, de duas populaes normais com mdias e e varincias no nulas 2 e 2, respectivamente. Deseja-se construir intervalos de mesmo nvel de confiana para e que, conjuntamente, tenham nvel de confiana 90,25%.

Assinale a opo que d o valor pelo qual se deve multiplicar o desvio padro de cada amostra, no clculo dos intervalos de confiana individuais, para que se obtenha o nvel de confiana conjunto desejado. A tabela abaixo d valores da funo de distribuio F(x) da varivel aleatria t de Student.




Graus de liberdade X F(x)

15 1,341 0,900

15 1,753 0,950

15 2,131 0,975

16 1,337 0,900

16 1,746 0,950

16 2,120 0,975

17 1,333 0,900

17 1,740 0,950

17 2,110 0,975

18 1,330 0,900

18 1,734 0,950

18 2,101 0,975

a) 0.533

b) 0.440

c) 0.630

d) 0.438

e) 0.300

Resoluo.

A questo fala sobre distribuies conjuntas de variveis. Temos duas variveis aleatrias diferentes e queremos estudar o comportamento de ambas, ao mesmo tempo.

Queremos determinar um intervalo de confiana para cada uma das duas variveis. So os intervalos de confiana individuais.

Pois bem, ento vamos determinar um intervalo para cada uma das variveis.

Detalhe: queremos que o nvel de confiana conjunto seja de 90,25%. Aqui est a diferena.

O que isto significa?

Significa que queremos determinar o valor de 0t de tal modo que, se fosse possvel

fazer infinitas amostragens das duas populaes, em 90,25% das vezes, os dois intervalos de confiana individuais conteriam as mdias populacionais.

Seja X a mdia amostral da populao que tem mdia . Seja Y a mdia amostral da populao que tem mdia . Queremos determinar intervalos tal que:

( ) %25,90)()( 0000 =+




Como o valor de 0t o mesmo para os dois intervalos, as duas probabilidades so

iguais.

%25,90)( 200 =+




Como a rea total igual a 1, ento a rea vermelha de 0,025. Conclumos que a probabilidade de t ser maior que 2,131 de 2,5%.

Como o grfico da fdp simtrico, a probabilidade de t ser menor que -2,131 tambm de 2,5%. Assim, cada uma das duas reas vermelhas da figura abaixo igual a 0,025.

Como a rea total igual a 1, a rea amarela de 0,95.

Portanto, a probabilidade de t assumir valores entre -2,131 e 2,131 de 95% (=100% - 2,5% - 2,5%)

Desta forma, os valores procurados, que delimitam o intervalo centrado em zero que contm 95% dos valores, so -2,131 e 2,131.

131,20 =t

Segundo passo: achar o valor especfico para X

?=X (no foi fornecida a mdia amostral)





16=n (fornecido no enunciado)

4

16)(

22

=

==

X

nXV

Como no sabemos o desvio padro populacional, substitumos pela sua estimativa.

Desse modo, a estimativa do desvio padro de X :

4

ss

X=


Para tanto, sabemos que em 95% dos casos o valor de t estar entre -2,131 e 2,131.

131,2131,2 t

131,2131,2 X

s

X

131,2

4

131,2 s

X

131,244

131,2 sXs

sXsX + 53275,053275,0

sXsX + 53275,053275,0

Portanto, na determinao do intervalo de confiana, o valor pelo qual multiplicamos o desvio padro da amostra 0,53275.

Para a outra varivel aleatria, os clculos so anlogos.

Gabarito: A.

Questo 11 IPEA 2004 [ESAF]

Deseja-se estimar o gasto mdio efetuado por grupos de 4 pessoas, num restaurante, por meio de um intervalo de confiana com coeficiente de 95%. Uma amostra de 16 grupos produziu os valores R$ 150,00 e R$ 20,00 para a mdia e o desvio padro amostrais, respectivamente. Assinale a opo que corresponde ao intervalo procurado. Use a hiptese de normalidade da distribuio dos gastos e a tabela abaixo da funo de distribuio de Student (Tr) para a escolha do quantil apropriado aos clculos.

= )( xTP r

r 0,900 0,950 0,975 0,990

14 1,345 1,761 2,145 2,625




15 1,341 1,753 2,131 2,603

16 1,337 1,746 2,120 2,584

17 1,333 1,740 2,110 2,567

a) [139,34; 160,66]

b) [139,40; 160,60]

c) [141,23; 158,77]

d) [141,19; 158,81]

e) [140,00; 160,00]

Resoluo.

O ndice r, na simbologia usada no enunciado, indica o nmero de graus de liberdade. Creio que isso poderia ser dito expressamente para evitar quaisquer dvidas.

No conhecemos a varincia da populao. Vamos usar, portanto, os valores da distribuio t. Como a amostra tem tamanho 16, temos 15 graus de liberdade. Devemos consultar, portanto, a linha em que r = 15.

Primeiro passo: obter o valor de t0 associado a 95% de confiana.

Da tabela, temos que a probabilidade de t ser menor ou igual a 2,131 de 0,975.

A rea verde da figura abaixo de 0,975.

Como a rea total igual a 1, ento a rea vermelha de 0,025. Conclumos que a probabilidade de t ser maior que 2,131 de 2,5%.

Como o grfico da fdp simtrico, a probabilidade de t ser menor que -2,131 tambm de 2,5%. Assim, cada uma das duas reas vermelhas da figura abaixo igual a 0,025.




Como a rea total igual a 1, a rea amarela de 0,95.

Portanto, a probabilidade de t assumir valores entre -2,131 e 2,131 de 95% (=100% - 2,5% - 2,5%)

Desta forma, os valores que delimitam o intervalo centrado em zero que contm 95% dos valores, so -2,131 e 2,131.

131,20 =t

Segundo passo: obter o valor especfico de X .

150=X (fornecido no enunciado).

Terceiro passo: obter o desvio padro de X .

Como no temos a varincia da populao, na verdade vamos obter a estimativa do

desvio padro de X :

516

20 ===n

ss

X

Quarto passo: obter o intervalo de confiana.


XXstXstX + 00

5131,21505131,2150 +

655,10150655,10150 +

655,160345,139

O intervalo mais prximo o fornecido na letra A.

Gabarito: A.




Questo 12 MPU 2004 [ESAF]

Uma revenda de automveis vende carros montados no Brasil. O proprietrio est interessado em estimar o valor mdio dos gastos extras com opcionais casados com a compra de carros novos. Uma amostra de 16 vendas produziu um valor mdio de R$1.062,00 com desvio padro de R$ 144,00. Assinale a opo que d os limites de confiana para com coeficiente de 98%. A tabela abaixo d os quantis x , de ordem ,

= )( xTP r , da distribuio Tr de Student com r graus de liberdade. Despreze centavos.

a) [R$ 955,00; R$ 1.168,00]

b) [R$ 968,00; R$ 1.155,00]

c) [R$ 990,00; R$ 1.134,00]

d) [R$ 997,00; R$ 1.124,00]

e) [R$ 938,00; R$ 1.186,00]

Resoluo

Como o tamanho da amostra 16 (n = 16), ento usamos a tabela para 15 graus de liberdade (=n 1). Trata-se da primeira linha da tabela acima.

Da tabela, temos que:

E < 2,947 = 99% Logo:

E > 2,947 = 100% 99% = 1% Assim:

E < 2,947 = 1% O que resulta em:

2,947 < E < 2,947 = 100% 1% 1% = 98% Deste modo, t0 associado a 98% de confiana igual a 2,947.

O intervalo de confiana tem o seguinte formato:

E :* 1.062 2,947 14416




1.062 2,947 1444 1.062 106,092 1955,908; 1168,0923 Gabarito: A

Questo 13 Ministrio da Sade 2007 [FCC]

Para responder questo seguinte considere, dentre os dados abaixo, aqueles que julgar apropriados. Se Z tem distribuio normal padro, ento:

023,0)2( =>ZP ; 445,0)6,10( =




Assim:

)06,2()06,2(1)06,206,2( > 05,0t ) = 0,05, com n graus de liberdade. O intervalo de confiana, utilizando os dados da amostra,

(A) [7,37; 12,63]




(B) [7,41; 12,59]

(C) [7,47; 12,53]

(D) [7,52; 12,48]

(E) [7,56; 12,44]

Resoluo:

Primeiro passo: obter t0 associado a 90% de confiana.

Como a amostra tem tamanho 9 (n = 9), ento o nmero de graus de liberdade igual a 8 (= * 1) Logo, sabemos que: E > 1,86 = 5% Logo: E < 1,86 = 5% Portanto: 1,86 < E < 1,86 = 100% 5% 5% = 90% Os valores que delimitam a rea de 90% so -1,86 e 1,86. E = 1,86 Segundo passo: = 10 Terceiro passo: : = :* : = 49 = 43 Quarto passo: O intervalo de confiana fica: E : 10 1,86 43 10 2,48 17,52; 12,483 Gabarito: D


Os salrios dos empregados de determinado ramo de atividade apresentam uma distribuio normal com uma varincia populacional desconhecida. Uma amostra aleatria de 16 empregados deste ramo foi analisada apresentando uma mdia igual a R$ 1.500,00 e um desvio padro igual a R$ 200,00. Considerando a populao de tamanho infinito e t0,025 o quantil da distribuio t de Student para teste unicaudal tal que P(t > t0,025) = 0,025 com n graus de liberdade, obteve-se um intervalo de confiana de 95% para a mdia populacional. O intervalo obtido, com os valores em reais, foi igual a




(A) [1.473,50; 1.526,50]

(B) [1.473,00; 1.527,00]

(C) [1.394,00; 1.606,00]

(D) [1.393,50; 1.606,50]

(E) [1.392,50; 1.607,50]

Resoluo:

Primeiro passo: determinando o valor de t0.

Como a amostra tem tamanho 16, temos 15 graus de liberdade. O valor de t0, fornecido na tabela, de 2,13.

E = 2,13 Segundo passo:

= 1.500 Terceiro passo:

: = :* : = 20016 = 2004 = 50 Quarto passo: O intervalo de confiana fica: E : 1.500 2,13 50 1.500 106,50 11.393,50; 1.606,503 Gabarito: D

Questo 16 Abin 2010 [CESPE]

O tempo de durao de determinado aparelho eletrnico segue uma distribuio normal com mdia desconhecida e desvio padro = 400 horas. Um estudo feito com uma amostra de n = 1.600 aparelhos produziu um tempo mdio de durao igual a 5.000 horas.




Com base nessas informaes, e considerando que ,4 = 1,96, em que 5 definido por 5 = 1 7 e representa a funo de distribuio acumulada da distribuio normal padro, julgue o prximo item.

Se o desvio padro fosse desconhecido, o intervalo de confiana simtrico de 95% de confiana para a mdia poderia ser dado por

8 ,4 :1600

em que :representa o desvio padro amostral.

Resoluo:

Se o desvio padro for desconhecido, substitumos por seu estimador,:. No entanto, passamos a usar a distribuio T de Student, e no mais a distribuio normal. Talvez por isso a questo tenha sido julgada como "errada".

No entanto, como a amostra muito grande, usar a distribuio T ou a normal d praticamente no mesmo. Ao meu ver a aproximao muito boa, sendo sim possvel usar a normal. Eu assinalaria "certo".

Gabarito: errado

Questo 17 Sefaz ES 2010 [CESPE]

Considere que, a fim de avaliar despesas com salrios do pessoal lotado em rgos do Poder Executivo, determinada secretaria de fazenda decidiu fazer um levantamento em quatro rgos em relao ao ms de agosto de 2009. Os dados observados esto apresentados na tabela acima.

Com base nessas informaes, julgue o prximo item.

Considerando que a distribuio dos salrios siga uma distribuio normal cuja varincia seja desconhecida, para situaes de pequenas amostras, correto usar os percentis da distribuio normal padro na construo de intervalos de confiana para a mdia dos salrios.




Resoluo:

Quando as amostras so pequenas e a varincia populacional desconhecida, devemos utilizar a distribuio T de Student para construir os intervalos de confiana. Tal distribuio fornece intervalos de maior amplitude que os correspondentes intervalos obtidos com a distribuio normal. Como, no fundo, estamos estimando a mdia e a varincia ao mesmo tempo, preciso construir intervalos de maior amplitude para manter o mesmo nvel de confiana.

Gabarito: errado

Questo 18 Mdic 2001 [CESPE]

Em uma disputa comercial entre dois pases, Y e Z, autoridades do pas Y argumentavam que medidas protecionistas do pas Z impediam a livre circulao de bens entre esses pases. De acordo com essa argumentao, as companhias do pas Z praticavam preos menores em Y que no seu prprio pas. Para estudar esse problema, um pesquisador obteve duas amostras aleatrias, cada uma contendo 100 vendas no pas Y e 100 vendas no pas Z, para o mesmo perodo e para o mesmo bem comercializado nesses dois pases. Da anlise das observaes foram obtidos preos mdios

8G = 341 8H = 350 e desvios-padres

:G = 00 :H = 40 todos em dlares norte-americanos, para as amostras dos pases Y e Z, respectivamente.

Com base nessas informaes e nas frmulas usuais para inferncia estatstica no caso de tamanhos amostrais grandes, e considerando os valores selecionados da tabela normal abaixo, julgue o seguinte item.

Probabilidades acumuladas (z) da distribuio normal padro

GEARealce

GEATexto digitado30




Com 95% de confiana, o preo mdio praticado no pas Y est entre 340,40 e 341,60 dlares.

Resoluo:


8 :I* Onde "n" o tamanho da amostra e Z0 o valor da normal padro associado ao nvel de confiana estabelecido (no caso, 95%).

Da tabela fornecida, temos:

< 1,96 = 97,5% Portanto:

> 1,96 = 2,5% Como a normal padro simtrica em torno da mdia, temos:

< 1,96 = 2,5% O que resulta em:

1,96 < < 1,96 = 100% 2,5% 2,5% = 95% Ou seja, = 1,96

Voltando ao intervalo de confiana, temos:

8 :I* 341 1,96 30100 341 1,96 3

O que resulta em:

1335,12; 346,883 Gabarito: errado

Questo 19 Mpu 2010 [CESPE]

Para estimar a resistncia eltrica mdia de certo material, foram realizadas 20 medies independentes, registrando-se, para cada medio J, o valor correspondente da resistncia eltrica 8K. A resistncia mdia observada a partir dessa amostra




aleatria simples foi 12,5 Ohms e o desvio padro amostral foi igual a 1,5 Ohms. Supondo que a resistncia eltrica siga uma distribuio normal com mdia e desvio padro, ambos desconhecidos, e considerando que L 2,09 = 0,975, em que L uma varivel aleatria da distribuio de Student, com 19 graus de liberdade, julgue o item que se segue.

Os limites do intervalo de confiana simtrico de 95% para a mdia so

12,5 3,13519 e12,5 + 3,13519

Resoluo:


E :

Onde:

a mdia amostral de X (no caso, vale 12,5 E o valor da distribuio t de student associado a 95% de confiana. No caso, E = 2,09. Caso voc tenha ficado em dvida, basta notar que:

L 2,09 = 97,5% L > 2,09 = 2,5% L < 2,09 = 2,5%

2,09 < L < 2,09 = 100% 2,5% 2,5% = 95%

: o desvio padro da mdia amostral de X, dado por:

: = :* = 1,520

Deste modo, o intervalo fica:

12,5 2,09 1,520 12,5 3,13520




O enunciado trouxe no denominador a raiz quadrada de 19, no lugar da raiz quadrada de 20.

Gabarito: errado

3. INTERVALO DE CONFIANA PARA UMA PROPORO

Quando estudamos intervalo de confiana para uma mdia, queramos justamente estimar um intervalo para a mdia de uma populao ( ).

Agora queremos estimar uma proporo (p). O procedimento ser anlogo.

Exemplo:

Maria tem um dado. S que no um dado normal (com faces 1, 2, 3, 4, 5 e 6). um dado especial. Nas suas faces vm outros nmeros, que no sabemos quais so. Alm disso, no sabemos quantas faces h nesse dado. Podem ser 5, 7, 9, 20, etc.

Maria desafia Joo a descobrir a proporo de faces que contm mltiplos de 3. Se esse fosse um dado normal, Joo saberia que 1/3 das faces so mltiplas de 3.

O procedimento combinado o seguinte. Maria lana o dado. Depois de lan-lo, ela diz o resultado a Joo, que o anota. Depois disso, Maria lana o dado uma segunda vez. Novamente comunica o resultado a Joo. E isso se repete por mais duas vezes.

Resumindo: Maria lana o dado quatro vezes. A partir desses resultados, Joo tem que descobrir qual a proporo de faces do dado que contm mltiplos de 3.

Os resultados dos quatro lanamentos foram: 3, 7, 9, 2.

Nesses 4 lanamentos, tivemos dois casos favorveis. Ou ainda: na amostra, tivemos 50% de casos favorveis.

Estudamos que um estimador para a proporo da populao a proporo da amostra. Desse modo, Joo estima que metade das faces do dado so mltiplas de 3.

Joo estima a proporo de mltiplos de 3 como sendo:

2

1 =p

Joo fez uma estimativa por ponto.

Mas, e se Joo quisesse estimar uma faixa de valores para a proporo? E se Joo quisesse estabelecer um intervalo de 95% de confiana?? Como ficaria??

Seja X a varivel que indica o nmero de casos favorveis nesses quatro lanamentos.

Sabemos que X uma varivel binomial com mdia np e desvio padro npq .




Vimos tambm que X aproximadamente normal para grandes valores de n.

Eu sei que, nesse exemplo, n nem to grande (n = 4). Mas vamos supor que j seja razovel dizer que X aproximadamente normal.

Ok, ento X, alm de ser binomial, aproximadamente normal.

Considere a varivel abaixo:

X

XXZ

=

Z tem mdia zero e desvio padro unitrio. Z uma varivel normal reduzida. Para a varivel Z, ns podemos consultar a tabela I. Sabemos que, em 95% dos casos, Z assume valores entre -1,96 e 1,96.

Assim, em 95% das vezes, temos:

96,196,1 Z

Substituindo o valor de Z:

96,196,1 X

XX

Substituindo o valor da mdia e do desvio padro da varivel binomial:

96,196,1 npq

npX

npqnpXnpq 96,196,1

Dividindo todos os termos por n:

n

pqp

n

X

n

pq 96,196,1

Lembrando que, se X a varivel binomial, ento:

n

Xp =

n

pqpp

n

pq 96,196,1

Isolando o p:

n

pqpp

n

pqp + 96,196,1

Multiplicando todos os termos por -1:

n

pqpp

n

pqp + 96,196,1

Lembrando que:




n

pqp =

Ficamos com:

pp ppp 96,196,1 +

E esse o intervalo de confiana de 95% para a proporo. Veja como bem parecido com o intervalo de confiana para a mdia.

Vimos que o intervalo de confiana para a mdia da varivel X dado por:

XXZXZX + 00

E o intervalo de confiana para uma proporo da seguinte forma:

pp ZppZp 00 +

Ento para gente o que importa isso. Interessa saber qual o intervalo de confiana para a proporo.

Intervalo de confiana para a proporo

pp ZppZp 00 +

Vamos voltar ao exemplo do Joo? Vamos terminar de calcular o intervalo de confiana. Vou colocar o passo a passo, para gravarmos. Na verdade, mais para relembrarmos. Isso porque o mesmo passo a passo do intervalo de confiana para a mdia.

Primeiro passo: determinar o valor de Z0 associado ao nvel de confiana pedido.

O nvel de confiana de 95%. Consultando a tabela I, temos que Z0 igual a 1,96. Em 95% dos casos, a varivel reduzida Z est entre -1,96 e 1,96.

96,10 =Z

Segundo passo: obter o valor especfico de p para a amostra feita.

5,0 =p




Terceiro passo: encontrar o desvio padro de p

No clculo do intervalo de confiana para a mdia, a varivel aleatria era a mdia

amostral ( X ). Usvamos a mdia amostral para estimar a mdia populacional.

Portanto, calculvamos o desvio padro de X .

Agora, a varivel aleatria a proporo amostral ( p ). Usamos a proporo amostral

para estimar a proporo populacional. Vamos calcular o desvio padro de p .

n

pqp =

E aqui temos um problema. Para calcularmos o desvio padro de p , precisamos

conhecer a proporo populacional ( p ), que justamente o valor que pretendemos estimar. No temos como calcular o desvio padro de p . Podemos, no mximo,

estima-lo, substituindo p por p

n

qps p

=

A amostra feita resultou em:

5,0 == qp

Portanto:

25,02

5,0

4

5,05,0 ==

=ps

Quarto passo: encontrar o intervalo de confiana. Para tanto, sabemos que o intervalo de confiana da forma:

pp ZppZp 00 +

Substituindo os valores:

25,096,15,025,096,15,0 + p

49,05,049,05,0 + p

99,001,0 p

Com 95% de confiana, a proporo de faces do dado especial tem est entre 1% e 99%.

A voc fala e diz: mas que intervalo mais intil! Estamos englobando praticamente todos os valores possveis para a proporo.

De fato, ficou um intervalo bem grande. Isso ocorre porque a amostra foi pequena. bom trabalharmos com amostras maiores, para que o intervalo diminua. Alm disso, amostras grandes tambm tm outra vantagem. Quanto maior a amostra, mais a varivel binomial X se aproxima da normal; fica mais adequado o uso da tabela I.




Exemplo 1

Calcule o intervalo de 95% de confiana para a proporo de eleitores de um municpio que votaro no candidato A. Considere que uma pesquisa com 100 eleitores revelou que, destes, 20% votaro no referido candidato.

Resoluo.

Primeiro passo: determinar o valor de Z0 correspondente a 95% de confiana. Sabemos que propores podem ser tratadas a partir de variveis binomiais, que podem ser aproximadas pela varivel normal. Assim, para determinar Z0, no caso de propores, tambm utilizamos a tabela de reas para a varivel normal reduzida.

Consultando a TABELA I, vemos que 96,10 =Z .

Segundo passo: determinar os valores especficos de p e q

Para a amostra feita, temos:

20,0 =p (proporo da amostra)

80,01 == pq

Terceiro passo: determinar o desvio padro de p

n

qps p

=

04,010

4,0

100

80,020,0 ==

=ps


pp sZppsZp 00 +

04,096,12,004,096,12,0 + p

%84,27%16,12 p

Com 95% de confiana, a proporo populacional de eleitores que votar no candidato A est entre 12,16% e 27,84%.

Observao: na verdade, quando escolhemos a amostra de 100 eleitores, usual que a amostra seja sem reposio. Ou seja, entrevistado um eleitor, o mesmo no ser novamente escolhido.

Vimos em aula anterior que, em uma situao assim, a varivel apenas aproximadamente binomial. Estudamos tambm que, se a populao for muito grande, a aproximao muito boa.

Justamente agora vemos a importncia disto. Quando quisermos estabelecer intervalos de confiana para uma proporo, mesmo que a amostragem seja feita sem




reposio, podemos considerar que temos uma varivel binomial. Em seguida, podemos aproximar a binomial por uma normal. Sabemos que, atendidas algumas condies, a varivel binomial tem distribuio muito prxima da distribuio normal. Portanto, poderemos consultar a tabela de reas para a varivel normal. Foi exatamente o que fizemos no exemplo acima.

Questo 20 SEFAZ SP 2009 [FCC]

Em uma pesquisa de tributos de competncia estadual, em 2008, realizada com 400 recolhimentos escolhidos aleatoriamente de uma populao considerada de tamanho infinito, 80% referiam-se a determinado imposto. Deseja-se construir um intervalo de confiana de 95,5% para a estimativa dessa proporo. Considerando normal a distribuio amostral da frequncia relativa dos recolhimentos desse imposto e que na distribuio normal padro a probabilidade P (2 Z 2) = 95,5%, o intervalo

(A) [0,70; 0,90]

(B) [0,72; 0,88]

(C) [0,74; 0,86]

(D) [0,76; 0,84]

(E) [0,78; 0,82]

Resoluo:

Primeiro passo: determinar o valor de Z0. O enunciado disse que: = 2 Segundo passo:

M = 0,8 OP = 1 0,8 = 0,2 Terceiro passo:

:QP = RM OP* :QP = R0,8 0,2400 = R0,16400 = 0,420 = 0,02


M :QP 0,8 2 0,02 0,8 0,04 10,76; 0,843

Gabarito: D





Se Z tem distribuio normal padro, ento:

P (Z > 1,64) = 0,05; P(Z > 2) = 0,02; P(0< Z < 1,75) = 0,46

Deseja-se estimar a proporo (p) de processos julgados por um tribunal regional do trabalho durante o perodo de 2000 at 2008. Uma amostra aleatria de 10.000 processos, selecionada da populao (suposta infinita) de todos os processos, revelou que 5.000 foram julgados no referido perodo. Um intervalo de confiana, com coeficiente de confiana de 90% para p, baseado nessa amostra, dado por

(A) 0,5 0,005

(B) 0,5 0,0062

(C) 0,5 0,0065

(D) 0,5 0,0082

(E) 0,5 0,01

Resoluo:

Primeiro passo: determinar o valor de Z0.

Temos:

> 1,64 = 5% < 1,64 = 5% Logo:

1,64 < < 1,64 = 100% 5% 5% = 90% Conclumos que:

= 1,64 Segundo passo:

M = 5.00010.000 = 0,5 OP = 1 M = 1 0,5 = 0,5 Terceiro passo:

:QP = RM OP* :QP = R0,5 0,510.000 = 0,5100 = 0,005


M :QP 0,5 1,64 0,005 0,5 0,0082




Gabarito: D

Questo 22 SERPRO 2001 [ESAF]

Uma empresa grande de processamento de dados leva a efeito uma pesquisa de opinio sobre o nvel de satisfao de seus empregados com os respectivos empregos. Neste contexto 100 empregados, de uma populao infinita, sob objetivos prticos, so selecionados ao acaso e questionados. Destes, 50 mostraram-se satisfeitos ou muito satisfeitos com seus empregos. Assinale a opo que caracteriza o intervalo com coeficiente de confiana de 95%, simtrico, para a proporo populacional desconhecida de empregados satisfeitos ou muito satisfeitos com seu emprego.

Use em seus clculos o Teorema Central do Limite e a tabela da distribuio normal abaixo, aproximando o valor encontrado na tabela para o inteiro imediatamente superior.

A tabela d a probabilidade de valores entre 0 e Z, para a normal padro.

a) 0,40 0,60

b) 0,49 0,51

c) 0,30 0,70

d) 0,20 0,80

e) 0,45 0,55

Resoluo:


M RMOP* A proporo amostral vale 0,5 (M = OP = 0,5). A amostra tem tamanho 100 (n = 100).

E Z0 associado a 95% de confiana vale 1,96 (vide tabela).

O intervalo fica:




0,5 1,96R0,5 0,5100 0,5 1,96 0,510 0,5 1,96 0,05

O que resulta em:

40,2%; 59,8% Aproximando:

0,4 0,6 Gabarito: A

Lembrete de intervalo de confiana

Se for intervalo de confiana para uma mdia e conhecermos a varincia da populao, utilizamos a tabela da varivel normal.

Se for intervalo de confiana para uma mdia e no conhecermos a varincia da populao, utilizamos a tabela da distribuio T (a menos que o exerccio diga para utilizar a tabela da varivel normal).

Se for intervalo de confiana para uma proporo, utilizamos a tabela da varivel normal.

4. DISTRIBUIO DE QUI-QUADRADO

A partir de agora veremos uma distribuio muito importante para realizarmos diversos tipos de teste de hipteses (matria de aulas futuras). Trata-se da distribuio de qui-quadrado. uma distribuio diferente da distribuio normal.

Considere diversas variveis normais reduzidas ( 1Z , 2Z , 3Z , ..., kZ ). Todas elas tm a

mesma distribuio normal de mdia zero e desvio padro unitrio.

Seja 2 uma varivel tal que:

=

=k

iiZ

1

22

Ou seja, a varivel 2 igual a uma soma dos quadrados de k variveis normais de mdia zero e desvio padro unitrio. Dizemos que 2 tem distribuio de qui-quadrado com k graus de liberdade.




Ento vai funcionar assim. Sempre que tivermos uma situao em que a varivel envolvida puder ser expressa como uma soma de quadrados de variveis normais reduzidas, tal varivel ter distribuio de qui-quadrado. E para ela ns podemos consultar a tabela especfica para a distribuio de qui-quadrado. Trata-se da Tabela III, anexada ao final desta aula, gerada com o Excel.

Questo 23 CGU 2008 [ESAF]

Sejam n variveis aleatrias N(0,1) independentes. A soma de seus quadrados tem uma distribuio de:

a) t de Student com n-1 graus de liberdade

b) t de Student com n graus de liberdade

c) qui quadrado com n graus de liberdade

d) qui quadrado com 2n graus de liberdade

e) F com 1 grau de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador.

Resoluo.

O smbolo N(0,1) uma forma de representar variveis aleatrias normais. O N indica que a varivel aleatria normal. Dentro do parntesis, o primeiro nmero indica a mdia e o segundo nmero indica a varincia.

Ento o que temos na questo uma soma de quadrados de variveis normais com mdia zero e desvio padro unitrio.

J sabemos que esta soma tem distribuio de qui-quadrado com n graus de liberdade.

Gabarito: C.

Uma das utilizaes para a distribuio de Qui Quadrado construir intervalos de confiana para a varincia. Outra utilizao realizar testes de hipteses sobre a varincia.

5. INTERVALO DE CONFIANA PARA VARINCIA

Seja X uma varivel aleatria, com mdia e varincia 2 . Seja 2s o estimador da varincia populacional, baseado em uma amostra aleatria de tamanho n.

possvel demonstrar que

* 1: tem distribuio de qui-quadrado com * 1graus de liberdade. Ou seja, a varivel S, tal que:




S = * 1: tem distribuio de qui-quadrado e, para ela, ns podemos consultar a tabela III (colocada ao final da aula). Esta informao til para testarmos hipteses acerca da varincia, bem como para definirmos intervalos de confiana para a mesma.

Um grande cuidado que temos que ter com a distribuio de qui-quadrado que ela no simtrica (ao contrrio da distribuio normal e da distribuio T).

Apenas para se ter uma idia do grfico, segue exemplo abaixo, para 4 graus de liberdade.

Quando o nmero de graus de liberdade aumenta, o grfico tende a ficar simtrico (vide Questo 25).

Questo 24 PM MANAUS 2004 [CESGRANRIO]

Se (X1, X2, ..., Xn) so variveis aleatrias independentes e com distribuio normal

reduzida e n

XXXX n

+++= ...21 , ento a distribuio de

222

21 )(...)()( XXXXXX n +++ :

a) normal

b) qui-quadrado com n-1 graus de liberdade

c) qui-quadrado com n graus de liberdade

d) t de Student com n-1 graus de liberdade

e) t de Studente com n graus de liberdade

Resoluo.

A varincia amostral dada por:




: = K AKUV* 1 Logo:

: * 1 = WK AKUV

Dividindo os dois lados da igualdade por : : * 1 = K

AKUV

Como X tem distribuio normal reduzida, sua varincia igual a 1:

: * 1 = WK AKUV

Como vimos, 2

2 )1(

ns

tem distribuio de qui-quadrado com 1n graus de

liberdade. Logo, ( )=

n

ii XX

1

2 tambm tem distribuio de qui-quadrado com 1n

graus de liberdade.

Gabarito: B.

No exerccio seguinte veremos como usar a distribuio de Qui-quadrado para calcular intervalos de confiana para a varincia.

Questo 25 SEFAZ MS 2006 [FGV]

Uma amostra aleatria simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a mdia desconhecida de uma populao normal. A mdia amostral encontrada foi de 4,2 e a varincia amostral foi 1,44.

O intervalo de 95% de confiana para a varincia populacional :

a) (0,88; 2,79)

b) (0,72; 3,05)

c) (0,64; 3,20)

d) (0,55; 3,16)

e) (0,44; 3,44)




Resoluo.

Temos um exerccio de intervalo de confiana para a varincia.

Na aula passada, estudamos como construir intervalos de confiana para a mdia e para a proporo.

Agora que j estudamos a distribuio de qui-quadrado, temos condies de fazer intervalos de confiana tambm para a varincia populacional.

O tamanho da amostra foi 25.

* = 25 A varincia amostral foi 1,44.

: = 1,44 Sabemos que a varivel

S = * 1: tem distribuio de qui-quadrado com 1n graus de liberdade.

S = * 1: Substituindo o valor de n:

S = 25 1: Tem distribuio de qui-quadrado com 24 graus de liberdade.

Abaixo segue o grfico para a fdp da distribuio de qui-quadrado com 24 graus de liberdade (gerado com o excel).

Note como o grfico j tem uma assimetria menor que aquele com 4 graus de liberdade, apresentado durante a parte terica.

Queremos descobrir valores que delimitam uma rea de 95%.




Consultando a tabela III, para 24 graus de liberdade, vemos que apenas 2,5% dos valores so superiores a 39,364.

Abaixo trazemos um trechino da tabela. Ela nos d valores de 2

k tais que a probabilidade de 2 (com distribuio de qui-quadrado) assumir valores maiores que 2k seja igual

probabilidade P. Probabilidade

Grau de liberdade

0,995 0,990 0,975 0,025 0,010 0,005

21 8,034 8,897 10,283 35,479 38,932 41,401

22 8,643 9,542 10,982 36,781 40,289 42,796

23 9,260 10,196 11,689 38,076 41,638 44,181

24 9,886 10,856 12,401 39,364 42,980 45,559

Consultando a mesma tabela, para 24 graus de liberdade, vemos que 97,5% dos valores so superiores a 12,401.

Probabilidade

Grau de liberdade

0,995 0,990 0,975 0,025 0,010 0,005

21 8,034 8,897 10,283 35,479 38,932 41,401

22 8,643 9,542 10,982 36,781 40,289 42,796

23 9,260 10,196 11,689 38,076 41,638 44,181

24 9,886 10,856 12,401 39,364 42,980 45,559

Portanto, 2,5% dos valores so inferiores a 12,401.

As duas reas amarelas da figura acima so iguais a 2,5%. As duas somadas valem 5%. Portanto a rea verde tem 95%.

Assim, em 95% dos casos a varivel 2 estar entre 12,401 e 39,364.

12,401 S 39,364 12,401 * 1: 39,364

Substituindo 2s pelo valor especfico da amostra (1,44) ficamos com:




12,401 25 1 1,44 39,364

Neste caso, substituindo 2s pelo valor especfico da amostra (1,44), no falamos que a

probabilidade de 364,3944,1)125(

401,122

de 95%. Substituindo o valor 1,44

na expresso acima, obtemos um valor que pode ou no estar no intervalo entre 12,401 e 39,364.

Supondo que esteja, ficamos com:

12,401 25 1 1,44 39,364 Invertendo as fraes:

139,364

25 1 1,44 112,401

0,88 2,79 Este o intervalo de 95% de confiana para a varincia populacional.

Gabarito: A.

Se fssemos resumir o passo a passo para achar o intervalo de confiana da varincia, teramos:

1 passo: determinar os valores de 2 que delimitam um intervalo com a confiana solicitada. Neste exerccio, deveramos determinar um intervalo de 95% de confiana. Para tanto, basta consultar a tabela da distribuio de qui-quadrado, com 1n graus de liberdade.

Em consulta Tabela III verificamos que em 95% dos casos a varivel 2 estar entre 12,401 e 39,364.

364,39401,12 2

Vamos chamar estes valores de 2

1 e 2

2 .

401,1221 = e 364,392

2 =

Segundo passo: obter o valor especfico de 2s para a amostra feita.

44,12 =s (dado no enunciado)

Terceiro passo: determinar o intervalo de confiana, na forma:

21

22

22

2 )1()1(

snsn




Questo 26 MP RO 2005 [FCC]

Uma amostra aleatria simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a mdia e a varincia desconhecidas de uma populao normal. A mdia amostral encontrada foi 5,2 e a varincia amostral foi 1,44.


(A) (0,48; 2,40)

(B) (0,52; 2,96)

(C) (0,58; 2,84)

(D) (0,67; 3,43)

(E) (0,88; 2,79)

Resoluo.

1 passo: determinar os valores de 2 que delimitam um intervalo com a confiana solicitada. Neste exerccio, deveramos determinar um intervalo de 95% de confiana. Para tanto, basta consultar a tabela da distribuio de qui-quadrado, com 24 graus de liberdade.

Consultando a tabela III (coluna de %5,97 e 24 graus de liberdade), temos que a rea

verde de figura abaixo de 97,5%.

Consequentemente, a rea amarela de 2,5%.

Da mesma tabela, temos que a rea amarela da figura abaixo tambm de 2,5%:




Juntando as duas figuras, temos que a rea verde da figura abaixo de 95%.

Portanto, em 95% dos casos, 364,39401,12 2 .




21

22

22

2 )1()1(

snsn

401,12

44,1)24(

364,39

44,1)24( 2




79,288,0 2

Gabarito: E

Questo 27 PETROBRAS 2005 [CESGRANRIO]

Uma amostra aleatria simples, de tamanho 16, foi selecionada para estimar a mdia desconhecida de uma populao normal. A mdia amostral encontrada foi 4,8 e a varincia amostral, 1,44.

O intervalo de 90% de confiana para a varincia populacional

(A) (0,48 ; 2,40)

(B) (0,52 ; 2,84)

(C) (0,58 ; 2,96)

(D (0,67 ; 3,43)

(E) (0,86 ; 2,97)

Resoluo.


A rea entre 7,261 e 24,996 de 90%.

261,721 = e 996,242

2 =




21

22

22

2 )1()1(

snsn

261,7

44,1)14(

996,24

44,1)15( 2

97,286,0 2

Gabarito: E

Questo 28 PM MANAUS [CESGRANRIO]

Uma amostra aleatria simples de tamanho 16 foi selecionada para estimar a mdia desconhecida de uma populao normal. A mdia amostral encontrada foi 5,2 e a varincia amostral foi 1,44.





(A) (0,79 ; 3,47)

(B) (0,67 ; 3,43)

(C) (0,58 ; 2,84)

(D) (0,52 ; 2,96)

(E) (0,48 ; 2,40)

Resoluo.


A rea entre 6,23 e 27,5 de 95%.

23,621 = e 5,272

2 =




21

22

22

2 )1()1(

snsn

23,6

44,1)14(

5,27

44,1)15( 2

47,379,0 2

Gabarito: A

6. INTERVALO DE CONFIANA E TAMANHO DA AMOSTRA

So comuns alguns tipos de exerccios em que se pede o tamanho que deve ter a amostra para que se consiga uma determinada amplitude do intervalo de confiana.

Antes de vermos esse tipo de exerccio, bom termos uma noo da relao entre a amplitude do intervalo de confiana e o erro da estimativa.

Exemplo 2

Considere o intervalo de confiana de 90,10% para a mdia de uma populao normal com varincia 16, construdo a partir da seguinte amostra: 2, 6, 6, 10. Qual o erro mximo cometido na estimativa da mdia populacional?




Resoluo.

Consultando a tabela I, temos:

= 1,65 A mdia amostral :

= 2 + 6 + 6 + 104 = 6 O desvio padro da mdia amostral :

= 164 = 2 O intervalo de confiana fica:

6 1,65 2 Os limites do intervalo so:

[2,7 ; 9,3]

Com 90,10% de confiana, a mdia populacional est entre 2,7 e 9,3.

Qual o maior erro que cometemos quando usamos a mdia amostral para estimar a mdia populacional? Isso, claro, considerando um coeficiente de confiana de 90,10%.

A mdia amostral est bem no meio do intervalo de confiana. Logo, o erro ser maior se a mdia populacional estiver em uma das extremidades do intervalo de confiana. O erro ser mximo se a mdia populacional for igual a 2,7 ou se ela for igual a 9,3.

No primeiro caso, o erro cometido fica:

= Xerro

3,37,26 ==erro

No segundo caso, o erro cometido :

3,33,96 ==erro

Em qualquer um desses dois casos, o mdulo do erro de 3,3. comum que os exerccios ignorem a palavra mdulo e digam apenas erro. Desse modo, dizemos que, nos dois casos acima, o erro cometido foi de 3,3.

Ento, quando o exerccio se referir a erro mximo cometido, ele quer que a gente suponha que a mdia populacional est justamente na extremidade do intervalo de confiana.

Note que o erro mximo sempre metade da amplitude do intervalo de confiana. Nesse exemplo, o intervalo de confiana era [2,7 ; 9,3]

Sua amplitude :

6,67,23,9 ==Amplitude

E a metade da amplitude :




3,32

6,6

2==Amplitude

Erro mximo cometido, para determinado nvel de confiana:

Corresponde metade da amplitude do intervalo de confiana

No caso do intervalo de confiana para a mdia, quando a varincia da populao conhecida, temos:

XXZXZX 00 +

A amplitude do intervalo de confiana :

( ) ( )XXX

ZZXZXAmplitude 000 2=+=

Logo, o erro, que igual metade da amplitude, expresso por:

XZerro 0max_ =

No caso do intervalo de confiana para a mdia, quando a varincia da populao desconhecida, os clculos so anlogos. Ficamos com:

Xsterro 0max_ =

Por fim, no caso do intervalo de confiana para a proporo, o erro mximo :

psZerro 0max_ =

Erro mximo cometido

Estimao da mdia, com varincia populacional conhecida:

XZerro 0max_ =

Estimao da mdia, com varincia populacional desconhecida:

Xsterro 0max_ =

Estimao da proporo:

psZerro 0max_ =




Sabendo disso, vamos aos exerccios de concurso.

Questo 29 DNOCS 2010 [FCC]

Seja X uma varivel aleatria normalmente distribuda representando o salrio dos empregados em um determinado ramo de atividade. Uma amostra aleatria de 100 empregados foi selecionada e apurou-se um intervalo de confiana de 95% para a mdia de X como sendo [760,80; 839,20], supondo a populao de tamanho infinito e sabendo-se que o desvio padro populacional igual a R$ 200,00. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 1.600 e obtendo-se a mesma mdia anterior, o intervalo de confiana de 95% apresentaria uma amplitude igual a

(A) R$ 78,40.

(B) R$ 39,20.

(C) R$ 49,00.

(D) R$ 58,80.

(E) R$ 19,60.

Resoluo:

A amplitude do intervalo de confiana dada por:

X = 2 X = 2 *

Quando o tamanho da amostra 100, a amplitude :

839,20 760,80 = 78,4 Em seguida, o tamanho da amostra aumentado para 1600. Vou chamar este novo tamanho de amostra de *Y. O tamanho da amostra multiplicado por 16.

*Y = 16* A nova amplitude (X) fica:

XY = 2 *Y XY = 2 16*

XY = 2 * 116 XY = [2 *\ 14

Entre parntesis, temos a amplitude original:




XY = 78,4 14 = 19,60 Gabarito: E

Resumindo o que fizemos:

O tamanho da amostra foi multiplicado por 16. Logo, * foi multiplicado por 4. Como * est no denominador, ento a amplitude foi dividida por 4.

Questo 30 TRE PI 2009 [FCC]

A durao de vida de um determinado equipamento apresenta uma distribuio normal com uma varincia populacional igual a 100 (dias)2. Uma amostra aleatria de 64 desses equipamentos forneceu uma mdia de durao de vida de 1.000 dias. Considerando a populao de tamanho infinito, um intervalo de confiana de ( 1 ) com amplitude de 4,75 dias para a mdia foi construdo. Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 400, obtendo-se a mesma mdia de 1.000 dias, a amplitude do intervalo de confiana de ( 1 ) seria de (A) 0,950 dias.

(B) 1,425 dias.

(C) 1,900 dias.

(D) 2,375 dias.

(E) 4,750 dias.

Resoluo:

Aproveitando o raciocnio da questo anterior.

O tamanho da amostra saltou de 64 para 400. Ou seja, foi multiplicado por 6,25.

Logo, * foi multiplicado por 2,5. Consequentemente, a amplitude ser dividida por 2,5 4,752,5 = 1,9 Gabarito: C

Para quem preferir uma soluo mais detalhada, temos o seguinte.

Inicialmente, a amostra tem tamanho 64 e a amplitude do intervalo de confiana foi de 4,75.

X = 2 * 4,75 = 2 64




Em seguida, feita nova amostragem, de tamanho 400. A amplitude XY. XY = 2 *Y XY = 2 400

XY = 2 ]64 6,25 XY = [2 64\ 1]6,25

XY = 4,75 12,5 = 1,9

Questo 31 BACEN/2006 [FCC].

Os preos de um determinado produto vendido no mercado tm uma distribuio normal com desvio padro populacional de R$ 20,00. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatria de tamanho 100, com um determinado nvel de confiana, apurou-se, para a mdia destes preos, um intervalo de confiana sendo [R$ 61,08; R$ 68,92]. A mesma mdia amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da amostra e utilizando tambm o mesmo nvel de confiana. Nos dois casos considerou-se infinito o tamanho da populao. O novo intervalo de confiana encontrado no segundo caso foi:

a) [R$ 63,04; R$ 66,96]

b) [R$ 62,06; R$ 67,94]

c) [R$ 61,57; R$ 68,43]

d) [R$ 61,33; R$ 68,67]

e) [R$ 61,20; R$ 68,80]

Resoluo.

Na primeira pesquisa, o intervalo de confiana foi [R$ 61,08; R$ 68,92].

A mdia amostral )(X corresponde ao ponto mdio do intervalo de confiana.

Portanto, nesta primeira amostragem, a mdia amostral obtida foi:

652

08,6192,68 =+=X

A amplitude do intervalo dada por:

68,92 61,08 = 7,84 Na segunda pesquisa, a mesma mdia amostral foi obtida.

J a amostra teve seu tamanho quadruplicado. O novo tamanho da amostra fica:




nn 4'=

Com isso, * foi duplicado. Como consequncia, a amplitude foi dividida por 2. A nova amplitude : 7,842 = 3,92 Com isso, o novo intervalo centrado em 65, com amplitude de 3,92.

Isto nos permite achar os limites do novo intervalo de confiana:

=+2

92,365 66,96

=2

92,365 63,04

Logo:

96,6604,63

Gabarito: A.

Questo 32 Prefeitura de So Paulo 2007 [FCC]

Para responder questo seguinte, utilize, dentre as informaes abaixo, as que julgar adequadas. Se Z tem distribuio normal padro, ento:

341,0)10( =




Para aplicar a frmula, temos que encontrar Z0 associado a 89% e o desvio padro de

X .

Sabemos que 445,0)6,10( =




nerro

1006,1max_ =

E o exerccio disse que o erro mximo igual a 2.

n

1006,12 =

Isolando o n:

6400802

1006,1 === nn

Gabarito: E.

Dizemos que, para que o erro mximo cometido seja igual a 2, a amostra deve ter tamanho 6400 (considerando um coeficiente de confiana de 89%).


Se Z tem distribuio normal padro, ento:

P(Z > 1,64) = 0,05, P(Z > 2) = 0,02, P(0 < Z < 2,4) = 0,49, P(0 < Z < 0,68) = 0,25

Se t tem distribuio de Student com 3 graus de liberdade P(t > 1,638) = 0,10

Se t tem distribuio de Student com 4 graus de liberdade P(t > 1,533) = 0,10

A experincia com trabalhadores de uma certa indstria indica que o tempo requerido para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize um servio, distribudo de maneira aproximadamente normal com desvio padro de 12 minutos. Deseja-se, por meio de uma amostra aleatria, com reposio, estimar a mdia populacional. O tamanho desta amostra, para que a diferena em valor absoluto entre o verdadeiro valor populacional e sua estimativa seja de no mximo 2 minutos, com probabilidade de 96%,

(A) 64

(B) 81

(C) 100

(D) 144

(E) 196

Resoluo:

Como conhecemos o desvio padro populacional, utilizamos a distribuio normal, e no a distribuio t de Student.

O valor de Z0, que delimita o intervalo de 96% igual a 2. Basta notar que: > 2 = 2% < 2 = 2% Logo:

2 < < 2 = 100% 2% 2% = 96%




Ou seja:

= 2 Ficamos com:

^__`a5I = * 2 = 2 12*

* = 2 12

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Aula 09 - Estatística Bacen