AULA 14 - Grupo de Sistemas Elétricos de Potência · A transformada de Park é definida como uma relação entre os enrolamentos reais do estator da máquina e três enrolamentos

Estabilidade de Sistemas de Potência

Ivan Camargo 1

AULA 14

Máquina Síncrona

1) Introdução

Como foi visto nas aulas anteriores, a máquina síncrona é o elemento fundamental do

sistema em estudos de estabilidade, desta forma convém fazer uma revisão das

diversas formas de representar a máquina no sistema.

Neste capítulo vai-se representar a máquina por uma equação diferencial do tipo:

Eq. 1 uBxAx ][][ +=&

onde as grandezas em negrito caracterizam um vetor ou matriz. Esta forma de se

representar as equações da máquina é chamada equações de estado, onde o vetor da

derivada das variáveis x (chamado variáveis de estado) esta relacionado com o vetor x

por uma matriz A, mais uma resposta forçada dada pelo produto Bu.

O vetor x, para as máquinas elétricas, pode ser um vetor de corrente ou de fluxo. A

representação da máquina pelo seu vetor de corrente é a mais simples, e vai ser

detalhada neste capítulo, no entanto para se representar corretamente o efeito da

saturação magnética, o modelo cujas variáveis de estado são os fluxos concatenados

com os diversos enrolamentos da máquina é o mais apropriado.

A máquina síncrona pode ser representada por seis enrolamentos acoplados

magneticamente. Três enrolamentos no estator que serão representados pelos índices

a, b e c; e três enrolamentos no rotor que serão representados pelos índices maiúsculos

F, D e Q. A tensão em qualquer um destes enrolamentos é dada pela lei de Faraday:

Eq. 2 λ&±±= riv

onde o sinal negativo, por convenção, corresponde ao funcionamento da máquina

como gerador e o sinal positivo como motor, r é a resistência do enrolamento e λ o

fluxo concatenado com este enrolamento. Como se está interessado principalmente

com o funcionamento da máquina como gerador, vai-se usar o sinal negativo nas

equações que se seguem.


Ivan Camargo 2

A maior dificuldade no estudos das máquinas elétricas vem do fato que o fluxo

concatenado depende da posição do rotor, desta forma, as equações que descrevem as

tensões nos enrolamentos se tornam equações diferenciais com coeficientes periódicos

o que faz com que não exista solução analítica para o mesmo.

Para simplificar as equações da máquina diversas transformações lineares foram

propostas, a mais conhecida e mais utilizada é a transformada de Park que será

analisada neste capítulo.

2) Transformada de Park

A transformada de Park é definida como uma relação entre os enrolamentos reais do

estator da máquina e três enrolamentos fictícios chamados direto (índice d), em

quadratura (índice q) e homopolar (índice 0). Esta transformação provoca uma rotação

nos enrolamentos fictícios de forma a acoplá-los ao rotor, fazendo com que as

equações diferenciais que definem as tensões nos enrolamentos da máquina passem a

ter coeficientes constantes. Tem-se então por definição:

Eq. 3 abc0dq ][ iPi =

onde

Eq. 4

+−

+−=

)3

2sen()

3

2sen(sen

)3

2cos()

3

2cos(cos

2

1

2

1

2

1

3

2][

πθ

πθθ

πθ

πθθP

Todas as outras grandezas dos enrolamentos do estator podem também ser

transformadas em grandezas fictícias, ou seja:

Eq. 5 abcdq0

abcdq0

][

][

λλ P

vPv

=

=

A inversa da matriz [P] existe e é dada por:


Ivan Camargo 3

Eq. 6

++

−−=−

)3

2sen()

3

2cos(

2

1

)3

2sen()

3

2cos(

2

1

sencos2

1

3

2][

1

πθ

πθ

πθ

πθ

θθ

P

Desta forma os valores das correntes, tensões e fluxos nos enrolamentos reais podem

ser obtidos dos valores fictícios por:

Eq. 7

dq0

1

abc

dq0

1

abc

dq0

1

abc

][

][

][

λλ −

−

−

=

=

=

P

vPv

iPi

É interessante notar que esta definição da transformada de Park é um pouco diferente

da matriz originalmente proposta por Park. Isto por que a matriz original não

mantinha a potência invariante. Com esta definição, onde a inversa é igual a matriz

transposta, a potência tanto no sistema “abc” quanto no sistema “0dq” são iguais. Isto

é facilmente demonstrado lembrando que:

Eq. 8 abc

T

abcccbbaa ivivivp iv ×=++=

Das definições da Eq. 7, vem:

Eq. 9 dq0

T

dq0dq0

1T

dq0

1)]([)]([p iviPvP ×=×= −−

Tanto na referência “abc” quanto na referência “0dq” o valor da potência é dado pelo

produto do valor instantâneo da tensão pela corrente em cada enrolamento.

3) As Equações do Fluxo

Como foi dito, a máquina simplificada pode ser representada por seis enrolamentos

magneticamente acoplados. Todas as considerações a respeito do enrolamento real

como número de pólos, enrolamentos distribuídos, efeito das ranhuras, etc... podem

ser levados em consideração ajustando estes seis enrolamentos simplificados por meio

de fatores de correção. As equações dos fluxos dos seis enrolamentos acoplados, cujos

índices foram definidos acima são:


Ivan Camargo 4

Eq. 10

=

Q

D

F

c

b

a

QQQDQFQcQbQa

DQDDDFDcDbDa

FQFDFFFcFbFa

cQcDcFcccbca

bQbDbFbcbbba

aQaDaFacabaa

Q

D

F

c

b

a

i

i

i

i

i

i

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

LLLLLL

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Esta matriz de indutância pode ser dividida em quatro submatrizes. Uma submatriz

própria do estator, uma do rotor e duas mútuas entre estator e rotor. As únicas

indutâncias que independem da posição do rotor são, obviamente, as da submatriz

própria do rotor. Utilizando a mesma notação da referência [1], pode-se definir cada

termo desta submatriz por:

Eq. 11

0LL

0LL

MLL

LL

LL

LL

QDDQ

QFFQ

RDFFD

QQQ

DDD

FFF

==

==

==

=

=

=

A submatriz própria do estator é constante no caso particular de uma máquina de

pólos lisos. No caso geral, a indutância própria do enrolamento “a”, por exemplo,

depende do coseno do ângulo da posição do rotor em relação ao eixo magnético da

fase. Considerando a definição dos ângulos conforme a figura abaixo, tem-se:

d a θ

q

2π/3

c b

Figura 1: Definição dos eixos magnéticos da máquina

Eq. 12 θ2cosLLL msaa +=


Ivan Camargo 5

Onde θ é, por definição, a distância angular entre o eixo magnético da fase “a” e o

eixo direto do rotor representado pelo índice “d”. A indutância é, portanto, função do

dobro da velocidade de rotação do rotor em relação ao estator. É, fisicamente, fácil

obter esta expressão lembrando que a indutância própria de uma bobina é

proporcional ao quadrado do número de espiras e à permeância do circuito magnético.

A permeância do circuito magnético “visto” pelo enrolamento da fase “a” depende da

posição do rotor mas independe da polaridade do rotor. Da mesma forma, para os

outros enrolamentos do estator, obtém-se a indutância própria usando a defasagem de

2π/3 do eixo magnético de “a” em relação ao eixo magnético de “b” e “c”. Então:

Eq. 13 )3/2(2cosLLL

)3/2(2cosLLL

mscc

msbb

πθ

πθ

++=

−+=

As mútuas entre os enrolamentos do estator também dependem do coseno do dobro do

ângulo entre o rotor e o estator. Da mesma figura pode-se tirar diretamente:

Eq. 14

)6/5(2cosLML

)2/(2cosLML

)6/(2cosLML

msac

msbc

msab

πθ

πθ

πθ

+−−=

−−−=

+−−=

como a matriz de indutância é simétrica as duas submatrizes próprias do estator e do

rotor ficam completamente definidas.

Para definir os termos mútuos entre estator e rotor, usa-se a mesma referência da

Figura 1 e o fato da matriz ser simétrica. A relação entre o fluxo produzido na fase “a”

devido uma corrente contínua no enrolamento de campo “F” depende, evidentemente,

da posição do rotor. Considerando que o fluxo produzido pelo campo tenha uma

distribuição senoidal no espaço, ou seja, desprezando as harmônicas de ordem

superior à fundamental, tem-se:

Eq. 15 θcosML FaF =

Da mesma forma, para as fases “b” e “c”:

Eq. 16 )3/2cos(ML

)3/2cos(ML

FcF

FbF

πθ

πθ

+=

−=


Ivan Camargo 6

Fazendo as mesmas considerações para os enrolamentos amortecedores de eixo direto

(D) e de eixo em quadratura (Q), pode-se definir as indutâncias mútuas entres eles e os

enrolamentos do estator.

Eq. 17

)3/2(

)3/2(

)3/2cos(

)3/2cos(

cos

πθ

πθ

θ

πθ

πθ

θ

+=

−=

=

+=

−=

=

senML

senML

senML

ML

ML

ML

QcQ

QbQ

QaQ

DcD

DbD

DaD

Com isto, todas as indutâncias ficam definidas. A matriz de indutância é uma função

da posição angular θ que, por sua vez, é função do tempo. Voltando à Eq. 2, é fácil

observar que a derivada no tempo do fluxo concatenado será dada pela regra da

cadeia:

Eq. 18 i]L[i]L[ &&& +=λ

Aplicando a transformada [P], definida na Eq. 3, na equação do fluxo a matriz de

indutância resultante será muito simplificada. De fato, lembrando que a transformada

de Park se aplica apenas aos enrolamentos do estator:

Eq. 19

=

FDQ

abc

RRRe

eRee

FDQ

abc

i

i

LL

LL

λ

λ

Onde as quatro submatrizes de indutância são identificadas pelos índices “e” do

estator e “R” do rotor.

Definindo a submatriz unitária [U] de ordem três, a aplicação da transformada de Park

na equação de fluxo é dada por:

Eq. 20

=

−

FDQ

abc1

RRRe

eRee

FDQ

abc

i

i

U0

0P

U0

0P

LL

LL

U0

0P

U0

0P

λ

λ

Ou

Eq. 21

=

FDQ

odq

FDQ

odq

i

i)]Park(L[

λ

λ

Onde a matriz [L(Park)] é claramente definida. Fazendo-se os produtos matriciais

pode-se definir quatro submatrizes da matriz de indutância de Park. A única que não


Ivan Camargo 7

sofre alteração é a matriz própria do rotor uma vez que é pré e pós multiplicada pela

matriz unidade.

Eq. 22

=

Q

DR

RF

RR

L00

0LM

0ML

]L[

A submatriz do estator fica muito simplificada. Após as manipulações algébricas

definidas pelo produto matricial, obtém-se:

Eq. 23

=−

q

d

0

1

ee

L00

0L0

00L

]P][L][P[

Onde

Eq. 24

ss0

mssq

mssd

M2LL

L2

3MLL

L2

3MLL

−=

−+=

++=

Finalmente, o produto matricial das submatrizes de indutância mútua entre o estator e

o rotor é dado por:

Eq. 25

T

Q

D

F

T

eR

kM

kM

kM

PLLP

== −

00

00

00

]}][{[]][[ 1Re

Onde 2/3k = .

A simplificação na matriz de indutância é impressionante. Inicialmente, observa-se

que ela ficou constante. Desta forma, a derivada do vetor fluxo concatenado com as

novas bobinas fictícias fica:

Eq. 26 i]L[ && =λ

Fazendo com que os coeficientes das equações diferenciais passem a ser constantes,

permitindo, assim, em alguns casos, a resolução analítica das equações da máquina.

Outra simplificação importante é o desacoplamento da equação homopolar. A

primeira equação da matriz, com o índice “0” é completamente independente das


Ivan Camargo 8

outras. Em muitas situações, em particular em estudos de estabilidade, é razoável

supor que o sistema esteja equilibrado, ou seja que:

Eq. 27 0iii cba =++

Nesta situação a equação homopolar pode ser desprezada e o sistema inicial de ordem

6 passa a ser de ordem 5.

Uma outra simplificação importante, esta devido à escolha da matriz de transformação

de Park, é que a matriz de indutância continua simétrica. Todo sistema real (ou físico)

tem matriz de indutância simétrica e é interessante que este sistema, mesmo sendo

fictício, mantenha características reais.

4) Equações de Tensão

As equações de tensão podem ser colocadas, na forma matricial, como se segue:

Eq. 28

−

−=

FDQ

abc

FDQ

abc

FDQ

abc

FDQ

abc

i

i

R0

0R

v

v

λ

λ&

&

O sinal negativo leva em consideração que a máquina síncrona está atuando como

gerador, ou seja, as correntes são consideradas positivas quando estão “saindo” dos

enrolamentos da máquina.

O vetor de tensão do rotor é conhecido uma vez que os enrolamentos amortecedores

estão em curto-circuito e a tensão no enrolamento de campo é dada por vF. Portanto:

Eq. 29

−

=

0

0

v

]v[

F

FDQ

O sinal negativo na tensão do campo é usado para levar em consideração que a

corrente positiva no campo está “entrando” neste enrolamento.

Pela definição de transformada de Park:

Eq. 30

=

FDQ

dq0

FDQ

abc

v

v

v

v

U0

0P

Aplicando a mesma definição na Eq. 28 tem-se:


Ivan Camargo 9

Eq. 31

=

=

−

−

FDQ

dq0

FDQ

abc

FDQ

dq0

FDQ

1

abc

FDQ

abc1

FDQ

abc

i

i

R0

0R

i

i

R0

0PPR

i

i

U0

0P

U0

0P

R0

0R

U0

0P

Aplicando-se a transformação na variação do fluxo:

Eq. 32

=

FDQ

abc

FDQ

abc P

U0

0P

λ

λ

λ

λ&

&

&

&

Como

Eq. 33 dq0abcP λλ =

E como as duas matrizes são funções do tempo, aplicando a regra da cadeia:

Eq. 34 abcabcdq0 PP λλλ &&& +=

Portanto:

Eq. 35 dq0

1

dq0abc PPP λλλ −−= &&&

Efetuando-se o produto matricial:

Eq. 36

−=

−=−

d

q

q

d

0

dq0

1

0

010

100

000

PP

ωλ

ωλ

λ

λ

λ

ωλ&

Que corresponde à parcela da tensão proporcional à velocidade. A equação de tensão,

colocada em forma matricial, após a transformada de Park é dada por:

Eq. 37

+

−

−=

−

0

PP

i

i

R0

0R

v

vdq0

1

FDQ

dq0

FDQ

dq0

FDQ

abc

FDQ

dq0 λ

λ

λ &

&

&

Neste ponto, definida a equação de tensão da máquina, pode-se colocar a corrente em

função do fluxo ou o fluxo em função da corrente. Usando a Eq. 21:

Eq. 38

=

FDQ

odq

FDQ

odq

i

i)]Park(L[

λ

λ

E lembrando que [L(Park)] é constante:


Ivan Camargo 10

Eq. 39

=

FDQ

odq

FDQ

odq

i

i)]Park(L[

&

&

&

&

λ

λ

Substituindo esta definição na equação da máquina, eliminando-se a equação

homopolar, tem-se:

Eq. 40

−

−

−−−

−=

−

Q

q

D

F

d

QQ

Qq

DRD

RFF

DFd

Q

q

D

F

d

Q

DFd

D

F

Qq

q

F

d

i

i

i

i

i

LkM

kML

LMkM

MLkM

kMkML

i

i

i

i

i

r

rkMkML

r

r

kMLr

v

v

v

&

&

&

&

&

000

000

00

00

00

0000

0

0000

0000

00

0

0

ωωω

ωω

Obtém-se, então, 5 equações diferenciais que podem ser reescritas como:

Eq. 41 i]L[i]}N[]R{[]v[ &−+−= ω

Ou

Eq. 42 ]v[]L[i]}N[]R{[]L[i 11 −− −+−= ω&

Que está na forma: u]B[x]A[x +=& e que se pretende resolver em conjunto com as

duas equações diferenciais que definem o movimento.


Ivan Camargo 11

AULA 15

Normalização das Equações da Máquina Síncrona

1) Introdução

As equações da máquina síncrona são, normalmente, dadas em valores por unidade ou

valores pu já que existe uma grande diferença numérica entre os valores absolutos de

corrente e tensão nos diferentes enrolamentos da máquina. As tensões nos

enrolamentos do estator são, normalmente, da ordem de kV enquanto que a tensão no

enrolamento de campo é da ordem de algumas centenas de volts.

Outro motivo para o uso freqüente dos valores em pu vem do fato que os fabricantes

das máquinas síncronas fornecem os dados dos seus equipamentos em pu.

Evidentemente, as bases escolhidas para normalizar as grandezas de uma máquina

devem levar em consideração os dados dos fabricantes.

Para se normalizar as equações da máquina é preciso escolher 3 grandezas de base

para cada enrolamento. A partir destas três grandezas, todas as outras ficam definidas

uma vez que as grandezas elétricas estão assim relacionadas.

Antes de normalizar as equações dos enrolamentos da máquina é interessante iniciar

com um exemplo mais simples de duas bobinas acopladas.

EXEMPLO 1

Simplificar as equações de tensão e o circuito equivalente de duas bobinas acopladas

através de uma escolha razoável das grandezas de base.

Solução

O circuito equivalente de duas bobinas acopladas é mostrado na Figura 1.


Ivan Camargo 12

Figura 1: Circuito equivalente de duas bobinas acopladas

As equações que descrevem este circuito são, evidentemente:

Eq. 1 222112222

212111111

iLiLirv

iLiLirv

&&

&&

++=

++=

A escolha da base do enrolamento “1” é arbitrária. É necessária a escolha de três

grandezas de base e todas as outras podem ser derivadas deste núcleo escolhido.

No caso de dois enrolamentos acoplados é usual tomar como base os seguintes

valores:

S1B – potência monofásica de base (do enrolamento 1);

V1B – tensão de fase de base (do enrolamento 1); e

t1B – tempo de base.

Note que como os enrolamentos não têm movimento relativo, normalmente o tempo

de base é desprezado. Isto é usual para transformadores, mas não pode se aplicar às

máquinas.

Com estas grandezas definidas, todas as outras bases do primário podem ser

derivadas, por exemplo:

B1B1L V3V = - tensão de linha de base do enrolamento 1;

S3B = 3.S1B - potência trifásica de base.

Com estas relações os valores de tensão de linha e de fase, assim como os valores de

potência trifásica e monofásica, em pu, têm o mesmo valor numérico.

Outras relações podem também ser derivadas:

I1B = S1B/V1B - corrente de base do enrolamento 1;

Z1B = V1B2/S1B – impedância de base do enrolamento 1;

L1B = V1B2.t1B/S1B = V1B.t1B/I1B – indutância de base do enrolamento 1.


Ivan Camargo 13

Outras grandezas podem ser derivadas, mas para este exemplo específico estas são

suficientes.

Para o enrolamento secundário também é possível escolher três grandezas quaisquer

como base, no entanto, para que o acoplamento não perca o seu sentido físico, é

importante que as bases de potência e de tempo sejam as mesmas que as do

enrolamento primário. Desta forma, entrando uma potência de 1 pu no primário de um

transformador ideal, a potência de saída também será 1 pu. O mesmo se aplica para o

tempo. Portanto:

Eq. 2 S2B = S1B = SB

Eq. 3 t2B = t1B = tB

Existe ainda um grau de liberdade na escolha da base do enrolamento secundário. Para

simplificar o circuito equivalente é usual escolher a corrente de base do secundário

como sendo igual aquela que produz a mesma força magnetomotriz circulando no

enrolamento secundário do que a corrente de base do primário circulando no primário.

Matematicamente:

Eq. 4 N2.I2B = N1.I1B

Desta forma, com três grandezas de base do secundário definidas, todas as outras

podem ser derivadas. Por exemplo:

Eq. 5 1

2

B1

2B11

B

B2

B

B2N

NV

N/IN

S

I

SV ===

2

1

21

211

11

2

2

22 )(

/ N

NLt

NIN

VN

N

I

tVL BB

B

B

B

BBB ===

Esta escolha simplifica significativamente as equações dos enrolamentos acoplados.

Para melhor compreender a simplificação convém relembrar alguns conceitos básicos

de indutância como a divisão da indutância própria em dispersão e magnetização:

Eq. 6 2m222

1m111

LL

LL

+=

+=

l

l


Ivan Camargo 14

Lembrando também que a indutância de magnetização é função da relutância do

caminho de magnetização e, portanto, está relacionada com a mútua e a magnetização

do enrolamento 2 pelas seguintes expressões:

ℜ

=ℜ

=ℜ

===2.

.

N

i

NiN

i

NF

i

N

iL

φλ

Eq. 7

mag

21

12

mag

2

2

2m

mag

2

1

1m

NNL

NL

NL

ℜ=

ℜ=

ℜ=

Reescrevendo a equação de tensão, ainda com todos os valores em grandezas reais,

dividindo a indutância própria em magnetização e dispersão tem-se:

Eq. 8 222m112222

212111m111

i)L(iLirv

iLi)L(irv

&l&

&&l

+++=

+++=

Colocando estas equações em pu, ou seja, dividindo-se os dois lados pela tensão de

base e considerando que o valor real das correntes é igual ao seu valor em pu

multiplicado pela base, com o índice “u” representando as grandezas em pu, tem-se:

Eq. 9

)Ii(tdt

d

V

L)Ii(

tdt

d

V

L)Ii(

V

r

V

vv

)Ii(tdt

d

V

L)Ii(

tdt

d

V

)L()Ii(

V

r

V

vv

B2u2

BuB2

22m

B1u1

BuB2

12

B2u2

B2

2

B2

2

u2

B2u2

BuB1

12

B1u1

BuB1

11m

B1u1

B1

1

B1

1

u1

l

l

+++==

++

+==

Note que nesta equação até o tempo está em pu. Definindo a impedância mútua de

base como:

Eq. 10 B2

BB1

B1

BB2

B21B12I

tV

I

tVLL ===

É fácil mostrar, a partir da definição das indutâncias de base do primário e do

secundário, que:

Eq. 11 B2B1B12 LLL =


Ivan Camargo 15

A equação de tensão, reescrita em pu, sem o índice “u” para simplificar a notação fica

idêntica à equação com seus valores reais:

Eq. 12 222m112222

212111m111

i)L(iLirv

iLi)L(irv

&l&

&&l

+++=

+++=

Não existe nenhuma simplificação aparente nesta equação se comparada com a

equação original. No entanto, voltando às definições das indutâncias mútuas e de

magnetização, tem-se:

Eq. 13

MtV)N/N(

I.

NN

tV

I.

NN

L

LL

MtV)N/N(

I)N/N(.

N

tV

I.

N

L

LL

MtV

I.

N

L

LL

BB112

B1

mag

21

BB2

B1

mag

21

B12

12

u12

BB112

B121

mag

2

2

BB2

B2

mag

2

2

B2

2m

u2m

BB1

B1

mag

2

1

B1

1m

u1m

=ℜ

=ℜ

==

=ℜ

=ℜ

==

=ℜ

==

Portanto, com a escolha destas bases, as indutâncias de magnetização e mútuas têm o

mesmo valor numérico. Pode-se, então, reescrever as equações em pu evidenciando a

simplificação conseguida:

Eq. 14 )ii(Miirv

)ii(Miirv

2122222

2111111

&&&l

&&&l

+++=

+++=

Cujo circuito equivalente pode ser representado pelo “T” equivalente mostrado na

Figura 2.

Figura 2: Circuito “T” equivalente para bobinas acopladas em pu


Ivan Camargo 16

Este circuito é claramente mais simples que aquele mostrado na Figura 1. Além disto,

o número de parâmetros necessários para resolver este sistema é bem menor. No

anterior era necessário o conhecimento dos valores das duas indutâncias de dispersão,

da magnetização do enrolamento 1, magnetização do enrolamento 2 e da mútua. Neste

circuito simplificado estas três últimas indutâncias têm um único valor numérico fácil

de calcular.

Da mesma forma que para o enrolamento primário do exemplo anterior, escolha das

bases para o enrolamento do estator é arbitrária. Usando as bases escolhidas na

referência [1], tem-se:

SB = Potência monofásica nominal, ou SB = SB3/3;

VB = Tensão de fase rms nominal;

ωB = velocidade síncrona do gerador, ou ωB = ωR.

Com estes três valores definidos, todas as outras grandezas de base do estator são

derivadas diretamente, por exemplo:

IB = SB/VB;

tB = 1/ωB;

λB = VB/ωB;

RB = VB/IB;

LB = VB/IBωB, etc...

Esta escolha de base do estator não é uma escolha usual. Basta lembrar que os dados

de placa de um gerador trifásico fornecem a potência aparente trifásica da máquina e a

tensão de linha (rms). A forma mais usual de escolha de base para normalizar as

equações da máquina é a seguinte (usando um asterisco para diferenciar da base que

se está utilizando):

SB* = Potência trifásica nominal;

VB* = Valor de pico da tensão de fase nominal; e

IB* = Valor de pico da corrente nominal.


Ivan Camargo 17

Nota-se que com esta escolha de base “tradicional” a relação entre tensão, corrente e

potência de base não é satisfeita, ou seja:

Eq. 15 S V IB B B* * *=3

2

Este fator 3/2 foi acrescentado à base de potência propositadamente, já que a

transformada de Park tradicional não era invariante na potência. Com este fator, os

valores em pu da potência transformada (0dq) e da potência real (abc) se tornavam

iguais. Com a escolha da transformada modificada de Park que torna a potência

invariante, esta escolha de base perdeu seu sentido, no entanto como os fabricantes

continuam fornecendo o valor das impedâncias em pu com esta escolha de base

“tradicional” é importante que a nova base escolhida resulte no mesmo valor

numérico das impedâncias. É fácil notar que:

Eq. 16 ZV

I

V

IZB

B

B

B

B

B**

*= = =

2

2

Ou seja, nos dois sistemas os valores em pu das impedâncias são iguais.

Outra característica interessante deste novo sistema de base diz respeito aos valores pu

das tensões e correntes nos enrolamentos fictícios (d e q) em relação aos valores em

pu nos enrolamentos reais. Considerando um sistema trifásico de tensões equilibradas:

Eq. 17

v Vsen

v Vsen

v Vsen

a

b

c

= +

= + −

= + +

2

2 2 3

2 2 3

( )

( / )

( / )

θ α

θ α π

θ α π

V

Aplicando-se a transformada de Park tem-se:

Eq. 18

v

v

v

Vsen

Vd

q

0 0

3

3

=

α

αcos

V

Usando o índice “u” para referenciar as grandezas em pu, pode-se colocar o valor

instantâneo da tensão no enrolamento fictício “d” em pu da seguinte forma:

Eq. 19 vv

V

V

Vsen V sendu

d

B Bu= = =3 3α α pu


Ivan Camargo 18

Da mesma forma:

Eq. 20 v Vqu u= 3 cosα pu

Observa-se que aparece um fator igual a raiz de três relacionando o valor rms da

tensão real (abc) e a tensão fictícia (0dq). Este mesmo fator aparece também na

corrente.

Para os enrolamentos do rotor, duas bases já estão previamente definidas. A potência

de base para todos os enrolamentos deve ser a mesma, e para que o sistema de

equações permaneça simétrico, a base de tempo (ou de velocidade angular) também

deve ser a mesma para todos os enrolamentos, ou seja:

SBR = SB; e

ωBR = ωB.

A escolha desta terceira base do rotor é feita visando simplificar as equações da

máquina. Define-se, então, que a corrente de base de cada um dos enrolamentos do

rotor seja aquela que produz o mesmo fluxo de magnetização que a corrente de base

do estator. Esta definição é absolutamente equivalente àquela feita no exemplo

anterior de mesma força magnetomotriz produzida pelos pelas correntes de base em

seus respectivos enrolamentos. Relembrando a definição de fluxo de magnetização. O

fluxo total produzido pelo enrolamento “d” é dado por:

Eq. 21 dmdddmdddd iLiL φλλλ +=+== )( l Wb

Como parte do fluxo concatena todos os outros enrolamentos neste eixo magnético,

pode-se dividir este fluxo em fluxo de dispersão (índice φ) e de magnetização (índice

m). Da mesma forma, pode-se subdividir a indutância própria em magnetização e

dispersão na forma descrita na equação 21 acima.

Para os cinco enrolamentos equivalentes da máquina tem-se:

Eq. 22

QmQQ

qmqq

DmDD

FmFF

dmdd

LL

LL

LL

LL

LL

l

l

l

l

l

+=

+=

+=

+=

+=

H


Ivan Camargo 19

e, da definição da base de corrente do rotor, obtém-se a seguinte igualdade dos fluxos

de magnetização no eixo direto:

Eq. 23

λ

λ

λ

md md B F FB D DB

mF F B mF FB R DB

mD D B R FB mD DB

L I kM I kM I

kM I L I M I

kM I M I L I

= = =

= = =

= = =

Wb

e no eixo em quadratura tem-se:

Eq. 24 λ

λ

mq mq B Q QB

mQ Q B mQ QB

L I kM I

kM I L I

= =

= = Wb

A relação entre as grandezas de base fica então completamente definida.

Considerando que a potência de base seja a mesma para todos os enrolamentos e

usando as relações definidas acima, pode-se obter uma relação entre as tensões e

correntes de base dos enrolamentos do estator em relação aos valores de base de

tensão e corrente definidos para o estator:

Eq. 25

Q

Q

md

Q

QB

B

B

QB

DD

md

D

DB

B

B

DB

FF

md

F

FB

B

B

FB

kN

N

L

kM

I

I

V

V

kN

N

L

kM

I

I

V

V

kN

N

L

kM

I

I

V

V

====

====

====

Onde “N” é o número de espiras equivalente de cada um dos enrolamentos da

máquina.

Várias outras relações podem ser encontradas em função das outras indutâncias da

máquina. Por exemplo, multiplicando-se cada fluxo da equação 21 pela corrente de

base do estator, pode-se obter relações entre as indutâncias de magnetização dos

enrolamentos do rotor em função das definições do k’s de 25.

É interessante notar que o fator kF é o único que pode ser obtido a partir dos dados da

máquina, especificamente a partir da curva de magnetização. As constantes kD e kQ

normalmente não são conhecidas. Isto não atrapalha em nada a análise da máquina. De

fato, os valores das correntes nos enrolamentos amortecedores só apresentam interesse

em pu.


Ivan Camargo 20

A escolha da base do rotor implica, como foi visto, que, em pu, as mútuas e as

indutâncias de magnetização são iguais. Definindo:

Eq. 26 AD

B

md

mdu LL

LL ==

Então:

Eq. 27

AD

FBB

mF

mFu

AD

DBFB

R

Ru

AD

DBB

D

Du

AD

FBB

F

Fu

LLL

LL

LLL

MM

LLL

kMkM

LLL

kMkM

==

==

==

==

Da mesma forma, para o eixo em quadratura:

Eq. 28

AQ

QBB

Q

Qu

AQ

B

mq

mqu

LLL

kMkM

LL

LL

==

==

Com esta definição, as equações de tensão da máquina síncrona podem ser reescritas

como se segue:

Eq. 29

−

−

−−−

−=

−

Q

q

D

F

d

QAQ

AQq

DADAD

ADFAD

ADADd

Q

q

D

F

d

Q

ADADd

D

F

AQq

q

F

d

i

i

i

i

i

LL

LL

LLL

LLL

LLL

i

i

i

i

i

r

rLLL

r

r

LLr

v

v

v

&

&

&

&

&

000

000

00

00

00

0000

0

0000

0000

00

0

0

ωωω

ωω

Que pode também ser escrita termo a termo:


Ivan Camargo 21

Eq. 30

)(0

)(

)(0

)(

)(

QqAQQQQQ

dQqAQqqq

DFdADDDDD

DFdADFFFFF

qDFdADddd

iiLiir

iiLiriv

iiiLiir

iiiLiirv

iiiLiriv

&&&l

&&&l

&&&&l

&&&&l

&&&&l

+−−−=

++−−−=

++−−−=

++−−−=−

−++−−−=

ωλ

ωλ

Estas cinco equações podem também ser descritas por dois circuitos “T” equivalente:

um para o eixo direto e o outro para o eixo em quadratura. A componente de tensão

proporcional à velocidade é representada como uma fonte controlada de tensão em

função do fluxo do outro eixo.

Figura 3: Circuito equivalente de eixo direto


Ivan Camargo 22

Figura 4: Circuito equivalente do eixo em quadratura

A análise deste circuito simplifica muito o entendimento da máquina síncrona tanto

em regime transitório quanto em regime permanente.


Ivan Camargo 23

AULA 16

Equação da Potência e do Conjugado Elétrico

A potência total de saída de uma máquina síncrona é dada por:

Eq. 1 ][][ abc

T

abcccbbaa ivivivivp =++= W ou pu

Esta equação pode ser colocada em termos das tensões e correntes nos enrolamentos

fictícios de Park, e, como foi visto, com a escolha feita da matriz de transformação de

Park, a potência é invariante, ou seja, em qualquer uma das duas referências ela tem o

mesmo valor numérico. Aplicando a transformação tem-se:

Eq. 2 ][][ 0000 dq

T

dqqqdd ivivivivp =++= W ou pu

Em condições equilibradas o termo homopolar se anula. Das equações de tensão nos

enrolamentos “d” e “q”:

Eq. 3 dqqq

qddd

riv

riv

ωλλ

ωλλ

+−−=

−−−=

&

&

V ou pu

Substituindo na Eq. 2 vem:

Eq. 4 riiiiiip qdqddqqqdd )()()( 22 +−−++−= ωλλλλ && W ou pu

O primeiro termo da expressão acima se refere à potência gasta com a variação do

fluxo nos enrolamentos. O terceiro termo refere-se às perdas ôhmicas nos

enrolamentos do estator. Finalmente, o segundo termo, refere-se à potência transferida

no entreferro. Como o conjugado é dado pela variação da potência com a velocidade

vem:

Eq. 5 qddqe iip

T λλ∂ω

∂−== Nm ou pu

As expressões de corrente e fluxo foram calculadas tanto em valores reais como em

pu. A equação “swing” foi definida com um termo em valores reais e o outro em pu,

convém reescrever a equação “swing” toda em pu.


Ivan Camargo 24

Eq. 6 au

R

TH

=ωω

&2

É importante lembrar que a equação 6 foi definida (lembrando que a constante H é a

energia cinética dividida pela potência trifásica nominal da máquina) em pu na base

da potência trifásica. O valor do conjugado mecânico em pu também é o conjugado

total. Com a definição das grandezas de base:

Eq. 7 auBu

BuR

Ttdt

dH=ωω

ω

2

Como

Eq. 8 R

B

Bt

ωω ==1

Então

Eq. 9 eumuauR TTTH ′−==ωω &2

Chamando de

Eq. 10 Rj Hωτ 2=

A equação diferencial que define a velocidade angular, em pu, será:

Eq. 11 j

eu

j

mu

u

TT

ττω

′−=&

O conjugado em pu foi calculado e pode ser colocado em função do vetor de correntes

na máquina.

Eq. 12 [ ]

−−=

Q

q

D

F

d

dAQdqqADqADqdeu

i

i

i

i

i

iLiLiLiLiLT

O valor do conjugado em pu na base da potência trifásica (T’eu) e o valor calculado

com base na potência de base monofásica da máquina (Teu) são dados por:


Ivan Camargo 25

Eq. 13

BB

e

eu

BB

e

eu

S

TT

S

TT

ω

ω

/

/3

=

=′

Como

Eq. 14 S3B = 3SB

Eq. 15 3/eueu TT =′

Como

Eq. 16 ωδ =&

Obtém-se sete equações diferenciais definindo completamente o comportamento

elétrico e mecânico da máquina.

Eq. 17

−

+

−−−−

+−

=

−−

00100000

0033333

00

00

00)(

00

00

11

j

mu

Q

q

D

F

d

j

dAQ

j

dq

j

qAD

j

qAD

j

qdQ

q

D

F

d

T

vL

i

i

i

i

i

iLiLiLiLiL

NRL

i

i

i

i

i

τδ

ωτττττ

ω

δ

ω&

&

&

&

&

&

&

Observa-se que a representação detalhada da máquina síncrona aumenta a

complexidade do problema de estabilidade. A equação 17, além de ser não linear, de

ordem 7, tem ainda um outro problema. Os valores da matriz característica não são os

dados usuais dos fabricantes. No próximo item vai-se relacionar os dados do

fabricante (reatâncias e constantes de tempo) com os valores da equação 17. Em

seguida, vai-se considerar algumas simplificações no tratamento das equações da

máquina.


Ivan Camargo 26

AULA 17

Reatâncias, Indutâncias e Constantes de Tempo da Máquina Síncrona

1) Indutâncias

Aplicando-se uma tensão trifásica e equilibrada nos enrolamentos do estator de uma

máquina síncrona:

Eq. 1 )t(u

)3/2cos(

)3/2cos(

cos

V2vabc

+

−=

πθ

πθ

θ

Onde u(t) é a função degrau unitário e V é o valor “rms” da tensão de fase, então,

usando a transformada de Park:

Eq. 2

=

0

)t(Vu3

0

v dq0

Observa-se que aplicar uma tensão trifásica equilibrada nos enrolamentos do estator

equivale a aplicar um degrau de tensão no enrolamento fictício “d”. Considerando os

enrolamentos do rotor curto-circuitados, os fluxos nos enrolamentos “F” e “D” não

podem se alterar instantaneamente.

Eq. 3 0)0()0( DF =+=+ λλ

Voltando as equações que definem as relações entre fluxo e corrente:

Eq. 4

0

0

=++=

=++=

++=

DDFRdDD

DRFFdFF

DDFFddd

iLiMikM

iMiLikM

ikMikMiL

λ

λ

λ

Nesta condição, pode-se eliminar as correntes do rotor e se obter uma relação entre o

fluxo concatenado com o enrolamento “d” e a corrente neste mesmo enrolamento.

Eq. 5 d2

RDF

RDF

2

DFD

2

F

dd i}MLL

MkMkM2)kM(LL)kM(L{

−

−+−=λ


Ivan Camargo 27

A indutância do estator, imediatamente após uma variação de tensão no enrolamento

de eixo direto (d) é definida como “indutância subtransitória de eixo direto” (L”d).

Eq. 6 ddd i"L=λ

Em pu lembrando que:

Eq. 7 ADRDF LMkMkM ===

A expressão de L”d pode ser simplificada para:

Eq. 8 1

L

LL

L2LLL"L

2

AD

DF

ADFD

dd

−

−+−=

Desprezando o efeito do enrolamento amortecedor de eixo direto, ou seja

considerando que iD = 0, vem:

Eq. 9 d

F

F

F iL

kMi −=

Portanto:

Eq. 10 d

F

2

F

dd i}L

)kM(L{ −=λ

A indutância transitória é definida como sendo aquela relação entre fluxo concatenado

e corrente do enrolamento “d” quando o fluxo ainda não variou no enrolamento “F” e

a corrente no enrolamento “D” já foi a zero.

Eq. 11 ddd i'L=λ

Em pu:

Eq. 12 F

2

AD

ddL

LL'L −=

Depois de decorrido algum tempo, as correntes nos enrolamentos “F” e “D” vão a

zero, ou seja, a relação entre o fluxo e a corrente no enrolamento “d” será dada pela

sua indutância própria (Ld).

Eq. 13 ddd iL=λ

Se a tensão aplicada no enrolamento do estator for defasada de 90o , ou seja:


Ivan Camargo 28

Eq. 14 )t(u

)3/2sen(

)3/2sen(

sen

V2vabc

+

−=

πθ

πθ

θ

As tensões equivalentes nos enrolamentos “0dq” serão:

Eq. 15

=

)t(Vu3

0

0

v dq0

Equivale, portanto, a aplicação de um degrau de tensão no enrolamento fictício “q”.

Considerando que no instante 0+ o fluxo não pode se alterar no enrolamento “Q”,

tem-se:

Eq. 16 0iLi)kM( QQqQQ =+=λ

Portanto:

Eq. 17 q

Q

Q

Q iL

kMi −=

Substituindo na equação do fluxo concatenado com o enrolamento “q”:

Eq. 18 q

Q

2

Q

qQQqqq i}L

)kM(L{ikMiL −=+=λ

A indutância subtransitória de eixo em quadratura (L”q) é definida com esta relação

entre fluxo e corrente.

Eq. 19 qqq i"L=λ

É interessante observar que, normalmente, não tem sentido falar de indutância

transitória de eixo em quadratura uma vez que, neste eixo, não existe enrolamento de

campo. No entanto, em algumas máquinas, particularmente as de pólos lisos onde

existe uma significativa circulação de correntes de Foucault, pode-se definir dois

enrolamentos amortecedores de eixo em quadratura. Neste caso, haverá também uma

indutância transitória de eixo “q” sendo definida como a relação entre o fluxo e a

corrente na bobina “q” quando um dos enrolamentos amortecedores é desprezado e o

fluxo ainda não variou no outro.

A relação entre indutância e reatância é óbvia:


Ivan Camargo 29

Eq. 20

qq

qq

dd

dd

dd

"L"X

LX

"L"X

'L'X

LX

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

=

=

Com a escolha de ωR como base, em pu as indutâncias e as reatâncias têm

aproximadamente o mesmo valor numérico.

2) Constantes de Tempo

Aplicando-se um degrau de tensão no enrolamento de campo (F) com os enrolamentos

do estator em aberto tem-se:

Eq. 21 0ii

)t(uV)t(v

qd

FF

==

=

VF, maiúsculo, caracteriza um valor constante aplicado no campo.

As equações de tensão dos enrolamentos “F” e “D” ficam:

Eq. 22 DDD

FFFF

ir0

ir)t(uV

λ

λ

&

&

+=

+=

Deseja-se calcular a constante de tempo de decaimento da corrente iD. Neste caso,

com o estator em vazio, e desprezando o valor da resistência de campo (rF), é fácil

colocar a corrente iF em função da corrente iD. Tomando a Eq. 22 e resolvendo apenas

a homogênea:

Eq. 23 D

F

RF

DRFFFF

iL

Mi

0iMiLir

&&

&&

−=

=++

Substituindo a segunda variação da corrente de campo na equação de tensão do

enrolamento de campo:

Eq. 24 0i)L

ML(ir D

F

2

R

DDD =−+ &

A constante de tempo desta equação diferencial é chamada de subtransitória de eixo

direto de circuito aberto e é notada por T”d0.


Ivan Camargo 30

Eq. 25 D

F

2

R

D

0dr

L

ML

"T

−

= [s]

Repetindo este procedimento e desprezando o efeito do enrolamento amortecedor de

eixo direto (iD = 0), tem-se:

Eq. 26 0iLir FFFF =+ &

Esta constante de tempo é chamada de transitória de eixo direto e circuito aberto e é

dada por (T’d0).

Eq. 27 F

F

0dr

L'T = [s]

Repetindo este procedimento e considerando que o enrolamento do estator esteja em

curto as constantes de tempo de eixo direto em curto circuito são calculadas. As

manipulações algébricas são um pouco mais trabalhosas uma vez que estarão três e

não duas bobinas acopladas, no entanto não é difícil mostrar que:

Eq. 28 d

d

0dd'L

"L."T"T =

A constante de tempo subtransitória de eixo direto em curto circuito.

Desprezando o efeito do enrolamento amortecedor (iD = 0) calcula-se a constante de

tempo transitória de eixo direto em curto-circuito.

Eq. 29 d

d

0ddL

'L.'T'T =

Para o eixo em quadratura, o decaimento exponencial da corrente do enrolamento

amortecedor, quando o estator está em aberto, é dado por (T”q0).

Eq. 30 Q

Q

0qr

L"T =

Quando o enrolamento do estator está em curto:

Eq. 31 q

q

0qqL

"L."T"T =


Ivan Camargo 31

Existe ainda uma outra constante de tempo relacionada com o decaimento exponencial

de uma corrente contínua no estator. Esta constante de tempo aparece claramente na

simulação de curto-circuito trifásicos nas máquinas e é chamada de Ta.

Eq. 32 r

LT 2

a =

Onde r é a resistência do enrolamento do estator e L2 é a indutância de seqüência

negativa:

Eq. 33 2

"L"LL

qd

2

+=

Exemplo

Calcular a matriz de indutância e a matriz de resistência (em pu) da máquina de

Tucuruí usando os seus dados de placa.

São dados:

Potência trifásica nominal: S3B = 350 MVA;

Tensão de linha nominal: VL = 13,8 kV;

Freqüência: f = 60 Hz;

Fator de Potência: fp = 0,95

Corrente Nominal: IN = 14,6 kA

Os valores das reatâncias em pu são os seguintes:

Xd = 0,8;

Xq = 0,61;

X’d = 0,25;

X”d = 0,19;

X”q = 0,185;

Xa = 0,14;

Onde Xa corresponde à reatância de dispersão da máquina. São dadas também as

seguintes constantes de tempo:

Ta = 0,172 s;

T’d0 = 5,64 s;

T”d0 = 0,0995 s;

T”q0 = 0,251 s;


Ivan Camargo 32

Solução

Como foi dito, em pu os valores das reatâncias e das indutâncias são iguais.

As constantes de tempo de curto circuito são dadas por:

1,7625L

'L.'T'T

d

d

0dd == [s]

0,0756'L

"L."T"T

d

d

0dd == [s]

0,0761L

"L."T"T

q

q

0qq == [s]

Um dado importante para a matriz de indutância é a de magnetização em pu para o

eixo direto (LAD) e para o eixo em quadratura (LAQ). Da própria definição tem-se:

66,0XXLL addAD =−=−= l

47,0XXLL aqqAQ =−=−= l

A indutância própria do campo é calculada a partir de:

Eq. 34 FADF LL l+=

Que pode ser calculada a partir da reatância transitória de eixo direto.

Eq. 35 F

2

AD

ddL

LL'L −=

Manipulando esta equação:

Eq. 36 }'LL

'L{L

dd

dd

ADF−

−=

ll

Calculando a dispersão e conhecendo a indutância de magnetização obtém-se a

própria. Outra forma de fazer o mesmo cálculo é:

Eq. 37 792,0'LL

LL

dd

2

AD

F =−

=

A indutância própria do enrolamento amortecedor de eixo direto pode ser calculada a

partir da reatância subtransitória de eixo direto. De fato, como:

Eq. 38 1

L

LL

L2LLL"L

2

AD

DF

ADFD

dd

−

−+−=


Ivan Camargo 33

Explicitando o valor da indutância de dispersão tem-se:

Eq. 39 FDAD

dd/1/1L/1

1"L

lll

+++=

Portanto:

Eq. 40 )"L(L}L/)"L(L{ ddFFADddFADD lllll −−−=

Neste exemplo:

7517,0L

0917,0

D

D

=

=l

Finalmente a indutância própria do enrolamento amortecedor de eixo em quadratura

será:

Eq. 41 519,0"LL

LL

qq

2

AQ

Q =−

=

Desta forma a matriz de indutância fica completamente definida.

O cálculo dos termos da diagonal da matriz de resistência é feito através das

definições das constantes de tempo.

Eq. 42 0d

F

F'T

Lr =

Eq. 43 0d

F

2

ADD

D"T

L/LLr

−=

Eq. 44 0q

Q

Q"T

Lr =

É importante notar que as constantes de tempo são dadas em segundos, portanto, para

calcular as resistências é preciso dividir a constante de tempo pelo tempo de base ou

multiplicar por ωB.

Eq. 45 0dB

B

0d

0d 'Tt

'T)pu('T ω==

A resistência do enrolamento do estator ou é informada pelo fabricante ou é calculada

através da definição da constante de tempo Ta.


Ivan Camargo 34

O programa abaixo, feito no Matlab, sumariza estes cálculos.

%Entrada de dados Tucurui

global mat1 mat2 lad rf ra laq lf lkd lkq rkd rkq lalfa ldois

xd = 0.8;

xq = 0.61;

x1d = 0.25;

x2d = 0.19;

x2q = 0.185;

xa = 0.14;

ta = 0.172;

t1do = 5.64;

t2do = 0.0995;

t2qo = 0.251;

t1d = t1do*x1d/xd;

t2d = t2do*x2d/x1d;

t2q = t2qo*x2q/xq;

freq = 60;

omega = 2 * pi * freq;

%calculo das matrizes da maquina

ld = xd;

lq = xq;

lad = xd - xa;

laq = xq - xa;

df = 1/((1/(x1d-xa))-(1/lad));

lf = df + lad;

dkd = 1/((1/(x2d-xa))-(1/lad)-(1/df));

lkd = dkd +lad;

dkq = 1/((1/(x2q-xa))-(1/laq));

lkq = dkq + laq;

%resistencia

l2 = (x2d+x2q)/2;

ldois = (xd-xq)/2;

lalfa = (xd+xq)/2;

ra = l2/(omega*ta);

rf = lf/(omega*t1do);

rkd = (dkd + 1/((1/df)+(1/lad)))/(omega*t2do);

rkq = lkq / (omega*t2qo);

tkd = dkd/(rkd*omega);

%formacao das matrizes

mat1 = [ra 0 0 lq laq

0 rf 0 0 0

0 0 rkd 0 0

-ld -lad -lad ra 0

0 0 0 0 rkq];

matind = [ld lad lad 0 0

lad lf lad 0 0

lad lad lkd 0 0


Ivan Camargo 35

0 0 0 lq laq

0 0 0 laq lkq];

mat2 = inv(matind);

E os resultados são mostrados abaixo.

mat1 =

0.0029 0 0 0.6100 0.4700

0 0.0004 0 0 0

0 0 0.0054 0 0

-0.8000 -0.6600 -0.6600 0.0029 0

0 0 0 0 0.0055

matind =

0.8000 0.6600 0.6600 0 0

0.6600 0.7920 0.6600 0 0

0.6600 0.6600 0.7517 0 0

0 0 0 0.6100 0.4700

0 0 0 0.4700 0.5198 mat2 =

5.2632 -1.9936 -2.8708 0 0

-1.9936 5.4613 -3.0448 0 0

-2.8708 -3.0448 6.5246 0 0

0 0 0 5.4054 -4.8879

0 0 0 -4.8879 6.3438

A matriz que relaciona o vetor derivada da corrente com a corrente é dada por:

Eq. 46 iNRLi ]}[]{[][ 1 ω+−= −&

É dada por:

Eq. 47

−−−−

−

−

−

−−−

=

Q

q

D

F

d

Q

q

D

F

d

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

035,0014,0226,3226,3910,3

027,0016,0568,3568,3324,4

349,17512,1035,0001,0008,0

937,0216,1016,0002,0006,0

474,2210,3015,0001,0015,0

&

&

&

&

&

É possível e muito simples obter as indutâncias e as constantes de tempo definidas

neste item usando o circuito equivalente desenvolvido no item anterior.

Exemplo 1

Usando a Figura 1, determinar a indutância subtransitória L”d.


Ivan Camargo 36

Figura 1: Circuito equivalente de eixo direto

Solução

Da definição, sabe-se que esta indutância é a relação entre o fluxo concatenado com

“d” com a corrente em “d” com os outros enrolamentos em curto circuito e

desprezando o efeito das resistências. Então:

Eq. 48 )////L("L DFADd lll +=

Portanto:

Eq. 49 FDAD

dd/1/1L/1

1"L

lll

+++=

Que é exatamente a definição mostrada na Eq.39.

Todas as outras indutâncias podem ser determinadas da mesma forma, inclusive

aquelas do eixo em quadratura.

Exemplo 2

Obter a constante subtransitória de eixo direto em cirtuito aberto (T”d0) observando o

circuito equivalente da figura 1.

Solução

Voltando à definição desta constante de tempo, tem-se que ela representa o

decaimento exponencial de uma corrente no enrolamento “D” quando id = 0 (em


Ivan Camargo 37

aberto) e desprezando a resistência do campo (rF). A constante de tempo será, então,

dada por:

Eq. 50

)//L(L

r

L"T

FADDeq

D

eq

0d

ll +=

=

Voltando à definição da Eq. 25:

Eq. 51 D

F

2

R

D

0dr

L

ML

"T

−

=

A obtenção de 51 a partir de 50 é direta.

Todas as outras definições são obtidas da mesma forma.


Ivan Camargo 38

AULA 18

Representação Simplificada da Máquina Síncrona

1) Introdução

A representação detalhada da máquina síncrona consiste na solução das sete equações

diferenciais não-lineares cujas entradas são a tensão de campo vF e o conjugado

mecânico Tm.

Os valores de vF e Tm podem ser dados com maior ou menor sofisticação mas, como

foi visto, a forma mais simplificada de representação consiste na inclusão de uma

equação diferencial com um ganho e uma constante de tempo para cada uma destas

entradas. Desta forma, tem-se pelo menos nove equações diferenciais representando

cada máquina.

Em estudos de estabilidade é usual representar com bastante detalhe as máquinas

próximas ao defeito (ou à perturbação) e com menor detalhe as máquinas mais

afastadas.

Neste item vai-se analisar os modelos simplificados mais usados. Recomenda-se a

leitura da referência [15] (Young) para um estudo mais aprofundado.

2) Modelo E’q

O modelo E’q consiste em desprezar o efeito das correntes nos enrolamentos

amortecedores. Desprezar estas correntes no modelo da máquina é muito simples,

basta fazer iD = iQ = 0.

Exemplo

Considerando os dados da máquina de Tucuruí, representar o comportamento da

máquina usando o modelo E’q.

Solução

Voltando ao exemplo anterior e fazendo iD = iQ = 0, tem-se:

Eq. 1

−

−

−−

=

q

F

d

q

F

d

i

i

i

i

i

i

016,0368,3324,4

216,1002,0006,0

210,3001,0015,0

&

&

&


Ivan Camargo 39

Esta solução é muito simples no entanto os parâmetros que relacionam o vetor da

derivada da corrente com a própria corrente não são, usualmente, dados pelos

fabricantes, como foi visto no item anterior. Para colocar esta equação em termos dos

parâmetros usuais da máquina é necessário alguma manipulação algébrica e algumas

definições.

O valor rms da tensão do estator em vazio foi definido como E. Voltando às equações

da máquina antes da transformada de Park, lembrando que quando a máquina está em

vazio e em regime permanente a tensão será proporcional à corrente de campo iF.

Eq. 2 θω

θ

seniMv

iMdt

dv

FFRa

FFa

=

−= )cos(

O valor rms da tensão em vazio será portanto:

Eq. 3 F

FR iM

E2

ω=

Usando a transformada de Park, devido à definição da matriz [P], viu-se aparecer um

fator 2/3=k nas relações entre estator e rotor. Portanto, multiplicando os dois

lados da Eq. 3 por “k” tem-se:

Eq. 4 FFR ikME ω=3 [V]

Lembrando que em pu kMF = LAD e ω = 1, pode-se escrever:

Eq. 5 FAD iLE =3 [pu]

Em regime transitório a tensão terminal vai variar dependendo do fluxo do campo e da

tensão de campo. Portanto é interessante definir outras tensões em função do fluxo e

da tensão vF. Lembrando que, em vazio:

Eq. 6 FFF iL=λ

Define-se:

Eq. 7 F

F

AD

qL

LE λ=′3 [pu]

Define-se também:


Ivan Camargo 40

Eq. 8 F

F

AD

FD vr

LE =3 [pu]

Com estas definições é possível reescrever a equação de tensão do campo.

Eq. 9 FFFF irv λ&+=

Multiplicando os dois lados por FAD rL /

Eq. 10 F

F

AD

F

F

FADFDL

L

r

LiLE λ&+=

Eq. 11 )(1

0

EET

E FD

d

q −′

=′&

A primeira equação diferencial que descreve o comportamento da máquina no modelo

E’q é a equação 11. As outras duas estão relacionadas às tensões nos dois

enrolamentos “d” e “q”.

Eq. 12 qdqq

dqdd

riv

riv

λωλ

λωλ

&

&

−+−=

−−−=

Tomando como variáveis de integração os fluxos é necessário colocar as correntes em

função destes. No eixo “q”, desprezando o enrolamento amortecedor, a relação entre

fluxo e corrente é direta:

Eq. 13 q

q

qL

i λ1

=

Substituindo em 12:

Eq. 14 qdq

q

q vL

r−+−= ωλλλ&

Para obter a corrente em função do fluxo no eixo direto é um pouco mais complicado

uma vez que se trata da inversão de uma matriz de ordem dois.

Eq. 15

=

−

F

d

FAD

ADd

F

d

LL

LL

i

i

λ

λ1


Ivan Camargo 41

Eq. 16

−

−

−=

F

d

dAD

ADF

ADFdF

d

LL

LL

LLLi

i

λ

λ2

1

Relembrando a definição de L’d em pu

Eq. 17 F

2

AD

ddL

LL'L −=

Obtém-se:

Eq. 18 q

d

d

d

F

Fd

AD

d

d

d ELLLL

L

Li '

'

1

'

1

''

1−=−= λλλ

Eq. 19 q

ADd

d

d

Fd

AD

F

Fd

d

d

Fd

AD

F ELL

L

LL

L

LL

L

LL

Li '

''''+−=+−= λλλ

Substituindo a Eq. 18 na Eq. 12:

Eq. 20 dqq

d

d

d

d vEL

r

L

r−−+−= ωλλλ '

''&

Substituindo a Eq. 19 na Eq. 11:

Eq. 21 FD

d

d

dd

dd

q

dd

d

q ETTL

LLE

TL

LE

000 '

1

''

''

''' +

−+−= λ&

Colocando na forma matricial tem-se:

Eq. 22

−

−+

−

−−

−−

=

q

d

d

FD

q

d

q

q

dd

dd

dd

dd

d

q

d

q

v

v

T

EE

L

r

L

r

L

r

TL

LL

TL

L

E0

00 ''

0

''

0''

'

'''

λ

λ

ω

ω

λ

λ&

&

&

Estas equações devem ser resolvidas em conjunto com a equação de movimento. A

vantagem desta equação em relação à anterior é que os parâmetros desta são aqueles

usualmente fornecidos pelos fabricantes.

Exemplo

Calcular os coeficientes da matriz do modelo E’q, usando os dados da máquina de

Tucuruí.


Ivan Camargo 42

Solução

São dados: Ld = 0,8 pu; L’d = 0,25 pu, r = 0,0029 pu; Lq = 0,61 e T’d0 = 5,64 s.

Tem que colocar a constante de tempo em pu:

T’d0u = ωB T’d0 = 2126,28 pu

Então:

Eq. 23

−

−−

−

=

q

d

q

q

d

q EE

λ

λ

ω

ω

λ

λ

'

0048,00

0116,00116,0

0001,00015,0'

&

&

&

Observa-se que o sistema continua não linear e que as relações entre as grandezas

envolvidas foram simplificadas.

As entradas para a solução deste sistema são as características da rede dadas pelas

tensões vd e vq, a tensão de campo (EFD) e o conjugado mecânico (Tm), este último na

equação mecânica que não foi representada. O conjugado elétrico é obtido da

definição substituindo os valores de id e iq previamente calculados.

Eq. 24 q

Fd

FAD

dq

dqeLL

L

LLT λ

λλλ )

'()

'

11( +−=

3) Modelo E”

A variação do fluxo nas equações de tensão é desprezada. Além disto, supõe-se que

L”d = L”q. Todos os efeitos do campo e das correntes nos enrolamentos amortecedores

são considerados.

Define-se fluxo subtransitório como:

Eq. 25 dddd iL"" −= λλ

Eq. 26 qqqq iL"" −= λλ

As tensões proporcionais à velocidade relativa aos fluxos subtransitórios, estão

atrasadas noventa graus e são definidas como:

Eq. 27 dqe "" ωλ=

Eq. 28 qde "" ωλ−=


Ivan Camargo 43

As equações de tensão nos eixos direto e em quadratura, desprezando a variação do

fluxo são dadas por:

Eq. 29 qdd riv ωλ−−=

Eq. 30 dqq riv ωλ+−=

Usando a definição do fluxo subtransitório:

Eq. 31 qqqdd Liriv "" ωλω −−−=

Eq. 32 qqqdd Liriv "" ωλω +−−=

Pode-se usar uma notação fasorial para representar estas duas equações em um

circuito equivalente relacionando as tensões vd e vq à tensão terminal va. Definindo:

Eq. 33

dq

dqa

dqa

jEEE

jVVV

jIII

""" +=

+=

+=

Multiplicando a Eq. 31 por j e somando com a 32 tem-se:

Eq. 34 "" EIjxIrV aaa +−−=

Cujo circuito equivalente é mostrado na Figura 1 abaixo.

Figura 1: Circuito equivalente do modelo E”

A dedução das equações que definem o modelo é simples no entanto trabalhosa. As

três equações diferenciais que representam o comportamento da máquina são

apresentadas abaixo sem a dedução.


Ivan Camargo 44

Eq. 35 qqq

q

d

q

d ixxT

eT

e )"("

1"

"

1"

00

−−−=&

Eq. 36 )('

1'

0

EET

E FD

d

q −=&

Eq. 37 dd

d

D

d

q

d

D ixxTT

ET

)'("

1

"

1'3

"

1

000l

& −+−= λλ

Observa-se que as equações são de mesma ordem do exemplo anterior. Esta

simplificação tem a vantagem de dar acesso às correntes dos enrolamentos

amortecedores. Para completar o modelo seria necessário ainda o cálculo do

conjugado elétrico e da equação mecânica.

4)Modelo “dois-eixos”

Neste modelo os efeitos subtransitórios são desprezados. Considera-se que a variação

do fluxo nas equações de tensão é desprezível e que as correntes nos enrolamentos

amortecedores também podem ser desprezadas. No entanto considera-se que exista

um enrolamento no rotor tanto no eixo direto quanto no eixo em quadratura. Esta

representação é boa para máquinas de pólos lisos onde existe uma influência

significativa de correntes no rotor que podem ser representadas por este enrolamento

fictício.

O número de equações diferenciais é reduzido para dois, uma vez que quatro equações

foram desconsideradas e foi adicionado um circuito no rotor. A representação deste

modelo é muito parecida com a do modelo anterior. Definindo fluxo transitório no

eixo direto e em quadratura:

Eq. 38 dddd iL'' −= λλ

Eq. 39 qqqq iL'' −= λλ

As tensões relativas a estes fluxos:

Eq. 40 dqe '' ωλ=

Eq. 41 qde '' ωλ−=


Ivan Camargo 45

As equações de tensão ficam:

Eq. 42 dqqdd eLiriv '' +−−= ω

Eq. 43 qddqq eLiriv '' ++−= ω

Somando e subtraindo x’diq da Eq. 42 tem-se:

Eq. 44 qdqqdddd ixxixrive )''('' −+++=

Normalmente o termo (x’q – x’d) iq é pequeno. Desprezando-o e fazendo a mesma

consideração feita no modelo anterior para referir estas tensões à tensão terminal tem-

se:

Eq. 45 '' EIjxIrV aaa +−−=

Cujo circuito equivalente é mostrado na Figura 2 abaixo.

Figura 2: Circuito equivalente do modelo dois-eixos.

As duas equações diferenciais que descrevem a máquina são:

Eq. 46 )('

1'

0

EET

E FD

d

q −=&

Que já foi deduzida. A segunda é obtida da variação do fluxo no enrolamento que foi

acrescentado no eixo em quadratura, ou seja numa equação do tipo:

Eq. 47 QQQ ir λ&+=0

Com algumas manipulações algébricas, partindo da definição de E’d obtém-se:

Eq. 48 })'('{'

1'

0qqqd

q

d IxxET

E −−−=&


Ivan Camargo 46

5) Modelo “um-eixo”

A simplificação que leva ao modelo um-eixo é óbvia. Usando o modelo anterior e

eliminando o efeito das correntes parasitas no eixo em quadratura, em outras palavras,

eliminando a equação 48, tem-se o modelo “um-eixo”.

Neste modelo, evidentemente, os efeitos subtransitórios são ignorados (supõe-se que

iD = iQ = 0) e não se considera a variação do fluxo nas equações de tensão. Com a

eliminação de quatro equações diferenciais, a máquina passa a ser descrita por apenas

uma – a relação entre tensão e fluxo de campo que, como foi visto nos outros

modelos, pode ser colocada na forma que se segue:

Eq. 49 )('

1'

0

EET

E FD

d

q −=&

A expressão para E é obtida lembrando que:

Eq. 50 F

Fd

AD

d

d

dL'L

L

'L

1i λλ −=

Portanto, substituindo a expressão do fluxo concatenado com o enrolamento “d”,

desprezadas as correntes dos amortecedores:

Eq. 51 F

F

AD

FADddddL

L)iLiL(i'L λ−+=

Eq. 52 qdddFAD 'Ei)L'L(iL +−=

Voltando às definições das tensões em vazio tem-se diretamente:

Eq. 53 dddq i)'LL('EE −−=

A tensão no eixo direto não é nula e é calculada a partir de vd considerando que a

variação do fluxo pode ser desprezada. Neste caso, E’d é uma equação algébrica e não

diferencial.

Eq. 54 )i'L(''E

riv

qqqqd

qdd

−−=−=

−−=

λωωλ

ωλ

Portanto:


Ivan Camargo 47

Eq. 55 qqddd i'xriv'E +−=

Finalmente a equação do conjugado elétrico, neste modelo simplificado, é dada por:

Eq. 56 dqqde iiT λλ −=

Ou

Eq. 57 dqqqFADdde iiLi)iLiL(T −+=

Como

Eq. 58 qdddFAD 'Ei)L'L(iL +−=

Então

Eq. 59 qddqqqe ii)'LL(i'ET −−=

Resumindo, as três equações diferenciais que definem este modelo são:

Eq. 60 )('

1'

0

EET

E FD

d

q −=&

Eq. 61 )TT(1

em

j

−=τ

ω&

Eq. 62 ωδ =&

As entradas deste modelo são a tensão de campo (EFD ou vF) o conjugado mecânico

(Tm) e as correntes nas bobinas “d” e “q” que dependem das condições da rede. As

saídas são: o fluxo no enrolamento de campo (E’q) a velocidade (ω) e a posição (δ).

6) Modelo Clássico

A passagem do modelo anterior para o modelo clássico é simples. Basta considerar

que o fluxo no enrolamento de campo não varie durante o período transitório. Esta

simplificação é razoável levando-se em conta que a taxa de variação deste fluxo é

proporcional a T’d0 que é da ordem de vários segundos.


Ivan Camargo 48

Uma outra simplificação considerada neste modelo é supor que E’q = E’ são iguais, ou

seja que a componente de fluxo no eixo em quadratura, que da origem a tensão E’d

pode ser desprezada.

Considerando E’ constante atrás da reatância transitória é o modelo clássico usado na

primeira parte deste curso. Como foi visto, ele é definido pela integração das duas

equações mecânicas, considerando o conjugado (ou, mais precisamente, a potência)

elétrico constante.

Em qualquer dos modelos apresentados é preciso conhecer as condições do sistema

tanto em regime permanente como após a ocorrência de uma perturbação.


Ivan Camargo 49

AULA 19

1) Máquina Síncrona ligada a um Barramento Infinito Através de uma

Impedância

Considere uma máquina ligada a um barramento infinito através de uma resistência

(Re) e de uma indutância (Le). Sendo conhecida a tensão no barramento infinito a

tensão nos terminais da máquina é obtida diretamente de:

Eq. 1 aeaeaa iLiRvv &++= ∞

Figura 1: Máquina contra barramento infinito

Usando a notação matricial para definir a tensão nas três fases:

Eq. 2 abceabceabcabc iLiRvv &++= ∞

Aplicando a transformada de Park:

Eq. 3 abcedqedqabcdq iPLiRvPvv &++== ∞ 000

A transformada de Park da tensão no barramento infinito, supondo que ela seja

equilibrada, é:

Eq. 4

++

−+

+

= ∞∞

)120tcos(

)120tcos(

)tcos(

V2v

R

R

R

abc

o

o

αω

αω

αω


Ivan Camargo 50

Onde V∞ é o valor rms da tensão no barramento infinito. Lembrando que o ângulo θ,

que define a transformada de Park é dado pela posição do eixo direto do rotor em

relação ao eixo magnético da fase “a” e que as tensões estão sempre atrasadas de π/2

em relação aos fluxos, ou seja:

Eq. 5 2/tR πδωθ ++=

Fazendo o produto matricial, tem-se:

Eq. 6

−

−−== ∞∞∞

)cos(

)sen(

0

V3Pvv abcdq0

αδ

αδ

O último termo da Eq. 3 é obtido lembrando que:

Eq. 7 dq0

1

dq0abcdq0abc

abcabcdq0

iPPiiPiiP

iPiPi

−−=−=

+=

&&&&&

&&&

O produto matricial 1PP −& já foi feito, portanto, no sistema “0dq” as tensões na

máquina são dadas em função da tensão no barramento infinito por:

Eq. 8

−−++

−

−−= ∞

d

qedqedqedq

i

iLiLiRsenVv

0

)cos(

)(

0

3 000 ω

αδ

αδ &

Esta equação é válida em volts ou em pu.

Sendo definidos vd e vq em função de id e iq, pode-se introduzir esta definição equação

diferencial da máquina.

Eq. 9

−++

−

+++−

++=−

0

iLiLiRcosK

0

v

iLiLiRsenK

i)NR(iL

deqeqe

F

qedede

ωγ

ωγ

ω

&

&

&

Onde

Eq. 10 αδγ −=

= ∞V3K


Ivan Camargo 51

Definindo novas resistências e indutâncias que levem em consideração a resistência e

a reatância da rede:

Eq. 11

eqq

edd

e

LLL̂

LLL̂

RrR̂

+=

+=

+=

Pode-se incorporar estes valores aos valores de resistência e indutâncias nos eixos

direto e em quadratura. A equação da máquina fica:

Eq. 12

−

−

++=−

0

cosK

0

v

senK

i)N̂R̂(iL̂

F

γ

γ

ω&

Adicionando as equações do movimento:

Eq. 13

−

−

−

+

+

−−−−

+−

=

−

−

0

T0

cosK

0

v

senK

10

010

0L̂

i

i

i

i

i

0100000

003

iL

3

iL

3

iL

3

iL

3

iL

00

00

00)N̂R̂(L̂

00

00

i

i

i

i

i

j

mu

F

1

Q

q

D

F

d

j

dAQ

j

dq

j

qAD

j

qAD

j

qd

1

Q

q

D

F

d

τ

γ

γ

δ

ωτττττ

ω

δ

ω&

&

&

&

&

&

&

Que é claramente uma equação do tipo BuAxx +=&


Ivan Camargo 52

2) Máquina Síncrona em Regime Permanente

Outro ponto fundamental na análise transitória da máquina é conhecer o seu regime

permanente antes da perturbação. Neste item vai-se analisar o diagrama fasorial da

máquina em regime permanente considerando a transformada de Park vista nos itens

anteriores.

As equações da máquina em regime permanente ficam bastante simplificadas uma vez

que a variação das correntes com o tempo é nula.

Eq. 14 0iiiii QDFqd ===== &&&&&

Como conseqüência imediata das equações de tensão nos enrolamentos

amortecedores:

Eq. 15 0ii QD ==

A equação de tensão do enrolamento de campo também tem solução trivial:

Eq. 16 F

F

Fr

vi =

Reescrevendo as equações dos enrolamentos fictícios “d” e “q”:

Eq. 17 FFddqq

qqdd

ikMiLriv

iLriv

ωω

ω

++−=

−−=

Conhecendo-se as tensões dadas pela Eq. 17 a tensão nos terminais da máquina será

calculada pela transformada inversa de Park.

Eq. 18 )senvcosv(3/2v qda θθ +=

Lembrando que

Eq. 19

FF

qq

dd

ikME3

Lx

Lx

2/t

ω

ω

ω

πδωθ

=

=

=

++=

Então


Ivan Camargo 53

Eq. 20 )}tcos()E3ixri(

)2/tcos()ixri({3/2v

ddq

qqda

δω

πδω

+++−

++++−=

Lembrando que na definição de fasor:

Eq. 21 αjAeA =

Corresponde a uma grandeza no tempo dada por:

Eq. 22 )tcos(A2)t(a αω +=

Então o fasor de tensão será dado por:

Eq. 23

δδ

πδδπδ

∠+∠+

+∠−∠++∠−=

E3

ix

)2/(3

ix}

3

i)2/(

3

i{rV

d

d

q

q

qd

a

É interessante definir

Eq. 24

3

iI

3

iI

q

q

d

d

=

=

Lembrando que uma fase igual a π/2 corresponde a “j”:

Eq. 25 δδδδδ ∠+∠+∠−∠+∠−= EIxIjx}IjI{rV ddqqqda

Usando o eixo “q” como referência fasorial o fasor de corrente aI tem duas

componentes ortogonais Id e Iq:

Eq. 26 δjdqa e)jII(I +=

Da mesma forma, como a tensão interna E está em fase com o mesmo eixo “q”, então:

Eq. 27

δ

δ

δ

∠=

∠=

∠=

dd

qq

jII

II

EE

Eq. 28 ddqqaa IjxIjxIrVE +++=

O diagrama fasorial representando a Eq. 28 é mostrado na Figura 2 abaixo:


Ivan Camargo 54

Figura 2 : Diagrama fasorial da máquina em regime permanente

O maior problema relativo a este diagrama é que é necessário o conhecimento prévio

do ângulo δ para decompor a corrente nas suas componentes de eixo direto e em

quadratura para, finalmente, obter o fasor E , que, em última análise define o ângulo

δ. Para corrigir este problema define-se uma tensão qaE em fase com o eixo “q”.

Eq. 29 aqaaqa IjxIrVE ++=

É fácil mostrar que qaE está em fase com o eixo “q”. Voltando à equação 28 e

somando e subtraindo jxdIq tem-se:

Eq. 30 dqdqa

dddqdqqqaa

I)xx(jEE

IjxIjxIjxIjxIrVE

−+=

+−+++=

O novo diagrama é mostrado na Figura 3.

Figura 3: Diagrama fasorial localizando o eixo “q”.


Ivan Camargo 55

Exemplo 1

Uma máquina alimenta a sua carga nominal com fator de potência 0,85 indutivo. A

sua tensão terminal é igual a 1 pu. Determinar as condições de regime permanente

desta máquina e o valor da tensão no barramento infinito.

Solução

Usando os dados da máquina de Tucuruí, ou seja:

Ld = 0,8 pu; L’d = 0,25 pu, r = 0,0029 pu; Lq = 0,61 e T’d0 = 5,64 s.

Sabendo-se também que:

Va = 1; Re = 0,02; Xe = 0,40; S = 1pu (potência nominal)

O módulo da corrente de saída da máquina é dada por:

Ia = S / Va = 1pu

A fase é dada pelo arco cujo coseno é igual a 0,85. Tomando a tensão terminal como

referência fasorial:

79,311I a −∠=

O ângulo da tensão interna é calculado pelo fasor qaE .

32,2142,1517,0j32,01E

79,311.72,8961,001E

79,311).61,0j0029,0(01E

IjxIrVE

qa

qa

qa

aqaaqa

∠=++=

−∠∠+∠=

−∠++∠=

++=

Desta forma o ângulo δ está definido.

Para calcular a tensão interna da máquina é preciso calcular a projeção da corrente Ia

no eixo “d” (Id).

67,687997,0I

67,68))79,31(32,21sen(.1I

90)sen(II

d

d

ad

−∠=

−∠−−=

−∠−= δφδ

Portanto

32,215719,1E

32,217997,0).61,08,0(32,2142,1E

I)xx(jEE dqdqa

∠=

∠−+∠=

−+=


Ivan Camargo 56

É possível também calcular, em pu, o valor da corrente de campo em regime

permanente. O módulo da tensão interna, como foi visto, é proporcional à corrente,

então:

1253,466,0

5719,1.3

L

E3i

AD

F === [pu]

Finalmente, a tensão no barramento infinito é dada por:

10,238395,03294,0j7722,0V

8,311)40,0j02,0(1V

I)jXR(VV aeea

−∠=−=

−∠+−=

+−=

∞

∞

∞

Em muitos problemas é mais fácil colocar a tensão no barramento infinito como

referência, para isto basta somar 23,1 graus a todos os ângulos previamente

calculados.

Exemplo 2

Repita o exemplo anterior supondo que a tensão conhecida seja a do barramento

infinito (1/0o ) e que a potência ativa e reativa conhecidas sejam as da saída da

máquina (1+j0,52) pu.

Solução

Neste exemplo o carregamento da máquina é bem maior que do exemplo anterior.

Rigorosamente, quando se conhece a tensão em um barramento e a potência no outro

é preciso desenvolver um processo iterativo (como do fluxo de carga) para o cálculo

da tensão terminal da máquina. No entanto, uma boa aproximação é considerar que as

perdas ativas na linha sejam iguais ao valor da resistência (é o mesmo que supor que a

corrente seja igual a 1 pu) e que as perdas reativas sejam iguais a reatância. Neste caso

a potência absorvida pelo barramento infinito é dada por:

12,0j98,0S +=∞ [pu]

98,698,01

12,0j98,0

V

*SI a −∠=

−==

∞

∞

92,191350,13867,0j0671,1V

98,698,0).4,0j02,0(1V

I)jXR(VV

a

a

aeea

∠=+=

−∠++=

++= ∞

O ângulo δ pode então ser calculado:


Ivan Camargo 57

61,405051,19797,0j1426,1E

98,698,0).61,0j0029,0(92,191350,1E

IjxIrVE

qa

qa

aqaaqa

∠=+=

−∠++∠=

++=

Para o cálculo da corrente Id é importante notar que o ângulo δ e o ângulo φ estão em

relação à mesma referência, portanto:

39,497239,0I

39,49))98,6(61,40sen(.98,0I

90)sen(II

d

d

ad

−∠=

−∠−−=

−∠−= δφδ

E a tensão interna é dada por:

61,406423,1E

61,407239,0).61,08,0(61,405051,1E

I)xx(jEE dqdqa

∠=

∠−+∠=

−+=


Ivan Camargo 58

AULA 20

Modelo Linear Simplificado

1) Introdução

Nas aulas anteriores foram analisadas as formas de simplificar as equações da

máquina síncrona e de se representar o sistema em um caso particular da máquina

contra um barramento infinito. Observou-se que, mesmo com todas as simplificações,

o sistema de equações diferenciais que descreve a máquina e o seu movimento

permanece um sistema não linear.

Nesta aula vai-se analisar o funcionamento da máquina síncrona em regime transitório

em torno de um determinado ponto de funcionamento, linearizando as equações, já

simplificadas da máquina, para estudar principalmente o efeito dinâmico do sistema

de excitação.

As simplificações consideradas neste modelo são as seguintes:

• considera-se que a máquina esteja ligada a um barramento infinito, ou seja, a

representação da carga (ou do sistema) é a mais simples possível;

• representa-se a máquina síncrona pelo seu modelo E’q, a representação da máquina

é a mais simples dentre aquelas que permite a análise do sistema de excitação.

Em relação à segunda simplificação, cabe lembrar que a representação da máquina por

este modelo pressupõe as seguintes hipóteses:

• efeito subtransitório desprezado (iD = iQ = 0);

• saturação desprezada;

• o termo da tensão devido à variação do fluxo é considerado pequeno se comparado

com o termo de velocidade ( & ; &λ ωλ λ ωλd q q d<< << );

• condições equilibradas (i0 = 0).

Além disto, despreza-se também o efeito das resistências do estator da máquina. Com

estas simplificações as equações da máquina ficam:

Eq. 1

FFdddq

qqqd

FFFF

ikMiLv

iLv

irv

ωωωλ

ωωλ

λ

+==

−=−=

+= &


Ivan Camargo 59

A equação de tensão no enrolamento de campo, como já foi visto, pode ser colocada

em função das definições das tensões refletidas no estator, ou seja:

Eq. 2 F

F

FR

qL3

kME λ

ω=′

tensão relativa ao fluxo concatenado com o enrolamento de campo;

Eq. 3 F

F

FR

FD vr3

kME

ω=

tensão relativa à tensão do enrolamento de campo; e

Eq. 4 F

FR i3

kME

ω=

tensão relativa à corrente no enrolamento de campo.

Fazendo a transformação de variáveis obtém-se:

Eq. 5 )EE(T

1E FD

0d

q −′

=′&

Esta equação, nesta forma, não é conveniente para este modelo uma vez que introduz

(ou não elimina) a corrente de campo. Para isto, usando a definição do fluxo

concatenado com o enrolamento de campo, tem-se:

Eq. 6 d

F

F

F

F

F iL

kM

Li −=

λ

Multiplicando-se os dois lados por LAD (considerando o sistema em pu) obtém-se:

Eq. 7 d

F

AD

F

F

AD

FAD iL

L

L

LiL

2

−= λ

Diretamente das definições de Ld e L’d tem-se que:

Eq. 8 F

2

AD

ddL

L'LL =−

Aplicando em 7 as diversas definições de tensão e a Eq. 8, obtém-se uma relação

algébrica entre elas:

Eq. 9 dddq I)'xx('EE −−=


Ivan Camargo 60

Usando a transformada de Laplace e a definição de “E”, a equação 5 se transforma

em;

Eq. 10 )iL

kM

L(

3

kMEETs d

F

F

F

FF

FDq0d −−=′′λω

Onde, lembrando que 3/iI dd = e F

2

Fdd L/)kM(LL −=′ , vem diretamente:

Eq. 11 dddFDq0d I)xx(EE)Ts1( ′−+=′′+

Eq. 12 dddq0dFD I)xx(E)Ts1(E ′−−′′+=

As equações das tensões nos enrolamentos fictícios do estator podem também ser

colocadas em função das correntes, considerando as máquinas ligadas a um

barramento infinito, conforme hipótese de base. Da equação 1 e lembrando as

equações deduzidas na aula passada, vem:

Eq. 13 qedeqqd iLiR)sen(V3iLv ωαδω ++−−=−= ∞

Eq. 14 deqeFFddq iLiR)cos(V3ikMiLv ωαδωω −+−=+= ∞

Linearizando estas duas equações entorno de um ponto (0) tem-se:

Eq. 15 ∆∆∆

∆∆∆

δαδ

δαδ

)cos(V3i)Xx(iR0

)sen(V3E3i)Xx(iR0

0qeqde

0dedqe

−++−−=

−++++−=

∞

∞

Dividindo as equações por 3 , usando a Eq. 9, e rearranjando os termos:

Eq. 16 ∆∆∆

∆∆∆∆

δαδ

δαδ

)cos(VI)Xx(IR

)sen(V'EIRI)X'x(

0qeqde

0qqeded

−=++

−+=++−

∞

∞

Matricialmente:

Eq. 17

−

−=

+

+−

∞

∞

∆

∆

∆

∆

δαδ

αδ q

0

0

q

d

eqe

eed 'E

)cos(V0

)sen(V1

I

I

)Xx(R

R)X'x(

Explicitando o valor das correntes:

Eq. 18

−

−

+

+−=

∞

∞

−

∆

∆

∆

∆

δαδ

αδ q

0

0

1

eqe

eed

q

d 'E

)cos(V0

)sen(V1

)Xx(R

R)X'x(

I

I


Ivan Camargo 61

Calculando a inversa e fazendo o produto matricial:

Eq.19

−+−+

−+−−+−=

∞ ∆

∆

∆

∆

δαδαδ

αδαδ

V

'E

)sen(R)cos()X'x(R

)sen()Xx()cos(R)Xx(K

I

Iq

0e0ede

0eq0eeq

I

q

d

Onde:

Eq. 20 )X'x)(Xx(R

1K

edeq

2

e

I+++

=

Substituindo o valor de Id∆ na equação 12 linearizada:

Eq. 21 ∆∆∆ δ4q0d3FD K'E)s'TK/1(E ++=

Onde a identificação das constantes K3 e K4 é direta:

Eq. 22 [ ] 13 ))('(1 −

+−+= eqddI XxxxKK

Eq. 23 )}cos(R)sen()Xx){('xx(KVK 0e0eqddI4 αδαδ −−−+−= ∞

A equação 21 pode também ser escrita como:

Eq. 24 }KE{)s'TK1(

K'E 4FD

0d3

3

q ∆∆∆ δ−+

=

Esta equação foi apresentada na primeira parte do curso sem dedução. A dedução,

mesmo sendo muito simples, exige o conhecimento do modelo simplificado da

máquina.

A constante K3 depende da característica da rede e independe das condições iniciais.

Já a constante K4 terá um determinado valor para cada condição inicial. O valor de K4

está relacionado com a variação da tensão interna em função do ângulo da máquina –

o chamado efeito desmagnetizante.

É possível fazer uma dedução semelhante para os outros parâmetros que definem as

equações da máquina em uma determinada situação de operação.

O conjugado elétrico será dado por:

Eq. 25 qqddqqdde IVIV)iviv(3

1T +=+=

Os valores de Vd e Vq já foram calculados para este modelo. Então:

Eq. 26 qddqqe I}I)'xx('E{T −−=


Ivan Camargo 62

Linearizando, lembrando que as não linearidades, neste caso, se devem ao produto das

variáveis:

Eq. 27 ∆∆∆∆ d0qdqq0ddq0qq0qe II)'xx(I}I)'xx('E{'EIT −−−−+=

Lembrando que:

Eq. 28 dddq

dqdqa

I)'xx('EE

I)xx(EE

−−=

−+=

Vem:

Eq. 29 ∆∆∆∆ d0qdqq0qaq0qe II)'xx(I'E'EIT −−+=

Substituindo as expressões das correntes Id∆ e Iq∆:

Eq. 30

∆

∆

∞∆

++++

+−−−+−+

+−++−=

qeqaeqeqI

eeqdqq

edeqaIe

EREXxRIK

RsenXxxxI

XxsenREVKT

'}])([{

)]}cos()())[('(

)]cos()'()([{

022

0

000

000

δαδαδ

αδαδ

Agrupando os termos:

Eq. 31 ∆∆∆ δ q21e 'EKKT +=

Onde

Eq. 32 )]}cos(R)sen()Xx)[('xx(I

)]cos()X'x()sen(R[E{VKK

0e0eqdq0q

0ed0e0qaI1

αδαδ

αδαδ

−−−+−+

+−++−= ∞

Eq. 33 }])([{ 022

02 eqaeqeqI REXxRIKK +++=

K1 representa a variação do conjugado elétrico com o ângulo interno da máquina. K2 a

variação deste conjugado com o fluxo concatenado com a bobina de campo.

Finalmente é possível deduzir uma expressão para a tensão terminal da máquina em

função das correntes e da tensão no barramento infinito. Lembrando que a tensão

terminal é dada por:

Eq. 34 2

q

2

d

2

q

2

d

2

t VV)vv(3

1V +=+=

Linearizando:


Ivan Camargo 63

Eq. 35 ∆∆∆ q

0t

0q

d

0t

0d

t VV

VV

V

VV +=

Usando as definições das tensões para este modelo:

Eq. 36 )'EI'x(V

VIx

V

VV qdd

0t

0q

qq

0t

0d

t ∆∆∆∆ ++−=

Substituindo os valores de Id∆ e de Iq∆:

Eq. 37

∆

∆

∆

δαδαδ

αδαδ

qeqI0t0deqdI0t0q

0e0ed0t0dqI

0eq0e0t0qdIt

'E}RxK)V/V()]Xx('xK1)[V/V{(

)]}sen(R)cos()X'x)[(V/VxVK(

)]sen()Xx()cos(R)[V/V'xVK{(V

−+−+

+−+−+−

−−+−−=

∞

∞

Ou

Eq. 38 ∆∆∆ δ q65t 'EKKV +=

Onde K5 é a variação da tensão terminal em função do ângulo interno da máquina:

Eq. 39

)]}sen(R)cos()X'x)[(V/VxVK(

)]sen()Xx()cos(R)[V/V'xVK{(K

0e0ed0t0dqI

0eq0e0t0qdI5

αδαδ

αδαδ

−+−+−

−−+−−=

∞

∞

K6 é a variação da tensão terminal em função do fluxo.

Eq. 40 }RxK)V/V()]Xx('xK1)[V/V{(K eqI0t0deqdI0t0q6 −+−=

Desta forma, todas as equações do modelo linear simplificado ficam deduzidas.

Resumindo:

Eq. 41 }KE{)s'TK1(

K'E 4FD

0d3

3

q ∆∆∆ δ−+

=

Eq. 42 ∆∆∆ δ q21e 'EKKT +=

Eq. 43 ∆∆∆ δ q65t 'EKKV +=

Em conjunto com estas três equações é preciso resolver a equação mecânica:

Eq. 44 ∆∆∆ωτ emj TT −=&


Ivan Camargo 64

Como foi visto, todas as constantes (menos K3) dependem das condições iniciais do

problema.

Exemplo 1

Calcular as constantes K para o exemplo 1 do regime permanente

Solução

Foi elaborado um programa para cálculo das constantes no Matlab.

%Entrada de dados Tucurui

xd = 0.8;

xq = 0.61;

x1d = 0.25;

x2d = 0.19;

x2q = 0.185;

xa = 0.14;

ta = 0.172;

t1do = 5.64;

freq = 60;

omega = 2 * pi * freq;

%Valores Externos

xe = 0.4; re = 0.0;

P = 0.1; Q = 0.0; Vinf = 1.0;

%calculo das matrizes da maquina

ld = xd;

lq = xq;

lad = xd - xa;

laq = xq - xa;

df = 1/((1/(x1d-xa))-(1/lad));

lf = df + lad;

%resistencia

l2 = (x2d+x2q)/2;

ra = l2/(omega*ta);ra = 0;

rf = lf/(omega*t1do);

%Cálculo da constante K3

KI=1/(ra^2+(xq+xe)*(x1d+xe));

K3=1/(1+KI*(xd-x1d)*(xq+xe));

%Cálculo da corrente

[Ith,Ir]=cart2pol(P/Vinf,-Q/Vinf);

%Cálculo da tensão terminal Vt

[Zeth,Zer]=cart2pol(re,xe);

[auxre,auxim]=pol2cart((Ith+Zeth),(Ir*Zer));

[Vtth,Vtr]=cart2pol((Vinf+auxre),auxim);

%Cálculo da tensão interna da máquina Eqa

[Zqth,Zqr]=cart2pol((ra+re),(xq+xe));

[auxre,auxim]=pol2cart((Ith+Zqth),(Ir*Zqr));

[Eqath,Eqar]=cart2pol((Vinf+auxre),auxim);


K4=Vinf*KI*(xd-x1d)*((xq+xe)*sin(Eqath)-re*cos(Eqath));


Ivan Camargo 65

%Decomposição da corrente em Id e Iq

Iq = Ir*cos(Eqath-Ith);

Id = Ir*sin(Eqath-Ith);


K1 = KI*Vinf*(Eqar*(re*sin(Eqath)+(x1d+xe)*cos(Eqath)));

K1 = K1+KI*Vinf*(Iq*(xq-x1d)*((xq+xe)*sin(Eqath)-re*cos(Eqath)));


K2 = KI*(Iq*(re^2+(xq+xe)^2)+Eqar);

%Decomposição da tensão em Vd e Vq

Vq = Vtr*cos(Eqath-Vtth);

Vd = Vtr*sin(Eqath-Vtth);


K5 =(KI*Vinf*x1d*Vq/Vtr)*(re*cos(Eqath)-(xq+xe)*sin(Eqath));

K5 = K5 - (KI*Vinf*xq*Vd/Vtr)*((x1d+xe)*cos(Eqath)+re*sin(Eqath));


K6 = (Vq/Vtr)*(1-KI*x1d*(xq+xe))-(Vd/Vtr)*KI*xq*re;

Os resultados são:

K1 = 1,0962

K2 = 3,3759

K3 = 0,5417

K4 = 0,5295

K5 = -0,3536

K6 = 0,5612

Exemplo 2

Repetir o procedimento para o outro exemplo do regime permanente

Solução

Usando o mesmo programa mudando os dados de entrada obtém-se:

K1 = 1,3970

K2 = 3,3324

K3 = 0,5417

K4 = 0,5402

K5 = -0,3959

K6 = 0,5689

Observação importante: o programa não foi testado. Os resultados podem não estar

corretos.

É interessante notar que as constantes variam com a carga. Para sistemas carregados a

constante K5 pode tomar valores negativos.


Ivan Camargo 66

Exemplo 3

Simular o comportamento do ganho da excitação quando K5 é menor que zero.


Ivan Camargo 67

AULA 21

Efeito da Excitação na Estabilidade

Como foi visto, a excitação da máquina faz com que o módulo da tensão interna da

máquina varie com o aumento da tensão de campo (ou da corrente, ou ainda do fluxo).

O primeiro exemplo que será analisado será o efeito deste aumento da tensão interna

supondo a máquina em regime permanente operando com tensão terminal constante e

potência ativa constante.

Exemplo 1

Considere um gerador funcionando em regime permanente com tensão terminal igual

a 1 pu alimentando uma carga com fator de potência indutivo. Assuma que a excitação

tenha sido aumentada sem alterar a potência mecânica. Avaliar o novo ponto de

funcionamento da máquina nesta condição.

Solução

O diagrama fasorial da máquina nesta condição é óbvio.

Figura 1: Diagrama fasorial da máquina em regime permanente

A potência fornecida pela máquina é dada por:


Ivan Camargo 68

Eq. 1 φφ coscos IVIP ==

Ou

Eq. 2 δδ sensenx

E

x

VEP ==

Se P é constante, estas duas grandezas devem permanecer constantes, portanto, com

um aumento da excitação a corrente e a tensão interna vão variar seguindo o lugar

geométrico definido pelas linhas k1 e k2.

Eq. 3 δ

φ

sen2

cos1

Ek

Ik

=

=

Este lugar geométrico está mostrado na Figura 2.

Figura 2: Diagrama fasorial

A análise do diagrama fasorial da Figura 2 mostra claramente que o novo ponto de

funcionamento da máquina será caracterizado por:

Eq. 4 φφ

δδ

>

<

'

'

Como não podia deixar de ser, com o aumento da excitação, em regime permanente, a

máquina passa a gerar mais potência reativa.

Neste curso a análise deve ser em regime transitório. Deve-se, inicialmente, fazer uma

distinção entre o problema transitório (relacionado às grandes perturbações) do

problema dinâmico (relacionado às pequenas perturbações).


Ivan Camargo 69

Analisando o caso simples de uma máquina contra um barramento infinito, é claro

que, de acordo com a definição da potência transferida,

Eq. 5 δsenx

VVP t

e∞=

A redução da tensão terminal da máquina provoca uma redução na potência

transferida. Supondo que a potência mecânica permaneça constante, a velocidade da

máquina vai aumentar. A excitação (ou o regulador de tensão) tem o objetivo de

manter a tensão terminal (Vt) constante de forma a contribuir com a estabilidade do

sistema.

No caso de uma pequena perturbação, a entrada, por exemplo, de uma carga, os

sistemas de excitação vão entrar em funcionamento com um pequeno atraso em

relação em relação à perturbação – seja ela uma redução da tensão ou um aumento na

corrente. Estas máquinas podem oscilar entre si e, eventualmente, provocar uma

instabilidade. Como foi dito, a análise de pequenas perturbações é chamada de análise

da estabilidade dinâmica do sistema.

Exemplo 2

Considere o sistema mostrado na Figura 1 abaixo:

Figura 3: Circuito Equivalente de uma máquina contra barramento infinito

A potência é dada por:


Ivan Camargo 70

Eq. 6 )sen( 2121

21 δδ ++

=xx

EEPe

Para simplificar a análise, supõe-se que x1 = x2 = 1 pu.

Admite-se ainda que as tensões E1 e E2 se ajustem de forma a manter (em qualquer

condição) a tensão terminal (Vt) constante e igual a 1 pu. Finalmente, admite-se que o

fator de potência da carga nos terminais da máquina tem fator de potência unitário.

Desta forma a corrente estará sempre em fase com a tensão terminal. O diagrama

fasorial é dado pela Figura 4, abaixo:


Diretamente do diagrama tem-se:

Eq. 7 2/2

2

2/21

1)1(

1)1(

δ

δ

j

j

eIIjE

eIIjE

−+=−=

+=+=

Somando-se os dois fasores:

Eq. 8 )2/cos(12)2

(122 22/2/

221 δ

δδ

Iee

IEEjj

+=+

+==+−

O módulo das tensões para garantir a permanência da tensão terminal em 1 pu é

portando igual a:

Eq. 9 )2/cos(

11 2

21δ

=+== IEE


Ivan Camargo 71

A potência, neste caso de sistema de excitação perfeito, será dada em função do

ângulo de carga pela seguinte expressão:

Eq. 10 )2/tan()2/cos(

)2/sen()2/sen(

1

1 δδ

δδ ===

x

VEP t

A comparação da curva da potência transferida com tensão constante e aquela dada

pela suposição de regulador de tensão perfeito é feita na Figura 5.

0

1

2

3

4

0 50 100 150

delta

P

P (Ecte)

P (Vcte)

Figura 5: Potência em função do ângulo

Com um regulador de tensão perfeito a potência transferida tende a infinito.

Esta suposição de que as duas tensões podem variar para manter a terminal constante é

forte demais. É mais razoável supor apenas um regulador de tensão na máquina

mantendo a tensão terminal e a tensão no barramento infinito constantes.

Exemplo 3

Supondo que o regulador (ideal) seja instalado na máquina, ou seja que a tensão

terminal permaneça constante, avaliar a variação da potência em função do ângulo.

Solução

O circuito equivalente é o mesmo.

O diagrama fasorial é mostrado na Figura 6.


Ivan Camargo 72


A análise da figura 6 mostra:

Eq. 11

1

2/

2

2

21

==

=

+=

tVE

δφ

δδδ

Da análise da expressão da potência é possível obter relações entre as grandezas

envolvidas:

Eq. 12

δδ

δδ

δδ

senE

senxx

EEP

senEsenx

EVP

sensenx

EVP

t

t

21

21

21

1111

1

222

2

=+

=

==

==

Com relação à corrente pode-se constatar que:

Eq. 13

)2/sen(2sen2

)cos1(2coscos21sen

)}sen(cos1){(/11

2

222

222

222

2

2

δφ

δδδδ

δδδ

==

−=+−+=

−−−=−−

=−

=

I

I

jjjjx

EVI t

Finalmente para o cálculo do ângulo δ1, voltando ao diagrama fasorial:

Eq. 14 22

11 cos2sen21sencos δφφδ −=+=+= IVE

Portanto


Ivan Camargo 73

Eq. 15 2

21 cos2

sentan

δ

δδ

−=

Colocando as variáveis que estão em função de δ2 em gráfico obtém-se a Figura 7.

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4

corrente (pu)

potência (pu)

delta 1 (rad)

delta (rad)

E1 (pu)

Figura 7: Variáveis em função de δ2

A potência máxima transferida é igual a 1 pu, no entanto o ângulo onde ela ocorre não

é mais 90o. Traçando o gráfico Pxδ tem-se a Figura 8.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3

delta (rad)

P (

pu

)

Figura 8: Potência em função de δ.

Estes exemplos mostram a influência da excitação (em situações ideais) na

estabilidade do sistema. Mesmo sabendo que estas condições ideais nunca vão ser

atendidas na prática elas mostram os casos limites e dão uma boa compreensão do

problema.

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AULA 14 - Grupo de Sistemas Elétricos de Potência · A transformada de Park é definida como uma relação entre os enrolamentos reais do estator da máquina e três enrolamentos