Hidrodinâmica Classificação do escoamento

Princípios gerais do movimento dos fluidos Teorema da energia de Bernoulli

Profa. Dra. Tatiane Araujo de Jesus

tatiane.jesus@ufabc.edu.br

“ Se tratti di acqua anteponi l’esperienza alla teoria.”

Leonardo da Vinci (1452 – 1519)

Hidrodinâmica

Objeto de estudo?

Hidrodinâmica

Objeto de estudo?

Movimento dos fluidos.

Classificação dos movimentos

uniforme

Movimento permanente não uniforme acelerado

retardado

não permanente

Classificação dos movimentos

Movimento permanente:

As características (força, velocidade e pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. A vazão é constante em um ponto da corrente.

Movimento não permanente:

As características são função do tempo (mudam de ponto para ponto e variam de instante a instante.

Classificação dos movimentos

Movimento permanente uniforme Q1 = Q2; A1 = A2; v1 = v2

Movimento permanente acelerado Q1 = Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2

Movimento não permanente Q1 ≠ Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2

Exemplos:

Regimes de escoamento

• Escoamento Laminar:

As partículas descrevem trajetórias paralelas.

• Escoamento de Transição:

Representa a passagem do escoamento laminar para o turbulento ou vice-versa.

• Escoamento Turbulento:

As trajetórias são errantes e cuja previsão é impossível.

Linhas de corrente e tubos de corrente

Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas orientadas segundo a velocidade do líquido, as quais não podem ser atravessadas por partículas do fluido.

Tubos de corrente são constituídos por linhas de corrente, os quais também não podem ser atravessados por partículas de fluido.

Experimento de Reynolds

Em 1833, Osborne Reynolds realizou

diversas experiências, onde pode

visualizar os tipos de escoamentos.

Físico irlandês

1842 – 1912

Experimento de Reynolds

Deixando a água escorrer pelo tubo transparente juntamente com o líquido colorido, forma-se um filete desse líquido. O movimento da água está em regime laminar. Aumentando a vazão da água, abrindo-se a válvula, nota-se que o filete vai se alterando podendo chegar a difundir-se na massa líquida, nesse caso, o movimento está em regime turbulento.

• Escoamento Laminar

• Escoamento de Transição

• Escoamento Turbulento

Escoamento

Escoamento

Escoamento

Experimento de Reynolds

Regime Laminar:

• O corante não se mistura com o fluido, permanecendo na forma de um filete no

centro do tubo;

• O escoamento processa-se sem provocar mistura transversal entre escoamento e o

filete, observável de forma macroscópica;

• Como “não há mistura”, o escoamento aparenta ocorrer como se lâminas de fluido

deslizassem umas sobre as outras;

Experimento de Reynolds

Regime de Transição:

• O filete apresenta alguma mistura com o fluido, deixando de ser retilíneo

sofrendo ondulações;

• Essa situação ocorre para uma pequena gama de velocidades e liga o regime

laminar a outra forma mais caótica de escoamento;

• Foi considerado um estágio intermediário entre o regime laminar e o turbulento.

Experimento de Reynolds

Regime Turbulento:

• O filete apresenta uma mistura transversal intensa, com dissipação rápida;

• São perceptíveis movimentos aleatórios no interior da massa fluida que

provocam o deslocamento de moléculas entre as diferentes camadas do fluido

(perceptíveis macroscopicamente);

• Há mistura intensa e movimentação desordenada.

Experimento de Reynolds

Reynolds observou que o fenômeno estudado dependia das seguintes

variáveis:

– massa específica do fluido;

v – velocidade média do escoamento;

D – diâmetro interno da tubulação;

m – viscosidade do fluido.

Experimento de Reynolds

Aplicando a análise dimensional, obteve o adimensional:

m

DVRe

Re ≤ 2000: Escoamento Laminar

2000 < Re < 4000: Escoamento de Transição

Re ≥ 4000: Escoamento Turbulento

Exercício Faça a análise

dimensional do número de Reynolds.

DV Reou

Experimento de Reynolds

m

µ = viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica (Pa.s ou N.s/m²); ν = viscosidade cinemática (m²/s).

O que é vazão?

Vazão volumétrica

Volume de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo.

Unidades: SI (m³/s)

Outras: L/s; L/h; m³/h

t

VQ

Onde: Q = vazão V = volume t = tempo

Vazão mássica e vazão em peso

Vazão mássica é a massa de fluido que passa por determinada seção, por unidade de tempo.

Vazão em peso é o peso de fluido que passa por determinada seção, por unidade de tempo.

t

mQm

t

GQp

Relação entre vazões

Como existe uma relação entre volume, massa e peso, podemos escrever:

Em nossos estudos, utilizaremos principalmente a vazão volumétrica, a qual designaremos apenas por vazão (Q), também conhecida por descarga.

pmQQ

Q

Velocidade

Existe uma importante relação entre vazão, velocidade e área da seção transversal de uma tubulação:

velocidade Diâmetro Área

AvQ A

Qv

Onde: Q = vazão volumétrica v = velocidade do escoamento A = área da tubulação

Equação da continuidade Se tivermos um escoamento em regime permanente através da tubulação indicada, a massa fluida que entra na seção 1 é igual a massa que sai na seção 2, ou seja:

X

Z

Y

V1

V2

A1

A2

21 QQ

2211 vAvA

• Conservação da massa • Água: fluido incompressível

Energia

Princípio da conservação de energia

A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada, ou seja, a energia total é constante.

Energia

A energia pode apresentar-se em diversas formas. Seguem abaixo as principais formas de energia envolvidas nos estudos de Hidráulica:

• Energia potencial, de posição ou geométrica (Hgeo);

• Energia de pressão (Hpr);

• Energia cinética ou de velocidade (Hv).

Energia potencial, de posição ou geométrica (Hgeo ou “Z”)

A energia potencial de um ponto em um fluido é definida como a cota deste ponto em relação a um determinado plano de referência.

Energia de pressão (Hpr)

A energia de pressão em um ponto de um determinado fluido, por unidade de peso é definida como:

pHpr

Onde: Hpr = energia de pressão

p = pressão atuante no ponto

γ = peso específico do fluido

Energia cinética ou de velocidade (Hv)

A energia cinética ou de velocidade de um ponto em um determinado fluido por unidade de peso é definida como:

g

vHv

2

²

Onde: Hv= energia de velocidade v = velocidade de escoamento g = aceleração da gravidade

Teorema de Bernoulli

A equação, ou teorema de Bernoulli foi enunciada pela primeira vez pelo matemático suíço Daniel Bernoulli (1700-1782).

O teorema de Bernoulli é um dos mais importantes da Hidráulica e representa um caso particular do Princípio da Conservação de Energia.

Teorema de Bernoulli

Considerando-se como hipótese um escoamento em regime permanente de um líquido perfeito, sem receber ou fornecer energia e sem troca de calor, a energia total, ou carga dinâmica, que é a soma da energia potencial, de pressão e cinética, em qualquer ponto do fluido é constante, ou seja:

g

vpHgeo

2

²

constante

Teorema de Bernoulli

constante2

2

Hzg

P

g

V

Cada termo dessa equação tem a dimensão de comprimento e representa algum tipo de “carga” de

um fluido em escoamento:

•P/.g é a carga de pressão – ela representa a altura de uma coluna de fluido que produz pressão

estática P.

•V2/2.g é a carga de velocidade – ela representa a elevação necessária para que um fluido atinja a

velocidade “v” durante a queda livre sem atrito;

•Z é a carga de elevação – ela representa a energia potencial do fluido;

•H é a carga total do escoamento.

Equação de Bernoulli (para líquidos perfeitos)

É importante entender as restrições da aplicação da Equação de Bernoulli,

bem como observar suas limitações:

• Escoamento em regime permanente

• Escoamento sem atrito (não é considerada a influência da

viscosidade) – FLUIDO PERFEITO

• Fluido incompressível

• Nenhuma transferência de calor

Equação de Bernoulli (para líquidos perfeitos) - limitações

Considerando-se líquidos reais, cujo escoamento sofre atrito com as paredes da tubulação e possuem viscosidade, faz-se necessária a adaptação do Teorema de Bernoulli, introduzindo-se uma parcela representativa destas perdas, representada por “hf”.

Extensão do Teorema de

Bernoulli aos casos práticos

Teorema de Bernoulli: princípio da conservação da energia

MONTANTE JUSANTE

ou ΔH perda de carga

Energia cinética

Energia de pressão ou piezométrica

Energia de posição ou potencial

Teorema de Bernoulli: princípio da conservação da energia

constante2

²

2

²2

221

11 hfZp

g

vZ

p

g

v

Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das

alturas cinética (v²/2g), piezométrica (p/γ) e geométrica (Z).

A experiência não confirma rigorosamente o teorema de Bernoulli, isto porque os fluidos reais

(naturais) se afastam do modelo perfeito.

A primeira observação a ser feita ao Teorema de Bernoulli é que a dedução foi feita para um

tubo de corrente, considerando-se determinada velocidade para uma mesma seção.

Na prática, porém, o que se verifica é a variação da velocidade de ponto para ponto numa

mesma seção. Nessa condição, o que se tem não é uma velocidade única, mas sim uma

distribuição de velocidades, daí a necessidade de se corrigir o termo: gV 22

2

22

22

1

21

11

22z

g

VPz

g

VP

Coeficiente de Coriolis

Extensão do Teorema de

Bernoulli aos casos práticos

O valor de varia de entre 1 e 2 (será 1 quando houver uma velocidade

única na seção, e 2 quando, em uma canalização, a velocidade variar

parabolicamente de 0, junto às paredes do tubo, até seu valor máximo no

centro).

Comumente, o valor de α está próximo da unidade, sendo, por

isso omitido em muitos problemas práticos.

2

22

22

1

21

11

22z

g

VPz

g

VP

Extensão do Teorema de

Bernoulli aos casos práticos

Assim, a equação de Bernoulli corrigida para os casos práticos é dada por:

fhzP

g

Vz

P

g

V 2

2

2

21

1

2

1

22 Onde:

V = velocidade do escoamento (m/s);

g = aceleração da gravidade (m/s2);

P/ = pressão manométrica (mH2O);

Z = desnível geométrico (m) entre o ponto considerado e a linha de

referência.

hf ou ∆H = perda de carga (m).

Extensão do Teorema de

Bernoulli aos casos práticos

Enunciado geral do Teorema de Bernoulli

“Para um escoamento contínuo e permanente, a carga total de energia, em qualquer ponto de uma linha de corrente é igual à carga total em qualquer ponto a jusante da mesma linha de corrente, mais a perda de carga entre os dois pontos”.

Demonstração prática do Teorema de Bernoulli

Reservatório de nível constante e tubulação de diâmetro variável

v P

Froude, 1875

Obrigada!

Exercício 1

Uma tubulação de diâmetro igual a 200 mm transporta uma vazão de água de 75 L/s. Calcule a velocidade do escoamento em m/s.

Exercício 2

Uma tubulação de diâmetro igual a 500 mm (Seção A) transporta uma vazão de água igual a 200 L/s. Em seguida, esta tubulação sofre uma redução, para 350 mm (Seção B). De acordo com a lei de conservação de massas, quais as velocidades nas Seções A e B em m/s?

Exercício 3 Água escoa pelo tubo indicado na Figura abaixo, cuja seção varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm² para 50 cm². Em (1) a pressão é de 0,5 kgf/cm² e a elevação 100 m, ao passo que, no ponto (2), a pressão é de 3,38 kgf/cm² na elevação 70 m. Calcular a vazão em L/s. Desconsidere as perdas de carga.

100 m

70 m

(1)

(2)

Exercício 4

Verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa linha de recalque é igual a 1,05 m/s. A vazão necessária a ser fornecida pelas bombas é de 450 m³/h. Determinar o diâmetro da linha. Em seguida, adote um dos diâmetros comerciais e verifique a nova velocidade de escoamento. Sua escolha deverá ser baseada na economia. Diâmetros comerciais:

• 350 mm

• 400 mm

• 450 mm

Respostas dos exercícios

1) v = 2,39 m/s;

2) va = 1,02 m/s; vb = 2,08 m/s;

3) 28 L/s;

4) D = 389 mm. Para D = 350 mm, v = 1,30 m/s

Para D = 400 mm, v = 0,99 m/s

Assim, D = 400 mm é mais econômico, visto que resulta em menor consumo de energia elétrica no recalque.