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Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli na forma de pressão:
1 2 3
1
3
2
Pressão Estática
Pressão Dinâmica (Energia Cinética)
Carga devido à altura (Energia Potencial)
2
2
2
21
2
1
122
gzV
pgzV
p
Equação de Bernoulli
A Equação de Bernoulli (Padrão) é
válida para as seguintes condições:
1) Escoamento Permanente
2) Sem atrito
3) Ao longo de uma linha de corrente
4) Não pode haver equipamentos
realizando trabalho entre 1 e 2
5) Não pode haver transferência de
calor entre 1 e 2
Para mais: Consultar Pág. 221 Fox
e McDonald 7ª Ed.
Equação de Bernoulli
Atrito com avião
Propulsor gera calor
Atrito com a parede
Não pode gerar trabalho
Ou retirar trabalho do sistema
Atrito com a parede
Geração de calor
Equação de Bernoulli
2
2
22
1
2
11
22z
g
V
g
pz
g
V
g
p
Equação de Bernoulli na forma de altura equivalente:
Linha hidráulica não leva em
consideração a energia
cinética, e não precisa se
conservar; a linha de energia
precisa se conservar.
2
2
2
21
2
1
122
gzV
pgzV
p
Exemplo 3 – Pág. 38
2 2
1 1 2 21 2
2 2
p V p Vgz gz
A equação constitutiva que relaciona a queda de pressão de um fluido
incompressível entre a entrada e a saída de um bocal em um
escoamento permanente pode ser obtida pela equação de Bernoulli,
e é representada por Δp=KQ², onde Q é a vazão do fluido através do
bocal. Considerando as áreas de entrada (A1) e saída (A2), a constante
K é expressa por:
1
A
A
A 2
2
2
1
2
1
1
A
A
A2 2
2
2
1
2
1
1
A
A
A22
1
2
1
1
A
A
A2
1
2
1
2
2
21
2
1A
AA
A2
b)
c)
d)
e)
a)
Na forma de energia
Coeficiente de Perda de Carga: 2Q
pK
Da equação de Bernoulli: 2 2
2 1 2 12
p g z z V V
Da equação da Continuidade: 1 1 2 2
1 2
1 2
Q V A V A
Q QV V
A A
Queda de pressão:
21ppp EscoamentodoDireçãopp
21
Exemplo 3 – Pág. 38
Substituindo a Eq. da Continuidade na Eq. De Bernoulli
2
2 1 2 2
2 1
1 1Δp
2g z z Q
A A
Considerando que z1 = z2 (bocal horizontal)
2 2 22 2 21 2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 2
1 11
2 2 2
A A Ap Q Q Q
A A A A A A
Então:
2
1
2 2 2
1 2
12
ApK
Q A A
Alternativa b)
Exemplo 3 – Pág. 38
Exemplo 4 – Pág. 39
Um bocal horizontal é alimentado com ar a uma determinada velocidade .
O escoamento ocorre em regime permanente, e o ar é descarregado
para a atmosfera a uma velocidade = 60 m/s. Na entrada do bocal, a
área é 0,2 m² e na saída, 0,04 m². A massa específica do ar corresponde
a 1,20 kg/m³, conforme esquematizado na figura abaixo.
A pressão manométrica necessária na entrada
do bocal, em kPa, vale, aproximadamente:
a) 0,8
b) 2,1
c) 10,6
d) 54,0
e) 82,2
Velocidade do som no ar (c) = 340 m/s (CNTP)
600,176 0,3
340
VMa
c Escoamento Incompressível
1 1 2 2
1
1
0, 2 60 0,04
60 0,0412 m/s
0, 2
Q V A V A
V
V
Exemplo 4 – Pág. 39
Equação de Bernoulli Pressão
2 2
1 1 2 21 2
2 2
p V p Vgz gz
Os pontos estão à mesma altura z1 = z2.
2 2
2 1
12
atm
V Vp p
2
12602,1pp
22
atm1
kPa1,2Pa2073ppatm1
Alternativa b)
Exemplo 4 – Pág. 39
Exercício extra
59) Um fluido ideal, incompressível e sem viscosidade, é conduzido por
um tubo horizontal fino (plano horizontal xy) que se bifurca, como
mostrado na figura acima. As seções retas antes e depois da bifurcação
são idênticas. A velocidade do fluido na posição de v1 é igual a 2,0 m/s.
Qual a diferença de pressão ΔP = P1 – P2 (em Pa) entre a posição de v1
e v2 (ou v3)?
Dados:
• Aceleração da gravidade: g = 10 m/s2
• Densidade do fluido: ρ = 1,0 × 103 kg/m3
• As pressões e velocidades nas posições de v2 e v3 são idênticas
(A) −1500
(B) −750
(C) 0
(D) 750
(E) 1500
Resolução-Exercício extra
Primeiro (I) vamos aplicar um balanço
de massa (equação da continuidade) e
depois a equação de Bernoulli (II):
2 2 3 3 1 1
1 2 3 2 3
11 2 2
I) Balanço de Massa
0
( )
como foi dado que V =V
2 ou 2
II) Como o escoamento é:
1) incompressível;
2) sem atrito ( =0)
3) regime permanente (acúm
s eM M
V A V A V A
V V V
VV V V
2
ulo=0)
Podemos utilizar Bernoulli:
2
p Vgz cte
2 2
1 1 2 21 2
2 2
1 2 1 1
2 2
1 11 2
2 2
1 2
1 2
1 2
2 2
8 2
8 2
2 21000
8 2
1 41000
2
1500 Pa
P V P Vgz gz
P P V V
V VP P
P P
P P
P P
Alternativa a)
