8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 3 de Novembro
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P r o f . E s p . : T h i a g o
V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a s
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
P r o p r i e d a d e P
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P r o p o s i o 1
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
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T r a n s f o r m a e s L i n e a r e s
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s
C a m p u s J a t a
C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a
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o
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
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D e m o n s t r a o .
C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
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C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
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F(
o) +
o=
F(
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O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
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C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
o=
F(
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O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
F(
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F(
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
D e m o n s t r a o .
C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
o=
F(
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O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
F(
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F(
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F(
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
D e m o n s t r a o .
C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
o=
F(
o)
( 1 )
O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
F(
o) =
F(
o+
o) =
F(
o) +
F(
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( 2 )
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
D e m o n s t r a o .
C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
o=
F(
o)
( 1 )
O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
F(
o) =
F(
o+
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F(
o) +
F(
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( 2 )
C o m p a r a n d o 1 c o m 2 o b t e m o s q u e :
F (o ) + o = F (o ) + F (o )
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o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
D e m o n s t r a o .
C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
o=
F(
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( 1 )
O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
F(
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F(
o+
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F(
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F(
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( 2 )
C o m p a r a n d o 1 c o m 2 o b t e m o s q u e :
F (o ) + o = F (o ) + F (o )
F(
o) +
o+ (
F(
o)) =
F(
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o) =
o . ( F l e v a o v e t o r n u l o d e U n o v e t o r n u l o d e V )
D e m o n s t r a o .
C o m o o u m e l e m e n t o n e u t r o d a a d i o e m V :
F(
o) +
o=
F(
o)
( 1 )
O f a t o d e F s e r l i n e a r e o f a t o d e o s e r o v e t o r n u l o d e U d o :
F(
o) =
F(
o+
o) =
F(
o) +
F(
o)
( 2 )
C o m p a r a n d o 1 c o m 2 o b t e m o s q u e :
F (o ) + o = F (o ) + F (o )
F(
o) +
o+ (
F(
o)) =
F(
o) +
F(
o) + (
F(
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o=
F(
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u) =
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,
u
U
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F(
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F(
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,
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U
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u) =
F(
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u
U
D e m o n s t r a o .
O b s e r v e q u e :
F(
u) + (
F(
u))
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O b s e r v e q u e :
F(
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F(
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o
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O b s e r v e q u e :
F(
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F(
u)) =
o
=F
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))
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u)) =
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=F
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=F
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(u )
L o g o :
F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))
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F(
u) + (
F(
u)) =
o
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=F
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=F
(u
) +F
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L o g o :
F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))F
(u
) +F
(u
) F
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(u
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(u
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,
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u) + (
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u)) =
o
=F
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=F
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(u
) +F
(u )
L o g o :
F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))F
(u
) +F
(u
) F
(u
) =F
(u
) + (F
(u
))F
(u
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F(
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F(
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F ( u ) + F ( u ) = F (u ) + (F ( u ))F
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) F
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S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
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s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F
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S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v
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S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v
1
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S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v
1
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1
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S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v
1
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= F
(u
1
) +F
(u
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S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v
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R.
E n t o v
1
=F
(u
1
)e v
2
=F
(u
2
), c o m u
1
,u
2
W . L o g o
v
1
+v
2
= F
(u
1
) +F
(u
2
)
=F
( u1
) +F
(u
2
)
l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
P r o p r i e d a d e s d a s
T r a n s f o r m a e s
L i n e a r e s
P r o p r i e d a d e P
1
P r o p r i e d a d e P
2
P r o p r i e d a d e P
3
P r o p r i e d a d e P
4
P r o p r i e d a d e P
5
N c l e o e I m a g e m
P r o p o s i o 1
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
P r o p o s i o ( P r o p r i e d a d e P
4
)
S e W u m s u b e s p a o d e U , e n t o a i m a g e m d e W p o r F u m
s u b e s p a o d e V .
D e m o n s t r a o .
L e m b r e m o s q u e F(
W) = {F (W )|w W } a i m a g e m d e W p o r
F . P a r a d e m o n s t r a r o f a t o c o n s i d e r e m o s v
1
,v
2
F
(W
)e
R.
E n t o v
1
=F
(u
1
)e v
2
=F
(u
2
), c o m u
1
,u
2
W . L o g o
v
1
+v
2
= F
(u
1
) +F
(u
2
)
=F
( u1
) +F
(u
2
)
=F
(u
1
+u
2
)
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1
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2
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3
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4
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5
N c l e o e I m a g e m
P r o p o s i o 1
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
P r o p o s i o ( P r o p r i e d a d e P
5
)
S e n d o F :
U V l i n e a r e n t o
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2
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4
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5
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e I m a g e m
P r o p o s i o ( P r o p r i e d a d e P
5
)
S e n d o F :
U V l i n e a r e n t o :
F
n
i =1a
i
u
i
=
n
i = 1a
i
F(
u
i
)
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2
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5
)
S e n d o F :
U V l i n e a r e n t o :
F
n
i =1a
i
u
i
=
n
i = 1a
i
F(
u
i
)
D e m o n s t r a o .
P o r i n d u o s o b r e n .
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S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
e F:
U
V u m a
t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (
F)
e d e n o m i n a - s e n c l e o
d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U
l g e b r a L i n e a r
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S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
e F:
U
V u m a
t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (
F)
e d e n o m i n a - s e n c l e o
d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U :
K e r (F
) = {u
U|
F(
u) =
o}
E x a m p l e
S e j a F: R2 R3
a t r a n s f o r m a o l i n e a r d a d a p o r :
F(
x , y ) = (0 , x + y , 0 )
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1
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e I m a g e m
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
e F:
U
V u m a
t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (
F)
e d e n o m i n a - s e n c l e o
d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U :
K e r (F
) = {u
U|
F(
u) =
o}
E x a m p l e
S e j a F: R2 R3
a t r a n s f o r m a o l i n e a r d a d a p o r :
F(
x , y ) = (0 , x + y , 0 )
A c h e m o s o n c l e o d e F
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1
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e I m a g e m
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
e F:
U
V u m a
t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (
F)
e d e n o m i n a - s e n c l e o
d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U :
K e r (F
) = {u
U|
F(
u) =
o}
E x a m p l e
S e j a F: R2 R3
a t r a n s f o r m a o l i n e a r d a d a p o r :
F(
x , y ) = (0 , x + y , 0 )
A c h e m o s o n c l e o d e F . T e m o s q u e :
(x , y ) K e r (F ) (0 , x + y , 0 ) = (0 , 0 , 0 )
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1
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S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
e F:
U
V u m a
t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (
F)
e d e n o m i n a - s e n c l e o
d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U :
K e r (F
) = {u
U|
F(
u) =
o}
E x a m p l e
S e j a F: R2 R3
a t r a n s f o r m a o l i n e a r d a d a p o r :
F(
x , y ) = (0 , x + y , 0 )
A c h e m o s o n c l e o d e F . T e m o s q u e :
(x , y ) K e r (F ) (0 , x + y , 0 ) = (0 , 0 , 0 )
x
= y
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1
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e I m a g e m
S e j a m U e V e s p a o s v e t o r i a i s s o b r e R
e F:
U
V u m a
t r a n s f o r m a o l i n e a r . I n d i c a - s e p o r K e r (
F)
e d e n o m i n a - s e n c l e o
d e F o s e g u i n t e s u b c o n j u n t o d e U :
K e r (F
) = {u
U|
F(
u) =
o}
E x a m p l e
S e j a F: R2 R3
a t r a n s f o r m a o l i n e a r d a d a p o r :
F(
x , y ) = (0 , x + y , 0 )
A c h e m o s o n c l e o d e F . T e m o s q u e :
(x , y ) K e r (F ) (0 , x + y , 0 ) = (0 , 0 , 0 )
x
= y
L o g o K e r (
F) = {x ,x |x R}.
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U V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r
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P r o p o s i o 1
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e I m a g e m
P r o p o s i o
S e j a F :
U V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . E n t o :
1 .K e r (
F)
u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e U
l g e b r a L i n e a r
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e I m a g e m
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S e j a F :
U V u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r . E n t o :
1 .K e r (
F)
u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e U ;
2 . A t r a n s f o r m a o l i n e a r F i n j e t o r a s e , e s o m e n t e s e ,
K e r (F
) = {o }.
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( ) R
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1 . S e j a m u
1
,u
2
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)e
R
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( ) R ( ) ( )
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1 . S e j a m u
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,u
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(u
1
) =F
(u
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) =o
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1 . S e j a m u
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,u
2
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)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
2
) =o .
D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)
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( ) R ( ) = ( ) =
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1 . S e j a m u
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)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
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) =o .
D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
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F(
u
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1 . S e j a m u
1
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2
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)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
2
) =o .
D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
)
=o
+o
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( ) R ( ) = ( ) =
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P r o p o s i o 1
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
1 . S e j a m u
1
,u
2
K e r (F
)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
2
) =o .
D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
)
=o
+o
=o
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o
V e d o V a t t o
D e m o n s t r a o .
( ) R ( ) = ( ) =
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1 . S e j a m u
1
,u
2
K e r (F
)e
R. E n t o F
(u
1
) F
(u
2
) o .
D e s t e m o d o :
F
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1
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2
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(u
1
) +F
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2
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1
) +F
(u
2
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=o
+o
=o
C o m o u 1 + u 2 K e r ( F )
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o
V e d o V a t t o
D e m o n s t r a o .
, ( ) R ( ) = ( ) =
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1 . S e j a m u
1
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2
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)e
R. E n t o F
(u
1
) F
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2
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D e s t e m o d o :
F
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1
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2
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(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
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=o
+o
=o
C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o
V e d o V a t t o
D e m o n s t r a o .
1 . S e j a m u,
u K e r (
F)
e R
. E n t o F(
u) =
F(
u) =
o .
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e I m a g e m
1
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( ) (1
) (2
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F
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1
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2
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(u
1
) +F
(u
2
)=
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1
) +F
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2
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=o
+o
=o
C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o
V e d o V a t t o
D e m o n s t r a o .
1 . S e j a m u,
u K e r (
F)
e R
. E n t o F(
u) =
F(
u) =
o .
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1
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( ) (1
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)D e s t e m o d o :
F
(u
1
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2
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(u
1
) +F
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2
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1
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2
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=o
+o
=o
C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
)
l g e b r a L i n e a r
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1 . S e j a m u
1
,u
2
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)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
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) =o .
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, ( ) ( ) ( )D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
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F(
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1
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=o
+o
=o
C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
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). E n t o
F ( u ) = o
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1 . S e j a m u
1
,u
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)e
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(u
1
) =F
(u
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) =o .
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( ) ( ) ( )D e s t e m o d o :
F
(u
1
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2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
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1
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2
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=o
+o
=o
C o m o u 1 + u 2 K e r ( F ) l o g o K e r (F ) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o
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1 . S e j a m u
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R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
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) =o .
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F
(u
1
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) =F
(u
1
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(u
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C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
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2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o )
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1 . S e j a m u
1
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(u
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) =F
(u
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) =o .
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F
(u
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) =F
(u
1
) +F
(u
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=o
+o
=o
C o m o
u
1 +u
2 K e r
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)l o g o
K e r
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2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o
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1 . S e j a m u
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(u
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) =F
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F
(u
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) =F
(u
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(u
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)=
F(
u
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(u
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=o
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C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
(F
) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }
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1 . S e j a m u
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(u
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) =F
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F
(u
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2
) =F
(u
1
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(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
)
=o
+o
=o
C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
(F
) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }. D a d o s u
1
,u
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U , e n t o :
F
(u
1
) =F
(u
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) F
(u
1
)F
(u
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) =o
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1 . S e j a m u
1
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R. E n t o F
(u
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) =F
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F
(u
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) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
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=o
+o
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C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
(F
) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }. D a d o s u
1
,u
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U , e n t o :
F
(u
1
) =F
(u
2
) F
(u
1
)F
(u
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F (u
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1 . S e j a m u
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)e
R. E n t o F
(u
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) =F
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F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
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=o
+o
=o
C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
(F
) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }. D a d o s u
1
,u
2
U , e n t o :
F
(u
1
) =F
(u
2
) F
(u
1
)F
(u
2
) =o
F (u
1
u
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u
1
u
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K e r ( F )
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1 . S e j a m u
1
,u
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K e r (F
)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
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) =o .
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D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
)
=o
+o
=o
C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
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) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }. D a d o s u
1
,u
2
U , e n t o :
F
(u
1
) =F
(u
2
) F
(u
1
)F
(u
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F (u
1
u
2
) = o
u
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2
= o
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . : T h i a g o
V e d o V a t t o
D e m o n s t r a o .
1 . S e j a m u
1
,u
2
K e r (F
)e
R. E n t o F
(u
1
) =F
(u
2
) =o .
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1
P r o p r i e d a d e P
2
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3
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4
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5
N c l e o e I m a g e m
P r o p o s i o 1
T e o r e m a d o N c l e o
e I m a g e m
D e s t e m o d o :
F
(u
1
+u
2
) =F
(u
1
) +F
(u
2
)=
F(
u
1
) +F
(u
2
)
=o
+o
=o
C o m o
u
1 +u
2 K e r
(F
)l o g o
K e r
(F
) s u b e s p a o d e U .
2 .
()S u p o n h a m o s F i n j e t o r a . S e j a u
K e r
(F
). E n t o
F ( u ) = o . M a s F (o ) = o . L o g o F (u ) = F (o ) . D o n d e u = o ; () S u p o n h a m o s K e r (F ) = {o }. D a d o s u
1
,u
2
U , e n t o :
F
(u
1
) =F
(u
2
) F
(u
1
)F
(u
2
) =o
F (u
1
u
2
) = o
u
1
u
2
K e r ( F )
u
1
u
2
= o
u
1
= u2
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e I m a g e m
E x a m p l e
O o p e r a d o r l i n e a r D:
P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
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P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
S o l u o
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P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
S o l u o
S e f
(t
) =a
0 +a
1
t
+ . . . +a
n
t
n
, e n t o
D(
f(
t)) =
a
1
+2 a
2
t+ . . . +
n a
n
t
n 1
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P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
S o l u o
S e f
(t
) =a
0 +a
1
t
+ . . . +a
n
t
n
, e n t o
D(
f(
t)) =
a
1
+2 a
2
t+ . . . +
n a
n
t
n 1. L o g o f
(t
) =0 t e m c o m o
c o n s e q u n c i a q u e a
1
=a
2
= . . . = an
=0
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P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
S o l u o
S e f
(t
) =a
0 +a
1
t
+ . . . +a
n
t
n
, e n t o
D(
f(
t)) =
a
1
+2 a
2
t+ . . . +
n a
n
t
n 1. L o g o f
(t
) =0 t e m c o m o
c o n s e q u n c i a q u e a
1
=a
2
= . . . = an
=0 . P o r t a n t o f
(t
) =a
0
e
d a K e r (
D) = {
a
0
|a
0
R} = R
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P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
S o l u o
S e f
(t
) =a
0 +a
1
t
+ . . . +a
n
t
n
, e n t o
D(
f(
t)) =
a
1
+2 a
2
t+ . . . +
n a
n
t
n 1. L o g o f
(t
) =0 t e m c o m o
c o n s e q u n c i a q u e a
1
=a
2
= . . . = an
=0 . P o r t a n t o f
(t
) =a
0
e
d a K e r (
D) = {
a
0
|a
0
R} = R, o u s e j a ,
K e r (D
) o c o n j u n t o d o s
p o l i n m i o s r e a i s c o n s t a n t e s
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P
n
(R) P
n
(R)d a d o p o r D
(f
(t
)) =f
(t
)
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r i n j e t o r a ( o p e r a d o r i n j e t o r ) ?
S o l u o
S e f
(t
) =a
0 +a
1
t
+ . . . +a
n
t
n
, e n t o
D(
f(
t)) =
a
1
+2 a
2
t+ . . . +
n a
n
t
n 1. L o g o f
(t
) =0 t e m c o m o
c o n s e q u n c i a q u e a
1
=a
2
= . . . = an
=0 . P o r t a n t o f
(t
) =a
0
e
d a K e r (
D) = {
a
0
|a
0
R} = R, o u s e j a ,
K e r (D
) o c o n j u n t o d o s
p o l i n m i o s r e a i s c o n s t a n t e s . L o g o D n o u m o p e r a d o r i n j e t o r .
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N a l t i m a a u l a d e n i m o s o c o n c e i t o d e i m a g e m d a s e g u i n t e f o r m a :
D e n i o
D a d o W
U d e n o m i n a - s e i m a g e m d e W p o r F o s u b c o n j u n t o d e
V t a l q u e F (
W) = {F (u )|u W }
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N a l t i m a a u l a d e n i m o s o c o n c e i t o d e i m a g e m d a s e g u i n t e f o r m a :
D e n i o
D a d o W
U d e n o m i n a - s e i m a g e m d e W p o r F o s u b c o n j u n t o d e
V t a l q u e F (
W) = {F (u )|u W }. S e W = U , e n t o F (U )
r e c e b e o n o m e d e i m a g e m d e F e a n o t a o s e r a I m (
F)
.
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. D a d a
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. D a d a
u m a t r a n s f o r m a o l i n e a r F :
U
V , e n t o :
d i m U
=d i m
K e r
(F
) +d i m
I m
(F
)
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S e j a B
1
= {u
1
, . . . ,u
r
}u m a b a s e d e
K e r (F
)
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S e j a B
1
= {u
1
, . .