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Aula 5Integrais complexas;Teorema de Cauchy.
Rafael Rabelo
Departamento de Física da Matéria CondensadaInstituto de Física “Gleb Wataghin”
Conteúdo
1. Integrais complexas
2. Teorema de Cauchy
1
Integrais complexas
Integrais complexas
Se uma função f(z) é simplesmente valorada e contínua em algumaregião R do diagrama de Argand, podemos definir sua integral entredois pontos A e B em R.
Em geral, o valor da integral vai depender do caminho C entre A e B.
2
Diferentes caminhos entre A e B
3
Parametrização do caminho
Considere um caminho C parametrizado por t ∈ R, tal que x = x(t) ey = y(t), e t = α corresponde ao ponto A e t = β corresponde aoponto B. Então:∫
Cf(z)dz =
∫C(u+ iv)(dx+ idy)
=
∫Cudx−
∫Cvdy+ i
∫Cudy+ i
∫Cvdx
=
∫ β
α
udxdt dt−∫ β
α
vdydt dt+ i∫ β
α
udydt dt+ i∫ β
α
vdxdt dt.
4
Exemplo 1
Avalie a integral de f(z) = z−1 ao longo do círculo |z| = R, começandoe terminando em z = R.
z(t) = R cos(t) + iR sin(t), 0 ≤ t ≤ 2π.
5
Exemplo 1
f(z) = 1x+ iy =
x− iyx2 + y2 .
u =x
x2 + y2 =cos(t)R e v = −y
x2 + y2 =− sin(t)
R .
∫C1
1zdz =
∫ 2π
0
cos(t)R (−R sin(t))dt−
∫ 2π
0
− sin(t)R R cos(t)dt
+ i∫ 2π
0
cos(t)R R cos(t)dt+ i
∫ 2π
0
− sin(t)R (−R sin(t))dt
= 0+ 0+ iπ + iπ = 2πi.
6
Exemplo 2
Avalie a integral de f(z) = z−1 ao longo do caminho C2 consistindono semi-círculo |z| = R no semi-plano superior y ≤ 0.
∫C2
dzz = πi
7
Exemplo 3
Avalie a integral de f(z) = z−1 ao longo do caminho C3:
C3a : z = (1− t)R+ itR, 0 ≤ t ≤ 1;C3b : z = −sR+ i(1− s)R, 0 ≤ s ≤ 1.
8
Exemplo 3
∫C3
dzz =
∫ 1
0
−R+ iRR+ t(−R+ iR)dt+
∫ 1
0
−R− iRiR+ s(−R− iR)ds.
∫ 1
0
−R+ iRR+ t(−R+ iR)dt =
∫ 1
0
(−1+ i)(1− t− it)(1− t)2 + t2 dt
=
∫ 1
0
2t− 11− 2t+ 2t2dt+ i
∫ 1
0
11− 2t+ 2t2dt
=12[ln(1− 2t+ t2)
]10 + i [arctan(2t− 1)]10
= 0+ i[π4 +
π
4
]=
πi2 .∫ 1
0
−R− iRiR+ s(−R− iR)ds =
πi2 .
9
Exercício
Avalie a integral de f(z) = Re(z) ao longo dos caminhos C1, C2 e C3.
1. Caminho C1:∫C1Re(z)dz =
∫ 2π
0R cos(t)(−R sin(t) + iR cos(t))dt = iπR2;
2. caminho C2:∫C2Re(z)dz =
∫ π
0R cos(t)(−R sin(t) + iR cos(t))dt = iπR2
2 ;
3. caminho C3:∫C3Re(z)dz =
∫ 1
0(1− t)R(−R+ iR)dt+
∫ 1
0(−sR)(−R− iR)ds
=R22 (−1+ i) + R2
2 (1+ i) = iR2.
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Resultado importante
TeoremaConsidere a integral de uma função f(z) ao longo de um caminho C.Se |f(z)| ≤ M em C, e o comprimento do caminho C é L, então∣∣∣∣∫
Cf(z)dz
∣∣∣∣ ≤ ∫C|f(z)| |dz| ≤ M
∫Cdl = ML.
11
Teorema de Cauchy
Teorema de Cauchy
TeoremaSe f(z) é uma função analítica e f′(z) é contínua em cada pontosobre e dentro de um contorno C, então∮
Cf(z)dz = 0.
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Teorema de Green no plano
LemmaSe p e q são funções com primeiras derivadas contínuas sobre edentro de um contorno C, limitando uma região R do plano, então∫ ∫
R
(∂p∂x +
∂q∂y
)dxdy =
∮C(pdy− qdx).
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Prova do Teorema de Cauchy
Prova
I =∮Cf(z)dz =
∮C(u+ iv)(dx+ idy)
=
∮C(udx− vdy) + i
∮C(udy+ vdx)
=
∫ ∫R
[∂(−u)∂y +
∂(−v)∂x
]dxdy+
∫ ∫R
[∂(−v)∂y +
∂u∂x
]dxdy.
Como f(z) é analítica, u e v satisfazem as condições deCauchy-Riemann. Então, ambos os termos entre colchetes são iguaisa zero, e I = 0.
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Corolário
Sejam A e B dois pontos ligados por curvas c1 e C2, que juntaslimitam uma região fechada R. Se f(z) é analítica em R, a integral def(z) é a mesma ao longo de C1 e C2.∫
C1f(z)dz−
∫C2f(z)dz =
∮C1−C2
f(z)dz = 0.
Então, ∫C1f(z)dz =
∫C2f(z)dz.
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Corolário
Sejam C e γ dois contornos fechados no diagrama de Argand, deforma que γ está completamente dentro de C. Se f(z) é analítica naregião fechada R entre C e γ, então a integral de f(z) é a mesma aolongo de C e de γ.
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Teorema de Morera
TeoremaSe f(z) é contínua em uma região fechada R limitada por uma curvaC, e ∮
Cf(z)dz = 0,
então f(z) é analítica em R.
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Próxima aula
• Fórmula Integral de Cauchy (24.10);• Séries de Taylor e Laurent (24.11).
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