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AULA 16 - Opera sores VETO Riots .
TEO REMA DE WIGNER - ECKART
1 Operadores vetoriais
Sabemos que um vitor.
na finca claisica,
e- por definition uma grande ya que se transforms
por rotaries como as coordinators de um ponto no
espa.co ,i. e.
,Vi = I Rij Vj .
Em M . Q . definimos come momento angularI to do opera do que rats faz
[ Ji,
Jj ] = it Eijk JK
Note mas que
f x, Ly ] = [ x
,2- Px - xpz ] = [ x
, px ] 2- - [ x, pz ] x = it z
De forma geral , podemos even wer
[ Xi, Jj] = it C- i j k X K
Asim, podemos definer come operator veto -
rial quouquer operator J que satsfa.ca[ Vi, Jj) = itEijk V K
Se V±
= Vx ± i Vy e J± .
- Jx ± i
Jy .entire
[ Jx.
Vt ) =
ItVz
;I Jy .
Vt ) = ± i hi Vz;
I Jz,
V± ] = ± hi V±,
[ Jt.
Vt ) = [ J -,
V. ) -
- O; I J±,V;] = I 2k Vt
Vamos agora considered as elements de matriz de
T numa base Ilk , jim 's t . Uma vez que[ Vz
,Jz ] = O ⇒ Sk
, j ,ml Vz Ibd
, j'
im 'S = O p/m Em !
Jai para the,
uma veg que E Vt,
Jt ]=o,
⇒ Ck , jim I V± Ik'
, j'
,ni ) f pl C m - m
'I = It.
Vejamos ,
[ Jz,
Vt ] = th V± ⇒ JzV±
= V±Jz It V±
ou seja ,
Jzfvtlk, j ,my - V±(Jzlk , jim > It VI Ik, j.ms )
= ( m ±e) t ( Elk, j , m ) )
i. e.,
Vt Ik , j , m > e- auto veto de Jz .
Assia , para um operator rational T,
temos as requisites regas de selection :
Vz =D Dm = m'
- m = O
Vt -→ Am = we'
- m = t I
V - ⇒ Am = m'
- m = - I
• Rroporciomalidade entre as elements de matrizde J et wenn sobespa.co Elk , j )
.
Sk , j ,mtal Jt Vtlkij , m ) = Ck
, j , mtzlvtJtlkij.msI =
m.
1k ', j
', m
' Xk '
, I'
,m 't
come Dm = ti pl Jt e Vt e j '-- j ,
Ck, j ,
mtzl JtIk, j ,
ma Xksj , mttlvtlkij.ms
= Lk ,
j.mn/Vtlk,j,mtiXkijimtilJtlk.jimS
⇒ Ck, j ,
Mtzl
Vt.tk, j ,
ma )=
Ck , j , ma I
VtIk , jim >
The , j , m 21 JtIk, j ,Mtl ) Sk
, jim tilJtlkij , m >
rapine does mesmos opera does entre estados diferentes
Como m = - j ,. . .
, tj ,
( k, j ,
-
jtilvtlkijit> =
s k ,j ,- jtl 1Jt Ik ,j ,
- j >
( k, j ,
-jtzlvtlkijitit'S = . . .
< k, j ,
- It21Jt Ik ,j ,- j ti )
( k, j , y IVtlk,jig- I >
< kij ,I15+1k.j.jp
= Are . j )
x depend de ke j e socio de m . . .
< kijsmlvtlk , jim 'S = At Craig ) skijimdtlk, jim 'S
Por arguments anoilogos ,
< kijimlv - Ik, jim 'S = x
- Craig )skijimdlk , jim 'S
Os elements de mating de Vz csoio obtidos
sabendoque EI , Vt ] - - 2K Vz
,i. e.
,
- 2£ hkijcmlvzlk.j.ms= hkijcmlJ-Vtlk.j.ms-hkijcmlvtJ-lk.j.ms
= -h Vjcjti ) - memes'
Lk, j ,mill
Vtlk, jim >
- ti Vjcjti ) - mcm . is'
Lk, jimlvtlk , jim - e >
- 2K Lk , jim I Vzlk, j ,
m >
= Lk , jim I J - Vt Ik, j ,
m > - Lk , jim I Vt I 1k, j ,
m' >
= t Vjcjti ) - memes'
Lk, j , ml Vt Ik
, jim >
- t Vjcjti ) - m C m . d'
Lk, j , ml Vt Ik
, j ,m - D
Lk , jim I Vzlk, j ,
m > = - ez ACK , j )
✓ jcjti ) - memes'
Lk, j ,mill
Jt Ik, j ,
m >×
!Vjcjti ) - mom . is'
Ck. j , mlJt Ik
. jim - is)=
- LI atheistj - memes ) - j tmcm - e) f
= mt at Ck, j )
Por arguments,oa-o anoiloqa ,obtemos
Lk , jim I Vzlk, j ,
m > = mt a.
CK, j )
Logo ,ACK
, j ) = ACK, j ) = x -
Ck. j )
,e
consequentmentee,
Lk , jim I Vzlk '
, j'
,ni > = a Ck
. j ) LK , jim I Jzlk'
, j'
,ni >
Em resume,
< k, j , on ITI k '
, j'
,m
' > = a Ck, j ) 5k , j , on IFI bi , j
', m
' >
todos as elements de matriz de J scio
proporcionaisaos de I
.
Este results do expresses o teorema de
Wigner - Eckart para o case de opera -
does vetoriais .
• Teorema da projector
teja o operator J.
T. Soa restricts
eco sobespa.co Ecr, j ) e- Prkij ) F.J per
, j )
J . J = ( aggogo)Ras's =3 lkisimxkijiml
Quero profiteer sobre o espace come j -- o
ej - k
Po-
(geog§ )" " =
( E9
!)
° I
P.ITPo=
( !!! )f agogE) ( !!:o)t:÷÷x÷÷H :::o)
e sobre je Kz
" I ie. -
. too::X
:1%:X:,:X
:÷ )O
i :::L
[ I, Pra j ) ] = o
verificarusandoofa.to de que
[ Je,
Prk, j ) ] lkij.ms = [ JI
, Prk, j ) ) Ik . jim > = O
.
Assi me,
Pra , j ) IJ Pen. j ) = 5. Reais) I Peu
.;D= I
. a C k , j ) Prk, j ) I Prk
, j )
= a Ck, j ) Pra
, j ) J2 Pru, j )
= x Ck, j ) j ( j t e) EZ Pek
, j ) Prk, j )
m¥-Pra , j ) I.J Pen
. j ) = a CK ) jcjt Dt2 Pera, j )
Pasa om estado arbitration normalizedperteneente
'
a Era, j ) 14k
, ;) , i. e., 14%5=12143
,J. J Taj = turns IF.
T I 4K, j ) = a Craig ) j Cj + Dt2
Akin dis so, tenor
⇒ Per, j ) J Pra
. j ) = x C K , j ) Pca . j ) I Peris )
⇒ Per, j ) J Pra
. j ) =L C K , j ) Pea . j ) I Precis )
Pere, j ) I Pek , j )pea
, DJ Peris ) =
je j + Dti
⇒ J =L F. J > mi Ijcj titi
• Exempla : Fator de Laude
Senja um hamiltonians
A = Hot HI
en de Ho I Eo,
l, s ,
J,
M > = Eo I Eo,
l, s ,
J,
M >
e He = w f Lz t 2 Sz )
on de w = - I B,
come B- = BE ; e o
2M
fator 2 em Zsz e- o fator give magnetictelethon
.
I = Its
I = Cisse 5JC Jt 1) ti
e 5 = L 5. I > Eocss IJfJt e) K2
Vejamos ,
E.I = I . CE + 5) = I + I . 5
J'
= ( It5) 2
= Et S2
+2T.si
. E.5 = I (
I- L
2-
S2)
E. I = L2 + I ( J2 - L2 -5 )
Da messana forma ,
5. I = s'
+
ICE- i - s
- )Assia
,
< E. 5¥. ass
=L Ceti ) hi 't
LjC jet ) - late ) - s Csa ))
( 5. 5) easy = s C stilt't HI µC jet ) - lflti ) - s Csa ))
Potato,
substifuindo
I = Chiesa 5JC Jt Dt2
5 = L 5 . I > Eocss IJfJt e) £2
na hamiltonian de interafao
HI = W ( Lzt 2 Sz ) = go W Jz
conde
go =LT . E) t 2 C 5. IS
j Cj tether
< I. E) +2<5.53
=
eetfhthzfjcjte) - late ) - s Csa ))
+
zsfstilhhhfjcjc.NL#)-sCstiTf=h2f3zjCjtD-zlClti
) + lzscsti ) }
go =LT . E ) t 2 C 5. IS
j C j th ti
= 3- + s C Stl ) - l ( Lti )2. 2 j C j to )
As sine,
HII Eo,
l, s
,J
,M > = gsw Mt I Eo
,l
, s,
J,
M >
Seja o estado 143 = I Eo,
I,
Yz,
312, MS
,
Ho 145= Eo 145
come M = - Zz ,- ez ,
t I , Zz ; portantoIt > term degenerecinciaquoirh.ca .
Rhein, one considerate HI tal degener -
cinema e- remo vida,
M = 3/2
÷÷ .
me " z
-M = - 1/2
-M = - 3/2
B to