Aula 6Otimização de resultados com o uso de conceitos de

Cálculo de Derivadas

1) Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de . O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por . Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.

R: Altura = h = 15 cm e raio = r = 5 cm

2) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone coincidem.

R: h= 4; r = 8/3 = 2,66; volume 74,98

3) Deve-se construir um tanque para armazenamento de gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo de metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de , que dimensões minimizará o custo da construção?

R: raio = r = 1,6244

4) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 ) de liquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da lata?

R: raio = 5,42 cm e h= 10,84cm

5) O rio tem uma largura 100m e o ponto C está deslocado de 400m do ponto A, na outra margem. Deseja-se ir do ponto A ao ponto C, fazendo o percurso AB (remando) e depois BC (correndo pela margem). Sabendo que se pode remar a 40 m/min e correr a 100m/min , qual deve ser o valor de x para que essa travessia seja feita no menor tempo possível? Qual é o menor tempo que será gasto para executar a travessia?

Resposta: x = 356,36 m e t = 6,29 min

6) Ache o raio e a altura de um cilindro circular reto com o maior volume, o qual pode ser inscrito em um cone reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio, se os eixos do colindro e do cone coincidem.

Resposta: r = 4 cm e h = cm 310

7) Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, sabendo que os eixos coincidem.

Resposta: raio = 8/3

8) Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm. Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que a sua posição é dada na figura ao lado.

Resposta: 4,5 cm por 6 cm

9) O departamento de estradas de rodagem planeja construir uma área de piquinique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada.Ela deve ser retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três lados não adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será necessária para completar o trabalho?

Resposta: x= 100 m e y = 50 m

10) Um homem está em um barco sobre um lago, em um ponto P situado a 10 Km da margem do lagoa qual é reta. Na margem do lago há uma casa, sobre um ponto A. O homem vai de barco até um ponto B da margem e de lá prossegue a pé até a casa. Sabendo que a velocidade do barco é de 12 Km/h e que a velocidade do homem é de 13 Km/h, determine o ponto B, de modo que o trajeto total seja feito no menor tempo possível. Medindo pela margem do rio o ponto A dista 30 km do ponto C.

Resposta: 6 Km da casa

11) Determine o raio da base se uma lata de cerveja cilíndrica de volume 700 ml de modo que o material gasto seja o menor possível.

Resposta:

12) Um refrigerante é vendido em latas cilíndricas de volume 400 ml (400 ).

Calcular o raio da base de modo que o material gasto na embalagem seja o menor possível, isto quer dizer, menor área total possível.

Resposta:

13) De um ponto A situado numa das margens de um rio de 100 m de largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa R$ 5.000,00 o metro e o que deve ser utilizado fora custa R$ 3.000,00 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com os fios seja o menor possível. Medindo pela margem do rio o ponto A dista 30 km do ponto C. Determine a posição do ponto B em relação ao ponto C.

Resposta: X= 75

14) ) Um cilindro deve ser fabricado para conter 6 litros (dm³). Que dimensões (raio e altura) deve ter este cilindro para custar o mínimo possível, conhecido os seguintes preços: o material do fundo custa R$ 5,00/dm²; o material do lado custa R$ 3,00/dm²; o material da tampa custa R$ 2,00/dm²;

resposta: