Aula_7_Métodos numéricos(Descida máxima)

8/15/2019 Aula_7_Métodos numéricos(Descida máxima)

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2- Sistemas Não Lineares de Equações

Considere um sistema não linear de n equações com nincógnitas.

Note que como caso particular podemos ter um sistema

linear de equações algébricas:

( , , , )

( , , , ) ou com e

( , , , )

n

n

n nn n

f x x x f x

f x x x f x

f x f x x x

=⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

f(x) 0 f x

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

0

0

0

11 1 12 2 1 1

2

1 1 2

2 1 2 1 1 22 2 2 2

1 1 2 21 2

( , , , )

( , , , ) ou

( ,

0

0

, , ) 0

n n

n n

n n nn n

n

n

n nn

a x a x a x b

a x a

f x x x

f x x x x a x b

a x a x f x b x x a x

+ + − =+ + − =

− =

=⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪⎩ += + − =

Ax b 0





2.2- Método da Iteração

sistema em , então . O Método da Iteração pode seraplicado também a sistemas de equações na forma:

onde é uma função vetor definida e contínua numavizinhança de uma raiz isolada deste sistema. Entre as

varias maneiras de transformar o sistema (3) no (1)

destacamos a seguinte. Reescreva o sistema (3) na forma

onde é uma matriz não singular . Definindo

segue que e podemos aplicar o método da iteração.

Se a função e sua primeira derivada é contínua em segue

e pode ser provado que o processo iterativo

*

=ξ xΩ

= + Λx x f(x)( ) = + Λφ x x f(x)

( , , , )

( , , , ) ou com e ( )

( , , , )

n

n

n nn n

f x x x f x

f x x x f x

f x f x x x

=⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

f(x) 0 f x

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

0

0 3

0

Ω *x

)f(x

Λ( )=x φ x

f Ω

'( ) '= + Λφ x E f (x)



2.2- Método da Iteração

converge rapidamente se a norma de é pequena. Logo éconveniente escolher a matriz tal que

e se a matriz é não singular segue que

Aplicando o método da iteração a este sistema segue

Note que (4) coincide com o Método de Newton Modificadopara o sistema (3), já que (Jacobiana). Ou

seja,

Se a matriz é singular ( ), então deve ser

escolhida uma aproximação inicial diferente de .

Λ'( ) '= + Λ =φ x E f (x ) 0

0 0

'( )φ x

0'f (x )

[ ' ] ( ) [ ' ] [ ' ]− − −Λ = − ⇒ = − ⇒ = −f (x ) φ x x f (x ) f(x) x x f (x ) f(x)0 1 0 1 0 1

[ ' ] ( )k k k + −= −x x f (x ) f(x )1 0 1 4

[ ' ]− −=f (x ) W(x )0 1 0 1

( ')k k k + −= −x x W(x ) f(x )1 0 1 4

0'f (x )0det( ' ) 0=f (x )

x0



2.2.1- Convergência do Método da IteraçãoTeorema: Seja um sistema não linear de equações com

funções e continuas em tais que em se verifica a

desigualdade Se todas as

aproximações sucessivas pertencem a , então

este processo iterativo converge e seu limite é uma solução dosistema em .

Ou seja,

Aqui as normas são

Corolário: O Método da Iteração converge se

Estimativa de erro na aproximação k para o Método da Iteração:

Ω

Ω

Ω'( ) ( é uma constante).q q≤ <

Iφ x 1

( )=x φ x

Ω'( )φ x( )φ x

k k + =x φ(x )1

( )=x φ x

* *lim ( ).k

k →∞= =x x φ x

( )'( ) max '( ) e '( ) max

n

im m i

j j x

ϕ

∈Ω=

∂= = ∂∑I x

xφ x φ x φ x

1

( )

, , quando .

ni

j jq i n x

ϕ

=

∂

≤ < ∀ = ∈ Ω∂∑

x

x1 1 1

* ( )k k

k

m m m

q q

q q− ≤ − = −

− −x x x x φ x x

1 0 0 0

1 1 já que ( )=x φ

x1 0



Considere um sistema não linear de n equações com nincógnitas.

e suponha que as são reais e continuamente diferenciavel

no domínio de definição comum. Construa a seguinte função

Note que cada solução do sistema (3) anula a função evice-versa, cada que anula é solução do sistema (3).

Suponha que (3) tem somente uma solução isolada que

corresponde ao ponto de mínimo absoluto de . Logo o

problema se reduze a encontrar o mínimo desta função.

( , , , )

( , , , ) ou com e ( )

( , , , )

n

n

n nn n

f x x x f x

f x x x f x

f x f x x x

=⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

f(x) 0 f x

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

0

03

0

2.3 – Método do Gradiente (Descida mais Íngreme)

i f

( )( ) [ ( )] , .n

i

i

U f =

= =∑x x f(x) f(x)2

1

( )U x( )U xx

( )U x



Seja a raiz de (3) e a aproximação inicial. Construa umasuperfície de nível para em . Se está suficientemente

perto de esta superfície de nível deve se

assemelhar a um elipsóide. Parta de na direção da normal

da superfície até tocar alguma outras superfície denível tal que . Parta de na direção da

normal da superfície até tocar alguma outras

superfície de nível tal que .

A repetição deste processo nos leva ao ponto

de menor valor de , que corresponde

à raiz do sistema (3).


( )U x

( )U x

( ) ( )U U =x x0

x0*

xx

0x

0

*x

x0

( ) ( )U U =x x0

( ) ( ) ( )U U U = <x x x1 0

x1

( ) ( ) ( )U U U = <

x x x

2 1

( ) ( )U U =x x1



Lembrando que o gradiente da função tem a direção danormal da superfície de nível em cada ponto .

Logo . Resta determinar

para cada passo. Para isto considere a função que descreve a

variação contínua da superfície de nível entre o ponto e .


( )U xn

k x

( )

n

U

xU

xU

U

x

∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂∇ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂⎣ ⎦

x

1

2

( ) ( , , )k k k k U k λ + = − ∇ =x x x1 0 1 k λ

( ) ( ( ))k k U U λ λ Φ = − ∇x x

k x

k +x

1



O parâmetro deve ser escolhido para que tenhaum mínimo. Ou seja,

Em geral, esta equação deve ser resolvida por métodos

numéricos. Aqui apresentamos um método para determinar de

forma aproximada o parâmetro . Para isto suponha que é

pequeno e que potencias deste parâmetro podem serdesprezadas se comparada com a parte linear. Logo

expandindo as funções em potencias de e retendo

apenas o termo linear segue


k λ

k

λ λ =[ ( ( ))]

( ) ( ( )) ( )

nk k

k k i

i

f U U U

λ λ λ

λ λ λ

=

∂ − ∇∂Φ ∂ − ∇

= = =∂ ∂ ∂

∑ x xx x

2

10 5

i f

( )λ Φ

λ

λ

0

( )

( (0))

( )

( ( )) ( ( ))

( )( )( )

i

k k

i

k i

k k k i

i

k

i i

i

f

f

f f U f

f f f

U

λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

=

∂+∂

∂ ∂∂

+ − ∇∂

= − ∇ ≈ =

=∂ ∂

x xxxx x

x

x

x

x

x x



Note que na equação anterior deve ser entendido por

Logo e


( )( ) ( ) ( )k n

k k ii

i

f f U λ λ =

⎛ ⎞∂Φ = − ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠

∑ xx xx

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) (um vetor)

k k k k

i i i i

n

f f f f

x x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

x x x x

x 1 2

1

1

1

2

( )( ) ( )

=

( ) ( )( )

0 2 ( ) ( ) ( )

o

(

u

( ))

k k n

k n

k k ii

ik

k n

k k k i i

ii

k i

i

f f

f U U

f f U

f U

λ

λ λ

λ =

=

=

⎛ ⎞∂ ∇⎜ ⎟∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂∇⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂Φ

= = − − ∇ ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂⎝ ⎠

∑

∑

∑

xx

x

xx

xx

x

x

x x xx x



Como segue que


( )( )

( )( )

( )

( )( )

ni n

i

i

nni

i

i

nni

i

n i n n nn

f f f f U f

x x x x x

f U f f f f

x x x x xU

U f f f f f

x x x x x

=

=

=

∂⎡ ⎤ ∂∂ ∂∂ ⎡⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂ ∂∂

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∂⎢∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂∇ = = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥∂ ∂∂ ∂∂⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂∂⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦

∑

∑

∑

xx

xx

x

xx

1 2

1 1 1 1 11

1 2

12 2 2 22

1 2

1

2 2

[ ]

( )

( )

( )n

f

f

f

⎤⎡ ⎤⎥⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎥

⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎥⎦

T

f(x)

W(x)

x

x

x

1

2

( ) [ ( )]

n

i

iU f

== ∑x x2

1

o n d e é a J a c o b i a n a d a f u n ç ã o v e t o r

n

n

n n n

n

f f f x x x

f f f

x x x

f f f x x x

∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦

W ( x ) f ( x )

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2



Logo e

Portanto

Note que o parâmetro deve ser calculado para cada passo.


( ) [ ]k k k

U ∇ =

T

x W (x ) f(x )2

( )( ) ( ) [ ] [ ]

k nk k k k k k i

i

i

f f U

=

⎛ ⎞∂∇ =⎜ ⎟

∂⎝ ⎠∑ T Tx

x x f(x ) W (x ) W (x ) f(x )x1

2

[ ] [ ]

2 [ ] [ ]

k k k k k

k k k k k k

λ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T T

T

T T

f(x ) W(x ) W(x ) f(x )

W(x ) W(x ) f(x ) W(x ) W(x ) f(x )

( )( )

[ ] [ ]

k nk i

i

k k k k k k

f U

=

⎛ ⎞∂∇ =⎜ ⎟

∂⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑T

T T

xx

x

W(x ) W(x ) f(x ) W(x ) W(x ) f(x )

2

1

2 2

[ ] onde ( )k k k k k k k μ μ λ + = − =Tx x W(x ) f(x )

1 2 6

k μ



Resumindo o método, já que

Observe que para otimizar o tempo de computo é conveniente

para cada passo fazer os cálculos na seguinte ordem:

1- Calcule

2- Calcule e termine as outras operações


[ ] [ ]

[ ] [ ]

k k k k k

k k k k k k μ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T T

TT T

f(x ) W(x ) W(x ) f(x )

W(x ) W(x ) f(x ) W(x ) W(x ) f(x )

[ ]k k k k k μ + = − Tx x W(x ) f(x )

1

, ou [ ]k k k Tf(x ) W(x ) W(x )

[ ] [ ]

k k k k

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

TT T

W(x ) f(x ) f(x ) W(x )

[ ]

k k T

W(x ) f(x )

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

k k

k

k k k k

k k

k k

k k k

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T T T

T

T

TT

W(x ) f(x ) W(x ) f(x ) W(x ) f(x )

W(x ) f(x )x x

W(x W(x ) f(x) x )W( )

1



2.1.3- Exemplo 2 pag. 462 do Demidovich

Use o Método da Iteração e do Gradiente para encontrar asolução aproximada positiva

do sistema de equações:

começando com a aproximação inicial

x y z

x y z

x y z

⎧ + + =⎪

+ − =⎨

⎪ − + =⎩

2 2 2

2 2

2 2

1

2 4 0

3 4 0

. . x y z= = =0 0 0 0 5

Visualização gráfica do problema na próxima tela.



2.1.3- Exemplo 2 pag. 462 do DemidovichVisualização gráfica do problema



Frase do Dia“... the progress of physics will to a large

extent depend on the progress of nonlinearmathematics, of method to solve nonlinear

equations ... and therefore we can learn by

comparing different nonlinear problems.”

Werner Heisenberg

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