Métodos numéricosDR. RODRIGO SOULÉALUMNO: JOSÉ FRANCISCO HERRERA SOLÍS UP130173

ISE I05A

AGUASCALIENTES, AGS. , A 13 DE AGOSTO DE 2015

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Contenido 1. Aproximaciónnumérica y errores

◦ 1.1 Definiciones básicas◦ 1.2 Error absoluto y error relativo◦ 1.3 Estabilidad y convergencia◦ 1.4 Polinomios de Taylor

2. Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes de una variable

◦ 2.1 Método de bisección◦ 2.2 Método de punto fijo◦ 2.3 Método de interpolación lineal◦ 2.4 Método de Newton-Raphson◦ 2.5 Método de segundo orden de Newton

3. Solución numérica de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

◦ 3.1 Método de eliminación de Gauss◦ 3.2 Método de Gauss-Jordan◦ 3.3 Método de Gauss-Seidel

4. Interpolación◦ 4.1 Polinomios interpolantes◦ 4.2 Interpolación de Lagrange◦ 4.3 Interpolación de Newton

5. Derivación e integración numérica◦ 5.1 Diferenciación numérica◦ 5.2 Integración trapecial (Simpson 1/2)◦ 5.3 Integración de Simpson 1/3

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Aproximación numérica y errores

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Precisión y exactitud La exactitud indica los resultados de la proximidad de la medición con respecto al valor verdadero, mientras que la precisión con respecto a la repetibilidad o reproductibilidad de la medida.

En ingeniería, ciencia, industria y estadística, exactitud y precisión no son equivalentes.

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Precisión se refiere a la dispersión del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersión mayor la precisión.

Exactitud se refiere a que tan cerca del valor real se encuentra el valor medido. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el sesgo de una estimación. Cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación.

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Cuando se expresa la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.

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Error absoluto y error relativo Una actividad frecuente del profesional de la Ingeniería consiste en trabajar con modelos matemáticos representativos de un fenómeno físico.

Estos modelos son abstracciones matemáticas que distan mucho de representar exactamente al fenómeno bajo estudio debido principalmente a las carencias y dificultades que aún posee el humano de la comprensión total de la naturaleza.

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Como consecuencia de esto existen diferencias entre los resultados obtenidos experimentalmente y los emanados propiamente del modelo matemático.

A las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les denomina Errores.

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El error real se define como la diferencia entre el valor real y una aproximación a este valor :

El error relativo se define como el cociente del Error Real entre el valor real

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Estabilidad y convergencia La estabilidad numérica es una propiedad de los algoritmos numéricos. Describe cómo los errores en los datos de entrada se propagan a través del algoritmo.

Se dice que hay “Convergencia” al utilizar un método numérico para resolver un problema en particular cuando, mientras más iteraciones se hacen se obtiene una mejor aproximación al resultado.

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Polinomio de Taylor Es la representación de una función como una suma infinita de términos que son calculados a partir de los valores de las derivadas de las funciones a partir de un punto único.

El polinomio de Taylor de grado en es único y puede ser expresado como

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Ejemplo Encontrar el polinomio de Taylor de grado n para centrado en .

,

,

,

,

,

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Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes de una variable

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Método de bisección En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Si f es una función continua sobre el intervalo [a,b] y si f(a) f(b)<0, entonces f debe tener un cero en (a,b). Dado que f(a)f(b)<0, la función cambia de signo en el intervalo [a,b] y por lo tanto tiene por lo menos un cero en el intervalo.

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Esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio para funciones continuas, que establece que si f es continua en [a,b] y si k es un número entre f(a) y f(b) , entonces existe por lo menos un c (a,b) tal que f(c)=k (para el caso en que f(a)f(b)<0 se escoge k=0, luego f(c)=0, c(a,b)).

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Ejemplo Encontrar el valor de la raíz entre 0 y 1 de la siguiente función

It f() f() f()*f() Error

1 1 2 1.5 2 5.25 10.5

2 1.5 2 1.75 -1.27687 -1.57623 2.01264 14.286%

3 1.75 2 1.875 -1.57623 -1.72165 2.7137 6.667%

4 1.875 2 1.9375 -1.72165 -1.79344 3.08766 3.226%

5 1.9375 2 1.96875 -1.79344 -1.82912 3.28041 1.587%

6 1.96875 2 1.984375 -1.82912 -1.84691 3.37821 0.787%

7 1.984375 2 1.992188 -1.84691 -1.85579 3.42748 0.392%

8 1.992188 2 1.996094 -1.85579 -1.86023 3.4522 0.196%

9 1.996094 2 1.998047 -1.86023 -1.86245 3.46458 0.098%

10 1.998047 2 1.999023 -1.86245 -1.86356 3.47077 0.049%

11 1.999023 2 1.999512 -1.86356 -1.86411 3.47387 0.024%

12 1.999512 2 1.999756 -1.86411 -1.86439 3.47542 0.012%

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Método de punto fijo Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma .

Si la ecuación es , entonces puede despejarse x o bien sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.

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Ejemplo Encontrar el valor de . Con . Condición: Error < 0.01%.

Iteración Xi G(x) F(x) Error

0 0.5 1.04030231 0.54030231

1 1.04030231 1.16831628 0.12801398 51.9370478%

2 1.16831628 1.21049532 0.04217903 10.9571337%

3 1.21049532 1.22533781 0.01484249 3.48444412%

4 1.22533781 1.23067072 0.00533291 1.2112982%

5 1.23067072 1.23260076 0.00193003 0.43333386%

6 1.23260076 1.23330106 0.00070031 0.1565821%

7 1.23330106 1.2335554 0.00025434 0.05678314%

8 1.2335554 1.23364781 9.2405E-05 0.02061863%

9 1.23364781 1.23368139 3.3576E-05 0.00749039%

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Método de interpolación lineal La interpolación consiste en encontrar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores de los extremos.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos de una recta.

Dados dos puntos P(x0 , y0) , Q(x1 , y1) de una función de la que no se conoce su expresión algebraica, es posible calcular aproximadamente el valor que toma la función en un punto x [] mediante la expresión:

f(x) =

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Ejemplo Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1, 5) y (0, 2). Interpola el valor a = 5.

Se tienen los puntos:

P(, ) = (-1, 5)

Q(, ) = (0, 2)

Obtener la función de interpolación lineal:

= 2 = 2

Interpolando x = 5 se obtiene:

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Método de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson es un método iterativo que permite aproximar la solución de una ecuación del tipo . Se parte de una estimación inicial de la solución y se construye una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula:

= -

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Ejemplo Expresar la ecuación en la forma , y se identifica la función .

Calcular la derivada

Construir la fórmula de recurrencia

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Tomar una estimación inicial de la solución

,

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Método del segundo orden de Newton

Este método también utiliza el conocimiento aportado por los primeros términos de la serie de Taylor de la función en la vecindad de una aproximación a la raíz.

El método de Newton puede verse como un método de linealización.

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EjemploCalcular una raíz real de la función con valor inicial

Encontrar la primera derivada de la función que se va a calcular.

Encontrar la segunda derivada de la función que se va a calcular.

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Sustituyendo en la fórmula:

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Continuar iterando con el valor obtenido.

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Solución numérica de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

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Método de eliminación de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

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Ejemplo Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

Columnas (una para los valores de x, otra para los de y, y una más para los de z):

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Se realizan las reducciones utilizando las filas de la matriz, de tal forma que quede una sola fila con un solo valor, y lo demás sea cero.

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Se realizan las operaciones correspondientes para llegar a 0 debajo de la línea principal

(1 1 1

0 113

0 0 −133

673

−133

) 𝑓 3→ 313

𝑓 3

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Finalmente se sustituyen los valores en las ecuaciones originales

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Verificación

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Método de Gauss-JordanEs un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.

Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.

El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

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Ejemplo Utilizar el método de Gauss Jordan para resolver el sistema de ecuaciones.

Ordenar a manera de matriz, contando con tres filas y tres columnas (x , y, z)

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Reducir hasta obtener la matriz identidad

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Método de Gauss-Seidel El Método de Gauss-Seidel consiste en hacer iteraciones a partir de un vector inicial para encontrar los valores de las incógnitas hasta llegar a una tolerancia deseada, utilizando valores actuales de las x encontradas antes (desde hasta ) cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una , además de usar los valores anteriores de .

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Ejemplo Utilizar el método de Gauss Seidel para resolver el siguiente sistema de ecuaciones

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• Asignar valores iniciales a las variables.

• Despejar de cada ecuación, la variable de la diagonal.

• Con estas ecuaciones asignar descendentemente a cada variable el resultado de sustituir los valores más recientes de las demás variables.

Despeje:

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Iteraciones

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Interpolación

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Polinomios interpolantesEn el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de datos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

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Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si se tiene una función cuyo cálculo resulta costoso, es posible partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple.

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En general, no se obtendrán los mismos valores evaluando la función obtenida que si se evaluara la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

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En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos , obtener una función que verifique que

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos se les llama nodos.

Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación polinómica, la interpolación lineal y la interpolación por medio de spline o trazador cúbico.

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Interpolación de Newton Este método es algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

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Para un polinomio de n-ésimo orden se requieren n + 1 puntos:

y para determinarlo se utiliza la fórmula:

O lo que es lo mismo:

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Estos coeficientes se calculan mediante diferencias divididas, cuya expresión general está dada por:

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Los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos aquellos que involucren a , así:

Con esta notación, se puede expresar el polinomio como:

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EjemploDetermine el polinomio Interpolante de Newton que contienen los puntos (3,-1), (5,-3), (7,9) y (8,6). La idea principal es completar la siguiente tabla:

-3 9 ? ? ?

5 2 ? ?

7 -1 ?

8 0

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Para facilidad de entender el algoritmo del polinomio interpolante de Newton mediante las diferencias divididas, se hace la construcción por niveles o columnas:

Nivel

Nivel

53

Nivel

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Por tanto la tabla de datos queda del siguiente modo:

-3 9

5 2

7 -1 1

8 0

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A continuación se construye el polinomio tomando como coeficientes a los números de la primera fila, excepto el primero de todos. Lo que se quiere es :

Remplazando los datos se obtiene:

Y al simplificar se llega al polinomio:

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Verificación

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Interpolación de LagrangePara evitar el cálculo de las diferencias finitas que se hace en el polinomio de Newton, el método de Lagrange propone una fórmula más sencilla, pero que por ser una aproximación puede tener un ligero margen mayor de error.

Reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo por diferencias divididas:

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EjemploDetermine el polinomio interpolante de Lagrange que contiene los siguientes puntos de la tabla:

-3 5 7 8

9 2 -1 0

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Lo que se pretende es construir el polinomio de Lagrange mediante su fórmula recursiva:

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Solo queda construir los , los cuales serán determinados mediante la fórmula:

Como se muestra a continuación:

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.

.

.

62

.

.

.

63

.

.

.

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No hace falta construir , pues este polinomio será multiplicado por 0. Una técnica útil para sumar todos estos productos consiste construir una tabla que contenga toda la información y luego hacer la suma por columnas, como se muestra a continuación:

La última fila indica que el polinomio interpolante es:

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Derivación e integración numérica

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Diferenciación numérica Se desarrollarán fórmulas para aproximaciones de diferencias hacia adelante, hacia atrás y centradas para la primera derivada utilizando la serie truncada de Taylor.

En el mejor de los casos, estas estimaciones presentan errores de orden ; es decir, sus errores fueron proporcionales al cuadrado de su tamaño de paso. Este nivel de exactitud se debe al número de términos de la serie de Taylor. Se pueden generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor

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Fórmulas de exactitud para la primera derivada

Fórmulas de tres puntos

Definiendo un tamaño de paso .

Hacia adelante:

Hacia atrás:

Central:

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Fórmulas de cinco puntos

Definiendo un tamaño de paso

Hacia adelante:

Central:

Usando la serie truncada de Taylor, se pueden desarrollar fórmulas aproximadas iterativas para resolver las derivadas numéricamente usando n puntos.

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Ejemplo Usar la fórmula hacia adelante de tres puntos para aproximar

, si y .

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Integración trapecial (Simpson ½)

Método de los trapecios consiste en que se suman las áreas de los trapecios; este método, también llamado Sumatoria de Riemann, puede hacerse por mínimo, por medio o por máximo, siendo más exacto realizarlo por medio (es decir: tomando como referencia el valor de la función en el centro de cada intervalo o trapecio).

Si se considera un polinomio de grado 1, es decir, una recta, y se desea obtener una fórmula para integrar fórmula entre dos puntos consecutivos usando polinomio de primer grado, se tiene

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Sustituyendo se obtiene:

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Si el intervalo es pequeño la aproximación será razonable; mas si es grande, el error también puede ser grande.

f(x) a=x0 b=x1 x

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Ejemplo Calcular la siguiente integral aplicando la regla del trapecio,

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Solución Encontrar el valor de :

Construir una tabla dividiendo en intervalos iguales los límites de integración, usando el valor de hallado; con esto se tienen seis intervalos igualmente espaciados con siete pares de puntos:

Donde:

: Longitud de cada intervalo.

: Límite inferior de la integral, también se representa por .

: Límite superior de la integral, también se representa por .

: Número de particiones, es decir, de intervalos.

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Debe recordarse que las funciones trigonométricas deben estar expresadas en radianes.

1 2 3 4

3 5 7 9

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Aplicando la fórmula generalizada

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Integración de Simpson 1/3 A diferencia de Simpson ½, 1/3 toma, de dos intervalos sucesivos, los tres puntos donde se corta a la función: el inicio del primer intervalo, la división entre los intervalos y el final del segundo. Luego se procede a considerar que estos tres puntos corresponden a una parábola, de la que, conociendo los tres pares de valores (abscisa; ordenada) se obtiene la fórmula de dicha parábola. Finalmente, por integración, se obtiene el área bajo la curva de la parábola, entre los límites de integración (inicio del primer intervalo y final del segundo).

Si se designan y como y , y se representa por un polinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en

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Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente fórmula:

Donde, en este caso, . Esta ecuación se conoce como regla  de  Simpson  1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que está dividida entre 3 en la ecuación.

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La regla de Simpson 1/3 también se puede expresar usando el formato de ecuación:

Donde y el punto a la mitad entre y , que está dato por .

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Ejemplo Con la ecuación

Integrar

Desde hasta . La integral exacta es 1.640533

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Solución

Por lo tanto, la ecuación se utiliza para calcular

Que representa un error exacto de

Que es aproximadamente 5 veces más precisa que una sola aplicación de la regla del trapecio.

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El error estimado es

Donde -2400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo.