Probabilidade e Estatística

Ewerton Rocha Vieira

Teorema de Bayes

Probabilidade condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), para P(B) > 0.

P(A|B) =P(B|A)P(A)

P(B), para P(B) > 0.

Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),

Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então

P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)

P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.

Teorema de Bayes

Probabilidade condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), para P(B) > 0.

P(A|B) =P(B|A)P(A)

P(B), para P(B) > 0.

Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),

Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então

P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)

P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.

Teorema de Bayes

Probabilidade condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), para P(B) > 0.

P(A|B) =P(B|A)P(A)

P(B), para P(B) > 0.

Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),

Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então

P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)

P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.

Teorema de Bayes

Probabilidade condicional

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), para P(B) > 0.

P(A|B) =P(B|A)P(A)

P(B), para P(B) > 0.

Usando o fato que P(B) = P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ),

Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então

P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)

P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.

Exemplo

Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então

P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)

P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.

Exemplo 1:

Exemplo

Teorema ( Bayes)Se E1,E2, . . . ,Ek forem eventos mutuamente excludentes eexaustivos e B for qualquer evento, então

P(E1|B) =P(B|E1)P(E1)

P(B|E1)P(E1) + · · ·+ P(B|Ek )P(Ek ), para P(B) > 0.

Exemplo 1:

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Notação

Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.

A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Notação

Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.

A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Notação

Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.

A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Notação

Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.

A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Notação

Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.

A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória é uma função que confere um número real acada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório.

Notação

Uma variável aleatória é denotado por uma letra maiúscula, tal comoX . Depois de um experimento ser conduzido, o valor medido davariável aleatória é denotado por uma letra minúscula, tal comox = 70 miliampères.

A faixa de uma variável aleatória X é o conjunto de todos osresultados possíveis para X .

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.

Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.

Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.

Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.

Variáveis aleatórias

Definição

Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória com umafaixa finita (ou infinita enumerável).Uma variável aleatória contínuaé uma variável aleatória com um intervalo de números reais para suafaixa.

Exemplos de variáveis aleatórias discreta: a face de umamoeda ao ser lançada, o número obtido ao jogar um dado, aproporção de partes defeituosas entre 1000 testadas, númerode bits transmitidos que foram recebidos com erros.

Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica,comprimento, pressão, temperatura, tempo, voltagem, peso.

Exemplo de variável aleatória discretaExemplo 2:

Podemos obter uma descrição gráfica dos possíveis valores de X .

Exemplo de variável aleatória discretaExemplo 2:

Podemos obter uma descrição gráfica dos possíveis valores de X .

Função de Probabilidade

Definição

Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveisx1, . . . , xn, a função de probabilidade é uma função tal que

1 f (xi) > 0,

2

n∑i=1

f (xi) = 1,

3 f (xi) = P(X = xi).

No exemplo 2 a função f (x) é uma função de probabilidade

Função de Probabilidade

Definição

Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveisx1, . . . , xn, a função de probabilidade é uma função tal que

1 f (xi) > 0,

2

n∑i=1

f (xi) = 1,

3 f (xi) = P(X = xi).

No exemplo 2 a função f (x) é uma função de probabilidade

Função de distribuição cumulativa

No exemplo 2, qual a probabilidade de encontrarmos três ou menosbits com erro. Em outras palavras, P(X ≤ 3)?

Definição

A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatóriadiscreta X, denotada por F (x), é

F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi).

Para uma variável aleatória discreta X, F (x) satisfaz as seguintespropriedades:

1 F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi),

2 0 ≤ F (x) ≤ 1,

3 Se x ≤ y, então F (x) ≤ F (y).

Função de distribuição cumulativa

No exemplo 2, qual a probabilidade de encontrarmos três ou menosbits com erro. Em outras palavras, P(X ≤ 3)?

Definição

A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatóriadiscreta X, denotada por F (x), é

F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi).

Para uma variável aleatória discreta X, F (x) satisfaz as seguintespropriedades:

1 F (x) = P(X ≤ x) =∑xi≤x

f (xi),

2 0 ≤ F (x) ≤ 1,

3 Se x ≤ y, então F (x) ≤ F (y).

Exemplos de função de distribuição cumulativa

Exemplo 3: Determine a função de probabilidade de X , a partir daseguinte função de distribuição cumulativa

F (x) =

0,6561 x ≤ 0,0,9477 0 < x ≤ 1,0,9963 1 < x ≤ 2,0,9999 2 < x ≤ 3,1 3 < x .

Exemplo 4: Suponha que uma produção diária de 850 peçasfabricadas contenha 50 delas que não obedecem aos requerimentosdo consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, semreposição. Seja a variável aleatória X o número de peças nãoconformes na amostra. Qual é a função de distribuição cumulativa deX?

Exemplos de função de distribuição cumulativa

Exemplo 3: Determine a função de probabilidade de X , a partir daseguinte função de distribuição cumulativa

F (x) =

0,6561 x ≤ 0,0,9477 0 < x ≤ 1,0,9963 1 < x ≤ 2,0,9999 2 < x ≤ 3,1 3 < x .

Exemplo 4: Suponha que uma produção diária de 850 peçasfabricadas contenha 50 delas que não obedecem aos requerimentosdo consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, semreposição. Seja a variável aleatória X o número de peças nãoconformes na amostra. Qual é a função de distribuição cumulativa deX?