AulasET1012008-2

Notas de Aula do Curso

ET101: Estatstica 1 - rea 2

Leandro Chaves Rgo, Ph.D.

2008.2

Prefcio

Estas notas de aula foram feitas para compilar o contedo de vrias referncias bibliogrcas

tendo em vista o contedo programtico da disciplina ET101-Estatstica 1 ministrada para

os cursos de graduao em Engenharia na rea 2 da Universidade Federal de Pernambuco.

Em particular, elas no contm nenhum material original e no substituem a consulta a

livros textos. Seu principal objetivo dispensar a necessidade dos alunos terem que copiar

as aulas e, deste modo, poderem se concentrar em entender o contedo das mesmas.

Recife, fevereiro de 2008.

Leandro Chaves Rgo, Ph.D.

i

Contedo

Prefcio i

1 Introduo Probabilidade 1

1.1 Denio de Conjuntos e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Operaes com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Partio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Funo Indicadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Experimento Aleatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.8 Espao Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.9 Eventos e Coleo de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.10 Freqncias Relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.11 Interpretaes de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.12 Axiomas de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.12.1 Exemplos de Medidas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.12.2 Propriedades de uma Medida de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . 12

2 Espaos Amostrais Finitos 15

2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Mtodos de Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Regra da Adio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Regra da Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Probabilidade Condicional 22

3.1 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Independncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Variveis Aleatrias 34

4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Funo de Distribuio Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Tipos de Varivel Aleatria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Varivel Aleatria Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.5 Varivel Aleatria Contnua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ii

4.6 Alguns Exemplos de Distribuies de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6.1 Aleatria ou Uniforme Discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.6.2 Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6.3 Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.6.4 Uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7 Variveis Aleatrias Mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.8 Variveis Aleatrias Multidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8.1 Funo de Distribuio Acumulada Conjunta . . . . . . . . . . . . . . 42

4.8.2 Distribuio condicional de X dada Y discreta . . . . . . . . . . . . . 454.8.3 Distribuio condicional de X dada Y contnua . . . . . . . . . . . . 464.8.4 Independncia entre Variveis Aleatrias. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.9 Funes de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Esperana e Momentos 51

5.1 O Conceito de Esperana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Denio da Esperana - Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.2 Denio da Esperana - Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Esperana de Funes de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.2 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Propriedades da Esperana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4.1 Momentos Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.5 Correlao, Covarincia, e Desigualdade de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6 Esperana Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Principais Variveis Aleatrias Discretas 65

6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Geomtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Binomial Negativa ou Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3.1 Relao entre as Distribuies Binomial e Binomial Negativa. . . . . 67

6.4 Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Hipergeomtrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.6 Poisson como um Limite de Eventos Raros de Binomial . . . . . . . . . . . . 70

6.7 A Distribuio Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Principais Variveis Aleatrias Contnuas 73

7.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Normal ou Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2.1 Tabulao da Distribuio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.3 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.4 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.5 Qui-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.6 t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

iii

7.7 A Distribuio Normal Bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8 Anlise Exploratria de Dados 82

8.1 Resumo de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.1.1 Tipos de Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.1.2 Distribuies de Freqncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.1.3 Representao Grca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.1.4 Medidas de Posio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1.5 Medidas de Disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.1.6 Quantis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9 Distribuies Amostrais 92

9.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.2 Populao e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.3 Seleo de uma Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.3.1 Amostra Aleatria Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.4 Estatsticas e Parmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.5 Distribuies Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.5.1 Distribuio Amostral da Mdia Amostral . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.5.2 Distribuio Amostral de uma Proporo . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.6 Determinao do Tamanho de uma Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10 Estimao 100

10.1 Estimativas e Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2 Propriedades de Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.3 Intervalo de Conana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.3.1 Intervalo de Conana para Mdia com Varincia Conhecida . . . . . 105

10.3.2 Intervalo de Conana para Mdia com Varincia Desconhecida . . . 108

11 Testes de Hiptese 109

11.1 Teste de Hiptese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.2 Procedimento Geral Para Testes de Hipteses . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.3 Teste de Hiptese para a Mdia de Uma Populao com Varincia Conhecida 113

11.3.1 Teste para Proporo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.3.2 Testes para Amostras Grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

11.4 Teste Sobre a Mdia de Uma Populao Normal com Varincia Desconhecida 115

11.5 Probabilidade de Signicncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.6 Signicncia Estatstica versus Signicncia Prtica . . . . . . . . . . . . . . 117

Referncias Bibliogrcas 119

iv

Captulo 1

Introduo Probabilidade

1.1 Denio de Conjuntos e Exemplos

Denio 1.1.1: Um conjunto uma coleo de elementos distintos onde os elementos no

so ordenados.

Um conjuntos pode ser especicado, listando seus elementos dentro de chaves. Por exem-

plo,

A = {0, 1, 2, 3, 5, 8, 13}, B = {0, 1, 2, . . . , 1000}.Alternativamente, um conjunto pode ser especicado por uma regra que determina os mem-

bros do conjunto, como em:

C = {x : x inteiro e positivo} ou D = {x : x par}.

Como em um conjunto a ordem dos elementos no importa, temos:

{1, 2, 3} = {2, 3, 1}.

Se um dado elemento faz parte de um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto

e denotamos isso com o smbolo . Por exemplo, 2 D = {x : x par} ou 3 E = {x :x primo}.Por outro lado, se um dado elemento no faz parte de um conjunto, dizemos que ele no

pertence ao conjunto e denotamos isso com o smbolo /. Por exemplo, 3 / D = {x : x par}ou 4 / E = {x : x primo}.

Observao 1.1.2: Precisamos ter cuidado ao distinguir entre um elemento como 2 e oconjunto contendo somente este elemento {2}. Enquanto, temos 2 F = {2, 3, 5}, {2} /F = {2, 3, 5}, pois o conjunto contendo somente o elemento 2 no pertence F .

O tamanho de um conjunto ||A|| a quantidade de elementos que ele possui, que chamado de cardinalidade. Cardinalidades podem ser nita, innita enumervel, ou innita

no-enumervel. Um conjunto nito quando existe uma funo bijetiva cujo domnio igual

a este conjunto e a imagem o conjunto dos inteiros no-negativos menores que um nmero

1

CAPTULO 1. INTRODUO PROBABILIDADE 2

nito; seus elementos podem ser contados. Um conjunto innito enumervel tem exatamente

a mesma quantidade de elementos que os naturais, ou seja, existe uma funo bijetiva cujo

domnio igual a este conjunto e a imagem igual ao conjunto dos naturais. Um conjunto

enumervel se ele for nito ou innito enumervel. Um conjunto no-enumervel se ele

no for enumervel. Por exemplo temos que os seguintes conjuntos so enumerveis:

Nn = {0, 1, 2, . . . , n 1},

Z = {x : x um inteiro},Z+ = {x : x um inteiro positivo},

Q = {x : x racional}.Por outro lado, os seguintes conjuntos so no-enumerveis:

IR = {x : x um nmero real},

(a, b) = {x : a < x < b}, onde a < b,[a, b] = {x : a x b}, onde a < b.Existem dois conjuntos especiais que nos interessaro. Em muitos problemas nos dedi-

caremos a estudar um conjunto denido de objetos, e no outros. Por exemplo, em alguns

problemas podemos nos interessar pelo conjunto dos nmeros naturais; ou em outros proble-

mas pelo conjuntos dos nmeros reais; ou ainda por todas as peas que saem de uma linha

produo durante um perodo de 24h, etc. O conjunto que contm todos os elementos que

queremos considerar chamado de conjunto universo e denotado por . Por outro lado, oconjunto especial que no possui elementos chamado de conjunto vazio e denotado por

. Este conjunto tem cardinalidade 0 e portanto nito. Por exemplo,

= {} = {x : x IR e x < x} ou = (a, a).

Dois conjuntos A e B podem ser relacionados atravs da relao de incluso (denotadapor A B, e lida A um subconjunto de B ou B contm A) quando todo elemento de A tambm elemento de B. Diz-se que A um subconjunto prprio de B quando se tem A B,A 6= , e A 6= B. Diz-se que A e B so conjuntos iguais se, e somente se, A B e B A.Se A B, ento ns tambm podemos dizer que B A.Identidade ou igualdade entre dois conjuntos A,B signica que eles tem precisamente amesma coleo de elementos. Um mtodo bsico para provar que A = B primeiro provarque A B e depois provar que B A.

1.2 Operaes com Conjuntos

Queremos estudar a importante idia de combinar conjuntos dados, a m de formamos

um novo conjunto. Conjuntos podem ser transformados atravs das seguintes operaes

Booleanas:

Autor: Leandro Chaves Rgo


1. Complementao: Ac = { : / A}. Observe que de acordo com esta denio,para todo e todo conjunto A, no existe outra opo alm de A ou Ac,alm disso no pode ser verdade que A e Ac simultaneamente.2. Unio: A B = { : A ou B}3. Interseco: A B = { : A e B}4. Diferena: AB = A Bc = { : A e / B}Se A B = , ento A e B no tem nenhum elemento em comum, e ns dizemos que Ae B so disjuntos.

Exemplo 1.2.1: Seja = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {0, 1, 5} e B = {1, 2, 3, 4}. Ento segueque Ac = {2, 3, 4, 6, 7}, A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, A B = {1}, AB = {0, 5}.

Exemplo 1.2.2: Sejam A,B,C, eD subconjuntos do conjunto universo tal que AB = ,C D = , A C e B D. Prove que A = C e B = D.Soluo: Basta provar que C A e D B. Seja C, ento como C D = , temosque / D. Logo, como B D, segue que / B. Mas como AB = , temos que A.Portanto, C A.Para provar que D B, seja D, ento como C D = , temos que / C. Logo,como A C, segue que / A. Mas como AB = , temos que B. Portanto, D B.

Relaes e propriedades das operaes Booleanas incluem as seguintes:

1. Idempotncia: (Ac)c = A

2. Comutatividade (Simetria): A B = B A e A B = B A3. Associatividade: A (B C) = (A B) C) e A (B C) = (A B) C)4. Distributividade: A (B C) = (AB) (AC) e A (B C) = (AB) (AC)5. Leis de De Morgan: (A B)c = Ac Bc e (A B)c = Ac Bc.Prova: Suponha que (A B)c. Ento, / (A B), o que por sua vez implicaque / A e / B. Logo, Ac e Bc, ou seja, (Ac Bc). Ento,(A B)c (Ac Bc). Agora suponha que (Ac Bc). Ento, Ac e Bc, oque por sua vez implica que / A e / B. Logo, / (AB), ou seja, (AB)c.Ento, (Ac Bc) (A b)c. Portanto, (Ac Bc) = (A b)c.A prova da outra Lei de Morgan anloga e deixada como Exerccio.

Observe que as Leis de De Morgan permitem que possamos expressar unies em termos

de interseces e complementos e interseces em termos de unies e complementos.

As noes de unio e interseco se estendem para colees arbitrrias de conjuntos

atravs de dois quanticadores: existe (), e para todo ().



Se temos uma coleo {A:I} de subconjuntos de indexados pelo conjunto de ndicesI, ento:

IA = { : ( I, A)} e I A = { : ( I, A)}.Por exemplo, se = 0, 1, 2, . . ., I o conjunto de inteiros positivos divisveis por 3 e

A = N = {0, 1, 2, . . . , 1}, entoIN = e I N = N3.

1.3 Produto Cartesiano

Denio 1.3.1: Produto Cartesiano. O produto Cartesiano A B de dois conjuntosdados A e B o conjunto de todos os pares ordenados de elementos, onde o primeiro pertence A e o segundo pertence B:

AB = {(a, b) : a A, b B}.

Por exemplo, se A = {1, 2, 3} e B = {c, d}, ento:AB = {(1, c), (1, d), (2, c), (2, d), (3, c), (3, d)}, eB A = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3)}.A noo de produto cartesiano pode ser estendida da seguinte maneira: Se A1, . . . , Anforem conjuntos, ento,

A1 A2 . . . An = {(a1, a2, . . . , an) : ai Ai},ou seja, o conjunto de todas as nuplas ordenadas.

Um caso especial importante surge quando consideramos o produto cartesiano de um

conjunto por ele prprio, isto , A A. Exemplos disso surgem quando tratamos do planoeuclideano, IR IR, onde IR o conjunto de todos os nmeros reais, e do espao euclideanotridimensional, representado por IR IR IR.

1.4 Conjunto das Partes

Denio 1.4.1: Dado um conjunto qualquer A, pode-se denir um outro conjunto, conhe-cido como conjuntos das partes de A, e denotado por 2A, cujos elementos so subconjuntosde A.

Exemplo 1.4.2: Seja A = {1, 2, 3}, ento temos que2A = {, A, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Pode-se provar que a cardinalidade do conjunto das partes de qualquer conjunto dado A maior que a cardinalidade de A.



1.5 Partio

Denio 1.5.1: Dado um conjunto universo , uma partio = {A, I} de umacoleo de subconjuntos de (neste caso, indexados por que toma valores no conjunto dendices I) e satisfaz:P1. Para todo 6= , A A = ;P2. IA = .

Deste modo os conjuntos de uma partio so disjuntos par a par e cobrem todo o conjunto

universo. Portanto, cada elemento pertence a um, e somente um, dos conjuntos Ade uma partio.

Exemplo 1.5.2: Se = {1, 2, 3, 4}, ento {A1, A2}, onde A1 = {1, 2, 3} e A2 = {4}, umapartio de .

Exemplo 1.5.3: A coleo de intervalos {(n, n + 1] : n Z} uma partio dos nmerosreais IR.

1.6 Funo Indicadora

sempre conveniente representar um conjunto A por uma funo IA tendo domnio (conjuntodos argumentos da funo) e contra-domnio (conjunto dos possveis valores da funo)binrio {0, 1}.

Denio 1.6.1 : Funo Indicadora. A funo indicadora IA : {0, 1} de umconjunto A dada por

IA() =

{1 se A,0 se / A.

fcil observar que I() = 1, e que I() = 0, . Note que existe umacorrespondncia 1-1 entre conjuntos e suas funes indicadoras:

A = B ( )IA() = IB().O fato que conjuntos so iguais se, e somente se, suas funes indicadoras forem idnticas

nos permitem explorar a aritmtica de funes indicadoras:

IAc = 1 IA,A B IA IB,

IAB = min(IA, IB) = IAIB,



IAB = max(IA, IB) = IA + IB IAB,IAB = max(IA IB, 0) = IAIBc ,para construir argumentos rigorosos no que se refere a relao entre conjuntos. Ou seja,

ns transformamos proposies sobre conjuntos em proposies sobre funes indicadoras

e podemos ento utilizar nossa familiaridade com lgebra para resolver perguntas menos

familiares sobre conjuntos.

Exemplo 1.6.2: Utilizando funes indicadoras, verique que A B Bc Ac.Soluo: Temos que

A B IA IB 1 IA 1 IB IAc IBc Bc Ac.

Exemplo 1.6.3: As seguintes questes no esto relacionadas umas com as outras.

a. Se IAIB for identicamente igual a zero, o que sabemos a respeito da relao entre A eB?

b. Se A Bc = B Ac, o que sabemos a respeito da relao entre A e B?c. Se I2A + I

2B for identicamente igual a 1, o que podemos concluir sobre A e B?

Soluo: Exerccio.

1.7 Experimento Aleatrio

Um experimento qualquer processo de observao. Em muitos experimentos de interesse,

existe um elemento de incerteza, ou chance, que no importa quanto ns sabemos sobre o

passado de outras performances deste experimento, ns essencialmente no somos capazes de

predizer seu comportamento em futuras realizaes. As razes para nossa falta de habilidade

para predizer so varias: ns podemos no saber de todas as causas envolvidas; ns podemos

no ter dados sucientes sobre as condies iniciais do experimento; as causas podem ser to

complexas que o clculo do seu efeito combinado no possvel; ou na verdade existe alguma

aleatoriedade fundamental no experimento. Estamos interessados em uma classe particular

de experimentos, chamados experimentos aleatrios. Os seguintes traos caracterizam um

experimento aleatrio:

(a) Se for possvel repetir as mesmas condies do experimento, os resultados do experi-

mento em diferentes realizaes podem ser diferentes. Por exemplo, jogar uma moeda

diversas vezes com bastante cuidado para que cada jogada seja realizada da mesma

maneira.

(b) Muito embora no sejamos capazes de armar que resultado particular ocorrer, sere-

mos capazes de descrever o conjunto de todos os possveis resultados do experimento.



(c) Quando o experimento for executado repetidamente, os resultados individuais pare-

cero ocorrer de uma forma acidental. Contudo, quando o experimento for repetido

um grande nmero de vezes, uma congurao denida ou regularidade surgir.

esta regularidade que torna possvel construir um modelo probabilstico. Por exemplo,

pense nas repetidas jogadas de uma moeda, muito embora caras e coroas apaream su-

cessivamente, em uma maneira arbitrria, fato emprico conhecido que, depois de um

grande nmero de jogadas, a proporo de caras e de coroas sero aproximadamente

iguais (assumindo que a moeda simtrica).

Os resultados de um experimento aleatrio so caracterizados pelos seguintes componen-

tes:

1. o conjunto de resultados possveis ;

2. a coleo de conjuntos de resultados de interesse A;3. um valor numrico P da probabilidade de ocorrncia de cada um dos conjuntos deresultados de interesse.

1.8 Espao Amostral

O conjunto de possveis resultados de um experimento aleatrio chamado de espao amos-

tral. Em um dado experimento aleatrio a especicao do espao amostral deve ser tal

que este (1) liste todos os possveis resultados do experimento sem duplicao e o faa em

um nvel de detalhamento suciente para os interesses desejados, omitindo resultados que

embora logicamente ou sicamente possveis no tenham nenhuma implicao prtica para

anlise do experimento.

Por exemplo, uma nica jogada de uma moeda pode ter o espao amostral tradicional

= {cara, coroa}, ou podemos considerar que a moeda pode sicamente car equilibradana borda = {cara, coroa, borda}. Uma outra possibilidade seria levar em considerao ascoordenadas (x, y) do centro da moeda quando ela para aps ser jogada no ar. Como vemosmuito mais se sabe sobre o resultado de uma jogada de uma moeda que os simples resultados

binrios tradicionais cara e coroa. Ns ignoramos est informao adicional usando umahiptese no mencionada que existe uma aposta com pagamentos que dependem apenas de

qual lado da moeda cai para cima e no em outras informaes.

1.9 Eventos e Coleo de Eventos

Um evento um subconjunto do espao amostral, ou seja, um conjunto de resultados

possveis do experimento aleatrio. Se ao realizarmos um experimento aleatrio, o resultado

pertence a um dado evento A, dizemos que A ocorreu. Estaremos interessados no estudo daocorrncia de combinaes de eventos. Para tanto, utilizaremos as operaes Booleanas de

conjuntos (complementar, unio, interseco, diferena) para expressar eventos combinados

de interesse.



Exemplo 1.9.1: Sejam A, B, e C eventos em um mesmo espao amostral . Expresse osseguintes eventos em funo de A, B, e C e operaes Booleanas de conjuntos.

(a) Pelo menos um deles ocorre. Resp.: A B C.(b) Exatamente um deles ocorre. Resp.: (A Bc Cc) (Ac B Cc) (Ac Bc C).(c) Apenas A ocorre. Resp.: (A Bc Cc).(d) Pelo menos dois ocorrem. Resp.: (ABCc)(ABcC)(AcBC)(ABC).(e) No mximo dois deles ocorrem. Resp. (A B C)c.(f) Nenhum deles ocorrem. Resp. (Ac Bc Cc).(g) Ambos A e B ocorrem, mas C no ocorre. Resp. (A B Cc).

Embora possa-se pensar que, dado um espao amostral, necessariamente de interesse

analisar todos os seus subconjuntos (e isto eventualmente verdadeiro), temos trs razes

para esperar que estejamos apenas interessados em alguns subconjuntos do espao amostral.

Primeiro, o espao amostral pode conter um grau de detalhamento superior ao que estamos

interessados no momento. Por exemplo, ele pode representar uma nica jogada de um dado

com 6 elementos, mas ns apenas estamos interessados em saber se o resultado par ou

mpar. Segundo, ns vamos querer associar cada evento A com uma probabilidade numricaP (A). Como essas probabilidades esto baseadas em algum conhecimento sobre a tendnciade ocorrer do evento ou no grau de nossa crena que determinado evento ocorrer, nosso

conhecimento sobre P pode no estender para todos os subconjuntos de . A terceira (etcnica) razo para limitar a coleo de eventos de interesse que condies impostas em

P pelos axiomas de Kolmogorov, que estudaremos adiante, podem no permitir que P sejadenida em todos os subconjuntos de , em particular isto pode ocorrer quando for noenumervel, mas no iremos demonstrar este fato que est fora do escopo deste curso.

Estaremos interessados em uma coleo especial A de subconjuntos do espao amostral (note que A um conjunto cujos elementos tambm so conjuntos!) que so eventos deinteresse no que se refere ao experimento aleatrio E e os quais temos conhecimento sobrea sua probabilidade. A chamado de uma -lgebra de eventos. Como veremos adiante, odomnio de uma medida de probabilidade uma -lgebra.

Denio 1.9.2: Uma lgebra de eventos F uma coleo de subconjuntos do espaoamostral que satisfaz:

1. no vazia;

2. fechada com respeito a complementos (se A F , ento Ac F);3. fechada com respeito a unies nitas (se A,B F , ento A B F).



Uma -lgebra A uma lgebra de eventos que tambm fechada com relao a uma unioenumervel de eventos,

(i Z)Ai A iZAi A.Pelas Leis de De Morgan, vemos que A fechada com respeito a interseces enumerveistambm.

Exemplo 1.9.3:

1. A menor lgebra de eventos A = {,};2. A maior lgebra de eventos o conjunto das partes de ;

3. Um exemplo intermedirio, temos:

= {1, 2, 3}, A = {, , {2}, {1, 3}}.

Se o espao amostral for nito, toda lgebra uma -lgebra, pois so existem um nmeronito de eventos diferentes. Se o espao amostral for innito, existem lgebras que no so

-lgebras, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.9.4: A coleo de conjuntos de nmeros reais nitos e co-nitos uma lgebra

que no uma -lgebra.

Exemplo 1.9.5: A -lgebra de Borel B de subconjuntos reais , por denio, a menor -lgebra contendo todos os intervalos e a -lgebra usual quando lidamos com quantidadesreais ou vetoriais. Em particular, temos que unies enumerveis de intervalos (por exemplo,

o conjunto dos nmeros racionais), seus complementos (por exemplo, o conjunto dos nmeros

irracionais), e muito mais est em B.

1.10 Freqncias Relativas

Resta-nos discutir o terceiro elemento para modelagem do raciocnio probabilstico, a asso-

ciao de uma medida numrica a eventos que representam a probabilidade com que eles

ocorrem. As propriedades desta associao so motivadas em grande parte pelas propri-

edades de freqncia relativas. Considere uma coleo de experimentos aleatrios Ei quepossuem a mesma -lgebra de eventos A e tem resultados individuais no necessariamentenumricos {i}. Fixando uma dada seqncia de resultados {i}, se estamos interessadosna ocorrncia de um dado evento A, a freqncia relativa de A nada mas que uma mdiaaritmtica da funo indicadora de A calculada em cada um dos termos da seqncia {i},ou seja,

Denio 1.10.1: A freqncia relativa de um evento A, determinada pelos resultados{1, . . . , n} de n experimentos aleatrios,

rn(A) =1

n

ni=1

IA(i) =Nn(A)

n.



Propriedades chaves da freqncia relativa so:

FR0. rn : A IR.FR1. rn(A) 0.FR2. rn() = 1.

FR3. Se A e B so disjuntos, ento rn(A B) = rn(A) + rn(B).Ns prosseguiremos como se existisse alguma base emprica ou metafsica que garanta que

rn(A) P (A), embora que o sentido de convergncia quando n cresce s ser explicado pelaLei dos Grandes Nmeros, que no ser discutida em detalhes neste curso. Esta tendncia da

freqncia relativa de estabilizar em um certo valor conhecida como regularidade estatstica.

Deste modo, P herdar propriedades da freqncia relativa rn.

1.11 Interpretaes de Probabilidade

Parece no ser possvel reduzir probabilidade a outros conceitos; ela uma noo em si

mesma. O melhor que podemos fazer relacionar probabilidade a outros conceitos atravs

de uma interpretao. Os trs mais comuns grupos de interpretao so os seguintes:

1. Clssica: baseada em uma enumerao de casos igualmente provveis.

2. Subjetiva: se refere ao grau de crena pessoal na ocorrncia do evento A e medidaatravs da interpretao comportamental de disposio a apostar ou agir.

3. Freqentista: se refere ao limite da freqncia relativa de ocorrncia do evento A emrepetidas realizaes no relacionadas do experimento aleatrio E . Note que limites defreqncia relativas so uma idealizao, pois no se pode realizar innitas realizaes

de um experimento.

1.12 Axiomas de Kolmogorov

Primeiro por razes tcnicas, fora do escopo deste curso, temos que o domnio da medida

formal de probabilidade uma lgebra de eventos que tambm fechada com relao a um

nmero enumervel de unies.

Os axiomas que descreveremos a seguir no descrevem um nico modelo probabilstico,

eles apenas determinam uma famlia de modelos probabilsticos, com os quais poderemos

utilizar mtodos matemticos para descobrir propriedades que sero verdadeiras em qualquer

modelo probabilstico. A escolha de um modelo especco satisfazendo os axiomas feito

pelo analista/estatstico familiar com o fenmeno aleatrio sendo modelado.

Motivados pelas propriedades de freqncia relativa, impe-se os primeiros quatro axio-

mas de Kolmogorov:



K0. Inicial. O experimento aleatrio descrito pelo espao de probabilidade (,A, P ) queconsiste do espao amostral , de uma -lgebra A, e de uma funo de valores reaisP : A IR.K1. No-negatividade. A A, P (A) 0.K2. Normalizao Unitria. P () = 1.

K3. Aditividade Finita. Se A, B so disjuntos, ento P (A B) = P (A) + P (B). fcil provar (tente!) utilizando induo matemtica que K3 vlida para qualquer

coleo nita de eventos disjuntos par a par, ou seja, se Ai, i = 1, 2, . . . , n, so eventosdisjuntos par a par, ento P (ni=1Ai) =

ni=1 P (Ai).Um ltimo axioma embora no seja uma propriedade de limites de freqncia relativa nem

tenha signicado em espaos amostrais nitos, foi proposto por Kolmogorov para garantir

um certo grau de continuidade da medida de probabilidade.

K4. -aditividade. Se {Ai} uma coleo enumervel de eventos disjuntos dois a dois,ento

P (i=1Ai) =i=1

P (Ai).

Note que para espaos amostrais nitos, somente existem um nmero nito de subcon-

juntos diferentes, logo para que tenhamos uma coleo enumervel de eventos disjuntos dois

a dois, um nmero enumervel destes deve ser vazio. Como veremos adiante a probabilidade

de um evento vazio nula, o que implica que para espaos amostrais nitos K3 e K4 so

equivalentes.

Denio 1.12.1: Uma funo que satisfaz K0K4 chamada de uma medida de proba-

bilidade.

1.12.1 Exemplos de Medidas de Probabilidade

Exemplo 1.12.2: Se for um conjunto nito, ento temos que a probabilidade clssicaque assume que todos os resultados so igualmente provveis, um exemplo de uma medida

de probabilidade. Neste caso, temos que

P (A) =||A||||||denido para qualquer subconjunto A de . O fato que 0 ||A|| |||| e que

||A B|| = ||A||+ ||B|| ||A B||,permitem que veriquemos que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov.

Exemplo 1.12.3: Seja = {1, 2, . . . , n} um conjunto nito, e seja P ({i}) = pi, ondepi 0, i 1 e

ni=1 pi = 1, e P (A) =

iA P ({i}). Neste caso, tambm fcil vericarque P uma medida de probabilidade vericando os axiomas.



1.12.2 Propriedades de uma Medida de Probabilidade

Teorema 1.12.4: Se P uma medida de probabilidade, ento

1. P (Ac) = 1 P (A).2. P () = 0.3. P (A) 1.

Prova: Parte 1, segue do fato que = A Ac, K2, e K3, pois

1 = P () = P (A) + P (Ac).

Parte 2, segue da Parte 1, do fato que c = , e K2, K3, pois

P () = 1 P () = 0.

Parte 3, segue do fato que 1 = P () = P (A) + P (Ac) P (A), j que P (Ac) 0 por K1.

Teorema 1.12.5: Monotonicidade. Se A B, ento P (A) P (B).

Prova: Note que B = A (B A), onde A e B A so disjuntos. Ento K3 implica queP (B) = P (A) + P (B A). O resultado segue do fato que P (B A) 0.

Corolrio 1.12.6: P (A B) max(P (A), P (B)) min(P (A), P (B)) P (A B).

Teorema 1.12.7: Uma expresso exata para a probabilidade de uma unio no-disjunta

dada por

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

Prova: Como AB = A (BA), e A e BA so disjuntos, K3 implica que P (AB) =P (A)+P (BA). E como B = (AB) (BA), AB e BA so disjuntos, K3 implicaque P (B) = P (A B) + P (B A). Logo,

P (A B) = P (A) + P (B) P (A B).

Teorema 1.12.8: Probabilidade de Parties. Se {Ai} uma partio enumervel de feita de conjuntos em A, ento para todo B A

P (B) =i

P (B Ai).



Prova: Como {Ai} uma partio, segue que

B = B = B (iAi) = i(B Ai).

O resultado segue ento por K4

.

Teorema 1.12.9: Desigualdade de Boole. Para n eventos arbitrrios {A1, . . . , An}, adesigualdade de Boole

P (ni=1Ai) ni=1

P (Ai).

Prova: Omitida.

Corolrio 1.12.10: Para n eventos arbitrrios {A1, . . . , An},

P (Ai) ni=1

P (Ai) (n 1).

Prova: Utilizando a Lei de De Morgan e a desigualdade de Boole para os eventos {Ac1, . . . , Acn},temos

P (ni=1Aci) = 1 P (Ai) ni=1

P (Aci) =ni=1

(1 P (Ai)).

Logo,

P (Ai) ni=1

P (Ai) (n 1).

O prximo teorema permite que possamos calcular de maneira exata a probabilidade

P (ni=1Ai) para n eventos arbitrrios.

Teorema 1.12.11: Princpio da Incluso-Excluso. Seja I um conjunto genrico dendices que um subconjunto no-vazio qualquer de {1, 2, . . . , n}. Para eventos arbitrrios{A1, . . . , An},

P (ni=1Ai) =

6=I{1,...,n}(1)||I||+1P (iIAi),

onde o somatrio sobre todos os 2n 1 conjuntos de ndices excluindo apenas o conjuntovazio.

No caso particular de n = 3, o princpio de incluso-excluso arma que

P (A1A2A3) = P (A1)+P (A2)+P (A3)P (A1A2)P (A1A3)P (A2A3)+P (A1A2A3).



Exemplo 1.12.12: Professor Lenidas est tentando calcular a probabilidade p = P (A)do evento A, e determinou que ela uma raiz do seguinte polinmio de grau cinco:

(p 3)(p 31)(p+ 31)(p+ 0.3)(p 0.3) = 0.

Baseado nesta fato, qual o valor de p?

Exemplo 1.12.13: Se = {a, b, c}, e a lgebra A o conjunto das partes de , e a medidade probabilidade P parcialmente denida por

P ({a, b}) = 0.5, P ({b, c}) = 0.8, P ({a, c}) = 0.7,

ento complete a especicao de P para todos os eventos em A.

Exemplo 1.12.14: Se {Ai} for uma partio enumervel de e P (Ai) = abi, i 1, entoquais as condies que a e b devem satisfazer para que P seja uma medida de probabilidade?


Captulo 2

Espaos Amostrais Finitos

2.1 Introduo

Vericamos no captulo anterior que se = {1, 2, . . . , n} um conjunto nito, ento paradeterminar a probabilidade de qualquer evento A suciente especicar a probabilidade decada eventos simples {i}, ou seja P ({i}) = pi. fcil ver que os axiomas de Kolmogorovimplicam que pi 0, i 1 e

ni=1 pi = 1, e P (A) =

iA P ({i}).Para determinarmos as probabilidades dos eventos simples, precisamos de algumas hi-

pteses adicionais. Por exemplo, se = {w1, w2, w3}, {w1} for 3 vezes mais provvel, que{w2, w3}, e {w2} for igualmente provvel a {w3}, temos que: p1 = 3(p2+ p3), p2 = p3. Logo,como p1 + p2 + p3 = 1, temos que p3 = p2 =

18, e p1 =

34.

Vimos tambm que de acordo com a interpretao clssica de probabilidade, onde o

espao amostral nito e os possveis resultados do experimento so equiprovveis, entoa probabilidade de qualquer evento A A proporcional a sua cardinalidade, isto , P (A) =||A|||||| . Portanto, importante que saibamos contar a quantidade de elementos que um evento.

2.2 Mtodos de Contagem

Nesta seo estudaremos alguns mtodos de contagem, tambm conhecidos como mtodos

de anlise combinatria. Embora conjuntos pequenos possam ser contados exaustivamente

(fora-bruta), mesmo conjuntos com tamanho moderado podem ser difceis de contar sem a

utilizao de tcnicas matemticas.

2.2.1 Regra da Adio

Suponha que um procedimento, designado por 1, possa ser realizado de n1 maneiras. Admita-se que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser realizado de n2 maneiras. Almdisso, suponha que no seja possvel que ambos os procedimentos 1 e 2 sejam realizados em

conjunto. Ento, o nmero de maneiras pelas quais poderemos realizar ou 1 ou 2 ser n1+n2.Esta regra tambm pode ser estendida da seguinte maneira: Se existirem k procedimentose o i-simo procedimento puder ser realizado de ni maneiras, i = 1, 2, . . . , k, ento, o nmero

15

CAPTULO 2. ESPAOS AMOSTRAIS FINITOS 16

de maneiras pelas quais poderemos realizar ou o procedimento 1, ou o procedimento 2, . . .,ou o procedimento k, dado por n1 + n2 + . . . + nk, supondo que dois quaisquer deles nopossam ser realizados conjuntamente.

Exemplo 2.2.1: Suponha que estejamos planejando uma viagem e devamos escolher entre

o transporte por nibus ou por trem. Se existirem trs rodovias e duas ferrovias, ento

existiro 3 + 2 = 5 caminhos disponveis para a viagem.

2.2.2 Regra da Multiplicao

Suponha que um procedimento designado por 1 possa ser executado de n1 maneiras. Admita-se que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser executado de n2 maneiras.Suponha tambm que cada maneira de executar 1 possa ser seguida por qualquer maneira

para executar 2. Ento o procedimento formado por 1 seguido de 2 poder ser executado de

n1 n2 maneiras.Obviamente, esta regra pode ser estendida a qualquer nmero nito de procedimentos. Se

existirem k procedimentos e o i-simo procedimento puder ser executado de ni maneiras, i =1, 2, . . . , k, ento o procedimento formado por 1, seguido por 2,. . . , seguido pelo procedimentok, poder ser executado de n1 n2 nk maneiras.

Exemplo 2.2.2: Quantos divisores inteiros e positivos possui o nmero 360? Quantos desses

divisores so pares? Quantos so mpares? Quantos so quadrados perfeitos?

Soluo: 360 = 23 32 5. Os divisores inteiros e positivos de 360 so os nmerosda forma: 2a 3b 5c, onde a {0, 1, 2, 3}, b {0, 1, 2}, e c {0, 1}. Portanto, existem4 3 2 = 24 maneiras de escolher os expoentes a, b, c. Logo h 24 divisores.Para o divisor ser par, a no pode ser zero. Ento, existem 332 = 18 divisores pares.Por outro lado, para o divisor ser mpar, a tem que ser zero. Logo, existem 1 3 2 = 6divisores mpares. Por m para o divisor ser quadrado perfeito, os expoentes tem que ser

pares. Logo, existem 2 2 1 = 4 divisores quadrados perfeitos.

Exemplo 2.2.3: De quantos modos o nmero 720 pode ser decomposto em um produto

de dois inteiros positivos? Aqui consideramos, naturalmente, 8 90 como sendo o mesmoproduto que 90 8. E o nmero 144?Soluo: 720 = 24 32 5. Os divisores inteiros e positivos de 720 so os nmeros daforma: 2a 3b 5c, onde a {0, 1, 2, 3, 4}, b {0, 1, 2}, e c {0, 1}. Portanto, existem5 3 2 = 30 maneiras de escolher os expoentes a, b, c. Logo h 30 divisores. Observe quecomo 720 no um quadrado perfeito, para cada divisor x de 720 existe um outro divisory 6= x de 720 tal que x y = 720. Portanto, cada produto contm dois divisores diferentesde 720. Como existem 30 divisores, existem 15 produtos diferentes.

144 = 24 32. Seguindo o mesmo raciocnio anterior, temos 5 3 = 15 divisores de 144.Note que 144 = 122 e este constitui um produto de inteiros positivos que igual a 144. Paraos demais produtos sempre temos que eles contm dois inteiros positivos diferentes que so

divisores de 144. Como existem 14 divisores de 144 diferentes de 12, temos que existem 7

produtos envolvendo estes divisores. Logo, temos um total de 8 produtos diferentes.



Exemplo 2.2.4: O conjunto A possui 4 elementos e, o conjunto B, 7 elementos. Quantasfunes f : A B existem? Quantas delas so injetoras?Soluo: Note que para cada elemento de A temos 7 opes de valores diferentes. Como

A contm 4 elementos, existem 7 7 7 7 = 74 funes diferentes. Recorde que umafuno injetora se f(a) 6= f(b) sempre que a 6= b. Portanto, no podemos repetir o mesmoelemento de B como imagem de dois elementos de A, logo existem 7654 = 840 funesinjetoras.

Exemplo 2.2.5: Em uma banca h 5 exemplares iguais da Veja, 6 exemplares iguais da

poca e 4 exemplares iguais da Isto . Quantas colees no-vazias de revistas dessa

banca podemos formar?

Soluo: Note que cada coleo de revistas vai ser composta por a revistas Veja, brevistas poca, e c revistas Isto , onde 0 a 5, 0 b 6, 0 c 4, e pelo menos 1 dea, b, ou c diferente de zero. Ento, temos 6 7 5 1 = 210 1 = 209 diferentes coleesno-vazias destas revistas.

Amostragem com Reposio

Dado um conjunto com n elementos distintos, o nmero n,r de maneiras de selecionaruma seqncia distinta de comprimento r escolhida desse conjunto com repetidas seleesdo mesmo elemento sendo permitida (amostragem com repetio) dada por nr, j queestamos repetindo o mesmo procedimento r vezes, e cada procedimento tem n maneiras deser executado.

Este resultado tambm se aplica ao nmero de resultados possveis em r jogadas de umamoeda (n = 2), ou de um dado (n = 6), ou o nmero de bytes (r = 8, n = 2) (Um byte uma seqncia ordenada de comprimento 8 de 0's e 1's).

Exemplo 2.2.6: Nmero de Seqncias Binrias ou Subconjuntos. O nmero de

seqncias binrias de comprimento r igual a 2r pois neste caso temos para cada posioi da seqncia ni = 2. O nmero de subconjuntos de um dado conjunto ||A|| = r pode serdeterminado enumerando A = {a1, a2, a3, . . . , ar} e descrevendo cada subconjunto B de Apor uma seqncia binria

(b1, b2, . . . , br)

, onde bi = 1 se ai B e bi = 0, caso contrrio. Como existem 2r destas seqncias, entoexistem 2r subconjuntos de um conjunto de r elementos. Portanto, se ||A|| = r, o conjuntodas partes de A, possui 2r elementos, o que explica a notao exponencial do conjunto daspartes.

Amostragem sem Reposio

Dado um conjunto com n elementos distintos, o nmero (n)r de maneiras de selecionar umaseqncia distinta de comprimento r escolhida desse conjunto com repetidas selees domesmo elemento no sendo permitida (amostragem sem repetio) dada por

(n)r = n(n 1) (n r + 1) =r1i=0

(n i),



j que no primeiro procedimento (escolha do primeiro elemento da seqncia) temos n ma-neiras de execut-lo, no segundo procedimento (escolha do segundo elemento da seqncia)

temos n 1 maneiras de execut-lo, . . ., e no r-simo e ltimo procedimento (escolha dor-simo elemento da seqncia) temos n r + 1 maneiras de execut-lo. Este nmero deseqncias tambm chamado na literatura do nmero de arranjos quando temos n elemen-tos distintos e queremos escolher r deles onde a ordem de escolha importante.Um caso particular de amostragem sem reposio quando queremos saber o nmero de

permutaes de um conjunto de n elementos distintos. Neste caso temos que r = n, ento onmero de permutaes dado por

n! = (n)n = n(n 1) 1,

onde n! conhecida como funo fatorial. Em termos, de funo fatorial, ns podemosescrever:

(n)r =n!

(n r)! .

Propriedades da funo fatorial n! incluem as seguintes:

0! = 1! = 1 e n! = n(n 1)!.

Exemplo 2.2.7: Se A um conjunto de n elementos, quantas so as funes f : A Abijetoras?

Soluo: Temos que garantir que cada elemento de A tem uma imagem diferente. ComoA nito e tem n elementos, garante-se deste modo que f tambm sobrejetora e, portanto,bijetora. Ento, o primeiro elemento de A tem n opes, o segundo n 1 opes, at queo ltimo elemento de A tem somente uma opo disponvel. Portanto, existem n! funesbijetoras f : A A.

Exemplo 2.2.8: De quantos modos possvel colocar r rapazes e m moas em la de modoque as moas permaneam juntas?

Soluo: Primeiro temos r+1 opes de escolher o lugar das moas. Em seguida, temosr! maneiras de escolher a posio dos rapazes entre si, e m! maneiras de escolher a posiodas moas entre si. Portanto, temos (r + 1)r!m! modos diferentes de escolha.

Exemplo 2.2.9: Quantas so as permutaes simples dos nmeros 1, 2, . . . , 10 nas quaiso elemento que ocupa o lugar de ordem k, da esquerda para a direita, sempre maior quek 3?Soluo: Comecemos escolhendo os nmeros da direita para esquerda. Observe que

o nmero no lugar de ordem 10, tem que ser maior que 7, portanto existem 3 opes. Onmero no lugar de ordem 9, tem que ser maior que 6, existem, portanto, 3 opes visto

que um dos nmeros maiores que 6 j foi utilizado na ltima posio. De maneira similar

pode-se ver que existem 3 opes para os nmeros que ocupam do terceiro ao oitavo lugar.

O nmero no lugar de ordem 2, tem somente 2 opes, pois oito nmeros j foram escolhidos

anteriormente. Finalmente, resta apenas um nmero para o lugar de ordem n. Portanto,existem 2 38 permutaes deste tipo.



Enumerao de Conjuntos: Coecientes Binomiais

O nmero de conjuntos, ou colees no ordenadas, de tamanho r escolhidas de um conjuntouniverso de tamanho n, onde, como apropriado para conjuntos, no permitido a duplicaode elementos (amostragem sem repetio), dado pelo coeciente binomial:(

n

r

)=

(n)rr!

=n!

(n r)!r! .

Para vericar isto, note que o nmero de colees ordenadas de tamanho r sem repetio (n)r. Como os elementos de cada seqncia de comprimento r so distintos, o nmero depermutaes de cada seqncia r!. Porm, utilizando a regra da multiplicao, o procedi-mento de escolhermos uma coleo ordenada de r termos sem repetio igual a primeiroescolher uma coleo no-ordenada de r termos sem repetio e depois escolhermos umaordem para esta coleo no ordenada, ou seja, temos que

(n)r =

(n

r

) r!,

de onde segue o resultado.

O coeciente binomial tem as seguintes propriedades:(n

r

)=

(n

n r),

(n

0

)= 1,

(n

1

)= n,

(n

r

)= 0 se n < r.

Note que o coeciente binomial tambm igual ao nmero de subconjuntos de tamanho

r que pode ser formado de um conjunto de n elementos. Como j vimos que, o nmero totalde subconjuntos de um conjunto de tamanho n 2n, temos que

2n =nr=0

(n

r

).

Os nmeros

(nr

)so chamados de coecientes binomiais, porque eles aparecem como

coecientes na expresso binomial (a + b)n. Se n for um inteiro positivo, (a + b)n = (a +b)(a+ b) (a+ b). Quando a multiplicao tiver sido executada, cada termo ser formadode k elementos de a e de (n k) elementos de b, para k = 0, 1, 2, . . . , n. Mas quantos termosda forma akbnk existiro? Simplesmente contaremos o nmero de maneiras possveis deescolher k dentre os n elementos a, deixando de lado a ordem (onde o i-simo elemento acorresponde ao i-simo fator do produto acima). Mas isto justamente dado por

(nk

). Da

obtm-se o que conhecido como o Teorema Binomial:

(a+ b)n =n

k=0

(n

k

)akbnk.

Exemplo 2.2.10: Dentre oito pessoas, quantas comisses de trs membros podem ser es-

colhidas, desde que duas comisses sejam a mesma comisso se forem constitudas pelas

mesmas pessoas (no se levando em conta a ordem em que sejam escolhidas)? A resposta

dada por

(83

)= 56 comisses possveis.



Exemplo 2.2.11: Com oito bandeiras diferentes, quantos sinais feitos com trs bandeiras

diferentes se podem obter? Este problema parece-se muito com o exemplo anterior, mas

neste caso a ordem acarreta diferena e por isso temos (8)3 = 336 sinais.

Exemplo 2.2.12: Um grupo de oito pessoas formado de cinco homens e trs mulheres.

Quantas comisses de trs pessoas podem ser constitudas, incluindo exatamente dois ho-

mens? Aqui deveremos fazer duas coisas, escolher dois homens (dentre cinco) e escolher duas

mulheres (dentre trs). Da obtemos como nmero procurado

(52

)(31

)= 30 comisses.

Exemplo 2.2.13: Quantos seqncias binrias de comprimento n contm no mximo trsnmeros 1? Neste caso, temos quatro casos possveis: todas seqencias que no contm

1, todas seqncias que contm apenas um nmero 1, todas seqncias que contm dois

nmeros 1, e todas as seqncias que contm trs nmeros 1. Para 0 r n, temos queexistem exatamente

(nr

)seqncias binrias com r nmeros 1. Portanto, pela regra da adiotemos que existem (

n

0

)+

(n

1

)+

(n

2

)+

(n

3

)seqncias binrias de comprimento n contendo no mximo trs nmeros 1.

Exemplo 2.2.14: Quantas seqncias de cara e coroa de comprimento n contm pelo menos1 cara? Neste caso, note que apenas uma seqncia no contm nenhuma cara (a seqncia

que contm apenas coroa). Como o nmero total de seqncias de cara e coroa de compri-

mento n igual a 2n, temos ento 2n 1 seqncias de comprimento n contendo pelo menosuma cara.

Exemplo 2.2.15: Determine o coeciente de x3 no desenvolvimento de (x4 1x)7.Soluo: O termo genrico do desenvolvimento (

7

k

)(x4)k(1

x)7k = (1)7k

(7

k

)x5k7.

Portanto, temos o termo x3 se 5k 7 = 3, o que implica que k = 2. Logo, o coeciente dex3 (1)5(7

2

)= 21.

Contagem Multinomial

Considere que temos r tipos de elementos e ni cpias indistinguveis do elemento do tipo i.Por exemplo, a palavra probabilidade tem duas cpias de cada uma das letras a,b,d,i e uma

cpia de cada uma das letras l,p,r,o,e. O nmero de seqncias ordenadas de comprimento

n =r

i=1 ni dado por:(n

n1

)(n n1n2

)(n n1 n2

n3

) 1 = n!r

i=1 ni!.

Esta quantidade conhecida como coeciente multinomial e denotada por:(n

n1 n2 . . . nr

),



onde n =r

i=1 ni.Para vericar esta contagem, note que das n posies na seqncia de comprimento n,ns podemos escolher n1 posies para os n1 elementos indistinguveis do tipo 1 de

(nn1

)maneiras. Das n n1 posies restantes na seqncia, podemos escolher n2 posies paraos n2 elementos indistinguveis do tipo 2 de

(nn1n2

)maneiras. Finalmente, aps repetir este

processo r 1 vezes, restam-nos nr posies na seqncia para os nr elementos do tipo r,que s podem ser escolhidas de uma nica maneira. Utilizando o mtodo da multiplicao, o

nmero total de seqncias possveis produto do nmero de maneiras que podemos colocar

os r tipos de elementos.O coeciente multinomial tambm calcula o nmero de parties de um conjunto nelementos em r subconjuntos com tamanhos dados n1, n2, . . . , nr. Aplicando-se o mesmoargumento que utilizamos para demonstrar o Teorema Binomial, pode-se provar a seguinte

generalizao conhecida como Teorema Multinomial:

(x1 + x2 + . . .+ xr)n =

ni1=0

ni1i2=0

nj

Captulo 3

Probabilidade Condicional

3.1 Probabilidade Condicional

Como vimos no captulo anterior, existem vrias possveis interpretaes de probabilidade.

Por exemplo, pode-se interpretar probabilidade de um evento A como um limite das freqn-cias relativas de ocorrncia do evento A em realizaes independentes de um experimento.Por outro lado, a interpretao subjetiva de probabilidade associa a probabilidade de um

evento A com o grau de crena pessoal que o evento A ocorrer. Em ambos os casos, pro-babilidade baseada em informao e conhecimento. Reviso desta base de informao ou

conhecimento pode levar a reviso do valor da probabilidade. Em particular, conhecimento

que determinado evento ocorreu pode inuenciar na probabilidade dos demais eventos.

Considerando-se a interpretao freqentista de probabilidade, suponha que estejamos

interessados em saber qual a probabilidade de um dado evento A, visto que sabe-se que umdado evento B ocorreu. Suponha que realizasse um experimento n vezes das quais o eventoA (resp., B e AB) ocorre NA (resp., NB > 0 e NAB) vezes. Seja rA = NA/n a freqnciarelativa do evento A nestas n realizaes do experimento. A probabilidade condicional deA dado que sabe-se que B ocorreu segundo esta interpretao freqentista, sugere que eladeve ser igual ao limite das freqncias relativas condicionais do evento A dado o evento B,isto , ela deve ser o limite da razo NAB/NB quando n tende ao innito. fcil provarque esta razo igual a rAB/rB, que por sua vez segundo a interpretao freqentista deprobabilidade aproximadamente igual a P (A B)/P (B) para valores grandes de n.Considerando-se uma interpretao mais subjetiva suponha que a incerteza de um agente

descrita por uma probabilidade P em (,A) e que o agente observa ou ca sabendo queo evento B ocorreu. Como o agente deve atualizar sua probabilidade P (|B) de modo aincorporar esta nova informao? Claramente, se o agente acredita que B verdadeiro,ento parece razovel requerer que

P (Bc|B) = 0 (3.1)

Em relao aos eventos contidos em B, razovel assumir que sua chance relativa per-manea inalterada se tudo que o agente descobriu foi que o evento B ocorreu, ou seja, se

22

CAPTULO 3. PROBABILIDADE CONDICIONAL 23

A1, A2 B com P (A2) > 0, entoP (A1)

P (A2)=P (A1|B)P (A2|B) (3.2)

Segue que (3.1) e (3.2) determinam completamente P (|B) se P (B) > 0.Teorema 3.1.1: Se P (B > 0) e P (|B) uma medida de probabilidade em que satisfaz(3.1) e (3.2), ento

P (A|B) = P (A B)P (B)

.

Prova: Como P (|B) uma medida de probabilidade e satisfaz P (Bc|B) = 0, ns temosque P (B|B) = 1 P (Bc|B) = 1. Considerando A1 = A e A2 = B em (3.2), temosento P (A|B) = P (A)

P (B)para A B. Se A no um subconjunto de B, temos que A =

(A B) (A Bc). Como (A B) e (A Bc) so eventos disjuntos, temos P (A|B) =P (AB|B)+P (ABc|B). Como ABc Bc e P (Bc|B) = 0, temos que P (ABc|B) = 0.Como A B B, usando o caso anterior

P (A|B) = P (A B|B) = P (A B)P (B)

.

Deste modo as interpretaes freqentista e subjetivista de probabilidade justicam a

seguinte denio.

Denio 3.1.2: Seja (,A, P ) um espao de probabilidade. Se A,B A e P (B) > 0 aprobabilidade condicional de A dado B denida por

P (A|B) = P (A B)P (B)

Vamos provar que para um evento xo B que satisfaz P (B) > 0, P (|B) satisfaz osaxiomas K1-K4 acima e realmente uma medida de probabilidade. Para provar K1, noteque para todo A A, como P (A B) 0, ns temos

P (A|B) = P (A B)P (B)

0.Para provar K2, note que B = B, ento

P (|B) = P ( B)P (B)

=P (B)

P (B)= 1.

Finalmente, para provar K4 (que implica K3), note que se A1, A2, . . . so mutuamente ex-clusivos A1 B,A2 B, . . . tambm o so, ento

P (iAi|B) = P ((iAi) B)P (B)

=P (i(Ai B))

P (B)

=

i P (Ai B)P (B)

=i

P (Ai|B).

A probabilidade condicional tambm satisfaz as seguintes propriedades:



1. P (B|B) = 1;2. P (A|B) = P (A B|B);3. se A B, ento P (A|B) = 1;4. P (A B|C) = P (A|B C)P (B|C).Fazendo C = na propriedade 4 acima, temos que:

P (A B) = P (A|B)P (B).

Utilizando induo matemtica, pode-se facilmente provar que

P (A1 A2 . . . An) = P (A1)P (A2|A1) . . . P (An|A1 . . . An1).

Um mtodo de se obter uma probabilidade (incondicional) de uma probabilidade con-

dicional utilizando o Teorema da Probabilidade Total. Antes de enunciar este teorema

precisamos recordar o que uma partio do espao amostral. Uma seqncia de even-

tos A1, A2, A3, . . . uma partio do espao amostral se estes eventos so mutuamenteexclusivos e contm todos os elementos de (iAi = ).

Teorema 3.1.3: Seja a seqncia de eventos B1, B2, . . . uma partio de , ento paratodo A A

P (A) =

i:P (Bi)6=0P (A|Bi)P (Bi)

Prova:

Como B1, B2, . . . uma partio de , temos que

A = A = A (iBi) = i(A Bi).Como os eventos Bi's so mutuamente exclusivos, os eventos (A Bi)'s tambm somutuamente exclusivos. Ento axioma K3 implica que

P (A) = P (i(A Bi)) =i

P (A Bi)

=

i:P (Bi)6=0P (A Bi) =

i:P (Bi) 6=0

P (A|Bi)P (Bi).

Se ns interpretarmos a partio B1, B2, . . . como possveis causas e o evento A corres-ponda a um efeito particular associado a uma causa, P (A|Bi) especica a relao estocsticaentre a causa Bi e o efeito A.Por exemplo, seja {D,Dc} uma partio do espao amostral, onde o evento D signicaque um dado indivduo possui uma certa doena. Seja A o evento que determinado teste para



o diagnstico da doena deu positivo. Ento, P (A|Dc) descreve a probabilidade do exame dpositivo mesmo que o paciente esteja saudvel, a chamada probabilidade de falso positivo.

P (Ac|D) a probabilidade do exame d negativo mesmo que o paciente esteja doente, achamada probabilidade de falso negativo. Estas probabilidades determinam a qualidade do

teste, quanto menores as probabilidades de falso negativo e falso positivo melhor a qualidade

do teste. Caso as probabilidades P (D), P (A|D), P (A|Dc) sejam conhecidas pode-se usando oTeorema da Probabilidade Total obter a probabilidade incondicional de determinado exame

dar positivo P (A). Porm geralmente, o que se busca saber que dado que o resultado deum exame deu positivo qual a probabilidade de que o indivduo esteja doente. Pode-se obter

esta probabilidade utilizando a famosa frmula de Bayes:

P (D|A) = P (A D)P (A D) + P (A Dc) =

P (A|D)P (D)P (A|D)P (D) + P (A|Dc)P (Dc) .

Mais geralmente, quando temos uma partio B1, B2, . . ., temos que a frmula de Bayes dada por:

P (Bi|A) = P (A Bi)j P (A Bj)

=P (A Bi)

j:P (Bj)6=0 P (A Bj)

=P (A|Bi)P (Bi)

j:P (Bj)6=0 P (A|Bj)P (Bj).

fcil de provar esta frmula usando o Teorema da Probabilidade Total. As proba-

bilidades P (Bi) so usualmente chamadas de probabilidades a priori e as probabilidadescondicionais P (Bi|A) so chamadas de probabilidades a posteriori. O seguinte exemploilustra uma aplicao da frmula de Bayes.

Exemplo 3.1.4: Considere uma imagem formada por n m pixels com a k-sima linhacontendo dk( m) pixels defeituosos. No primeiro estgio do experimento uma linha escolhida ao acaso e ns no sabemos qual foi a escolha. Ns ento examinamos um pixel

selecionada ao acaso nesta linha e descobrimos que o pixel defectivo (chamamos este evento

de D). Qual a probabilidade de que este pixel defeituoso esteja na linha k? Seja R = k oevento que este pixel pertencia a k-sima linha da imagem. A frmula de Bayes nos permitedeterminar que dado que

P (R = k) =1

ne P (D|R = k) = dk

m,

ns temos que

P (R = k|D) =1ndkmn

i=11ndim

=dkni=1 di

.

Ento, mesmo que a linha tenha inicialmente sido escolhida ao acaso, dado o evento que

encontramos ao acaso um pixel defectivo nesta linha, agora mais provvel que seja uma

linha contendo um nmero grande de pixels defectivos dk.



Exemplo 3.1.5: Uma urna contm 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessiva-

mente e sem reposio, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade da primeira bola

ser branca sabendo que a segunda bola branca.

Soluo: Sejam B1 e B2 os eventos a primeira bola branca e a segunda bola branca,respectivamente. Queremos calcular P (B1|B2). Utilizando a frmula de Bayes, temos

P (B1|B2) = P (B2|B1)P (B1)P (B2|B1)P (B1) + P (B2|Bc1)P (Bc1)

.

Mas P (B2|B1) = 39 , P (B2|Bc1) = 49 , P (B1) = 410 e P (Bc1) = 610 . Logo,

P (B1|B2) =39 410

39 410+ 4

9 610

=21525

=1

3.

Embora probabilidade condicional seja bastante til, ela sofre de alguns problemas, em

particular quando se quer tratar de eventos de probabilidade zero. Tradicionalmente, se

P (B) = 0, ento P (A|B) no denida. Isto leva a um nmero de diculdades los-cas em relao a eventos com probabilidade zero. So eles realmente impossveis? Caso

contrrio, quo improvvel um evento precisa ser antes de ele ser atribudo probabilidade

zero? Deve um evento em algum caso ser atribudo probabilidade zero? Se existem eventos

com probabilidade zero que no so realmente impossveis, ento o que signica condicio-

nar em eventos de probabilidade zero? Por exemplo, considere o espao de probabilidade

([0, 1],B, ) onde B a -lgebra de Borel restrita a eventos contidos em [0, 1] e umamedida de probabilidade na qual todo intervalo em [0, 1] possui probabilidade igual ao seucomprimento. Seja B = {1/4, 3/4} e A = {1/4}. Como P (B) = 0, P (A|B) no denida.Porm parece razovel assumir que neste caso P (A|B) = 1/2 j que intuitivamente implicaque todos os estados so equiprovveis, mas a denio formal de probabilidade condicional

no nos permite obter esta concluso.

Alguns dos problemas mencionados no pargrafo anterior podem ser tratados considerando-

se probabilidades condicionais (e no probabilidade incondicionais) como a noo fundamen-

tal, porm a discusso destes modelos est fora do escopo deste curso.

Exemplo 3.1.6: Se P (C|D) = 0, 4 e P (D|C) = 0, 5, que evento mais provvel C ou D?Soluo:

Exemplo 3.1.7: Se P (E) = 0, 4 e P (F ) = 0, 7, o que pode-se concluir sobre P (E|F )?Soluo: Por denio, temos que:

P (E|F ) = P (E F )P (F )

.

Porm, sabemos que max(P (E) + P (F ) 1, 0) P (E F ) min(P (E), P (F )). Logo,0, 1 P (E F ) 0, 4, portanto

0, 1

0, 7 P (E|F ) 0, 4

0, 7.



Exemplo 3.1.8: (Paradoxo de Monty Hall)Monty Hall foi um popular apresentador de

programa de jogos em TV cujo jogo comeava mostrando ao participante 3 portas fechadas

d1, d2, d3, e atrs de apenas uma delas havia um prmio valioso. O participante selecionavauma porta, por exemplo, d1, mas antes que a porta fosse aberta, Monty Hall, que sabia emque porta estava o prmio, por exemplo, d2, abria a porta restante d3, que no continhao prmio. O participante tinha ento permisso para car com sua porta original, d1, ouescolher a outra porta fechada. A pergunta se melhor car com a porta original ou trocar

de porta. Vamos agora utilizar a frmula de Bayes para analisar este problema. Seja G umaporta escolhida aleatoriamente para conter o prmio; Y a porta que o participante escolheprimeiro; e M a porta que Monty Hall abre. O participante no tem nenhum conhecimentoa priori sobre a localizao do prmio, ou seja ele considera todas as portas equiprovveis, e

isto pode ser modelado por:

P (G = di|Y = dj) = 13;

todas as portas tem a mesma probabilidade de conter o prmio no importa qual porta o

participante escolhe. Se o participante escolher uma porta que no contm o prmio, Monty

Hall necessariamente ter de abrir a porta que no contm o prmio, isto pode ser modelado

por:

P (M = di1|Y = di2 , G = di3) = 1,onde i1, i2, i3 {1, 2, 3} e so distintos. Se o participante escolher corretamente, por exemplo,Y = G = di2 , ento assumimos que Monty Hall escolhe aleatoriamente entre as outras duasoutras portas:

P (M = di1|Y = G = di2) =1

2, para di1 6= di2 .1

Para determinar se o participante deve trocar de porta, devemos calcular

P (G = d1|Y = d2,M = d3) = P (G = d1, Y = d2,M = d3)P (Y = d2,M = d3)

=P (M = d3|G = d1, Y = d2)P (G = d1|Y = d2)P (Y = d2)

P (M = d3|Y = d2)P (Y = d2)=P (M = d3|G = d1, Y = d2)P (G = d1|Y = d2)

P (M = d3|Y = d2)=

1/3

P (M = d3|Y = d2)Para determinar o valor de P (M = d3|Y = d2) utilizamos o Teorema da Probabilidade Total1

A soluo depende como resolvemos este caso.



e a denio de probabilidade condicional:

P (M = d3|Y = d2) = P (Y = d2,M = d3)P (Y = d2)

=P (Y = d2,M = d3, G = d1) + P (Y = d2,M = d3, G = d2) + P (Y = d2,M = d3, G = d3)

P (Y = d2)

=P (M = d3|Y = d2, G = d1)P (G = d1|Y = d2)P (Y = d2)

P (Y = d2)

+P (M = d3|Y = d2, G = d2)P (G = d2|Y = d2)P (Y = d2)

P (Y = d2)

+P (M = d3|Y = d2, G = d3)P (G = d3|Y = d2)P (Y = d2)

P (Y = d2)

= P (M = d3|Y = d2, G = d1)P (G = d1|Y = d2)+P (M = d3|Y = d2, G = d2)P (G = d2|Y = d2)+P (M = d3|Y = d2, G = d3)P (G = d3|Y = d2)= 1 1

3+1

2 13+ 0 =

1

2.

Logo, P (G = d1|Y = d2,M = d3) = 23 , e o participante deve trocar de porta de sua escolhaoriginal d2 para d1!

Exemplo 3.1.9: Seja D o evento que um indivduo selecionado ao acaso de uma popu-lao tem uma doena particular, Dc seu complemento. A probabilidade que um indivduoselecionado ao acaso nesta populao tenha determinada dena pd. Existe um teste paradiagnstico desta doena que sempre acusa presena da doena quando o indivduo tem a

doena. Contudo, quando o indivduo no tem a doena, o teste reporta falsamente que

o indivduo tem a doena com probabilidade pt. Seja TP o evento que o teste reportapositivamente que o indivduo tem a doena. Formalmente, temos:

P (D) = pd, P (TP |D) = 1, P (TP |Dc) = pt.

Um indivduo deve estar interessado em saber a probabilidade P (D|TP ) que ele tenha adoena dado que o teste deu positivo. Se, por exemplo, a doena for rara e pd = 0, 001, e oteste reportar falsamente com probabilidade pequena pt = 0, 05, veremos que apesar destapequena probabilidade do teste da um resultado errado, a probabilidade do indivduo ter a

doena pequena. Pela frmula de Bayes

P (D|TP ) = P (TP |D)P (D)P (TP |D)P (D) + P (TP |Dc)P (Dc) =

pdpd + pt(1 pd) = 0, 02.

Exemplo 3.1.10: Sabemos que os eventos {B1, B2, B3} so disjuntos par a par e que suaunio igual ao espao amostral. Estes eventos tem as seguintes probabilidades P (B1) = 0, 2e P (B2) = 0, 3. Existe um outro evento A que sabemos que P (A|B1) = 0, 3; P (A|B2) = 0, 4;e P (A|B3) = 0, 1. Calcule:



(a) P (A)

(b) P (B2|A)

Exemplo 3.1.11: Suponha que todos os bytes tenham a mesma probabilidade. Seja W onmero de 1's em um byte. Considere os seguintes eventos:

A = {O primeiro e o segundo bit so iguais a 1, e}B = {W um nmero mpar.}Calcule:

(a) P (A)

(b) P (B)

(c) P (B|A)(d) P (A|B)Soluo:

P (A) =||A|||||| =

26

28=

1

4.

P (B) =||B|||||| =

(81

)+(83

)+(85

)+(87

)28

=1

2.

P (B|A) = P (A BP (A)

,

onde P (A B) = ||AB||

=(61)+(

63)+(

65)

28= 1

8. Portanto,

P (B|A) =1814

=1

2.

P (A|B) = P (A B)B

=1812

=1

4.

Exemplo 3.1.12: Se jogarmos dois dados um aps o outro e observamos o evento que

a soma dos dois dados igual a 9, ento qual a probabilidade do primeiro dado ter dado

resultado 4?

Soluo:

P (A|B) = P (A B)P (B)

=136436

=1

4.

Exemplo 3.1.13: Em um teste de mltipla escolha, a probabilidade do aluno saber a

resposta da questo p. Havendom escolhas, se ele sabe a resposta ele responde corretamentecom probabilidade 1; se no sabe ele responde corretamente com probabilidade

1m.



(a) Qual a probabilidade que a pergunta foi respondida corretamente?

(b) Qual a probabilidade que o aluno sabia a resposta dado que a pergunta foi respondida

corretamente?

Soluo: Para a parte (a), usamos o Teorema da Probabilidade Total:

P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) = 1 p+ 1m(1 p).

Para a parte (b), usamos a frmula de Bayes

P (B|A) = P (A|B)P (B)P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc) =

1 p1 p+ 1

m(1 p)

3.2 Independncia

O que exatamente signica que dois eventos so independentes? Intuitivamente, isto signi-

ca que eles no tm nada haver um com o outro, eles so totalmente no relacionados; a

ocorrncia de um no tem nenhuma inuncia sobre o outro. Por exemplo, suponha que duas

diferentes moedas so lanadas. A maioria das pessoas viria os resultados desses lanamentos

como independentes. Portanto, a intuio por trs da frase o evento A independente doevento B que nosso conhecimento sobre a tendncia para A ocorrer dado que sabemos queB ocorreu no alterada quando camos sabendo que B ocorreu. Ento, usando probabi-lidades condicionais podemos formalizar esta intuio da seguinte forma, A independentede B se P (A|B) = P (A). Mas usando a denio de probabilidade condicional, chega-se aseguinte concluso A independente de B se P (A B) = P (A)P (B). Como esta ltimaexpresso denida inclusive para o caso de P (B) = 0, ela a expresso adotada como adenio de independncia entre eventos.

Denio 3.2.1: O evento A independente do evento B se P (A B) = P (A)P (B).

Note que esta denio de independncia implica que independncia um conceito si-

mtrico em teoria da probabilidade, isto , A independente de B se e somente se B independente de A. Note que esta denio tambm implica que eventos A e B so inde-pendentes se P (A) = 0 ou P (B) = 0, o que pode gerar algumas concluses no intuitivas sede fato P (A) = 0 ou P (B) = 0. Por exemplo, se P (A) = 0, ento A independente delemesmo, porm A certamente no no relacionado consigo mesmo. Similarmente, fcilprovar que se P (A) = 1, A independente dele mesmo. O seguinte teorema prova que estesso os nicos casos em que um evento independente dele mesmo.

Teorema 3.2.2: A independente dele mesmo se e somente se P (A) = 0 ou P (A) = 1.

Prova:

P (A A) = P (A) = P (A)P (A) P (A) = 0 ou P (A) = 1.



Intuitivamente, se A independente de B o fato que B no ocorreu, ou seja que Bc

ocorreu, no deve alterar a probabilidade de A. Portanto, de se esperar que se A e B soindependentes, ento A e Bc tambm so. O seguinte teorema prova que esta intuio verdadeira.

Teorema 3.2.3: Se A e B so eventos independentes, A e Bc (resp., Ac e B, Ac e Bc)tambm o so.

Prova: Note que

A = A = A (B Bc) = (A B) (A Bc).Ento, como A B e A Bc so mutuamente exclusivos, axioma K3 implica que

P (A) = P (A B) + P (A Bc).Como A e B so independentes, ns temos

P (A) = P (A)P (B) + P (A Bc).Rearrajando os termos e utilizando o fato que P (Bc) = 1 P (B), temos P (A Bc) =

P (A)P (Bc), como queramos demonstrar.

O conceito de independncia tambm se aplica a uma coleo arbitrria de eventos

{Ai}iI , onde I um conjunto de ndices. Neste caso, tm-se duas denies.Denio 3.2.4: Uma coleo de eventos {Ai}iI independente par a par se para todoi 6= j I, Ai e Aj so eventos independentes.Denio 3.2.5: Uma seqncia nita de eventos A1, A2, . . . , An, n 1, mutuamenteindependente se para todo I {1, . . . , n},

P (iIAi) =iI

P (Ai)

E uma coleo de eventos {Ai}iI mutuamente independente se para todo J I nito,{Ai}iJ mutuamente independente.Considere os seguintes exemplos que ilustram o conceito de independncia.

Exemplo 3.2.6: Se = {1, 2, 3, 4} e P ({w}) = 1/4, ento A = {1, 2}, B = {1, 3}, eC = {2, 3} so eventos independentes par a par. Pode-se vericar isto pelo fato que

P (A B) = P ({1}) = 14=

1

2

1

2= P (A)P (B).

Similarmente, pode-se provar o mesmo resultado para os outros pares. Contudo, a probabi-

lidade

P (A B C) = P () = 0 6= P (A)P (B)P (C) = 18.

Ento, A, B, e C no so mutuamente independentes.



Exemplo 3.2.7: Se = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 4}, e B = {2, 3, 5}, ento construa umamedida de probabilidade em tal que A e B sejam independentes.Soluo: Seja pi a probabilidade do elemento i . Ento, para que A e B sejamindeendentes devemos ter:

P (A B) = p2 = P (A)P (B) = (p1 + p2 + p4)(p2 + p3 + p5).Por exemplo, podemos escolher p1 = p2 = p3 = p6 =

14e p4 = p5 = 0. Deste modo temos,

P (A B) = 14e P (A) = P (B) = 1

2.

Exemplo 3.2.8: O evento F de um determinado sistema falhar ocorre se os eventos A1ou A2 ocorrerem, mas o evento A3 no ocorrer. Se A1, A2, A3 so mutumente independetese P (A1) = 0, 4, P (A2) = 0, 35, e P (A3) = 0, 1, ento calcule P (F ).Soluo: O evento F igual ao evento (A1 A2) Ac3. Logo sua probabilidade iguala:

P (F ) = P ((A1 A2) Ac3) = P (A1 A2)P (Ac3)= (P (A1) + P (A2) P (A1)P (A2))(1 P (A3)) = (0, 4 + 0, 35 0, 4 0, 35)(0, 9) = 0, 549.

Exemplo 3.2.9: Assuma que A1, . . . , An so eventos mutuamente independentes e queP (Ai) = pi. Ns calculamos as probabilidades dos seguintes eventos:

O evento A o evento que todos estes eventos ocorrem, ento

P (A) = P (ni=1Ai) =ni=1

P (Ai) =ni=1

pi

O evento B o evento que nenhum desses eventos ocorre, ento

P (B) = P (ni=1Aci) =ni=1

P (Aci) =ni=1

(1 pi)

O evento C o evento que pelo menos um desses eventos ocorre, ento C = Bc

P (C) = P (Bc) = 1 P (B) = 1ni=1

(1 pi)

Exemplo 3.2.10: Joo e Jos disputam um jogo com uma moeda equilibrada. Cada

jogador lana a moeda duas vezes e vence o jogo aquele que primeiro obtiver dois resultados

iguais. Joo comea jogando e se no vencer passa a moeda para Jos e continuam alternando

jogadas. Qual a probabilidade de Joo vencer o Jogo?

Soluo: Seja Ak o evento dois resultados iguais so obtidos na k-sima tentativa. Noteque P (Ak) =

12. Seja Bk o evento Joo ganha na sua k-sima jogada. Ento,

B1 = A1; B2 = Ac1 Ac2 A3; B3 = Ac1 Ac2 Ac3 Ac4 A5,



em geral,

Bk = Ac1 Ac2 Ac2k2 A2k1.Portanto,

P (Bk) = P (Ac1 Ac2 Ac2k2 A2k1) = P (Ac1)P (Ac2) P (Ac2k2)P (A2k1) = (

1

2)2k1,

onde a penltima igualdade se deve ao fato dos lanamentos serem independentes. Logo,

P (Joo vencer) = P (k=1Bk) =k=1

P (Bk) =k=1

(1

2)2k1 =

2

3.


Captulo 4

Variveis Aleatrias

4.1 Introduo

Suponha que uma moeda lanada cinco vezes. Qual o nmero de caras? Esta quantidade

o que tradicionalmente tem sido chamada de varivel aleatria. Intuitivamente, uma

varivel porque seus valores variam, dependendo da seqncia de lanamentos da moeda

realizada; o adjetivo aleatria usado para enfatizar que o seu valor de certo modo

incerto. Formalmente, contudo, uma varivel aleatria no nem aleatria nem uma

varivel.

Denio 4.1.1: Seja (,A, P ) um espao de probabilidade. Uma funo X : R chamada de varivel aleatria se para todo evento Boreliano B, X1(B) A.

Por denio, temos que X1(B) = { : X() B} o conjunto de elementosdo espao amostral cuja imagem segundo X est em B. Ns recordamos que um eventoBoreliano qualquer evento pertencente -lgebra de Borel, onde a -lgebra de Borel amenor -lgebra contendo todos os intervalos.Dada uma varivel aleatria X, pode-se denir uma probabilidade induzida PX no espaomensurvel (R,B) da seguinte maneira: para todo A B, denimos PX(A) = P (X1(A)).Por denio de varivel aleatria, tem-se que X1(A) A, ento PX est bem denida.Resta provar que PX satisfaz os axiomas K1, K2, e K4 de probabilidade:

K1. PX(A) = P (X1(A)) 0.K2. PX(R) = P (X

1(R)) = P () = 1.

K4. Suponha que A1, A2, . . . so eventos Borelianos disjuntos. Ento,

PX(iAi) = P (X1(iAi)) = P (iX1(Ai)) =i

P (X1(Ai)) =i

PX(Ai).

Vale a pena salientar que em muitos problemas, j teremos a informao sobre a distri-

buio induzida PX denida em (R,B). Nestes casos, estaremos esquecendo a natureza

34

CAPTULO 4. VARIVEIS ALEATRIAS 35

funcional de X e nos preocupando apenas com os valores assumidos por X. Estes ca-sos podem ser pensados como se o experimento aleatrio fosse descrito por (R,B, PX) eX(w) = w, w R, ou seja, os resultados dos experimento aleatrio j so numricos edescrevem a caracterstica de interesse que queremos analisar.

importante enfatizar que usual se referir a variveis aleatrias por letras maisculas

X,Y, Z, . . . e aos valores que tais variveis podem assumir por letras minsculas x, y, z, . . ..

4.2 Funo de Distribuio Acumulada

Para uma varivel aleatria X, uma maneira simples e bsica de descrever a probabilidadeinduzida PX utilizando sua funo de distribuio acumulada.

Denio 4.2.1: A funo de distribuio acumulada de uma varivel aleatria X, repre-sentada por FX , denida por

FX(x) = PX((, x]),x R.

A funo de distribuio acumulada FX satisfaz as seguintes propriedades:

F1. Se x y, ento FX(x) FX(y).

x y (, x] (, y] PX((, x]) PX((, y]) FX(x) FX(y).

F2. Se xn x, ento FX(xn) FX(x).Se xn x, ento os eventos (, xn] so decrescentes e n(, xn] = (, x].Logo, pela continuidade da medida de probabilidade, tem-se que PX((, xn]) P ((, x]), ou seja, FX(xn) FX(x).F3. Se xn , ento FX(xn) 0, e se xn , ento FX(xn) 1.Se xn , ento os eventos (, xn] so decrescentes e n(, xn] = . Logo,pela continuidade da medida de probabilidade, tem-se que PX((, xn]) P (), ouseja, FX(xn) 0. Similarmente, se xn , ento os eventos (, xn] so crescentese n(, xn] = IR. Logo, pela continuidade da medida de probabilidade, tem-se quePX((, xn]) P (), ou seja, FX(xn) 1.

Teorema 4.2.2: Uma funo real G satisfaz F1F3 se e somente se G uma distribuiode probabilidade acumulada.

Prova: A prova de que se G for uma distribuio de probabilidade acumulada, ento Gsatisfaz F1-F3 foi dada acima. A prova de que toda funo real que satisfaz F1-F3 uma

funo de probabilidade acumulada complexa envolvendo o Teorema da Extenso de Ca-

rathodory, e est fora do escopo deste curso.



Condio F2 signica que toda funo distribuio de probabilidade acumulada FX continua direita. Ainda mais, como FX no-decrescente e possui valores entre 0 e 1,pode-se provar que ela tem um nmero enumervel de descontinuidades do tipo salto. Pela

continuidade direita , o salto no ponto x igual a

FX(x) FX(x) = FX(x) limn

F (x 1n)

= PX((, x]) limn

PX((, x 1n])

= limn

PX((x 1n, x]).

Como a seqncia de eventos (x 1n, x] decrescente e n(x 1n , x] = {x}. Temos que{x} Boreliano e

PX(x) = FX(x) FX(x).Ou seja, a probabilidade da varivel aleatria X assumir o valor x igual ao salto dafuno de distribuio acumulada FX no ponto x.

Exemplo 4.2.3: Determine quais das seguintes funes so funes de distribuio acu-

muladas, especicando a propriedade que no for satisfeita caso a funo no seja uma

distribuio acumulada.

(a)

ex

1+ex

(b) I[0,infty)(x) + [1 I[0,infty)(x)](1 + ex)/2(c) e|x|

(d) I[0,infty)(x)

(e) I(0,infty)(x)

Exemplo 4.2.4: Seja K o nmero de ons emitidos por uma fonte em um tempo T . SeFK(1) FK(1/2) = 0, 1, qual o valor de P (K = 1)?

Exemplo 4.2.5: Uma seqncia de 10 bytes independentes foi recebida. sbido que

a probabilidade igual a 0,3 que o primeiro smbolo de um byte seja igual a 0. Seja K onmero de bytes recebidos tendo 0 como primeiro smbolo.

(a) Calcule P (K = 2)

(b) Calcule FK(1)



4.3 Tipos de Varivel Aleatria

Denio 4.3.1: Existem trs tipos de variveis aleatrias:

Discreta. Uma varivel aleatria X discreta se assume um nmero enumervel devalores, ou seja, se existe um conjunto enumervel {x1, x2, . . .} R tal que X(w) {x1, x2, . . .}, w . A funo p(xi) denida por p(xi) = PX({xi}), i = 1, 2, . . . ep(x) = 0 para x / {x1, x2, . . .}, chamada de funo probabilidade de X.

Contnua. Uma varivel aleatria X contnua se existe uma funo fX(x) 0 talque

FX(x) =

x

fX(t)dt, x R.

Neste caso, a funo fX chamada de funo densidade de probabilidade de X.

Singular. Uma varivel aleatria X singular se FX uma funo contnua cujospontos de crescimento formam um conjunto de comprimento (medida de Lebesgue)

nulo.

Pode-se provar que toda funo de distribuio de probabilidade acumulada FX pode serdecomposta na soma de no mximo trs funes de distribuio de probabilidade acumuladas,

sendo uma discreta, uma contnua e outra singular.

Na grande maioria dos problemas prticos, no se encontram variveis aleatrias singu-

lares. Portanto, iremos nos restringir ao estudo de variveis aleatrias discretas e contnuas.

Na prxima seo analisaremos as variveis aleatrias discretas.

4.4 Varivel Aleatria Discreta

Vamos considerar agora o caso das variveis aleatrias discretas. Ns vimos na seo anterior

que se uma varivel aleatria discreta, ento ns podemos denir uma funo de proba-

bilidade p de modo que p(xi) = PX({xi}), i = 1, 2, . . ., onde X {x1, x2, . . .} e p(x) = 0para x / {x1, x2, . . .}. Note que toda funo de probabilidade uma funo dos reais R eassume valores entre 0 e 1, sendo positiva para um nmero enumervel de pontos e satisfaz

a seguinte propriedade

i p(xi) = 1.Por outro lado, dada uma funo p : R [0, 1], onde p positiva para um nmeroenumervel de pontos {x1, x2, . . .} e satisfaz

i p(xi) = 1, uma funo P denida nos eventosBorelianos de modo que P (A) =

xiA p(xi),A B uma medida de probabilidadeem (R,B) ( fcil vericar que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov e portanto umamedida de probabilidade). Logo, a distribuio de uma varivel aleatria discreta X podeser determinada tanto pela funo de distribuio acumulada FX ou pela sua funo deprobabilidade p.

Exemplo 4.4.1: Assuma que X uma varivel aleatria discreta que assume os valores 2,5, e 7 com probabilidades 1/2, 1/3, e 1/6, ento sua funo de distribuio acumulada :



FX(x) =

0 se x < 2,1/2 se 2 x < 5,5/6 se 5 x < 7,1 se x 7.

A funo de distribuio de uma varivel discreta sempre uma funo degrau que tem

saltos nos pontos que a varivel assume com probabilidade positiva, e o valor do salto em

um ponto xi, como vimos igual a probabilidade da varivel assumir este valor.

4.5 Varivel Aleatria Contnua

Vamos considerar agora o caso das variveis aleatrias contnuas. Ns vimos na seo anterior

que se uma varivel aleatria (absolutamente) contnua, ento existe uma funo fX(x) 0tal que FX(x) =

x fX(t)dt. Deste modo, FX contnua e fX(x) = F

X(x), exceto numconjunto de medida de Lebesgue nula. Uma funo f(x) 0 densidade de alguma varivelaleatria se e somente se,

f(x)dx = 1, j que neste caso fcil provar que a funo

F denida por x f(t)dt satisfaz as condies F1, F2, e F3. Portanto, pelo Teorema ??

F uma funo de distribuio acumulada. Logo, a distribuio de uma varivel aleatriacontnua X pode ser determinada tanto pela funo de distribuio acumulada FX ou pelasua funo de densidade fX .Formalmente, uma varivel aleatria X tem densidade se FX a integral de sua derivada;sendo neste caso a derivada de FX uma funo densidade para X. Alm disso, em quasetodos os casos encontrados na prtica, uma varivel aleatria X tem densidade se FX (i)contnua e (ii) derivvel por partes, ou seja, se FX derivvel no interior de um nmeronito ou enumervel de intervalos fechados cuja unio a reta R.Por exemplo, considere

FX(x) =

0 se x < 0,x se 0 x < 1,1 se x 1.Ento X tem densidade pois FX contnua e derivvel em todos os pontos da reta excetoem {0, 1}.

4.6 Alguns Exemplos de Distribuies de Probabilidade

Vamos agora explorar alguns exemplos importantes de variveis aleatrias.

4.6.1 Aleatria ou Uniforme Discreta.

Dizemos que X tem uma distribuio aleatria com parmetro n, onde n um nmero inteiropositivo, se X(w) {x1, x2, . . . , xn} e p(xi) = 1n , para i {1, . . . , n}.



A funo de probabilidade aleatria pode ser utilizada sempre que os possveis valores da

varivel aleatria forem eqiprovveis, como o caso de modelar mecanismos de jogos (por

exemplo, dados e moedas balanceados, cartas bem embaralhadas). Utilizando a propriedade

de aditividade da probabilidade, fcil ver que para qualquer evento A {x1, x2, . . . , xn},temos que P (X A) = ||A||

n.

4.6.2 Bernoulli.

Dizemos que X tem uma distribuio Bernoulli com parmetro p, onde 0 p 1, seX(w) {x0, x1} e p(x1) = p = 1 p(x0).A funo de probabilidade Bernoulli pode ser utilizada para modelar a probabilidade de

sucesso em uma nica realizao de um experimento. Em geral, qualquer varivel aleatria

dicotmica, ou seja que assume somente dois valores, pode ser modelada por uma distribuio

Bernoulli. Denomina-se de ensaio de Bernoulli, qualquer experimento que tem uma resposta

dicotmica. Um exemplo clssico de um ensaio Bernoulli o lanamento de uma moeda no

necessariamente balanceada.

4.6.3 Binomial.

Dizemos que X tem uma distribuio Binomial com parmetros n e p, onde n um nmerointeiro e 0 p 1, se X(w) {0, 1, . . . , n} e p(k) = (n

k

)pk(1 p)1k, para k {0, 1, . . . , n}.Note que utilizando o Teorema Binomial, temos que

nk=0

p(k) =n

k=0

(n

k

)pk(1 p)nk = (p+ 1 p)n = 1.

Logo, esta uma legtima funo probabilidade de massa.

Uma distribuio binomial pode ser obtida quando se considera n repeties indepen-dentes de ensaios Bernoulli, e estamos interessados no total de vezes que nesses ensaios

obtivemos valor x1 para a varivel. A funo de probabilidade binomial pode ser utilizadapara modelar a quantidade de erros em um texto de n smbolos quando os erros entre sm-bolos so assumidos independentes e a probabilidade de erro em um smbolo do texto igual

a p. Tambm pode ser utilizada para modelar o nmero de caras em n lanamentos de umamoeda que possui probabilidade p de cair cara em cada lanamento. Se p = 1/2, temosum modelo para o nmero de 1's em uma seqncia binria de comprimento n escolhidaaleatoriamente ou o nmero de caras em n lanamentos de uma moeda justa. A Figura 4.6.3nos mostra a funo probabilidade de massa da Binomial(8; 0,2).Podemos examinar a funo probabilidade de massa binomial analiticamente para en-

contrarmos seu valor mais provvel. Note que a razo entre as probabilidades de dois valores

consecutivos da binomial

p(k)

p(k 1) =n!

(k)!(nk)!pk(1 p)nk

n!(k1)!(nk+1)!p

k1(1 p)nk+1 =n k + 1

k

p

1 p



estritamente decrescente em k. Portanto, se

p(1)

p(0)=

np

1 p < 1,

ento as probabilidades so sempre decrescentes em k, e o valor mais provvel 0. No outroextremo, se

p(n)

p(n 1) =p

n(1 p)

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AulasET1012008-2