UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

DISCIPLINA: Resistência dos materiais

Professor: Vladimir J. Ferrari

Aula: Tensão e deformação

1-Tensão normal e deformação

1.1 - Tensão normal

Tensão e deformação são conceitos fundamentais na mecânica dos materiais.

Esses conceitos podem ser ilustrados em suas formas mais elementares. Como exemplo,

temos a Figura 1, em que a barra do reboque é um membro prismático em tração e o

suporte de trem de pouso é um membro em compressão.

Por barra prismática entende-se um elemento estrutural reto, tendo a mesma

seção transversal ao longo do seu comprimento. Por força axial entende-se uma

carga direcionada ao longo do eixo do elemento.

Figura 1 – Elementos estruturais submetidos a cargas axiais

Para fins de discussão vamos considerar a barra do reboque da Figura 1 e isolar

um segmento dela como um corpo livre (Figura 2.a). Nessa figura desconsideramos o

peso da barra e assumimos que as únicas forças atuantes são as forças axiais P nas

extremidades. A seguir consideramos duas vistas da barra: a primeira mostrando a

mesma barra antes de as cargas serem aplicadas (Fig 2.b) e a segunda mostrando-a após

a aplicação das cargas (Fig. 2.c).

Observe que o comprimento original da barra é denotado pela letra L e o

aumento no comprimento devido às cargas é denotado pela letra grega (delta).

As tensões internas na barra são expostas se fizermos um corte imaginário

através da barra na seção mn (Fig. 2.c). Agora isolamos a porção da barra à esquerda da

seção transversal mn como um corpo livre (Fig. 2.d). Na extremidade direita desse

corpo livre mostramos a ação da porção removida da barra (isto é, a parte à direita da

seção mn) sob a parte remanescente. Essa ação consiste de uma força distribuída

contínua agindo sobre toda a seção transversal. A intensidade da força é chamada de

tensão e denotada pela letra grega (sigma). Dessa forma, a força axial P agindo na

seção transversal é a resultante das tensões distribuídas continuamente.

Figura 2 – Barra prismática em tração

Assumindo que as tensões são uniformemente distribuídas sobre a seção

transversal mn, vemos que sua resultante deve ser igual à intensidade vezes a área A

da seção transversal da barra.

A

Pζ (1)

Quando a barra é esticada pelas forças P, as tensões são de tração; se a forças

são reversas em direção, fazendo com que a barra seja comprimida, obtemos tensões de

compressão. Como essas tensões agem em uma direção perpendicular à superfície de

corte, elas são chamadas de tensões normais. Dessa forma, as tensões normais podem

ser de tração ou de compressão.

A equação (1) é válida somente se a tensão é uniformemente distribuída sobre a

seção transversal da barra. Essa condição é realizada se a força axial agir através do

centróide da área da seção transversal. Quando a carga P não age no centróide, tem-se a

flexão da barra, e uma análise mais sofisticada é necessária.

A condição de tensão uniforme representada na Figura 2 existe ao longo de todo

o comprimento da barra, exceto próximo às extremidades. A distribuição de tensão na

extremidade de uma barra depende de como a carga é transmitida para a barra. Se

ocorrer de a carga ser distribuída uniformemente sobre a extremidade, então todo o

padrão de tensão na extremidade será igual a de todo o resto da barra. Entretanto, é mais

usual a tensão ser transmitida através de um pino ou parafuso, produzindo altas tensões

localizadas chamadas de concentrações de tensões.

1.2- Deformação normal

Como já foi visto, uma barra reta irá mudar de comprimento quando carregada

axialmente, tornando-se mais comprida quando em tração e mais curta, quando em

compressão. Por exemplo, considere novamente a Figura 2. o alongamento dessa

barra é o resultado cumulativo do estiramento de todos os elementos do material através

do volume da barra. Vamos considerar que o material é o mesmo em todo lugar da

barra. Logo, se consideramos metade da barra (L2), ela terá um alongamento igual a

2 e, se consideramos um quarto da barra, ela terá um alongamento igual a 4. Em

geral, o alongamento de um segmento é igual ao seu comprimento dividido pelo

comprimento total L e multiplicado pelo alongamento total . Por isso, uma unidade de

comprimento da barra terá um alongamento igual a 1L vezes . Essa quantia é chamada

de alongamento por unidade de comprimento, ou deformação, e é denotada pela letra

grega (épsilon). Vemos que a deformação é dada pela equação (2)

L

δε (2)

Se a barra está em tração, a deformação é chamada de deformação de tração,

representando um alongamento do material. Se a barra está em compressão é chamada

de deformação de compressão e a barra encurta. A deformação é chamada de

deformação normal porque está associada com tensões normais.

Como a deformação normal é a razão entre dois comprimentos, ela é uma

quantidade adimensional, isto é, não tem unidades. Por isso, ela é expressa

simplesmente como um número, ou às vezes, como uma percentagem.

Uma barra de aço tem um comprimento de 2m. Quando carregada em tração,

ela alonga-se em 1,4mm, qual a sua deformação:

610x7000007,0000.2

mm4,1ε

Na prática, as unidades originais de e L são incluídas na própria deformação,

e então, a deformação é registrada em formas como mmm.

2-Propriedades mecânicas dos materiais

O projeto de máquinas e estruturas de forma que elas funcionem corretamente

exige que entendamos o comportamento mecânico dos materiais que estão sendo

empregados. Comumente, a única maneira de determinar como os materiais se

comportam quando submetidos a cargas é executar experimentos em laboratórios. O

procedimento usual é colocar pequenos corpos de prova do material em máquinas de

teste, aplicar cargas e então medir as deformações resultantes.

Uma máquina de teste de tração típica é mostrada na Figura 3. O corpo de prova

é colocado entre as duas garras da máquina e então carregado em tração. Sistemas de

medida armazenam as deformações, e o controle automático e os sistemas de

processamento de dados, tabelam e graficam os resultados.

Figura 3 – Máquina de teste de tração

Uma vista mais detalhada do corpo de prova de teste de tração é mostrada na

Figura 4. O instrumento preso por dois braços ao corpo de prova é um extensômetro que

mede o alongamento durante o carregamento.

Figura 4 – Corpo de prova típico de teste de tração

Os resultados dos testes geralmente dependem do tamanho do corpo de prova

testado. Uma vez que é improvável que estaremos projetando estruturas tendo partes do

mesmo tamanho que os corpos de prova, precisamos expressar os resultados dos testes

de forma que possam ser aplicados a membros de qualquer tamanho. Um modo simples

de atingir esse objetivo é converter os resultados dos testes em tensões e deformações.

A tensão axial em um corpo de prova é calculada dividindo a carga P pela área

da seção transversal A. A deformação do corpo de prova é encontrada dividindo o

alongamento medido entre as marcas de medida pelo comprimento L.

Após executar um teste de tração e determinar a tensão e a deformação em

várias magnitudes da carga, podemos plotar um gráfico chamado de tensão versus

deformação. Esse diagrama tensão-deformação é uma característica do material em

particular sendo testado e contém informação importante sobre as propriedades

mecânicas e o tipo de comportamento.

O aço estrutural é um dos metais mais amplamente utilizados. Um diagrama

típico para o aço estrutural é mostrado na Figura 5. As deformações são plotadas no

eixo horizontal, e as tensões no eixo vertical.

Figura 5 – Diagrama tensão-deformação do aço estrutural

Do diagrama temos as seguintes informações:

1-O diagrama começa com uma linha reta da origem 0 ao ponto A, o que quer dizer que

a relação entre a tensão e deformação nessa região não é apenas linear, mas também

proporcional (a razão entre elas se mantém constante). Além do ponto A, a

proporcionalidade entre tensão e deformação não mais existe. Dessa forma, a tensão no

ponto A é chamada de limite de proporcionalidade. Para aços de baixo teor de carbono,

este limite está no intervalo de 210 a 350MPa. A inclinação da linha 0A é chamada de

módulo de elasticidade.

2-Com um aumento na tensão além do limite de proporcionalidade, a deformação

começa a aumentar mais rapidamente para cada incremento de tensão.

Consequentemente, a curva de tensão-deformação tem uma inclinação cada vez menor

até, no ponto B, a curva começa a ficar na horizontal. Começando nesse ponto um

alongamento considerável do corpo de prova sem o aumento notável da força de tração

(de B até C). Esse fenômeno é conhecido como escoamento do material, e o ponto B é

chamado de ponto de escoamento. A tensão correspondente é conhecida como tensão

de escoamento do aço. Na região entre B e C, o material fica perfeitamente plástico, o

que significa que ele se deforma sem aumento na carga aplicada. O alongamento de um

corpo de prova de aço mole na região perfeitamente plástica é tipicamente da ordem de

10 a 15 vezes o alongamento que ocorre na região linear (entre o início do carregamento

e o limite de proporcionalidade).

3-Após passar pelas grandes deformações que ocorrem durante o escoamento na região

BC, o aço começa a recuperação. Durante a recuperação, o material passa por mudanças

em sua estrutura cristalina, resultando em um aumento da resistência do material para

mais deformação. O alongamento do corpo de prova nessa região exige um aumento na

carga de tração, e por isso o diagrama de tensão-deformação tem uma inclinação

positiva de C até D. A carga atinge seu valor máximo, e a tensão correspondente no

ponto D é chamada de tensão normal última.

3-Elasticidade Linear, Lei de Hooke e Coeficiente de Poisson

Muitos materiais estruturais, incluindo a maioria dos metais, madeira, plásticos e

cerâmicas, comportam-se elástica e linearmente quando carregados da primeira vez.

Consequentemente, suas curvas de tensão-deformação começam com uma reta passando

através da origem. Como exemplo, temos a curva tensão-deformação para o aço

estrutural, como mostrado na Figura 5, onde a região da origem 0 ao limite de

proporcionalidade (ponto A) é linear e elástica.

Quando um material comporta-se elasticamente e também exibe uma relação

linear entre a tensão e deformação, é chamado de elástico linear. Esse tipo de

comportamento é extremamente importante na engenharia pois, ao se projetar estruturas

e máquinas que se comportem nessa fase, estaremos evitando deformações permanentes

devido ao escoamento do material.

3.1-Lei de Hooke

A relação linear entre a tensão e a deformação para uma barra em tração ou

compressão simples é expressa pela equação:

ε.Eζ (3)

Em que:

= é a tensão axial

= é a deformação axial

E = é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de

elasticidade para o material.

O módulo de elasticidade é a inclinação do diagrama tensão-deformação na

região elástica linear. Uma vez que a deformação é adimensional, as unidades para o E

são as mesmas que as unidades de tensão.

A equação (3) é conhecida como Lei de Hooke, em homenagem ao famoso

cientista inglês Robert Hooke (1635 – 1703). Essa equação é uma versão limitada da

Lei de Hooke porque relaciona apenas as tensões e deformações longitudinais

desenvolvidas em tração e compressão simples de uma barra (tensão uniaxial). Para

lidar com estados de tensão mais complicados, como aqueles encontrados na maioria

das máquinas e estruturas, devemos usar equações mais abrangentes da Lei de Hooke.

Valores aproximados:

Eaço = 210GPa

Ealumínio = 73GPa

Eplásticos = 0,7 a 14GPa

3.2-Coeficiente de Poisson

Quando uma barra prismática é carregada em tração, o alongamento axial é

acompanhado por uma contração lateral (isto é, contração normal à direção da carga

aplicada). Essa mudança na forma está ilustrada na Figura 6, onde a parte (a) mostra a

barra antes do carregamento e a parte (b) a mostra após o carregamento. Na parte (b) as

linhas pontilhadas representam a forma da barra antes do carregamento.

Figura 6 – Alongamento axial e contração lateral

A contração lateral é facilmente vista esticando-se uma borracha, mas nos metais

as mudanças nas dimensões laterais (na região elástica linear) são usualmente pequenas

demais para serem visíveis. Entretanto, podem ser detectadas com sistemas de medição

sensíveis.

A deformação lateral (´) em qualquer ponto na barra é proporcional à

deformação axial no mesmo ponto se o material é linearmente elástico. A razão entre

essas deformações é uma propriedade do material conhecida como coeficiente de

Poisson. Esse coeficiente é representado pela letra grega (nu), pode ser expresso pela

equação:

ε

ε

axialdeformação

lateraldeformaçãoυ

´

(4)

O sinal negativo é para indicar que as deformações lateral e axial tem

normalmente sinais contrários. Por exemplo, a deformação axial em uma barra em

tração é positiva e a deformação lateral é negativa (porque a largura da barra diminui).

Já para a compressão teremos a situação oposta.

Devemos sempre ter em mente que a equação (4) somente se aplica a uma barra

em tensão uniaxial.

Para a maioria dos metais o valor do coeficiente de Poisson está entre 0,25 e

0,35. Para o concreto, o valor é baixo, cerca de 0,1 ou 0,2.

Exemplo 1: Um tubo de aço de comprimento L = 1,2m, diâmetro externo d2 = 152mm e

um diâmetro interno d1 = 114mm é comprimido por uma força axial P = 700kN (Figura

7). O material tem um módulo de elasticidade de 210.000MPa e um coeficiente de

Poisson igual a 0,30. Calcular:

a) O encurtamento ;

b) A deformação lateral ´

c) O aumento d2 no diâmetro externo;

d) O aumento d1 no diâmetro interno

e) O aumento na espessura da parede t.

Figura 7 – Tubo de aço em compressão

Solução:

1-Tendo-de a área A da seção e a força aplicada, calcula-se a tensão ;

2-Verificar se a tensão calculada é inferior a tensão de escoamento do material;

3-caso o material comporte-se no regime elástico, podemos aplicar a Lei de Hooke e calcular a

deformação axial;

4-Conhecendo a deformação axial, podemos calcular o encurtamento do tubo;

5-Com a deformação axial e o coeficiente de Poisson, é possível obter a deformação lateral do tubo;

6-Os aumentos nos diâmetros e espessura da parede podem ser obtidos pelas relações:

t.εt

d.εd

d.εd

´

1

´

1

2

´

2

4-Mudanças no comprimento de barras prismáticas carregadas axialmente

As barras carregadas axialmente sofrem alongamento sob cargas de tração e

encurtamento sob cargas de compressão (Figura 8). Uma barra prismática é um membro

estrutural com um eixo longitudinal retilíneo e uma seção constante ao longo do seu

comprimento. Embora usaremos geralmente barras circulares em nossas ilustrações,

devemos ter em mente que membros estruturais podem ter uma variedade de formas de

seção transversal, como mostrado na Figura 9.

Figura 8 – Barra prismática de seção circular

Figura 9 – Seções transversais de elementos estruturais

O alongamento de uma barra prismática submetida a uma carga de tração P é

mostrada na Figura 10. Se a carga P age através do centróide da seção transversal da

extremidade, a tensão normal uniforme nas seções longe da extremidade é dada pela

fôrmula:

A

Pζ

Se a barra é feita de um material homogêneo, a deformação axial é dada por:

L

δε

Vamos também assumir que o material é elástico linear, o que significa que ele

segue a Lei de Hooke. A tensão e a deformação estão relacionados pela relação:

ε.Eζ

Combinando essas relações básicas, obtemos a seguinte equação para o cálculo

do alongamento da barra:

A.E

L.Pδ (5)

A equação (5) mostra que o alongamento é diretamente proporcional à carga

aplicada e ao comprimento da barra e inversamente proporcional ao módulo de

elasticidade e a área da seção transversal. O produto E.A é conhecido como rigidez

axial da barra.

Figura 10 – Alongamento de uma barra prismática em tração