Australia

호주 수학올림피아드

KAIST 수학문제연구회

2007년 9월 17일

2

차례

I 문제편 5

1979 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1981 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1982 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1983 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1984 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1985 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1986 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1987 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1988 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1989 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1990 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1991 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1992 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1993 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1994 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1995 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1999 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2003 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2004 호주 수학올림피아드 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II 풀이편 29

1989 호주 수학올림피아드 풀이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1991 호주 수학올림피아드 풀이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1999 호주 수학올림피아드 풀이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 차례

2003 호주 수학올림피아드 풀이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2004 호주 수학올림피아드 풀이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

귀띔

호주 수학올림피아드는 1979년부터 시작되었다. 1981년부터 1988년까지는 매해 6문제가

출제되었고, 1989년부터는 매해 8문제가 출제되고 있다.

제 I 부

문제편

1979 호주 수학올림피아드 7

1979 호주 수학올림피아드

1. (호주 1979-1) A1A2A3A4A5를 윗면, B1B2B3B4B5를 밑면으로 하는 오각기둥이 있

다. 두 오각형면의 각 변과 각 선분 AiBj (i; j = 1; : : : ; 5) 들을 빨강 혹은 초록색으로

색칠했다. 이 오각기둥의 꼭지점을 꼭지점으로 하고 색칠된 변을 변으로 하는 모든

삼각형들은 항상 두 가지 색의 변을 모두 갖는다고 한다. 윗면과 밑면의 10개의 변은

모두 같은 색임을 보여라.

2. (호주 1979-2) 평면 위의 두 원이 두 점 A, B에서 만나고 있다. A에서 출발한 두 점

P와 Q가 각각 둘 중 한 원을 따라 등속으로 움직이고 있다. 두 점은 각각 한 바퀴를

돈 후 동시에 점 A에 도착했다. 다음을 증명하여라.

(i) P , B, Q는 항상 한 직선 위에 있다.

(ii) 움직이는 두 점으로부터 어느 시점에서나 항상 같은 거리에 있는 고정점 S가 존

재한다.

3. (호주 1979-3) A와 E는 정팔각형의 마주보는 한 쌍의 꼭지점이다. A에서 개구리가 뛰

기 시작하는데, E를 제외한 모든 꼭지점에서 이웃한 두 꼭지점 중 한 곳으로 뛴다. 그

러다가 E에 도착하면 뛰는 것을 멈추고 그 점에 머무른다. n번 뛰어 E에 도착하는 서

로 다른 방법의 수를 an이라 하자. 자연수 n에 대해 다음을 증명하여라.

(a) a2n−1 = 0.

(b) a2n =1√2(x2n−1 ¡ y2n−1). 단, x = 2 +

p2, y = 2¡p2 이다.

주 이 첫 번째 호주 수학올림피아드 대회는 호주 수학올림피아드 위원회가 조직된 1980년

보다도 더 앞서서 개최되었다. 그러나, 몽골에서 개최될 예정이었던 1980년 IMO는 개최국

의 사정으로 취소되었고, 호주의 첫 번째 팀은 1981년 워싱턴 대회까지 기다려야 했다. 그

래서, 1980년에는 호주 수학올림피아드가 개최되지 않았다.


1. (호주 1981-1) (a) 서로 다른 27개의 100보다 작은 홀수들 중에는 합이 102가 되는 두

수가 존재함을 증명하여라.

(b) 합이 102가 되는 두 수가 존재하지 않도록 100보다 작은 홀수 26개를 택하는 방법

의 수를 구하여라.

8 1982 호주 수학올림피아드

2. (호주 1981-2) n은 자연수이고 ®와 x는 실수이다. 또

0 < ® < 1 이고 ®n+1 · x · 1

이라 하자. 다음을 증명하여라.

P (x) =(x¡ ®)

(x+ ®)

(x¡ ®2)

(x+ ®2)

(x¡ ®3)

(x+ ®3)¢ ¢ ¢ (x¡ ®n)

(x+ ®n)· P (1)

3. (호주 1981-3) 이등변삼각형 ABC의 밑변 BC의 중점을 O라 하자. O를 중심으로 하

고 두 변 AB, AC에 접하는 원을 그렸다. P와 Q는 각각 AB와 AC 위에 잡은 점들이

다. PQ가 이 원에 접한다고 할 때, 다음을 증명하여라.

PB £ CQ =

µ1

2BC

¶2그리고, 역도 성립하는지 논의하여라.

4. (호주 1981-4) 1066부터 1981까지의 모든 자연수가 다음 수의 약수임을 보여라.

915! +916!

1!+917!

2!+ ¢ ¢ ¢+ 1980!

1065!

5. (호주 1981-5) 세 방향의 직선 그룹으로 평면을 한 변의 길이가 1인 정삼각형들로 분

할하였다. 꼭지점들 간의 거리의 집합은 곱셈에 대해 닫혀있음을, 즉 u와 v가 각각 두

꼭지점 사이의 거리이면 uv도 역시 그러함을 보여라. 그리고,p1981 (= 44:508:::) 은

이 거리 집합에 속하는가?

6. (호주 1981-6) 두 궁사 B와 C가 경기를 벌이고 있다. 각자 하나의 화살을 가지고 있

고, 원점 x = 0 에서 출발하여 x = 1 에 있는 과녁을 향해 함께 걸어가다가, 각자 활

을 쏠 지점을 자유롭게 선택한다. B는 C보다 솜씨가 좀 부족해서, x 지점에서 함께

과녁을 향해 쏘면 명중할 확률은 B가 x2이고 C는 x이다. 두 사람 모두 활을 쏜 후 먼

저 과녁에 명중시킨 사람이 이기는 것으로 한다. B의 최선의 전략은 무엇일까?


1. (호주 1982-1) A와 B가 각각 n + 1번, n번씩 동전을 던졌다고 하자. A가 B보다 앞면

이 더 많이 나왔을 확률 P를 구하여라.

2. (호주 1982-2) x의 소수부 fxg는 x¡ fxg가 정수가 되도록 하는 최소의 음 아닌 실수

로 정의된다. 예를 들면 f1:6g = 0:6, f¼ ¡ 3g = ¼ ¡ 3 등이다. 다음을 보여라.

limn→∞

n³2 +

p3´no

= 1


3. (호주 1982-3) 삼각형 ABC에서 각 A의 이등분선과 외접원이 다시 만나는 점을 P라

고 하자. 점 Q와 R도 비슷하게 정의하자. 이 때 다음을 증명하여라.

AP +BQ+ CR > AB +BC + CA

4. (호주 1982-4) 다음 성질을 만족하는 실수 d를 구하여라:

f(x)가 0 · x · 1에서 연속인 함수이고 f(0) = f(1)일 때, 0 · t < t+d · 1와 f(t) = f(t+ d) 를 만족하는 t가 존재한다. 다시 말하면, (0; 0)과 (1; 0)을

지나는 임의의 연속인 그래프는 길이 d의 현을 갖는다.

5. (호주 1982-5, 아일랜드 1990-2) 수열 p1; p2; : : : 는 다음과 같이 정의된다: p1 = 2 이

고, n ¸ 2 에 대하여 pn은 다음의 수의 가장 큰 소인수이다.

p1p2p3 ¢ ¢ ¢ pn−1 + 1

5는 이 수열의 항이 될 수 없음을 증명하여라.

6. (호주 1982-6) n£n 표의 각 칸에 수가 하나씩 쓰여져 있다. 모든 행은 서로 다름이 알

려져 있다. 이 표에서 한 열을 잘 골라 제외시키는데, 남는 표도 모든 행이 여전히 서

로 다르도록 할 수 있음을 보여라. (참고로, 두 행 1 1 2 7 5와 1 1 7 2 5는 같지 않다.)

주 T.o.Towns 1980-2와 같은 문제.


1. (호주 1983-1) 양의 유리수들이 다음과 같은 규칙으로 나열되어 각각 무한번 나타난

다.

1

1;2

1;1

2;3

1;2

2;1

3;4

1;3

2;2

3;1

4;5

1;4

2;3

3;2

4;1

5; : : :

예를 들어 23는 9; 42; : : : 번째 위치에 나타난다.

(a) 12이 나타나는 처음 다섯 위치를 찾아라.

(b) 23가 n번째로 나타나는 위치를 식으로 표현하여라.

(c) p, q가 서로 소이고 p < q 일 때, pq가 처음으로 나타나는 곳의 위치를 식으로 표

현하여라.


2. (호주 1983-2) 삼각형 ABC 내부에 \PAC = \PBC 인 점 P가 있다. P에서 BC와

CA에 내린 수선의 발을 각각 L과 N이라 하고, D를 AB의 중점이라 하자. DL = DM

임을 증명하여라.

3. (호주 1983-3) p개의 흰 공과 q개의 검은 공이 한 상자 속에 들어있고, 상자 옆에는 검

은 공들의 꾸러미가 놓여있다. 이제 상자 속에서 두 개의 공을 꺼내자. 만약 두 공이

같은 색이라면, 꾸러미의 검은 공 하나를 상자에 넣는다. 만약 두 공이 다른 색이라면,

흰 공만 다시 상자에 넣는다. 상자 속에서 마지막 쌍을 꺼낸 뒤 마지막 공 하나를 다

시 넣게 될 때까지 이 작업을 반복하자. 마지막 공이 흰 공이 될 확률은 얼마인가?

4. (호주 1983-4) 다음을 만족하는 자연수쌍 (n; k)를 모두 구하여라.

(n+ 1)k ¡ 1 = n!

5. (호주 1983-5)

(a) 다음 식의 값이 최대가 되게 하는 f1; 2; : : : ; ng의 재배열 fa1; a2; : : : ; ang을 찾아

라.

a1a2 + a2a3 + ¢ ¢ ¢+ ana1 = Q

(b) Q가 최소가 되게 하는 재배열을 찾아라.

6. (호주 1983-6) 두 직각삼각형 ABC와 AB1C1은 닮음이고 방향성은 반대이다. 각 C와

C1이 직각이며, \CAB = \C1AB1 이다. 두 직선 BC1와 CB1의 교점을 M이라 하자.

직선 AM과 CC1이 존재한다면, 이 두 직선은 서로 수직임을 증명하여라.


1. 방정식 x4 + 131 = 3y4 을 만족하는 정수해 (x; y)가 존재하지 않음을 보여라.

2. 주어진 정삼각형 ABC에 대하여, 점 A의 반대편에 BC를 지름으로 하는 반원을 그리

자. 선분 BC의 삼등분점을 P , Q라 하고, 직선 AP와 AQ가 반원의 호와 만나는 점을

각각 K, L이라 하자. 점 K, L이 반원의 호를 삼등분함을 증명하여라.

3. 다항식

x4 + (2a+ 1)x3 + (a¡ 1)2x2 + bx+ 4


가 다음 성질을 만족하는 최고차항의 계수가 1인 두 이차다항식 Á(x)와 Ã(x)의 곱으

로 인수분해되도록 하는 a, b의 값을 모두 구하여라: 방정식 Ã(x) = 0 은 서로 다른

두 근 ®, ¯를 가지며(실근일 필요는 없다), Á(®) = ¯, Á(¯) = ® 를 만족한다.

4. 정육각형 A1A2A3A4A5A6의 모든 변과 대각선을 파란색 또는 빨간색으로 칠했다. 단,

어떠한 삼각형 AjAkAm (1 · j < k < m · 6) 도 세 변이 모두 파란색인 경우는 없다.

각각의 k = 1; 2; : : : ; 6 에 대해 빨간 선분 AkAj (j 6= k) 의 개수를 Rk라 할 때, 다음을

보여라.6X

k=1

(2Rk ¡ 7)2 · 54

5. 삼각형 ABC의 각 변에 서로 닮음인 이등변삼각형 APB (AP = PB), AQC (AQ =

QC), BRC (BR = RC) 를 그리자. 단, 삼각형 ABC와 AQC는 삼각형 ABC의 외부

에 있고 삼각형 BRC는 직선 BC에 대해 점 A와 같은 쪽에 있다. 사각형 PAQR은 평

행사변형임을 증명하여라.

6. 각각의 자연수 n마다 음이 아닌 정수 f(n)을 배정하여 다음 조건이 만족되도록 하였

다.

(i) 임의의 자연수 m, n에 대하여 f(mn) = f(m) + f(n).

(ii) n의 마지막 자릿수가 3이면 f(n) = 0.

(iii) f(10) = 0.

f(1984)와 f(1985)를 구하여라.


1. (캐나다 1970-9와 동일)

2. (캐나다 1978-3과 거의 동일)

3. (캐나다 1977-8과 동일)

4. 모든 각이 120◦보다 작은 삼각형 ABC가 있다.삼각형 ABC의 외부에 정삼각형 AFB,

BDC, CEA를 그리자.

(a) 세 직선 AD, BE, CF는 한 점 S에서 만남을 증명하여라.

(b) SD + SE + SF = 2(SA+ SB + SC) 임을 증명하여라.


5. 1 = d1 < d2 < ¢ ¢ ¢ < dk = n 이 n의 모든 양의 약수를 나타낼 때,

n = d26 + d27 ¡ 1

을 만족하는 자연수 n을 모두 구하여라.

6. 다음을 만족하는 실계수 다항식 f(x)를 모두 구하여라.

f(x)f(x+ 1) = f(x2 + x+ 1)


1. 정수 n > 1 과 실수 a > 0 가 주어져 있다. 합이 a인 n개의 음의 아닌 수 xi들의 모든

가능한 집합에 대해, 다음 식의 최대값을 구하여라.

n−1Xi=1

xixi+1

2. 두 수열 fang, fbng은 다음과 같이 정의된다.

a1 = 3; b1 = 100

an+1 = 3an ; bn+1 = 100

bn

bm > a100 을 만족시키는 최소의 자연수 m을 구하여라.

3. (호주 1982-3과 동일)

4. 평면에 단위원 C가 주어져 있다. 임의의 직선 l에 대하여 다음과 같이 s(l)을 정의하

자: 만약 직선 l과 원 C가 두 점에서 만나면 s(l)은 두 교점 사이의 거리로 정의하고,

그밖의 경우에는 s(l) = 0 이다. 한편 점 P는 원 C의 중심 O로부터 거리 r만큼 떨

어진 한 점이라고 하자. P를 지나고 서로 직교하며 움직이는 두 직선 m, n에 대해,

s(m) + s(n) 의 최대값을 M(r)로 정의하자. M(r) > 2 를 만족하는 r의 값을 구하여

라.

5. 자연수 c가 주어졌을 때, 수열 ffng은 다음과 같이 정의된다.

f1 = 1; f2 = c; fn+1 = 2fn ¡ fn−1 + 1 (n ¸ 2)

각 첨자 k에 대하여, 다음을 만족하는 첨자 r이 항상 존재함을 보여라.

fkfk+1 = fr


6. a; b; a2; a3; : : : ; an−2는 실수들이고 ab 6= 0 이다. 그리고, 방정식

axn ¡ axn−1 + a2xn−2 + a3x

n−3 + ¢ ¢ ¢+ an−2x2 ¡ n2bx+ b = 0

의 해는 모두 실수이고 또한 양수이다. 이 방정식의 모든 해가 서로 같음을 증명하여

라.


1. 이등변삼각형 GKA의 밑변 GK는 길이가 2b이고, 변 GA와 AK의 길이는 각각 a이

다. 변 AK의 중점을 C, 삼각형 GCK의 외접원을 z라 하자. AK의 연장선 상에 있는

점 Y 는 다음과 같은 성질을 만족한다: Y G와 z의 교점을 E라고 할 때, EY 의 길이는

a=2이다. EC의 길이를 x, KY 의 길이를 y라 할 때, ay = x2, xb = y2 임을 증명하여

라.

2. 소수 p에 대해, 다음 정수가 p의 배수임을 증명하여라.µ2p

p

¶¡ 2 = 2p(2p¡ 1) ¢ ¢ ¢ (p+ 1)

p(p¡ 1) ¢ ¢ ¢ 1 ¡ 2

3. Patera라는 나라에는 20개의 도시와 이들 도시간의 교통을 제공하는 두 항공사 Green

Planes와 Red Planes가 있다. 비행 노선은 다음과 같이 주어져있다.

(i) 임의의 두 도시 간의 비행 노선은 오직 한 항공사에 의해서만 운영되고, 노선이

없는 경우는 존재하지 않는다. 이 때 비행기는 두 방향 모두 운행하며 중간에 멈

추는 일은 없다.

(ii) Patera에는 Red Planes만을 이용해서는 (중간에 다른 도시를 경유하더라도) 오

갈 수 없는 두 도시 S, B가 존재한다.

Patera의 어떠한 두 도시에 대해서도, 중간에 다른 도시를 최대 한 곳만 경유하면

Green Planes만을 이용하여 이 두 도시를 오고 갈 수 있음을 보여라.

4. 삼각형 ABC의 내부에 \ABO = \CBP , \BCO = \ACP 가 되도록 점 O와 P를 잡

았다. \CAO = \BAP 임을 증명하여라.

5. 자연수 m, n이 있는데, m은 짝수이고 n > 1 이다. 음이 아닌 모든 실수에 대해 정의

되고 실수값을 갖는 함수 f가 다음 조건들을 만족한다.


(i) 임의의 x1; x2; : : : ; xn에 대하여,

f

µxm1 + xm2 + ¢ ¢ ¢+ xmn

m

¶=

f(x1)m + f(x2)

m + ¢ ¢ ¢+ f(xn)m

m

(ii) f(1986) 6= 1986(iii) f(1988) 6= 0

f(1987) = 1 임을 보여라.

6. 1보다 큰 모든 자연수 n에 대하여 다음을 증명하여라.

pn+ 1 +

pn¡p2 > 1 + 1p

2+1p3+ ¢ ¢ ¢+ 1p

n


1. 함수 f는 다음의 조건들을 만족한다.

(i) 임의의 유리수 x에 대하여, f(x)는 실수이다.

(ii) f(1988) 6= f(1987)

(iii) 임의의 유리수 x, y에 대해 f(x+ y) = f(x)f(y)¡ f(xy) + 1 이 성립한다.

f(¡1987=1988) = 1=1988 임을 보여라.

2. (아일랜드 1988-B1과 동일)

3. 음이 아닌 정수들 e1 > e2 > ¢ ¢ ¢ > er 에 대해 n = 2e1 + 2e2 + ¢ ¢ ¢ + 2er 이라 두자.

n! = n(n¡ 1) ¢ ¢ ¢ 2 ¢ 1 이라 할 때, n!=2n−r은 홀수임을 보여라.

4. (아일랜드 1988-B3과 동일)

5. 어떤 고대 법정에서는 재판관들을 위한 23개의 좌석이 한 줄로 배열되어 있었다. 재

판이 길어질 경우, 몇몇 재판관은 법정을 떠나기도 하고 다른 재판관들이 들어오기도

한다. 법정으로 들어오는 경우 판사는 혼자 들어올 수도 있고 두 명이 짝을 지어 들어

올 수도 있는데, 만약 두 명이 짝을 지어 들어오는 경우 법정을 떠날 때도 함께 나가

야 하며 법정을 나간 뒤에는 짝의 구분이 없어진다. 또한 법정에는 관리인이 존재하

여 만약 두 재판관이 짝을 지어 들어오는 경우 연속된 두 좌석에 앉도록 안내한다. 만

약 재판이 진행되는 동안의 어느 시점에서도 법정에 앉아있는 재판관이 항상 16명 이

하라면, 관리인이 이 작업을 항상 해낼 수 있음을 보여라.

6. (아일랜드 1988-B2와 동일)



1. 자연수 n의 서로 다른 양의 약수의 개수를 N(n)으로 쓰기로 하자. 예를 들어, 24의 양

의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이므로 N(24) = 8이다.합 N(1)+N(2)+¢ ¢ ¢+N(1989)

가 홀수인지 짝수인지 알아내어라.

2. 삼각형 ABC의 각 B, C의 이등분선을 각각 BP , CQ라 하자. 그리고, 꼭지점 A에서

직선 BP , CQ에 내린 수선의 발을 각각 H, K라 하자. KH와 BC가 평행함을 증명하

여라.

3. 실수의 수열 u1; u2; : : : 는

u1 = 1; un =1

u1 + ¢ ¢ ¢+ un−1(n > 1)

의 점화식을 만족한다.

u1 + u2 + ¢ ¢ ¢+ uN > 1989

가 되는 양의 정수 N이 존재함을 증명하여라.

4. n은 짝수이다.자연수 1; 2; : : : ; n 중에서 a+c = b+d 를 만족하는 서로 다른 네 수의 집

합 fa; b; c; dg를 고르려고 한다. 이렇게 수를 고르는 경우의 수가n(n¡ 2)(2n¡ 5)

24가

지임을 보여라.

5. n은 음이 아닌 정수이고, d0; d1; : : : ; dn 은 0, 1, 2로만 이루어진 수열이다. d0 + 3d1 +

¢ ¢ ¢+3kdk + ¢ ¢ ¢+3ndn 이 어떤 자연수의 제곱이라면, di = 1 이 되는 i (1 · i · n) 가

적어도 하나 존재함을 증명하여라.

6. 네 개의 막대기 AB, BC, CD, DA가 각 꼭지점 A, B, C, D에서 붙어있는데, 각 꼭지

점에서의 각이 자유롭게 움직일 수 있어 사각형이 다양하게 변할 수 있다. AB, BC,

CD의 중점을 각각 P , Q, R이라 하자.막대기들을 적당한 위치에 놓았더니 각 PQR이

예각이 되었다. 사각형 ABCD가 어떻게 변해도 이 각은 항상 예각이 됨을 보여라.

7. 양의 정수 n에 대해 정의된 함수 f(n)이 있다.

(i) 임의의 양의 정수 n에 대해 f(f(n)) = 4n+ 9

(ii) 임의의 음이 아닌 정수 k에 대해 f(2k) = 2k+1 + 3

이 성립할 때, f(1789)를 구하여라.


8. 삼각형 ABC의 변 BC, CA, AB 위에 각각 점 X, Y , Z를 잡는데, X, Y , Z에서의 각이

각각 A, B, C에서의 각과 같아 삼각형 ABC와 XY Z가 닮도록 한다. 삼각형 XY Z의

넓이가 최소가 되는 X, Y , Z를 찾아라.


1. f는 모든 실수에서 정의되고 실수값을 갖는 함수이다. 이 함수가 모든 실수 x, y에 대

해 다음 두 조건을 만족한다고 한다.

f(2x) = f³sin³¼x2+

¼y

2

´´+ f³sin³¼x2¡ ¼y

2

´´f(x2 ¡ y2) = (x+ y)f(x¡ y) + (x¡ y)f(x+ y)

이들로부터

f(1990 + 199012 + 1990

13 )

이 유일하게 결정됨을 보이고 그 값을 구하여라.

2. n이 m2 + 1 의 약수이고 m이 n2 + 1 의 약수가 되는 양의 정수 m, n의 쌍이 무한히

많음을 증명하여라.

3. 삼각형 ABC에서 두 점 A와 C를 지나는 원 k1이 변 AB, BC와 각각 서로 다른 점 K,

N에서 새로 만난다. k1의 중심을 O라 하자. 삼각형 KBN의 외접원을 k2라 하고, 삼

각형 ABC의 외접원이 B가 아닌 점 M에서 k2와 또 만난다. OM과 MB가 수직임을

증명하여라.

4. 한쪽 면은 빨강으로, 반대쪽 면은 초록으로 칠해진 짝수 개의 원판을 갖고서 혼자 하

는 게임이 있다. 이 원판들에는 번호가 매겨져 있는데, 각 번호는 두 번씩 사용되었다.

즉,

f1; 1; 2; 2; 3; 3; : : : ;N;Ng

의 번호가 있다. 원판은 몇 개의 행으로 뉘여져 있고, 각각의 행에는 원판이 적어도

3개씩 있다. 이 게임에서 한 번의 시행이란 같은 번호의 두 원판을 동시에 뒤집는 것

을 말한다. 처음에 원판이 어떻게 배치되어 있어도 몇 번의 시행을 거치면 빨강 원

판(빨강 면을 보이는 원판)만 있거나 초록 원판만 있는 행이 하나도 없도록 만들 수

있음을 보여라.


5. 주어진 평면에 각각 반지름 R과 r을 갖는 두 원 K와 k가 있다. K와 k는 서로 다른

두 점 S와 T에서 만난다. 점 S에서의 k의 접선이 K와 점 B에서 만나는데, B는 k와

K의 공통접선 위에 있는 점이라고 한다. 점 S에서의 K와 k의 두 접선이 이루는 (안

쪽) 각을 Á라고 할 때, 다음을 증명하여라.

r

R=

µ2 sin

Á

2

¶2

6. 작은 도시 세파리아의 국립도서관에는 지금까지 n개의 선반이 있었다. 각 선반에는

책이 적어도 한 권씩은 있다. 이 도서관은 최근 k (> 0) 개의 새 선반을 구입했다. 책

은 새로 배치되었고 도서관장은 n+ k 개의 선반 각각에 책이 적어도 한 권씩은 있다

고 말했다. 어떤 책이 새로 배치된 선반에 있는 책의 수가 전에 그 책이 놓였던 선반

에 있었던 책의 수보다 적을 때 그 책을 특별취급 도서라고 부르자. 세파리아의 국립

도서관에는 적어도 k + 1 권의 특별취급 도서가 있음을 증명하여라.

7. 각각의 양의 정수 n에 대해, n을 나누는 서로 다른 양의 정수의 개수를 d(n)이라 하

자.

d(n) =n

3

을 만족하는 모든 양의 정수를 구하여라.

8. n은 양의 정수이다. 다음을 증명하여라.

1¡2n1

¢ ¡ 1¡2n2

¢ + 1¡2n3

¢ ¡ ¢ ¢ ¢+ (¡1)k−1¡2nk

¢ + ¢ ¢ ¢+ 1¡2n2n−1

¢ = 1

n+ 1


1. 볼록사각형 ABCD의 6개의 거리 AB, AC, AD, BC, BD, CD 중에서 최대의 것을

g, 최소의 것을 h라 하자. g ¸ hp2 임을 증명하여라.

2. 1; 2; 3; : : : ; n 의 최소공배수를 Mn이라 하자. 예를 들어, M1 = 1, M2 = 2, M3 = 6,

M4 = 12, M5 = 60, M6 = 60 등이다. Mn−1 = Mn 이 되는 n은 어떤 수들인가? 자신

의 주장을 증명하여라.

3. A, B, C는 x; y-좌표평면의 세 점이고, 선분 AB, BC, CA의 중점을 각각 X, Y , Z라

하자.또, \CPZ = \Y XZ 를 만족하는 직선 BC 위의 한 점을 P라 하자. AP와 BC가

직교함을 증명하여라.


4. 0이 아닌 모든 실수에서 정의되고 다음 두 조건을 만족하는 함수 f는 유일하게 존재

함을 증명하여라.

(i) 0이 아닌 임의의 실수 x에 대해, f(x) = xf( 1x).

(ii) x 6= ¡y 인 임의의 0이 아닌 실수쌍 (x; y)에 대해, f(x) + f(y) = 1 + f(x+ y).

5. 주어진 평면 위의 서로 다른 n개의 점 P1; P2; : : : ; Pn이 있는데, 각각의 삼각형 PiPjPk

(i 6= j 6= k 6= i) 는 1 이하의 넓이를 갖는다. 이 평면 위에 다음을 만족하는 삼각형

¢가 존재함을 증명하여라.

(a) ¢는 4 이하의 넓이를 갖는다. 그리고,

(b) 점 P1; P2; : : : ; Pn 각각이 ¢의 내부 혹은 변 위에 있다.

6. 각각의 양의 정수 n에 대해

f(n) =1

3pn2 + 2n+ 1 + 3

pn2 ¡ 1 + 3

pn2 ¡ 2n+ 1

이라 하자. 다음 식의 값을 구하여라.

f(1) + f(3) + f(5) + ¢ ¢ ¢+ f(999997) + f(999999)

7. 삼각형 ABC에서 변 BC의 중점을 M이라 하고, P와 R을 각각 변 AB와 AC 위의 점

이라 하자. AM과 PR의 교점 Q가 선분 PR의 중점이라면, PR과 BC가 평행임을 증

명하여라.

8. a0 = 1, an¡an+1 = an+2 (n = 0; 1; 2; : : : )를 만족하는 양의 실수들의 수열 a0; a1; a2; : : :

를 하나 찾아라. 그리고, 이런 수열이 그것 하나뿐임을 증명하여라.


1. 정구각형 N의 외접원의 중심을 O라 하고, PQ와 QR을 N의 이웃한 두 변이라고 하

자. PQ의 중점을 A라 하고, QR에 수직인 반지름의 중점을 B라 하자. AO와 AB 사

이의 각을 구하여라.

2. 자연수 n에 대하여, 다음을 만족하는 실수 x (1 · x < n) 의 개수를 구하여라.

x3 ¡ bx3c = (x¡ bxc)3

(단, bxc는 x를 넘지 않는 최대의 정수이다.)


3. AB = BC 이고 \BCD = \EAB = 90◦ 인 볼록오각형 ABCDE가 있다. 이 오각형

의 내부에 점 X가 존재하여 AX는 BE에 수직이며, CX는 BD에 수직이다. BX는

DE에 수직임을 보여라.

4. K와 L은 자연수이다. 적당한 자연수 M이 존재하여, M보다 큰 자연수 n에 대해서는µK +

1

2

¶n+

µL+

1

2

¶n이 정수가 될 수 없음을 보여라.

5. 주어진 선분 AB를 점 B 방향으로 점 D까지 연장하자. 이 때 BD의 길이는 임의로

정해진다. AD을 지름으로 하는 반원을 그리고 그 중심을 H라 하자. \ABG가 예각

이 되는 반원 위의 한 점 G를 잡은 뒤, EH ¢ED = EZ2 을 만족하도록 BG에 평행한

선분 EZ를 그리자(E는 AD 위의 점, Z는 반원의 호 위의 점이다). 또한 ZH와 TB가

평행이 되도록 반원 위에 점 T를 잡자. \ABG = 3\TBG 임을 증명하여라.

6. 다음을 만족하는 함수 f를 모두 구하여라.

(i) 실수값은 갖는다.

(ii) x 6= 23 인 모든 실수에 대해 f(x)가 정의된다.

(iii) 23를 제외한 모든 실수 x에 대하여 다음을 만족한다.

498x¡ f(x) =1

2f

µ2x

3x¡ 2¶

7. P1; P2; : : : ; P1992 는 3차원 공간의 서로 다른 점들이며, 이들 중 서로 다른 세 점을 임

의로 택해 만들어지는 모든 삼각형 PiPjPk는 길이가 1 cm보다 작은 변을 적어도 하

나 갖는다. 이 때 반지름이 각각 1 cm인 두 개의 구 S1, S2가 존재하여, 주어진 1992개

의 점들 각각은 이 두 개의 구의 내부 중 적어도 한 곳에 속하게 됨을 증명하여라.

8. 자연수 n에 대해 다음을 증명하여라.

1

n+

1

n+ 1+

1

n+ 2+ ¢ ¢ ¢+ 1

2n¡ 1 > n(np2¡ 1)


1. 각 ACB가 둔각인 삼각형 ABC가 있다. 점 C에서 AB에 내린 수선의 발을 D라 하고,

AB의 중점을 M이라 하자. 또 AC의 연장선 위에 EM = BM 을 만족하는 점 E를 잡

고, 두 직선 BC와 DE의 교점을 F라 하자. BE = BF 라면 \CBE = 2\ABC 임을

증명하여라.


2. 모든 실수에 대하여 정의되고, 다음 두 성질을 만족하는 각각의 함수 f에 대하여

f(p5753 )의 값을 구하여라.

f(xy) = xf(y) + f(x)y

f(x+ y) = f(x1993) + f(y1993)

3. 각각의 수가 다른 두 수의 합을 나누는 세 자연수의 순서쌍 (a1; a2; a3)을 모두 구하여

라(단, a1 ¸ a2 ¸ a3).

4. 임의의 자연수 n에 대하여

f(n) = b2pn c ¡ bpn¡ 1 +pn+ 1 c

라 할 때, f(n) = 1 을 만족시키는 n을 모두 구하여라. (단, bxc는 x를 넘지 않는 최대

의 정수이다.)

5. 다음을 만족하는 모든 정수해 (x; y)를 구하여라.

(x+ 2)4 ¡ x4 = y3

6. 예각삼각형 ABC에서, 점 A, B, C에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 D, E, FF라

하자. H를 수심이라 할 때, 다음을 증명하여라.

AH

AD+

BH

BE+

CH

CF= 2

7. n은 자연수이고, a1; a2; : : : ; an은 양의 실수이며 s = a1 + a2 + ¢ ¢ ¢+ an 이다. 다음 두

부등식을 증명하여라.

nXi=1

ais¡ ai

¸ n

n¡ 1 과

nXi=1

s¡ aiai

¸ n(n¡ 1)

8. xy-평면 위의 삼각형 ABC는 세 꼭지점이 모두 격자점(정수 좌표의 점)이다. 또한 이

삼각형의 어느 변도 더 이상의 격자점을 지나지 않는다. 삼각형 ABC의 내부에는 격

자점이 딱 하나 존재하며 이를 G라 하자. G는 4ABC의 무게중심임을 증명하여라.


1. 삼각형 ABC의 변 BC 위에 BM = MN = NC 를 만족하는 두 점 M , N을 잡자.

AC에 평행한 한 직선이 직선 AB, AM , AN과 만나는 점을 각각 D, E, F라 하자.

EF = 3DE 임을 보여라.


2. 모든 정수 x에 대해, 다음의 수가 정수임을 증명하여라.

1

5x5 +

1

3x3 +

7

15x

3. 삼각형 ABC의 세 변의 길이는 모두 정수이고, AB의 길이와 AC의 길이는 서로 소이

다. 삼각형 ABC의 외접원의 점 A에서의 접선이 직선 BC와 만나는 점을 D라고 하

자. AD와 CD의 길이는 둘다 정수가 아닌 유리수임을 증명하여라.

4. 모든 유리수에 대하여 정의되고, 실수값을 가지며, 다음 조건을 항상 만족하는 함수

f를 모두 구하여라.

f(x+ y) = f(x) + f(y) + 2xy

5. q는 임의의 양의 실수이고, 실수 수열 an (n = 1; 2; : : : ) 은 a0 = 1, a1 = 1 + q 이며 모

든 자연수 k에 대해 다음 식을 만족한다.

(i) a2k¡1a2k¡2

= a2ka2k¡1

.

(ii) a2k ¡ a2k−1 = a2k+1 ¡ a2k

q가 얼마로 주어져도, 다음을 만족하는 자연수 N을 항상 찾을 수 있음을 보여라:

n > N 을 만족하는 모든 n에 대해서 항상 an > 1994 이다.

6. n은 자연수이다. 2n+ 1과 3n+ 1 모두 완전제곱수일 필요충분조건은 n+ 1이 연속된

두 제곱수의 합인 동시에, 한 제곱수에다 그 바로 다음 제곱수의 2배를 더한 수임을

보여라.

7. 서로 다른 13개국에서 온 학생들이 1993년 제 5회 아시아-태평양 수학 올림피아드에

참가하였다. 그들 각각의 나이는 14살, 15살, 16살, 17살, 18살의 5가지 중 하나이다.

자신과 같은 나라에서 온 참가자의 수보다 자신과 같은 나이의 참가자의 수가 더 많

은 참가자가 적어도 9명 있음을 증명하여라.

8. 평행사변형 ABCD의 변 AB 위에 점 E가, 변 CD 위에 점 F가 있다. AF와 ED의 교

점을 G, EC와 FB의 교점을 H라 하자. 또 GH의 연장선이 AD, BC와 만나는 점을

각각 L, M이라 하자. DL = BM 임을 증명하여라.


1. 10과 1029 사이의 수들 중, 십진법으로 나타내었을 때 각 자릿수가 1만으로 이루어지

는 소수는 많아야 9개임을 보여라.


2. 한 원의 둘레 위에 4n개(n은 자연수)의 점을 택해,시계 방향으로 차례로 1; 2; 3; : : : ; 4n

의 번호를 매겼다. 짝수 번호를 가지고 있는 2n개의 점들을 n개의 쌍으로 나누어, 각

쌍의 두 점을 녹색 현으로 연결하였다. 마찬가지로 홀수 번호를 가지고 있는 2n개의

점들도 n개의 쌍으로 나누어, 각 쌍의 두 점을 금색 현으로 연결하였다. 어떠한 세

현(색은 상관없이)을 택해도 한 점에서 만나는 경우가 없다면, 녹색 현과 금색 현의

교점이 n개 이상 있음을 증명하여라.

3. 한 직선과 두 동심원과의 교점을 순서대로 A, B, C, D라 하자. AE와 BF는 각 원에

서 하나씩 택한, 서로 평행한 현이다. G에서 BF에 내린 수선을 GC라 하고, H에서

AE에 내린 수선을 DH라 하자. GF = HE 임을 증명하여라.

4. 다음을 만족하는 모든 자연수 순서쌍 (x; y)를 구하여라.

y2(x¡ 1) = x5 ¡ 1

5. 다음 두 조건을 만족하는 실수쌍 (x; y)가 딱 하나 존재하도록 하는 실수 r을 모두 구

하여라.

(i) y ¡ x = r

(ii) x2 + y2 + 2x · 1

6. 임의의 자연수 n에 대하여, f(n; k)는 다항식 (x2 + x + 1)n의 전개식에서 xk의 계수

로 정의하자. 정수 f(n; k) (k = 0; 1; : : : ; 2n) 들 중에서 딱 세 개만 홀수가 되도록 하는

n이 무한히 많음을 증명하여라.

7. 삼각형 ABC에서 AK, BL, CM이 한 점에서 만나도록 변 AB, BC, CA 위에 각각 점

K, L, M을 잡았다. 점 M을 지나 KL에 평행한 직선이 BC와 만나는 점을 V , AK와

만나는 점을 W라 할 때, VM =MW 임을 증명하여라.

8. 다음 성질을 만족하는 함수 f : R+ ! R 를 모두 구하여라(R+는 양의 실수의 집합).

(i) 임의의 x; y 2 R+ 에 대해 f(xy) = f(x)f( 3y ) + f(y)f( 3x)

(ii) f(1) = 12



1998 Intermediate Olympiad

원래는 12문제이지만 대체로 너무 쉬워 2문제만 소개합니다.

1. 한 농부가 그의 세 아들에게 각각 1x ,

1y ,

1z의 말을 상속한다는 유언을 남기고 죽었다.

하지만 그가 가진 말은 (xyz ¡ 1)마리로 x, y, z 등의 배수가 아니었다. 아들들은 이웃

으로부터 말을 한 마리 빌려와서 유언에 따라 말을 잘 분배하였고, 남은 말 한 마리를

그 이웃에게 돌려주었다. 이 농부의 말은 모두 몇 마리였을까?

2. 반지름이 각각 10, 17인 두 원이 두 점 X, Y 에서 만나는데 XY = 16 이다. 두 원의 중

심은 직선 XY 에 대해 서로 반대편에 있다. PXQ가 직선이 되도록 두 원의 긴 쪽의

호에 두 점 P , Q를 잡았다. PQ의 길이가 최대가 되는 위치와 그 최대의 길이를 구하

여라.

1998 Senior Contest

1. 삼각형 ¢의 세 변의 길이는 a, b, c이고, 삼각형 ¢a는 a , b, c, 삼각형 ¢b는 a, b , c, 삼

각형 ¢c는 a, b, c 을 각각 세 변의 길이로 갖는다. 그리고 이들 삼각형은 모두 넓이가

1이고, a 6= a , b 6= b , c 6= c 이다.

(1) 세 변의 길이가 a , b , c 인 삼각형 ¢이 존재함을 보여라.

(2) 삼각형 ¢의 넓이를 구하여라.

2. 다음 부등식을 만족하는 자연수 n을 모두 구하여라.s1 + 1

2n¡1

2< 1¡ 2

n

3. 함수 f가 임의의 실수 x에 대해 다음 조건을 항상 만족한다고 한다:

(i) f(999 + x) = f(999¡ x)

(ii) f(1998 + x) = ¡f(1998¡ x)

f가 다음의 성질을 가짐을 증명하여라:

(a) 임의의 실수 x에 대해 f(¡x) = ¡f(x)


(b) 적당한 양의 실수 T가 존재하여, 임의의 실수 x에 대해 f(x+ T ) = f(x) 를 만족

한다.

4. 원에 내접하는 사각형 ABCD의 대각선 AC와 BD가 M에서 직교한다. AB의 중점을

N이라 하고, NP와 CD가 수직이 되도록 CD 위에 잡은 점을 P라 하자. 세 점 M , N ,

P는 한 직선 위에 있음을 보여라.

5. n이 자연수일 때 다음을 증명하여라:

(a) 만일 방정식 xa +

yn−a = 1 에 의해 결정되는 직선이 양의 격자점을 지나도록 하

는 자연수 a (a < n) 가 존재한다면, n은 소수가 아니다.

(b) n이 소수가 아니라면, 방정식 xa +

yn−a = 1 에 의해 결정되는 직선이 양의 격자

점을 지나도록 하는 자연수 a (a < n) 가 존재한다.


1. 네 점 P , Q, R, S가 한 원 위에 이 순서대로 놓여있는데, PQ와 SR은 평행하고 QR =

SR 이라고 한다. 같은 평면 위의 점 T에 대해, QT가 이 원의 접선이고 각 RQT가 예

각이라고 한다. 이 때 다음을 증명하여라.

(1) PS = QR,

(2) 각 PQT는 QR, QS에 의해 3등분된다.

2. 어떤 마을에 99개의 단체 C1; C2; : : : ; C99 가 있다. 각 단체에는 적어도 한 명의 회원이

있고, 어떤 두 단체도 회원 명단이 완전히 일치하지는 않는다고 한다. 다음의 성질을

갖는 n명의 집합 S가 있음을 확신할 수 있는 가장 작은 자연수 n을 구하여라: 임의의

서로 다른 두 단체 Ci와 Cj (1 · i; j · 99) 에 대하여, Ci에 속하지만 Cj에는 속하지

않는 사람이 S에 있거나, 혹은 Cj에 속하지만 Ci에는 속하지 않는 사람이 S에 있다.

3. (1) 다음을 만족하는 자연수 a1, a2, a3과 d3을 찾아라.

(i) ak ¡ ak−1 = d3 for k = 2; 3,

(ii) ai = bmii for i = 1; 2; 3 을 만족하는 정수들 mi(> 1) 와 bi가 있다.

(2) 임의의 자연수 n > 1 에 대해, 다음을 만족하는 자연수 a1; a2; : : : ; an과 dn이 존재

함을 보여라.

(i) ak ¡ ak−1 = dn for k = 2; 3; : : : ; n,


(ii) ai = bmii for i = 1; 2; : : : ; n 을 만족하는 정수들 mi(> 1) 와 bi가 있다.

4. 삼각형 4의 내접원의 반지름이 r이다. 4의 수선의 길이의 합이 적어도 9r이 됨을 증

명하여라.

5. x > 1 은 실수이고 n > 1 은 정수이다. 다음을 증명하여라.

1 +x¡ 1nx

< npx < 1 +

x¡ 1n

6. 삼각형 ABC의 외부에 4ABD, 4BCE, 4CAF가 정삼각형이 되도록 하는 점 D, E,

F를 잡자. 이 정삼각형들의 변을 연장하여 다음과 같은 교점을 만들자: BE와 AF는

K에서 만나고, DB와 FC는 L에서, DA와 EC는 M에서 만난다. 세 직선 DK, EL,

FM이 모두 평행함을 증명하여라.

7. n은 정수, p는 소수이고 1 + np 가 완전제곱수라고 한다. n+ 1 이 p개의 완전제곱수

의 합으로 나타내어짐을 증명하여라.

8. (1) 다음 성질들을 만족하는 정수 수열 fa1; a2; a3; ¢ ¢ ¢ g 을 하나 찾아라.

(i) 임의의 n에 대해, an = 1 or ¡1,(ii) 임의의 m, n에 대해, amn = aman,

(iii) 어떤 n에 대해서도 an = an+1 = an+2 이 성립하지 않는다.

(2) 위의 성질 (i), (ii), (iii)을 만족하는 정수 수열 fa1; a2; a3; ¢ ¢ ¢ g 을 모두 구하여라.


1. p(q ¡ r) = q + r 을 만족하는 모든 소수해 (p; q; r)을 찾아라.

2. R은 실수 전체의 집합, S는 0과 1을 제외한 실수 전체의 집합이다.

임의의 x 2 S 에 대해 f(x) +1

2xf

µ1

1¡ x

¶= 1

을 만족하는 함수 f : S ! R 를 모두 구하여라.

3. \C = 2\B 인 삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내부에 BD = CD 이고 AC = AD

인 점 D를 잡자. \A = 3\BAD 임을 보여라.

4. p(x)는 최고차항의 계수가 1인 2003차의 정수계수 다항식이다. 방정식 p(x)2 = 25 는

2003보다 많은 개수의 정수해를 가질 수 없음을 보여라.


5. 사이클 경주가 시작된지 10분 후, A, B, C 세 명의 선수가 이 순서로 달리고 있다. 이

로부터 경기가 끝날 때까지 선두는 19번 바뀌었고, 3위는 17번 바뀌었다. 그리고 어

떤 순간에도 세 명의 선수가 나란히 겹치는 경우는 없었다. B가 3위로 경기를 마쳤을

때, 우승자는 누구인가?

6. 삼각형 ABC에서 BC의 중점을 D라 하자. 직선 AD 위에 \CEA가 직각이 되는 점

E를 잡았더니 \ACE = \B 가 되었다. \A가 직각이 아니라면 AB = AC 가 됨을 보

여라.

7. 수열 a1; a2; a3; : : : 이

a1 = 0; an+1 = §(an + 1) (n ¸ 1)

을 만족한다. 임의의 n에 대해, 처음 n항의 산술 평균은 ¡12 이상임을 보여라.

8. 10개의 문자 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J에서 중복을 허용하여 고른 길이 n의 문자열

을 생각하자. 이렇게 만든 임의의 문자열에서 각 문자를 0; 1; : : : ; 9의 숫자로 하나씩

대응하여 적당히 바꾸어주면 최고 자리가 0이 아니고 9의 배수인 n자리의 수를 항상

얻을 수 있음을 보여라.


1. x3 + 3x2 + ax + b = 0 의 세 실근이 등차수열을 이룬다고 한다. 이런 실수쌍 (a; b)를

모두 찾아라.

2. x, y, z는 적당한 수 a, b에 대해 a+ b+ x+ y + z = 2004 와 0 · x · a · y · b · z 를

만족시킨다. x+ y + z 의 최대값과 최소값을 구하여라.

3. 1; 2; 3; : : : ; 2004를 재배열한 수열 a1; a2; a3; : : : ; a2004 중에, ja1 ¡ 1j = ja2 ¡ 2j = ¢ ¢ ¢ =ja2004 ¡ 2004j > 0 을 만족하는 것의 개수를 구하여라.

4. 정삼각형 ABC에서 변 BC와 평행한 직선이 변 AB, AC와 D, E에서 만난다. 선분

CD의 중점을 F라 하고, 정삼각형 ADE의 중심을 G라 하자. 삼각형 BFG의 세 내각

의 크기를 구하여라.

5. 6m + 2n + 2 가 완전제곱수가 되는 음이 아닌 정수쌍 (m;n)을 모두 구하여라.

6. 다음을 만족하는 함수 f : N! N 이 존재하는가?

f(f(1)) = 5; f(f(2)) = 6; f(f(3)) = 4; f(f(4)) = 3; f(f(n)) = n+ 2 (n ¸ 5)


7. 4개 이상의 짝수 개의 구슬로 이루어진 목걸이가 있다. 각 구슬은 빨강, 파랑, 혹은 녹

색이고 파랑 구슬과 녹색 구슬의 수는 같다. 이 목걸이에서 두 곳을 잘라 두 줄로 나

누는데, 두 줄의 구슬이 각각 짝수 개이고 각각 같은 수의 파랑 구슬과 녹색 구슬을

갖도록 할 수는 없다고 한다. 이 목걸이의 빨강 구슬의 개수로 가능한 값을 모두 찾아

라.

8. 평행사변형 ABCD의 내부에 \ABP = 2\ADP , \DCP = 2\DAP 를 만족하는 점

P가 있다. ABP가 정삼각형임을 보여라.


제 II 부

풀이편

1989 호주 수학올림피아드 풀이 31

1989 호주 수학올림피아드 풀이

1. N(n) =홀수 , N =제곱수.

2. AK, AH의 연장이 BC와 만나는 점을 L, M이라 하면 KH는 4ALM의 중점연결선.

3. 귀류법 u1 + ¢ ¢ ¢+ un · 1989 이면 un+1 ¸ 11989 . ) N · 19892.

(별해/정명진) 1 ¸ ui > 0이므로 u1+¢ ¢ ¢+un−1 · (n¡1),즉 un ¸ 1n−1 . u1+¢ ¢ ¢+uN ¸

1 + ¢ ¢ ¢+ 1N−1 !1.

4. 귀납법. or a < b < c 인 세 수를 고르면 d는 저절로 결정. 2b = a+ c 인 경우(b = d 인

경우) 배제하고 a, b, c 등의 순서가 섞이는 것을 고려해주면...

5. 귀류법. 3m(3k + 2)꼴이라서 제곱수가 아님.

6.

7. f(x) = 2x+ 3 이 성립하는 x들을 점점 늘려가면... x1 = 4, xn+1 = 2xn + 3 으로 두면

x9 = 1789.

8.


1. 90◦ 이상의 내각에 대한 대각선(둔각삼각형의 빗변)을 g 이라 하면 끝.

2. 소수의 거듭제곱꼴이 아닌 수

3. Z는 ZA = ZP = ZC 로 4APC의 외심.

4. g(x) = f(x)¡1로 치환하면 두 조건은 g(x)+1 = x(g( 1x)+1)과 g(x)+g(y) = g(x+y)

로 바뀐다. 두 번째 식의 y에 x를 대입하면 g(2x) = 2g(x) 이므로, 첫 번째 식과 연관

시키면

g(2x) = 2xg(1

2x) + 2x¡ 1 = xg(

1

x) + 2x¡ 1

2g(x) = 2xg(1

x) + 2x¡ 2

의 두 식이 같아야 한다.즉, xg( 1x) = 1, g(1x ) =

1x 이다. x 대신 1

x 를 대입하면 g(x) = x.

따라서, f(x) = x+ 1 뿐이다.

32 1999 호주 수학올림피아드 풀이

5. (호주MO 1991-5, KMO 1994-1) 가장 큰 삼각형 PiPjPk를 잡자. 그럼 이 삼각형의 꼭

지점을 각 변의 중점으로 하는, 이 삼각형의 4배 크기의 삼각형 안에 나머지 점들이

다 들어와야 함을 보일 수 있다.

6. f(n) =3√n+1− 3√n−1

2 가 되어 telescoping 문제. 답은3√1000000− 3√0

2 = 1002 = 50.

(과기원 전자과 96학번 문상권) f(1) + f(3) + f(5) + ¢ ¢ ¢+ f(999997) + f(999999)

f(n) =1

3p(n+ 1)2 + 3

p(n+ 1)(n¡ 1) + 3

p(n¡ 1)2 ¢

3pn+ 1¡ 3

pn¡ 1

( 3pn+ 1¡ 3

pn¡ 1)

R7 분모, 분자에 ( 3pn+ 1¡ 3

pn¡ 1을 곱함)

R7 =3pn+ 1¡ 3

pn¡ 1

(n+ 1)¡ (n¡ 1) =3pn+ 1¡ 3

pn¡ 1

2

R7f(n) =3pn+ 1¡ 3

pn¡ 1

2이므로

f(1) + f(3) + ¢ ¢ ¢+ f(999999)는3pn+ 1

2의 맨마지막 항과

3pn¡ 12

의 첫항만 남는다.

) f(1) + f(3) + ¢ ¢ ¢+ f(999999) =100

2= 50

7. PR k BC 인 점 R 을 변 AC 위에 잡고 Q 은 PR 의 중점이라 하면, 중점연결정리에

의해 QQ k RR , 즉 AM k AC 가 되어 모순.

8. x2 + x ¡ 1 = 0 의 두 근을 0 < ® < 1, ¡2 < ¯ < ¡1 이라 하면, 선형동차점화식에

의해 an = (1¡ c)®n + c¯n 꼴이다. 여기서 ®n항은 점점 0으로 가까워져 소거될 값이

고 ¯n은 음/양을 반복하며 점점 발산하는 값이므로 모든 항이 양수가 되기 위해서는

c = 0 이어야 한다. 따라서, an = ®n.


1998 Intermediate Olympiad

AUSMO 1998-J1AUSMO 1998-J1

한 농부가 그의 세 아들에게 각각 1x ,

1y ,

1z의 말을 상속한다는 유언을 남기고 죽었다. 하지

만 그가 가진 말은 (xyz ¡ 1)마리로 x, y, z 등의 배수가 아니었다. 아들들은 이웃으로부터

말을 한 마리 빌려와서 유언에 따라 말을 잘 분배하였고, 남은 말 한 마리를 그 이웃에게

돌려주었다. 이 농부의 말은 모두 몇 마리였을까?


풀이 (대전 둔산중 3학년 이태호) 한 마리 빌려오면 xyz마리, 이를 각각 yz, zx, xy로

분배하고 1마리가 남으므로

xyz = yz + zx+ xy + 1; 즉 1 =1

x+1

y+1

z+

1

xyz

이다. x · y · z 라 해도 일반성을 잃지 않는다. x = 1 이면 우변이 크므로 x ¸ 2.

1x ¸ 1

y ¸ 1z > 1

xyz 이므로,

1 =1

x+1

y+1

z+

1

xyz<1

x+1

x+1

x+1

x=4

x

고로 x < 4. 즉 x = 2 or 3. 만일 x = 3 이면

2

3=1

y+1

z+

1

3yz<1

y+1

y+1

3y=7

3y

고로 2y < 7, 즉 y = 3. 이 때 13 =

1z +

19z =

109z , z =

103 으로 모순. 따라서 x = 2.

1

2=1

y+1

z+

1

2yz=) yz = 2z + 2y + 1 =) (y ¡ 2)(z ¡ 2) = 5

이를 만족하는 해는 (y ¡ 2; z ¡ 2) = (1; 5), 즉 (x; y; z) = (2; 3; 7) 뿐이다. 그럼 답은

xyz ¡ 1 = 41마리. }

AUSMO 1998-J2AUSMO 1998-J2

반지름이 각각 10, 17인 두 원이 두 점 X, Y 에서 만나는데 XY = 16 이다. 두 원의 중심은

직선 XY 에 대해 서로 반대편에 있다. PXQ가 직선이 되도록 두 원의 긴 쪽의 호에 두 점

P , Q를 잡았다. PQ의 길이가 최대가 되는 위치와 그 최대의 길이를 구하여라.

풀이 (대전 노은중 2학년 김희주) 점 Y 를 지나는 두 원의 지름의 반대쪽 끝점을 P ,

Q이라 하면, 원주각 \PXY = \QXY = 90◦ 가 되어 세 점 P , Q, X는 한 직선 위에

있다.

또 다른 임의의 P , Q를 P , Q 이라 하자.현 XY 에 대한 원주각은 일정하므로\XP Y =

\XPY , \XQ Y = \XQY 로 두 삼각형 PQY 와 P Q Y 가 항상 닮았다. 그런데 한 원


에서 그을 수 있는 현의 최대길이는 지름이므로 PY > P Y , QY > Q Y 이고, 그

럼 PQ > P Q 이다. 따라서 P , Q가 최대의 위치이다. 이 때의 길이를 구하면, 우선

PY = 20, QY = 34, XY = 16. 그리고 피타고라스 정리에 의해

PX =p202 ¡ 162 = 12; QX =

p342 ¡ 162 = 30

즉, PQ = PX +QX = 42 이다. }

1998 Senior Contest

AUSMO 1998-S1AUSMO 1998-S1

삼각형 ¢의 세 변의 길이는 a, b, c이고, 삼각형 ¢a는 a , b, c, 삼각형 ¢b는 a, b , c, 삼각

형 ¢c는 a, b, c 을 각각 세 변의 길이로 갖는다. 그리고 이들 삼각형은 모두 넓이가 1이고,

a 6= a , b 6= b , c 6= c 이다.

1. 세 변의 길이가 a , b , c 인 삼각형 ¢이 존재함을 보여라.

2. 삼각형 ¢의 넓이를 구하여라.

풀이 (대전 대덕중 3학년 이태희 풀이를 조금 수정) 두 변의 길이가 주어지고 넓이

가 주어졌을 때 그런 삼각형은 기껏해야 두 종류밖에 없음을 확인하자.

한 길이를 밑변 XY 로 할 때 넓이가 일정하면 높이가 일정하므로, 그 높이에 XY 의 평

행선 `을 그리고 X를 중심으로 다른 주어진 길이의 변 XZ를 반지름으로 갖는 원을

그리면 교점은 많아야 둘이기 때문이다. 그리고 이미 하나의 삼각형이 가능할 때 그것

이 직각삼각형이 아니면 교점은 정확히 둘이 생긴다.


이제 BC, CA, AB가 각각 a, b, c라 하자.그럼 ABC는 직각삼각형이 아니다. ABCD가

평행사변형이 되도록 점 D를 잡고, AC의 연장선에 AC = AE 인 점 E를 잡자.

4ABE,4ABD,4ADE의 변의 길이를 알아보면 각각 (EB; b; c), (a;BD; c), (a; b;DE)

이고 이들은 모두 ABC와 합동이 아니므로, 그럼 앞에서 확인한 바에 따라 이들이 ¢a,

¢b, ¢c 일 수밖에 없다. 즉 EB = a , BD = b , DE = c 이다. 따라서, 세 변의 길이가

각각 a , b , c 인 삼각형 ¢ = 4DEB 가 존재하고, 그 넓이는 ¢ = ¢a +¢b +¢c = 3

이다. }


다음 부등식을 만족하는 자연수 n을 모두 구하여라.s1 + 1

2n¡1

2< 1¡ 2

n

풀이 (대전 둔산중 3학년 이태호) 좌변은q12보다 크므로

1p2< 1¡ 2

n=) 2

n< 1¡ 1p

2=) n >

2p2p

2¡ 1 = 4 + 2p2 = 6:8 ¢ ¢ ¢

따라서 n ¸ 7. n = 7 일 때 준식의 양변을 제곱하면1 + 1

64

2<

µ1¡ 2

7

¶2, 즉

65

128<25

49

이고 이것은 3185 < 3200 으로 성립. n이 더 커지면 좌변은 점점 감소하고 우변은 점

점 증가하므로 당연히 성립한다. 따라서, 문제의 부등식은 n ¸ 7 일 때에만 성립한다.

}


함수 f가 임의의 실수 x에 대해 다음 조건을 항상 만족한다고 한다:

(i) f(999 + x) = f(999¡ x)


(ii) f(1998 + x) = ¡f(1998¡ x)

f가 다음의 성질을 가짐을 증명하여라:

(a) 임의의 실수 x에 대해 f(¡x) = ¡f(x)

(b) 적당한 양의 실수 T가 존재하여, 임의의 실수 x에 대해 f(x+T ) = f(x) 를 만족한다.

증명 (대전 문정중 3학년 송지용) (i)를 응용하면

f(1998 + x) = f(999 + (999 + x)) = f(999¡ (999 + x)) = f(¡x)f(1998¡ x) = f(999 + (999¡ x)) = f(999¡ (999¡ x)) = f(x)

여기서 (ii)에 의해 f(¡x) = ¡f(x) 임을 알 수 있다. 또 (ii)와 (a)에 의해,

f(x+ 3996) = f(1998 + (1998 + x)) = ¡f(1998¡ (1998 + x)) = ¡f(¡x) = f(x)

즉 (b)도 성립한다. ¤


원에 내접하는 사각형 ABCD의 대각선 AC와 BD가 M에서 직교한다. AB의 중점을 N이

라 하고, NP와 CD가 수직이 되도록 CD 위에 잡은 점을 P라 하자. 세 점 M , N , P는 한

직선 위에 있음을 보여라.

증명 (대전 용전중 3학년 김진현) M에서 CD에 내린 수선의 발을 P 이라 하자.

\CMP = o 라 하자.

CMD가 직각삼각형이므로 \CDM = o. 동위 원주각임에서 \BAC = o. N이 직각삼

각형 ABM의 외심임에서 \NMA = o 이다. 여기서 \CMP 와 \NMA가 같아 맞꼭

지각이 되므로, N , M , P 은 일직선을 이룬다. 그럼 N에서 CD에 내린 수선의 발 P는

P 과 일치하게 되고, N , M , P는 한 직선 위에 있다. ¤



n이 자연수일 때 다음을 증명하여라:

(a) 만일 방정식 xa +

yn−a = 1 에 의해 결정되는 직선이 양의 격자점을 지나도록 하는 자

연수 a (a < n) 가 존재한다면, n은 소수가 아니다.

(b) n이 소수가 아니라면, 방정식 xa +

yn−a = 1 에 의해 결정되는 직선이 양의 격자점을

지나도록 하는 자연수 a (a < n) 가 존재한다.

증명 (KAIST 과학영재센터 연구원 고봉균) 먼저 격자절편 (p; 0)과 (0; q)를 잇는 선

분 ` 위에 다른 격자점이 없을 동치조건이 p와 q가 서로 소임(¤)을 확인해두자. p와 q가

서로 소가 아니면 qp가 기약이 아니므로 q

p =q0p0 인 분자분모가 더 작은 분수가 존재한

다. 그럼 (x; y) = (p¡ p ; q )이 선분 ` 위의 양의 격자점이 된다. 이 논증은 역도 잘 성

립한다. 즉 원하던 사실 (¤)을 확인할 수 있었다.

이제 문제를 증명해보자. (¤)에 의해, 문제의 직선에 항상 양의 격자점이 없다는 것은

a와 n¡ a 가 항상 서로 소임과 동치이다. gcd(a; n ¡ a) = gcd(a; n) 이므로 이것은 또

한 a와 n이 항상 서로 소임과 동치이고, 이것은 n이 소수임을 의미한다. ¤


AUSMO 1999-1AUSMO 1999-1

네 점 P , Q, R, S가 한 원 위에 이 순서대로 놓여있는데, PQ와 SR은 평행하고 QR = SR

이라고 한다. 같은 평면 위의 점 T에 대해, QT가 이 원의 접선이고 각 RQT가 예각이라고

한다. 이 때 다음을 증명하여라.

(1) PS = QR,

(2) 각 PQT는 QR, QS에 의해 3등분된다.


증명 (KAIST 수학과 02학년 한상준) PQ k SR 이므로 \PQS = \QSR (엇각) 이

므로 이들을 원주각으로 하는 현의 길이는 PS = QR 로 같다(1).

또한, 4QRS와 접선 QT에서 접선과 현이 이루는 각의 성질에 따라 \QSR = \RQT

이다. 따라서, \PQT는 QR, QS에 의해 3등분된다. ¤


어떤 마을에 99개의 단체 C1; C2; : : : ; C99 가 있다. 각 단체에는 적어도 한 명의 회원이 있

고, 어떤 두 단체도 회원 명단이 완전히 일치하지는 않는다고 한다. 다음의 성질을 갖는

n명의 집합 S가 있음을 확신할 수 있는 가장 작은 자연수 n을 구하여라: (성질 P ) 임의의

서로 다른 두 단체 Ci와 Cj (1 · i; j · 99) 에 대하여, Ci에 속하지만 Cj에는 속하지 않는

사람이 S에 있거나, 혹은 Cj에 속하지만 Ci에는 속하지 않는 사람이 S에 있다.

풀이 (KAIST과학영재센터 연구원 고봉균)단체의 수 99를 m(> 0)으로 일반화하여

풀자. 그럼 문제에서 원하는 최소의 n은 m에 따라 변하므로, 이를 n(m)이라 하자. 단

체들 C1; : : : ; Cm이 어떤 식으로 구성되어도 문제의 성질 P를 만족하는 n(m)명의 집

합 S가 존재해야 하므로, 특수하게 C1 = fx1g; : : : ; Cm = fxmg 과 같이 각 단체가 서

로 다른 한 명의 회원만을 포함하는 경우에도 그런 집합 S를 만들 수 있어야 한다. 만

일 n(m) < m ¡ 1 이면 S에 포함되지 않는 Ci가 둘 이상 있고, 그 두 Ci에 대해 성질

P가 만족되지 않는다. 따라서,

n(m) ¸ m¡ 1

이 된다. 이제 n(m) = m¡ 1 임을 m에 대한 수학적 귀납법으로 증명하자. m = 1; 2 일

때에는 자명하다. m일 때까지 성립한다고 하고 m+ 1일 때를 증명하자. C1; C2 중 어

느 한 곳에만 속하는 사람을 a라 하자. 즉, a는 적어도 한 단체의 회원이면서 모든 단

체의 회원은 아닌 사람이다. a를 회원으로 하는 단체(a-단체)가 m1개, 그렇지 않은 단

체(¹a-단체)가 m2개라 하자(m1 +m2 = m+ 1, m1;m2 > 0). 그럼


(1) a-단체와 ¹a-단체 사이에서는 a를 택하면 되고,

(2) 귀납법의 가정에 의해 a-단체들 사이에 성질 P를 만족하는 m1¡1명의 집합 S1이,

(3) ¹a-단체들 사이에 성질 P를 만족하는 m2 ¡ 1명의 집합 S2가 존재한다.

즉, S = fag [ S1 [ S2 로 하면

jSj · 1 + (m1 ¡ 1) + (m2 ¡ 1) = (m+ 1)¡ 1

이므로, (m+1)¡1명이면 충분함을 알 수 있다. 따라서, 수학적 귀납법으로 증명이 되

었다. }


(1) 다음을 만족하는 자연수 a1, a2, a3과 d3을 찾아라.

(i) ak ¡ ak−1 = d3 for k = 2; 3,

(ii) ai = bmii for i = 1; 2; 3 을 만족하는 정수들 mi(> 1) 와 bi가 있다.

(2) 임의의 자연수 n > 1 에 대해, 다음을 만족하는 자연수 a1; a2; : : : ; an과 dn이 존재함을

보여라.

(i) ak ¡ ak−1 = dn for k = 2; 3; : : : ; n,

(ii) ai = bmii for i = 1; 2; : : : ; n 을 만족하는 정수들 mi(> 1) 와 bi가 있다.

풀이 (KAIST 과학영재센터 연구원 고봉균)

(1) (a1; a2; a3) = (1; 25; 49) = (12; 52; 72) 으로 두면 d3 = 24 가 된다.

(2) 앞에서 찾은 길이 3의 거듭제곱수열 (12; 52; 72)으로부터 항의 수를 하나 더 늘린

거듭제곱수열

(r2; (5r)2; (7r)2; w)

를 만들어보자. w ¡ (7r)2 = (7r)2 ¡ (5r)2 을 만족하면 되므로 w = 73r2. 이것이 거듭

제곱수이면 되므로 r = 73 으로 택하면 된다. 이렇게 귀납적으로 항의 수를 하나씩 계

속 늘릴 수 있음을 보이자.

(a1; : : : ; an) = (bm11 ; : : : ; bmn

n )

이 일정한 공차를 갖는 길이 n의 거듭제곱수열이라 하고, 길이 n+ 1의 거듭제곱수열

(bm11 rm; : : : ; bmnn rm; w) = ((b1r

m=m1)m1 ; : : : ; (bnrm=mn)mn ; w)


을 만들어보자. 단, m은 mi들의 최소공배수 또는 mi들을 모두 곱한 것 정도로 택하

면 되겠다. 이렇게 rm을 모든 항에 곱해도 n째 항까지는 공차가 같도록 유지되므로,

w ¡ bmnn rm = bmn

n rm ¡ bmn¡1n−1 rm 만 만족하면 된다. 즉,

w = (2bmnn ¡ b

mn¡1n−1 )r

m

이 거듭제곱수가 되면 되므로, r = 2bmnn ¡ b

mn¡1n−1 로 두면 그만이다. 따라서, 임의의 자

연수 n > 1 에 대해 이렇게 일정한 공차를 갖는 거듭제곱수열을 항상 찾을 수 있다. }


삼각형 4의 내접원의 반지름이 r이다. 4의 수선의 길이의 합이 적어도 9r이 됨을 증명하

여라.

증명 (대전 용전중 3학년 김진현) 삼각형 4의 넓이를 S라 하고, 세 변 a, b, c에 대응

되는 수선의 길이를 x, y, z라 하자. 그럼

2S = (a+ b+ c)r = ax = by = cz

산술-조화평균 부등식(또는 코시부등식으로도 가능)에 의해

1

a+1

b+1

c¸ 9

a+ b+ c

가 성립하므로,

x

2S+

y

2S+

z

2S¸ 9r

2S즉, x+ y + z ¸ 9r

의 원하는 부등식을 얻을 수 있다. ¤


x > 1 은 실수이고 n > 1 은 정수이다. 다음을 증명하여라.

1 +x¡ 1nx

< npx < 1 +

x¡ 1n

증명 (KAIST 수학과 02학번 유환철) x = yn (y > 1) 으로 치환하면 부등식은 다음

과 같이 동치변형된다.yn ¡ 1nyn

< y ¡ 1 < yn ¡ 1n

각 변에 nyn을 곱해주고 y ¡ 1로 나눠주면

yn−1 + ¢ ¢ ¢+ y + 1 < nyn < yn(yn−1 + ¢ ¢ ¢+ y + 1)


이다. 이것은 y > 1 로부터

yn−1 + ¢ ¢ ¢+ y + 1 < yn + ¢ ¢ ¢+ yn + yn < y2n−1 + ¢ ¢ ¢+ yn+1 + yn

임을 관찰하면 증명이 바로 된다. ¤


삼각형 ABC의 외부에 4ABD, 4BCE, 4CAF가 정삼각형이 되도록 하는 점 D, E, F를

잡자. 이 정삼각형들의 변을 연장하여 다음과 같은 교점을 만들자: BE와 AF는 K에서 만

나고, DB와 FC는 L에서, DA와 EC는 M에서 만난다. 세 직선 DK, EL, FM이 모두 평

행함을 증명하여라.

증명 (대전 용전중 3학년 김진현) \KAB = 180◦ ¡\FAC ¡\A = 120◦ ¡\A 이다.

비슷하게 \KBA = 120◦ ¡ \B 이고, \A+ \B + \C = 180◦ 이므로 4KAB의 내각

의 합에서 \AKB = 120◦ ¡ \C 이다.

4LBC, 4MCA의 내각들도 마찬가지로 구할 수 있고, 그럼

4ABK » 4LBC » 4AMC

의 닮은 삼각형들이 된다. 이 닮음비를 l : 1 : k 라 하고

CB = x; BL = y; LC = z

라 하면

KB = xl; BA = yl; AK = zl; CM = xk; MA = yk; AC = zk

가 된다. 4KBD와 4EBL에서

KB : BD = KB : BA = xl : yl = x : y = EB : BL


로 맞꼭지각과 함께 서로 닮음이고,따라서 DK와 EL은 평행. 같은 방법으로4KAD와

4FAM이 닮음이고 KD와 FM도 평행. 따라서, 세 직선 DK, EL, FM은 모두 평행

하다. ¤

주 복소수를 이용할 수도 있다.


n은 정수, p는 소수이고 1 + np 가 완전제곱수라고 한다. n+ 1 이 p개의 완전제곱수의 합

으로 나타내어짐을 증명하여라.

증명 (KAIST과학영재센터 연구원 고봉균) 1+np = t2 으로 두면 np = (t+1)(t¡1),즉 p j (t+ 1)(t¡ 1) 이다. p가 소수이므로 p j t+ 1 또는 p j t¡ 1. 여기서 t = rp§ 1 로

둘 수 있다. 그럼

n+ 1 =(rp§ 1)2 ¡ 1

p+ 1 = r2p§ 2r + 1 = (p¡ 1)r2 + (r § 1)2

으로 p개의 완전제곱수의 합이 된다. ¤


(1) 다음 성질들을 만족하는 정수 수열 fa1; a2; a3; ¢ ¢ ¢ g 을 하나 찾아라.

(i) 임의의 n에 대해, an = 1 or ¡1,(ii) 임의의 m, n에 대해, amn = aman,

(iii) 어떤 n에 대해서도 an = an+1 = an+2 이 성립하지 않는다.

(2) 위의 성질 (i), (ii), (iii)을 만족하는 정수 수열 fa1; a2; a3; ¢ ¢ ¢ g 을 모두 구하여라.


(2)만 풀도록 하겠고, 1과 ¡1을 간단히 +와 ¡로 표기하기도 하겠다. 먼저 (ii)에서

an = ana1, an2 = (an)2, an2k = an2ak 등이 성립하므로

a1 = a4 = ¢ ¢ ¢ = an2 = ¢ ¢ ¢ = +; an2k = ak

등을 알 수 있다. 이제

a2 = ¡; a5 = ¡

임을 확인해보자. a2 = + 라면 (iii)에 의해 a3 = ¡, 또 (ii)에 의해 a6 = ¡ 이다. a8 =

a9 = +이므로 a7 = a10 = ¡이다. a10 = a5a2 이므로 a5 = ¡,즉 ++¡+¡¡¡++¡ 의


수열인데, 보다시피 (iii)에 어긋나 모순. 따라서 a2 = ¡ 일 수밖에 없다. 한편 a5 = +

라면 a4 = + 와 (iii)에 의해 a3 = a6 = ¡ 인데, 이것은 a6 = a3a2 을 만족하지 않아서

모순. 따라서 a5 = ¡ 일 수밖에 없다. 이제 다음을 증명하자.

보조정리 임의의 음 아닌 정수 k에 대해 a3k+1 = +, a3k+2 = ¡ 이다.

보조정리의 증명 수학적 귀납법으로 보이자. k = 0; 1 일 때인 a1 = a4 = +,

a2 = a5 = ¡ 는 이미 증명되었다. 0 · k < 2l (l ¸ 1) 일 때 성립한다고 가정하고

k = 2l; 2l + 1 일 때를 증명하자.

a6l+2 = a2a3l+1 = ¡; a6l+4 = a2a3l+2 = +

이므로 이제

a6l+1 = +; a6l+5 = ¡

만 확인하면 되겠다. 만일 a6l+1 = ¡ 라면 a6l+2 = ¡ 와 (iii)에 의해 a6l = a6l+3 =

+, 즉 a2l = a2l+1 = a3 이다. a4l = a4l+2 = ¡a3 이므로 (iii)에 의해 a4l+1 = a3, 따

라서 a12l+3 = + 이다. 그럼 a12l+2 = a12l+3 = a12l+4 = + 가 되어 (iii)에 모순. 따

라서 a6l+1 = + 일 수밖에 없다. a6l+5 = + 라 해도 비슷하게 a6l+3 = a6l+6 = ¡,a2l+1 = a2l+2 = ¡a3, a4l+2 = a4l+4 = a3, a4l+3 = ¡a3, a12l+9 = ¡ 을 차례로 확

인할 수 있고, 이때에도 a12l+8 = a12l+9 = a12l+10 = ¡ 가 되어 (iii)에 모순. 따

라서 a6l+5 = ¡ 일 수밖에 없다. 이로써 보조정리가 성립함이 수학적 귀납법으로

확인되었다. ¤

이제 a = a3 이라 하고 위의 보조정리를 이용하면 수열은 다음과 같은 것만이 가능하

다.

an =

8><>:ar : n = 3r(3k + 1) 꼴일 때

¡ar : n = 3r(3k + 2) 꼴일 때

그리고, 이렇게 정의된 수열은 (ii)와 (iii)을 모두 잘 만족하므로, 구하는 수열은 이렇

게 a에 따라 2가지이다. }


호주 2003-1호주 2003-1

p(q ¡ r) = q + r 을 만족하는 모든 소수해 (p; q; r)을 찾아라.


풀이 (민족사관고 1학년 남율희)

p(q ¡ r) = p+ r () q(p¡ 1) = r(p+ 1).

) q : r = p+ 1 : p¡ 1

만약 p = 2 이면 q : r = 3 : 1 이므로 q = 3r. 이것은 모순이므로, ) p = 2k + 1 꼴이다.

) q : r = 2k + 2 : 2k = k + 1 : k

q, r 모두 소수이므로 q = k+1, r = k, p = 2k+1. p, q, r이 모두 소수가 되게 하는 자

연수 k = 2 뿐이다. ) p = 5, q = 3, r = 2. }

별해 (대전 탄방중 3학년 안충현)

(q ¡ r) j (q + r) =) (q ¡ r) j 2r .

) q ¡ r = 1; 2; r; or 2r

(1) q ¡ r = r 혹은 2r일 때: q = 2r 또는 3r. ) 모순.

(2) q ¡ r = 2일 때: 2p = 2r + 2. ) p = r + 1. ) 연속한 세 수가 소수 ) 모순.

(3) q ¡ r = 1일 때: q = r + 1. ) r = 2, q = 3 ) p = 5.

) 답은 (5; 3; 2)뿐.

[다른 풀이자] 김대영, 김선영, 변정현, 변지혜, 송지용, 유상훈, 최일규, 황성. }

호주 2003-2호주 2003-2

R은 실수 전체의 집합, S는 0과 1을 제외한 실수 전체의 집합이다.

임의의 x 2 S 에 대해 f(x) +1

2xf

µ1

1¡ x

¶= 1

을 만족하는 함수 f : S ! R 를 모두 구하여라.

풀이 (대전과학고 1학년 송지용)

x 대신에 x,1

1¡ x,x¡ 1x

을 각각 대입하면,

f(x) +1

2xf

µ1

1¡ x

¶= 1 (1)

f

µ1

1¡ x

¶+1¡ x

2f

µx¡ 1x

¶= 1 (2)

f

µx¡ 1x

¶+

x

2(x¡ 1)f(x) = 1 (3)


(1)£ 2x¡ (2) 를 하면

2xf(x)¡ 1¡ x

2f

µx¡ 1x

¶= 2x¡ 1 (4)

(3)£ 1¡ x

2+ (4) 를 하면

7x

4f(x) =

3

2x¡ 1

2) f(x) =

6x¡ 27x

이것을 다시 문제의 식에 대입해보면 성립하므로 이것이 해가 된다.

[다른 풀이자] 남율희, 안충현, 유상훈, 황성. }

호주 2003-3호주 2003-3

\C = 2\B 인 삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 내부에 BD = CD 이고 AC = AD 인 점

D를 잡자. \A = 3\BAD 임을 보여라.

증명 (민족사관고 1학년 남율희)

\ACE = \ECB = \EBC = ®, \DCB = \DBC = ¯ 라 하자.

4ACE » 4ABC (AA)

) AC2 = AE ¢AB = AD2

) 4ADE » 4ABD (SAS).

) \ADE = ®¡ ¯

\ACD = \ADC = 2®¡ ¯.

) \CAD = 180◦ ¡ 2\ACD = 180◦ ¡ (4®¡ 2¯) (1)

\CAB = 180◦ ¡ \ACB ¡ \ABC = 180◦ ¡ 3® (2)

A

C B

E

Dα

2α

α

β

α

β


\CDE에 대해,

90◦ + ¯ = (2®¡ ¯) + (®¡ ¯) = 3®¡ 2¯) ®¡ ¯ = 30◦ (3)

그런데,

(1)£ 3 = (2)£ 2 () 540◦ ¡ (12®¡ 6¯) = 360◦ ¡ 6®() 180◦ = 6(®¡ ¯)

() 30◦ = ®¡ ¯

이것은 (3)에 의해 성립.

) 2\CAB = 3\CAD

) \CAD =2

3\CAB =) \DAB =

1

3\CAB

) \CAB = 3\DAB

[다른 풀이자] 황성. ¤

호주 2003-4호주 2003-4

p(x)는 최고차항의 계수가 1인 2003차의 정수계수 다항식이다. 방정식 p(x)2 = 25 는

2003보다 많은 개수의 정수해를 가질 수 없음을 보여라.

증명 (과천중 2학년 함태준)

p(x)2 = 25 이므로 p(x) = 5 이거나 p(x) = ¡5 이다.

I) p(x) = 5 의 정수해와 p(x) = ¡5 의 정수해가 모두 존재할 때.

일단 A를 p(x) = 5 의 정수해라고 가정하고, B를 p(x) = ¡5 의 정수해라고 가정

하자. 그렇다면 p(A) ¡ p(B) = 10이다. 이 때, p(A) ¡ p(B) = 10 은 A¡ B 를 인

수로 가진다(An ¡Bn 은 모두 A¡B 를 인수로 가짐). 따라서 A¡B 는 다음 중

하나이다.

+1; + 2; + 5; + 10; ¡ 1; ¡ 2; ¡ 5; ¡ 10

그러므로 p(x) = 5 의 가능한 정수해(A)는 기껏해야 8개뿐이고, p(x) = ¡5 의 가

능한 정수해(B) 역시 8개 뿐이다. 따라서 p(x)2 = 25 는 기껏해야 16개의 해를 가

진다. 따라서 2003개 이하의 정수해를 가진다.


II) p(x) = 5 나 p(x) = ¡5 중 하나만 정수해를 가질 때.

이 경우의 정수해는 기껏해야 2003개 나올 수 있다. 따라서 2003개 이하의 정수

해를 가진다.

III) 둘 다 모두 정수해를 가지지 않을 때 정수해는 0개이다.

따라서 모든 경우에 정수해는 2003개 이하이다. ¤

호주 2003-5호주 2003-5

사이클 경주가 시작된지 10분 후, A, B, C 세 명의 선수가 이 순서로 달리고 있다. 이로부

터 경기가 끝날 때까지 선두는 19번 바뀌었고, 3위는 17번 바뀌었다. 그리고 어떤 순간에

도 세 명의 선수가 나란히 겹치는 경우는 없었다. B가 3위로 경기를 마쳤을 때, 우승자는

누구인가?

풀이 (원주 북원여중 3학년 변정현)

선두는 19번, 3위는 17번. B가 3위 위치에 오려면 홀수 번 움직이게 됨. 이 때 1위와

짝수 번 바뀌고(그래야 다시 2위 자리로 돌아와 3위와 바뀔 수 있게 됨) 3위와 홀수 번

바뀜.

그런데 선두는 19번, 즉 홀수 번 바뀌었으므로, B와 다른 선수 간이 아니라, A와 C 간

에 홀수 번 바뀐 것이 됨.

따라서 우승자는 C이다.

[다른 풀이자] 남율희. }

호주 2003-6호주 2003-6

삼각형 ABC에서 BC의 중점을 D라 하자. 직선 AD 위에 \CEA가 직각이 되는 점 E를

잡았더니 \ACE = \B 가 되었다. \A가 직각이 아니라면 AB = AC 가 됨을 보여라.

증명 (민족사관고 1학년 남율희)

AB 6= AC 인 4ABC가 존재한다고 가정하자.

BD

EC

A

C


¡!CE 위에 CE = C E 인 점 C (6= B)을 잡자. 4ACC 는 이등변삼각형이므로

\ACE = \AC E (1)

4CED » 4CC B (SAS) 이므로

\BC C = 90◦ (2)

문제의 조건 \ACE = \ABC 와 (1)에 의해,

\AC E = \AC C = \ABC

따라서, ¤AC BC는 원에 내접. (2)에 의해

\BAC = \BC C = 90◦

이것은 조건에 모순. 따라서, AB = AC. ¤

호주 2003-7호주 2003-7

수열 a1; a2; a3; : : : 이

a1 = 0; an+1 = §(an + 1) (n ¸ 1)

을 만족한다. 임의의 n에 대해, 처음 n항의 산술 평균은 ¡12 이상임을 보여라.

증명 (장영실과학고 1학년 김윤섭)

조건식의 양변을 제곱하면

a2n+1 = a2n + 2an + 1

a2n = a2n−1 + 2an−1 + 1

...

a22 = a21 + 2a1 + 1

a21 = 0

변변 더하면

a2n+1 = 2(a1 + a2 + ¢ ¢ ¢+ an) + n ¸ 0

그러므로a1 + a2 + ¢ ¢ ¢+ an

n¸ ¡1

2

따라서 증명되었다. ¤


별증 (KAIST 과학영재센터 연구원 고봉균)

bn = 2an+1 이라 하자. 수열 fang의 몇 항의 평균이 ¡12 이상이라는 것은 수열 fbng의평균이 0 이상인 것과 같으므로, 수열 fbng의 처음 n항의 합이 0 이상이라는 것만 보

이면 된다. an의 점화식에 대입해보면

bn+1 = 2an+1 + 1 = §2(an + 1) + 1 = §(bn + 1) + 1

따라서, bn의 점화식은 다음과 같다.

b0 = 1; bn+1 =

8><>:bn + 2

¡bn

이제 수열 fbng의 처음 n항의 합 Sn은 적당한 정수 m ¸ 0 에 대해

Sn = 1 + 3 + ¢ ¢ ¢+ (2m¡ 1)

이고, 이 때

bn = 2m¡ 1 또는 ¡ (2m+ 1)

임을 보이자(¤). 우선 n = 1 이면 m = 1 로 성립한다. 이제 n일 때를 가정하고 n+1일

때를 보자. m = 0 이었다면 bn = ¡1, bn+1 = 1 로 m = 1 일 때로 바뀐다. m ¸ 1 이었

다면 (bn; bn+1)은

(2m¡ 1; 2m+ 1); (2m¡ 1;¡(2m¡ 1));(¡(2m+ 1); 2m+ 1)); (¡(2m+ 1);¡(2m¡ 1))

등 네 가지 경우가 될 수 있는데, 왼쪽의 두 경우는 m이 1 증가하고, 오른쪽의 두 경우

는 m이 1 감소하면서 성립함을 관찰할 수 있다. 따라서, 수학적 귀납법으로 (¤)이 증

명되었고, m ¸ 0 일 때 Sn ¸ 0 임을 알 수 있다. ¤

호주 2003-8호주 2003-8

10개의 문자 A, B, C, D, E, F, G, H, I, J에서 중복을 허용하여 고른 길이 n의 문자열을 생

각하자. 이렇게 만든 임의의 문자열에서 각 문자를 0; 1; : : : ; 9의 숫자로 하나씩 대응하여

적당히 바꾸어주면 최고 자리가 0이 아니고 9의 배수인 n자리의 수를 항상 얻을 수 있음

을 보여라.


증명 (Erik Rantapaa)

9의 배수라는 것은 자리수의 합이 9의 배수라는 것과 같다. 그리고, 최고 자리가 0일

때에는 0인 문자와 9인 문자를 바꾸어주면 그만이므로 그것 때문에 조심할 필요는 없

다. 10개의 문자 각각의 개수를 x1; x2; : : : ; x10이라 하자. 우리는P

bixi ´ 0 (mod 9)를 만족하는 0; 1; : : : ; 8; 0 의 순열 b1; b2; : : : ; b10을 찾으면 된다.

벡터 표현을 빌려 X = (x1; x2; : : : ; x10) 으로 두고

B0 = (0; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8)

B1 = (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 0)

B2 = (0; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 0; 1)

B3 = (0; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 0; 1; 2)

...

B8 = (0; 8; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7)

이라 하자. 그럼 mod 9로

Bk+1 ¡Bk = (0; 1; 1; : : : ; 1)

이므로,

Bk+1 ¢X ¡Bk ¢X = x2 + x3 + ¢ ¢ ¢+ x10 (= d로 두자)

이 된다. 따라서,

Bk ¢X = B0 ¢X + kd

만일 d가 9와 서로 소이면, 즉 3의 배수가 아니면, d는 mod 9로 역수를 가지고, 그럼

kd ´ ¡B0 ¢X (mod 9) 인 k를 고를 수 있다. 이 때 Bk ¢X ´ 0 (mod 9) 이므로 원하는

것을 찾았다.

여기까지의 이야기가 x1에만 특별히 적용되는 것이 아니므로,모든 i에 대해 (P

xj)¡xi가 3의 배수인 경우를 제외하면 늘 위와 같은 방법으로 해를 찾을 수 있다. 그리고, 이

예외적인 경우에는 모든 xi들이 mod 3으로 같고, 그럼 xi mod 9의 값은 3가지만 있

다(예를 들면, 1, 4, 7). xi들을 이 세 값에 따라 세 집합으로 나누자. 세 집합의 원소의

개수의 합이 10으로 짝수이므로 홀수 개의 원소를 갖는 집합이 0개 혹은 2개이다. 만

일 2개의 집합의 크기가 홀수이면 두 집합에서 각각 한 원소씩을 골라 bi = 0 으로 두

자. 그럼 세 집합 모두 짝수 개의 원소가 있는 것으로 간주해도 되겠다. 이제 같은 집

합에 속하는 두 원소마다

f1; 8g; f2; 7g; f3; 6g; f4; 5g; f0; 0g


들을 bi로 대응시키면, 각 쌍이 9의 배수가 된다(마지막 쌍 f0; 0g은 이미 사용했을 수

도 있다). 이것으로P

bixi ´ 0 (mod 9)인 bi들을 이 때도 찾았다.

[주] 이 풀이는 세계 여러 수학올림피아드 문제들을 모은 Kalva 싸이트에 있는 것을 번

역한 것입니다. ¤

별증 (KAIST 과학영재센터 연구원 고봉균)

(1) 문자가 1종 혹은 2종이면 9와 0만 쓰면 된다.

(2) 문자가 4종 이하이면 0, 3, 6, 9만 쓰면 된다.

(증명) 4종 각각의 문자의 개수를 3으로 나눈 나머지 ai들을 생각하자.문자가 3종

이하일 경우에는 개수 0을 몇 개 추가하여 4종으로 간주한다. 그럼 비둘기집의 원

리에 의해 ai들 중에 같은 것이 있다. 그 두 문자에 3과 6을 배정하고 나머지 문자

에 9와 0을 배정하면 된다.

(3) 문자가 10종이거나 9종인 것은 고려하지 않아도 된다.

(증명) 각 문자의 개수를 9로 나눈 나머지를 a0; a1; : : : ; a9라 하자. 비둘기집의 원

리에 의해 이 중 같은 것이 있으므로 그것을 a0; a1이라 하자. 0 + 1+ ¢ ¢ ¢+ 9 = 45가 9의 배수니까 a0; : : : ; a9를 모두 1씩 증가시켜도 자리수의 합은 mod 9로 불변.

a0; a1이 동시에 9의 배수가 될 때까지 계속 전체를 증가시키고 그럼 a0; a1은 무

시해도 상관없다. (다른 문자에 먼저 배정하고 남은 아무 수를 배정해도 불변.)

앞으로 ai 중에서 0인 것(즉, 개수가 9의 배수인 문자)은 없는 것으로 하자.

(4) 문자가 8종일 때:

(4a) 만일 a0 = a1, a2 = a3으로(mod 9로)같은 개수가 두 쌍 있으면 두 쌍에 (1; 8),

(2; 7)을 배정하고, 남은 4종의 문자는 (2)처럼 한다. (a0 = a1 = a2 = a3 인 경

우도 이 설명에 포함된다.)

(4b) a0 = a1 로 같은 개수가 딱 한 쌍만 있으면(즉, a2; : : : ; a7은 전부 다르면.

a0 = a1 = a2 인 경우도 이 설명에 포함된다.) f1; 4g, f2; 5g, f7; 8g 중 적어도

하나는 fa2; : : : ; a7g의 부분집합이다. (a2; : : : ; a7은 1; : : : ; 8 중에서 고른 것이

고 여기서 셋을 빼면 5개뿐이라 모순.)

(a2; a3) =

8>>>><>>>>:(1; 4) 이면 두 문자에 1, 2를

(2; 5) 이면 2,1을

(7; 8) 이면 1,7을 배정하고

a0; a1의 문자에는 4, 5를 배정한다. 그리고 남은 네 문자에는 (2)처럼 한다.


(4c) a0; : : : ; a7이 모두 달라서 각각 1; : : : ; 8이라면 1개, 4개인 문자에 각각 1과 2를,

2개, 5개인 문자에 각각 8과 4를 배정하고 남은 4종의 문자에는 (2)처럼 한다.


a0; : : : ; a5 중 같은 것이 한 쌍이라도 있으면 (4a)처럼 하고 모두 다르다면 (4b)처

럼 한다.


(6a) a0; : : : ; a6 중 같은 것 두 쌍이 있으면 ) (4a)처럼 한다.

(6b) 한 쌍 a0 = a1 이 같고, a2; : : : ; a6은 모두 다를 때:

² a2; : : : ; a6 중 1이 있다면 2, 4, 5, 7중 어느 하나도 함께 있다.그럼 (1; 2))(2; 8)을, (1; 4)) (1; 2)를, (1; 5)) (8; 2)를, (1; 7)) (2; 1)을 배정.

² a2; : : : ; a6 중 1이 없고 2가 있다면 4, 5, 8 중 어느 하나도 함께 있다. 그럼

(2; 4)) (2; 8), (2; 5)) (2; 1)을, (2; 8)) (1; 2)를 배정.

² a2; : : : ; a6 중 1, 2가 없다면 f4; 7g, f5; 8g 중 어느 한 쌍은 함께 있다. 그럼

(4; 7)) (1; 2)를, (5; 8)) (2; 1)을 배정.

그리고 a0, a1에는 4, 5를 배정하고 남은 3종은 (2)처럼 하면 된다.

(6c) a0; : : : ; a6이 모두 다를 때:

f1; 2; 4g, f5; 7; 8g 중 어느 하나는 모두 포함된다. 그럼 (1; 2; 4)) (4; 5; 1) 을,

(5; 7; 8)) (1; 5; 4)를 배정하고 남은 4종은 (2)에 의하면 된다.


a0; : : : ; a4 중 같은 것 한 쌍이 있으면 (6a) 즉 (4a)처럼 하고, 다섯 가지가 모두 다

르다면 (6b)처럼 한다.

(1){(7)로부터 언제든지 자리수의 합이 9의 배수가 되도록 할 수 있음을 알 수 있다. ¤


호주 2004-1호주 2004-1

x3 + 3x2 + ax+ b = 0 의 세 실근이 등차수열을 이룬다고 한다. 이런 실수쌍 (a; b)를 모두

찾아라.


풀이 (서산 서령고 3학년 김영제)

등차수열을 이루는 세 근을 ®¡ d, ®, ®+ d 라 하자. 근과 계수와의 관계에 의해,

¡3 = (®¡ d) + ®+ (®+ d) = 3®

a = (®¡ d)(®+ d) + (®¡ d)®+ (®+ d)® = 3®2 ¡ d2

¡b = (®¡ d)®(®+ d) = ®3 ¡ ®d2

이다. 위 식을 풀게 되면

® = ¡1; a = 3¡ d2; b = d2 ¡ 1

따라서, a¡ b = 2 를 만족하는 모든 실수 a, b이면 x3 +3x2 + ax+ b = 0 의 세 근은 등

차수열을 이루게 된다. }

호주 2004-2호주 2004-2

x, y, z는 적당한 수 a, b에 대해 a+ b+ x+ y + z = 2004 와 0 · x · a · y · b · z 를 만

족시킨다. x+ y + z 의 최대값과 최소값을 구하여라.

풀이 (대전과학고 2학년 송지용)

(1) x+y+z · a+b+x+y+z · 2004이고, 등호가 a+b = 0일 때, 즉 (x; a; y; b; z) =

(0; 0; 0; 0; 2004) 일 때 성립하므로 최대값은 2004.

(2) a + b · y + z · x + y + z 이므로 2(x + y + z) ¸ a + b + x + y + z = 2004, 즉

x+y+z ¸ 1002이고,등호가 a+b = x+y+z 일 때,즉 (x; a; y; b; z) = (0; a; a; b; b)

(a+ b = 1002) 일 때 성립하므로 최소값은 1002.

}

호주 2004-3호주 2004-3

1; 2; 3; : : : ; 2004를 재배열한 수열 a1; a2; a3; : : : ; a2004 중에, ja1 ¡ 1j = ja2 ¡ 2j = ¢ ¢ ¢ =ja2004 ¡ 2004j > 0 을 만족하는 것의 개수를 구하여라.


수열 대신 함수의 방식으로 ai = a(i) 로 쓰기로 하자. 그리고, a의 역함수를 a 으로 쓴

다.

d = ja(1)¡ 1j = ¢ ¢ ¢ = ja(2004)¡ 2004j (> 0)


로 두자. 그럼

d = ja (1)¡ 1j = ¢ ¢ ¢ = ja (2004)¡ 2004j > 0

이기도 하다. 우선 a(1)¡ 1 > 0 이므로 a(1) = d+1 이다. 마찬가지로 a (1)¡ 1 > 0 이

므로 a (1) = d+ 1 이다. 즉, 1과 1 + d는 서로 짝을 이뤄 대응한다. 비슷하게,

1 Ã! d+ 1

2 Ã! d+ 2

...

d Ã! d+ d

들이 각각 서로 짝을 이뤄 대응하게 된다. 이렇게 1부터 2d까지 모두 그 안에서 대응

이 완료되므로, 2d+ 1 이상의 수들도 마찬가지로 생각하면 2d+ 1Ã! 3d+ 1 과 같이

대응하게 된다. 즉, a = a 이고

(2k)d+ r Ã! (2k + 1)d+ r (1 · r · d)

와 같이 짝을 이뤄 대응한다. 이런 대응은 2d개씩 묶여 닫힌 대응을 하므로, 2d j 2004,즉 d는

1002 = 21311671

의 양의 약수들만이 가능하고, 또 그럴 때 a(n)이 항상 유일하게 결정된다. 따라서, 구

하는 개수는 (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8개. }

호주 2004-4호주 2004-4

정삼각형 ABC에서 변 BC와 평행한 직선이 변 AB, AC와 D, E에서 만난다. 선분 CD의

중점을 F라 하고, 정삼각형 ADE의 중심을 G라 하자. 삼각형 BFG의 세 내각의 크기를

구하여라.



점 E, A, G를 F에 대해 점대칭시킨 점을 각각 I, J , H라 하자.

그럼 (A;D;E;G)와 (C; I; J;H)는 그 순서대로 점 B에 대해 60◦ 회전이동한 점이 된

다. 따라서, BG = BH, \GBH = 60◦ 가 되고, 그럼 BHG는 정삼각형이다. F는 변

GH의 중점이므로, 4BFG 는 세 내각의 크기가 30◦, 60◦, 90◦인 직각삼각형이다. }

호주 2004-5호주 2004-5

6m + 2n + 2 가 완전제곱수가 되는 음이 아닌 정수쌍 (m;n)을 모두 구하여라.

풀이 (KAIST 04학번 남궁범)

m;n ¸ 2 이면 4k+2꼴이므로 완전제곱수가 될 수 없다. m = 0, n ¸ 2 일 때와 m ¸ 2,n = 0 일 때는 4k + 3꼴이므로 역시 완전제곱수가 될 수 없다. 남은 경우는 다음과 같

다.

(i) m;n · 1 일 때: (m;n) = (0; 0), (1; 0) 만 해가 된다.

(ii) m = 1, n ¸ 2 일 때: 준식은 2n + 8 이다. n ¸ 4 이면 16k + 8꼴이어서 완전제곱

수가 아니고, n = 2; 3 일 때 검토하면 n = 3 일 때만 해가 된다.

(iii) m ¸ 2, n = 1 일 때: 준식은 6m+4 이다. m = 2; 3 일 때는 직접 검토하면 해가 안

되고, m ¸ 4 일 때는 6m + 4 = 4(2k + 1)2꼴이므로 정리하면 2m−43m = k(k + 1).

여기서 k와 k + 1은 홀짝이 다르며 서로 소이고 k + 1이 더 크므로 (k; k + 1) =

(2m−4; 3m) 이 될 수밖에 없는데, 2m−4보다 3m이 훨씬 커서 차이가 1일 수 없으

므로 해가 없다.

이로부터 해는 (m;n) = (0; 0), (1; 0), (1; 3) 뿐이다. }


호주 2004-6호주 2004-6

다음을 만족하는 함수 f : N! N 이 존재하는가?

f(f(1)) = 5; f(f(2)) = 6; f(f(3)) = 4; f(f(4)) = 3; f(f(n)) = n+ 2 (n ¸ 5)


f(3) = a, f(4) = b 라 하면 f(f(3)) = 4, f(f(4)) = 3 임에서 다음과 같은 f의 대응 관

계가 성립한다.

3! a! 4! b! 3 (¤)

그럼 f(f(a)) = b, f(f(b)) = a 이고, 문제에서 제시된 대응 관계를 살피면 이런 경우

는 fa; bg = f3; 4g 뿐임을 알 수 있다. a와 b 중에 어느 것이 3이든 (¤)에서 3! 3 의 대

응이 나타나게 되고, 이것은 f(3) = 3 을 뜻하므로 f(f(3)) = 3 이 되어야 해서 모순.

따라서, 이런 함수는 존재하지 않는다. }

호주 2004-7호주 2004-7

4개 이상의 짝수 개의 구슬로 이루어진 목걸이가 있다. 각 구슬은 빨강, 파랑, 혹은 녹색이

고 파랑 구슬과 녹색 구슬의 수는 같다. 이 목걸이에서 두 곳을 잘라 두 줄로 나누는데, 두

줄의 구슬이 각각 짝수 개이고 각각 같은 수의 파랑 구슬과 녹색 구슬을 갖도록 할 수는

없다고 한다. 이 목걸이의 빨강 구슬의 개수로 가능한 값을 모두 찾아라.

풀이 (대전과학고 2학년 황윤하)

빨강, 파랑, 녹색의 구슬을 각각 R, B, G로 표시하고, 그 개수가 각각 2m, n, n개라

고 하자. B와 G가 연속해 있는 경우가 있으면 이 BG를 잘라내면 두 줄 각각 같은 수

의 B와 G를 갖게 된다. 또, RR인 경우가 있어도 이것을 잘라내면 된다. 따라서, BG도

RR도 없어야 한다(¤). 두 구슬 X와 Y 사이에 R들뿐이면 X와 Y가 이웃하다고 말하기

로 하자. n = 0 이면 RR이 반드시 있으므로 n ¸ 1 이다. 어느 B에서 출발하여 G를 만

날 때까지 계속 간다고 생각하면 B와 G가 이웃한 경우가 반드시 있다. 그럼 이 이웃

한 B와 G 사이에는 (¤)에 의해 R이 꼭 하나 있어야 한다. 즉, BRG가 반드시 있다. 이

양옆 어딘가에 R이 있으면 그것까지 잘라내면 또 두 줄 각각 같은 수의 B와 G를 갖게

된다. 따라서, 이 양옆에 R이 올 수 없고, 또 BG가 생겨서도 안 되므로 BBRGG꼴이

어야 한다. 이렇게 계속하면 가능한 경우는

BB¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢BR R

GG¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢G


과 같은 경우만 가능하다. 따라서, 빨강 구슬의 개수는 2개이다. }

호주 2004-8호주 2004-8

평행사변형 ABCD의 내부에 \ABP = 2\ADP , \DCP = 2\DAP 를 만족하는 점 P가

있다. ABP가 정삼각형임을 보여라.

주 이 문제는 번역과정에서 혹은 문제를 구해오는 과정에서 조건을 무언가 하나 빠

뜨린 듯 하다. 왜냐하면, 이 문제가 이대로도 맞다면 대칭성에 의해 CDP도 정삼각형

이 되어야 하는데, 그럼 ABCD가 직사각형이어야 해서 문제가 별로 의미없어지기 때

문이다. 빠뜨린 조건이 어떤 것일지는 잘 추측되지 않는다.

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