Desarrolla estos 6 ejercicios planteados en un documento de Word o escanea las hojas donde hayas resuelto. Envíalo a través de la tarea “Mi Autoevaluación Desarrollada UA4”.

1) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

f(x) = x3 − 3x + 2

Resolución:

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

Primero. Derivar la función.

f ´ ( x )=3 x2−3

Segundo. Obtener las raíces de la derivada primera para ello hacemos: f ´ ( x )=0

3 x2−3=0x=−1x=1

Tercero. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

-1 1

Cuarto.

Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f ´ ( x )>0es creciente

Si f ´ ( x )<0es decreciente

Del inte rvalo (−∞,−1 ) tomamos x=−2 , por ejemplo

f ´ (−2 )=3¿

Del intervalo (−1,1 ) tomamos x=0 , por ejemplo . f ´ (0 )=3¿

Del intervalo (1 ,∞ )tomamos x=2 , por ejemplo . f ´ (2 )=3¿

+ - +

AUTOEVALUACIÓN 4

-1 1

Quinto. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Decrecimiento : (−∞ ,1 )∪ (1 ,∞ )Dedecrecimiento :(−1,1)

2) Calcular los máximos y mínimos en la función siguiente:

f (x) = X3 – 6x2 +9x

Resolución:

1ER PASO:f ´ ( x )=0

3 x2−12x+9=0

Efectuando: x=1 y x=3quesonlos puntos críticos

3ER PASO:

A)x<1entonses f ( x ) es+¿

1<x<3entonses f (x ) es−¿

B) 1<x<3 , f ´ ( x )es∓¿

x>3

Luego: La función tiene um máximo y mínimo

Máx.=4 , para x=1

Mín.=0 , para x=3

3) La altitud de un cohete (en pies) t segundos después de iniciar el vuelo está dada por: s = f(t)

= - t 3 + 96 t 2 + 195 t + 5 ( t ≥0¿ . Calcular la velocidad del cohete cuando t = 30.

Resolución:

La velocidad del cohete en cualquier instante t está dada por:

V=f (t )=3 t2+192 t+195

La velocidad del cohete cuanto t=30

f (30 )=3¿

4) Una compañía de teléfonos halla que obtiene una ganancia líquida de 15 nuevos soles

por aparato y la central tiene 1000 abonados o menos. Si hay más de 1000 abonados,

dicha ganancia por aparato instalado disminuye un céntimo cada abonado que sobrepasa

ese número. ¿Cuántos abonados darán la máxima ganancia líquida?

Resolución.

Sea “a” número de abonados

A) La ganancia bruta será: 15ª

B) Entonces al disminución unitaria es (0,01)(a-1000)

La disminución total es (0.01)(a-1000).a

Ganancia líquida; 15a –(0.01a)(a-1000)=15a-0,01a2+10a

Derivando respeto a “a” e igualando a cero:

15-2(0,01)a+10=

Entonces: a=1250

5) Un punto se mueve sobre una parábola y2= 12x, de manera que la abscisa aumenta

uniformemente 2cm por segundo. ¿En qué punto aumenta la abscisa y la ordenada a la

misma razón?

Resolución:

Derivando y2=12 x, se tiene:

2 y=12

y=6

Reemplazando en la ecuación se tiene: x=3

Luego el punto es: (3,6)

6) En cierto instante las tres dimensiones de un ortoedro son 6, 8 y 10 y aumentan

respectivamente 0,2, 0,3 y 0,1 por segundo. ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen

Resolución:

Del problema: x=6 dxdt

=0,2=x´ dzdt

=0,1=z´

Y=8 dydt

=0,3= y´

Z=10

Volumen= x.y.z

Se deriva el volumen respecto al tiempo:

dvdt

=¿

¿ (x´ . y+x y´) z+( x . y ) z´

dvdt

= yz x´+xz y´+xy z´

Ahora reemplazamos valores:

dvdt

=(8 ) (10 ) (0,2 )+(6 ) (10 ) (0,3 )+(6 ) (8 ) (0,1 )=16+18+4,8

¿38,8