Autom_upr_1

OSNOVE AUTOMATSKOG UPRAVLJANJAMr.sc.Eduard Lorencin

[email protected]

Osnove automatskog upravljanja

Literatura

Šurina Tugomir: “Analiza i sinteza servo-mehanizama i procesne

regulacije”, Zagreb, 1989.

Vukić Z., Kuljača LJ.: “Automatsko upravljanje – analiza linearnih

sustava”, Zagreb, 2005.

Pašalić N.: “Osnovi Automatske regulacije”, Zagreb, 1977.

Božičević T.: “Automatsko vođenje procesa”, Zagreb, 1973.

Božičević J.:”Temelji automatike 1 i 2”, Zagreb, 1989.

Richard C. Dorf, Robert H. Bishop: ”Modern Control Systems”, Prentice

Hall; 12 edition (July 29, 2010)


Teorija automatskog upravljanja

okružuje nas u svim segmentima života

upravljanje u zatvorenoj petlji

negativna povratna veza i postizanje homeostaze – Norbert Wiener -

1943. godina

pozitivna povratna veza – temelj reostaze

primjena negativne povratne veze: Darwinova teorija evolucije, biološki

sustavi, automobilska industrija, potrošačka elektronika,...


Osnovni pojmovi - podjela automatskog upravljanja

Podjela s obzirom na pristup razvoju teorije i tehnike

1. FENOMENOLOŠKI PRISTUP – proučavanje je

specifično i razlikuje se u ovisnosti od ciljane

inženjerske struke

2. METODIČKI PRISTUP – proučavanje je neovisno o

području primjene te se sustavi iz različitih područja

prikazuju na jedinstven način



Podjela s obzirom na prirodu sustava u kojima je

zastupljena

1. UPRAVLJANJE U TEHNIČKIM SUSTAVIMA

2. UPRAVLJANJE U NETEHNIČKIM DINAMIČKIM SUSTAVIMA

• biološkim

• ekonomskim

• sociološkim

• političkim


Primjer upravljanja biološkim dinamičkim sustavom – ljudsko biće

1960. skupina znanstvenika iz SAD napisala je prvi članak koji analizira

povratno djelovanje na ljudsko ponašanje pod nazivom «Feedback

Theory of Human Behaviour»

ostvareni su temelji PERCEPCIJSKE TEORIJE UPRAVLJANJA

ljudsko biće je sastavljeno od skupa regulacijskih sustava sa povratnom

vezom kojima je cilj kontrola vlastite percepcije

Ljudsko biće djeluje kao sustav sa povratnom vezom



put koji je dječak odabrao da stigne do svog prijatelja - referentni ulazni

signal

oči imaju ulogu komparatora, odnosno «mjere» razliku između željenog

i stvarnog smjera gibanja

oči šalju signal mozgu, koji nato aktivira mišiće u nogama, te tako

korigiraju smjer gibanja

na sustav djeluju vanjski kontrolirani (cesta mijenja smjer) i

nekontrolirani utjecaji (nedovoljno svjetlosti, pažnju odvraća druga

osoba ili događaj)





Podjela s obzirom na povratnu vezu

1. UPRAVLJANJE BEZ POVRATNE VEZE (upravljanje u

otvorenoj petlji – feedforward control)

2. UPRAVLJANJE SA POVRATNOM (REGULACIJA) VEZOM

(feedback control)


Primjer upravljanja temperaturom prostorije u OTVORENOJ PETLJI

mjeri se vanjska temperatura A, a mjerni se signal dovodi na

upravljački uređaj, koji djeluje na motor M ventila V te tako utječe na

protok Q u radijator

Upravljanje temperaturom prostorije bez povratne veze



Kod promatranog upravljanja uzeli smo u obzir dva poremećaja:

z'1 – temperaturni poremećaj uvjetovan otvaranjem prozora

z'2 – vanjska temperatura koja se mjeri

ovako strukturirano upravljanje ne može kompenzirati temperaturni poremećaj uvjetovan otvaranjem prozora

kompenzaciju poremećaja z'1 postižemo koristeći sustav sa povratnom vezom

Protok Q je funkcija vanjske temperature



Blok shema feedforward upravljanja


Primjer upravljanja temperaturom prostorije u ZATVORENOJ PETLJI

mjeri se temperatura prostorije, a mjerni se signal dovodi na regulacijski

uređaj, koji djeluje na motor M ventila V te tako utječe na protok Q u

radijator

Upravljanje temperaturom prostorije s povratnom vezom


Primjer upravljanja temperaturom prostorije u ZATVORENOJ PETLJI

Kod promatranog upravljanja imamo slijedeće poremećaje:

z'1 – temperaturni poremećaj uvjetovan otvaranjem prozora

z'2 – promjena vanjske temperature

ovako strukturirano upravljanje može kompenzirati sve navedene

poremećaje

Blok shema feedback regulacije


Usporedba karakteristika upravljanja u otvorenoj petlji i regulacije sa

negativnom povratnom vezom

Upravljanje u otvorenoj petlji Regulacija u zatvorenoj petlji

- predstavlja otvoreni tok djelovanja

(upravljački lanac)

- kompenzira utjecaj samo one smetnje s

obzirom na koju se projektira upravljački

uređaj

- ako je upravljački uređaj sam po sebi

stabilan, ostaje stabilan i uz djelovanje

ovakvog upravljanja

- predstavlja zatvoreni tok djelovanja

(regulacijski krug, regulacijska petlja)

- može kompenzirati utjecaj svih smetnji

(negativna povratna veza)

- može postati nestabilan (regulirana

veličina može oscilirati, teoretski preko

svih granica


Osnovni pojmovi – dinamički sustavi automatskog

upravljanja

Doba automatizacije temelji na automatskom upravljanju i informacijskim tehnologijama.

Dinamički sustav predstavlja funkcijsku cjelinu za obradbu i prijenos energije, materije, informacije i kapitala, gdje se ulazne veličine sustava promatraju uzrokom, a izlazne veličine sustava njegovom vremenskom posljedicom.

Dinamičke sustave dijelimo na:

sustave s jednim ulazom i jednim izlazom - SISO sustav (Single Input Single Output) te

sustave s više ulaza i više izlaza - MIMO sustav (Multiple Input Multiple Output)

SISO sustav MIMO sustav


Osnovni pojmovi – dinamički sustavi automatskog

upravljanja

Dinamički sustav obično promatramo kroz tzv. kibernetski pristup.

Kibernetika je znanost pomoću koje se spoznaju zakonitosti procesa

upravljanja u prirodi, tehnici i društvu (analiza) kako bi se temeljem tih

spoznaja projektirali tehnički sustavi (sinteza) odnosno poboljšali

prirodni sustavi

(Norbert Wiener: Cybernetics or control and communication in the

animal and the machine, 1948)


Osnovni pojmovi – prikaz dinamičkog sustava pomoću blok

sheme

Dinamički sustav još nazivamo prijenosni sustav (prijenosni član ili podsustav ako

promatramo element odnosno dio cjelokupnog sustava).

Prijenosni sustavi imaju jednoznačni smjer djelovanja određen smjerom strelice.

Prijenosno vladanje sustava (člana) možemo prikazati na više načina:

pomoću diferencijalne jednadžbe (a),

pomoću vremenskog odziva na jediničnu odskočnu funkciju – prijelazna funkcija (b),

pomoću prijenosne funkcije (c).

(a) (b) (c)



sheme

Za prikaz signala koji povezuju članove sustava koristimo slijedeće simbole:



sheme

Sustave možemo prikazati i pomoću dijagrama toka signala:

Blok sheme Dijagrami toka


Principi djelovanja sustava upravljanja – regulacijskog sustava

Sustav upravljanja, odnosno regulacijski sustav ima dvije osnovne uloge:

1. Kompenzirati (odstraniti) utjecaje smetnji koje djeluju na proces.

Regulirana veličina y mora u tom slučaju ostati na vrijednosti određenoj

referentnom vrijednošću xR (željena, namještena vrijednost). Ovdje

govorimo o ČVRSTOJ REGULACIJI odnosno tzv. regulacijskom

problemu.

2. Omogućiti da regulirana veličina y čim bolje slijedi promjenjivu

referentnu vrijednost xR (vodeća vrijednost). Regulacijsko odstupanje je

prvenstveno posljedica promjene referentne vrijednosti a ne

vanjskih poremećaja. U ovom slučaju govorimo o SLIJEDNOJ

REGULACIJI (eng. Servo Mechanism, Tracking Control)


Osnovna struktura sustava upravljanja – regulacijskog sustava

Važno je naglasiti da je osnovni tehnički zahtjev prilikom projektiranja sustava automatskog upravljanja: da regulator mora biti tako projektiran da osigura stabilnost sustava

Osim toga, vrlo često moraju biti zadovoljeni i dodatni zahtjevi: ograničeno vrijeme potrebno za kompenzaciju utjecaja smetnje,

da regulacijsko odstupanje prouzročeno smetnjom bude minimalno,

da izlazna veličina sustava čim bolje slijedi vodeću veličinu,

…

Osnovni i dodatne zahtjeve zajedno prikažemo pomoću kriterija dobrote (kvalitete) regulacije (eng. stability-performance index).

Ako sustav upravljanja ispunjava tražene kriterije onda se takav sustav smatra optimalnim u smislu postavljenih kriterija.


Osnovna struktura sustava upravljanja – regulacijskog sustava

Na temelju prethodnih primjera možemo zaključiti da se regulacijski krug (eng.

Control loop) sastoji od četiri osnovna elementa:

- regulacijske staze (proces)

- mjernog člana

- regulatora

- izvršnog člana (aktuator, postavni član)

Osnovni signali unutar sustava su:

y – regulirana veličina (eng. controlled signal)

xR – referentna veličina (w, r) (eng. reference signal)

e – regulacijsko odstupanje (eng. control error signal)

u – upravljačka veličina (izvršna, postavna) (eng. control signal)

z – poremećaj (smetnja, šum) (eng. noise signal)

Osnovna uloga regulatora da “obradi” regulacijsko odstupanje:

e(t) = xR(t) - y(t), u = f(e)

po određenom algoritmu (zakonu upravljanja), djelujući preko izvršnog člana na

proces (zatvoreni tok signala).


Osnovna struktura sustava upravljanja – regulacijskog kruga

Regulacijski krug sa negativnom povratnom vezom

y – regulirana veličina

xR – referentna veličina (w, r)

e – regulacijsko odstupanje

u – upravljačka veličina (izvršna, postavna)

z – poremećaj (smetnja, šum)


Osnovna struktura sustava upravljanja – regulacijskog kruga

Uobičajeno je da u blokovskim prikazima regulacijski uređaj sačinjava

kombinacija regulatora i izvršnog člana.

U sklopu procesa često nalazimo i mjerni član


POVIJEST AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

razvoj sustava upravljanja sa povratnom vezom usko je povezan sa problemima kojima se čovječansto suočavalo tijekom povijesnog razvoja

iako je najveći napredak zabilježen u neposrednoj prošlosti, možemoizdvojiti pet najznačajnijih razdoblja u razvoju sustava upravljanja:

1. pretpovijesno razdoblje – sve do 1886. godine

2. rano razdoblje – od 1886. godine do početka 20. stoljeća

3. klasična teorija – od početka 20. stoljeća do 1960. godine

4. moderno razdoblje – od 1960. godine do 1980. godine

5. post-moderno razdoblje – od 1980. godine nadalje


POVIJEST AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA – kratki povijesni pregled

Predpovijesno

razdoblje

- 1886.

Rano razdoblje

1886. - početak

20. stoljeća

Klasična

teorija

početak 20.

stoljeća – 1960.

Moderno

razdoblje

1960. – 1980.

Post-moderno

razdoblje

1980. -

Analiza

metode pokušaj

– pogreška,

intuicija,

umjetnost

upotreba

diferencijalnih

jednadžbi

Bode-ovi i

Nyquist-ovi

dijagrami, KMK

modeli u

prostoru stanja,

stohastični

procesi

H robustnost,

singularne

vrijednosti,

stabilnost po

Lyapunovu

Sinteza

plivajući

regulator, fantail

Watt-ov

regulator -

centrifugalni

regulator

PID, Lead – Lag

kompenzacija

LQR, Kalmanovi

filtri, LQG,

optimizacija

H sinteza,

sinteza,

robusna H2

sinteza, fuzzy

logic

Domena

vremenska vremenska frekvencijska vremenska frekvencijska

domena i alati iz

prostora stanja


Matematičko predstavljanje elemenata sustava upravljanja

Za opis vladanja sustava koristimo fizikalne i / ili druge zakonitosti ili se o

vladanju sustava zaključuje na temelju mjerenja.

MATEMATIČKI MODEL je matematička interpretacija vladanja sustava izražena

pomoću diferencijalnih, algebarski ili logičkih jednadžbi.

Namjena matematičkog modela:

Obično predstavlja polazište pri analizi i sintezi sustava upravljanja

Omogućava simulaciju sustava na računalu odnosno omogućava

"eksperimentiranje" na matematičkom modelu umjesto na stvarnom sustavu što je

iznimno korisno u fazi projektiranja

Postupak određivanja matematičkog modela je složen, a cilj mu je odrediti

STRUKTURU i PARAMETRE modela. Takav postupak nazivamo

IDENTIFIKACIJA MATEMATIČKOG MODELA, a poznamo:

TEORETSKU identifikaciju i

EKSPERIMENTALNU identifikaciju



TEORETSKA IDENTIFIKACIJA (sistemska analiza) temelji se na

poznavanju fizikalnih i drugih zakonitosti procesa i postavljanju

jednadžbi ravnoteže (mase, energije, impulsa gibanja).

EKSPERIMENTALNA IDENTIFIKACIJA zasniva se na mjerenju

ulazno-izlaznih veličina procesa te njihovog procesiranja.



U tablici su prikazani različiti oblici sustav koje možemo susresti. Matematički

model je naravno ovisan od pojedinog tipa sustava.


Opis linearnih kontinuiranih sustava u vremenskom području

OPIS POMOĆU DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

Linearne diferencijalne jednadžbe,

Parcijalne diferencijalne jednadžbe

Polazište takvog opisa je poznavanje fizikalnih zakonitosti.

Za električne sustave su to:

Kirchhoffov zakon,

Ohmov zakon,

Zakon indukcije,

Maxwellove jednadžbe,…

Za mehaničke sustave su to:

Newtonovi zakoni,

Zakoni ravnoteže sila i momenta,

Zakoni održanja impulsa gibanja i momenta,…



Realni dinamički sustavi su obično nelinearni i vremenski varijantni, stoga

nailazimo na poteškoće, ne samo pri postavljanju matematičkog modela modela

(diferencijalna jednadžba), već i pri rješavanju tih jednadžbi.

Srećom, većinu dinamičkih sustava moguće ja aproksimirati linearnim fizikalnim

sustavom s vremenski invarijantnim parametrima koji su opisani s linearnim

diferencijalnim jednadžbama s konstantnim koeficijentima. Do njihovih

rješenja dolazimo egzaktno koristeći standardne postupke.

Opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe

Ulaznu varijablu xu nazivamo pobuda, izlaznu varijablu xi odziv,

a0, ..., an i b0, ..., bm su konstantni parametri sustava i pobude

1 1

1 1 0 1 1 01

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

n n m m

i i i u u un n i m m un n m m

d x t d x t dx t d x t d x t dx ta a a a x t b b b b x t

dt dt dt dt dt dt



Ako na sustav djeluje vanjska pobuda govorimo o neautonomnom sustavu i

opisujemo ga nehomogenom diferencijalnom jednadžbom.

U slučaju da vanjska pobuda ne postoji, sustav nazivamo autonomnim

sustavom te ga opisujemo homogenom diferencijalnom jednadžbom:

1

1 1 0

( ) ( ) ( )( ) 0

n n

i i in n in n

d x t d x t dx ta a a a x t

dtdt dt



Definicija linearnosti i vremenske invarijantnosti

Ako općenito pretpostavimo da pobuda xu(t) implicira odziv sustava xi(t) i to

zapišemo kako slijedi:

xu(t) xi(t)

sustav je linearan ako će dvije pobude sustava xu1(t) i xu2(t) izazvati odzive

xi1(t) i xi2(t), pri čemu vrijedi:

[axu1(t)+b bxu2(t)] [axi1(t)+ bxi2(t)],

a i b su konstante.

Sustav je vremenski invarijantan ako uz implikaciju

xu(t) xi(t), za -<t<

vrijedi:

xu(t+a) xi(t+a), za -<t<, -<a<



- Zapis matematičkog modela električnog sustava

Korišenjem II Kirchhoffovog zakona možemo pisati:

dalje vrijedi:

pri čemu je C konstanta – fizikalna osobina kondentaora (kapacitivnost). Ako izraz za struju

uvrstimo u prvu jednadžbu, dobijemo

Dobili smo linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda (P1 član). Jednadžba je prvog reda

jer sadrži samo jedan spremnik energije – kondenzator C! Ulazna varijabla xu zapravo napon

u(t), a izlazna varijabla xi napon na kondenzatoru uc(t). Vremenski invarijantni koeficijenti imaju

slijedeće vrijednosti:

a0 = 1, a1 = RC, b0 =1.

( )R c cu u R i u u t

cq idt Cu cdq du

i Cdt dt

( )( ) ( )c

c

du tRC u t u t

dt



- Zapis matematičkog modela mehaničkog sustava

Mehanički sustav je sastavljen od mase M, opruge S i prigušivača D uz narinutu vanjsku silu

f(t). Primjenom D’Alembertova načela koje kaže da je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na

tijelo i sile tromosti tog tijela jednak nuli:

dobiti ćemo jednadžbu

fD je sila trenja prigušivača koje je razmjerna sa brzinom dx/dt uz D kao koeficijent viskoznog

trenja (fizikalna osobina prigušivača). fS je sila opruge razmjerna pomaku x, uz koeficijent S kao

krutost opruge. Konačno dobijemo linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda (P2 član)

sa konstantnim koeficijentima. Ulazna varijabla xu je sila f(t), a izlazna varijabla xi pomak mase

x(t).

1

0n

i

i

f Mx

2

2( ) ( )D S

d x dxM f t f f f t D Sx

dt dt

2

2( )

d x dxM D Sx f t

dt dt



Klasično rješenje diferencijalne jednadžbe

Postoje tri osnovne grupe postupaka za rješavanje linearne diferencijalne

jednadžbe:

Egzaktne analitičke metode su najtočnije ali i vrlo koplicirane kada

rješavamo složene sustave visokog reda.

Numeričke metode pomoću kojih dobijemo približno rješenje višestrukim

ponavljanjem algebarskih operacija. U tom slučaju nam je izuzetno koristan

alat digitalno računalo.

Analogni postupci koji pomoću analognog računala daju rješenje u

grafičkom obliku.

Zadatak: riješite diferencijalnu jednadžbu matematičkog modela opisanog

električnog sustava pomoću klasičnog postupka. Zadani parametri:

?)(

100)(

100

10

tu

Vtu

FC

kR

c


Analogije fizikalnih sustava

Sa stanovišta regulacijske tehnike, fizikalne sustave dijelimo na električne, mehaničke (translacijske i rotacijske),

pneumatske i toplinske. Da bi sustav matematički opisali, moramo primjeniti neke od osnovnih fizikalnih zakona za

odabrano područje. Tako električne krugove analiziramo pomoću Ohm-ovog ili Kirchhoff-ovih zakona, mehaničke sustave

pomoću Newton-ovog zakona ili D’Alembert-ovog načela, u termodinamici koristimo Fourier-ov zakon o prijenosu topline ili

Newton-ov zakon o hlađenju, u hidrodinamici Darcy-jev zakon o strujanju,... Svi ti zakoni temelje na osnovnim prirodnim

zakonitostima, kao što je načelo održanja energije (energetska bilanca), načelo održanja materije (zakon kontinuiteta) i

načelo održanja impulsa (zakon količine kretanja). Zato među varijablama različitih fizikalnih sustava postoje određene

analogije koje su prikazane u gornjoj tablici



Dinamička analiza modela sustava

Dinamičko vladanje sustava = vremensko vladanje sustava

opisuje vremenski tok izlazne veličine sustava (procesa) xi(t) uz narinutu ulaznu veličinu sustava (procesa) xu(t)

Vezu između ulazno/izlaznih veličina moguće je općenito izraziti

pomoću operatora F, koji svakoj realnoj funkciji xu(t) pridruži realnu funkciju xi(t) :

xi(t)=F{xu(t)}

Budući da su sustavi podložni različitim tipovima pobudnih funkcija, nepraktično je izračunavati odziv za svaku ulaznu funkciju. Izračun pojednostavimo u slučaju da poznajemo težinsku funkciju g(t). U tom slučaju za odabranu pobudu xu(t)izračunamo odziv xi(t) pomoću konvolucijskog integrala:

Težinska funkcija (impulsni odziv, eng. Impulse Response) g(t) je odziv sustava na impulsnu funkciju (Diracov impuls, jedinični impuls)

0

( ) ( ) ( )t

i ux t g t x d

( )t



Standardne pobudne funkcije

Vremenski odziv sustava na standardnu pobudu (obično odskočna funkcija) je

grafička metoda kojom ne dobijemo točne podatke o sustavu, ali je zato vrlo

koristan alat pri intuitivnom rješavanju problema.

Najčešće se koristi u regulaciji procesnih postrojenja, gdje je veoma teško

postaviti matematički model reguliranog kruga.

Iako su u većini realnih regulacijskih krugova poremećajne ili vodeće veličine

slučajnog karaktera, moguće je analizirati regulacijski krug ako te veličine

zamijenimo standardnim pobudama.

Tako se npr. odskočna, nagibna i parabolna funkcija primjenjuju pri analizi

točnosti servomehanizma, impulsna funkcija se koristi pri teoretskim analizama

za definiciju prijenosne funkcije.




Odskočna funkcija (slika a)) skokovito mijenja vrijednost od 0 na 1, zato se još

naziva i jedinični odskok. U “realnom svijetu” takvu pobudu predstavlja električni

prekidač koji uključuje elektromotor ili protočni ventil koji propušta vodu u

spremnik. Odskočna funkcija je definirana na slijedeći način:

Nagibna funkcija (slika b)) ili jedinični nagib tu(t) opisana je sa:

Predstavlja integral jediničnog odskoka u(t):

0 za 0( ) ( )

1 za 0

tf t u t

t

0 za 0( )

za 0

tf t

t t

0

( ) ( )f t u t dt




Parabolna funkcija (slika c)) predstavlja integral nagibne funkcije :

Analogno prijašnjim funkcijama nazivamo je i jedinična parabola t2u(t).

Impulsna funkcija (slika d)) nastaje derivacijom odskočne funkcije:

U trenutku t=0 ima amplitudu neizmjerne visine, što je naravno nemoguće

ostvariti, već ima samo teorijsko značenje. Nazivamo je još i Diracov impuls (t).

2

0 za 0( )

za 0

tf t

t t

( )( )

du tf t

dt

0 za 0

( ) ( ) za 0

0 za 0

t

f t t t

t




Integracijom Dirac-ove funkcije pokazati ćemo da zatvara jediničnu

površinu:

Zato funkciju nazivamo jedinični impuls.

Zadatak: integracijom pokažite kako od odskočne funkcije dobijemo nagibnu i

parabolnu funkciju.

( ) ( ) ( ) | 1 0 1t dt du t u t



PRIJELAZNA FUNKCIJA

Vremenski odziv - analitičko rješenje diferencijalne jednadžbe uz

skokovitu promjenu pobudne funkcije.

Prijelazna funkcija predstavlja izlaznu funkciju svedenu na odskočnu

funkciju amplitude Xu na ulazu.

Ako je pobuda odskočna funkcija koja ima jediničnu amplitudu, onda je

vremenski odziv ujedno i prijelazna funkcija.

( )( )

( )

i

u

x th t

X u t



VREMENSKI ODZIV OSNOVNIH SUSTAVA

Većinu matematičkih modela sustava možemo prikazati kombinacijom

svega nekoliko osnovnih članova (podsustava).

Proporcionalni član nultog reda (pojačivački član)

Nazivamo ga još i P0 - član. Električki on zapravo predstavlja običan

potenciometar ili mehaničku polugu kao mehanički sustav. Opći oblik

funkcionalne veze između izlazne i ulazne veličine opisan je prijelaznom

funkcijom:

Kp nazivamo prijenosni omjer (ako ulazna i izlazna funkcija imaju

različite fizikalne veličine – termoelement) ili pojačanje (ako ulaznu i

izlaznu funkciju mjerimo istom fizikalnom veličinom– potenciometar).

( )( )

( )

ip

u

x th t K

X u t




Električni potenciometar Mehanička poluga

Grafički prikaz prijelazne funkcije za oba primjera

prikazan je na slici lijevo. Uz jedinični odskok na

ulazu (slika a)) dobijemo vremensku karakteristiku

izlazne veličine (slika b))

2

1 2

i u p u

Ru u K u

R R

i u p u

bx x K x

a




Proporcionalni član prvog reda

Tipičan primjer takvog sustava je kombinacija otpornika R i kondenzatora C, RC

član. Budući da ga opisuje diferencijalna jednadžba prvog reda, nazivamo ga još i

P1- članom. Opći oblik prijelazne funkcije člana ima slijedeći oblik:

- Odzivna veličina se aperiodski približava konačnoj vrijednosti, zato taj član

nazivamo aperiodski član.

-Iz normiranog odziva na odskočnu pobudu slijedi definicija vremenske

konstante (): to je interval vremena koji bi protekao dok odzivna funkcija,

mijenjajući se maksimalnom brzinom, ne dostigne stacionarnu vrijednost.

- Tangenta na krivulju u bilo kojoj točki odsijeca sa pravcem maksimalne amplitude

uvijek isti vremenski interval – jednu vremensku kostantu. Odziv ima slijedeću

vrijednost nakon vremenskog intervala od jedne vremenske konstante:

Nakon vremenskog intervala od pet vremenskih kostanti (5), prijelazna

pojava nestane.

( )( ) (1 )

( )

t

ip

u

x th t K e

X u t

(1 ) (1 0,368) 0.632t

i p p pt tx K e K K




Proporcionalni član drugog reda

Predstavlja ga ranije opisani mehanički sustav ili serijski spoj otpornika R, svitka L i

kondenzatora C (slika). Budući da sadrži dva spremnika energije (svitak i kondenzator)

opisuje ga diferencijalna jednadžba drugog reda. Zato ga nazivamo P2 - član.

- Po uključenju preklopnika, kondenzator se počinje nabijati preko otpornika i svitka.

- Struja raste sporije negoli kad u strujnom krugu ne bi imali svitka. Da nema svitka,

kondenzator bi se nakon određenog vremena (ovisno vremenskoj konstanti sustava)

nabijo na vršnu vrijednost narinutog napona čime bi prijelazna pojava bila okončana.

- U svitku se zbog prolaska struje pohranila magnetska energija, i nakon što se narinuta

struja smanuje prema nuli, stvara se protu EMS (Lenz-ov zakon).

- Razgrađivanje magnetskog polja svitka održava stuju u istom smjeru, pa se

kondenzator nabije na gotovo dvostruku vrijednost narinutog napona. (približno 2U0), u

krugu imamo razliku napona na kondenzatoru i napona napajanja, zato struja poteče

preko svitka i otpornika u suprotnom smjeru.

- Napon u obratnom smjeru ne može dostići istu vrijednost kao i ranije jer se dio

električne energije u otporniku pretvorio u toplinu.





Iz opisanoga je jasno da je pojava oscilacijska, a nazivamo je prigušeno titranje.

Serijski RLC spoj opisuju slijedeća jednadžbe:

Rješenje diferencijalne jednadžbe se sastoji od dva dijela (komplementarne

funkcije i karakterističnog integrala – stacionarno stanje):

Ovisno o rješenju karakteristične jednadžbe sustava

postoje tri karakteristična slučaja:

2

0 02

1 c c

L r c c

d u dudiu u u L Ri idt U LC RC u U

dt C dt dt

1 2

2 10 0

1 2

t t

c cKF cPI

e eu u u U U

2

1,2 2

1

2 4

R R

L L LC




Konjugirano kompleksni korijeni

Izlazna se veličina stacionarnom

stanju približava uz prigušene

oscilacije

Korijeni su realni i različiti

Izlazna se veličina monotono

približava stacionarnoj

vrijednosti

Jedan dvostruki korijen

To je granični aperiodski slučaj,

kada se izlazna funkcija najbrže

aperiodski približava

stacionarnom stanju

2

2

1

4

R

L LC

2

2

1

4

R

L LC

2

2

1

4

R

L LC

1,2

2

2

1 1, ,

2 4

je mjera za prigušenje oscilacija

prigušena vlastita frekvencija sustava

neprigušena vlastita frekvencija

p

p n

p

n

j

R R

L LC L LC

'

1,2

2'

2

1,

2 4

R R

L L LC

1,2

0 1 ( sin cos )t

c p p

p

u U e t t

' '

0 '1 ( )t

cu U e sh t ch t

0 1 (1 )t

cu U e t




• Proporcionalni član drugog reda

Ako omjer nazovemo STUPANJ PRIGUŠENJA. Tada vrijedi:

- Kada je sustavu drugog reda fali član s prvom derivacijom. U tom slučaju se

energija ne troši pa sustav nazivamo konzervativni sustav.

- Prijelaznu funkciju P2 sustava možemo zapisati

n

1 za aperiodski slučaj,

1 za granični aperiodski slučaj,

0 1 za prigušeni oscilacijski slučaj,

0 za neprigušene oscilacije,

0 za raspirene oscilacije

0

' '

'

1 ( sin cos )

( )( ) 1 ( )

( )

1 (1 )

t

p p p

p

tip

u

t

p

K e t t

x th t K e sh t ch t

X u t

K e t





Tri osnovna oblika odziva proporcionalnog člana drugog reda na odskočnu funkciju

(slika a)) možemo vidjeti na slici b).




Integralni član

- Tipičan integralni član je istosmjerni elektromotor (slika a)). Uz konstantnu

struju magnetskog polja Im narinuti napon armature ua razmjeran je broju

okretaja n, odnosno kutnoj brzini .

- Ako je izraz za kutnu brzinu

onda je odnos između odziva i pobude ua:

prijelaznu funkciju I0 člana možemo pisati:

2d

ndt

i aK u dt

( )( )

( )

ii

u

x th t K t

X u t




Derivacijski član

- Primjer derivacijskog člana predstavlja djelovanje električnog generatora,

npr tahogeneratora kojim se mjeri broj okretaja. Uz konstantnu struju

magnetskog polja Im, broj okretaja n i napon armature ua razmjerni su.

Odnos između ua i možemo zapisati:

Ovaj put je kut zakreta pobuda, a napon ua odziv!

Skokovit zakret za određeni kut na ulazu uzrokuje naponski impuls na izlazu.

Taj impuls padne naglo na nulu nakon što nestane zakret osovine na ulazu.

Prijelaznu funkciju D0 člana možemo pisati:

a d

du K

dt

0 za t<0( )

( ) za t=0( )

0 za t>0

i

u

x th t

X u t




Član s mrtvim vremenom Tm

- Nije opisan diferencijalnom jednadžbom.

- Pojavljuje se obično u procesnoj industriji.

- Primjer takvog sustava predstavlja transportna vrpca za šljunak. Nakon

otvaranja zasuna na ulazu prolaz pune količine u jedinici vremena Q na

izlazu primjećuje se tek nakon izvjesnog “mrtvog” vremena Tm koje je

određeno omjerom prijeđenog puta L i brzine V.

Prijelaznu funkciju Tm člana možemo pisati:

0 za t<( )( )

1 za t( )

mi

mu

x th t

X u t


.


ANALIZA U PODRUČJU KOMPLEKSNE VARIJABLE

.

Documents

Autom_upr_1