Ayudanta No1MAT-245

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Ayudante: Nicolas Varela Campos

1. Metodo de Separacion de Variables

1. Resuelva el problema de Dirichlet para la ecuacion de onda unidimensional homogenea

utt 2uxx = 0 , 0 < x < L , t > 0u(0, t) = 0 , t > 0

u(L, t) = 0 , t > 0

u(x, 0) = g(x) , 0 < x < L

ut(x, 0) = h(x) , 0 < x < L

,

donde g, h C2((0, L);R).2. Hallar la solucion del problema de Dirichlet para la ecuacion de Laplace bidimensional homogenea sobre

el crculo ={

(x, y) R2 x2 + y2 < R2} de radio R > 0{uxx + uyy = 0 , en

u(x, y) = f(x, y) , sobre ,

donde f C2(;R).3. Resuelva el problema de Dirichlet para la ecuacion de onda unidimensional no homogenea

utt 2uxx = f(x, t) , 0 < x < L , t > 0u(0, t) = 0 , t > 0

u(L, t) = 0 , t > 0

u(x, 0) = g(x) , 0 < x < L

ut(x, 0) = h(x) , 0 < x < L

,

donde f C1([0, L] R+0 ;R) y g, h C2((0, L);R).4. Encuentre la solucion del problema de Dirichlet para la ecuacion de Laplace bidimensional no homogenea

sobre el rectangulo [0, L] [0,M ]

uxx + uyy = f(x, y) , 0 < x < L , 0 < y < M

u(0, y) = 0 , 0 < y < M

u(L, y) = 0 , 0 < y < M

u(x, 0) = g(x) , 0 < x < L

u(x,M) = h(x) , 0 < x < L

,

donde f C1([0, L] [0,M ];R) y g, h C2([0, L];R).5. Considere la ecuacion

u+ r4(u ut) = 0el sistema de coordenadas (r, , t), donde (r, ) denotan las coordenadas polares en R2.

a) Verifique que la ecuacion no admite solucion de variables separables en las coordenadas cartesianas(x, y, t).

b) Suponga una solucion en las coordenadas (r, , t) de la forma

u(r, , t) = etg(r) cos(n) , con n = 0, 1, 2, . . .

Encuentre u(r, , t) sabiendo que u(0, , t) = 0 y u(1, , t) = et cos(5).

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