Az aranymetszés egy osztási eljárás, mely egy egészet (a) úgy felez két részre, hogy az egész (a) a nagyobbik félhez (b) úgy viszonyul, ahogy a nagyobbik fél a kisebbik félhez (a-b). Vagyis a nagyobbik fél középarányosa az egésznek és a kisebbik félnek.

azaz

Golden ratio

Szerkesztés útján minden vonal az aranymetszés elve szerint osztható, hasonlóképpen a számok is. Vegyük például egészként az 1000-et. Ennek aranymetszés szerinti párja a 618.

Ha pedig a 618-at vesszük egésznek, akkor párként a 382-t kapjuk. Tovább folytatva és a kis töredékeket elhagyva a 8 és 5, majd az 5 és 3 párokhoz jutunk. A háromhoz már nem tudunk egész párt találni. Tehát ezek a számok (8, 5 és 3) közelítőleg helyes fogalmat nyújtanak az aranymetszés osztási arányáról.

Zeising a felezés fenti elve szerint a jól kifejlett emberi alaknak első osztási pontját a köldökre tette és megállapította, hogy a test törzsének és főbb tagjainak illeszkedési pontjai szintén az aranymetszés szerint arányulnak. Kétségtelen, hogy a korábbi, különösen a görög szoborművek arányai is megfelelnek Zeising elméletének. Ha a test magassága 1000. A test alsó része a köldöktől 618. A test felső része a köldöktől 381. A fej hossza 145. Ezek mind aranymetszési szabály szerint viszonyulnak egymáshoz. Zeising azonkívül megkísérelte az ókor és a középkor legkiválóbb építményein kimutatni, hogy azoknak egészén és egyes részeinek méreteiben az aranymetszés elve uralkodik. Ahogy a festészet legismertebb alkotásainak elrendezésében is ugyanez az elv érvényesül.

Tartalomjegyzék

[elrejt] 1 Művészet

o 1.1 Tipográfia 2 Az „aranyarány” tényezője

o 2.1 Az arányszám kiszámítása o 2.2 Tört-előállítások

2.2.1 Végtelen lánctört-előállítás

2.2.2 Előállítás lineáris törtfüggvény-sorozat tagjai alakjában 3 Lásd még

4 Külső hivatkozások [szerkesztés]

Művészet

Több neves művész vagy műalkotás épít az aranymetszés szabályaira, például a magyar Szent Korona ([1]), Bartók Béla bizonyos zeneművei; Dante Alighieri Isteni színjátéka, Leonardo da Vinci festményei.

[szerkesztés]

Tipográfia

A tipográfia – avagy a nyomtatás művészete – is épít az aranymetszés szabályaira: a címek, alcímek és a szövegtörzs betűméretének viszonyát általában az aranyarányban szokás megállapítani.

[szerkesztés]

Az „aranyarány” tényezője

[szerkesztés]

Az arányszám kiszámítása

A definícióból kiszámolható, hogy a nagyobb szakaszt (a) „hány részre” kell osztani, hogy a kisebb szakaszt (b) kapjuk, tehát az a Φ szám, amelyre . Tehát kiszámolható a

arány. Ugyanis:

esetén

a = bΦ

és

,

továbbá a definíció miatt

,

így

,

osztva az egyenlőséget a-val ,

,

és mivel ,

,

ezzel kiküszöböltünk két ismeretlent, és a baloldalon beszorozva a zárójelben álló különbség tagjait Φ-vel, a következő egyismeretlenes egyenletet kaptunk:

,

azaz

Φ2 − Φ = 1 ,

azaz

Φ2 − Φ − 1 = 0 .

Ezt a másodfokú egyenletet megoldva a következőt kapjuk:

.

E számnak rengeteg érdekes matematikai tulajdonsága van, például kapcsolatai a Fibonacci-sorozattal.

[szerkesztés]

Tört-előállítások

[szerkesztés]

Végtelen lánctört-előállítás

Mivel

,

azért

,

továbbá

,

és így tovább.

Ezzel az arányszám ún. (végtelen) lánctört-előállítását kapjuk:

,[szerkesztés]

Előállítás lineáris törtfüggvény-sorozat tagjai alakjában

Ha megtesszük, hogy a fenti lánctört-sorozat tagjait egyszerűsítjük, úgy hogy a bennük szereplő törteket közös nevezőre hozzuk, érdekes dologra juthatunk. Ezt azonban egyszerűebben is megtehetjük: Mivel

,

a jobb oldalon álló Φ-kbe behyelettesítve a bal oldalon álló Φ jobb oldali alakját:

= ,

Most az így kapott kifejezéssel ugyanazt csinálva, mint előbb, azaz beírva a legelső egyenlet jobb oldalát, adódik:

.

Észrevehető, hogy a számláló és nevező együtthatói az Fibonacci-sorozat szomszédos elemei. Teljes indukcióval bizonyítható, hogy általában is:

.

A Fibonacci-számok a matematikában az egyik legismertebb rekurzív sorozat elemei. Az első két elem 0 és 1, a további elemeket az előző kettő összegeként kapjuk. Képletben:

Tartalomjegyzék

[elrejt] 1 Eredet 2 Matematikai definíció 3 Binet-formula 4 Általánosítások

o 4.1 Lucas-számok o 4.2 Polibonacci-számok o 4.3 Kiterjesztés a valós számokra

5 Tulajdonságai o 5.1 Azonosságok o 5.2 Hatványsor o 5.3 Reciprokok összege o 5.4 Repfigitek

6 Fibonacci-számok kiszámítása 7 Alkalmazások 8 Fibonacci-spirálok 9 Fibonacci-számok a természetben 10 Fibonacci-számok az irodalomban 11 Lásd még 12 Irodalom

13 Külső hivatkozások

[szerkesztés]

Eredet

A sorozatot először 1150-ben írta le két indiai matematikus, Gopala és Hemacsandra, akik a szanszkrit költészet elméleti kérdéseit vizsgálva ütköztek egy ládapakolás jellegű problémába (hányféleképpen lehet rövid és hosszú szótagokkal kitölteni egy adott időtartamot, ha egy hosszú szótag két rövidnek felel meg?). Nyugaton tőlük függetlenül találta meg 1202-ben Fibonacci, aki Liber Abaci (Könyv az abakuszról) című művében egy képzeletbeli nyúlcsalád növekedését adta fel gyakorlófeladatként: hány pár nyúl lesz n hónap múlva, ha feltételezzük, hogy

az első hónapban csak egyetlen újszülött nyúl-pár van; az újszülött nyúl-párok két hónap alatt válnak termékennyé; minden termékeny nyúl-pár minden hónapban egy újabb párt szül; és a nyulak örökké élnek?

Kepler 1611-es könyvében, a The Six-Cornered Snowflake-ben újra felfedezte, és különféle természeti jelenségekkel hozta kapcsolatba.

A ma használt elnevezést E. Lucastól kapta.

[szerkesztés]

Matematikai definíció

Az n-edik Fibonacci-szám jele un (Fn inkább az ismeretterjesztő irodalomban használatos). A Fibonacci-számok egy lineárisan rekurzív sorozatot alkotnak, OEIS-számuk A000045. Az első néhány Fibonacci szám: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

[szerkesztés]

Binet-formula

A szomszédos Fibonacci-számok aránya (Fn + 1 / Fn) φ-hez, az aranymetszés értékéhez tart:

x

azaz

x2 = x + 1,

ennek a másodfokú egyenletnek pedig éppen φ és 1 − φ a megoldásai.

(Valójában ennél több is elmondható: az Fn + 1 / Fn törtek éppen a φ lánctörtbe fejtésével kapott közelítő törtek.)

Az egyenlet mindkét oldalát xn-nel beszorozva a

xn + 2 = xn + 1 + xn

egyenlőséget kapjuk.

Ez azt jelenti, hogy a és a sorozatok (és minden lineáris kombinációjuk) kielégítik a Fibonacci-rekurziót.

Az együtthatók megfelelő megválasztásával elérhetjük, hogy a helyes F0 = 0 és F1 = 1 értékeket kapjuk:

Az így kapott

képlet a Fibonacci-számok zárt alakja, ezt nevezzük Binet-formulának.

Ugyanezt a képletet kapjuk a generátorfüggvények módszerével is.

Ha n tart a végtelenhez, a második tag nullához konvergál, azaz a Fibonacci-számok a

sorozathoz tartanak, ebből adódik az arányuk konvergenciája. Mi több, a második tag már kezdetben is olyan kicsi, hogy a Fibonacci-számokat úgy is magkaphatjuk, hogy csak az első tagot számoljuk ki, és kerekítünk a legközelebbi egészre.

A Fibonacci-sorozat leírható lineáris differenciálegyenletek kétdimenziós rendszerével:

vagy

Az A mátrix sajátértékei φ és (1 − φ), a sajátvektorok pedig és .

[szerkesztés]

Általánosítások

A Fibonacci-sorozat kifejezést általánosabb értelemben minden olyan g sorozatra alkalmazzuk, ami a gn + 2 = gn + gn + 1 rekurzív képlettel adható meg. Belátható, hogy minden ilyen sorozat átírható gn = aFn + bFn + 1 alakba, más szóval a Fibonacci-sorozatok egy vektorteret alkotnak az Fn és Fn + 1 sorozatokkal mint bázissal.

A Fibonacci-sorozatok további általánosítása a Lucas-sorozatok.

Egy másfajta általánosítás a Fibonacci-polinomok.

[szerkesztés]

Lucas-számok

Az L1 = 1, L2 = 3, Ln + 2 = Ln + Ln + 1 Fibonacci-sorozat elemeit Lucas-számoknak nevezzük. Először Euler írta le őket 1748-ban, az Introductio in Analysin Infinitorum c. művében.

Jelentőségük, hogy az aranymetszést n-edik hatványra emelve az eredmény lesz.

Néhány összefüggés a Fibonacci- és a Lucas-számok között:

Ln = Fn − 1 + Fn + 1

.

. F2n = FnLn.

.

. [szerkesztés]

Polibonacci-számok

A Tribonacci-számokat a Fibonacci-számokhoz hasonlóan számítjuk, de kettő helyett három korábbi elemet adunk össze. (Az első néhány elem: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149...) OEIS

számuk A000073. Hasonlóan definiáljuk a tetranacci, pentanacci stb. számokat, de a kutatók nem tartják őket különösebben érdekesnek.

[szerkesztés]

Kiterjesztés a valós számokra

A Binet-formulából kiindulva a Fibonacci-számok kiterjeszthetőek sorozatból valós függvénnyé:

[szerkesztés]

Tulajdonságai

Az egyetlen Fibonacci-szám, ami egyben négyzetszám is (a 0-t és az 1-et kivéve) a 144.

számjegyeinek száma éppen tizedestört alakjának első n számjegye.

[szerkesztés]

Azonosságok

(Cassini-azonosság, a korábbi mátrixazonosságból a két oldal determinánsát véve nyerhető.)

Általánosabb formája: (Catalan-azonosság).

FmFn + 1 − Fm + 1Fn = ( − 1)nFn − m (d'Ocagne-azonosság) FmFn + 1 + Fm − 1Fn = Fn + m, amiből adódik, hogy Fk | Fnk. Ennél több is igaz: egy

tetszőleges k-ra , továbbá (Fm,Fn) = F(m,n).

Annak az nxn-es mátrixnak, aminek a főátlójába 1-et, a főátló fölötti és alatti mezőkbe pedig i-t írtunk, a determinánsa éppen Fn + 1.

Összefüggés a Csebisev-polinomokkal:

[szerkesztés]

Hatványsor

A hatványsor x < 1 / φ esetén az alábbi zárt alakba írható:

.

Ebből mellett adódik, hogy .

[szerkesztés]

Reciprokok összege

A Fibonacci-számok reciprokainak összege konvergens:

(OEIS: A079586)

Erdős Pál vetette fel a kérdést, hogy irracionális-e ez a szám, és R. André-Jeannin bebizonyította be 1989-ben, hogy az. Zárt képletet nem ismerünk rá.

[szerkesztés]

Repfigitek

A repfigitek (repetitive Fibonacci-like digit, ismétlődő Fibonacci-szerű számjegy) vagy Keith-számok olyan számok, amiknek a számjegyeiből egy lineáris rekurzív sorozatot alkotva a sorozat tartalmazza magát a számot. A kétjegyű repfigitek (ezeknél a lin. rek. sorozat Fibonacci-sorozat): 14, 19, 28, 47, 61, 75.

(OEIS: A007629)

[szerkesztés]

Fibonacci-számok kiszámítása

A rekurzív képlet közvetlenül nem alkalmas nagy Fibonacci-számok kiszámítására, mert a korábbi Fibonacci-számokat sokszor ki kell számítani hozzá, amitől a futásidő

exponenciálissá válik. (Kivétel ez alól, ha a használt programnyelv "megjegyzi" az egyszer már kiszámított értékeket - ez a helyzet pl. bizonyos funkcionális nyelveknél.) A Binet-formula használata sem célszerű, mert a lebegőpontos számábrázolás általában nem elég pontos hozzá, és a felgyülemlő kerekítési hibák miatt téves eredmény adódhat.

A legegyszerűbb módszer két változó használata, amelyek kezdetben 0 és 1 értékeket kapnak, majd az elsőt minden lépésben felülírjuk a másodikkal, a másodikat pedig a kettő összegével. Nagy n-re O(log n) szorzással megkaphatjuk, ha az alábbi képletből számoljuk gyors hatványozással:

[szerkesztés]

Alkalmazások

A Fibonacci-számoknak nagy jelentősége van az euklidészi algoritmus futásidejének elemzésében: az algoritmus akkor a leglassabb, ha két szomszédos Fibonacci-szám legnagyobb közös osztóját kell kiszámolni.

Matyijaszevics kimutatta, hogy a Fibonacci-számok diofantoszi halmazt alkotnak, és ebből kiindulva válaszolta meg Hilbert tizedik problémáját.

A Pascal-háromszögben bizonyos átlók mentén összegezve a számokat Fibonacci-számokat kapunk.

Egy n hosszú szakaszt Fn + 1-féleképpen lehet kirakni 1 és 2 hosszú szakaszokból.

Egy 2*n-es sakktáblát 2*1-es dominókkal Fn + 1-féleképpen lehet lefedni (Dickau).

Az 1, 2, ... n számokból Fn + 2-féleképp lehet kiválasztani egy részhalmazt úgy, hogy ne kerüljenek bele szomszédos számok (1-et és n-t is szomszédosnak tekintve).

Azoknak a bitsorozatoknak a száma, amikben nincs két egymást követő 0, Fn + 2; annak az esélye, hogy n egymást követő pénzfeldobás során nem kapunk kétszer egymás után fejet, Fn +

2 / 2n.

A zenében néha hangolásra használják, máskor időtartamok arányainak meghatározására. Egy példa erre Bartók Béla Zene húros-, ütőhangszerekre és cselesztára című műve.

Minden pozitív egész szám felírható különböző Fibonacci-számok összegeként; ha a Fibonacci-számok között nem lehet két egymást követő, akkor a felírás egyértelmű. Ez a Zeckendorf-tétel, maga a felírás pedig Zeckendorf-reprezentáció vagy Fibonacci-számrendszer néven ismeretes.

A mérföld és a kilométer közötti váltószám (1.609) közel van az aranymetszéshez, ezért a kettő közötti átváltás közelíthető egy bitenkénti eltolás művelettel a Fibonacci-számrendszerben.

[szerkesztés]

Fibonacci-spirálok

A Fibonacci-spirál egy olyan logaritmikus spirál, ami egy negyedfordulat alatt nő a φ-szeresére (azaz egy cφ2 / π egyenletű spirál). Jól közelíthető az arany téglalap segítségével .

A Fibonacci-spirálon egyenlő távolságra pontokat elhelyezve azok „spirálkarokká” állnak össze, és ezen karok száma Fibonacci-szám lesz.

A Fibonacci-spirál mentén elhelyezett gömbök optimális elrendezést adnak abban az értelemben, hogy nagyon sok gömböt elhelyezve is azok egyenletesen oszlanak el.

[szerkesztés]

Fibonacci-számok a természetben

Fibonacci-spirálok a brokkoli rózsáiban

A virágszirmok száma gyakran Fibonacci-szám: például a liliomnak, a nősziromnak és a hármassziromnak három; a haranglábnak, a boglárkának, a larkspurnak és a vadrózsának öt; a szarkalábnak, a vérpipacsnak és a pillangóvirágnak nyolc; a jakabnapi aggófűnek, a hamvaskának és a körömvirágnak 13; az őszirózsának, a borzas kúpvirágnak és a cikóriának 21; a fodroslevelű margitvirágnak, az útilapunak és egyes százszorszépeknek 34; más százszorszép-fajoknak pedig 55 vagy 89 szirma van.

Fibonacci-spirálba rendeződnek például a fenyőtoboz és az ananász pikkelyei, a napraforgó magjai, a málna szemei, a karfiol rózsái és egyes kaktuszok tüskéi. A nautiluszok háza is hasonlít a Fibonacci-spirálhoz, de nem egy negyed, hanem egy teljes kör alatt nő meg a sugár

-szeresére.

A növények szárán az egymást követő levelek elfordulása (a phyllotaxis) többnyire (egyes becslések szerint 90%-ban) Fn / Fn + 2 teljeskör (pl. szilfa és hárs esetén 1/2, bükknél, mogyorónál és szedernél 1/3, tölgynél, almánál, cseresznyénél és meggynél 2/5, nyárnál,

rózsánál és baracknál 3/8, fűznél és mandulánál 5/13). Ezek az arányok éppen a

lánctörtbe fejtésekor kapott közelítő törtek ( az aranymetszés).

Przemyslaw Prusinkiewicz szerint ezen jelenségek egy része megmagyarázható szabad csoportok bizonyos algebrai megkötéseinek kifejeződéseként, konkrétabban bizonyos Lindenmeyer nyelvtanokként. A fraktálgeometriában a Fuchs-csoportok és a Klein-csoportok tanulmányozása közben találkozhatunk Fibonacci-számokkal.

Egy méh n-generációs őseinek a száma az n-ik Fibonacci-szám.

[szerkesztés]

Fibonacci-számok az irodalomban

A Fibonacci-sorozatnak fontos szerepe van Dan Brown bestsellerében, A da Vinci-kódban, és Darren Aronofsky filmjében, a π-ben.

A pentagramma vagy pentagram a szabályos ötszög átlói által alkotott ötágú csillag.

A pentagramma szó a görög πεντάγραμμον (pentagrammon) szóból származik, ami főnévi formája a πεντάγραμμος (pentagrammosz) vagy πεντέγραμμος (pentegrammosz) – „öt vonal” szónak.

A pentagramma ősidők óta fontos szimbólum, aminek mágikus vonásokat tulajdonítottak. Régen a Vénusz és a hozzá kapcsolódó istenségek jelképe volt. A püthagoreusoknál fontos vallási-filozófiai szerepet töltött be, néha Pitagorasz-féle csillagként is emlegetik.

Tartalomjegyzék

[elrejt] 1 Geometria 2 Története

o 2.1 Ókor o 2.2 Középkor

3 Újkor o 3.1 Neopogányság

4 Pentagrammák az irodalomban 5 A pentagrammából származó mai jelképek 6 Források

7 Külső hivatkozások [szerkesztés]

Geometria

Pentagramma és aranymetszés – a három kék szakasz aránya 1:φ:1-φ, a három sárgáé hasonlóképpen

A szárakon egymás után következő pentagrammák aránya épp az aranymetszés

A pentagramma csúcsaiban lévő szögek összege 5 × 36° = 180°, ugyanannyi, mint egy háromszög szögeinek összege. Számos helyen megtalálható benne az aranymetszés aránya. A középen lévő alakzat maga is szabályos ötszög, a csúcsok által kifeszített ötszöghöz való aránya éppen az aranymetszés.

A szabályos ötszöghöz hasonlóan a pentagramma szimmetriacsoportja is a D10 diédercsoport.

[szerkesztés]

Története

[szerkesztés]

Ókor

A pentagramma legkorábbi ismert említése mezopotámiai írásokban történik, i.e. 3000 körül. A sumereknél a pentagramma (csúcsával lefelé) az „UB” szó piktogramja volt, jelentése sarok, szög, zug, üreg, lyuk, verem. Babilóniában valószínűleg az öt irányt jelképezt: elöl, hátul, balra, jobbra és felül. Ezeknek az irányoknak asztrológiai jelentése volt: az öt bolygót (Jupiter, Merkúr, Mars, Szaturnusz és Vénusz) jelképezték.

A pitagoreusok a (lefelé fordított csúcsú) pentagrammát a ύγιεια (Hygieia, egészség – egyben az egészség görög istenének, Hygieia-nak a neve) névvel illették. Mivel az aranymetszés fontos szerepet játszott a világképükben, a pentagrammát a tökéletesség jelképének tekintették. A vele kapcsolatos filozófiájukat Syrosi Pherekydes fejtette ki művében, a Pentemychosban (amiből csak töredékek maradtak fenn). A pentemychos szó jelentése „öt kamra”. A pitagoreusok a pentemychost egy helynek hitték valahol a Tartaroszban – ez az a hely, ahova a kozmosz első csíráját el kellett helyezni, hogy a rendezett kozmosz megjelenjen.

Pentagramma Heinrich Cornelius Agrippa Libri tres de occulta philosophia című művéből. Az ábra az emberi test és az aranymetszés kapcsolatát illusztrálja. A csúcsokon látható jelek (felülről kezdve, az óramutató járása szerint) a Mars, a Jupiter, a Merkúr, a Szaturnusz és a Vénusz asztrológiai jelei.[szerkesztés]

Középkor

A középkorban az öt őselemet jelölték vele:

ύδωρ, Hydor, víz Γαια, Gaia föld ίδέα, Idea vagy ίερόν, Hieron "szent dolog" έιλή, Heile, hő (tűz) άήρ, Aer, levegő

A szavak kezdőbetűi (υ-γ-ι-ει-α) éppen a pentagramma pitagoreus nevét adják ki.

A számmisztikában öt ága a női princípium (aminek száma a kettő) és a férfi princípium (száma a három) egységét jelképezve a házasság, a boldogság, a beteljesülés és a tökéletesség jelképe volt. A tudományok kulcsának, a titkok nyitójának is tartották; Paracelsus szerint a leghatalmasabb jel.

A hajnalcsillag, Jézus jelképe

A keresztény szimbolikában a pentagramma az öt érzék jelképe. A csúcsaira az S, A, L, V, S betűket írva az egészség jelképe (az egészség latinul salūs). Néha Krisztus öt sebét is jelképezi. A pentagramma egyik csúcsát megnyújtva kapjuk a hajnalcsillagot. A pentagramma a betlehemi csillag jelképe is.

[szerkesztés]

Újkor

A szabadkőművesek a pentagrammát lángoló csillagnak nevezték, és a Napnak, az első anyagnak, az élet forrásának szimbólumát látták benne.

A Golden Dawn rend pentagrammarituáléjában a pentagramma egyetlen vonallal való megrajzolása (az iránytól és a kezdőponttól függően) a szellemidézés és -űzés kelléke volt.

Pentagramma Stanislas de Guaita 1897-es La Clef de la Magie Noire című könyvéből

Anton LaVey individualista és ateista szervezete, a Church of Satan jelképében, „Baphomet pecsétjében” egy csúcsával lefelé mutató pentagramma szerepel. Mivel az egy csúcsával felfelé mutató ötágú csillag hagyományosan a szellemi világot ábrázolja, a felfordított pentagramma LaVey szerint az ember testi, karnális jellegét fejezi ki. Maga a csillag az egyén által megtapasztalt szubjektív világmindenséget is szimbolizálja.

A körbe rajzolt pentagramma a neopogányoknál az öt őselem egyensúlyát szimbolizálja.[szerkesztés]

Neopogányság

A neopogány mozgalmak gyakran használják a körbe rajzolt pentagrammát az öt őselem (tűz, víz, föld, levegő, lélek) egyensúlyának szimbólumaként.

[szerkesztés]

Pentagrammák az irodalomban

A Sir Gawain és a zöld lovag című 14. századi költemény szerint Sir Gawain pajzsán pentagramma volt, aminek az öt éle a lovagság öt erényét jelképezte.

Goethe Faustjában Mefisztó nem tud átlépni a pentagrammával megjelölt küszöbön.

A Cthulhu mítosz egyes, August Derleth által írt (de rendszerint tévesen H. P. Lovecraftnak tulajdonított) darabjaiban szereplő Ősi jel (Elder Sign) egy görbe vonalakkal rajzolt pentagramma, a közepén egy szem szimbólumával. Legelőször Derleth Árnyak a kapu elött (The Lurker at the Threshold) című novellájában szerepelt.

A Vitruvius-tanulmány Leonardo da Vinci egy vázlata, amely az emberi test méretarányait volt hivatva felmérni és elemezni. Hasonló mértani arányokkal foglalkozik még a pentagram és az aranymetszés fogalma is.

Tartalomjegyzék

[elrejt] 1 Leonardo így ír a vázlatról 2 Vitruvius hatása 3 Könyvek

4 Külső hivatkozások [szerkesztés]

Leonardo így ír a vázlatról

"Vitruvius, az építész azt mondja az építészetről szóló művében, hogy az emberi test méretei a következők: 4 ujj tesz ki 1 tenyeret, és 4 tenyér tesz ki 1 lábat, 6 tenyér tesz ki 1 könyököt; 4 könyök teszi ki egy ember magasságát. Ezen túl 4 könyök tesz ki egy lépést, és 24 tenyér tesz ki egy embert. Az ember kinyújtott karjainak hossza megegyezik a magasságával. A haja tövétől az álla hegyéig terjedő szakasz egytizede a magasságnak; az álla hegyétől a feje tetejéig terjedő szakasz egynyolcada a magasságának; a mellkasa tetejétől a haja tövéig

egyhetede az egész embernek. A könyöktől az ujjhegyig az egyötöde az embernek; és a könyöktől a hónalj hajlatáig egynyolcada az embernek. A teljes kézfej az egytizede az embernek. Az áll hegyétől az orrig, illetve a hajtőtől a szemöldökig terjedő távolsága egyforma, s a fülhöz hasonlóan az arc egyharmada."

[szerkesztés]

Vitruvius hatása

A Leonardo-tanulmány a római császárkori, i.e. I. században élt építész, Vitruvius munkásságára utal vissza. Vitruvius legfontosabb műve a De architectura című építészeti tanulmánykötet. Ez a mű a művészettörténet egyik legfontosabb forrása. E művében Vitruvius kifejti, hogy az építész/művész által megalkotott szabályok a racionálisan megismerhető törvényszerűségeket, az emberi test harmóniáját követik.