埼玉工業大学 機械工学学習支援セミナー（小西克享） フーリエ級数とフーリエ変換－1/12

テーマ B25： フーリエ級数とフーリエ変換

１．フーリエ級数

一般に物体の運動には周期運動と非周期運動があります．例えば，時計の長針は 60 分ご

とに同じ位置に戻ってくることから，60 分を周期とする周期運動をしていると言えます．

周期運動の一例であるバネや糸の先につけた重りの運動は，特に振動と呼ばれます．一方，

自由落下運動のように，物体が繰り返し同じ位置を通過することのない運動は非周期運動

と呼ばれます．

もっとも単純な振動の例であるバネの場合，バネの初期の伸びを Aとすると，重りの変

位は tAy cos で表されます．これは振動が基本的に三角関数で表されることを示す良い

例ですが，実際の機械の振動はもっと複雑で，いくつもの sin 波や cos 波が合成されたもの

となります．どのような振動波形でも表すことができる式として最も適しているのは，無

限級数の一種であるフーリエ級数なのです．

周期が 2πのとき，関数 xf のフーリエ級数は

1

0 sincos2

~n

nn nxbnxaa

xf (1)

で表されます． na ， nb はフーリエ係数と呼ばれますが，ここで，興味深い点は na ， nb が xf

自身から求められることです．具体的には

nxdxxfb

nxdxxfa

n

n

sin1

cos1

(2)

となります．求めようとしている xf から係数を計算するのは矛盾しているように思えま

すが，実は，(1)式は xf の近似式を与えるのであり，(2)式の xf として(1)式を代入する

訳ではありません． x の範囲で定義される周期 2π の関数が xf として具体的に

与えられたとき，(2)式からフーリエ係数 na ， nb を求め，それらを(1)式に代入することで，

x の全領域で定義される近似式に拡張することができるのです．なお， xf が 20 x で

定義される場合は，積分範囲を 0 から 2πとして，次式を用いることもできます．

2

0

2

0

sin1

cos1

nxdxxfb

nxdxxfa

n

n

周期が 2Lのとき，関数 xf のフーリエ級数は

1

0 sincos2

~n

nn xL

nbx

L

na

axf

フーリエ係数は

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L

Ln

L

Ln

xdxL

nxf

Lb

xdxL

nxf

La

sin1

cos1

となります．では，具体的な例で示しましょう．代表的な振動波形にはサイン波，三角波，

矩形（くけい）波があります．

サイン波は xy sin で表され，三角関数ひとつで x の全て領域を表すことができますが，

三角波と矩形波はそうは行きません．簡単な関数では全領域を表すことができないのです．

例えば， x の範囲で矩形波は

01

01

xxf

xxf

(3)

と表すことができますが，x の全て領域を表すには，x の範囲ごとに定義を繰り返さなけれ

ばなりません．そこで，フーリエ級数を用いると，

anは

,3,2,1,0

00sinsinsin0sin1

sinsin1

10,10cos1cos11

00coscos1

cos1

0

0

0

0

0

0

n

nnn

nxnxn

xfxfnxdxnxdx

nxdxxfnxdxxf

nxdxxfan

でからでから

に積分区間を分離するからとから

また，bnは

-1

1

π -π

三角波

x 0

-1

1

π -π

0

-1

1

π -π 0

矩形波 サイン波

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):,8,6,4,2(0

):,7,5,3,1(4

coscos1

10,10sin1sin11

00sinsin1

sin1

0

0

0

0

0

0

偶数

奇数

でからでから

に積分区間を分離するからとから

n

nn

nxnxn

xfxfnxdxnxdx

nxdxxfnxdxxf

nxdxxfbn

ここで， 12 mn とすると，m（m=0,1,2,3,･･･）を用いて n の奇数のみを表すことができ

ます．

12

412

mbb mn （m=0,1,2,3,･･･）

xf

-1

1

π

-π

01

01

xxf

xxf

のグラフは x の範囲

のみを表す

xf

2π -π

x

x

0 12

12sin4

m m

xmxf

のグラフは x の全領域を表す

π 3π 4π -2π -3π -4π

0

-1

1

0

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そこで，フーリエ級数は

01

0

12

12sin4sincos

2~

mn

nnm

xmnxbnxa

axf

(4)

となります．この式は，x の全て領域を表すことになります．

(4)式は無限級数ですが，項の数を有限個とした場合，式は次のようになります．矩形波の

グラフと重ねてみると，項数が増えるに従って矩形波に近づいて行くことがよくわかりま

す．

x

m

xmy

m

sin4

12

12sin4 0

0

0

xxm

xmy

m

3sin3

1sin

4

12

12sin4 1

0

1

xxxm

xmy

m

5sin5

13sin

3

1sin

4

12

12sin4 2

0

2

フーリエ級数はどんなグラフになるかは，フーリエ係数 na ， nb 次第なのです．

-1

1

π

-π

のグラフは の範囲

のみを表す

2

π

-π

x

x

のグラフは x の全領域を表す

π 3

π

4

π

-2π -3π -4π

0

-1

1

0

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２．フーリエ積分とフーリエ変換

フーリエ級数はどのような形の周期関数でも表すことができますが，無限区間で周期を

持たない関数には，適用できません．このような関数に対しては，フーリエ級数の代わり

に次のフーリエ積分が用いられます．

0 0

sincos~ dxBdxAxf (5)

A と B は次式で定義されます．

duuufA

cos1

(6)

duuufB

sin1

(7)

xf が偶関数の場合， 0sin

duuuf ，すなわち， 0B となるので，(5)式は cos

の項だけとなり，

0cos

2~

dxCxf (8)

0

cos2

duuufC

(9)

xf が奇関数の場合， 0cos

duuuf ，すなわち， 0A となるので，(5)式は sin

-1

1

π -π 0

-1

1

π -π

0

-1

1

π -π 0

フーリエ級数はフーリエ係数 ， 次第でどんなグラフにもなる不思議な級数

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の項だけとなり，

0sin

2~

dxSxf (10)

0

sin2

duuufS

(11)

と表されます．

注意：偶関数は y 軸に対して軸対称な関数で，奇関数は原点に対して点対称な関数です．

次に，オイラーの公式

sincos iei (12)

を導入すれば，フーリエ積分を次のように複素形で表すことができます．

deFxf xi

2

1~ (13)

ここで

dueufF ui

2

1 (14)

となります．(9)式を xf のフーリエ余弦変換，(11)式をフーリエ正弦変換，(14)式をフー

リエ変換と言います．それぞれに対応して，(8), (10), (13)式をフーリエ逆変換と言います．

フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換はフーリエ変換の特殊なケースで，(14)式を使って

フーリエ変換した結果は， xf が偶関数なら(9)式，奇関数なら(11)式で求めた結果と同じ

になります． xf が偶関数か奇関数であるかが判明できるときは，それぞれ余弦変換か正

弦変換を行う方が計算は楽になります．また，フーリエ逆変換はフーリエ積分と同じ意味

になります．フーリエ逆変換された結果のグラフは，元の xf のグラフと同じになります．

関数 xf が与えられたとき，フーリエ変換を行い逆変換すれば，フーリエ積分表示が完

成します．では，具体例を見てみましょう．関数を

x

のグラフ

偶関数の例

3

1

2

4

1 2 -1 -2 0

y

x

のグラフ

奇関数の例

1

2

1 2 -1 -2 0

y

-2

-1

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10

11

xxf

xxf (15)

とするとき，この関数は偶関数なので，フーリエ余弦変換 C は

sin20sin

12

sin12

cos2

cos2 1

0

1

00

uduuduuufC

(16)

よって，逆変換は

000

cossin2

cossin22

cos2

~

dxdxdxCxf (17)

となります．

(17)式の右辺の積分の形が簡単には解けそうにないので，変に思うかもしれませんが，

現在ではコンピュータで手軽に数値積分できるので，任意の x に対する解を簡単に求める

ことができるため，このままでも全く問題にならないのです．

関数 xf とフーリエ余弦変換 C のグラフは次の通りです．

xf

-1

1

1

-1

10

11

xxf

xxf

C

x

α

0

2

フーリエ変換 フーリエ逆変換

0cos

sin2~

dxxf

sin2C

sin2C

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３．フーリエ級数とフーリエ変換の応用

フーリエ級数は全ての周期的な波形を表現することができます．周期的な波形を示す代

表例は振動ですが，どのような振動もフーリエ級数で表すことができます．振動の現象は

波動方程式と呼ばれる偏微分方程式で記述できるので，フーリエ級数は波動方程式の解と

なることを意味しています．

常微分方程式を解く方法の一つであるラプラス変換は，偏微分方程式にも適用すること

ができます．ラプラス変換を 2 変数の偏微分方程式に適用すると，常微分方程式に変換で

き，3 変数以上の場合は変数を 1 つ減らすことができます．ラプラス変換は波動方程式に

も適用できますが，波動方程式の解をフーリエ級数で表せば，解の定数はフーリエ係数と

なるため，境界条件を適用してフーリエ係数を決定し，解を確定することができます．

例えば，弦の自由振動は，次の波動方程式で規定されます．

0,2

2

22

2

2

ccx

yc

t

y

密度

張力 (18)

この解は，

tTxXtxy , (19)

と変数分離して解くと，A と B を定数として

L

ct

L

xB

L

ct

L

xAtxy

sinsincossin, (20)

となります．これは線形解なので，次のような形に解を足し合わせたものも元の波動方程

式(18)を満たす解となります．

1

sinsincossin,n

nnL

ctn

L

xnB

L

ctn

L

xnAtxy

(21)

注意：(21)式は無限級数ですが，フーリエ級数という訳ではありません．

-

1

1

1

-1

x

α

0

フーリエ変換 フーリエ逆変換

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さて，(21)式は一般的な級数解であり，このままではフーリエ級数とは何の関係もありま

せん．定数 nn BA , は境界条件を適用しないと決定することができませんが，ここで問題と

なるのは未知の定数が無限にあるのに境界条件は有限で，通常の方法では無限級数解の定

数を決定できないということです．そこで，定数 nn BA , を決定するためにフーリエ級数を

利用しようというのです．例として，境界条件を両端固定で

0t のとき

xfxy 0, ：弦の初期の形を意味しています．

00,

xy

t：弦の初速度が 0 を意味しています．

とします．両端固定なため，弦の初期の形を示す xf を sin の項だけからなるフーリエ級

数で表すことにします．［ xf をフーリエ級数でおくことが，この解法の最大のミソです］

そこで，

xL

nbxf

n

n

1

sin~

（←これはフーリエ級数です）

とすると， xfxy 0, より，(21)式との比較で

nn bA

となります．また， 00,

xy

tより，(21)式を t で微分した式との比較で

0nB

となって，解は結局

1

cossin,n

n tL

cnx

L

nbtxy

となります．ここで， xf にフーリエ級数を用いたため，(21)式の無限級数における定数 nA

をフーリエ係数である nb に置き換えることができました．定義より， nb は次式で決定でき

ます．

L

Ln xdx

L

nxf

Lb

sin

1

ここで， xf に具体的な関数を与えると， nb を求めることができます．

参考：(20)式が解ならそれでよいではないか，なぜ解をわざわざ(21)式のように面倒な形

にするのかと考えたくなるはずです．(20)式だけでも，特定の条件での振動を表すには十

分ですが，(20)式だけでは弦の振動で起こりうる全てのパターンを表すことができないの

です．(21)式のようにして初めてすべての振動を記述することができるというわけです．

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具体例として，弦の中央を 1 だけ持ち上げて手を放した場合の解を求めて見ましょう．周

期２L に対応するため，図のように Lx 0 の部分を実際の弦とし， 0 xL の部分は仮

想の弦とします．

xf

1

x L -L 0 L/2

実際の弦はこの部分

このとき， xf は

LxLxL

xf

LxxL

xf

2/2

2

2/02

と表されるので，フーリエ係数は

1

x L -L 0 L/2

実際の弦はこの部分

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nn

n

nn

nn

n

LnL

n

Ln

n

LnL

n

L

L

nn

n

nn

n

LnL

n

LnL

n

Ln

n

LnL

n

L

L

xL

n

n

L

xn

n

L

L

xnx

n

L

L

xn

n

L

L

xnx

n

L

L

xL

n

n

dxL

xn

n

L

L

xnx

n

Ldx

L

xn

n

L

L

xnx

n

L

L

dxL

xn

Ldx

L

xnxdx

L

xnx

L

dxL

xnx

Ldx

L

xnx

LLdx

L

xnxf

Lb

L

L

L

L

L

L

LL

L

L

L L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

LL

Ln

sin2

sin24

2coscos

4sincos

2sin2

2cos

4

2coscos

4

2sinsin

2cos

2cos

2sin

2cos

2

4

cos4

sincossincos4

cos4

coscoscoscos4

sin4

sinsin4

sin2

2sin22

sin1

2

22

2

22

2

2/

2/

2

2/

2/

0

22/

0

2

2/

2/

0 2/2/

2/

0

2

2/2/

2/

02

2/

2/

0

偶数

奇数

:0

:2

sin8

22

n

nn

n

となります．ここで， 12 mn とすると，m（m=0,1,2,3,･･･）を用いて n の奇数のみを表

すことができます．

m

mnm

m

mbb 1

12

8

2

12sin

12

8222212

（m=0,1,2,3,･･･）

よって，弦の振動は

022

1

cossin112

8cossin,

m

m

n

n tL

cnx

L

n

mt

L

cnx

L

nbtxy

と表されます．

４．フーリエ変換の応用

xf のフーリエ変換を F とすると，

dx

xdfのフーリエ変換は Fi ，

2

2

dx

xfdのフーリ

エ変換は F2 と微分形ではなくなります．微分方程式の各項にフーリエ変換を行えば，

偏微分方程式は常微分方程式か代数方程式に置き換えることができ，逆変換すれば積分表

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示による解を求めることができます．

Q (4)式のフーリエ級数でフーリエ係数 00 a となるのはなぜですか？

A.

0

0sinsinlim

00

n

nna

nと不定形になるため，ロピタルの定理を利用すると

00coscos

lim

sinsin

limsinsin

lim000

0

nnnn

dn

nddn

nnd

n

nna

nnn

となり， 00 a であることがわかります．

http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/Fourier.pdf

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2011 年 1 月 24 日改訂

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の内容に関する本学在学生以外からのご質問・ご要望にはお応えできません．

xf

dueufF ui

2

1

xf F

0aeaxf ibx

a

bF

a

1

xfxn n

nn

d

Fdi

xf n)( Fi nn

フーリエ変換の例