光通信工学

1. フーリエ級数（復習）

2. フーリエ変換（積分）

Leave the beaten track behind occasionally and dive into the woods. Every time you do you will be certain to find something

that you have never seen before. Follow it up, explore all

around it, and before you know it, you will have something worth thinking about to occupy your mind.

by Alexander Graham Bell

ベル研究所：ノーベル賞受賞者11人 Key Words: Transistor, UNIX, C, C++, Plan9

光通信工学３0７－1

フーリエ級数展開：偶・奇関数

2

f t f t n T

T

2T

0

1

2

cos sinn n

n

f t a

a n t b n t

0nb 0na

追加：直流（DC）成分

奇関数： 偶関数：

周期性：絶対必要！

偶奇関数を問わない

フーリエ級数展開：

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

2 cos

1 cos

2 sin

1 sin

T

nT

t

T

nT

t

a T f t n tdt

f n d

b T f t n tdt

f n d

フーリエ係数（振幅）：これが知りたい！

矩形波

• 一般には偶関数とも奇関数とも言えない

• でも、周期性はある

周期

0t

フーリエ級数展開：一般型

1

1

cos

sin

n

n

n

n

f t a n t

f t b n t

偶関数

奇関数 角周波数

注意：関数 は周波数とは別物

f t

光通信工学３0７－2

-15 -10 -5 0 5 10 15

-8

-6

-4

-2

0

2フーリエスペクトルとは？

2 2 1

1

0

2 2 1

cos sin sin

, tan

2 sin

, tan

n

n

n

n

n nn n n

a b A

a b a b

f t n t

a b

A

A a

a

b

A

0A 1 2 3, , ,...A A A

11, 1 基本波

第２次高調波

第３次高調波

第４次高調波

角周波数

データ信号

2T

フーリエ

スペクトル

振幅：フーリエスペクトル（赤：正実数）

振幅の自乗：フーリエパワースペクトル

0

1

cos sin2

n n

n

af t a n t b n t

重要：スペクトル解析の目的は何？

• フーリエ級数を求めると「どのような振動（角周波数）成分」の波が「どの程度の強さ」で含まれているかを知ることができる

• フーリエスペクトル：各振動成分の振幅情報

とにかく周期関数！

フーリエ級数：周期性

周期波形：単振動の合成 22 , 2

33 , 3

44 , 4

radian

光通信工学３0７－3

/ 2

/ 2

2 2

0

1 1exp exp

1, 0

2

n

Tt

T

n n n

f t jn t dt f jn dT

c

c a b b

フーリエ級数展開：複素形式

0

1

cos sin2

n n

n

af t a n t b n t

cos

2

sin2

jx jx

jx jx

e ex

e ex

j

00

0 0

exp

1 1, ,

2 2 2

n

n

n nn n nn

c

c

f t jn t

ac a jb a jbc

複素フーリエ係数：一般的には複素数

注意 1. 虚数の導入：負の角周波数という非現実的な量が発生。 2. 但し、虚数 ＝ 「非現実的」なので納得すべし。 3. でも、後で便利さが分かる。

比較：係数1/2：正負の角周波数成分に等分配。現実には負の角周波数は存在しません！ 暗記：複素フーリエ係数の絶対値が分かれば「各振動成分の振幅情報」を求めることができる。

複素フーリエ係数

複素形式のフーリエ級数：係数

係数

青：複素数

偶関数：実数

奇関数：虚数

光通信工学３0７－4

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

1 2 2

0 otherwise within 2

0.5, 2 ,

tf t

t T

f t f t n T

T T

複素フーリエ級数：例題

1

0 t

T周期 篠崎、富山、若林「現代工学のための応用フーリエ解析」p.16、現代工学社

/2 /2

/2 /2

/2

/2

1exp

sin 21

2

sin 21

2 2

2 sin 2

T

T

jn t

n jn t dtT

ne

T jn T n

n

n

x n x x

c

0 1 2c

1c

3c 5c7c 9c

1c

3c

5c

7c

9c

0.5T

図：フーリエ係数（今回は実数）

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

2,4,6,... 0c

Duty = 50%

複素フーリエ係数（複素数）：但し、偶関数なので実数

周期波形：偶関数

基本波 基本波

0n

1n

仮にｎを連続値

図中の曲線 横軸：n = 0, ±1, ±2, …

1n

2 2

2T 2T

光通信工学３0７－5

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

もう一度確認：複素フーリエ係数

1

0 t

周期

0 1 2c

1c

3c5c

7c 9c

1c

3c

5c

7c9c

複素フーリエ級数

周期波形

直流

基本波 基本波

高調波

角周波数：負

高調波

角周波数：正

0n 1n 横軸：ｎ

2 1

0 1 2

exp

... exp 2 exp

exp exp 2 ...

n

n

f t c jn t

c j t c j t

c c j t c j t

角周波数：負

角周波数：正 直流（DC）成分

2T

7

図：フーリエ係数（今回は実数）

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

2,4,6,... 0c

1 2 2

0 otherswise within 2

0.5, 2 ,

tf t

t T

f t f t n T

T T

光通信工学３0７－6

コヒーレント光：単一角周波数（単一波長）

搬送波：Carrier

電場E

2c cT

2T データ信号：周期 Δ：データ信号に対応

振幅変調された電場E

振幅変調： 振幅 = 01010101…

変調前

変調後

質問：振幅変調された電場E • コヒーレント光？：単一角周波数（単一波長） • 答え：コヒーレント光とは言えない • 単一角周波数ではないことを具体的に説明しましょう！

１ ０ １ ０ １ ０

データ信号

0cos cosz

c c ct z t

送信者の位置

周期：搬送波 Carrier

exp cf t j t

f t

exp cj t

まず、データ信号のみに注目：周波数解析（スペクトル解析） • 周期関数のスペクトル解析：フーリエ級数 • 0101…が複数交互に発生して不自然：練習問題

光信号：変調前と変調後

光通信工学３0７－7

時間軸

時間軸

複素フーリエ級数：例題

0 t

周期

データ信号：Duty = 50% 1 2T

0000 1 1 1

０ １ ０ １ ０ １ ０ データ信号

2T

右図：フーリエ係数（今回は実数）

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2c

1c

3c 5c7c 9c

1c

3c

5c

7c

9c

0 0evenc

基本波 基本波

0n

1n

横軸：n = 0, ±1, ±2, …

1n

注意： • 今、我々が求めたフーリエスペクトルは「データ信号」のみ • 光の領域では「搬送波（Carrier)」の振動成分を考慮 質問 • 振幅変調された電場Eのフーリエスペクトルは？ • 「データ信号」の結果を利用すると簡単 答え • 搬送波の角周波数で中心周波数（直流）を置き換え

f t

光通信工学３0７－8

複素フーリエ級数：例題

0 t

周期

データ信号：Duty = 50% 1 2T

0000 1 1 1

０ １ ０ １ ０ １ ０ データ信号

2T

右図：フーリエ係数（今回は実数）

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2c

1c

3c 5c7c 9c

1c

3c

5c

7c

9c

0 0evenc

基本波 基本波

角周波数：正

横軸：0, ±Δω, ±2Δω, …

0n

角周波数：負

０：直流

注意： • 今、我々が求めたフーリエスペクトルは「データ信号」のみ • 光の領域では「搬送波（Carrier)」の振動成分を考慮 質問 • 振幅変調された電場Eのフーリエスペクトルは？ • 「データ信号」の結果を利用すると簡単 答え • 搬送波の角周波数で中心周波数（直流）を置き換え

f t

光通信工学３0７－9

複素フーリエ級数：例題

0 t

周期

データ信号：Duty = 50% 1 2T

0000 1 1 1

2T データ信号：周期 Δ：データ信号に対応

振幅変調された電場E

振幅変調： 振幅 = 01010101…

2c cT exp cj tこの領域内で

は搬送波の角周波数で振動

2T

c cT T 関係式：光の領域

右図：フーリエ係数（今回は実数）

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2c

1c

3c 5c7c 9c

1c

3c

5c

7c

9c

0 0evenc

基本波 基本波

角周波数：正

c

c c

角周波数：正 注意： • 今、我々が求めたフーリエスペクトルは「データ信号」のみ • 光の領域では「搬送波（Carrier)」の振動成分を考慮 質問 • 振幅変調された電場Eのフーリエスペクトルは？ • 「データ信号」の結果を利用すると簡単 答え • 搬送波の角周波数で中心周波数（直流）を置き換え

exp cf t j t

光通信工学３0７－10

複素フーリエ級数：例題

0 t

周期

データ信号：Duty = 50% 1 2T

0000 1 1 1

０ １ ０ １ ０ １ ０ データ信号

2T データ信号：周期 Δ：データ信号に対応

振幅変調された電場E

振幅変調： 振幅 = 01010101…

2c cT cos ctこの領域内では搬

送波の角周波数で振動

2T

関係式：光の領域

右図：フーリエ係数（今回は実数）

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2c

1c

3c 5c7c 9c

1c

3c

5c

7c

9c

0 0evenc

基本波 基本波

角周波数：正

横軸：0, ±Δω, ±2Δω, …

0n

1n

角周波数：負

横軸：n = 0, ±1, ±2, …

1n

０：直流 c

c c

角周波数：正 注意： • 今、我々が求めたフーリエスペクトルは「データ信号」のみ • 光の領域では「搬送波（Carrier)」の振動成分を考慮 質問 • 振幅変調された電場Eのフーリエスペクトルは？ • 「データ信号」の結果を利用すると簡単 答え • 搬送波の角周波数で中心周波数（直流）を置き換え

c cT T

f t exp ?cf t j t

光通信工学３0７－11

フーリエスペクトル：変調前・変調後

データ信号：複素フーリエ級数展開は既知

expn

ncf t jn t

既知

2

1

0

1

2

exp

exp exp

... exp exp 2

exp

exp

exp

exp 2 ...

c

c

n

c

c

c

c

c

nc

c

c

f t j t

jn t

c

c

j t

j t

j t

j t

j t

c j t

振幅変調された電場E：複素フーリエ級数展開は簡単

搬送波：Carrier、無変調なら搬送波のみ

重要な結論 • 変調前電場E：コヒーレント光（単一角周波数） • 変調後電場E：コヒーレント光とは言えない • 完全なコヒーレント光では情報を伝達できない。

搬送波：Carrier 青色：既知

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2c

1c

3c 5c7c 9c

1c

3c

5c

7c

9c

0 0evenc

基本波 基本波

角周波数：正

0

c

c c

角周波数：正

0 t

周期

0000 1 1 1

2T

f t

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

参照：307-10

変調前

変調後

光通信工学３0７－12

もし、周期を無限大にしたら：シングルショット

T

T

T

1 2T

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 2.5 5 7.5 10 12.5 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

1c

2c

3c

0

1

2c

4c

1c

2c

3c

4c

6c

1

1

1

1

0c

0

1

4c

0

1

6c

T

周期大：直流成分は減

周期無限大：直流成分零？

繰り返しと無関係 フーリエ変換（積分）

• 包絡線を求めることができる。

• 繰り返し（周期）と無関係、単発現象のスペクトル解析

包絡線のみ？

複素フーリエ級数

• フーリエ係数・スペクトル：離散値

• パルス幅不変で周期大：線スペクトル間隔小

1 4T

1 6T

2T

光通信工学３0７－13

光信号：搬送波＋データ信号（例：振幅変調）

０ １ ０ ０ １ １ ０

実際の光信号

• 周期性無：フーリエ変換が便利

• フーリエ変換は繰り返しと無関係、シングルショット（単発現象）

• シングルショット（単発現象）が複数回独立に発生しているとみなす

搬送波：Carrier

コヒーレント光：単一角周波数（単一波長）

2c cT

0cos expz

c c ct z j t

データ信号：周期性無

振幅変調された電場E

振幅変調： 振幅 = 0100110…

光強度： 電場Eの振幅の 自乗に比例

送信者の位置 周期：搬送波

光通信工学３0７－14

複素フーリエ級数からフーリエ変換へ

日野「スペクトル解析」p.20、朝倉書店 係数に関して疑問を持った方は

複素フーリエ級数：

/ 2

/ 2

1exp

1exp

T

nT

t

c f t jn t dtT

f jn d

expn

n

f t c jn t

, 0, 1, 2, 3,...nc n

複素フーリエ係数：複素数。

但し、偶関数（実数）、奇関数（虚数）

周期関数

2

f t f t n T

T

1exp

2f t F j t d

expF f t j t dt

フーリエ変換：時間領域から角周波数領域へ変換

フーリエスペクトル：連続量 F

フーリエ逆変換：角周波数領域から時間領域へ変換

フーリエパワースペクトル：連続量

2 *F FF ＊：複素共役

注意：パワースペクトルには色々な種類がある。 日野「スペクトル解析」p.43、朝倉書店

n

T

d

n

d

注意：偶関数：実数、奇関数：虚数

フーリエスペクトル：複素フーリエ係数の絶対値

級数和から積分へ

離散から連続へ

光通信工学３0７－15

ヒント：級数和から積分へ

n

T

d

n

d

級数和から積分へ

離散から連続へ

光通信工学３0７－16

d

Δωを小さくしましょう

1

0.5

0.1

Δωを極限まで小さくすると

● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

n

n

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

,d n

離散値から連続値へ

0n 1n 1n

0 1 2 3 41234

0

expn

n

f t c jn t

ｎの範囲：ー∞から＋∞までの整数

n

d

expF f t j t dt

フーリエ逆変換：角周波数領域から時間領域へ

フーリエ変換：時間領域から角周波数領域へ

フーリエ積分公式：

'1' '

2

j t tf t d f t e dt

't tKey Words：詳細は省略 • 離散フーリエ変換 • 高速フーリエ変換（FFT） • サンプリング定理（シャノンー染谷の定理） • 計算機：積分は数値計算において離散的に扱わ

れ、積分範囲も有限になるのでサンプリング定理などは重要。

cos cost kz t k r説明省略

1

exp2

f t F j t d

非常に重要なので：もう一回

expF k f z jkz dz

フーリエ逆変換：波数領域から空間領域へ

フーリエ変換：空間領域から波数領域へ

1

exp2

f z F k jkz dk

1exp

2

1, ,

2

exp

x y

x y x y

E A j d

E x y A k k

j k x k y dk dk

r k k r k

２次元フーリエ逆変換

光通信工学３0７－17

フーリエ変換：例題１

2

2exp cos exp4

j tF f t e dt

vt tdtv v

公式

2 2

22 ,

cos 2

exp4

ax ab

ab a v

e abxdx ea

v v

2

2

exp

exp4

f t vt

Fv v

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2expf t vt

2exp 4F v v

v

t

2 ln 2

FWHMt

v

4 ln 2

FWHM

v

FWHM: Full Width at Half Maximum ln：自然対数（natural logarithm)

重要： Gaussianのフーリエ変換はGaussian

偶関数

フーリエ変換：実数（偶関数） 時間領域

角周波数領域 0

角周波数：負 角周波数：正

0t

光通信工学３0７－18

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

1

2

0

tf t

otherwise

フーリエ変換：例題２

/2

/2

/2/2

sin 2

2

j t

j tj t

F f t e dt

ee dt

j

1

0 t

シングルショットパルス

2

6

2

6

4

0 横軸：角周波数

時間領域

特徴 • 時間的に短いパルス τ小 ＝ スペクトル拡がり：大 • 時間的に長いパルス τ大 ＝ スペクトル拡がり：小 • 長さτが無限なら、直流（線スペクトル）のみ。

4

フーリエ変換：実数（偶関数）

F

包絡線：307-13

F F

フーリエスペクトル

光通信工学３0７－19

搬送波＋データ信号（例：振幅変調）のフーリエ変換

光パルス電場：搬送波

データ信号：矩形波

1

0t

フーリエ変換？

0cos expz

c c ct z j t

-15 -10 -5 0 5 10 15

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 2

4 4

sin 2

2F

0 データ信号：Gaussian

2exp exp cE t vt j t

データ信号 搬送波（指数関数表示）

フーリエ変換

2 ln 2FWHMt v

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v

4 ln 2FWHM v

Gaussianのフーリエ変換はGaussian

結局、データ信号のフーリエ変換のみを考えればよい。

指数関数表示：送信者の位置

0 c

光通信工学３0７－20

搬送波＋データ信号：まとめ

-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

v

4 ln 2

FWHM

v

角周波数領域

2expf t vt

データ信号

データ信号：Gaussian

2exp exp cE t vt j t

スペクトル解析？

２．フーリエ変換

フーリエ変換（連続量）：実数（偶関数） Gaussian：正実数 フーリエ変換（偶関数：正実数） ＝ フーリエスペクトル

2 ln 2FWHMt v

光パルス：電場E

特徴：Gaussian（例） • 時間的にパルス幅が長いとスペクトルは細い • 時間的にパルス幅が短いとスペクトルは太い • 復習：コヒーレント光の特徴 ＝ 単一角周波数（いつでもど

こでも同じ波） • 時間的にパルス幅が長い程、いつまでも同じ波。コヒーレン

ト性が強くなる。 • ハルス幅が無限大になれば、完全にコヒーレント。このとき、

単一角周波数になる。

１．搬送波無視

重要：GaussianパルスのスペクトルはGaussian関数

光強度は電場E振幅の自乗に比例

光強度

2exp 4F v v

F F

３．搬送波角周波数 0 c

光通信工学３0７－21