Ba Chuong Dau

GIẢI TOÁN TRÊN MÁYTÍNH VỚI MAPLE

Copyright © Trần Công Mẫn - ĐHKH2012

GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH VỚI MAPLE

iii

Contents1 Giới thiệu về Maple .......................................................................................................................................... 1

1.1 Giới thiệu ................................................................................................................................................. 11.1.1 Làm việc với Maple ............................................................................................................................. 11.1.2 Khởi động giao diện chuẩn .................................................................................................................... 21.1.3 Nhập công thức toán ở chế độ 2-D Math ................................................................................................. 21.1.4 Các tùy chọn trên thanh công cụ (Toolbar) ............................................................................................... 41.1.5 Menu ngữ cảnh (Context Menus) và Copy & Drag .................................................................................... 5

1.2 Nhập các biểu thức ................................................................................................................................... 101.2.1 Các nhóm thao tác ............................................................................................................................. 101.2.2 Chế độ Math vs. Chế độ Text .............................................................................................................. 101.2.3 Các bảng công thức (Palette) ............................................................................................................... 12

1.3 Lệnh và các gói lệnh ................................................................................................................................. 121.3.1 Các lệnh của Maple ............................................................................................................................ 121.3.2 Các gói lệnh ...................................................................................................................................... 13

1.4 Hệ thống trợ giúp của Maple ...................................................................................................................... 131.4.1 Truy cập vào hệ thống trợ giúp ............................................................................................................ 131.4.2 Các biểu tượng trong trang trợ giúp ...................................................................................................... 14

2 Tính toán cơ bản ............................................................................................................................................ 162.1 Các tính toán cơ bản trong Giải tích ............................................................................................................ 16

2.1.1 Các tính toán đơn giản ........................................................................................................................ 162.1.2 Tính toán trên biểu thức ...................................................................................................................... 172.1.3 Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình ............................................................................ 222.1.4 Hàm số, giới hạn ............................................................................................................................... 262.1.5 Đạo hàm ........................................................................................................................................... 282.1.6 Tích phân ......................................................................................................................................... 30

2.2 Các tính toán cơ bản trong Đại số tuyến tính ................................................................................................. 322.2.1 Ma trận, vectơ ................................................................................................................................... 322.2.2 Các phép tính cơ bản trên ma trận ........................................................................................................ 342.2.3 Giá trị riêng, vectơ riêng ..................................................................................................................... 362.2.4 Hệ phương trình tuyến tính .................................................................................................................. 38

3 Vẽ đồ thị trên Maple ....................................................................................................................................... 403.1 Các cách vẽ đồ thị .................................................................................................................................... 40

3.1.1 Giao diện vẽ đồ thị tương tác (Interactive Plot Buider) ............................................................................. 403.1.2 Menu ngữ cảnh (Context menu) ........................................................................................................... 473.1.3 Kéo đồ thị đến vùng đồ thị khác .......................................................................................................... 473.1.4 Lệnh vẽ đồ thị: plot và plot3D ............................................................................................................. 483.1.5 Một số dạng đồ thị đặc biệt ................................................................................................................. 523.1.6 Vẽ nhiều đồ thị trên cùng một vùng đồ thị ............................................................................................. 573.1.7 Các tùy chọn trong lệnh vẽ đồ thị ......................................................................................................... 58

3.2 Vận động của đồ thị ................................................................................................................................. 603.2.1 Interactive Plot Buider ........................................................................................................................ 603.2.2 Lệnh: plots[animate] ........................................................................................................................... 613.2.3 Lệnh: plot3d[viewpoint] ...................................................................................................................... 623.2.4 Các tùy chọn của lệnh animate ............................................................................................................. 63

3.3 Xuất ảnh ................................................................................................................................................. 64

1

1 Giới thiệu về Maple1.1 Giới thiệu

1.1.1 Làm việc với Maple

Với Maple, ta có thể tạo ra các tài liệu có tính tương tác mạnh mẽ. Môi trường Maple cho phép ta giải quyết vấn đề ngay lập tứcbằng cách nhập biểu thức Toán trong chế độ 2-D và giải quyết các biểu thức bằng cách sử dụng giao diện point-and-click. Bạn cóthể kết hợp văn bản và toán học trong cùng một dòng, thêm bảng để tổ chức các nội dung công việc, hoặc chèn thêm hình ảnh vàbảng tính. Có thể minh họa và cho bài toán chuyển động trong không gian 2 hoặc 3 chiều, định dạng văn bản hoặc sách, và chèncác liên kết đến các file Maple khác, các trang web, hoặc địa chỉ email. Có thể lập trình các giao diện người dùng, cũng như đưara các giải pháp tùy chỉnh bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple.

2 • Giới thiệu về Maple

1.1.2 Khởi động giao diện chuẩnWindows Từ menu Start, chọn All Programs → Maple 16 → Maple 16.

Hoặc kích đúp vào biểu tượng Maple 16 trên màn hình

1.1.3 Nhập công thức toán ở chế độ 2-D Math

Trong Maple, định dạng mặc định cho việc nhập các biểu thức toán học là chế độ 2-D. Cách hiển thị các biểu thức toán họcgiống như cách viết trong các sách toán.

1.1.3.1 Các thao tác cơ bản

Nhập vào các biểu thức toán như: , , và là hoàn toàn tự nhiên trong môi trường 2-D Math. Ví dụ:

Nhập phân số:

1. Nhập số

2. Nhấn phím (/).

3. Nhập mẫu số

4. Nhấn phím mũi tên phải (→) để ra khỏi mẫu số

Nhập số mũ

1. Nhập cơ số

2. Nhấn phím mũ (^)

3. Nhập vào số mũ

4. Nhấn phím mũi tên phải (→) để ra khỏi việc nhập mũ

Nhập phép nhân

1. Nhập thừa số thứ nhất

2. Nhấn phím (*), hiển thị trong 2-D Math là dấu chấm

3. Nhập vào thừa số thứ 2.

Chú ý

Trong một số trường hợp, với phép nhân ta không cần nhập phím * mà chỉ cần chèn ký tự trắng (Space) giữa 2 thừa số. Trườnghợp một số theo sau là một biến thì Maple mặc định đó là phép nhân.

Hãy tham khảo đến mục 2DMathDetails trong phần trợ giúp Help để biết nhiều thông tin hơn về các thao tác cơ bản này.

1.1.3.2 Một số phím tắt cho việc nhập các biểu thức toánKý tự/ Định dạng Phím Ví dụPhép nhân ẩn

Space key

Phép nhân tường minh * (asterisk)

Phân số / (forward slash)

Mũ ^ (Shift + 6)


Chỉ số dưới _ (Shift + underscore )

Gợi ý lệnh/ ký hiệu

• Esc

• Ctrl + Space

Căn bậc 2 sqrt

Hàm e mũ exp

Vào/ Thoát môi trường 2-D Math • F5

• Chuyển đổi giữa icon Math và Texttrên Toolbar

versus 1/4

Đọc thêm thông tin về các phím tắt ở phần 2-D Math Shortcut Keys and Hints trong phần trợ giúp Help.

1.1.3.3 Ví dụ 1

Nhập và tính giá trị biểu thức:

Hoạt động Kết quả1. Nhập x.

2. Nhấn Shift + 6 (phím ^). Con trỏ sẽ di chuyển lên vị trí nhập mũ.

3. Nhấn 2.

4. Nhấn phím mũi tên phải → để ra khỏi vị trí nhập mũ

5. Nhấn phím +

6. Nhập y.

7. Nhấn Shift + 6

8. Nhập 2 và nhấn phím mũi tên phải →

9. Chọn toàn bộ biểu thức làm tử số của phân số

10.Nhấn phím /. Con trỏ sẽ di chuyển xuống vị trí nhập mẫu số của phân số.

11.Nhập 2

12.Nhấn phím mũi tên phải → để ra khỏi vị trí nhập mẫu số


Muốn hiển thị kết quả trên cùng 1 dòng với biểu thức vừa nhập ta

13.Nhấn Ctrl + = =

Có thể thực hiện một trong các cách sau để hiển thị kết quả trong chế độ 2-D Math:

• Nhấn Ctrl + = . Kết quả sẽ hiển thị trên cùng 1 dòng với biểu thức

• Nhấn phím Enter. Kết quả sẽ hiển thị ở giữa của dòng tiếp theo

• Kích chuột phải để hiển thị Menu rồi chọn Evaluate and Display Inline.

• Dùng menu Edit chọn Evaluate và Evaluate and Display Inline.

1.1.4 Các tùy chọn trên thanh công cụ (Toolbar)

Thanh công cụ chứa một số phím chức năng được giới thiệu ở bảng sau:

Chức năng cơ bản Icon Thao tác tương đươngChèn văn bản Chọn menu Insert\Text.

Chèn công thức (Maple input) Chọn menu Insert\ Execution Group\After Cursor.

Tạo một subsection Chọn menu Format\Indent.

Loại bỏ 1 subsection Chọn menu Format\Outdent.

Thực hiện tất cả các lệnh trong worksheet Chọn menu Edit\Execute\ Worksheet.

Thực hiện các lệnh trong 1 vùng chọn Chọn menu Edit\Execute\Selection.

Xóa bộ nhớ trong của Maple. Tham khảo thêm lệnhrestart trong help.

Nhập lệnh restart.

Thêm và chỉnh sửa mã lệnh Maple. Chọn menu Edit\Startup Code.

Chọn các chế độ xem văn bản (phóng to, thu nhỏ) Chọn menu View\ Zoom Factor sau đó chọn chế độ xem.

Mở hệ thống trợ giúp (Help) Chọn menu Help\Maple Help.

Ngoài ra, trong mỗi worksheet còn có các Toolbar icon sau:

Toolbar Icon OptionsText tools

Math tools

Drawing tools


2-D Plot tools

3-D Plot tools

Animation tools

Các icon Text and Math cho phép ta nhập văn bản hoặc công thức trên cùng một dòng. Ví dụ: Đạo hàm của hàm là.

Các icon Text and Math hiển thị khác nhau ở chế độ dấu nhắc lệnh. Icon Math thì hiển thị kết quả ở chế độ 2-D Math, trong khiicon Text hiển thị ở chế độ Maple input. Ví dụ:

>

> x^2/2;

1.1.5 Menu ngữ cảnh (Context Menus) và Copy & Drag

1.1.5.1 Menu ngữ cảnh

Maple tự động tạo ra một menu ngữ cảnh gồm các tùy chọn khi kích chuột phải vào một đối tượng, biểu thức, hoặc một vùngtrong worksheet. Các tùy chọn trong menu ngữ cảnh phụ thuộc vào đối tượng chọn. Ví dụ, có thể tính toán và vẽ đồ thị các biểuthức, có thể định dạng văn bản, quản lý bảng màu, thiết lập các bảng,... Khi sử dụng menu ngữ cảnh để thực hiện một thao táctrên một biểu thức, các biểu thức vào và ra được liên kết bằng một mũi tên hoặc dấu bằng chỉ thao tác đã thực hiện. Ví dụ:

1.1.5.2 Copy & Drag

Với Maple, bạn có thể kéo đầu vào, đầu ra, hoặc đường cong trong một vùng đồ thị thành một vùng đầu vào mới. Điều này đượcthực hiện bằng cách đánh dấu các đầu vào hoặc chọn các đường cong và kéo nó bằng chuột thành một vùng đầu vào mới. Việckéo vùng đã đánh dấu sẽ làm giảm hoặc xóa các đầu vào ban đầu. Để ngăn chặn điều này, ta sử dụng tính năng sao chép và kéo(Ctrl + drag).

1.1.5.3 Ví dụ 2 - Giải và vẽ đồ thị phương trình bằng Menu ngữ cảnh và chức năng Copy &Drag

Giải phương trình:

Trong ví dụ này, ta sẽ nhập vào phương trình rồi giải và vẽ đồ thị bằng cách sử dụng menu ngữ cảnh và chức năng copy & dragcủa Maple. Ví dụ này chỉ đề cập đến các tổ hợp phím cần thiết trên hệ điều hành Windows để gọi menu ngữ cảnh và tính năngsao chép & kéo. Các phím tắt cho những thao tác này có thể tham khảo trong phần Help (Help → Manuals, Resources, andmore → Shortcut Keys).


Để giải phương trình:

1. Nhập phương trình.

2. Kích chuột phải vào phương trình và chọn Move to Left.

Input:

Kết quả:

3. Kích chuột phải vào đầu ra ở thao tác trên, , và chọn Solve → Isolate Expression for → x.


Input:

Kết quả:


Bây giờ ta có thể vẽ đồ thị của phương trình. Để làm điều này, ta phải copy phương trình đến một khu vực khác và sử dụng menungữ cảnh.

4. Từ menu Format, chọn Create Document Block.

5. Để copy biểu thức , ta đánh dấu biểu thức rồi nhấn phím Ctrl rồi kéo biểu thức đến dòng lệnh mới.

Kết quả:


Để vẽ đồ thị:

6. Kích chuột phải rồi chọn Left-hand Side.

Input:

Kết quả:

7. Kích chuột phải vào biểu thức rồi chọn Plots → 2-D Plot.


Input:

1.2 Nhập các biểu thức

1.2.1 Các nhóm thao tác

Một nhóm thao tác (execution groups) là một cách gộp các đầu vào của Maple và các đầu ra của nó. Nó được phân biệt bởi mộtkhung hình chữ nhật lớn gọi là ranh giới nhóm. Một nhóm thao tác có thể chứa bất kỳ các thành phần sau: đồ thị, bảng tính, vănbản, các thành phần được nhúng vào, một bản vẽ,...

Nhóm thao tác gồm các tính toán căn bản và các thành phần văn bản. Để thực hiện các lệnh trong một nhóm thao tác ta đặt contrỏ tại một lệnh trong nhóm và nhấn phím Enter.

1.2.2 Chế độ Math vs. Chế độ Text

Chế độ mặc định của toàn bộ tài liệu là chế độ Math với cách hiển thị đầu vào là 2-D Math. Ở những phiên bản trước của Maple,các lệnh và biểu thức được nhập vào ở chế độ 1-D Math.

Chú ý: Với cách hiển thị ở chế độ Maple input, các lệnh phải được kết thúc bằng dấu ; hoặc dấu :

> cos(alpha)^2+sin(alpha)^2;

> a*int(exp(sqrt(2)*x),x);


> limit(f(x),x=infinity);

> sum(a[k]*x^k, k=0..m)=product(b[j]*x^j, j=0..n);

Trong một tài liệu, để chuyển đổi giữa 2 chế độ Text và Math đơn giản chỉ bằng thao tác kích chuột vào một trong 2 icon.

Math Mode Text ModeChế độ mặc định. Cho ra các ký hiệu toán học chuẩn. Chế độnày còn được gọi là 2-D Math Input

>

Thực hiện trên các công thức Maple. Chế độ này còn được gọilà 1-D Math Input or Maple Input.

> int(x^2+2*x+1, x);

Kích hoạt bằng menu Insert → 2-D Math. Kích hoạt bằng menu Insert → Maple Input.

icon Math sẽ sáng lên . icon Text sẽ sáng lên .nhập đầu vào từ dấu nhắc con trỏ nghiêng

.

Nhập văn bản vào từ dấu nhắc con trỏ đứng .

Để chuyển một biểu thức ở dạng 2-D Math sang dạng 1-D Math, takích chuột phải vào biểu thức và chọn 2-D Math → Convert To → 1-D Math Input.

Để chuyển một biểu thức ở dạng 1-D Math sang dạng 2-D Math, takích chuột phải vào biểu thức và chọn Convert To → 2-D MathInput.

Không yêu cầu ký tự kết thúc lệnh Tất cả các lệnh phải được kết thúc bởi dấu ( ; ) hoặc dấu ( : ).Các bảng công thức (Palette) giúp việc nhập công thức dễ dàng hơnmà không phải nhớ cú pháp lệnh. Điều này làm giảm các sai sót vàcản trở về ngôn ngữ.

Việc sử dụng các bảng công thức trong chế độ 1-D Math giúp ta biếtcác lệnh liên quan đến công thức

Nếu thích dùng ở chế độ 1-D Math, ta có thể thay đổi mặc định đầu vào của Maple bằng cách:

1. Từ menu Tools, chọn Options. Một hộp thoại xuất hiện.

2. Kích chuột vào tab Display.

3. Trong danh sách Input Display, chọn Maple Notation.

4. Chọn Apply to Session or Apply Globally.

Có thể kết hợp giữa công thức và văn bản trong cùng một nhóm các thao tác.


Ví dụ:

1. Nhập biểu thức

Chọn bảng Expression, chọn tích phân . Thay thế bởi biểuthức cần tính.

2. Tính kết quả bằng cách nhấn cùng lúc 2 phím [Ctrl][=]. =

3. Di chuyển con trỏ đến vị trí bên trái của biểu thức và thay đổi chế

độ văn bản (hoặc nhấn [F5]). Đánh văn bản "Tíchphân"

Tích phân =

Tính lại

Nếu sử dụng công thức trên để tính giá trị của biểu thức khác thì tanhập biểu thức mới vào thay thế biểu thức cũ. Đánh dấu toàn bộ công

thức và nhấn nút để thực hiện lại lệnh.

Tích phân =

1.2.3 Các bảng công thức (Palette)Các bảng công thức là tập hợp các thành phần mà ta có thể chèn vào trong một văn bản bằng cách kích chuột hoặc kéo-thả.

Maple tạo ra trên 20 bảng công thức chứa trên 1000 các ký hiệu ví dụ như các ký hiệu , các phép toán

Các bảng công thức hiển thị mặc định ở bên trái giao diện của Maple. Nếu các bảng công thức không hiển thị ta có thể cho hiểnthị bằng cách:1. Chọn menu View, chọn Palettes.2. Chọn Expand Docks.3. Kích chuột phải lên vùng chứa bảng chọn Show All Palettes.

Có thể sắp xếp các Palette bằng cách chọn View → Palettes → Arrange Palettes.

1.3 Lệnh và các gói lệnhMaple có trên 4000 lệnh thuộc đủ các lĩnh vực của toán học và lập trình. Trong các phần trên ta đã làm quen với một số lệnh củaMaple trong đó có các lệnh được thực hiện thông qua menu ngữ cảnh và các bảng công thức. Nhiều lệnh của Maple được gọi làlệnh cấp cao (top-level command) được lưu trữ trong các gói lệnh (packages).

1.3.1 Các lệnh của MapleThông thường, những lệnh cơ bản hay gặp có sẵn khi khởi động Maple và có thể dùng bất kỳ lúc nào. Ví dụ như: solve, int,taylor, exp, sin, cos, dsolve, fsolve, rhs, eval... Để có thể xem toàn bộ danh sách các lệnh thường dùng của Maple ta có thể thamkhảo Index of Functions trong phần trợ giúp.

Hầu hết các lệnh của Maple được viết bằng ngôn ngữ lập trình Maple. Một vài lệnh đã được biên dịch xem như lệnh nguồn củaMaple, người dùng không thể xem mã của lệnh. Một số khác được gọi là các lệnh buit-in (lệnh tạo sẵn) như taylor, rhs, eval...Bảng sau cho ta một số lệnh buit-in thường dùng:Các lệnh thường dùng Ví dụevalf - tính giá trị trả về số thực =

=


evalb- tính giá trị của biểu thức Boolean =

= sort - sắp xếp danh sách các giá trị hoặc một đa thức =

= seq - tạo ra một dãy =

= map - áp dụng hàm vào từng thành phần của biểu thức

zip - áp dụng một phép toán hai ngôi đến các thành phần của 2danh sách

Hàm iquo dùng để tính thương của 2 số nguyên.

=

=

indets - tìm các thành phần không xác định của biểu thức.

biểu thức cũng được xem là không xác định. Nếu sử dụng thêmtùy chọn `name` thì hàm này chỉ trả về danh sách các biến.

=

=

1.3.2 Các gói lệnhCác gói lệnh của Maple (packages) là nơi chứa các lệnh. Một số gói lệnh thường dùng được giới thiệu ở bảng sau:Gói lệnh Mục đíchsCodeGeneration công cụ để dịch các đoạn mã Maple thành các ngôn ngữ kháccombinat các hàm tổ hợp, bao gồm các lệnh cho việc tính toán liên quan đến toán tổ hợpDEtools chứa các hàm liên quan đến việc tính toán, giải và vẽ đồ thị của các phương trình vi phânDiscreteTransforms chứa các hàm tìm các ánh xạ từ các dữ liệu rời rạcDynamicSystems gồm các lệnh thực hiện việc tạo, tính toán, mô phỏng, và vẽ đồ thị các hệ thống tuyến tính.LinearAlgebra chứa các lệnh liên quan đến Đại số tuyến tínhOptimization gồm các lệnh liên quan đến các bài toán tối ưu toán họcplots chứa các lệnh về vẽ đồ thị hàm sốplottools chứa các lệnh liên quan đến dạng hình học của các vật thểStatistics công cụ cho thống kê và phân tích dữ liệuStringTools các lệnh dùng thao tác trên chuỗiStudent Chứa các lệnh cho việc tính toán cơ bản trong chương trình học của sinh viên.

1.4 Hệ thống trợ giúp của MapleMaple cung cấp một hệ thống trợp giúp bao gồm 5000 trang tham khảo. Hệ thống trợ giúp là một nguồn tài nguyên phong phúgiúp ta học các cú pháp lệnh của Maple và các thuộc tính của nó.

1.4.1 Truy cập vào hệ thống trợ giúpCó nhiều cách:

• Từ menu Help, chọn Maple Help


• Kích biểu tượng trên thanh công cụ

Để tra cứu một lệnh (từ) đặc biệt:

• Trong văn bản, đặt con trỏ tại từ cần tra cứu và nhấn F2

• Trong văn bản, thực hiện lệnh ?topic, ví dụ, enter ?LinearAlgebra và nhấn Enter

Mỗi trang trợ giúp gồm danh sách các lệnh, các tham số và mô tả về lệnh, ngoài ra còn có các ví dụ ở cuối trang. Một số trangcòn chứa các liên kết đến các trang trợ giúp có liên quan và liên kết đến các định nghĩa từ điển.

1.4.2 Các biểu tượng trong trang trợ giúpIcon Mô tả

Biểu tượng folder trong tab Table of Contents chỉ ra rằng có thể mở rộng chủ đề này để đến các chủ đề chứa trong nó.

Biểu tượng này chỉ đến một trang trợ giúp và hiển thị các trang trợ giúp liên quan ở bên phải khi được chọn.

Biểu tượng này chỉ đến một trang ví dụ. Trang ví dụ này sẽ được mở trong một tab mới ở trong màn hình soạn thảo.


Biểu tượng chỉ đến một định nghĩa và hiển thị các định nghĩa từ liên quan ở bảng bên phải khi được chọn.

Biểu tượng này chỉ đến các Task template và hiển thị các Task Template liên quan ở bên phải.

Biểu tượng này chỉ đến một hướng dẫn sử dụng. Hướng dẫn sử dụng sẽ được mở trong một tab mới ở màn hình soạn thảo.

16

2 Tính toán cơ bản2.1 Các tính toán cơ bản trong Giải tích

2.1.1 Các tính toán đơn giản

Maple có thể được sử dụng như một máy tính điện tử thông thường, hơn nữa nó có thể tính toán đến chữ số nguyên (điều nàyphụ thuộc vào tốc độ và bộ nhớ của máy tính). Đối với những số mà độ dài của nó quá chiều dài của màn hình thì Maple sẽ dùngký hiệu \ để biểu diễn tính liên tục của dãy số.

2.1.1.1 Ví dụ

=

= =

=

Một số hàm thường sử dụng khi tính toán trên các số nguyên:

Tên hàm Công dụngtính giá trị tuyệt đối của một biểu thức

factorial (hoặc !) tính giai thừa của một số nguyêniquo tìm thương trong phép chia nguyênirem tìm phần dư trong phép chia nguyêniroot tính xấp xỉ căn nguyên của một số nguyênisqrt tính xấp xỉ căn bậc 2 của một số nguyênmax, min cho ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một tập các sốmod tính đồng dư số họcifactor phân tích số nguyên ra thành các thừa số nguyên tốisprime kiểm tra tính nguyên tố của một số nguyên

Mặt khác, Maple có thể tính toán xấp xỉ các hằng số đặc biệt hoặc các biểu thức đến sai số mà người sử dụng mong muốn.

2.1.1.2 Ví dụ

=

= , lấy giá trị xấp xỉ với mặc định là 9 số sau dấu phẩy

=

=

17 • Tính toán cơ bản

Với số phức, Maple sử dụng ký hiệu để biểu diễn cho căn bậc hai của . Maple còn có lệnh cho phép ta chuyển đổi các số từhệ đếm này sang hệ đếm khác.

2.1.1.3 Ví dụ

=

=

= , tính argument của số phức

= , tính modul của số phức

=

= , biểu diễn tọa độ cực của số phức

= , chuyển số sang hệ nhị phân

= , chuyển số sang hệ thập lục phân

= , chuyển số ở hệ thập phân sang cơ số 8, kết quả phải lấy theo thứ tự ngược lại.

Ngoài ra nó còn có nhiều hàm tính toán mà một máy tính thông thường không có

2.1.1.4 Ví dụ

Cho ra 100 số nguyên tố đầu tiên

=

Tìm ước số chung lớn nhất, bội số chung nhỏ nhất của các số nguyên

=

=

2.1.2 Tính toán trên biểu thức

Maple cung cấp một bộ công cụ khá đầy đủ để làm việc với các biểu thức toán học. Về mặt tính toán ta có thể khai triển biểuthức, rút gọn biểu thức, phân tích biểu thức đó thành các đa thức,...hoặc có thể chuyển biểu thức thành những cấu trúc khác đãđược định nghĩa trong maple.

2.1.2.1 Khai triển biểu thức: lệnh expand


=

=

=

=

=

= , khai triển với thừa số là

2.1.2.2 Tập hợp các hệ số cùng cấp của biểu thức: lệnh collect

=

=

=

=

=

=

Ta không thể dùng lệnh collect để gom theo tổng hoặc tích. Ví dụ

Error, (in collect) cannot collect x*y

Tuy nhiên ta có thể gom biểu thức theo nhiều biến cùng một lúc

= , gom lần lượt theo x rồi theo y

= , gom cùng lúc theo xy


2.1.2.3 Phân tích biểu thức thành nhân tử: lệnh factor

=

=

=

=

Lưu ý rằng tùy vào các hệ số của biểu thức mà lệnh factor cho các kết quả khác nhau.

=

=

=

=

= , phân tích biểu thức theo

=

2.1.2.4 Đưa biểu thức về dạng chuẩn: lệnh normal

=

=

=


=

= , khai triển mẫu số

= , thực hiện trên danh sách các biểu thức

= , thực hiện trên các hàm lượng giác

Có khi, lệnh normal trả về biểu thức dạng khai triển còn phức tạp hơn dạng ban đầu. Trong trường hợp này ta nên dùng lệnhfactor

=

=

2.1.2.5 Đơn giản biểu thức: lệnh simplify

=

=

Nếu muốn áp dụng một số quy tắc đặc biệt trong lượng giác, trên hàm , hoặc trên các hàm mũ thì ta phải chỉ rõ cho Maple biết

= , trig là viết tắc của từ trigonometric nghĩa là lượng giác

=

=


Ta cũng có thể thêm một số tùy chọn vào lệnh này, xem thêm các tùy chọn của lệnh trong phần trợ giúp simplify/details

=

=

=

2.1.2.6 Sắp xếp lại biểu thức: lệnh sort

= , sắp xếp biểu thức theo biến

= , sắp xếp theo thứ tự danh sách các biến

= , sắp biểu thức theo biến rồi mới sắp theo biến

= , sắp biểu thức theo biến rồi mới sắp theo biến

2.1.2.7 Chuyển biểu thức về một dạng khác: lệnh convert

= , chuyển hàm về theo dạng

= , chuyển biểu thức về theo dạng lượng giác

=

= , chuyển về theo dạng danh sách của danh sách

= , chuyển về theo dạng tập hợp

= , chuyển về theo dạng danh sách

2.1.2.8 Tổ hợp các thành phần của biểu thức: lệnh combine

=

=

=

=


=

=

= , tổ hợp các số

= , tổ hợp theo số và ký tự

= , tổ hợp theo lượng giác

Xem thêm một số tùy chọn của lệnh trong phần trợ giúp ?combine

2.1.2.9 Khai triển Taylor của biểu thức: lệnh taylor

= , khai triển Taylor đến số hạng thứ 4 tại điểm

=

=

trong trường hợp này Maple ngầm hiểu là khai triển tại

Xem thêm về lệnh ở phần taylor/details trong Help.

2.1.3 Giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

2.1.3.1 Lệnh solve

Giải phương trình:


giải phương trình theo biến c và xem 2 biến a, b như tham số.

Giải hệ phương trình:

Giải bất phương trình:


Chú ý:

1. Đôi khi phương trình có nhiều nghiệm nhưng Maple không hiển thị hết các nghiệm mà chỉ hiển thị một vài nghiệm, ta sửdụng thêm lệnh sau để Maple hiển thị hết nghiệm:

phương trình lượng giác trên chỉ có 1 nghiệm x=1 là vô lý!

2. Đối với những phương trình mà không thể biểu diễn nghiệm một cách tường minh, Maple thường biểu diễn nghệm dưới dạngbiểu thức RoofOf

Xem thêm về lệnh solve trong phần trợ giúp.

2.1.3.2 Lệnh fsolve

Lệnh này cũng dùng như lệnh solve nhưng nghiệm của các phương trình hoặc hệ phương trình biểu diễn dưới dạng số.


Với những phương trình không có nghiệm thực thì lệnh fsolve sẽ không đưa ra được nghiệm. Nếu ta quan tâm đến các nghiệmphức thì ta phải thêm tùy chọn complex vào lệnh.

2.1.3.3 Lệnh isolve

Dùng lệnh này nếu ta muốn tìm nghiệm nguyên của các phương trình, hệ phương trình. Nếu phương trình không có nghiệmnguyên thì lệnh này sẽ trả về NULL.

, phương trình này không có nghiệm nguyên

2.1.3.4 Lệnh rsolve

Giải phương trình truy hồi


2.1.4 Hàm số, giới hạn

2.1.4.1 Hàm sốHàm số là gì?

Nhắc lại rằng một quan hệ hai ngôi trên hai tập A, B là tập hợp các cặp có thứ tự sao cho . Một hàm số từ A vào B là mộtquan hệ hai ngôi trên hai tập A, B với điều kiện mỗi phần tử chỉ có duy nhất cặp tương ứng.

Miền xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị ở thành phần đầu tiên. Tập giá trị của hàm số là tập tất cả các giá trị ở thành phần thứ hai củahàm số.

có nhiều cách ký hiệu khác nhau dùng để biểu diễn một hàm số. Ví dụ, hàm số mà thành phần của nó là các cặp với là một số thựcđược ký hiệu như sau

•

•

•

•

Cách viết hàm số trong MapleHàm số trong Maple được xem như là một dạng đặc biệt của một chu trình (procedure). Hàm số được biểu diễn bằng cách sửdụng ký hiệu mũi tên .

=


=

=

Chú ý rằng muốn biểu diễn phép hợp của 2 hàm ta sử dụng toán tử @. Ví dụ:

=

=

=

Nếu phép hợp trên chính hàm số đó thì ta sử dụng toán tử @@

=

2.1.4.2 Giới hạn

Để tính giới hạn của hàm một biến ta sử dụng công thức limit

=

=

=

=

Nếu muốn tính giới hạn trái hoặc giới hạn phải của hàm số thì ta thêm vào tùy chọn right hoặc left.

=

=

=


=

=

=

Ngoài ra, lệnh limit còn được dùng để tính giới hạn của các hàm nhiều biến.

=

= , giới hạn không tồn tại

= , tính giới hạn đồng thời theo 2 biến. Maple không hiển

thị kết quả nên ta phải tìm một cách tính khác giúp Maple làm việc hiệu quả hơn.

= , tính giới hạn theo từng biến

= , tính giới hạn theo phương của đường thẳng

= , tính giới hạn dọc theo phương của đường .

Từ hai giới hạn ở trên ta suy ra giới hạn không tồn tại.

2.1.5 Đạo hàm

2.1.5.1 Đạo hàm

Để tính đạo hàm của hàm số ta sử dụng lệnh diff, nếu muốn hiển thị ký hiệu đạo hàm của hàm số cần tính thì ta dùng lệnh Diff.

=

=

Với đạo hàm cấp cao ta xem các ví dụ sau:

= , đạo hàm cấp 2 theo biến x


= , đạo hàm cấp 3 theo biến x

, bỏ gán y cho biểu thức trên.

= , ký hiệu hình thức của đạo hàm cấp n

=

Đạo hàm của hàm nhiều biến cũng được xác định bằng công thức trên.

2.1.5.2 Giải phương trình vi phân thường

Để giải các phương trình vi phân thường, ta sử dụng lệnh dsolve.

=

=

Nếu bài toán có điều kiện ban đầu:

Giải hệ phương trình vi phân:

=


=

Nếu hệ phương trình có điều kiện ban đầu:

2.1.6 Tích phân

2.1.6.1 Tích phân xác định

Để tính nguyên hàm hoặc tích phân xác định của hàm số ta sử dụng lệnh int.

=

Lệnh int cũng được dùng để tính các tích phân suy rộng:

2.1.6.2 Tích phân 2 lớp, 3 lớp

Với tích phân hai lớp, ba lớp ta sử dụng lệnh MultiInt trong gói lệnh Student[MultivariateCalculus]:


=

2.1.6.3 Tích phân đường, tích phân mặt

Để tính tích phân đường ta dùng lệnh PathInt trong gói lệnh Student[VectorCalculus]

Để tính tích phân mặt ta dùng lệnh SurfaceInt trong gói lệnh Student[VectorCalculus]:


=

2.2 Các tính toán cơ bản trong Đại số tuyến tínhĐại số tuyến tính là một trong những môn học cơ sở của sinh viên các ngành tự nhiên. Với lĩnh vực này, Maple đã xây dựng mộtgói công cụ tương đối hoàn thiện gồm các lệnh từ tính toán cơ bản đến nâng cao là LinearAlgebra. Trước khi làm việc với cácđối tượng trong Đại số tuyến tính ta phải gọi gói lệnh:

2.2.1 Ma trận, vectơ• Ma trận và vectơ có thể được tạo ra dễ dàng bởi bảng Matrix ở phía bên trái màn hình soạn thảo. Trong trường hợp không sử

dụng bảng trên ta có thể tạo ma trận bằng các lệnh sau:

=

hoặc nhập vào

=

• Nếu muốn nhập ma trận theo từng cột ta dùng lệnh:

=

• Để tạo một vectơ ta dùng lệnh:

=


hoặc:

=

• Nếu muốn tạo vectơ hàng ta dùng lệnh:

=

hoặc:

=

• Để tham chiếu đến từng phần tử trong ma trận A ta sử dụng A[hàng, cột]. Ví dụ:

=

=

• Ngoài ra, có thể tạo một số ma trận đặc biệt sau:

= , tạo một ma trận vuông cấp 2 mà các phần tử đều bằng 0

= , tạo ma trận đơn vị cấp 3

= , tạo ma trận tam giác trên

= , tạo ma trận có các phần tử là các số ngẫu nhiên trong khoảng .

= , tạo ma trận tam giác dưới ngẫu

nhiên.

Chú ý: Maple phân biệt rõ ma trận cột và vectơ cột là khác nhau.

=


=

=

=

2.2.2 Các phép tính cơ bản trên ma trận

2.2.2.1 Phép cộng, trừ• Ta có thể cộng 2 ma trận cùng cấp bằng phép + thông thường hoặc dùng lệnh Add

=

=

=

=

• Phép trừ được thực hiện tương tự:

=

=

2.2.2.2 Phép nhân• Dùng phép nhân * thông thường để nhân một vô hướng với một ma trận

=


=

• Để tính tích vô hướng của 2 vectơ ta dùng toán tử '.'

=

=

=

• Để nhân 2 ma trận ta dùng toán tử '.' hoặc lệnh MatrixMatrixMultiply

=

=

=

2.2.2.3 Định thức, hạng của ma trận• Để tính định thức của ma trận ta sử dụng lệnh Determinant

=

=

• Muốn tìm hạng của ma trận ta dùng lệnh Rank

=


=

= , tạo ma trận từ hàm số

=

2.2.2.4 Ma trận chuyển vị, ma trận nghịch đảo• Xác định ma trận chuyển vị của ma trận đã cho bằng lệnh Transpose

=

=

• Để tìm ma trận nghịch đảo ta dùng lệnh MatrixInverse

=

=

=

2.2.3 Giá trị riêng, vectơ riêng

Cho A là ma trận vuông. Số được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu:

Vectơ thỏa mãn phương trình trên được gọi là vectơ riêng của ma trận A.

• Để tìm giá trị riêng của ma trận ta sử dụng lệnh Eigenvalues


=

• Với lệnh Eigenvectors ta sẽ thu được các vectơ riêng của ma trận

=

=

=


=

=

• Ngoài ra, ta có thể lần lượt làm từng bước tìm giá trị riêng như trong chương trình đã học. Xét ví dụ:

=

Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng

Bước 2: Giải phương trình đặc trưng tìm các giá trị riêng

=

2.2.4 Hệ phương trình tuyến tính• Để giải hệ phương trình tuyến tính dưới dạng ma trận ta sử dụng lệnh LinearSolve.

=

=

• Nếu cho dưới dạng hệ phương trình thì ta có thể giải theo 2 cách: hoặc dùng lệnh solve hoặc đưa về dạng ma trận và giải bằnglệnh LinearSolve. Xét ví dụ sau:


40

3 Vẽ đồ thị trên MapleMaple cung cấp cho ta nhiều cách để biểu diễn dữ liệu cũng như các biểu thức toán học, một trong số đó là sử dụng đồ thị. Vớiđồ thị, ta có thể hình dung bài toán và các khái niệm một cách rõ ràng hơn.

• Maple có thể vẽ các loại đồ thị của hầu hết các hàm cơ bản cũng như các hàm ẩn, hàm có tham số. Những đồ thị này có thểhiển thị theo dạng 2-D, 3-D và có thể chuyển động.

• Maple chấp nhận nhiều loại hệ trục tọa độ khi vẽ đồ thị.

• Các vùng hiển thị đồ thị trong Maple rất sống động, do đó, ta có thể làm nhiều thao tác trên đó.

• Ngoài ra, Maple cung cấp nhiều tùy chọn trên đồ thị như: tùy chọn các loại trục tọa độ, tiêu đề, màu sắc, hình dáng...Điều nàygiúp ta hoàn toàn chủ động khi làm việc với các đồ thị.

Thông tin về các loại đồ thị có sẵn trong Maple được trình bày trong mục Plotting Guide của phần trợ giúp Help.

3.1 Các cách vẽ đồ thịMaple cung cấp nhiều phương pháp khác nhau giúp ta dễ dạng tạo ra các đồ thị như:

• Dùng giao diện vẽ đồ thị tương tác (Interactive Plot Builder) được tạo sẵn.

• Dùng menu ngữ cảnh (Context Menu)

• Kéo đồ thị này đến một vùng đồ thị khác (dragging)

• Dùng lệnh

Mỗi phương pháp có một thuận lợi riêng và còn phụ thuộc vào loại đồ thị ta muốn vẽ cũng như là các thiết lập riêng cho mỗi đồthị.

3.1.1 Giao diện vẽ đồ thị tương tác (Interactive Plot Buider)

Đây là một chương trình được tạo dựng sẵn trong thư viện của Maple giúp ta vẽ được nhiều loại đồ thị như: các đồ thị thôngthường, đồ thị tương tác, vận động của đồ thị và vận động của đồ thị tương tác. Với mỗi loại đồ thị ta có thể tạo ra:

• Đồ thị 2-D/ 3-D

• Đồ thị trong tọa độ cực 2-D

• Đồ thị phức 2-D/ 3-D

• Đồ thị mật độ 2-D

• Đồ thị các trường vectơ gradient 2-D

• Đồ thị hàm ẩn 2-D

Để mở giao diện vẽ đồ thị ta thực hiện:

Từ menu Tools, chọn Assistants rồi chọn Plot Builder

41 • Vẽ đồ thị trên Maple

1 Cửa sổ Specify Expressions: nhập biểu thức cần vẽ đồ thị và chọn biến để vẽ. Nhấn OK để sang cửa sổ Select Plot Type.

2 Cửa sổ Select Plot Type: Chọn kiểu đồ thị và các dạng tương ứng của đồ thị, nhập vào các miền mà đồ thị hiển thị. Nhấn Plotđể hiển thị đồ thị chọn Options để thiết lập một số tùy chọn.

Cửa sổ Plot Options


3.1.1.1 Ví dụ 1 - Vẽ đồ thị hàm một biến

Maple có thể vẽ đồ thị hai chiều và cho phép thiết lập các tùy chọn như màu sắc đồ thị, các loại trục tọa độ...

1. Mở Giao diện vẽ đồ thị (Interactive Plot Builder):

Tools → Assistants → Plot Builder.

Lưu ý rằng khi Plot Builder mở ra thì Maple cũng chèn vào trong worksheet lệnh plots[interactive](); tại vị trí dấu nhắc.

2. Nhập biểu thức: tại cửa sổ Specify Expressions:

a. nhập vào biểu thức, sin(x)/x.

b. nhấn OK để đến cửa sổ Select Plot Type.

3. Vẽ đồ thị:

a. chọn loại đồ thị 2-D plot và miền vẽ đồ thị theo biến x, mặc định là .

b. nhấn Plot để vẽ.

>

3.1.1.2 Ví dụ 2 - Vẽ đồ thị của nhiều biểu thức theo một biến

Maple có thể vẽ đồ thị của nhiều biểu thức trên cùng một hệ trục giúp cho việc so sánh và đối chiếu các đồ thị dễ dàng hơn. Giaodiện vẽ đồ thị có thể làm được điều này.

1. Mở giao diện vẽ đồ thị. Giao diện này chấp nhận việc nhập biểu thức vào dưới dạng 1-D Math và có thể thực hiện một sốphép tính cơ bản. Ví dụ, nếu nhập vào diff(sin(x^2), x) thì trong cửa sổ Expression sẽ hiển thị biểu thức 2*cos(x^2)*x.

2 Trong cửa sổ Specify Expressions:

• Thực hiện lần lượt việc nhập các biểu thức: sin(x^2), diff(sin(x^2),x), và int(sin(x^2), x).

3 Trong cửa sổ Select Plot Type:

a. Thay đổi miền vẽ đồ thị ở x Axis là khoảng -Pi .. Pi.

b. Nhấn Options mở cửa sổ Plot Options.


4. Nhấn Command để trả về cú pháp lệnh vẽ các đồ thị trên.

5. Để hiển thị đồ thị ta kích chuột phải vào lệnh rồi chọn Evaluate.

Theo mặc định, Maple hiển thị mỗi đồ thị một màu khác nhau. Ta cũng có thể chọn các dạng đường khi hiển thị đồ thị như: solid,dashed, hay dotted. Tham khảo trong plot/options ở trang trợ giúp help để tìm hiểu thêm về các tùy chọn.

3.1.1.3 Ví dụ 3 - Vẽ đồ thị hàm nhiều biến

Maple có thể vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều và cho ta một số tùy chọn khi vẽ như: các kiểu ánh sáng, kiểu bề mặt của đồ thị,hoặc bóng của đồ thị...

Mở giao diện Plot Builder và nhập vào biểu thức:

1. Add biểu thức (1+sin(x*y))/(x^2+y^2).

Trong cửa sổ Select Plot Type:

2. Nhấn Options.

Trong cửa sổ Plot Options:

3. Ở cột Variables, thay đổi trong ô Range from:0 .. 0.05.

4. Ở cột Label, nhập z.

5. Ở ô Style, chọn surface.

6. Ở cột Color, trong phần LightModel, chọn green-red.

7. phần Shading, chọn z (grayscale).

8. Trong ô Miscellaneous, phần GridSize, nhập 40, 40

9. Nhấn Plot để thực hiện vẽ đồ thị


3.1.1.4 Ví dụ 4 - Vẽ đồ thị hàm biến phức

Maple có thể vẽ đồ thị bảo giác (conformal plot) của một biểu thức phức trong không gian 2 chiều hoặc trên mặt cầu Riemann 3chiều.

1. Mở giao diện vẽ đồ thị, nhấn Add nhập vào biểu thức z^3

2. Ở phần Select Plot, chọn 2-D conformal plot of a complex-valued function.

3. Thay đổi miền xác định của biến z: 0 .. 2+2*I. Nhấn Plots Options.

4. Trong phần Axes chọn normal

5. Trong phần Miscellaneous, ở ô Grid Size nhập 30, 30.

6. Nhấn Plot để vẽ đồ thị

3.1.1.5 Ví dụ 5 - Vẽ đồ thị trong tọa độ cực

Maple mặc định việc vẽ đồ thị trong tọa độ Cartesian. Tuy nhiên nó cũng có các tùy chọn cho phép vẽ đồ thị trong các hệ tọa độkhác như: hyperbolic, inverse elliptic, logarithmic, parabolic, polar, and rose trong không gian 2 chiều, và bipolar cylindrical,


bispherical, cylindrical, inverse elliptical cylindrical, logarithmic cosh cylindrical, Maxwell cylindrical, tangent sphere, andtoroidal trong không gian 3 chiều. Để biết thêm thông tin về các hệ tọa độ, tham khảo phần coords trong trang trợ giúp Help.

1. Mở Plot Builder, nhấn Add nhập biểu thức: 1+4*cos(4*theta).

2. Chọn kiểu đồ thị 2-D polar plot, thay đổi khoảng trong Angle là 0 .. 8*Pi. Nhấn Options.

3. Trong phần Color, chọn Magenta.

4. Nhấn Plot để vẽ đồ thị.

3.1.1.6 Ví dụ 6 - Đồ thị tương tác

Với giao diện vẽ đồ thị Interactive Plot Builder, ta có thể vẽ đồ thị một biểu thức với các biến được thiết lập các giá trị số. Cửasổ Interactive Parameter cho phép ta điều chỉnh các giá trị biến trong phạm vi quy định để quan sát hiệu lực của nó. Để truynhập vào cửa sổ này ta phải nhập một biểu thức nhiều biến và chọn Interactive Plot with x parameter từ menu sổ xuống SelectPlot Type and Functions.


1. Mở Interactive Plot Builder, nhấn Add và nhập biểu thức x+3*sin(x*t)

Trong cửa sổ Select Plot Type:

2. Trong phần Select Plot, chọn Interactive Plot with 1 parameter.

3. Thay đổi miền của biến x-axis là 0 .. 2*Pi.

4. Thay đổi khoảng giá trị của t là 0 .. 10.

5. Nhấn Plot để mở cửa sổ Interactive Parameter.

Chú ý: Ta có thể thiết lập một số tùy chọn cho đồ thị trước khi nhấn Plot để đi đến cửa sổ

Interactive Parameter.

6. Sử dụng thanh trượt để điều chỉnh giá trị biến

7. Nhấn Done để đặt đồ thị vẽ được vào trong worksheet.


3.1.2 Menu ngữ cảnh (Context menu)

Menu ngữ cảnh của Maple chứa một danh sách các lệnh để thao tác, hiển thị hoặc tính toán các biểu thức. Tùy thuộc vào từngloại biểu thức mà menu ngữ cảnh hiển thị các lệnh tương ứng. Để vẽ đồ thị, ta kích chuột phải vào biểu thức và chọn một trongcác lệnh:

• 2-D or 3-D plot

• 2-D or 3-D implicit plot

• Plot Builder

Xét ví dụ sau:

1.Nhập vào biểu thức:

2. Kích chuột phải vào biểu thức trên

3. Chọn Plots → 3-D Plot → x,y.

3.1.3 Kéo đồ thị đến vùng đồ thị khác

Bằng cách kéo và thả (drag-and-drop) ta có thể chèn một đồ thị đến vùng đồ thị đã có hoặc chèn một vùng đồ thị trống vào vănbản. Các vùng đồ thị trống có thể là 2 hoặc 3 chiều. Phương pháp này giúp ta dễ dàng thêm vào hoặc gỡ bỏ các đồ thị ra khỏivùng đồ thị và nó độc lập với cú pháp lệnh vẽ đồ thị.

Ví dụ:

1. Từ menu Insert, chọn Plot → 2-D để chèn một vùng đồ thị trống vào văn bản.

2. Nhập vào biểu thức

3. Chọn toàn bộ biểu thức rồi dùng chuột kéo vào vùng đồ thị trống trên, nếu muốn chỉ sao chép biểu thức thì ta nhấn thìta nhấn thêm nút Ctrl khi kéo.

4. Lặp lại các bước 2 và 3 đối với các biểu thức: và

5. Để gỡ bỏ một đồ thị ta kéo đồ thị đó ra khỏi vùng đồ thị.


3.1.4 Lệnh vẽ đồ thị: plot và plot3D

Ngoài các phương pháp trên, ta có thể dùng lệnh để tạo ra các đồ thị. Cú pháp lệnh bao gồm:

plot(plotexpression, x=a..b, ...)

plot3d(plotexpression, x=a..b, y=a..b, ...)

• plotexpression - biểu thức để vẽ đồ thị

• x=a..b - tên biến và khoảng vẽ trên trục hoành

• y=a..b - tên biến và khoảng vẽ trên trục tung

Xét các ví dụ sau và so sánh với các cách vẽ đồ thị đã giới thiệu ở trên đặc biệt là Plot Buider. Tập hợp các lệnh vẽ đồ thị cótrong gói lệnh plots

3.1.4.1 Ví dụ 1 - Vẽ đồ thị hàm một biến


3.1.4.2 Ví dụ 2 - Vẽ nhiều đồ thị trên một hệ trục


3.1.4.3 Ví dụ 3 - Vẽ đồ thị hàm nhiều biến


3.1.4.4 Ví dụ 4 - Vẽ đồ thị hàm biến phức

3.1.4.5 Ví dụ 5 - Vẽ đồ thị trong tọa độ cực


3.1.4.6 Ví dụ 6 - Đồ thị tương tác

3.1.4.7 Ví dụ 7 - Vẽ đồ thị tham số

Nhiều đồ thị không thể biểu diễn theo dạng biến độc lập mà biểu diễn theo một tham số . Để vẽ đồ thị dạng này ta cũngdùng lệnh plot.

Để tìm hiểu thêm về các tùy chọn của lệnh vẽ đồ thị tham khảo mục plot/options và plot3d/options trong phần trợ giúp help.

3.1.5 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Gói thư viện plots chứa nhiều lệnh vẽ đồ thị đặc biệt như: animate, contourplot, densityplot, fieldplot, odeplot, matrixplot,spacecurve, textplot, tubeplot... Dưới đây ta xét một số dạng đồ thị thường gặp.

>


3.1.5.1 Vẽ đồ thị điểm - poinplot

Để vẽ đồ thị các dữ liệu số, ta sử dụng lệnh pointplot trong gói lệnh plots trong đó dữ liệu được sắp xếp theo một danh sách códạng Theo mặc đinh, Maple không nối các điểm. Để vẽ đường nối các điểm ta sử dụng thêm tùychọn style = line.

>

3.1.5.2 Vẽ đồ thị ma trận - matrixplot


3.1.5.3 Vẽ đường mức của đồ thị - contourplot


3.1.5.4 Vẽ miền chấp nhận được của hệ bất phương trình - inequal

3.1.5.5 Vẽ đa giác - polygonplot



3.1.6 Vẽ nhiều đồ thị trên cùng một vùng đồ thị

3.1.6.1 Danh sách các biểu thức

Để vẽ nhiều đồ thị trong cùng một vùng đồ thị ta phải nhập vào danh sách các biểu thức để vẽ đồ thị. Để phân biệt các đồ thị vớinhau ta phải thêm các tùy chọn về màu sắc, độ sáng, kiểu mặt...

3.1.6.2 Lệnh display

Để hiển thị các kiểu đồ thị khác nhau trên cùng một vùng đồ thị ta sử dụng lệnh display.

Maple cũng có thể vẽ đường trong không gian 3 chiều.


3.1.7 Các tùy chọn trong lệnh vẽ đồ thị

Bảng sau liệt kê các tùy chọn cho lệnh vẽ đồ thị:

Tùy chọn Mô tảaxes định nghĩa các loại hệ trục như: boxed, frame, none, hoặc normalcaption đặt chú giải cho đồ thịcolor xác định màu cho các đường được vẽfont xác định font chữ cho các văn bản hiển thị cùng đồ thịglossiness (3-D) điều chỉnh vùng sáng phản chiếu từ các mặtgridlines (2-D) thiết lập lưới ô cho đồ thịlightmodel (3-D) điều chỉnh kiểu ánh sáng chiếu vào đồ thị như: none, light1, light2, light3, hoặc light4linestyle thiết lập loại đường để vẽ đồ thị như: dot, dash, dashdot, longdash, solid, spacedash, và spacedotlegend (2-D) thiết lập ghi chú cho đồ thịnumpoints điều chỉnh toàn bộ số điểm sinh ra khi vẽ đồ thịscaling điều chỉnh tỉ lệ các trục: constrained hoặc unconstrainedshading (3-D) thiết lập kiểu tô màu cho các mặt như: theo trục xyz, xy, z, zgrayscale, zhue, hoặc nonestyle thiết lập kiểu vẽ các mặt như: line, point, polygon, hoặc polygonoutline cho đồ thị 2-D; contour, point,

surface, surfacecontour, surfacewireframe, wireframe, hoặc wireframeopaque cho đồ thị 3-Dsymbol thiết lập ký hiệu của các điểm trên đồ thị như: asterisk, box, circle, cross, diagonalcross, diamond, point,

solidbox, solidcircle, hoặc soliddiamond cho đồ thị 2-D; asterisk, box, circle, cross, diagonalcross,diamond, point, solidsphere, cho sphere cho đồ thị 3-D

title đặt tiêu đề cho đồ thịthickness thiết lập độ dày của các đường trong đồ thịtransparency (3-D) thiết lập độ trong suốt của các mặtview thiết lập giá trị lớn nhất và bé nhất của các trục tọa độ khi hiển thị đồ thị


Một số ví dụ minh họa:


Tạo ra một đồ thị trơn hơn và có độ chính xác cao hơn bằng cách thiết lập tùy chọn số lượng điểm vẽ numpoints.

3.2 Vận động của đồ thịMột đặc tính nổi bật của Maple là cho phép ta thiết lập các hình ảnh động cho phép ta minh họa rõ ràng hơn về sự chuyển độngcủa các đồ thị. Maple tạo ra sự chuyển động này bằng cách ghép nối dãy các hình ảnh, tương tự như kỹ thuật làm phim hoạt hình.Để tạo ra sự chuyển động của đồ thị ta có thể dùng Interactive Plot Builder hoặc dùng lệnh.

3.2.1 Interactive Plot BuiderXem ví dụ sau để biết được cách sử dụng giao diện vẽ đồ thị để tạo nên sự vận động của đồ thị.1. Mở Interactive Plot Buider, nhấn Add và nhập vào biểu thức sin(i*sqrt(x^2+y^2)/10)2. Chọn Animation ở menu Select Plot Type.


3. Thay đổi ở x Axis là khoảng -6 .. 6.

4. Thay đổi ở y Axis là khoảng -6 .. 6.

5. Thay đổi tham số Animation Parameter (i) chạy trong khoảng 1 .. 30.

Nhấn Plot Options.

6. Chọn surface trong ô Style.

7. Trong ô Color, chọn red-turquoise ở mục Light Model.

8. Chọn z (grayscale) ở mục Shading.

9. Ở ô View, chọn Constrained Scaling.

10.Nhấn Plot để hiển thị đồ thị. Sau đó nhấn nút Play trên thanh công cụ của Animation để xem đồ thị vận động.

3.2.2 Lệnh: plots[animate]

Ngoài phương pháp đã chỉ trên, ta có thể sử dụng lệnh animate trong gói plots để tạo sự vận động cho đồ thị. Cú pháp lệnh là:

animate(plotcommand, plotarguments, t=a..b, ...)

animate(plotcommand, plotarguments, t=L, ...)

• plotcommand - lệnh vẽ đồ thị 2-D hoặc 3-D.

• plotarguments - các tham số của lệnh vẽ đồ thị

• t=a..b - tham số chuyển động và khoảng giá trị của nó

• t=L - tham số chuyển động trong một danh sách các hằng số thực hoặc phức

Trước tiên, ta gọi gói lệnh plots để có thể gọi được các lệnh vừa trình bày.


Lệnh sau sẽ cho ta kết quả tương tự như khi ta thực hiện các thao tác ở Interactive Plot Buider trong ví dụ đã trình bày ở trên.

Hoặc ví dụ về sự chuyển động của đồ thị ở tọa độ cực:

3.2.3 Lệnh: plot3d[viewpoint]

Ta có thể sử dụng lệnh plot3d với tùy chọn viewpoint để tạo ra sự chuyển động của các vật thể trong không gian 3 chiều theonhiều hướng khác nhau và ở các góc độ khác nhau tùy thuộc vào các tham số cũng như các loại hệ trục được thiết lập. Với lệnhnày ta có thể tạo được các chuyển động như: bay qua, quay quanh, chuyển động sang bên, chuyển động hướng tới... trên các vậtthể trong không gian 3 chiều.

Những vị trí dịch chuyển mà từ đó ta có thể xem các bề mặt được gọi là camera. Ta có thể thiết lập hướng của camera để xemcác mặt khác nhau của vật thể, thiết lập các đường quay để camera có thể xuyên qua hoặc quay quanh vật thể và có thể thiết lập


vị trí của camera trong mỗi khung hình ảnh động. Chẳng hạn như, ta có thể xác định tọa độ để di chuyển camera đến các điểmxác định bên cạnh vật thể; tạo một đường quay để camera di chuyển xung quanh bề mặt; tạo các khoảng quay để camera đến gầnhoặc xa vật thể. Thông tin chi tiết có thể xem tại viewpoint của trang trợ giúp help.

Ví dụ 1: Di chuyển Camera xung quanh một vật thể 3-D

Ví dụ 2: Thiết lập một đường quay để Camera tiến tới và di chuyển xung quanh một vật thể

3.2.4 Các tùy chọn của lệnh animate

Lệnh animate có một vài tùy chọn khác bên cạnh các tùy chọn của việc vẽ đồ thị. Tham khảo trong phần animate ở trangtrợ giúp Help để biết thêm thông tin về các tùy chọn này. Theo mặc định, chuyển động của đồ thị trong không gian 2chiều gồm 16 ảnh (frame) và trong không gian 3 chiều là 8 ảnh. Để tạo sự chuyển động uyển chuyển hơn ta có thể tăng số


lượng ảnh lên bằng tùy chọn frames.Chú ý: khi tăng số lượng ảnh thì yêu cầu về bộ nhớ và thời gian tính toán cũng tăng.

3.3 Xuất ảnhTa có thể xuất các đồ thị ra theo nhiều định dạng khác nhau như: DXF, X3D (cho các hình ảnh 3-D), EPS, GIF, JPEG/JPG, POV,Windows BMP, and WMF. Với các hình động ta có thể xuất ra theo dạng file ảnh động GIF. Các loại ảnh xuất ra này ta có thểchèn vào trong các file trình diễn, các trang web, Microsoft Word, hoặc các phần mềm khác.

Để xuất một đồ thị:

1. Kích chuột phải vào vùng đồ thị

2. Chọn Export và sau đó chọn định dạng file xuất ra.

Cách khác:

1. Kích chuột vào đồ thị

2. Từ menu Plot chọn Export và sau đó chọn định dạng file xuất ra.

Documents

Ba Chuong Dau