DERET TAKHINGGA

FENOMENA FISIKA

Fenomena 1 Fenomena 2

Perhatikan fenomena fisika berikut.

Adakah persamaan dan perbedaannya?

AYUNAN SEDERHANA

Berdasarkan hk. II Newton, diperoleh

sin2

2

l

g

dt

d

Pers. ini sulit diselesaikan karena adanya sin . Untuk menyederhanakannya, lakukan hampiran sin melalui deret pangkat

53

!5

1

!3

1sin

Untuk << , sin

l

g

dt

d

2

2

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah urutan suku-suku yang dibentuk mengikuti aturan ataukaidah yang telah ditetapkan.

Contoh:

...,3

3,

3

2,

3

1

,3,2,1

32

333

132

1

3333

3...

3

3

3

2

3

1

321

nn

n

n

n

Deret adalah pernyataan penjumlahan yang ditunjukkan oleh suku-suku suatu barisan.

Contoh:

MACAM-MACAM DERET

1

3333 ...321n

n

132 3...

3

3

3

2

3

1n n

n

• Deret yang jumlah suku-sukunya berhingga

Deret berhingga

• Deret yang jumlah suku-sukunya tak berhingga

Deret Takhingga

DERET GEOMETRI

Deret Geometri adalah deret di mana tiap-tiap suku merupakan hasilperkalian dari suku sebelumnya dengan suatu bilangan tertentu.Contoh:

Rumusan menghitung jumlah n suku dari deret tersebut adalah

...81

16

27

8

9

4

3

21 ...32 ararara

r

raS

n

n

1

)1(

DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN

Diberikan suatu deret

Dengan menjumlahkan beberapa suku awal dari deret tersebut akandiperoleh

Besaran Sn disebut jumlah per bagian, yaitu jumlah dari n suku pertamaderet.

Dalam suatu deret akan diperoleh Sn yang mendekati harga tertentu S,karena pertambahan an sangat kecil. Sehingga dikatakan Sn mendekatilimit tertentu,

naaaa ...321

nn aaaaS ...321

SSnn

lim

DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN

Jika keadaan ini terjadi, maka didefinisikan hal-hal sebagai berikut:1. Jika Sn dari Deret Takhingga cenderung menuju limit S, maka deret

disebut Deret Konvergen.2. Nilai limit S disebut Jumlah Deret.3. Terdapat nilai sisa deret setelah suku ke-n yaitu Rn = S - Sn.

Sehingga,

0)(limlim

nn

nn

SSR

CONTOH APLIKASI DERET

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian tertentu. Setelah menyentuh lantai, bola selalu memantul kembali setinggi 2/3 dari tinggi sebelumnya.

Ketinggian pantulan bola ini dapat ditulis dalam bentuk

81

16

27

8

9

4

3

221

81

16.2

27

8.2

9

4.2

3

2.21

Deret

CONTOH APLIKASI DERET

• Berapa jumlah n suku deret tsb?

Untuk n >>, maka Sn = 2.

• Berapa ketinggian bola saat memantul ke sepuluh?

n

n

n

nS3

212

3

21

3

21

3

2

3

2

81

16

27

8

9

4

3

2

0173,059049

1024

19683

256

3

2

3

2

3

2

3

2

3

29110

1

n

n arU

UJI DERET KONVERGENSI

1. UJI AWAL

2. UJI NISBAH

3. UJI INTEGRAL

4. UJI AKAR CAUCHY

5. UJI BANDING

6. UJI BANDING KHUSUS

1. UJI AWAL (PRELIMINARY TEST)

Jika suatu Deret Takhinggaa. , maka deret tersebut divergen.

b. , maka deret perlu diuji lebih lanjut

Contoh:Ujilah konvergensi deret berikut,

1. Deret 2. Deret

0lim

nn

a

0lim

nn

a

1 12n n

n

1 !

1

n n

2. UJI NISBAH (RATIO TEST)

di mana

Dengan kriteria sebagai beikut,a. deret konvergenb. deret divergenc. perlu uji lebih lanjut

Contoh:Ujilah Deret

nn

limn

n

na

a 1

111

1 !

1

n n

3. UJI INTEGRAL (INTEGRAL TEST)

Suatu deret dikatakan:

a. Konvergen, jika

b. Divergen, jika

Contoh:1. Deret

2. Deret

1n

na

berhingga

n

n dna

1 22 1ndn

n

n

hingga)tak(

nn dna

1

1

ndn

n

SOAL LATIHAN

Kerjakan dalam kelompok Saudara1. Ubahlah deret berikut ke dalam bentuk

a. b.

2. Ujilah konvergensi deret berikut dengan menggunakan salah satu dari uji awal, uji nisbah, dan uji integral

a. d.

b. e.

c. f.

11

16

9

8

7

4

5

2

3

1

32

1

16

1

8

1

4

1

12 10

3

n nn

n

4

5

3

4

2

32

12

2

n

n

n

1 !2

!

n n

n

2 ln

1

n nn

12 4n n

n

4. UJI AKAR CAUCHY

Suatu deret .

dengan kriteria sebagai berikut:

a. deret Konvergenb. deret Divergenc. perlu uji lanjut

Contoh:Deret

1n

na

1 4

1

n

n

n

nn

naC

lim

1C1C1C

5. UJI BANDING (COMPARISON TEST)

Diketahui dua buah deret sebagai berikut:

Jika terdapat deret

sedemikian hinggaa. , maka konvergen mutlak

b. , maka divergen mutlak

c. Selain di atas, maka perlu uji lanjut

)konvergenderet(...321 nmmmm

)divergenderet(...321 ndddd

1

321 ...n

naaaa

nn ma

1n

na

nn da

1n

na

Contoh: Diketahui deret adalah konvergen. Bagaimana dengan

deret

Petunjuk: Gunakan tabel.

1 2

1

nn

1 !

1

n n

6. UJI BANDING KHUSUS

Uji ini terdiri atas 2 bagian, yakni: uji konvergen dan uji divergen.

Ditinjau deret positif

a. Jika deret positif konvergen dan , maka deret

konvergen.

b. Jika deret positif divergen dan , maka deret

divergen

1n

na

1n

nb

n

n

n b

alim

1n

na

1n

nd 0lim

n

n

n d

a

1n

na

Contoh:

Ujilah deret

Petunjuk: Bandingkan dengan (konvergen)

323

2

274

152

n nn

nn

3

2

1

n

nn

b

SOAL LATIHAN

Kerjakan dalam kelompok SaudaraSelesaikan uji konvergensi dari deret-deret berikut

a.

b. jika adalah konvergen

c.

1 1

2

nn

n

n

n

1

1

n n

1 2

1

nn

12 73

5312

n n

nn

DERET BOLAK-BALIK

Deret bolak-balik (alternating series) merupakan deret dengan suku-suku positif dan negatif secara bergantian, contohnya

Pengujian deret bolak-balik dapat dilakukan menggunakan kriteriaLeibnitz.

Deret bolak-balik dengan akan konvergen, jika :

1. Secara numerik, setiap suku deret kurang dari suku-sukusebelumnya, yaitu

2.

n

n 11

5

1

4

1

3

1

2

11

n

n

na

1

11 0na

nn aa 1

0lim

nn

a

DERET BOLAK-BALIK

Ujilah konvergensi deret bolak-balik berikut!

1.

2.

1

1

n

n

n

1 5

1

n

n

n

n

TUGAS

Kerjakan soal berikut:1. Problems, section 6, page 9 no. 5 (b)2. Problems, section 6, page 15 no. 32, 35, dan 363. Problems, section 7, page 16 no. 2, 7, dan 8

KONVERGEN MUTLAK

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak jika deret yang dibentuk (dengan menjadikan suku-sukunya positif) adalah konvergen.

Contoh 1:Deret jika dimutlakkan menjadi

Karena deret kedua merupakan deret konvergen, maka deret pertama merupakan konvergen mutlak

n

n

n

1

432

1

4

1

3

1

2

11

nn

1

4

1

3

1

2

11

432

KONVERGEN MUTLAK

Contoh 2:Deret jika dimutlakkan menjadi

Dengan uji integral, deret kedua merupakan deret divergen, maka deret pertama merupakan konvergen bersyarat.

n

n 11

4

1

3

1

2

11

n

1

4

1

3

1

2

11

FAKTA TENTANG DERET

1. Deret konvergen atau divergen tidak dipengaruhi oleh perkalian tiap suku-sukunya dengan sebuah konstanta bukan nol

2. Penambahan atau pengurangan dua buah deret konvergen suku demi suku akan menghasilkan deret konvergen pula

3. Jika konvergen, maka . Tetapi kebalikannya tidak selalu benar.

na 0lim

nn

a

Secara umum, deret pangkat dapat dituliskan sebagai

atau

Contoh

Deret pangkat ini belum bisa dikatakan konvergen atau tidak. Untuk mengetahui konvergen-tidaknya deret ini, maka nilai x perlu ditentukan lebih dulu agar deret menjadi konvergen.

Semua nilai x yang memenuhi syarat konvergensi suatu deret pangkat berada pada interval tertentu (interval konvergensi). Interval konvergensi ini ditentukan melalui uji rasio.

DERET PANGKAT

2

210

0

xaxaaxan

n

n

2

210

0

axaaxaaaxan

n

n

n

nxxxx

28421

32

INTERVAL KONVERGENSI

Carilah interval konvergensi dari deretJawab:

Deret akan konvergen jika yaitu atau Untuk (deret divergen) Untuk (deret bolak-balik, divergen)Sehingga interval konvergensi deret tersebut

n

nxxxx

28421

32

22/

2/ 11

1 x

x

x

a

ann

nn

n

nn

22limlim

xx

nn

n

1 2x 22 x

2x 1111

2x 111122 x

INTERVAL KONVERGENSI

Carilah interval konvergensi dari deret berikut!

1.

2.

3.

1

11

n

nn

n

x

1

121

!12

1

n

nn

n

x

0 3

2

nn

nx

EKSPANSI FUNGSI KE DALAM DERET PANGKAT

Ekspansi fungsi ke dalam deret pangkat dapat ditulis,

Terdapat dua masalah pada deret tersebut, yakni:1. Menentukan nilai-nilai koefisien sehingga menjadi bentuk

identitas.2. Menentukan interval konvergensi di mana identitas tersebut

berlaku.

n

n axaaxaaxaaxaaxf )()()()()( 3

3

2

210

)(xf

na

EKSPANSI FUNGSI KE DALAM DERET PANGKAT

Dengan menerapkan teorema diferensial pada deret tersebut, maka

Dengan mengambil , maka

)(pangkatmengandungyangsukusuku.1)2)(1()(

)()1()(3.4)(2.32)(''

)()(4)(3)(2)('

)()()()()(

22

432

13

4

2

321

3

3

2

210

axannnxf

axannaxaaxaaxf

axnaaxaaxaaxaaxf

axaaxaaxaaxaaxf

n

n

n

n

n

n

n

n

ax

n

n anafaafaafaaf !)(,,2)('',)(',)( )(

210

DERET TAYLOR - DERET MACLAURIN

Dengan demikian, Deret Taylor untuk adalah

Sedangkan Deret Maclaurin untuk adalah deret Taylor terhadap titik asal. Dengan mengambil akan diperoleh deret Maclaurin

Contoh : Carilah deret Taylor dan Maclaurin dari

)()(!

1)('')(

!2

1)(')()()( )(2 afax

nafaxafaxafxf nn

ax )(xf

)(xf

0a

)0(!

)0(''!2

1)0(')()0()( )(2 n

n

fn

xfxfxfxf

xxf sin)(

DERET MACLAURIN BEBERAPA FUNGSI DASAR

Deret Maclaurin Interval Konvergensi

(deret binomial, p sembarang bilangan real)

,!7!5!3

sin753

xxx

xx

,!6!4!2

1cos642

xxx

x

x

,!4!3!2

1432

xxx

xe x

,432

)1(ln432

xxx

xx 11 x

1x

x

x

,!3

)2)(1(

!2

)1(1)1( 32

x

pppx

pppxx p

TEKNIK MEMEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT

1. Perkalian Deret dengan Polinomial atau Deret Lain

Contoh:

2. Pembagian Dua Deret atau Pembagian Deret oleh Polinomial

Contoh:

!3!3

!5!3)1(sin)1(

432

53

xxxx

xxxxxx

4321

432

11ln

1

32

432

xxx

xxxx

xx

x

TEKNIK MEMEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT

3. Deret Binomial

Contoh:

4. Substitusi Deret atau Polinomial pada Deret Lain

Contoh:

32

321

1

!3

)3)(2)(1(

!2

)2)(1(1)1(

1

1

xxx

xxxxx

!3!21

!3!21

642

322222

xxx

xxxe x

TEKNIK MEMEROLEH EKSPANSI DERET PANGKAT

5. Metode KombinasiContoh: Carilah deret dari arc tan x

Karena , maka

Sehingga

Jadi,

xxt

dt xx

tanarctanarc1 0

0

2

64212 1)1( tttt

0

753

0

642

0

2

753

11

x

xx

tttt

dttttt

dt

753

tanarc753 xxx

xx