BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Pengertian Data Deret Berkala Suatu

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1. Pengertian Data Deret Berkala

Suatu deret berkala adalah himpunan observasi yang terkumpul atau hasil observasi

yang mengalami peningkatan waktu. Data deret berkala adalah serangkaian nilai-nilai

variabel yang disusun berdasarkan waktu. Pada analisis data deret berkala terdapat

variasi musim. Variasi musim merupakan gerakan suatu deret berkala yang

diklasifikasikan ke dalam periode kurang dari satu tahun seperti kwartalan, bulanan atau

harian, atau gerakan periodik yang berulang.

Data sebuah deret berkala dapat berupa variasi musim atau tidak memiliki

variasi musim, oleh karena itu perlu dilakukan identifikasi terlebih dahulu untuk

mengetahui apakah deret tersebut mempunyai variasi musim atau tidak sebelum

dilakukan perhitungan. Metode paling sederhana untuk mengetahui adanya variasi

musim adalah dengan melihat pola yang ada pada plot time series. Pola variasi musim

dapat diklasifikasikan dalam dua bentuk yaitu spesifik dan tipical. Pola spesifik

menunjukkan variasi musim dalam periode kwartalan, sedangkan pola tipical

menunjukkan rata-rata variasi musim dalam sejumlah periode seperti tahunan.

2.2. Stasioneritas

Menurut Makridakis, dkk (1993) stasioneritas mempunyai makna bahwa tidak terdapat

pertumbuhan atau penurunan pada data. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di

sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari

fluktuasi trsebut. Plot data deret berkala dapat digunakan untuk mengetahui suatu data

telah stasioner atau belum. Kestasioneran suatu data deret berkala dapat juga

diperlihatkan dengan membuat plot autokorelasi.

Universitas Sumatera Utara

Data deret berkala dikatakan stasioner dalam rata-rata jika rata-ratanya tidak

berubah dari waktu ke waktu atau data bersifat stabil. Untuk melihat apakah suatu data

sudah stasioner dalam rata-rata dapat digunakan alat bantu plot time series dan ACF.

Apabila suatu data deret berkala tidak stasioner berdasarkan rata-rata maka dapat diatasi

dengan melakukan pembeda (differencing). Differencing merupakan pengurangan data

tertentu dengan data sebelumnya. Jika differencing ordo satu masih belum

menghasilkan data yang stasioner, maka dapat dilakukan differencing ordo kedua, dan

seterusnya hingga diperoleh data stasioner.

Menurut Makridakis, dkk (1993) notasi yang sangat bermanfaat dalam metode

pembedaan adalah operator shift mundur (backward shift) yang disimbolkan dengan B

dan penggunaanya adalah sebagai berikut:

(1)

Notasi B yang dipasangkan pada mempunyai pengaruh menggeser data satu periode

ke belakang, dua penerapan B untuk akan menggeser data tersebut dua periode ke

belakang, sebagai berikut:

(2)

Apabila suatu deret berkala tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih

mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data dan

persamaannya adalah sebagai berikut:

1. Pembedaan pertama

(3)

Menggunakan operator shift mundur, persamaan (6) dapat ditulis kembali menjadi:

(4)

Pembedaan pertama dinyatakan oleh (1-B). Sama halnya apabila pembedaan orde kedua

(yaitu pembedaan pertama dari pembedan pertama sebelumnya) harus dihitung.

2. Pembedaan orde kedua


Pembedaan orede kedua diberi notasi .

Tujuan menghitung pembedaan adalah untuk mencapai stasioneritas, dan secara umum

apabila terdapat pembedaan orde ke-d untuk mencapai stasioneritas ditulis sebagai

berikut:

(5)

Suatu deret berkala dikatakan stasioner dalam varians, jika plot deret berkala tidak

memperlihatkan adanya perubahan varians yang jelas dari waktu ke waktu (Makridakis,

1993). Begitu pula sebaliknya, jika data deret berkala menunjukkan terdapat variasi

fluktuasi data pada grafik maka data tersebut termasuk dalam deret berkala yang belum

stasioner atau belum dalam varians, dapat menggunakan plot time series dan plot ACF.

Untuk menstasionerkan data yang belum stasioner dalam varians, dapat

dilakukan dengan proses transformasi. Secara umum, untuk mencapai stasioneritas

dalam varians dapat dilakukan dengan power transformation ( ) yaitu (Makridakis,

1993):

(6)

dengan adalah parameter transformasi dan adalah faktor penambah yang konstan.

Secara umum, berikut adalah nilai dari beserta pendekatan transformasi yang

digunakan (Wei, 1990):


Tabel 1: Transformasi Box-Cox

Nilai Estimate Transformasi

-1

-0,5

0

0,5

1 (stasioner)

2.3. Model Fungsi Transfer

Fungsi transfer merupakan salah satu metode peramalan yang digunakan pada data deret

waktu yang terhubung dengan satu atau lebih deret waktu lainnya. Model fungsi transfer

merupakan gabungan beberapa karakteristik dari model-model ARIMA univariat dan

beberapa karakteristik analisis regresi berganda. Model fungsi transfer memiliki deret

berkala input ( ), dan input-input lain yang digabungkan dalam satu kelompok yang

disebut gangguan (noise), dengan simbol . Fungsi transfer digunakan untuk

meramalkan nilai yang akan datang dari suatu deret output ( ) berdasarkan nilai yang

lalu dari deret output tersebut dan deret-deret lain yang berhubungan, yang disebut deret

input , dengan simbol .

Fungsi transfer memetakan deret input ke deret output dengan

merupakan deret input yang terkendali. Upaya untuk mengatasi hal ini adalah

melakukan pemutihan atau white noise yaitu penghilangan seluruh pola yang diketahui

sehingga yang berpengaruh hanyalah galat acak. Untuk mempertahankan hubungan

fungsional fungsi transfer maka transformasi pemutihan yang dilakukan terhadap deret

input haruslah dilakukan pula terhadap deret output.


2.3.1. Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer

Model fungsi transfer bivariat ditulis dalam dua bentuk umum. Bentuk pertama adalah

sebagai berikut:

(7)

dengan:

= deret output

= deret input

= pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi

= (

), merupakan respons impuls dimana adalah

orde fungsi transfer.

2.3.1.1. Menyiapkan Deret Input dan Output

Di dalam menyiapkan pemodelan fungsi transfer, perlu ditransformasikan atau

melakukan pembedaan deret input dan output, terutama apabila terdapat

ketidakstasioneran. Transformasi yang biasanya diterapkan adalah sebagai berikut:

apabila

dan

apabila

dengan m adalah faktor penambah yang konstan. Bila = 0,5 maka transformasi akar

kuadrat diterapkan. Bila = 0, maka logaritma data dihitung dan faktor penambah yang

konstan ditetapkan sedemikian rupa sehingga nilai ( ) lebih besar dari nol.

Terhadap deret input dan deret output, menghilangkan pengaruh musiman

(deseasonalized) perlu dilakukan. Hal ini mempunyai pengaruh yang mampu

menghasilkan nilai-nilai (r, s, b) yang lebih kecil daripada tanpa melakukan


deseasonalized. Langkah-langkah yang perlu dilakukan sebelum menyiapkan deret

input dan output adalah sebagai berikut:

1. Apakah transformasi terhadap data input dan output perlu dilakukan

2. Berapa tingkat pembedaan (difference) yang seharusnya diterapkan untuk deret

input dan deret output agar mereka menjadi stasioner.

3. Apakah deret input dan output perlu dihilangkan pengaruh musimannya

Deret data yang telah ditransformasi dan yang telah sesuai disebut dan .

2.3.1.2. Pemutihan Deret Input ( )

Mengubah deret input ( ) menjadi deret output ( ) dan meyederhanakannya akan

membantu mempermudah memahami sistem dari fungsi transfer. Dengan demikian

suatu input yang terkendali dapat ditempatkan dan diperiksa outputnya secara berulang-

ulang sampai sifat asli fungsi transfer jelas. Melakukan pemutihan terhadap deret input

berfungsi untuk menghilangkan seluruh pola yang diketahui supaya yang tertinggal

hanya model yang terkendali, white noise.

Suatu keadaan deret disebut white noise dengan suatu contoh nilai-nilai diambil

dengan penarikan contoh acak yang bebas dengan distribusi peluang yang tetap. Dengan

contoh sebagai berikut:

(8)

dengan adalah operator regresi-diri (autoregressive operator), adalah

operator rata-rata bergerak (moving average operator), dan adalah kesalahan acak,

yaitu white noise (dalam hal ini tidak memerlukan pembedaan ( ) dalam model

ARIMA, karena hal ini telah dilakukan pada saat mempersiapkan deret input dan

output). Pemutihan deret dapat dilakukan dengan menyusun suku-suku pada

persamaan (20), deret disusun kembali ke dalam deret , sebagai berikut

(Makridakis, 1993):


2.3.1.3. Pemutihan Deret Output ( )

Fungsi transfer yang ditetapkan adalah memetakan ke dalam . Seperti pada

persamaan (20), transformasi yang sama diterapkan terhadap supaya integritas

hubungan fungsional tetap dipertahankan.

Input Fungsi Transfer Output

Input

Fungsi Transfer Output

Transformasi pada tidak diubah menjadi white noise karena deret telah

diputihkan sebelumnya. Deret yang telah diputihkan diberi simbol , dengan formulasi

deret sebagai berikut:

2.3.1.4 Penghitungan Crosscorrelation dan Autocorelation untuk Deret yang

telah diputihkan

Pada pemodelan ARIMA variabel tunggal (univariate ARIMA), koefisien

autocorelation merupakan statistik kunci dalam membantu menetapkan bentuk model.

Pada pemodelan MARIMA variabel ganda (fungsi transfer), autocorelation memiliki

peran yang kedua setelah crosscorelation. Kenyataanya, terdapat perbedaan yang sangat

kecil antara crosscorelation dengan apa yang biasa disebut korelasi, karena fungsi

transfer berhubungan dengan dua deret, dan yang terpisah (dalam bentuk yang telah

diputihkan dan ).

Peragam (covariance) antara dua variabel dan (tanpa subskrip waktu, yang

ditunjukkan dengan huruf t kecil di bawah notasi keduanya) ditetapkan sebagai berikut:


(10)

Bentuk tersebut dapat digunakan untuk menetapkan dua ragam dan . Dengan

menggunakan subskrip waktu di bawah variabel X dan Y dengan memisalkan k sebagai

waktu lag (lag time) atau beda waktu pada setiap pasang data, maka kita dapat

menentukan peragam-silang (crosscovariance) dan sebagai berikut:

(11)

(12)

dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., pada persamaan (22) X memberikan petunjuk pada Y

berdasarkan periode k. Di dalam persamaan (23) Y memberikan petunjuk pada X

berdasarkan periode k. Persamaan (22) dan (23) didefenisikan sebagai ekspektasi (yang

diharapkan). Taksiran crosscorelation dihitung dengan rumus sebagai berikut:

(13)

dengan dan adalah rata-rata dari deret dan Y dan k = 0, 1, 2, ...

(14)

Rumus kesalahan standar berikut berguna untuk memeriksa apakah berbeda

nyata dari nol dengan membandingkan nilai dengan kesalahan standar.

(Makridakis, 1993)

(15)

Jika terdapat k negatif, diganti dengan nilai absolutnya pada sisi kanan persamaan (26).

2.3.1.5. Pendugaan Langsung Bobot Respons Impuls


Formula untuk memperoleh pendugaan langsung untuk masing-masing bobot respon

impuls adalah:

(16)

dengan:

= bobot respon impuls

= korelasi silang antara dan

= simpangan baku (standard deviation) dari deret

= simpangan baku (standard deviation) dari deret

(makridakis, 1993)

2.3.1.6. Penetapan (r, s, b) untuk Model Fungsi Transfer

Nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai sampai periode t+b. Nilai s

menyatakan untuk beberapa lama deret output y secara terus menerus dipengaruhi oleh

nilai-nilai baru dari deret input. Nilai r menunjukkan bahwa berkaitan dengan nilai-

nilai masa lalunya. Parameter utama dalam model fungsi transfer adalah (r, s, b),

dengan r menunjukkan derajat fungsi , s menunjukkan derajat fungsi , dan b

menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip dari pada persamaan (3).

(Makridakis, 1993)

Berdasarkan persamaan (1), (2) dan (3) telah ditetapkan:

Apabila pernyataan , dan diperluas dan koefisiennya dibandingkan,

akan diperoleh hubungan sebagai berikut:


untuk

untuk

untuk

untuk

Secara intuitif arti (r, s, b) dapat diuraikan dengan aturan-aturan berikut.

Pertama, nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai sampai periode

, atau dengan persamaan sebagai berikut:

berikutnya, nilai s menyatakan untuk beberapa lama deret output (y) secara terus-

menerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru dari deret input (x), dipengaruhi oleh

. Nilai r menunjukkan bahwa berkaitan dengan nilai-nilai

masa lalunya yaitu y dipengaruhi oleh .

Tiga prinsip atau petunjuk untuk menentukan nilai yang tepat untuk (r, s, b)

yaitu sebagai berikut:

1. Sampai lag waktu ke b, crosscorelation tidak akan berbeda dari nol secara

signifikan.

2. Untuk s time lag selanjutnya, crosscorelation tidak akan memperlihatkan adanya

pola yang jelas.

3. Untuk r time lag selanjutnya, crosscorelation akan memperlihatkan suatu pola

yang jelas.

2.3.1.7. Penaksiran Awal Deret Gangguan ( )


Bobot respons impuls diukur secara langsung dan ini memungkinkan perhitungan nilai

taksiran dari deret gangguan , dikarenakan:

dengan g adalah nilai praktis yang dipilih.

2.3.1.8. Penetapan untuk Model ARIMA ( ) dari Deret Gangguan

Autokorelasi, autokorelasi parsial ditetapkan dan selanjutnya nilai dan untuk

autoregressive dan proses moving average, berturut-turut dipilih. Dengan cara seperti

ini, fungsi dan untuk deret gangguan pada persamaan (38) diperoleh

untuk mendapatkan:

2.3.1.9. Analisis Autokorelasi untuk Nilai Sisa Model (r, s, b) yang

Menghubungkan Deret Input dan Output

Pengujian kelayakan suatu model perlu dilakukan untuk mengetahui kesesuaian model

yaitu sudah memenuhi syarat white noise. Caranya adalah dengan memeriksa

autokorelasi dan korelasi residualnya. Pengujian autokorelasi untuk nilai sisa

menggunakan hipotesis:

H0: Autokorelasi pada deret sisa tidak signifikan

H1: Autokorelasi pada deret sisa signifikan

Dengan statistik uji:


dengan:

= banyak data pada gugus residual

= lag terbesar yang diperhatikan

(r, s, b) = parameter model fungsi transfer

= autokorelasi residual untuk lag k

Selanjutnya membandingkan hasilnya dengan tabel distribusi dengan taraf

signifikansi , derajat bebas (merupakan nilai autoregressive dan moving

average dari deret noise) dan tolak H0 jika .

2.3.1.10. Analisi Korelasi Silang antara Nilai Sisa dengan Deret Ganguan yang

Telah Diputihkan

Pada proses perkiraan langsung bobot fungsi transfer dibuat asumsi bahwa deret input

( ) yang disesuaikan adalah bebas dari komponen noise ( ) random. Karena itu bagian

penting dari proses diagnostik adalah untuk membuktikan asumsi ini. Untuk menguji

kesimpulan ini secara formal, akan digunakan uji Box-Pierce sekali lagi. Pengujian

crosscorelation antara nilai sisa dengan deret gangguan yang telah diputihkan

menggunakan statistik uji dengan hipotesis:

H0: Crosscorelation antara deret dan tidak signifikan

H1: Crosscorelation antara deret dan signifikan

Formula yang sesuai untuk uji keterikatan dan , adalah sebagai berikut:


dengan:

= banyak data pada deret (x yang telah white noise)

= lag maksimum

= jumlah parameter AR pada model ARIMA dengan deret input ( )

s dan b adalah parameter yang diperoleh dari hasil perhitungan.

Hasilnya dibandingkan dengan tabel dengan derajat bebas dengan kriteria

keputusan, tolak H0 jika .

2.4. Prosedur Menentukan Model Fungsi Transfer Multivariat

Pemodelan fungsi transfer multi input (multivariate models) untuk deret input dan

deret output memiliki beberapa tahapan. Pertama, mengidentifikasi deret input

tunggal terlebih dahulu supaya mendapatkan orde model ARIMA. Setelah diperoleh

model ARIMA untuk deret input tunggal dan deret output, dilakukan pemutihan

terhadap deret tersebut. Selanjutnya, dilakukan perhitungan korelasi silang untuk

masing-masing deret untuk menentukan nilai . Setelah estimasi bobot-bobot

respon inpuls, dilanjutkan dengan mengidentifikasi bentuk model fungsi transfer dan

noise gabungan. Berikut adalah tahap-tahap pemodelan fungsi transfer multi input.

(Makridakis 1993)

2.4.1. Tahap Pertama: Identifikasi Bentuk Model Input Tunggal

1) Mempersiapkan deret input dan output

Mengidentifikasi kestasioneran deret input dan output dilakukan dengan melakukan

transformasi atau melakukan differencing terhadap deret input dan output. Deret data

input dan output yang telah stasioner disebut dan .

2) Pemutihan deret input


Pemutihan deret input dilakukan untuk memperoleh model yang white noise. Pemutihan

deret input dengan proses ARIMA adalah:

Mengubah deret input menjadi deret adalah sebagai berikut:

3) Pemutihan deret output

Rumusan deret output yang telah diputihkan adalah:

Suatu transformasi pemutihan yang dilakukan terhadap diterapkan juga terhadap

deret supaya fungsi transfer dapat memetakan terhadap .

4) Perhitungan korelasi silang dan autokorelasi deret input dan deret output yang telah

diputihkan

Kovarian antara dua variabel dan adalah sebagai berikut:

dan diperoleh dua ragam yaitu dan . Dengan memisalkan sebagai time lag.

Kovarians silang dan didefenisikan sebagai berikut:

(

(

dengan

persamaan di atas didefinisikan sebagai ekspektasi. Dalam praktek, taksiran kovarians-

silang dihitung dengan rumus berikut:


Kovarians silang kemudian diubah menjadi korelasi silang dengan membagi kovarians

tersebut oleh dua standar deviasi sebagai berikut:

Rumus standar error berikut berguna untuk memeriksa apakah berbeda nyata

dari nol, dengan membandingkan nilai dengan standar error.

Di dalam model fungsi transfer multivariat, perhitungan korelasi silang pada

masing-masing input terhadap output digunakan untuk mengetahui nilai yang

diidentifikasi dari plot korelasi silang. Setelah diperoleh nilai pada masing-

masing input, maka dilakukan korelasi silang serentak antara nilai terhadap seluruh

variabel inputnya.

5) Penaksiran langsung bobot respon impuls

Bobot respon impuls ini berguna untuk menghitung deret noise. Untuk penaksiran bobot

respon impuls secara langsung, rumusnya adalah sebagai berikut:

dengan

= nilai dari korelasi silang lag ke-k

= standar deviasi dari deret output yang telah diputihkan


= standar deviasi dari deret input yang telah diputihkan

6) Penetapan untuk model fungsi transfer yang menghubungkan deret input

dan deret output

Tiga parameter kunci dalam model fungsi transfer adalah dengan

menunjukkan derajat fungsi , menunjukkan derajat fungsi , dan

menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada pada persamaan berikut:

Berikut ini beberapa aturan yang dapat digunakan untuk menduga nilai dari

suatu fungsi transfer.

a. Nilai menyatakan bahwa tidak dipengaruhi oleh sampai periode

Besarnya dapat ditentukan dari lag yang pertama kali signifikan pada plot

korelasi silang. Nilai ini merupakan nilai yang paling mudah ditentukan. Apabila

korelasi silang diperoleh dari tetapi ,

maka dapat ditentukan , dengan kata lain terdapat tiga periode sebelum

runtun waktu input mulai mempengaruhi runtun waktu output .

b. Nilai menyatakan seberapa lama deret terus dipengaruhi

, sehingga dapat dikatakan bahwa nilai adalah bilangan

pada lag plot korelasi silang sebelum terjadinya pola menurun.

c. Nilai menyatakan bahwa dipengaruhi oleh nilai masa lalunya

, dengan ketentuan:

bila ada beberapa lag plot pada korelasi silang yang terpotong.

bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun.

bila plot pada korelasi silang menunjukkan suatu pola eksponensial menurun

dan pola sinus.

7) Penaksiran awal deret gangguan


Bobot respon impuls diukur secara langsung, ini memungkinkan dilakukan perhitungan

nilai taksiran dari deret gangguan dengan rumusan:

8) Penetapan untuk model ARIMA dari deret gangguan

Sesudah menggunakan persamaan deret gangguan , nilai-nilai dianalisis dengan

cara ARIMA biasa untuk menentukan model ARIMA yang tepat sehingga diperoleh

nilai dan . Dengan cara ini, fungsi dan untuk deret gangguan

dapat diperoleh untuk mendapatkan persamaan berikut:

2.4.2. Tahap Kedua: Penaksiran Parameter-parameter Model Fungsi Transfer

Berikut adalah model fungsi transfer dan ARIMA untuk deret noise:

Pada tahap ini, akan dilakukan penaksiran nilai-nilai , , dan . Nilai taksiran

diperoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan khusus seperti berikut:

untuk

untuk


untuk

untuk

Dengan pembobotan impuls, maka akan diperoleh nilai-nilai parameter yang diperlukan

dengan cara mensubstitusikannya.

2.4.3. Tahap Ketiga: Uji Diagnosis Model Fungsi Transfer Tunggal

Pada tahap ini diperlukan pengecekan deret gangguan dan hubungan deret dengan

. Deret yang sudah diperoleh melalui tahap 1 dan 2, secara umum bentuknya

adalah:

Dikalikan dengan . Selanjutnya, mencari

nila parameter yang diatur kembali untuk digunakan pada model peramalan.

2.4.4. Tahap Keempat: Penentuan Model Fungsi Transfer Multi Input

Pemodelan fungsi transfer multi input dilakukann dengan cara memodelkan secara

serentak seluruh variabel yang sudah diidentifikasi sebelumnya. Identifikasi nilai-nilai

bobot respon impuls dan korelasi silang dijadikan dasar dalam pemodelan serentak

yang menghasilkan fungsi transfer multi input. Langkah-langkah penentuan model

fungsi transfer multi input adalah sebagai berikut:

1) Mengidentifikasi deret input dan output untuk mengetahui kestasioneran dan

menentukan orde model ARIMA.

2) Menghitung estimasi parameter model ARIMA yang sesuai untuk masing-masing

deret input, selanjutnya dilakukan pengujian untuk mengetahui apakah model sudah

memenuhi proses white noise atau tidak memenuhi.


3) Mencari nilai korelasi silang untuk masing-masing deret input terhadap deret

output, yang berguna untuk menghitung deret noise dan juga menentukan orde

model fungsi transfer dengan mengidentifikasi plot korelasi silang.

4) Menentukan nilai pada masing-masing deret dan menghitung nilai gangguan

( ) sehingga model fungsi transfer multi input tunggal selesai.

5) Nilai masing-masing deret input yang telah diperoleh, dilakukan estimasi

secara serentak.

6) Penentuan nilai gabungan fungsi transfer multi input

Nilai-nilai yang telah diidentifikasi dalam model fungsi transfer input

tunggal, dijumlahkan sehingga model multi input mejadi:

dengan:

= operator moving average orde untuk variabel ke-j

= operator autoregressive orde untuk variabel ke-j

= operator moving average orde

= operator autoregressive orde

= nilai gangguan acak


Documents

BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Pengertian Data Deret Berkala Suatu