Upload
vandung
View
239
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Calculus Purcell
𝑝 > 0: lim𝑛→∞
1
𝑛𝑝= ⋯
lim𝑛→∞ 7𝑛2
2𝑛2+1= ⋯
Apakah {(ln 𝑛)/𝑒𝑛} konvergen?
Buktikan bahwa lim𝑛→∞
sin5 𝑛
2𝑛= 0.
Buktikan bahwa lim𝑛→∞ 𝑟𝑛 = 0 untuk −1 < 𝑟 < 1.
Barisan tak Hingga:
𝑓 𝑖 = 𝑎𝑖 , 𝑖 ∈ ℕ, 𝑎𝑖∈ ℝ
Notasi:
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …
𝑎𝑛 𝑛=1∞
𝑎𝑛
pola suku-suku awal
1, 4, 7, 10,…
formula eksplisit
𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2, 𝑛 ≥ 1
formula rekursi
𝑎1 = 1, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3, 𝑛 ≥ 2
Untuk 𝑛 ≥ 1:
𝑎𝑛 = 1 −1
𝑛
𝑏𝑛 = 1 + −1𝑛 1
𝑛
𝑐𝑛 = −1𝑛 +1
𝑛
𝑑𝑛 = 0.999
Jika
∀𝜀 > 0, ∃ 0 < 𝑁 𝜀 < ∞: 𝑛 ≥ 𝑁 ⇒ 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀
Maka
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿
( barisan 𝑎𝑛 konvergen ke 𝐿).
Otherwise, 𝑎𝑛 divergen.
Misal {𝑎𝑛} dan 𝑏𝑛 barisan yang konvergen, dan 𝑘 kontanta. Maka berlaku:
a) lim𝑛→∞𝑘 = 𝑘
b) lim𝑛→∞𝑘𝑎𝑛 = 𝑘 lim
𝑛→∞𝑎𝑛
c) lim𝑛→∞𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = lim
𝑛→∞𝑎𝑛 ± lim
𝑛→∞𝑏𝑛
d) lim𝑛→∞𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = lim
𝑛→∞𝑎𝑛 ∙ lim𝑛→∞𝑏𝑛
e) lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛=lim𝑛→∞𝑎𝑛
lim𝑛→∞𝑏𝑛
, jika lim𝑛→∞𝑏𝑛 ≠ 0
lim𝑥→∞𝑓 𝑥 = 𝐿 → lim
𝑛→∞𝑓 𝑛 = 𝐿
Contoh:
lim𝑛→∞
ln 𝑛
𝑒𝑛 ?
Karena lim𝑥→∞ln 𝑥/𝑒𝑥 = lim
𝑥→∞
1/𝑥
𝑒𝑥= 0, maka
lim𝑛→∞
ln 𝑛
𝑒𝑛= 0.
Misal barisan {𝑎𝑛} dan 𝑐𝑛 konvergen ke 𝐿, dan
𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 untuk 𝑛 ≥ 𝐾,𝐾 ∈ ℕ.
Maka 𝑏𝑛 juga konvergen ke 𝐿.
• lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞𝑐𝑛 = 𝐿
• 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛, 𝑛 ≥ 𝐾, 𝐾 ∈ ℕ lim𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐿
lim𝑛→∞|𝑎𝑛| = 0 lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 0
Contoh:
lim𝑛→∞−1 𝑛
2𝑛
𝑛2 + 1
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
2𝑛
𝑛2 + 1= 0
Maka, menurut teorema C
lim𝑛→∞−1 𝑛
2𝑛
𝑛2 + 1= 0
Jika 𝑈 batas atas dari barisan tak turun 𝑎𝑛 , maka barisan tsb konvergen ke limit 𝐴 ≤ 𝑈.
• Jika 𝐿 batas bawah dari barisan tak naik 𝑏𝑛 , maka
barisan tsb konvergen ke limit 𝐵 ≥ 𝐿.
Infinite Series (Deret tak Hingga):
𝑎𝑘
∞
𝑘=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯
𝑛th Partial Sum:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 𝑎𝑘
∞𝑘=1 = 𝑆, (𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛)
( 𝑆𝑛 konvergen )
{𝑆𝑛} divergen deretnya ( 𝑎𝑘∞𝑘=1 ) divergen
𝑎𝑟𝑘−1∞
𝑘=1
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯ , 𝑎 ≠ 0
𝑛th partial sum:
𝑆𝑛 − 𝑟𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 − 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
Maka
𝑆𝑛 =𝑎 − 𝑎𝑟𝑛
1 − 𝑟=𝑎
1 − 𝑟−𝑎
1 − 𝑟𝑟𝑛
Jika 𝑟 < 1 Maka lim
𝑛→∞𝑟𝑛 = 0, sehingga
lim𝑛→∞𝑆𝑛 =
𝑎
1 − 𝑟= 𝑆
Jadi deret geometri konvergen. Jika 𝑟 > 1 atau 𝑟 = −1 Maka deretnya divergen karena barisan {𝑟𝑛} divergen. Jika 𝑟 = 1 Maka 𝑆𝑛 = 𝑛𝑎, sehingga deretnya divergen karena lim𝑛→∞𝑆𝑛 =∞.
𝑎𝑛
∞
𝑛=1
konvergen → lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0
lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 atau tidak ada → 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
divergen
Proof:
Karena deret konvergen maka: 𝑆 = lim𝑛→∞𝑆𝑛. Fakta bahwa 𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 −
𝑆𝑛−1. Maka
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞𝑆𝑛 − lim
𝑛→∞𝑆𝑛−1 = 𝑆 − 𝑆 = 0
Apakah 2𝑛4
4𝑛4+𝑛2∞𝑛=1 konvergen?
Karena
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
2𝑛4
4𝑛4 + 𝑛2= lim𝑛→∞
2
4 + 1/𝑛2=1
2
maka, dengan uji suku ke-n, deretnya divergen.
1
𝑛
∞
𝑛=1
= 1 +1
2+1
3+⋯+
1
𝑛+⋯
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
1
𝑛= 0
Apakah lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 (deretnya konvergen) ?
𝑆𝑛 = 1 +1
2+1
3+1
4+1
5+⋯+
1
8+⋯+
1
𝑛
> 1 +1
2+2
4+4
8+⋯+
1
𝑛
Jadi 𝑆𝑛 divergen, sehingga deret harmonik divergen.
Please read it by yourself. See 9.2 example 7 page
458. Contoh:
1
(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
∞
𝑘=`1
= 1
(𝑘 + 2) −1
(𝑘 + 3)
∞
𝑘=1
Sn =1
3−1
4+1
4−1
5+1
5−1
6+⋯
1
𝑛 + 2−1
𝑛 + 3
=1
3−1
𝑛 + 3
lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
1
3−1
𝑛 + 3=1
3
Jika 𝑎𝑘∞𝑘=1 dan 𝑏𝑘
∞𝑘=1 keduanya konvergen,
dan 𝑐 adalah suatu konstanta, maka
𝑐𝑎𝑘∞𝑘=1 dan 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘
∞𝑘=1 konvergen.
𝑐𝑎𝑘∞𝑘=1 = 𝑐 𝑎𝑘
∞𝑘=1
𝑎𝑘 + 𝑏𝑘∞𝑘=1 = 𝑎𝑘
∞𝑘=1 + 𝑏𝑘
∞𝑘=1
𝑎𝑘∞𝑘=1 divergen 𝑐𝑎𝑘
∞𝑘=1 divergen
dan 𝑐 ≠ 0
Contoh:
1
3𝑘
∞
𝑘=1
= 1
3⋅1
𝑘
∞
𝑘=1
Suku-suku dari sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokan secara bebas.
Deret yang baru akan konvergen ke nilai yang sama.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … ; 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 ; 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑎𝑛−1) 𝑎𝑛 konvergen ke 𝐿 jika lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿
lim𝑥→∞𝑓 𝑥 = 𝐿 → lim
𝑛→∞𝑓 𝑛 = 𝐿
Teorema Apit: 𝐿 = lim
𝑛→∞𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ lim
𝑛→∞𝑐𝑛 = 𝐿
lim𝑛→∞|𝑎𝑛| = 0 ⟹ lim
𝑛→∞𝑎𝑛 = 0
Jika 𝑈 batas atas dari barisan tak turun 𝑎𝑛 ,
maka barisan tsb konvergen ke limit 𝐴 ≤ 𝑈.
𝑎𝑘∞𝑘=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ ; (deret)
𝑆1, 𝑆2 , 𝑆3 , … ; (barisan)
lim𝑛→∞𝑆𝑛 = 𝑆 𝑎𝑘
∞𝑘=1 = 𝑆, (konvergen)
𝑎𝑟𝑘−1∞𝑘=1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯ , 𝑎 ≠ 0
(deret geometri)
lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 atau tidak ada → 𝑎𝑛
∞𝑛=1 divergen
(Uji suku ke-n)
1
𝑛∞𝑛=1 = 1 +
1
2+1
3+⋯+
1
𝑛+⋯ , (Deret Harmonik)
𝑎𝑘 ≥ 0 dan 𝑆𝑛 ≤ 𝑈 ⇔ 𝑎𝑘∞𝑘=1 = 𝑆 ≤ 𝑈
Buktinya silahkan baca sendiri di buku.
Bertanyalah kalau ada yg tidak dipahami.
Misal, pada interval [1,∞), 𝑓 suatu fungsi yang kontinu,
positif,
tidak naik dan
𝑎𝑘 = 𝑓(𝑘), utk setiap bilangan bulat 𝑘. Maka
𝑓(𝑥)
∞
1
𝑑𝑥 konvergen ⟺ 𝑎𝑘
∞
𝑘=1
konvergen
1
𝑘𝑝
∞
𝑘=1
= 1 +1
2𝑝+1
3𝑝+⋯ , 𝑝 ∈ ℝ
Jika 𝑝 > 1, maka deret-𝑝 konvergen
Jika 𝑝 ≤ 1, maka deret-𝑝 divergen
Buktikan!
𝐸𝑛 = 𝑆 − 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 +⋯
Jika, pada interval [1,∞), 𝑓 suatu fungsi yang kontinu,
positif,
tidak naik dan
𝑎𝑘 = 𝑓(𝑘), utk setiap bilangan bulat 𝑘. Maka
𝐸𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 +⋯ = 𝑎𝑘
∞
𝑘=𝑛+1
< 𝑓(𝑥)
∞
𝑛
𝑑𝑥
Deret Geometri
𝑟𝑛∞
𝑛=1
konvergen jika − 1 < 𝑟 < 1
Deret-𝑝
1
𝑛𝑝
∞
𝑛=1
konvergen jika 𝑝 > 1
𝑛
5𝑛2 − 4
∞
𝑛=1
𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 atau 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛?
𝑛
2𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 atau 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛?
Misal 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 untuk 𝑛 ≥ 𝑁.
𝑏𝑛 konvergen 𝑎𝑛 konvergen
𝑎𝑛 divergen 𝑏𝑛 divergen
Proof ? Please refer to the book of Purcell..
Misal 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑏𝑛> 0, dan
lim𝑛→∞
𝑎𝑛𝑏𝑛= 𝐿.
0 < 𝐿 < ∞ 𝑎𝑛 dan 𝑏𝑛 konvergen/divergen
𝐿 = 0 & 𝑏𝑛 konvergen 𝑎𝑛 konvergen
Misal 𝑎𝑛 suatu deret positif, dan
lim𝑛→∞
𝑎𝑛+1𝑎𝑛= 𝜌.
𝜌 < 1 deretnya konvergen
𝜌 > 1 atau ∞ deretnya divergen
𝜌 = 1 tidak ada kesimpulan
Untuk menguji kekonvergenan suatu deret positif 𝑎𝑛, maka
perhatikan suku 𝑎𝑛 nya.
1. Jika lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0, maka deret divergen. (Uji Suku ke-n)
2. Jika 𝑎𝑛 mengandung bentuk 𝑛!, 𝑟𝑛, 𝑛𝑛, coba uji rasio.
3. Jika 𝑎𝑛 hanya melibatkan pangkat konstan 𝑛, coba Uji Banding Limit.
Khususnya jika 𝑎𝑛 berupa ekspresi rasional dalam 𝑛, gunakan uji ini
dengan 𝑏𝑛 sbg rasio suku2 awal dr pembilang&penyebut.
4. Jika uji2 diatas tidak berhasil, coba Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau
Uji Jumlah Terbatas.
5. Beberapa deret memerlukan manipulasi cerdik untuk menentukan
konvergensi atau divergensinya.
Deret ganti tanda
𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯
Deret harmonik ganti tanda
1 −1
2+1
3−1
4+1
5−⋯
Misal sebuah deret ganti tanda
𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯
Dengan kondisi
𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 > 0.
lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0 ⟹ deret ganti tanda konvergen
Error = |𝑆 − 𝑆𝑛| ≤ 𝑎𝑛+1
Misal kita punya suatu deret 𝑢𝑛.
𝑢𝑛 konvergen ⟹ 𝑢𝑛 konvergen
Deret 𝑢𝑛 disebut konvergen mutlak jika
|𝑢𝑛| konvergen. Dengan demikian:
𝑢𝑛 konvergen mutlak ⟹ 𝑢𝑛 konvergen
Deret 𝑢𝑛 disebut konvergen bersyarat jika
𝑢𝑛 konvergen tetapi |𝑢𝑛| divergen.
Jadi
𝑢𝑛 konvergen mutlak ⇍ 𝑢𝑛 konvergen
Misal 𝑢𝑛 dengan 𝑢𝑛 ≠ 0, dan
lim𝑛→∞
|𝑢𝑛+1|
𝑢𝑛= 𝜌
𝜌 < 1 ⟹ deretnya konvergen mutlak
𝜌 > 1 ⟹ deretnya divergen
𝜌 = 1 ⟹ tidak ada kesimpulan
Suku-suku dari suatu deret konvergen mutlak
dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi
kekonvergenan dan jumlah deretnya.
Ingat! Anda harus bisa membedakan apa yang ditulis
dibuku pada subbab ini:
𝑢𝑛
∞
𝑛=1
= −1 𝑛∞
𝑛=1
𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯
Yakni 𝑢𝑛 = −1𝑛 𝑎𝑛. Bedakan dengan di subbab
sebelumnya yang selalu ditulis 𝑎𝑛∞𝑛=1 atau 𝑏𝑛
∞𝑛=1
yang selalu positif.
Langkah mengecek kekonvergenan untuk suatu deret ganti tanda 𝑢𝑛∞𝑛=1 .
1. Cek dengan Uji Rasio Mutlak (teorema C 9.5)
a. Jika 𝜌 ≠ 1, jelas 𝑢𝑛∞𝑛=1 divergen (𝜌 > 1) atau konvergen mutlak (𝜌 < 1).
b. Jika 𝜌 = 1, lihat langkah 2.
2. Ubah 𝑢𝑛∞𝑛=1 ke deret positif |𝑢𝑛|
∞𝑛=1 .
a. Kemudian cek dengan semua uji yang kita punya untuk deret positif (subbab 9.2-9.4, lihat
rangkuman di 9.4). Termasuk uji rasio (mutlak), teorema C di 9.5.
b. Jika konvergen ( 𝑢𝑛∞𝑛=1 konvergen), maka deret 𝑢𝑛
∞𝑛=1 konvergen mutlak menurut teorema B
di 9.5.
c. Jika divergen ( 𝑢𝑛∞𝑛=1 divergen), maka harus dicek deret 𝑢𝑛
∞𝑛=1 (lihat langkah 3).
3. Cek deret ganti tanda 𝑢𝑛∞𝑛=1 .
a. Gunakan satu2nya uji kekonvergenan deret ganti tanda yaitu Uji Deret Ganti Tanda, teorema A
9.5, jika kondisinya dipenuhi. Jika tidak,
b. Gunakan Uji Suku ke-n di 9.2 untuk menunjukkan deret tsb divergen. Jika tidak,
c. Gunakan definisi di 9.2: lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑆 konvergen. Jika tidak, maka divergen.