Upload
cliquerz-javaneze
View
12.457
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
• Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsurdengan kriteria/syarat tertentu.
• Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota(elemen) S.
• Himpunan yang tidak memiliki anggota disebuthimpunan kosong, ditulis dengan notasi atau { }.
• Jika a merupakan anggota himpunan S, makadituliskan dan dibaca “a elemen S”.
• Jika a bukan anggota himpunan S, maka dituliskan
dan dibaca “a bukan elemen S”.
a S
a S
Pada umumnya, sebarang himpunan dapat
dinyatakan dengan 2 cara.
• Dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagaicontoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:
• Menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki olehseluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimilikioleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunantersebut.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A
{ bilangan bulat positif kurangdari 10}A x x
• Bilangan asli adalah salah satu sistem bilanganyang paling sederhana, anggota-anggotanyaadalah: 1, 2, 3, 4, ……
Himpunan bilangan asli diberi lambang N, jadi
N = ,1, 2, 3, 4, …………-
• Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli, negatifnya, dan bilangan nol. Bilangan bulatdiberi lambang Z, jadi
Z = ,….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…-
• Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai bentuk , di mana adan b adalah bilangan bulat dan . Bilangan Rasional diberi lambang : Q
• Contoh
Bilangan asli 6 dapat dinyatakan sebagai:
atau dan sebagainya
a
b
0b
12
2
30
5
• Ciri lain dari bilangan rasional adalah adanyadesimal berulang
• Contoh
merupakan bilangan rasional3
7
Bukti
Misal x = 0,753753753753….
1000 x = 753,753753753…
1000 x – x = 753
999 x = 753
753
999x (terbukti)
• Bilangan irrasional adalah bilangan yang bukanrasional, persisnya adalah bilangan yang tidak dapatdinyatakan sebagai bentuk a/ b di mana a dan badalah bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh
• = 3,141592653358…….. (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang)
• e = 2,71828281284590….... (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang)
• 2 = 1,4142135623…….. (desimalnya tidakberaturan/tidak berulang
• Bilangan riil adalah gabungan dari himpunanbilangan rasional dan irrasional.
• Himpunan bilangan riil dilambangkan denganR
R
Q
Z
N
Bilangan Riil
Bilangan Rasional
Bilangan Bulat
Bilangan
Asli
• Suatu garis bilangan adalah suatu penyajianbilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6
2 1,4142
2 1,4142 3,14159
2
1100
2,7182e
Gambar : Garis Bilangan
• Interval atau selang adalah suatu himpunanbagian tidak kosong dari himpunan bilanganriil R yang memenuhi suatu ketidaksamaantertentu
• Jika digambarkan pada garis bilangan (garisriil), maka interval akan berupa suatu segmengaris (ruas garis) yang batas – batasnya jelas.
• Ada dua jenis interval, yaitu interval berhinggadan interval tak berhingga.
Interval Berhingga : sebelah kiri dan kanan mempunyai batas
No Notasi
Himpunan
Notasi
Interval Grafik
1 |x a x b ,a b a b
2 |x a x b ,a b a b
3 |x a x b ,a b a b
4 |x a x b ,a b a b
Interval Tak Berhingga : salah satu sisi tidak mempunyai batas
No Notasi
Himpunan
Notasi
Interval Grafik
1 |x x a ,a a
2 |x x a [ , )a a
3 |x x b ( , )b b
4 |x x b ( , ]b b
1. 2 4x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7
2. 1,5 4,7x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7
3. 2x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7
4. 3,5x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7
5. 2 3 6x atau x
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 62 7 8-8 -7
• Peubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebaranganggota suatu himpunan.
• Jika himpunannya R maka peubahnya disebutpeubah real.
• Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataanmatematis yang memuat satu perubah ataulebih dan salah satu tanda ketidaksamaan
(<, >, , ).
• Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memilikiarti mencari seluruh bilangan real yang dapatdicapai oleh peubah-peubah yang ada dalampertidaksamaan tersebut sehinggapertidaksamaan tersebut menjadi benar.
• Himpunan semua bilangan yang demikian inidisebut penyelesaian (Himpunan Penyelesaian)
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan berikut:
A. 4x + 2 < 2x +10 F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3
B. 3x - 2 ≤ 4x + 5
C. x2 – 7x + 10 < 0 G.
D. 2x2 + x – 15 0
E. -1 < 3x – 4 < 8 H.
30
2
x
x
34
2
x
x
A. 4x + 2 < 2x +10
4x – 2x < 10 – 2
2x < 8
x < 4
Hp = { x | x < 4 }
Hp = (-∞, 4)
B. 3x - 2 ≤ 4x + 5
3x – 4x ≤ 5 + 2
-x ≤ 7
x ≥ -7
Hp = { x | x ≥ -7 }
Hp = [-7, ∞)
4 -7
C. x2 – 7x + 10 < 0 (x – 2)(x – 5) < 0
• Tentukan pembuat nol ruas kiri
x = 2 atau x = 5
• Gambarkan pada garis bilangan, sehinggaterbentuk beberapa selang (yaitu x < 2, 2 <x < 5, dan x > 5)
2 5
• Tentukan tanda pada masing – masing interval (selang) dengan cara memberikan nilai dari masing-masing interval (cukup satu wakil), misal kita ambil : x = 0; x = 3; dan x = 6.
x = 0 (x – 2)(x – 5) = (-2)(-5) = 10 > 0 (positif)
Maka pada selang x <2 beri tanda (+)
x = 3 (x – 2)(x – 5) = (1)(-2) = -2 < 0 (negatif)
Maka pada selang 2 < x < 5 beri tanda (-)
x = 6 (x – 2)(x – 5) = (4) (1) = 4 > 0 (positif)Maka apda selang x > 5 beri tanda (+)
2 5
(+) (-) (+)
• Sekarang perhatikan tanda pertidaksamaanyaitu < 0, atau negatif (-)
• Jadi himpunan penyelesaiannya adalahinterval yang bertanda (-) [negatif] yaitu
• HP = {x| 2 < x < 5} = (2,5)
2 5
D. 2x2 + x – 15 0 (2x – 5)(x + 3) 0
Pembuat nol x = -3 dan x = 5/2
• HP = {x| x -3 atau x 5/2}
= (-∞, -3] U [5/2, ∞)
-3 5/2
(+) (-) (+)
E. -1 < 3x – 4 < 8
-1 + 4 < 3x < 8 + 4
3 < 3x < 12
1 < x < 4
Hp = {x | 1 < x < 4}
= (1,4)
F. -2x + 3 ≤ x – 6 ≤ 3
(1) - 2x + 3 ≤ x – 6
- 2x – x ≤ - 6 – 3
-3x ≤ -9
-x ≤ 3
x ≥ -3
Hp1 = ,x | x ≥ -3}
= *3, ∞) 1 4
-3
(2) x – 6 ≤ 3
x ≤ 3 + 6
x ≤ 9
Hp2 = ,x | x ≤ 9-
= (-∞, 9+
Hp = Hp1 Hp2
Hp = { x |-3 ≤ x ≤ 9-
9
-3
9
-3 9
G. Penyelesaian
– Tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebutruas-ruas kiri
– Uji tanda pada setiap selang
• Pembuat nol pembilang : x = - 3
• Pembuat nol penyebut : x = 2
• HP = {x| x 3 atau x > 2} = (-,3] U (2,)
02
3
x
x
-3
(+) (-) (+)
2
H. Penyelesaian
• Ruas kanan dijadikan nol
34
2
x
x
3 34 4 0
2 2
x x
x x
4 230
2 2
xx
x x
3 4 20
2
x x
x
3 50
2
x
x
• Tentukan pembuat nol dari pembilang danpenyebut ruas ruas kiri
• Pembuat nol pembilang : x = 5/3
• Pembuat nol penyebut : x = 2
• Uji tanda pada setiap selang
• HP: {x|5/3 ≤ x < 2} = [5/3, 2)
5/3
(-)(+)
2
(-)
Definisi
Nilai mutlak Rx , ditulis dengan notasi x , didefinisikan sebagai:
2xx .
Definisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:
0,
0,
xx
xx
x
Sebagai contoh, 8)8(8 , 2
5
2
5 , 33 , dst
Jika Ryx , maka:
a. 0x 00 xx
b. . .x y x y 0, yasaly
x
y
x
c. , 0x a a x a a dan atau x a x a x a
d. 2 2x y x y
• Untuk menyelesaikan pertidaksamaan mutlakdapat dilakukan dengan:
• Menggunkan sifat nilai mutlak mutlak bagian c
a.
b.
• Menggunakan sifat nilai mutlak bagian d2 2x y x y
, 0x a a x a a
atau x a x a x a
1. | 2x – 3 | < 4 -4 < 2x – 3 < 4
-4 + 3 < 2x < 4 + 3
-1 < 2x < 7
-1/2 < x < 7/2
• HP = { x / -1/2 < x < 7/2 }
= ( - 1/2 , 7/2 )
-1/2 7/2
2. | 5x + 1 | 9 5x + 1 -9 atau 5x + 1 9
5x -10 atau 5x 8
x -2 atau x 8/5
• HP = { x / x -2 atau x 8/5 }
= (- ∞, -2]U[ 8/5, ∞)
-2 8/5
3. |2x – 1| > |x + 4|
(2x – 1)2 > (x + 4)2
4x2 – 4x + 1 > x2 + 8x + 16
(4x2 – x2) + (-4x – 8x) + (1 – 16) > 0
3x2 – 12x – 15 > 0
(3x + 3)(x – 5 )> 0
Hp = {x | x < -1 U x > 5}
= (- ∞, -1) U (5, ∞)
-1
(+)
5
(-)(+)
Cara lain: a2 – b2 = (a + b)(a – b)
(2x – 1)2 > (x + 4)2
(2x – 1)2 - (x + 4)2 > 0
((2x – 1)+(x + 4)) ((2x – 1)-(x + 4)) > 0
(3x + 3)(x – 5 )> 0
Hp = {x | x < -1 U x > 5}
= (- ∞, -1) U (5, ∞)
-1
(+)
5
(-)(+)
• Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan berikut
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.
2 2 4 6x
2 1 5 3x
2 10
2
x
x
2 4 6 7 3 6x x x
2 13
2
x
x
2 2 3 0x x 2 3 4 0x x
2 5 3x
25 1
3
x
2 3 6x x