BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Constraint Satisfaction Problem

2.1.1 Pengertian Dasar

Constraint adalah batasan dalam pengertian yang paling sederhana. Dalam kehidupan

sehari-hari, mungkin sering didengar kalimat seperti berikut: pekerjaan itu harus selesai

sebelum jam 10 malam, seorang guru cuma dapat mengajar maksimal tiga kelas dalam

sehari, persegi panjang harus berada di sebelah kiri dari lingkaran. Seseorang dapat mela-

kukan apa saja dalam hal ini kecuali melanggar constraint, misalnya dia dapat menggeser

persegi panjang ke mana saja sepanjang persegi panjang itu ada di sebelah kiri lingkar-

an, dia dapat mengajar kelas sebanyak mungkin asal jangan lebih dari tiga untuk hari apa

saja, dia dapat menyelesaikan pekerjaan kapan saja asal sebelum jam 10 malam. Dari ke-

hidupan sehari-hari ini definisi constraint dibuat sedikit lebih ilmiah. Constraint adalah

relasi logis di antara beberapa variabel, yang masing-masing mengambil sebuah nilai da-

lam sebuah domain. Jadi constraint itu membatasi nilai yang dapat diambil oleh variabel

tersebut. Dalam contoh guru mengajar kelas sebanyak mungkin asal jangan lebih dari ti-

ga untuk hari apa saja, variabelnya adalah jumlah kelas yang diambil guru, domain-nya

adalah bilangan asli, batasannya adalah variabel yang bersangkutan tidak boleh lebih dari

tiga.

Constraint sering digunakan dalam percakapan sehari-hari jika dilihat definisi paragraf

di atas. Umumnya orang jarang menyelesaikan masalah dengan satu constraint seperti

dalam contoh di atas, tetapi masalah-masalah yang ada biasanya disertai dengan koleksi

constraint yang jarang berkaitan. Hal ini tentu saja memperumit masalah. Sebelumnya

penyebutan masalah dengan constraint ini distandarkan. Komunitas internasional mem-

beri nama constraint satisfaction problem kepada masalah dengan constraint ini. Masa-

lah optimalisasi penjadwalan pekerjaan termasuk constraint satisfaction problem, tepat-

7

nya constraint satisfaction optimization problem. Perbedaan constraint satisfaction pro-

blem dengan constraint satisfaction optimization problem akan dibahas nantinya. Dari sini

juga dapat diambil pengertian dari penyelesaian terhadap constraint satisfaction problem.

Penyelesaian dari constraint satisfaction problem adalah pemberian nilai terhadap semua

variabel dari domain masing-masing variabel yang berkaitan di mana semua constraint di-

penuhi. Dalam contoh guru mengajar kelas sebanyak mungkin asal jangan lebih dari tiga

untuk hari apa saja, penyelesaian dari constraint satisfaction problem ini adalah variabel

yang bersangkutan (jumlah kelas yang diambil guru) mendapat nilai 1 atau 2 atau 3 karena

nilai 1 atau 2 atau 3 berada pada domain variabel itu (bilangan asli) dan tidak melanggar

constraint (tidak boleh lebih dari tiga).

Untuk menyelesaikan masalah constraint satisfaction problem, diperlukan constraint

programming. Constraint programming adalah pembelajaran sistem komputasi berdasar-

kan constraint. Ide utama dari constraint programming ini adalah menyelesaikan masalah

dengan menyatakan constraint (kondisi, sifat, kebutuhan) yang harus dipenuhi oleh solusi.

Dengan kata lain, constraint programming adalah pendekatan alternatif terhadap pemro-

graman yang berisikan permodelan suatu masalah sebagai himpunan kebutuhan (constra-

int) yang berurutan diselesaikan metode umum ataupun spesifik untuk domain (Krzysztof

Apt, 2005, p1).

2.1.2 Definisi Formal Constraint Satisfaction Problem

Berikut adalah definisi formal dari hal-hal yang berhubungan dengan constraint satisfac-

tion problem.

Definisi 1.

Sebuah Domain berisikan nilai yang dapat diambil oleh sebuah variabel. Sebuah

domain itu bersifat khusus untuk sebuah variabel. Jadi masing-masing variabel itu

memiliki domain-nya masing-masing. Kesepakatan umum memberi huruf kapital

D untuk menyebut domain. Berikut adalah contoh untuk domain dari variabel x.

(nilai x) ∈ Dx

8

Domain dalam constraint satisfaction problem seringnya memiliki anggota bilangan

bulat. Anggota sebuah domain boleh saja bukan numerik. Hal yang dapat menjadi anggota

dari sebuah domain adalah simbol. Contoh anggota domain yang bukan numerik adalah

nama bulan dalam satu tahun. Anggota domain-nya adalah Januari, Februari, Maret, April,

Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember.

Definisi 2.

Sebuah label adalah pemberian nilai dari domain sebuah variabel ke variabel itu.

Jika ingin memberi nilai v ke variabel x digunakan notasi <x,v>. Tentunya v ∈ Dx.

Definisi 3.

Kumpulan label adalah tupel dari label. Kumpulan label digunakan untuk menya-

takan pemberian nilai-nilai ke variabel yang jumlahnya lebih dari satu. Digunakan

notasi tupel (<x1, v1><x2, v2>. . .<xn, vn>) untuk menyatakan kumpulan label dari

pemberian v1, v2, . . . , vn pada x1, x2, . . . , xn.

Karena kumpulan label adalah tupel, urutan dari label pada representasi ini menjadi

tidak signifikan. Dengan kata lain, (<x, a><y, b><z, c>) dianggap sama seperti kumpulan

label (<y, b><x, a><z, c>), (<z, c><x, a><y, b>), dan lain-lain. Di samping itu, adalah

penting untuk mengingat bahwa tupel tidak memiliki anggota yang sama.

Sebuah constraint pada sebuah himpunan variabel membatasi nilai yang dapat diambil

secara bersamaan. Menurut konsep, sebuah constraint dapat dilihat sebagai sebuah him-

punan yang memiliki semua kumpulan label yang valid pada variabel yang bersangkutan

(Edward Tsang, 1996, p7). Walaupun begitu, pada kenyataannya di lapangan, constra-

int dapat dinyatakan dengan banyak cara, contohnya, fungsi, pertidaksamaan, matriks,

dan lain-lain.

Definisi 4.

9

Sebuah constraint menurut konsep adalah sebuah himpunan kumpulan label pada

variabel yang berkaitan. Digunakan Cs untuk menyatakan constraint pada himpun-

an variabel S.

Bila ada masalah, solusi tentu ingin dicari. Dalam constraint satisfaction problem,

sebelum solusi constraint satisfaction problem secara matematika dibahas, akan dibahas

pengertian pemenuhan constraint. Sebenarnya pemenuhan constraint adalah relasi binari

antara sebuah label atau sebuah kumpulan label dengan sebuah constraint.

Definisi 5.

Jika variabel-variabel dari kumpulan label X adalah sama dengan variabel-variabel

dari elemen kumpulan label pada constraint C, maka X memenuhi-constraint C

jika dan hanya jika X adalah elemen dari C:

memenuhi-constraint( (<x1, v1><x2, v2>. . . <xk, vk>), Cx1,x2,...,xk) ≡

(<x1, v1><x2, v2>. . . <xk, vk>) ∈ Cx1,x2,...,xk

Memenuhi constraint juga didefinisikan antara label dan constraint unari.

Definisi 6.

memenuhi-constraint(<x, v>, Cx) ≡ (<x, v>) ∈ Cx

Jika dikatakan kumpulan label L memenuhi constraint C, itu artinya jika C adalah se-

buah constraint pada variabel x1, x2, . . . , xk atau subset-nya, maka label pada variabel itu

dalam L adalah valid sepanjang C dipenuhi. Untuk contohnya, (<a, 1><b, 2><c, 3><d, 4>)

memenuhi constraint Cc,d jika dan hanya jika (<c, 3><d, 4>) adalah anggota Cc,d:

Cc,d = . . ., (<c, 3><d, 4>), . . .

Setelah berbagai hal yang merupakan bagian dari constraint satisfaction problem itu

sudah didefinisikan, pekerjaan mendefinisikan constraint satisfaction problem itu menjadi

10

mudah. Sebelumnya untuk menyegarkan ingatan, dalam bahasa umum constraint satis-

faction problem adalah sebuah masalah dengan sebuah himpunan variabel dengan jumlah

berhingga, masing-masing diasosiasikan dengan sebuah domain dengan jumlah anggota

berhingga juga, dan sebuah himpunan constraint yang membatasi nilai yang dapat di-

ambil oleh variabel-variabel ini secara bersamaan. Berikut diberikan definisi formal dari

constraint satisfaction problem.

Definisi 7.

Sebuah constraint satisfaction problem adalah sebuah himpunan dengan tiga vari-

abel:

(Z,D, C)

di mana Z = sebuah himpunan dari variabel-variabel dengan jumlah berhingga

x1, x2, . . . , xn;

D = sebuah fungsi yang memetakan setiap variabel pada Z ke sebuah himpunan

dari objek-objek:

D : Z → himpunan objek-objek dengan jumlah berhingga (jenis apa pun). Di-

sebut Dxisebagai himpunan dari objek-objek yang dipetakan dari xi oleh D.

Objek-objek ini adalah nilai-nilai yang mungkin bagi xi dan himpunan Dxi

sebagai domain xi;

C = sebuah himpunan constraint yang berhingga (yang memiliki kemungkinan ko-

song) atas sebuah subset variabel-variabel di Z. Dengan kata lain, C adalah se-

buah himpunan atas kumpulan label.

Digunakan csp(P) untuk menyatakan P adalah constraint satisfaction problem.

Cx1,x2,...,xkmembatasi himpunan kumpulan label yang x1, x2, . . . , dan xk yang dapat

diambil secara bersamaan. Sebagai contoh, jika variabel x hanya dapat mengambil nilai

a, b dan c, maka ditulis Cx = (<x, a>), (<x, b>), (<x, c>). Perhatikan perbedaan antara

11

Cx dan Dx: Cx adalah sebuah himpunan kumpulan label sementara Dx adalah sebuah

himpunan nilai. Nilai x yang mungkin juga harus memenuhi constraint selain Cx. Hal

itu berarti walaupun <x, a> memenuhi Cx, a mungkin bukan nilai yang valid bagi x un-

tuk keseluruhan masalah. Untuk mendapatkan label yang valid, <x, a> mesti memenuhi

semua constraint yang mengandung constraint x, contohnya Cx,y, Cx,y,z, dan lain-lain.

Berikut adalah pengertian matematika dari solusi atas constraint satisfaction problem.

Definisi 8.

Sebuah tupel solusi atas sebuah constraint satisfaction problem adalah kumpulan

label yang semua anggotanya memenuhi semua constraint:

∀csp((Z,D, C)): ∀x1, x2, . . . , xn ∈ Z:

∀v1 ∈ Dx1 , v2 ∈ Dx2 , . . . , vn ∈ Dxn:

tupel solusi((<x1, v1> <x2, v2> . . . <xn, vn>), (Z,D, C)) ≡

((Z = x1, x2, . . . , xn) ∧

(∀C ∈ C: memenuhi-constraint((<x1, v1> <x2, v2> . . . <xn, vn>), C)))

Sebuah constraint satisfaction problem disebut memiliki penyelesaian jika memiliki

tupel solusi. Tergantung dari kebutuhan aplikasinya, constraint satisfaction problem dapat

dikategorikan menjadi beberapa kategori sebagai berikut.

1. Constraint satisfaction problem di mana yang dicari adalah solusi yang mana saja.

2. Constraint satisfaction problem di mana yang dicari adalah semua solusi.

3. Constraint satisfaction problem di mana yang dicari adalah solusi yang optimal, di

mana optimal itu didefinisikan menurut kebutuhan pengguna.

2.2 Pencarian Sistematis

2.2.1 Generate and Test

Sebenarnya siapa pun dapat menyelesaikan constraint satisfaction problem yang mana

pun. Caranya gampang sekali. Mencoba semua kombinasi nilai ke variabel-variabel yang

12

ada. Cari ini dijamin dapat memperoleh sebuah solusi, jika ada, atau membuktikan bahwa

masalah ini tidak bisa dipecahkan. Oleh karena itu, algoritma ini dipastikan dapat mencari

semua solusi dengan lengkap. Untuk constraint satisfaction problem yang sederhana tentu

saja ini tidak menjadi masalah. Tetapi constraint satisfaction problem adalah masalah NP-

hard. Artinya seiring dengan meningkatnya jumlah variabel pada constraint satisfaction

problem, jumlah kombinasi yang harus dicoba meningkat secara kuadrat. Menghabis-

kan waktu yang sangat lama untuk mencoba semua kombinasi bahkan walaupun dibantu

komputer dengan spesifikasi yang canggih dalam menghitungnya. Jadi kebanyakan waktu

dalam riset constraint programming dihabiskan dalam mencari algoritma pencarian yang

efisien. Dari riset ini muncul beberapa algoritma pencarian sistematis. Algoritma generate

and test memang tidak efisien tapi algoritma ini menjadi dasar dari pengembangan algori-

tma pencarian sistematis lainnya. Oleh karena itu, untuk memahami algoritma pencarian

sistematis lainnya, perlu dipahami terlebih dahulu algoritma generate and test.

Sebelum algoritma generate and test ini dibahas, ada baiknya pencarian kombinasi ni-

lai ke variabel-variabel itu divisualisasikan ke dalam bentuk pohon. Visualisasi pencarian

kombinasi nilai bagi variabel-variabel akan memudahkan pemahaman algoritma pencarian

sistematis yang mana pun dalam constraint programming.

Misalnya ada constraint satisfaction problem sebagai berikut. Constraint satisfaction

problem ini terdiri dari tiga variabel, a, b, dan c. Da untuk constraint satisfaction pro-

blem ini adalah {1, 2, 3} sedangkan Db-nya {1, 2} dan Dc-nya {1, 2}. Dalam gambar

2.2, pencarian solusinya mulai dari variabel a. Karena jumlah anggota Da adalah 3 maka

ada 3 jalan dari titik yang paling atas (solusinya mulai dicari dari variabel a). Titik yang

ditandai dengan ∗ mewakili status pencarian. Artinya dalam konteks gambar ini adalah

diputuskan (setidaknya untuk sementara) untuk memberi nilai 1 ke variabel a dan sedang

mempertimbangkan nilai apakah yang akan diberikan ke variabel b.

Algoritma generate and test dapat dibayangkan sebagai algoritma depth-first search

yang paling dasar. Dalam konteks gambar pohon ini, algoritmanya dimulai dengan nilai a

paling kiri yaitu 1, kemudian nilai b paling kiri yaitu 1, kemudian nilai c paling kiri yaitu 1.

13

Gambar 2.1: Ruang pencarian untuk csp(Z,D, C) dengan urutan (a, b, c) di mana Z ={a, b, c}, Da = {1, 2, 3}, Db = {1, 2}, dan Dc = {1, 2}

Setelah semua variabel diberi nilai, barulah algoritma ini menguji apakah kombinasi nilai

ini memenuhi semua constraint yang ada. Jika tidak, dicoba nilai variabel yang terakhir

kali diberi nilai (c) yang lain, yaitu 2 . Ujilah lagi. Jika tidak, karena semua nilai untuk

variabel c untuk kumpulan label (<a, 1><b, 1>) sudah dicoba, maka dicoba nilai untuk

variabel b berikutnya. Begitu seterusnya. Jumlah kombinasi yang dicoba oleh algoritma

ini sama dengan ukuran produk Cartesian semua domain variabel.

Seperti yang sudah dijelaskan, algoritma generate and test ini sangat tidak efisien ka-

rena algoritma ini menghasilkan banyak pemberian nilai ke variabel-variabel yang ditolak

pada fase uji coba. Sebagai tambahan, generator seakan-akan tidak peduli dengan pembe-

rian nilai yang memiliki konflik dan terus memberikan nilai yang lain tanpa memandang

konflik. Singkatnya, algoritma ini merupakan generator yang buta. Dapat dipastikan algo-

ritma ini tidak berguna pada hampir semua masalah constraint satisfaction problem kare-

na kebanyakan masalah constraint satisfaction problem bersifat eksponensial. Contohnya

pada masalah pewarnaan tiga warna pada n verteks. Ada 3n kemungkinan pewarnaan.

Untuk n lebih besar daripada 20, mengiterasi semua kemungkinan berada di luar jangkau-

14

an (Brian Hayes, 2003, p13). Ada yang dapat dilakukan untuk meningkatkan pendekatan

algoritma ini.

2.2.2 Backtracking

Algoritma ini adalah algoritma yang paling umum dan paling banyak dipakai dalam

aplikasi penghitungan untuk constraint satisfaction problem. Pada dasarnya back-

tracking secara perlahan-lahan mencoba mengembangkan kumpulan label yang ma-

sih belum lengkap untuk beberapa variabel, menuju ke kumpulan label yang leng-

kap, dengan secara berulang-ulang memilih nilai bagi variabel yang lain yang kon-

sisten dengan solusi yang masih belum lengkap ini. Algoritma backtracking ada-

lah pendekatan brute-force yang sudah diperbaiki, yang secara sistematik mencari se-

buah solusi atas sebuah masalah di antara semua pilihan yang ada (Eitan Gurari,

http://www.cse.ohio-state.edu/˜gurari/course/cis680/cis680Ch19.html, 1999).

Berikut ini adalah alur algoritma ini. Variabel yang diperiksa sekarang diberi nilai

tertentu. Label ini diperiksa kecocokannya dengan semua label yang sudah masuk dalam

tupel solusi. Jika label ini tidak cocok dengan label-label yang sudah ada di tupel solusi,

maka label ini akan ditolak, dan label yang lain akan dicoba. Pada kasus di mana semua

label sudah ditolak, label yang masuk ke tupel solusi terakhir kalinya dianggap tidak co-

cok lagi, dan ditolak. Memeriksa label yang masuk ke tupel solusi terakhir kali disebut

backtrack. Proses ini berlanjut sampai semua variabel sudah diberi label atau tidak ada la-

gi label yang bisa di-backtrack, yakni dalam hal semua label untuk variabel pertama sudah

ditolak. Pada kasus terakhir ini, constraint satisfaction problem dianggap tidak memiliki

penyelesaian.

Pada backtracking ini, tidak ada usaha untuk menggunakan constraint selain pada saat

memeriksa kekonsistenan label untuk variabel yang sedang diperiksa dengan kumpulan

label yang sudah ada di dalam tupel solusi. Proses ini adalah pencarian yang sangat me-

lelahkan di mana secara sistematis dieksplorasi seluruh ruang pencarian. Proses ini sama

dengan generate and test, bersifat lengkap dan semua hasil yang didapatkannya memenuhi

15

constraint. Tidak ada usaha untuk mengurangi sebagian ruang pencarian.

Contoh berikut akan memperjelas algoritma backtracking dan perbedaannya dengan

generate and test. Ada sebuah constraint satisfaction problem yang terdiri dari 3 variabel,

yaitu a dengan Da = {1, 2, 3, 4}, b dengan Db = {1, 2, 3, 4}, dan c dengan Dc = {4, 5, 6}.

Constraint-nya adalah Ca,b = a < b dan Ca,b,c = a + b = c. Pencarian solusi dimulai

dari variabel a. Diberikan nilai 1 untuk a. Pada saat ini label <a, 1> akan diperiksa apa-

kah melanggar constraint yang ada. Tapi karena tidak ada constraint unari untuk a maka

pencarian bergerak ke tingkat yang lebih dalam, yaitu tingkat di mana variabel b berada. b

diberi nilai 1. Pada saat ini label <b, 1> diperiksa apakah konsisten dengan kumpulan label

yang sudah ada dalam tupel solusi (<a, 1>) dan constraint unari untuk b jika ada. Label

<b, 1> tidak konsisten dengan kumpulan label (<a, 1>) karena melanggar constraint Ca,b.

Maka dicari nilai yang lain untuk b, yaitu 2. Seperti biasa label <b, 2> ini akan diperiksa

apakah konsisten dengan kumpulan label (<a, 1>). Hasilnya adalah konsisten. Pencarian

pun bergerak ke tingkat yang paling dalam, yaitu tingkat di mana variabel c berada. c

diberi nilai, yaitu 4. Pada saat ini label <c, 4> akan diperiksa apakah konsisten dengan

kumpulan label (<a, 1>,<b, 2>). Ternyata tidak karena melanggar constraint Ca,b,c. Ma-

ka diberikan nilai yang lain untuk c. Dapat dilihat tidak ada satu pun nilai dari Dc yang

konsisten dengan kumpulan label (<a, 1>,<b, 2>). Maka pencarian melakukan backtrack

seperti yang terlihat pada gambar 2.3. Label terakhir dari kumpulan label (<a, 1>,<b, 2>)

yaitu <b, 2> ditolak dan nilai yang lain diberikan untuk b. Dapat dilihat perbedaan back-

tracking dengan generate and test di mana pencarian dengan metode generate and test

memberi nilai ke semua variabel terlebih dahulu sebelum memeriksa apakah pemberian

nilai ini memenuhi constraint atau tidak. Sementara itu pencarian dengan metode back-

tracking memeriksa apakah pemberian nilai itu memenuhi constraint yang ada pada saat

setiap variabel diberi nilai.

16

Gambar 2.2: Contoh constraint satisfaction problem di mana terjadi backtrack

2.3 Konsistensi Constraint

2.3.1 Pengertian Dasar

Nama lain konsistensi constraint adalah problem reduction. Intinya adalah berusaha meng-

urangi masalah dengan harapan masalah yang bersangkutan menjadi lebih mudah dise-

lesaikan. Sekarang ini sudah diketahui teknik konsistensi ini sangat penting dalam pe-

nyelesaian constraint satisfaction problem yang berat sehingga semua aplikasi komersial

penyelesaian constraint satisfaction problem menggunakan teknik konsistensi ini seba-

gai langkah dasar (Christian Bessière; Jean-Charles Régin, 2001, p1). Sejarah konsistensi

constraint dapat ditelusuri dari peningkatan efisiensi program pengenalan gambar oleh pe-

neliti di intelejensi semu. Pengenalan gambar melibatkan pemberian label kepada semua

garis pada gambar dengan cara yang konsisten. Jumlah kombinasi pemberian label pada

garis yang memungkinkan dapat menjadi sangat besar, sementara hanya sedikit yang kon-

sisten. Teknik konsistensi dengan efektif membuang semua pemberian nilai yang tidak

konsisten pada tahap awal. Dengan demikian memperpendek pencarian untuk pemberian

nilai yang konsisten.

Untuk mengilustrasikan teknik konsistensi ini akan diberikan sebuah contoh constraint

17

Gambar 2.3: Graf menggambarkan constraint

satisfaction problem yang sangat sederhana. Anggap A < B adalah constraint antara

variabel A dengan domain DA = {3..7} dan variabel B dengan domain DB = {1..5}.

Dengan jelas tampak bahwa untuk sebagian nilai pada DA tidak ada nilai yang konsisten

di DB yang memenuhi constraint A < B dan sebaliknya. Nilai yang demikian dapat

dibuang dari domain yang berkaitan tanpa kehilangan solusi apa pun. Reduksi itu aman.

Didapatkan domain yang tereduksi DA = {3, 4} dan DB = {4, 5}.

Perhatikan bahwa reduksi ini tidak membuang semua pasangan yang tidak konsisten.

Sebagai contoh kumpulan label (<A, 4>,<B, 4>) masih dapat dihasilkan dari domain, te-

tapi untuk setiap nilai A dari DA adalah mungkin untuk mencari nilai B yang konsisten

dan sebaliknya.

Walaupun teknik konsistensi ini jarang digunakan sendirian untuk menghasilkan solusi

(walaupun dapat), teknik konsistensi ini membantu menyelesaikan constraint satisfaction

problem dalam beberapa cara. Teknik konsistensi ini dapat dipakai sebelum pencarian

maupun pada saat pencarian.

Constraint sering direpresentasikan dengan gambar graf (gambar 2.4) di mana setiap

verteks mewakili variabel dan busur antar dua verteks mewakili constraint binari yang

mengikat variabel-variabel yang dihubungkan dengan busur tersebut. Constraint unari

diwakilkan dengan busur melingkar.

2.3.2 Konsistensi Verteks

Teknik konsistensi yang paling sederhana adalah konsistensi verteks.

18

Definisi 9.

Sebuah constraint satisfaction problem adalah konsisten secara verteks jika dan ha-

nya jika untuk semua variabel semua nilai di domain-nya memenuhi constraint unari

untuk variabel yang bersangkutan.

∀csp((Z,D, C)) :

konsisten-verteks((Z,D, C)) ≡

(∀x ∈ Z : (∀v ∈ Dx : memenuhi-constraint(<x, v>, Cx)))

Konsistensi verteks sering disebut juga dengan konsistensi-1. Angka 1 ini mewakili

constraint unari yang harus dipenuhi oleh semua variabel.

Jika domain DX untuk variabel X memiliki nilai a yang tidak memenuhi constra-

int unari untuk variabel X , maka pemberian nilai a ke X akan mengakibatkan kegagalan

langsung. Oleh karena itu ketidakkonsistenan secara verteks dapat dihapuskan dengan

membuang semua nilai dari domain DX untuk variabel X yang tidak memenuhi constra-

int unari pada X (Roman Barták, 2005, p15).

2.3.3 Konsistensi Busur

Jika constraint satisfaction problem yang ada sudah menjadi konsisten secara verteks, ma-

ka constraint unari dapat dihapus. Setelah konsisten secara verteks, maka pekerjaan yang

tersisa adalah memastikan konsisten secara busur. Busur melambangkan constraint binari.

Dua variabel dikatakan konsisten secara busur jika untuk setiap nilai dari domain variabel

pertama dapat ditemukan nilai dari domain variabel kedua dan label ini memenuhi con-

straint untuk kedua variabel tersebut.

Definisi 10.

Pasangan variabel (x, y) sebuah csp(Z,D, C) adalah konsisten secara busur jika dan

19

hanya jika setiap nilai a di domain x yang memenuhi constraint pada x, ada nilai

dari domain y yang memenuhi constraint pada y dan konsisten dengan label <x, a>:

∀csp((Z,D, C)) : ∀x, y ∈ Z :

konsisten-busur((x, y), (Z,D, C)) ≡

(∀a ∈ Dx : memenuhi-constraint((<x, a>, Cx)⇒

∃b ∈ Dy : (memenuhi-constraint((<y, b>), Cy)) ∧

memenuhi-constraint((<x, a>, <y, b>, Cx,y)))

Dari definisi, jelas bahwa busur (Vi, Vj) dapat dibuat konsisten dengan menghapus

nilai-nilai di domain dari Vi di mana tidak ada nilai yang berkaitan di domain Dj sehing-

ga constraint binari antara Vi dan Vj dipenuhi (perhatikan bahwa menghapus nilai-nilai

tersebut tidak menghapus solusi yang mana pun dari constraint satisfaction problem yang

bersangkutan).

Sebuah constraint satisfaction problem dikatakan konsisten secara busur jika setiap

nilai pada setiap domain memiliki dukungan di domain yang lain. Membuat masalah

constraint satisfaction problem konsisten secara verteks sering dilakukan di tahap pra-

pemrosesan: mengurangi ukuran beberapa domain biasanya membuat masalah menjadi

lebih mudah dipecahkan (Barbara M. Smith, 1995, p5). Untuk membuat setiap busur dari

graf constraint konsisten, atau dengan kata lain untuk membuat suatu constraint satisfac-

tion problem konsisten secara busur, adalah tidak cukup untuk melakukan penghapusan

nilai-nilai yang tidak konsisten secara busur untuk suatu variabel di domain hanya sekali

saja. Ketika domain dari Vi sudah dikurangi anggotanya, maka setiap busur (Vi, Vj) yang

sudah pernah diotak-atik harus diperiksa lagi, karena beberapa anggota dari domain untuk

Vi mungkin tidak konsisten lagi dengan anggota domain variabel-variabel yang diperiksa

kekonsistenannya secara busur terhadap variabel Vi. Untuk mengatasi masalah ini, di-

kembangkan algoritma AC-1 yang pada dasarnya mengulang pemeriksaan kekonsistenan

antara dua variabel terus-menerus sampai tidak ada domain mana pun yang berubah. Ber-

ikut adalah dari algoritma AC-1. REVISI adalah algoritma biasa yang mengkonsistenkan

dua variabel secara busur.

20

Algoritma AC-1prosedur AC-1(G)

Q <- (Vi,Vj) di busur(G), i#julang

UBAH <- salahuntuk setiap busur(Vi,Vj) di Q lakukan

UBAH <- REVISI(Vi,Vj) atau UBAHakhir untuk

sampai bukan (UBAH)akhir prosedur AC-1

Dapat diperhatikan bahwa untuk menerapkan teknik konsistensi busur ini, constra-

int satisfaction problem yang ada diubah menjadi constraint satisfaction problem binari

(constraint satisfaction problem yang semua constraint-nya binari atau unari). Jika ada

constraint yang melibatkan tiga variabel atau lebih, constraint yang bersangkutan mesti

dipisahkan menjadi beberapa constraint binari atau unari.

Kekurangan dari algoritma ini adalah tidak begitu efisien karena setiap revisi sukses

dari satu busur pada suatu iterasi memaksa semua busur untuk direvisi lagi pada itera-

si berikutnya, walaupun hanya sebagian kecil dari mereka yang dipengaruhi oleh revisi

ini. Kekurangan dari algoritma AC-1 ditutupi oleh algoritma AC-3 yang melakukan revisi

kembali hanya bagi busur-busur yang memiliki kemungkinan dipengaruhi oleh revisi se-

belumnya.

Algoritma AC-3prosedur AC-3(G)

Q <- (Vi,Vj) pada busur(G), i#jketika Q tidak kosong lakukan

pilih dan hapus busur (Vk,Vm) dari Qjika REVISI(Vk,Vm) maka

Q <- Q bergabung {(Vi,Vk) bilamana (Vi,Vk) di busur(G),i#k, i#m}

akhir jikaakhir ketika

akhir prosedur AC-3

21

Gambar 2.4: Graf constraint yang konsisten secara busur tetapi tidak mempunyai solusi

Ketika algoritma AC-3 merevisi busur untuk kedua kalinya, algoritma ini menguji pa-

sangan nilai yang sudah diketahui (dari iterasi sebelumnya) apakah konsisten atau tidak

konsisten dan mana yang tidak terpengaruhi oleh reduksi domain. Ide utama dari algo-

ritma AC-3 berdasarkan konsep dukungan. Nilai didukung jika ada nilai yang cocok di

domain setiap variabel lainnya. Ketika sebuah nilai V dibuang dari domain variabel X ,

adalah tidak perlu untuk memeriksa semua constraint binari CY,X . Tepatnya, nilai-nilai

dalam DY dapat diabaikan jika tidak memerlukan V untuk dukungan.

Walaupun sudah mencapai tahap konsisten secara busur yang mengakibatkan banyak

ketidakkonsistenan dibuang dari graf constraint , tidaklah cukup untuk mendapatkan so-

lusi. Jika ukuran domain masing-masing variabel menjadi satu, maka constraint satis-

faction problem tepat mempunyai satu solusi yang didapatkan dengan memberikan nilai

ke masing-masing variabel dari domain masing-masing. Hal ini berlaku juga untuk kon-

sistensi verteks. Jika ada domain yang menjadi kosong, maka constraint satisfaction pro-

blem-nya tidak mempunyai solusi. Lain daripada itu, solusinya tidak pasti. Contoh berikut

(gambar 2.5) menunjukkan bahwa graf constraint konsisten secara busur tetapi tidak ada

satu pun label yang memenuhi semua constraint.

2.4 Optimalisasi Dalam Constraint Satisfaction Problem

2.4.1 Pengertian Dasar

Pada bagian sebelumnya, sudah dibahas teknik-teknik untuk menyelesaikan constraint

satisfaction problem di mana semua solusinya sama baiknya. Pada permasalahan seperti

optimalisasi penjadwalan pekerjaan di industri, beberapa solusi adalah lebih baik daripada

22

solusi lainnya. Pada kasus lainnya, pemberian nilai kepada variabel-variabel yang sama

mengakibatkan harga yang berbeda. Tugas dari permasalahan ini adalah untuk mencari

solusi yang paling optimal di mana keoptimalan suatu solusi itu didefinisikan oleh fungsi

yang spesifik untuk aplikasi. Masalah ini biasa disebut sebagai constraint satisfaction

optimization problem untuk membedakan dengan constraint satisfaction problem biasa.

Semua masalah optimalisasi yang dipelajari di riset operasional adalah constraint sa-

tisfaction problem pada pengertian umum, di mana constraint umumnya adalah numerik.

Definisi 11.

Sebuah constraint satisfaction optimization problem didefinisikan sebagai constra-

int satisfaction problem dengan fungsi optimalisasi f yang memetakan setiap tupel

solusi ke sebuah nilai numerik:

(Z,D, C, f)

di mana (Z,D, C, f) adalah constraint satisfaction problem, dan jika S adalah him-

punan tupel solusi dari (Z,D, C), maka

f : S → nilai numerik

Diberikan sebuah tupel solusi T , f(T ) disebut sebagai nilai f dari T .

Tugas dalam constraint satisfaction optimization problem adalah untuk mencari tupel

solusi nilai f yang optimal (minimal atau maksimal) yang ditentukan oleh fungsi f op-

timalisasi yang spesifik untuk aplikasi. Constraint yang umum disebut hard constraints,

sementara fungsi f disebut soft constraints. Penamaan ini menggambarkan bahwa hard

constraints harus dipenuhi, sementara soft constraints memiliki preferensi terhadap bebe-

rapa solusi (yang mempunyai nilai tinggi/rendah) dari yang lainnya (yang mempunyai nilai

lebih rendah/lebih tinggi) (Anonim, http://en.wikipedia.org/wiki/Constraint_optimization,

2006).

Masalah alokasi sumber daya di penjadwalan adalah constraint satisfaction optimi-

zation problem. Pada banyak masalah penjadwalan, mencari solusi yang mana pun ti-

daklah cukup baik. Seseorang mungkin ingin mencari cara yang paling ekonomis da-

lam mengalokasikan sumber daya ke pekerjaan-pekerjaan, atau mengalokasi mesin ke

23

pekerjaan-pekerjaan, memaksimalkan beberapa kualitas yang bisa diukur dari hasil ke-

luaran. Masalah-masalah ini adalah constraint satisfaction optimization problem.

Untuk mencari solusi yang paling optimal, seseorang mungkin harus mencari semua

solusi terlebih dahulu, dan kemudian membandingkan nilai f mereka. Sebagian dari ru-

ang pencarian dapat dipotong jika seseorang dapat membuktikan bahwa solusi yang lebih

optimal dari solusi sebelumnya tidak berada di dalamnya. Hal ini berarti tidak ada solusi

yang berada di dalamnya atau nilai f pada setiap solusi di ruang pencarian yang dipotong

itu tidak lebih optimal dari solusi yang sudah didapatkan (sub-optimal).

2.4.2 Branch and Bound

Untuk menyelesaikan masalah constraint satisfaction optimization problem, digunakan

fungsi f untuk memandu pencarian. Branch and bound, yang merupakan algoritma pen-

carian umum dalam pencarian solusi optimal, menggunakan fungsi f . Di sini tetap digu-

nakan tupel solusi untuk menyebut kumpulan label yang memberikan nilai kepada semua

variabel yang memenuhi constraint. Perlu diperhatikan bahwa tupel solusi di sini tidak

harus mengacu kepada solusi optimal pada constraint satisfaction optimization problem.

Branch and bound adalah teknik yang terkenal pada riset operasi dan intelejensi semu.

Teknik ini didasarkan pada fungsi heuristik yang baik dalam memperkirakan nilai terbaik

(’terbaik’ menurut fungsi optimalisasi) pada semua verteks di bawah cabang yang sedang

diperiksa pada pohon pencarian (Edward Tsang, 1996, p301). Jika fungsi heuristiknya

bagus, seseorang dapat memotong ruang pencarian yang di dalamnya tidak terdapat solu-

si optimal. Oleh karena itu, walaupun branch and bound tidak mengurangi kompleksitas

algoritma pencarian, tapi teknik ini dapat menjadi lebih efisien daripada backtracking saja.

Untuk menerapkan branch and bound pada constraint satisfaction optimization pro-

blem, seseorang memerlukan sebuah fungsi heuristik h yang memetakan semua kumpulan

label CL ke sebuah nilai numerik (h : CL → angka). Nilai ini disebut nilai h dari kum-

pulan label. Supaya fungsi h dapat diterima, nilai h dari setiap kumpulan label CL harus

lebih besar (lebih kecil) dari nilai f dari setiap tupel solusi pada masalah maksimalisasi

24

(minimalisasi).

Sebuah variabel global, yang disebut sebagai bound, akan diinisialisasi minus tak ter-

hingga pada masalah maksimalisasi. Teknik ini mencari solusi dengan kelakuan depth-

first. Teknik ini menggunakan backtracking. Ketika sebuah label ingin ditambahkan ke

kumpulan label, nilai h dari kumpulan label yang ada (berikut label yang baru masuk itu)

dihitung. Jika nilai h ini lebih kecil dari bound pada masalah maksimalisasi, maka cabang

tempat kumpulan label berada dipotong. Ketika sebuah tupel solusi ditemukan, nilai f di-

hitung. Nilai f akan menjadi nilai bound jika dan hanya jika lebih besar dari bound yang

sudah ada pada masalah maksimalisasi. Ketika nilai f ini lebih besar dari bound, maka

solusi yang baru ditemukan akan dimasukkan ke kumpulan solusi terbaik sampai saat ini.

Setelah pencarian selesai, tupel solusi yang terakhir didapatkan dapat dianggap sebagai

solusi yang paling optimal.

Prosedur Branch_and_Bound di bawah ini memberikan langkah-langkah dalam mene-

rapkan strategi branch and bound depth-first dalam menyelesaikan constraint satisfaction

optimization problem, di mana nilai f maksimum diperlukan. Masalah minimalisasi da-

pat dihadapi seperti masalah maksimalisasi dengan menggantikan semua nilai f dan h

dengan negasi nilai mereka. Untuk membuat prosedur menjadi lebih sederhana, prosedur

ini hanya mengembalikan satu tupel solusi yang mempunyai nilai f optimal; tupel solusi

lainnya yang mempunyai nilai f yang sama diabaikan.

25

Algoritma Branch_and_Boundprosedur Branch_and_Bound(Z,D,C,f,h)

BOUND← minus tak terhinggaBEST_S_SO_FAR← NILBNB(Z,,D,C,f,h)kembalikan (BEST_S_SO_FAR)

akhir prosedur Branch_and_Bound

prosedur BNB(BELUM_LABEL, KUMPULAN_LABEL,D,C,f,h)jika (BELUM_LABEL={}) maka

jika (f(KUMPULAN_LABEL) > BOUND) makaBOUND← f(KUMPULAN_LABEL)BEST_S_SO_FAR← KUMPULAN_LABEL

selain jika (h(KUMPULAN_LABEL) > BOUND) makapilih variabel x dari BELUM_LABELulangi

pilih nilai v dari Dx

hapus v dari Dx

jika (KUMPULAN_LABEL + <x,v>memenuhi constraint) makaBNB(BELUM_LABEL-x, KUMPULAN_LABEL + <x,v>,

D, C, f, h)akhir jika

sampai (Dx={})akhir jika

akhir jikaakhir prosedur BNB

Efisiensi dari branch and bound ditentukan oleh dua faktor: kualitas fungsi heuristik

dan apakah bound yang ’bagus’ ditemukan pada tahap awal. Pada masalah maksimalisasi,

jika nilai h adalah selalu memperkirakan lebih tinggi dari nilai f , maka perkiraan menjadi

lebih dekat ke nilai f (contohnya, semakin kecil nilai h tanpa lebih kecil dari nilai f ), lebih

besar kemungkinannya bagian yang cukup besar dari ruang pencarian dipotong.

Sebuah cabang akan dipotong oleh branch and bound jika nilai h dari verteks yang

sedang diperika lebih rendah dari bound (pada masalah maksimalisasi). Ini berarti bahkan

jika dengan fungsi heuristik diperbaiki, branch and bound akan memotong proporsi yang

berbeda dari ruang pencarian jika cabang diurutkan secara berbeda, karena batas yang

26

berbeda akan ditemukan di bawah cabang yang berbeda.

Gambar 2.6 menunjukkan sebuah contoh dari constraint satisfaction optimization

problem. Semua dari lima variabel x1, x2, x3, dan x4 mempunyai domain numerik. Nilai f

dari sebuah kumpulan label adalah total perkalian dari semua nilai yang diambil variabel-

variabel ini. Tugasnya adalah mencari tupel solusi dengan nilai f maksimum. Khusus

contoh constraint satisfaction optimization problem ini hanya diperlukan solusi tunggal

sehingga nilai h yang sama dengan bound akan dipotong juga.

Gambar 2.5: Contoh constraint satisfaction optimization problem yang sederhana

Gambar 2.7 menunjukkan ruang yang dijelajahi oleh backtracking sederhana. Setiap

verteks pada gambar 2.7 mewakili sebuah kumpulan label, dan setiap cabang mewaki-

li pemberian sebuah nilai ke variabel yang belum mendapatkan nilai. Variabel-variabel

diasumsikan untuk diperiksa dengan urutan: x1, x2, x3, dan x4.

Gambar 2.8 menunjukkan ruang yang dicari oleh branch and bound dengan urutan

pencarian yang sama dengan backtracking. Nilai h untuk sebuah verteks dihitung ketika

nilai yang diberikan sejauh ini ditambahkan dengan nilai maksimal dari variabel yang

belum diberi nilai. Sebagai contoh, nilai h dari (<x1,3>,<x2,2>) adalah 3 * 2 (nilai yang

diberikan sejauh ini) dikalikan dengan 4 * 4 (nilai maksimum yang dapat diberikan ke x3

dan x4), yaitu 16.

Menurut prosedur Branch_and_Bound yang dijelaskan sebelumnya, bound diinisiali-

sasi ke minus tak terhingga. Ketika verteks untuk (<x1,2><x2,3><x3,4><x4,2>) dicapai,

bound diberi nilai (2 * 3 * 4 * 2 =) 48. Nilai bound ini tidak memiliki efek bagi setengah

kiri dari pohon pencarian. Ketika verteks (<x1,3><x2,2><x3,3>) diperiksa, nilai h (yaitu

27

Gambar 2.6: Ruang pencarian yang dijelajahi oleh backtracking sederhana dalam constra-int satisfaction optimization problem

Gambar 2.7: Ruang pencarian yang dijelajahi oleh branch and bound dalam constraintsatisfaction optimization problem

28

Gambar 2.8: Ruang pencarian yang dijelajahi oleh branch and bound dalam constraintsatisfaction optimization problem ketika bound yang bagus ditemukan pada tahap awalpencarian

48) ditemukan sama nilainya dengan bound (yaitu 48). Maka dari itu, cabang di bawah

verteks (<x1,3><x2,2><x3,3>) dipotong. Setelah pemotongan ini, pencarian bergerak ke

cabang berikutnya. (<x1,3><x2,2><x3,4><x4,2>) kemudian ditemukan dan disimpulkan

sebagai solusi yang paling optimal. Pada gambar 2.8, 15 verteks dijelajahi, dengan per-

bandingan 17 verteks pada gambar 2.7.

Gambar 2.9 menunjukkan pentingnya menemukan bound yang lebih ketat pada tahap

awal. Pada gambar 2.9, urutan pencariannya adalah x1, x4, x2, dan x3 dengan urutan

nilai domain dimulai dari yang paling besar. Solusi optimal ditemukan setelah 6 verteks

dijelajahi. Bound 96 digunakan untuk memotong cabang di bawah (<x1,2><x4,2>) (yang

nilai h-nya 48). Hanya 11 verteks yang dijelajahi pada gambar 2.9.