1

BAB 3:Sifat Gelombang dari

partikel

Bab 3Sifat gelombang dari partikel

Pendahuluan

Einstein memperkenalkan kepada kita sifat partikel darigelombang pada thn 1905 (efek photoelektrik). Teori Einstein ini diperkuat oleh hamburan Compton

Tapi, apakah kebalikannya berlaku ? Apakah partikel memilikisifat gelombang?

1923, ketika masih sebagai mhspasca sarjana University of Paris, Louis de Broglie mempublikasikan tulisan ringkasdalam journal Comptes rendusyang berisi ide yang revolutionorterhadap pemahaman fisika padalevel yang paling fundamental: yaitu bahwa partikel memilikisifat gelombang intrinsic

Prince de Broglie

Werner Heisenberg dankemudian Erwin Schrödinger mengembangkan teoriberdasarkan sifat gelombangdari partikel.

Heisenberg Schrödinger

Pada 1927, Davisson dan Germer mengkonfirmasi sifatgelombang dari partikel dengan diffraksi elektron dari kristaltunggal nikel.

2

De Broglie mempostulatkan bahwa persamaan diatas berlakujuga untuk partikel. Secara khusus, partikel dengan masa m dan momentum p memiliki panjang gelombang de Broglie

hλ= .

p

3.1 Gelombang de Broglie

Ingat bahwa photon memiliki energi E=hf, momentum p=h/λ, dan panjang gelombang λ=h/p.

Persamaan diatas untuk gelombang, persamaan dibawah adalah ide baruuntuk partikel.

Jika partikel bergerak cukup cepat sehingga perhitunganrelativistik diperlukan, maka gunakan persamaan relativistikmomentum:

hλ= .

mvγ

Apa yang diusulkan de Broglie, sepertinya hanya sebuahpermulaan bahwa partikel memiliki panjang gelombang?

Partikel dgnmomentum linear p

Gelombang partikeldgn panjanggelombang de Broglie λ = p/h

partikel dgn momentum pDigambarkan sbg gelombang

Usulan sifat gelombang dari partikel keluar dari suatu hipotesisyang berani dari seorang mahasiswa Ph.D fisika yang masihmuda.*

h hλ= =

p mvγ

Sekarang kita memiliki persamaan yang mengatakan bahwapartikel memiliki panjang gelombang. Lalu kenapa selama initdk dapat diamati dan apa yang harus kita lakukan untukmembuktikannya?

Verifikasi dengan Eksperimen! Agar kita dapat mengamati sifat gelombang dari partikel, panjang gelombang de Broglie harus dapat dibandingkandengan sesuatu yang berinteraksi dengan partikel; misalnyajarak antara dua slit, atau jarak antara susunan atom dalamkristal. *Postulat ini membawa dia mendapat 1929 Nobel Prize.

Contoh: cari panjang gelombang 46 g bola yang bergerakdengan kecepatan 30 m/s.

Dengan kecepatan seperti diatas kita dpt menghitung tanparelativistik. h h

λ= =mv mvγ

non-relativistic: γ=1

( )-34

-3

6.63×10 J sλ=

(46×10 kg)× 30 m/s⋅

-34λ= 4.8×10 m

Adakah sesuatu yang memiliki dimensi fisik sekitar 10-34 m, dimana gelombang bola golf dapat berinteraksi dengannya?

Dapatkah kita melakukan eksperimen yang dapat mendeteksigelombang bola golf?

3

Contoh: cari panjang gelombang elektron yang bergerakdengan kecepatan 107 m/s.

Kecepatan elektron sekitar 1/30 c, sehingga perhitungannonrelativistik sudah cukup.

hλ=

mv

( )-34

-31 7

6.63×10 J sλ=

(9.11×10 kg)× 10 m/s⋅

-11λ=7.3×10 m

Panjang gelombang cukup kecil dan dapat dibandingkandengan dimensi atomic, sehingga kita dapatmempertimbvangkan untuk mengamati sifat gelombang darielektron jika elektron bergerak cepat melewati zat padat.

Gelombang Matter adalah fenomena quantum

jika h 0, λ menjadi sangat kecil sekali yang berartiperilaku gelombang dari partikel secara effektif akan“berhenti” dan akan kehilangan sifat gelombangnyaapabila momentum partikel tidak sebanding dengan h ~ 10-34 Js

Efek gelombang partikel sulit diobservasi secaramakroskopik (kecuali jika dibantu alat khusus)

Konstanta h yg kecil pada λ = h/p membuat karakteristikgelombang dari partikel susah untuk diobservasi

Dengan kata lain, sifat gelombang partikel hanya akanmuncul jika skala momentum p sebanding dengan hargah

Sesuatu yang harus kita pikirkan :

Tumbukan akan terjadi seketika, shg partikel betul-betul adadisana dan gelombang yang berhubungan dengan partikelbukan partikel yang terhambur.

Lalu kita akan melihat bagaimana gelombang dari partikelmemiliki kecepatan fasa yang lebih besar dari kecepatancahaya, c. Sehingga, kecepatan fasa tidak memilikiinterpretasi secara fisik.

Beberapa persamaan yg dapat kita gunakan:

E = hf p = h/λ ω = 2πf k = 2π/λ

ħ = h/2π E = ħω p = ħk

Jika benda memiliki panjang gelombang, maka akan ada suatufungsi –“fungsi gelombang”—yang menjelaskan sifatgelombang dari benda tsb.

Apakah anda pikir jika kita dapat menemukan fungsigelombang, dan hukum matematika apa yang dia patuhi, lalukemudian barangkali kita bisa belajar tentang partikel yang dijelaskannya?

Artinya kita akan meluangkan waktu untuk memikirkantentang matematika gelombang dan fungsi yang menjelaskannya.

4

3.2 Apa Jenis Gelombang Partikel ?

Dengan kata lain, apa yang secara fisik berubah dalamgelombang partikel?

Gelombang air terdiri dari ketinggian air yang berbeda, gelombang suara terdiridari perbedaan tekanan didalam medium, gelombang E&M terdiri dari osilasi medanlistrik dan magnet. Bagaimana dengangelombang partikel?

Sesuatu dimana variasinyamembentuk gelombang partikeladalah fungsi gelombang function, Ψ("psi", biasa dibaca "si").

Ψ

Ψ

Ψ

Fungsi gelombang dari partikel bukan sesuatu yang dapatdilihat atau dirasakan. Dia tidak memiliki arti fisik yang “langsung”.

Ψ Adalah solusi Schrödinger. Seperti telahdisinggung didepan, Schrödinger mengembangkan teori untuk sifatgelombang partikel. Kita akanmempelajarinya pada bab 5.

Ψ adalah pd umunya bilangan komplek, dan tidak dapat diukursecara langsung. Rata-rata waktu dan/atau ruang dari Ψ = 0. (ingat- Rata-rata waktu/ruang dr gelombang sinus = 0 tapigelombang sinus tdk sama dgn 0)

Akan tetapi, Ψ dapat mengatakan kepada kita sesuatu tentanpartikel yang dia representasikan.

Secara umum, Ψ adalah fungsi dari posisi (x,y,z) dan waktu.

Probabilitas untuk menemukan objek yang dinyatakan denganΨ pada posisi (xyz) pada waktu t adalah sebanding denganharga Ψ*Ψ disana.

Ψ*Ψ mengatakan kepada kita probabilitas menemukan bendayang direpresentasikan dengan Ψ.

jika Ψ complex, maka Ψ*Ψ = Ψ2 adalah real (dan positif).

Jika Ψ*Ψ=0 pada suatu posisi dan waktu , maka objek tidakada disana. Jika Ψ*Ψ=1 pada suatu posisi dan waktu , objekpasti ada disana. Di bab berikutnya kita akan menemukanbahwa ada batasan yang fundamental pada bagaimanadengan tepat kita dapat meletakan objek.

Secara umum, harga Ψ*Ψ adalah antara 0 dan 1. Harga yang kecil pada suatu posisi dan waktu artinya probabilitasmenemukan objek disana kecil; sebaliknya angka yang besarmenunjukan probabilitas yang besar.

5

Catatan : perbedaan antara probabilitas kejadian dan kejadianitu sendiri.

Jika kita mendeteksi elektron, artinya elektronada disana, tdk berarti 50% ada disana.

Jika kita memiliki koleksi partikel identik, maka Ψ*Ψproporsional dengan densitas aktual dari partikel. Kita seringmenyebut Ψ*Ψ sebagai “probability density” meskipun kitabicara tentang satu partikel.*

Jika probabilitas menemukan elektron pada(xyzt) = 50%, tidak berarti bahwa elektron50% ada disana. Ini berarti ½ daripengukuran kita akan menemukan elektrondisana, dan ½ nya lagi tidak menemukanelektron.

Mari kita lihat lebih jauh lagi …

Untuk sistem partikel yang dijelaskan oleh fungsi gelombangΨ, Ψ*ΨdV adalah probabilitas menemukan partikel (atausistem) dalam elemen volume dV.

Untuk mencari probabilitas menemukan partikel disuatutempat di dlm ruang, kita integrasikan probabilitas seluruhruang.

Kita assumsikan bahwa probabilitas menemukan partikeldisuatu tempat di dlm ruang adalah 1 , sehingga

*

all space

Ψ Ψ dV = 1 .∫

Fungsi gelombang yang dinormalisasi.

Ingat, fungsi gelombang menceritakan kepada kitakemungkinan menemukan partikel pada titik tertentu di dalamruang dan waktu, tetapi partikel tidak tersebar dalambeberapa gelombang.

Menentukan Ψ secara benar biasanya suatu masalah sulit. Kita akan sering mengasumsikan suatu fungsi gelombang tanpamemasuki bagian detil dari mana itu datang.

Ini menyimpulkan diversi yang ringkas ke dalam duniamekanika kwantum yang akan kita bahas pada bab 5.

Jika kita mengklaim bahwa partikel adalah gelombang(tepatnya, memiliki sifat gelombang) maka kita lebih baikmempelajari gelombang lebih detail.

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

Pada sisi lain, de Broglie mengatakan bahwa benda yang bergerak memiliki momentum dan panjang gelombangyang dihubungkan oleh p = h/λ

momentum benda bergerak dihubungkan dengankecepatan yang terukur lewat p = mv

Maka secara logika kecepatan gelombang de Broglie (sebut saja vp) harus sama dengan vMari kita lihat apakah hal tsb betul

6

kecepatan gelombang de Broglie dihubungkan dgnfrekuensi gelombang dan panjang gelombang lewatvp=λ f

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

Dimana panjang gelombang de Broglie λ dihubungkandengan kecepatan benda yang terukur lewat λ = h/(mv)

Energi yang dibawa oleh quantum gelombang de Broglie adalah E=hf

Energi E harus sama dengan energi relativistik daribenda bergerak, E = mc2

vp=(h/mv)(mc 2/h) =c 2/v

Sehingga diperoleh, hf = mc 2

⇒ f = mc 2/h

Substitusikan frekuensi de Broglie ke dlm vp=λ f , kitaperoleh

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

vp=c 2/v

Ada sesuatu yang salah disini

Tapi karena partikel tsb bermasa maka akan selaluc2/v > csuatu hasil yg secara fisik tdk dapat direalisasikan, yaitukecepatan gelombang de Broglie vp tdk hanya tdk sama dgnv tapi juga > c

Berapa kecepatan gelombang de Broglie?

Persamaan diatas tidak masalah jika partikel adalah photon yang bergerak dgn kecepatan c, sehingga vp= c

photon: faster than aspeeding bullet

matter wave: faster thana speeding photon?

Kita harus memikirkan lagi apa yang dimaksud dengankecepatan gelombang. Mari kita lihat kembali apa itugelombang.

Beiser menggunakan getaran tali untuk mendemontrasikanpenurunan persamaan gelombang.

Ambil tali, ikat satu ujungnya dan pegang satunya lagi laluayunkan.

Jika tangan digerakan ke atas, pulsa dikirimkan ke tali:

Gerakan tangan Ikatkan tali disini

7

pulsa

penjalaran gel tali

refleksi (& inverts)

bertemu pulsa lainnyapd perjalanan pulang

Jika kita lakukan terus menggerakan tangan maka akanterbentuk gelombang berdiri.

Beiser menurunkan beberapa bentuk persamaan yg ekivalenuntuk gelombang ini, yang memberikan simpangan y padasuatu titik pada tali (i.e., pd suatu posisi x) sepanjang waktu.

p

xy = A cos 2 f (t - )

v

π

f adl frekuensi danvp adl kecepatangelombang

xy = A cos 2 (f t - )

λ π

Dgn menggunakan vp = f λ, ω = 2πf, and k = 2π/λ, Kita dapatkan

y = A cos ( kx - ωt ) , or

y = A cos ( k r - ωt ) in 3 dimensions.⋅rrr r

Pada bagian berikutnya kita akan mendefinisikan arti fisis"group velocity."

vp

Ini adalah gelombang tranversal. Gelombang terpolarisasipada arah y.

Pada Bab 2 kita menurunkan kecepatan fasa dgn cara yang berbeda, tapi merupakan cara yang ekuivalen.

y

x

Gelombang menjalar dgn kecepatan fasa, yg tdkmerepresentasikan kecepatan aktual partikel bermasa.

8

vp

Gelombang ini menjalar di dalam ruang. Panjang gelombang(and juga momentum) gelombang terdefinisi dengan baik (adaharganya disetiap tempat). Dimana partikel yang direpresentasikan oleh gelombang tsb? Kita tdk dapat menemukannya. Mungkin berada disuatutempat disepanjang sumbu x.

Untuk membuat gelombang yg merepresentasikan partikel, kita harus memodulasinya dengan menjumlahkan banyakgelombang dgn panjang gelombang dan/atau frekwensi yang berbeda. Kemudian fungsi gelombang akan mempunyaipanjang gelombang dan spatial "length" yg jelas.

y

x

3.4 Kecepatan Fasa dan Group

Group gelombang adalah superposisi dari gelombang-gelombang yg berbeda.

Gelobang berinterferensi untuk menghasilkan suatu bentukdari grup. Karena kecepatan gelombang de Broglie bervariasi thd λ, maing-masing gelombang bergerak dgn kecepatan berbedadgn kecepatan group.

Beiser menghitung kecepatan penjalaran, vg, dari grupsederhana yang dibuat dari dua gelombang sinus.

1 = A cos (ωt - kx)y

[ ]2 = A cos (ω+dω) t - (k +dk) xy

Dua gelombang adalah jumlah minimal yang dibolehkan untukmembuat gelombang "paket" atau "grup."

Dengan sedikit trigonometri, dan menggunakan fakta bahwadω dan dk adalah kecil dibanding ω dan k, Beisermenunnjukan :

[ ]1 2

dω dk + = 2A cos (ωt - kx) cos ( t - x) .y y

2 2

Gelombang dinyatakanoleh y1+y2 dibangun darigelombang dgn frekuensisudut ω dan bilangangelombang k, danmempunyai superposisipada suatu modulasifrekwensi dω/2 danbilangan gelombang dk/2.

y1

y2

y1+y2

Kecepatan fasa gelombang menjalar adalah vp=ω/k, sedangkan group (modulasi) bergerak dgn kecepatanvg=(dω/2)/(dk/2)=dω/dk.

pω

v = k g

dωv =

dk

Gambar ini sedikit tak memuaskan, sebabini merupakan suatu snapshot pada suatuwaktu dari gelombang yang h bergerakpada ruang dan waktu.

Gelombang pd gb adalah y=sin(t) dan y=sin(1.2t).

[ ]1 2

dω dk + = 2A cos (ωt - kx) cos ( t - x) .y y

2 2

9

pω

v = k g

dωv =

dk

vg dapat > vp atau < vp.

Jika kecepatan fasa vp sama untuk seluruh panjanggelombang, seperti untuk cahaya dlm vacuum, makakecepatan fasa dan group adalah sama.

Tetapi apa pertalian ini dengan partikel ? Di mana dlm rumusmatematis adalah kecepatan partikel? Apakah itu adalah vg?

Apakah vg konsisten dengan ide kita tentang kecepatanpartikel?

Frekuensi sudut : 2 2

22

2 mc 2 mcω = 2 f = = .

h vh 1-c

πγ ππ

Bilangan gelombang: 2

2

2 2 mv 2 mvk = = = .

λ h vh 1-c

π πγ π

Gunakan pers. Diatas untuk menghitung

pω

v = k g

dωv =

dk

Hasilnya: vp=c2/v (kita sudah tahu ini) dan vg=v (kecepatanpartikel).

( )

( )

( )

22

0

20 0

3/ 22 2

03/ 22 2

22 2

2 2

1 /

22 2

1 /

/

g

g

dvdk

mcf m ch h

m c m vd ddv h dv h v c

mmv dkkh dv h v c

d d dkv vdk dv dv

ω

πω π ω π γ

π πω γ

ππ πλ

ω ω

=

= ⇒ = =

⇒ = = −

= = ⇒ =−

= = =

Pertanyaan: kita sudah menunjukkan bahwa kecepatan fasagelombang dapat lebih besar dari c. Apakah ini berarti kitadapat menemukan suatu jalan untuk memancarkan informasilebih cepat dari kecepatan cahaya c?

Menurut relatifitas: kita tdk dapat mempercepat partikel atau“energi” ke suatu kecepatan lebih cepat dari c. Juga, kita tdkdapat mengamati hasil dari suatu kejadian sebelum kejadianitu terjadi

Relatifitas tdk benar-benar menunjukan transmisi informasi, tetapi dalam penafsiran ini, informasi ada di dalam modulasi, yang menjalar pada suatu kecepatan yang sama dengan vg, maka kita tidak mentranmisikan informasi pada suatukecepatan lebih besar dari c

10

Ini adalah gambar gelombang paket yang terlihat lebihmerepresentasikanpartikel:

Gelombang grup de Broglie’ diidentifikasi dengan partikel ygbergerak dgn kecepatan v

Cara lain untuk menuliskan gelombang adalah y=A ej( kx -ωt ) . Ingat relasi Euler mengatakan ejθ dibentuk dari sinus dancosinus.

Coba plot gelombang ini menggunakan Mathcad atau yglainnya : Ψ(x) = exp(-x2/0.2) exp(10jπx).

Coba plot Ψ vs. x. Juga perhatikan bagian real dan imajiner.

Tidak ada “t” pd fungsi diatas, shg tdk menjalar: Gelombangbervariasi dlm ruang tapi tdk dlm waktu. Untuk membuat diamenjalar, kita harus menambahkan ketergantungan waktu.

ossillasimodulasi

3.5 Diffraksi Partikel

Penjelasan diffraksi partikel denganmenggunakan cara klasik sangatlahsulit. Diffraksi partikel hanya dapatdijelaskan dengan mekanika kuantum.

Diffraksi adalah perilaku gelombang.

11

Eksperimen Davisson and Gremer

DG mengkonfirmasi perilakugelombang dari elektron yang mengalami diffraksi Bragg

Elektron Thermionik yang dihasilkan oleh hot filamendipercepat dan difokuskan ketarget pada kondisi vacuum.

Menurut mekanika klasikseharusnya elektron akandihamburkan kesegala arah

Tapi kenyataannya elektrondihamburkan pada sudut φ kedetektor yang dapat digerakan

Davisson dan Gremer

Bagaimana menginterpretasikan hasil dari DG?

Elektron didifraksikan oleh atom pd permukaan (yg bertindak sbggrating) logam seperti elektronberperilaku sebagai gelombang

Elektron berperilaku sebagaigelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie

Puncak yg tajamdr interferensikonstruktif antaragelombang elek-tron yg diham-burkan oleh atom yg berbeda pd permukaan kristal

Elektron didifraksikan oleh atom pd permukaan (yg bertindak sbggrating) logam seperti elektronberperilaku sebagai gelombang

Elektron berperilaku sebagaigelombang seperti yang dipostulatkan oleh de Broglie

Diffraksi konstruktif Bragg

Puncak pola diffraksi adalah orde ke 1 interferensi konstruktif : dsin φ = 1λ

dimana φ = 50o untuk V = 54 V

Dari eksperimen diffraksi Bragg x-ray yang dilakukan terpisah, kitamengetahui bahwa d = 2.15 A

Sehingga panjang gelombang elektronadalah λ = dsinθ = 1.65 A

1.65 A adalah hasil yg diperoleh darieksperimen dan harus dicek denganharga yang diprediksi secara teoritisoleh de Broglie

φ

12

Nilai teoriti λ elektron

Potensial eksternal V mempercepat elektron melaluiEV=EK

Pada percobaan DG energi kinetik elektron diakselerasi keEK = 54 eV (non-relativistic)

Menurut de Broglie, panjang gelombang elektron yang deakselerasi ke EK = p2/2me = 54 eV memiliki pajanggelombang ekuivalen λ = h/p = h/(2Kme)-1/2 = 1.67 A

Dalam bentuk potensial eksternal , λ = h/(2EVme)-1/2

Prediksi Teori cocok dgn pengukuran

Hasil percobaan DG (1.65 Angstrom) hampir miripdengan perkiraan de Broglie (1.67 Angstrom)

Perilaku gelombang dari elektron secara eksperimentelah dikonfirmasi

Sebagai fakta, perilaku gelombang dari partikelmikroskopik diobservasi tdk hanya dlm elektron saja tapijuga dlm partikel lain (misalnya neutron, proton, molekule dsb)

Applikasi gelombang elektron: Mikroskop Elektron, Nobel Prize

1986 (Ernst Ruska)Panjang gelombangelektron de Broglie dapatdiatur lewat

λ = h/(2EVme)-1/2

Mikroskop elektron dapatmemiliki perbesaransampai x500000 (EV 30kV) resolusi 0.1 nm

13

Manifestasi lainnya dari perilaku gelombangelektron

Secara eksperimental juga dapat diperoleh gambar poladiffraksi

3.6 partikel dlm Box

Sekarang kita percaya bahwa partikel memiliki perilakugelombangApa artinya perilaku gelombang dari partikel?

Apakah hanya partikel yang nyata, dan gelombang hanyasesuatu yang ditemukan fisikawan?

Apakah seperti pertama kali yang dipercaya Schrödinger bahwa gelombang itu nyata, bukan partikel?

Apakah elektron itu gelombang atau partikel?

Ini yang disebut sebagaidualitas gelombang-partikel

elektron sbgpartikel

elektron sbggelombang

Kedua-duanya ada, tapi tidaksimultan.

Pada beberapa eksperimen(atau pengamatan empirik) hanya satu aspek gelombangatau partikel saja yang dapatteramati.

Seperti coin dgn dua muka. Tapi kita hanya dapat melihatsalah satu sisinya saja padasuatu waktu

Mari kita kembali pada gelombang berdiri yang telah kitabahas didepan.

Kita medapatkan gelombang berdiri pada tali yang diikat kuatpd satu ujung karena interferensi antara gelombang datangdan gelombang pantul yang berbeda fasa 180° ketikamencapai ujung terikat.

Gelombang berdiri terdiri dari deretan pulsa tali yang bergeraknaik turun. Ketika pulsa-pulsa bersuperposisi pada fasa yang sama, maka akan kita peroleh gelombang maximum tapi jikaberbeda fasa 180° akan diperoleh minimum.

14

Kita hanya dapat melihat gelombangberdiri pada kecepatan dan panjanggelombang tertentu.

Pada box dgn panjang L diatas, keberadaan partikeldirepresentasikan oleh gelombang. Gelombang partikelbergerak “dengan” partikel dan akan dipantulkan ketikamencapai dinding box.

Misalnya gelombang berdiri padapartikel di dalam box sebelah ini.

Jika box cukup kecil (dibandingkan dgn panjang gelombangpartikel), gelombang partikel “terlipat dan terlipat lagi" setiapdipantulkan dinding.

Segmen gelombang partikel dan pantulannya akanberinterferensi. Jika interferensinya konstruktif, maka partikeldapat berada didalam box, jika destruktif maka partikel tdkdapat eksis didalam box.

visualisai

Interferensi konstruktif terjadi bilapanjang box adalah kelipatan integer dari ½ panjang gelombang darigelombang partikel (L=nλ/2), sehinggapanjang gelombang Broglie dari partikelyang terkrung adalah :

n2L

λ = , n = 1,2,3...n

Karena KE = mv2/2 dan λ = h/mv, batasan pada λ jugamerupakan batasan pada energi partikel yg diijinkan:

2 2

n 2

n hE = , n = 1,2,3...

8mL

Energi yg diijinkan ini disebut tingkat energi dan n disebutsebagai bilangan kuantum.

n2L

λ = , n = 1,2,3...n

2 2

n 2

n hE = , n = 1,2,3...

8mL

Pikirkan box sebagai sumur potensial, dimana didlmnya terdapat partikel.

partikel bebas, diluar box, dapat memilikisembarang energi dan panjanggelombang.

Jika kita simpan partikel dlm box, hanya panjang gelombangdan energi tertentu yang diijinkan (0 tdk termasuk energi yd diijinkan). Kita harus mengurangkan atau menambahkanenergi untuk dapat meletakan partikel bebas kedalam box.

15

10 gram marble dlm 10 cm box : 2 2

n 2

n hE =

8mL

( )( )( )

22 -34

n 2-3 -1

n 6.63×10E =

8 10×10 10

-64 2nE = 5.5×10 n Joules

energi dan kecepatan minimum tdk sama dgn 0, dan marble pd kecepatan tertentu memilki bilangan kuantum pada orde1030. Dengan kata lain, kita tdk dapat merasakan perilakukuantum marble dalam box.

CONTOH

elektron dlm 0.1 nm (10-10 m) (ukuran atom) “box” :

2 2

n 2

n hE =

8mL

( )( )( )

22 -34

n 2-31 -10

n 6.63×10E =

8 9.11×10 10

-18 2 2nE = 6.0×10 n Joules = 38 n eV

energi minimum adalah 38 eV, cukup signifikan, dan tingkatenergi cukup terpisah shg dapat terukur.

3.7 prinsip ketidak pastian I – penurunanberdasarkan sifat gelombang partikel

Misalkan partikel dinyatakan dgngrup gelombang disamping ini.

Dimana partikel?Berapa panjang gelombangnya?

Karena itu ada ketidak pastian yang besar pada momentum partikel (ingat-panjang gelombang dan momentum salingberhubungan).

Posisi dapat didefinisikan dgnbaik, tapi panjang gelombangtdk terdefinisi dengan baik.

Sekarang partikel dinyatakandgn grup gelombang disampingini.

panjang gelombang kelihatannya lebih terdefinisi dibandingposisi partikel. Ada ada ketidak pastian yang besar padaposisi partikel’s.

Untuk mengetahui kuantitas ketidak pastian dalam posisi danmomentum group gelombang, kita perlu melihat lebih detail pada transformasi Fourier dan representasi group gelombangdgn menjumlahkan masing-masing gelombang.

Dimana partikel?

Berapa panjang gelombangnya?

16

grup gelombang dibentuk oleh penjumlahan banyakgelombang yang berbeda ω dan k-nya sebesar ∆ω dan∆k (atau ekuivalen dgn ∆λ)

∆x k = 2π/λ, maka ∆k/k = ∆λ/λ

A1, k1

A4, k4

A3, k3

A2, k2

.

.

.

Hubungan ketidak pastian pada gelombang klasik

Paket gelombang harus menuruti prinsip hubungan ketidakpastian untuk gelombang klasik (yg diturunkan secaramatematis dgn beberapa pendekatan)

πλλ 2~

2

~>∆∆≡>∆∆ xkx 1≥∆∆ νt

Akan tetapi perlakuan matematis yg lebih kaku (tanpapendekatan) memberikan relasi yg eksak

2/14

2

≥∆∆≡≥∆∆ xkxπ

λλ πν

41

≥∆∆ t

Untuk menjelaskan partikel dgn gelombang paket yang beradapd daerah sempit ∆x memerlukan rentang bilangan gelombangyang besar, yaitu ∆k besar. Kebalikannya, rentang sempitbilangan gelombang tidak dapat menghasilkan paketgelombang pada lokasi jarak yang sempit.

gelombang partikel harus mengikuti relasiketidak pastian yg sama

Untuk gelombang partikel, dimana momentum (energi) danpanjang gelombang (frekuensi) dihubungkan oleh p = h/λ(E = hν), hubungan ketidak pastian gelombang klasik diterjemahkan menjadi

2h

≥∆∆ xpx 2h

≥∆∆ tE

Buktikan sendiri (hint: mulai dr p = h/λ, ∆p/p = ∆λ/λ)

π2/h=hdimana

Hubungan Ketidakpastian Heisenberg

2h

≥∆∆ xpx 2h

≥∆∆ tE

Perkalian ketidakpastianmomentum (energi) dan posisi(waktu) sedikitnya sebesarkonstanta Planck

17

Apa artinyaPenetapan batas terendah mungkin ada padaketidak-pastian dalam mengetahui nilai-nilai pxdan x, tidak peduli bagaimana baiknya suatueksperimen dilakukan.

Adalah mustahil untuk menetapkan secaraserempak dan dengan ketepatan yang tanpabatas momentum linear dan posisi suatu partikelyang bersesuaian.

2h

≥∆∆ xp x Apa artinyaJika suatu sistem ada dalam keadaan energi E pada suatu periode terbatas ∆t, maka energi iniadalah tidak-pasti dengan ketidakpastiansedikitnya sejumlah h/(4π∆t)

oleh karena itu, energi suatu objek atau sistemdapat diukur dengan ketepatan tanpa batas( ∆E=0) hanya jika objek sistem ada pada suatuwaktu tak batas (∆t→∞)

2h

≥∆∆ tE

Variabel Konjugat

{px,x}, {E,t} adalah konjugatvariables

Konjugat variabel pada prinsipnyatidak bisa diukur (atau diketahui) dengan ketepatan tanpa batassecara serempak

CONTOH

SOLUSIv = 5.00 × 103 m/s; (∆v)/v = 0.003%Dart definisi, p = mev = 4.56 x 10-27 Ns; ∆p = 0.003% x p = 1.37x10-27 Nsmaka, ∆x ≥ h/4π∆p = 0.38 nm

∆x

p = (4.56±1.37)×10-27 Ns∆x = 0.38 nm

0

x

Kecepatan elektron diukur dengan tingkat akurasi 0.003%. Memiliki harga 5.00 x 103 m/s Cari ketidakpastian pada posisielektron

18

CONTOH SOAL

SolusiE = mπc2 = 140 MeV, ∆τ = 26 ns. ∆E ≥h/4π∆τ = 2.03×10-27J

= 1.27×10-14 MeV; ∆E/E = 1.27×10-14 MeV/140 MeV = 9×10-17

Sekarangkita melihat

Sekarang??

eksis untuk∆τ = 26 nsE ±∆E

Muatan meson π memiliki energi diam 140 MeV danlifetime 26 ns. Hitung ketidak pastian energi π meson, dalam MeV dan juga sbg fungsi energi diamnya

Contoh : estimasi efek quantum pada partikel macroskopik

SolusiUntuk ∆x ~ 1 m, we have∆p ≥h/4π∆x = 5.3x10-35 Ns,Shg ∆v = (∆p)/m ≥ 5.3x10-34 m/s∆v = 5.3x10-34 m/s (sangat kecil) adalah kecepatan bola billard setiap saat yg disebabkan oleh efek kuantumDalam teori kuantum, tdk ada partikel yg secara absolutbenar-benar diam akibat dari prinsip ketidak pastian

panjang1 m meja billard

100 g bola billardukuran ~ 2 cm

∆v = 5.3 x 10-34 m/s

Estimasi ketidakpastian kecepatan minimum dari bola billard(m ~ 100 g) yg terkurung pd meja billard ukuran 1 m

partikel yang berada pd daerah tertebatas harusmemiliki minimal EK

Salah konsekuensi yang daramatis dari prinsipketidak pastian adalah partikel yang diletakan padasuatu region yg kecil dgn lebar tertentu tidak dapatsecara eksak pada keadaan diam.

Kenapa ???, karena ………….

Jika dia betul-betul diam, momentumnya harussecara pasti = 0, artinya ∆p = 0, yang menyalahiprinsip ketidakpastian.

Berapa EKave partikel dlm box karena prinsipketidak pastian?

( )2

2

~

2

~ave

2

ave 822 mamp

mpEK h

>∆

>

=

pp ∆≥||

Kita dapat mengestimasi minimal EK partikel yg berada dlmbox

prinsip ketidakpastian mensyaratkan ∆p ≥ (h/4π a)

maka, besarnya p, secara rata-rata, harus sedikitnya samadengan ∆p

Shg EK, harus rata-rata berada disekitar

19

Zero-point energy

( )2

2

~

2

~

2

ave 822 mamp

mpEK

av

h>

∆>

=

Ini adalah zero-point energy, energi kinetik minimal yang mungkin dimiliki partikel kuantum yg berada pada daerahselebar a

Kita akan menurunkan persamaan diatas secara formal ketika membahas persamaan Schrodinger untukpartikel dalam box.

a

Solusi :

( )

25

; ;2

2

1.32 10 m2 4

p x p mv

mv x m v x

hxm v m vπ

−

∆ ∆ ≥ =

∆ ∆ = ∆ ∆ ≥

∆ ≥ = = ×∆ ∆

h

h

h

Misalkan Vx dari benda bermasa 2x10-4 kg diukur denganakurasi ±10-6m/s. Berapa batas akurasi dimana kita dapatmeletakan partikel sepanjang sumbu x?

LATIHAN SOAL

JAWAB: A

Assumsikan bahwa ketidak pastian dlm posisi partikelsama dengan panjang gelombang de Broglie. Berapaminimal ketidak pastian kecepatan, vx?

A. vx/4p B. vx/2p C. vx/8pD. vx E. vx/p

Example 3.6

Pada pengukuran posisi proton dengan akurasi ±1.00x10-11 m.Cari ketidak pastian pd posisi proton 1s kemudian. Assumsikan v << c.

Pada waktu pengukuran, ketidak pastian posisi adalah ∆x1, dan

1 x∆x ∆p2

≥h

x1

∆p 2∆x

≥h

x x x∆p = ∆(mv ) = m ∆v

xx

1

∆p∆v =

m 2m ∆x≥

h

20

t detik kemudian, ketidak pastian posisi ∆x2 adalah

2 x1

t ∆x = t ∆v

2m ∆x≥

h

( ) ( )( ) ( )

-34

2 -27 -11

1 1.054×10∆x

2 1.67×10 1.00×10≥

32∆x 3.15×10 m , or 1.96 miles.≥

proton tdk menyebar, krn pasti ada disuatu tempat, tapi gelombangnyapasti menyebar

Contoh 3.7

Typical inti atom memiliki radius 5x10-15 m. Gunakan prinsipketidak pastian untuk mencari batas terendah energy yg harusdimiliki elektron jika dia harus menjadi bagian dari inti atom.

Soal menanyakan tentang energi elektron yg diletakan padadaerah ber-radius 5x1015 m. Maka langkah awal kita adalah

.∆E∆t 2

≥h

Bukan!

Kita hanya punya informasi tentang ∆x elektron. Yaitu ∆x = 2x5x10-15 m. Shg kita harus menggunakan

.x∆x∆p 2

≥h x∆p

2 ∆x≥

h

Jika kita setuju bahwa

,≥h

x,min xp = ∆p 2 ∆x

Maka momentum elektron minimum adalah

.xp =2 ∆xh

Secara klasik, EK = p2 / 2m, sehingga

( )( )

= .

h

h

2

2 2x

2

p 2 ∆xEK = = 2m 2m 8 m ∆x

∆x

( ).h2

2EK = 8 m ∆x

Sehingga minimum energi (kinetik) elektron adalah

( )( ) ( ) ( )

2-34

2-31 -15

1.055×10EK = .

8 9.11×10 10×10

-11EK = 1.53×10 joules .

21

EK=1.53x10-11 joules. Ada komentar?

Seberapa besar energi ini untuk elektron?

1.53x10-11 joules x 1 eV / (1.6x10-19 joules) = 9.55x107 eV.

9.55x107 eV = 95.5 MeV.

Energi elektron “diam” =… 0.511 MeV/c2.

( ) 22 2 2 2E = mc +p c .

KE = p2 / 2m

Untuk energi dan kecepatan yg secara ekstrim besar,pc >> mc2 sehingga

( ) 22 2 2 2E = mc +p c

≈ 0

cE =

2 ∆xh

( ) ( )( )

-34 8

-14

1.055×10 3×10E =

2 1×10

-12E = 1.58×10 joules = 9.89 MeV

Untuk energi yang cukup besar, E≈pc.

p

Example 3.9

Atom yang tereksitasi memberikan kembali kelebihanenerginya dengan cara mengemisikan photon. Periode wakturata-rata antara eksitasi atom dan emisi photon adalah 10-8 s. Cari ketidak pastian frekuensi photon.

Kita punya waktu, yg dicari ∆f, tapi E dan f memiliki relasi, shg

E = hf ∆E = h∆f ⇒

π

h∆E∆t

4≥

π

hh ∆f ∆t

4≥

π1

∆f 4 ∆t

≥

( ) π -8

1∆f

4 10≥

6∆f 7.96×10 Hz≥

Jika kita mengukur intensitas vs. frekuensi cahaya yang diemisikan oleh atom ini, spektrum akan memiliki sedikitnyaintrinsic linewidth seperti dibawah ini.

Applikasi: Biasanya diinginkan garis laser yang sangat tajam, yaitu laser hanyamemiliki satu warna. Lebar spektrum laser ditentukan oleh disain laser. Tapi sepandai-pandainya kita mendisain tidak akan pernahdapat lebih sempit dari yang ditentukan olehprinsip ketidak pastian.

frequency

inte

nsity