Upload
others
View
19
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi
A. Elastisitas
Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x.
Elastisitas Permintaan ElastisitasPermintaanadalah besarnyaperubahanjumlah
permintaanbarang,akibat adanya perubahan harga.
· Rumuselastisitaspermintaan
(d)dQP
(Q)d =dP.d ,
Ket : Qd fungsi permintaan , P Harga
Permintaan suatu barang dikatakan bersifat:
Elastis jika d > 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang lebih besar daripada perubahan harganya
Inelastis jika d < 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang lebih kecil daripada perubahan harganya
Uniter jika d = 0 jika harga barang tersebut berubah sebesar presentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah dengan persentase yang sama dengan perubahan harganya
Contoh:Fungsipermintaanakansuatu barang Q = 25 – 3 P 2
Tentukanelastisitaspermintaannyapada tingkat harga P = 5.
Jawab :
dQd P
(d)d =dP.Q
= ( - 6 P )
P
25 3P 2
= - 6 (5)
(5)
25 3(5)2= 3
d = 3 ( elastis ) artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %, maka permintaannya akan
turun sebanyak 3% .
Elastisitas Penawaran
adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan, jika ada perubahan harga
· Rumus Elastisitas Penawaran
(.) () (s)dQs P
s =dPQ
Ket : Qs fungsi penawaran , PHarga
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat:
Contoh:Fungsipenawaransuatubarang diperlihatkan Q = - 200 + 7 P 2
Tentukanelastisitaspenawarannya, pada tingkat harga P = 10
Jawab :
dQs
(=)sdP
P
.Qs
= ( 14 P )
P
200 7P 2
PadaP=10 s
2,8 ( elastis )
=(14)(10)
(10)
(=) 200 (7)(10)2
s = 2,8 artinya pada kedudukan harga P
= 10, jika harga barang naik 1 % , maka jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.
Elastisitas Produksi
Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
· Rumus Elastisitas Produksi
p =
dP x
dx.P
Ket : Pjumlah produk yang dihasilkan (output)
xjumlahfaktorproduksiyang digunakan (input)
Contoh : Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6 X2 – X3 Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi (input) sebesar X = 3
· Jawab : p
dP x
= dx.P =
X
2
( 12 X – 3 X
)6 X 2 X 3
· (p)Pada X = 3 =
· ( 12 . 3 – 3 . 3 2 ) 6(3)2
3
(3)3 = 1
· p = 1 (uniter) artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %, maka jumlah produksi
(output) juga akan bertambah 1 %.
B. Biaya Marjinal dan Penerimaan Marjinal
1. Biaya Marjinal
Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika jumlah produksi ditambah 1 unit.
dC
· Rumus biaya marjinalMC = TCI =dQ
MC minimum jika MCI = 0
dan
Contoh :
Biaya total (TC) = f (Q) = Q 3 – 3 Q 2 + 4 Q + 4 Biaya Marjinal (MC) = TC ‘ = 3 Q 2 – 6 Q + 4 Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ? Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?
· Jawab = MC minimumpada MC ‘ = 0
MC ‘ = 6 Q – 6 = 0 6 Q = 6 Q = 1 MC
minimum
MC minimum = 3 Q 2 – 6 Q + 4 = 3 ( 1 ) 2 –
6 ( 1 ) + 4 = 6
· Jadibesarnyabiayamarjinalminimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1 unit.
2. Penerimaan Marjinal
Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit
· RumuspenerimaanmarjinalMR=TRI=
dR
dQdan TR maks. Jika MR = 0
· Contoh:fungsipermintaansuatubarang
P = 16 – 2 Q
Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?
Jawab :
Fungsi Penerimaan Total (TR) = P.Q = (16 – 2 Q) (Q) = 16 Q – 2 Q 2
Penerimaan Marjinal (MR) = TR ‘ = 16 – 4 Q
TR akan maksimum jika MR = 0 16 – 4 Q = 0
4 Q = 16 Q = 4
TR Maks. = 16 Q – 2 Q 2 = 16 (4) – 2 (4) 2 = 32
· Jadibesarnyapenerimaantotalmaksimum sebesar Rp. 32,00
C. Utilitas Marjinal
· Utilitas marginal (MU)utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap unit barang yang dikonsumsi.
· Fungsi utilitas total dinyatakan dengan U= f(Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marginal :
MU = U’ = dU / dQ
· Kurva utilitas marginal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya.
Contoh :
U = f(Q) = 90Q – 5Q2 MU = U’ = 90 – 10Q
U maksimum pada MU = 0 MU = 0
Sehingga nilai Q = 9
Maka, Umaksimum = 90(9) – 5(9)2
=810 – 405= 405
D. Produk Marjinal
· Produk marginal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan.
· Secara matematik fungsi produk marjinal merupakan derivative pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan P = f(x) dimana P melambangkan jumlah produk total dan x adalah jumlah masukan,
· Maka produk marginal : MP = P’ = dp/ dx
· Contoh:
Produksi totalP = f(x) = 9x2 – x3 produk marjinalnya adalah
MP = P’ = 18x – 3x2
Sehingga Pmaksimumpada P’ = 0 yaitu pada x = 6 dengan Pmaksimum = 108
P berada dititik belokdan MP maksimum pada P’’ = (MP)’ = 0 yaitu pada x = 3
E. Analisis Keuntungan Maksimum
Tingkat produksi yang memberikan keuntungan maksimum atau memberikan kerugian maksimum dapat diselidiki dengan pendekatan diferensial.
(Fungsi keuntungan( ) = TR – TC akan optimum jika I = 0’’<0maksimum=keuntunganmaksimum ’’> 0 minimum = kerugian maksimum)
Contoh :
jika fungsi penerimaan TR = - 2 Q 2 + 1000 Q Dan fungsi biaya total TC = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Berapakahtingkatkeuntungan maksimum ?
Jawab :
= TR – TC =(- 2 Q 2 + 1000 Q) – (Q 3 – 59 Q 2
+ 1315 Q + 2.000)
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000
Agar keuntungan maks. ’ = 0
’ = - 3 Q 2 + 114 Q – 315 = 0
- Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0 Q 1 = 3 dan Q 2 = 35
’’ = - 6 Q + 114
pada Q = 3 ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 3 ) + 114
=96 > 0
berartipadaQ=3,makakerugianakan maksimum.
pada Q = 35 ’’ = - 6 Q + 114 = - 6 ( 35 ) + 114 = - 96 < 0
berartipadaQ=35,makakeuntungan akan maksimum
= - Q 3 + 57 Q 2 - 315 Q – 2.000 = (- 35) 3 +
57 (35) 2 – 315 (35) – 2.000
= 13.925
jadi keuntungan maksimum sebesar Rp. 13.925,00 pada jumlah penjualan sebanyak 35 unit.
Bab 4. Diferensial Fungsi Majemuk
Diferensiasi fungsi majemuk diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas.
A. Diferensial Parsial
DiferensialParsialdiferensiasi
secara bagian demi bagian
· Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas, maka turunannya akan lebih dari satu macam pula. Misal, fungsi memiliki n macam variabel bebas, maka ia akan memiliki n macam turunan.
Contoh :
y f
(x, z)
()a)
y'...?
y fx (x, z) x
y
b)
fx (x, z) z
Diferensiasi Total:
dy
y dx
x
y dz
z
Contoh:
B. Derivatif dari Derivatif Parsial Masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi
C. Nilai Ekstrim
D. Optimasi Bersyarat
Apabilafungsiingindioptimumkan
tetapi terhambat oleh fungsi lain yang harus dipenuhi, maka dapat diselsaikan dengan metode :
Pengganda Lagrange
Contoh:
Kondisi Kuhn-Tucker
Referensi :
http://rosihan.web.id