METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL … · solusi fungsi pada nilai variabel bebas tertentu. Metode beda hingga bekerja dengan mengganti suatu persamaan diferensial dengan

METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA LINEAR

DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET

GALUH MAHARANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2016

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Metode Beda Hingga

untuk Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear dengan Syarat Batas

Dirichlet adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan

belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber

informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam

Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2016

Galuh Maharani

NIM G54120063

ABSTRAK

GALUH MAHARANI. Metode Beda Hingga untuk Persamaan Diferensial Biasa

Orde Dua Linear dengan Syarat Batas Dirichlet. Dibimbing oleh ELIS

KHATIZAH dan ALI KUSNANTO.

Persamaan diferensial dapat digunakan untuk memodelkan suatu fenomena

dinamis. Seringkali model tersebut sangat kompleks yang mengakibatkan

penyelesaian persamaan diferensial secara analitik sulit dilakukan sehingga

dibutuhkan suatu pendekatan numerik untuk mencari solusi persamaan. Secara

umum pendekatan numerik menggunakan prinsip hampiran sehingga hasil solusi

numerik akan memiliki selisih nilai dengan hasil solusi analitik. Karya ilmiah ini

berfokus pada penyelesaian persamaan diferensial biasa orde dua linear secara

numerik menggunakan metode beda hingga. Solusi khusus dalam penelitian ini

diperoleh dengan menggunakan syarat batas Dirichlet yang menspesifikasi nilai

solusi fungsi pada nilai variabel bebas tertentu. Metode beda hingga bekerja

dengan mengganti suatu persamaan diferensial dengan syarat batas menjadi

sebuah sistem persamaan linear yang dilakukan dengan mendiskretisasi daerah

asal dan mengubah turunan pada persamaan dengan hampiran beda hingga pusat.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa pendekatan secara numerik menggunakan

metode beda hingga hasilnya tidak berbeda jauh dengan metode analitik, hal ini

terlihat dari nilai MAPE yang memiliki kisaran kurang dari 10% pada setiap

kasus.

Kata kunci: persamaan diferensial biasa orde dua linear, syarat batas Dirichlet,

metode beda hingga

ABSTRACT

GALUH MAHARANI. Finite Difference Method for Second Order Linear

Differential Equation with Dirichlet Boundary Value Problem. Supervised by

ELIS KHATIZAH and ALI KUSNANTO.

Differential equation can be used to model a dynamical phenomenon.

Oftentimes, the model can be very complex, which causes the solution of the

problem using analytical method will be difficult to be done, so using numerical

approach to solve the problem seems to be the very feasible method. Generally,

numerical method uses approximation principal, it will yield a difference between

numerical solution with analytical solution. This research focused on the solution

of second order linear differential equation with numerical approach using finite

difference method. Explicit solution obtained by using Dirichlet Boundary Value

Problem, which specifies solution value function in each independent variable.

Finite difference method works by replacing a differential equation with boundary

value problem into linear equation systems through discretization of the initial

value and change the derivative in the equation by central finite difference

approximation. The results of this research shows that approximation using

numerical method in solving differential equation problem will obtain a small

deviation with the solution using analytical method, this showed by MAPE value

which less than 10% in each case.

Keywords: Dirichlet boundary value problem, finite difference method, second

order linear differential equation

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE DUA LINEAR

DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET

GALUH MAHARANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2016

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang

dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah

mengenai metode numerik beda hingga, dengan judul Metode Beda Hingga untuk

Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear dengan Syarat Batas Dirichlet.

Terima kasih penulis ucapkan kepada:

1 Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi dan Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku

Pembimbing atas ilmu dan masukannya selama masa bimbingan, dan

kepada Bapak Dr Ir Fahren Bukhari, MSc selaku Penguji.

2 Ayahanda Djoko Nurprianto dan Ibunda Titi Suryani yang banyak

memberikan nasihat, doa serta dukungan. Kakakku Puri Mahestyanti

yang selalu menjadi pengingat, pemberi masukan dan pemberi

semangat.

3 Keluarga besar Departemen Matematika IPB.

4 Teman-teman seperjuangan Aulia Khoirunnisa, Lina Amalia, Nuzul

Farina, dan Novalia Kartika yang selalu mejadi teman positif.

5 Teman-teman terbaik yang selalu memberikan motivasi positif Cynthia,

Ghina, Mazaya, Olivia, Ajeng, Claudia, Henysya, dan seluruh

Akselerasi 11th(Exelon) serta teman masa kecil Kiki dan Hanna.

6 Rekan-rekan mahasiswa Matematika 49.

7 Teman-teman lainnya yang telah memberikan dukungan moral yang tak

bisa disebutkan satu persatu.

8 For Galuh Maharani, thank you for your hardwork. [VIP].

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2016

Galuh Maharani

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

TINJAUAN PUSTAKA 2

HASIL DAN PEMBAHASAN 10

Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien

Konstan 10

Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien

Konstan 13

Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel

Jika Salah Satu Solusi Diketahui 17

Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel

21

Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien

Variabel Jika Kedua Solusi Diketahui 25

SIMPULAN DAN SARAN 28

Simpulan 28

Saran 29

DAFTAR PUSTAKA 29

LAMPIRAN 30

RIWAYAT HIDUP 37

DAFTAR TABEL

1 Asumsi awal solusi partikular berdasarkan bentuk 4 2 Nilai MAPE dan interpretasinya 10 3 Eror hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai 12 4 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai 13 5 Eror hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai 16 6 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai 17 7 Eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai 20 8 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai 21 9 Persamaan indeks untuk persamaan (43) 23 10 Solusi khusus persamaan (43) pada setiap titik nilai 24 11 Eror hasil solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai 27 12 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (52) pada setiap titik nilai 28

DAFTAR GAMBAR

1 Plot solusi khusus persamaan (25) metode analitik dan numerik 11 2 Plot solusi khusus persamaan (28) metode analitik dan numerik 15 3 Plot solusi khusus persamaan (35) metode analitik dan numerik 19 4 Plot solusi khusus persamaan (43) metode numerik beda hingga 24 5 Plot solusi khusus persamaan (52) metode analitik dan numerik 26

DAFTAR LAMPIRAN

1 Wronskian untuk memeriksa kebebasan linear 30 2 Hampiran beda hingga pusat 30 3 Penurunan metode variasi parameter untuk persamaan (52) 30 4 Metode beda hingga persamaan diferensial orde dua linear homogen

dengan koefisien konstan 31

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Hampir seluruh fenomena di alam semesta merupakan suatu hal yang

dinamis. Mempelajari suatu fenomena yang dinamis dapat dilakukan dengan

memodelkan fenomena tersebut secara matematis, yakni menggunakan persamaan

diferensial karena persamaan diferensial dapat menggambarkan tingkat perubahan

suatu kejadian. Suatu model persamaan diferensial dapat menggambarkan

fenomena dinamis yang terjadi pada kondisi umum namun seringkali ingin

diketahui lebih lanjut bagaimana jika fenomena tersebut terjadi pada kondisi

tertentu sehingga model persamaan diferensial saja tidak akan cukup untuk

menggambarkan fenomena tersebut. Kondisi khusus pada suatu fenomena dapat

digambarkan menggunakan suatu syarat batas. Masalah syarat batas pada

persamaan diferensial menyebabkan suatu persamaan diferensial memiliki suatu

kondisi khusus pada batas ekstrim, yakni pada batas bawah dan batas atas.

Dalam poses memodelkan suatu fenomena, model yang dihasilkan harus

dapat dengan tepat menggambarkan fenomena tersebut atau dengan kata lain

model yang akurat sangat diutamakan. Biasanya model yang akurat dibentuk

dengan menggunakan sedikit asumsi atau bahkan tanpa menggunakan asumsi-

asumsi tertentu. Penggunaan sedikit asumsi akan menyebabkan model yang

dihasilkan menjadi kompleks sehingga menurut LeVeque (2007) untuk

menyelesaikan suatu model persamaan diferensial dengan syarat batas atau

mencari sebuah fungsi (atau hampiran diskret untuk fungsi tersebut) yang

memenuhi hubungan antara turunan-turunan yang dimiliki dan memenuhi kondisi

batas dalam suatu daerah asal yang diberikan dapat dilakukan dengan suatu

pendekatan numerik. Hal ini terjadi ketika penyelesaian secara analitik tidak

mudah untuk dilakukan.

Metode beda hingga merupakan salah satu metode numerik yang didasarkan

pada aplikasi ekspansi Taylor untuk menghampiri persamaan diferensial. Metode

beda hingga bekerja dengan mengganti daerah asal suatu variabel terikat dalam

suatu persamaan diferensial yang terdefinisi dengan titik-titik nilai berhingga dari

hampiran variabel bebas. Turunan dalam suatu persamaan diferensial pada setiap

titik nilai akan dihampiri dari nilai sekitar menggunakan teorema Taylor (Causon

dan Mingham 2010). Proses ini akan menghasilkan beberapa persamaan aljabar

yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan proses komputasi.

Secara umum metode numerik menggunakan prinsip hampiran sehingga

solusi yang dihasilkan berupa nilai yang mendekati solusi analitiknya. Oleh

karena itu terdapat selisih nilai antara hasil metode numerik dengan hasil metode

analitik yang biasa disebut kesalahan atau galat. Nilai kesalahan yang kecil

menjadi indikasi bahwa metode numerik yang digunakan akurat dalam

menyelesaikan permasalahan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian

persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan masalah syarat batas Dirichlet

menggunakan metode analitik dan metode numerik beda hingga. Selanjutnya,

akan dievaluasi pula keakuratan metode beda hingga dalam menghasilkan solusi

dari suatu model persamaan diferensial dengan syarat batas Dirichlet

menggunakan nilai MAPE.

2

Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1 mempelajari penyelesaian analitik masalah nilai batas Dirichlet pada

persamaan diferensial biasa orde dua linear homogen dan nonhomogen

dengan koefisien konstan dan koefisien variabel,

2 mempelajari penyelesaian numerik masalah nilai batas Dirichlet pada

persamaan diferensial biasa orde dua linear menggunakan metode beda

hingga,

3 mengevaluasi keakuratan hasil penyelesaian numerik dengan metode

beda hingga untuk masalah syarat batas Dirichlet persamaan diferensial

biasa orde dua linear.

TINJAUAN PUSTAKA

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang menghubungkan

turunan dari sebuah fungsi tak diketahui, fugsi itu sendiri, variabel ketika fungsi

tersebut terdefinisi, dan konstanta (Farlow 1994). Berdasarkan banyak variabel

bebasnya, persamaan diferensial dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diferensial

biasa yang terdiri atas satu variabel bebas dan persamaan diferensial parsial yang

terdiri atas dua atau lebih variabel bebas. Secara umum suatu persamaan

diferensial biasa dapat dituliskan dalam bentuk

Suatu persamaan diferensial dapat diklasifikasikan berdasarkan orde,

kelinearan, dan kehomogenan persamaan. Orde dari suatu peramaan diferensial

ialah orde dari turunan tertinggi persamaan diferensial tersebut, yakni persamaan

diferensial dikatakan memiliki orde jika turunan tertinggi pada persamaan

diferensial tersebut memiliki orde . Persamaan diferensial diklasifikasikan linear

jika persamaan tersebut berupa fungsi linear, yakni tidak terdapat operasi

perkalian, pembagian, atau pangkat antara variabel terikat dan turunannya.

Persamaan diferensial diklasifikasikan kedalam persamaan homogen jika pada

persamaan (1) .

Dalam karya ilmiah ini persamaan diferensial biasa yang dibahas akan

difokuskan pada persamaan diferensial orde dua linear yang memiliki bentuk

umum

untuk setiap dengan merupakan sebuah fungsi yang

kontinu pada selang I. Jika pada persamaan (2) merupakan sebuah

konstanta, maka persamaan diferensial dikatakan memiliki koefisien konstan.

Solusi dari suatu persamaan diferensial adalah sebuah fungsi yang dapat

disubstitusikan kedalam persamaan sehingga persamaan tersebut berlaku. Solusi

dari suatu persamaan diferensial biasa harus saling bebas linear. Menurut Farlow

(1994) dua fungsi f dan g dikatakan bebas linear pada selang I jika terdapat dua

konstanta tak nol dan yang memenuhi

3

untuk setiap pada selang I. Dua fungsi f dan g dikatakan bergantung linear pada

selang I jika kedua fungsi tersebut tidak bebas linear pada selang I atau jika

persamaan diatas berlaku untuk setiap pada selang I hanya jika .

Kombinasi linier dari semua solusi yang saling bebas linear dari persamaan

diferensial biasa disebut solusi umum.

Metode Akar Karakteristik

Pada prinsipnya metode akar karakteristik digunakan untuk mengubah

persamaan diferensial biasa linear homogen dengan koefisien konstan menjadi

persamaan karakteristik. Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear

koefisien konstan dengan bentuk umum

dengan sebuah konstanta sembarang, . Persamaan (3) merupakan

kombinasi linear dan sehingga turunan dari tidak akan merubah bentuk

kecuali hanya mengalikannya dengan konstanta. Fungsi yang memenuhi kondisi

ini ialah fungsi eksponensial. Misalkan

persamaan (4) merupakan solusi dari (3) jika dan hanya jika

Karena tidak pernah sama dengan nol, persamaan (4) merupakan solusi jika

memenuhi

dengan (5) merupakan persamaan karakteristik.

Solusi dari persamaan (5) akan mengandung akar-akar persamaan.

Berdasarkan jenis akar yang diperoleh dapat dibedakan menjadi tiga, yakni:

1 Dua akar real berbeda

Jika diskriminan dari persamaan karakteristik lebih dari nol atau , maka solusi dari persamaan diferensial biasa orde dua ialah

dengan √

,

√

, dan merupakan konstanta

(Farlow 1994).

2 Dua akar real sama

Jika diskriminan dari persamaan karakteristik sama dengan nol atau

, maka solusi dari persamaan diferensial biasa orde dua

ialah

dengan

, dan merupakan konstanta (Farlow 1994).

4

3 Akar kompleks

Jika diskriminan dari persamaan karakteristik kurang dari nol atau , maka solusi dari persamaan diferensial biasa orde dua ialah

( ) ( )

( )

dengan

,

√

, dan merupakan konstanta (Farlow 1994).

Metode Koefisien Taktentu

Metode koefisien taktentu digunakan untuk mencari solusi partikular

persamaan diferensial biasa nonhomogen koefisien konstan. Metode ini

menggunakan asumsi awal untuk memperkirakan bentuk solusi partikular yang

akan diperoleh, namun dengan nilai koefisien yang tidak spesifik. Jika nilai

koefisien tidak dapat diperoleh setelah mensubstitusikan asumsi awal bentuk

solusi partikular ke dalam persamaan diferensial, maka bentuk asumsi awal yang

digunakan tidak tepat sehingga asumsi bentuk solusi partikular harus diubah

sampai diperoleh nilai koefisien yang spesifik. Perlunya asumsi awal berbentuk

solusi partikular menyebabkan metode ini terbatas untuk kelas fungsi tertentu.

Pada umumnya fungsi nonhomogen ( ) merupakan fungsi polinom,

eksponensial, sinus atau kosinus, atau perkalian dari fungsi-fungsi tersebut yang

secara singkat dituliskan pada Tabel 1.

Tabel 1 Asumsi awal solusi partikular berdasarkan bentuk ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) dan atau

( )

( )

( )

, dengan penjelasan:

1 jika ( ) merupakan fungsi polinom dan persamaan diferensial biasa

merupakan kombinasi linear dari , maka solusi partikular akan

merupakan fungsi polinom,

2 jika ( ) merupakan fungsi polinom dan eksponensial dan persamaan

diferensial biasa merupakan kombinasi linear dari , maka solusi

partikular akan merupakan fungsi polinom dan eksponensial (hal ini

berlaku karena turunan dari fungsi eksponensial tetap, hanya berlipat

sebesar ),

3 jika ( ) merupakan fungsi sinus atau kosinus dan persamaan diferensial

biasa merupakan kombinasi linear dari , maka solusi partikular akan

5

merupakan fungsi polinom dan sinus kosinus karena turunan dari

keduanya masih merupakan fungsi sinus atau kosinus.

Metode Reduksi Orde d’Alembert

Metode reduksi orde d’Alembert digunakan untuk mentransformasi

persamaan diferensial biasa orde tinggi menjadi sebuah persamaan diferensial

biasa dengan orde lebih rendah. Metode reduksi orde dapat digunakan jika salah

satu solusi tak nol dari persamaan diferensial biasa tersebut diketahui. Misalkan

merupakan solusi dari persamaan

maka berdasarkan prinsip superposisi, juga merupakan solusi dari

persamaan (6) dengan sebuah konstanta sebarang. Solusi lain yang bebas linear

terhadap dapat diperoleh jika solusi tersebut tidak dalam bentuk ,

sehingga konstanta sebarang diganti dengan sebuah fungsi, misal

dengan

∫ ∫

Metode Deret Pangkat dan Deret Frobenius

Metode deret digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa

koefisien variabel. Misalkan suatu persamaan diferensial biasa

dengan dan merupakan fungsi yang terdefinisi disekitar . Jika fungsi dan

merupakan fungsi analitik, atau dengan kata lain memiliki ekspansi deret

pangkat disekitar , maka merupakan titik regular. Namun, jika setidaknya

salah satu fungsi atau tidak analitik disekitar atau dengan kata lain tidak

memiliki ekspansi deret pangkat dengan pusat , maka merupakan titik

singular.

a Solusi disekitar titik regular

Jika merupakan titik regular, maka setiap solusi dari persamaan (7)

dapat direpresentasikaan sebagai deret pangkat dengan pusat .

∑

Perhatikan bahwa untuk kasus ini

∑ ∑

∑ ∑

6

Solusi dapat diperoleh dengan:

1 mensubstitusikan , dan ke dalam persamaan diferensial,

2 menuliskan ruas kiri persamaan (7) sebagai deret pangkat tunggal,

3 merepresentasikan koefisien deret yang diperoleh menjadi nol. Hal ini

akan menghasilkan suatu persamaan rekursif,

4 jika memungkinkan, buat sebuah barisan yang merupakan fungsi dari .

Setelah itu akan diperoleh solusi dalam bentuk deret pangkat. Jika solusi

deret dapat dituliskan dalam bentuk fungsi dasar, maka solusi tersebut

dikatakan dalam bentuk tertutup.

b Solusi disekitar titik regular-singular

Jika fungsi atau tidak analitik di , maka titik merupakan

titik singular. Dalam kasus ini jika persamaan (7) dapat dituliskan dalam bentuk

dengan fungsi dan analitik di , maka titik disebut titik

regular-singular. Jika persamaan (7) tidak dapat dituliskan dalam bentuk (8), maka

titik disebut titik iregular atau essential singularity.

Penyederhanaan pengerjaan dapat dilakukan dengan mengasumsikan .

Solusi dapat dicari dalam bentuk

∑ ∑

untuk beberapa nilai r. Deret (9) dinamakan deret Frobenius.

Perhatikan bahwa untuk kasus ini

∑

∑

Solusi dapat diperoleh dengan:

1 mensubstitusikan , dan ke dalam persamaan diferensial,

2 menuliskan ruas kiri persamaan (7) sebagai deret pangkat tunggal,

3 ambil koefisien deret dengan pangkat terendah, kemudian koefisien

tersebut disamadengankan dengan nol dan akan diperoleh persamaan

kuadratik yang akan menghasilkan nilai dan . Dari nilai dan

yang diperoleh, substitusikan ke persamaan indeks sehingga akan

diperoleh solusi deret dan .

Dari nilai dan yang diperoleh, dengan , akan terdapat tiga kasus:

1 jika selisih nilai dan bukan bilangan bulat, maka akan diperoleh dua

solusi bebas linear

∑

∑

2 jika selisih nilai dan bilangan bulat tak nol, memiliki nilai yang

lebih besar, maka akan diperoleh dua solusi bebas linear

∑

∑

3 jika selisih nilai dan nol, maka akan diperoleh dua solusi bebas linear

7

∑

∑

Metode Variasi Parameter

Metode variasi parameter digunakan untuk mencari solusi partikular

persamaan diferensial biasa nonhomogen. Metode ini dapat digunakan jika dua

solusi bebas linear persamaan homogen padanan diketahui. Meskipun metode ini

hanya dapat digunakan jika dua solusi bebas linear diketahui, namun metode ini

dapat diaplikasikan secara lebih mudah pada persamaan diferensial dengan orde

yang tinggi jika dibandingkan dengan metode reduksi orde serta tidak

diperlukannya asumsi awal bentuk solusi seperti pada metode koefisien tak tentu.

Metode variasi parameter memperoleh solusi partikular dengan mengasumsikan

parameter di solusi persamaan homogen padanan adalah suatu fungsi. Misalkan

persamaan diferensial biasa orde dua linear nonhomogen

dengan dan fungsi kontinu. Persamaan homogen padanan dari

persamaan diferensial (10) ialah

yang memiliki solusi homogen dengan bentuk umum

dengan dan konstanta sembarang. Ide dari metode variasi parameter ialah

mengganti konstanta dan pada persamaan (11) dengan fungsi dan

untuk solusi partikular sehingga akan diperoleh bentuk umum solusi partikular

Fungsi dan dapat dicari dengan memfokuskan pada dua kondisi. Persamaan

(12) merupakan kondisi pertama, yakni bahwa solusi partikular harus

memenuhi persamaan diferensial dengan turunan pertamanya

Kondisi kedua yang digunakan Lagrange dalam kasus ini ialah

sehingga turunan kedua menjadi lebih sederhana

substitusikan persamaan (12), (13), dan (15) ke dalam persamaan (10) sehingga

akan diperoleh

Persamaan (14) dan (16) akan menghasilkan suatu sistem persamaan linear.

Dengan metode Cramer akan diperoleh

dengan

(lampiran 1). Solusi partikular persamaan

diferensial biasa dinyatakan dalam persamaan (18)

∫

∫

8

Syarat Batas Dirichlet

Ketika suatu persamaan diferensial harus memenuhi kondisi batas pada

lebih dari satu nilai variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut dikatakan

memiliki masalah nilai batas atau boundary value problem. Pada umumnya

kondisi batas yang harus dipenuhi ialah pada dua titik, yakni pada batas bawah

dan batas atas. Kondisi batas ketika nilai solusi fungsi dispesifikasi pada nilai

variabel bebas tertentu dinamakan syarat batas Dirichlet. Contoh syarat batas

Dirichlet ialah

atau

Metode Beda Hingga

Metode beda hingga merupakan sebuah teknik penyelesaian persamaan

diferensial biasa yang menghampiri turunan dari fungsi dengan formula hampiran

beda hingga hasil ekspansi Taylor yang dievaluasi pada titik-titik diskret hasil

diskretisasi daerah asal sehingga menghasilkan solusi berupa nilai-nilai fungsi

pada titik-titik diskret. Secara umum terdapat tiga langkah utama metode beda

hingga yakni diskretisasi daerah asal, menghampiri turunan fungsi dengan

formula beda hingga, dan menyelesaikan persamaan aljabar untuk memperoleh

nilai hampiran fungsi pada setiap titik.

Misalkan terdapat persamaan diferensial biasa orde dua linear dengan

masalah syarat batas Dirichlet berikut

pada dengan dan .

Menurut Mathews (1987) persamaan (19) dapat diselesaikan menggunakan

metode beda hingga dengan tahapan pengerjaan sebagai berikut:

1 Dikretisasi daerah asal.

Diskretisasi daerah asal dilakukan dengan memartisi daerah asal menjadi beberapa titik nilai, seperti . Titik-titik nilai

yang dihasilkan akan digunakan untuk mencari nilai fungsi yang

merepresentasikan hampiran solusi dari persamaan diferensial. Memartisi daerah

asal dapat dilakukan menggunakan uniform Cartesian grid

dengan antar titik yang dihasilkan akan memiliki lebar selang yang seragam.

Sebagai contoh misalkan suatu persamaan diferensial memiliki daerah asal

yang akan dipartisi menjadi empat bagian. Proses diskretisasi akan

menghasilkan lima titik nilai dengan lebar selang seragam, yakni dengan

titik-titik nilai yang dihasilkan ialah .

2 Mengubah turunan pada persamaan diferensial dengan hampiran beda hingga

pada setiap titik nilai untuk memperoleh beberapa sistem persamaan aljabar.

Proses pengubahan turunan dapat dilakukan dengan memanfaatkan formula

beda pusat hasil ekspansi Taylor (lampiran 2)

9

dan

Agar penulisan lebih mudah,untuk selanjutnya akan dinotasikan dengan .

Substitusi persamaan (20) dan (21) ke persamaan (19)

(

)

Selanjutnya, kesalahan dihilangkan dan perubahan penulisan notasi

, , sehingga persamaan (22) menjadi

(

)

Dengan mengalikan setiap ruas persamaan (23) dengan , dan mengatur menjadi

sebuah sistem persamaan linear diperoleh

(

) (

)

untuk , dengan dan .

3 Menyelesaikan sistem persamaan aljabar untuk memperoleh hampiran solusi

pada setiap titik.

Sistem persamaan linear aljabar (24) dapat dituliskan dalam bentuk matriks

dan vektor

[

]

[

]

[

]

dengan (

) dan (

). Selanjutnya dapat diperoleh

nilai ,untuk .

MAPE (Mean Absolute Percentage Error)

MAPE (Mean Absolute Percentage Error) digunakan untuk mengukur

keakuratan hasil peramalan. Nilai MAPE disajikan dalam bentuk persen. MAPE

memiliki formula

∑

| |

10

dengan menyatakan banyaknya ukuran contoh, menyatakan nilai hasil

prediksi pada titik , dan menyatakan nilai pada titik . Tabel 2 mensajikan

nilai MAPE dan interpretasinya

Tabel 2 Nilai MAPE dan interpretasinya

MAPE Interpretasi

< 10 Tingkat keakuratan tinggi

10-20 Tingkat keakuratan baik

20-50 Tingkat keakuratan cukup baik

> 50 Tidak akurat

Sumber: Lewis (1982)

HASIL DAN PEMBAHASAN

1 Persamaan Diferensial Biasa Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Konstan

Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial biasa orde

dua linear homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode analitik akar

karakteristik dan menggunakan metode numerik beda hingga. Contoh persamaan

diferensial biasa orde dua linear homogen dengan koefisien konstan diberikan

pada persamaan (25).

Misalkan persamaan diferensial biasa orde dua linear

dengan syarat batas Dirichlet

a Metode Akar Karakteristik Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial (25)

maka diperoleh solusi umum persamaan (25)

Dengan syarat batas , maka

eliminasi persamaan (26) dan (27) menggunakan metode eliminasi Gauss,

diperoleh , dan , sehingga solusi khusus

persamaan (25)

11

b Metode Beda Hingga Penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien

konstan menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan

mendiskretisasi daerah asal , yakni memartisi daerah menjadi beberapa

titik nilai dengan . Untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi,

untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai.

Selanjutnya, mengubah turunan pada persamaan (25) dengan hampiran beda

hingga pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan linear

Dengan program MATLAB diperoleh solusi khusus persamaan (25) pada setiap

titik nilai. Gambar 1 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (25) metode

analitik dan metode numerik beda hingga untuk tiga nilai yang berbeda dengan

eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 3

dan nilai MAPE pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 4.

Gambar 1 Plot solusi khusus persamaan (25) metode analitik dan numerik

Titik-titik warna pada Gambar 1 menunjukkan hasil pendekatan solusi

numerik pada setiap titik nilai hasil diskretisasi dengan metode beda hingga. Titik

warna merah menunjukkan hasil pendekatan untuk , titik warna hijau

menunjukkan hasil pendekatan untuk , dan titik warna biru menunjukkan

hasil pendekatan untuk dengan garis hitam menunjukkan hasil solusi

analitik. Pada Gambar 1 terlihat plot solusi numerik metode beda hingga

bertumpuk dengan plot solusi analitik metode akar karakteristik untuk setiap nilai

. Nilai eror hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai

diperlihatkan pada Tabel 3.

Analitik

12

Tabel 3 Eror hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai

Eror

0 0 0 0

0.05 0.000019 - -

0.1 0.000051 0.000051 -

0.15 0.000021 - -

0.2 0.000038 0.000038 -

0.25 0.000033 - 0.000411

0.3 0.000015 0.000015 -

0.35 0.000057 - -

0.4 0.000032 0.000068 -

0.45 0.000023 - -

0.5 0.000017 0.000017 0.000346

0.55 0.000013 - -

0.6 0.000068 0.000068 -

0.65 0.000040 - -

0.7 0.000016 0.000016 -

0.75 0.000026 - 0.000203

0.8 0.000044 0.000056 -

0.85 0.000046 - -

0.9 0.000012 0.000059 -

0.95 0.000013 - -

1 0 0 0

Tabel 3 menunjukkan ketika nilai eror hasil solusi khusus

persamaan (25) kurang dari 0.0005, ketika lebar selang diperkecil menjadi

memiliki eror kurang dari 0.00007, dan ketika lebar selang diperkecil menjadi

0.05 memiliki eror kurang dari 0.00007. Secara umum terlihat pemilihan nilai

memengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik,

seperti saat , untuk hasil pendekatan metode beda hingga

memiliki eror sebesar 0.000346, ketika nilai diperkecil menjadi 0.1, hasil

pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar 0.000017 dan ketika nilai

diperkecil kembali menjadi 0.05, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki

eror 0.000017 sehingga untuk kasus ini hasil pendekatan metode beda hingga

secara umum memiliki nilai eror terkecil ketika . Pada Tabel 4

ditunjukkan nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai.

13

Tabel 4 Nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (25) pada setiap titik nilai

MAPE

0 0 % 0 % 0 %

0.05 0.00232 % - -

0.1 0.007572 % 0.007572 % -

0.15 0.00386 % - -

0.2 0.008608 % 0.008608 % -

0.25 0.000915 % - 0.112686 %

0.3 0.004992 % 0.004992 % -

0.35 0.002369 % - -

0.4 0.016285 % 0.034510 % -

0.45 0.001414 % - -

0.5 0.013100 % 0.013100 % 0.267993 %

0.55 0.012939 % - -

0.6 0.008246 % 0.008246 % -

0.65 0.061619 % - -

0.7 0.030746 % 0.030746 % -

0.75 0.066586 % - 0.522982 %

0.8 0.155329 % 0.194864 % -

0.85 0.232085 % - -

0.9 0.333545 % 0.475596 % -

0.95 0.215087 % - -

1 0 % 0 % 0 %

Dari Tabel 4 terlihat solusi khusus persamaan (25) secara keseluruhan

memiliki nilai MAPE kurang dari 1% dengan rata-rata nilai MAPE saat

sebesar 0.180732%, saat memiliki rata-rata 0.070749% dan rata-rata

terkecil terjadi saat yakni sebesar 0.056076% sehingga dapat dikatakan

bahwa metode numerik beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang tinggi

dalam mendekati solusi analitik persamaan (25).

2 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien Konstan

Penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan

koefisien konstan secara analitik yang akan dibahas pada bagian ini dilakukan

dengan menyelesaikan persamaan homogen padanan persamaan menggunakan

metode akar karakteristik dilanjutkan dengan penyelesaian persamaan partikular

menggunakan metode koefisien taktentu. Pada bagian ini akan dibahas pula

penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien

konstan secara numerik menggunakan metode beda hingga. Contoh dari

14

persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen koefisien konstan diberikan

pada persamaan (28).



a Metode Akar Karakteristik dan Koefisien Taktentu Persamaan homogen padanan dari persamaan (28)

Persamaan karakteristik dari (29)

maka solusi homogen padanan

Persamaan partikular dari persamaan (28)

substitusi persamaan (30), (31), (32) ke persamaan (28)

maka solusi partikular

, sehingga diperoleh solusi umum

persamaan (28)


eliminasi persamaan (33) dan (34) menggunakan metode eliminasi Gauss,

diperoleh

, sehingga solusi khusus persamaan (28)

b Metode Beda Hingga

Penyelesaian menggunakan metode beda hingga untuk menyelesaikan

persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen dengan koefisien konstan

diawali dengan mendiskretisasi daerah asal menjadi beberapa titik nilai

dengan . Dalam karya ilmiah ini terdapat tiga nilai yang digunakan yakni

, sehingga untuk terdapat 5 titik

nilai hasil partisi, untuk terdapat 11 titik nilai dan untuk

terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, dilakukan pengubahan turunan pada persamaan

15

(28) dengan hampiran beda hingga pusat pada setiap titik nilai sehingga diperoleh

sistem persamaan linear

Solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai diperoleh dengan program

MATLAB. Gambar 2 menunjukkan plot solusi khusus persamaan (28) metode



dan pada Tabel 6 ditunjukkan nilai MAPE pada setiap titik nilai untuk masing-

masing nilai .


Hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil diskretisasi

dengan metode beda hingga ditunjukkan dengan plot yang berupa titik-titik

diskret pada Gambar 2. Titik warna merah menunjukkan hasil pendekatan untuk

, titik warna hijau menunjukkan hasil pendekatan untuk , dan

titik warna biru menunjukkan hasil pendekatan untuk dengan garis

hitam menunjukkan hasil solusi analitik. Pada Gambar 2 terlihat plot solusi

numerik metode beda hingga bertumpuk dengan plot solusi analitik metode akar

karakteristik dan koefisien tak tentu untuk nilai sementara

ketika plot solusi numerik tidak tepat bertumpuk dengan plot solusi

numerik. Nilai eror hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai

diperlihatkan pada Tabel 5.

Analitik

16


Eror

0 0 0 0

0.05 0.000135 - -

0.1 0.000301 0.001001 -

0.15 0.000374 - -

0.2 0.000586 0.002286 -

0.25 0.000727 - 0.019427

0.3 0.000839 0.003539 -

0.35 0.001025 - -

0.4 0.001240 0.00484 -

0.45 0.001394 - -

0.5 0.001544 0.006044 0.041844

0.55 0.001591 - -

0.6 0.001667 0.006867 -

0.65 0.001729 - -

0.7 0.001736 0.007136 -

0.75 0.001736 - 0.049236

0.8 0.001536 0.006436 -

0.85 0.001372 - -

0.9 0.001069 0.004259 -

0.95 0.000595 - -

1 0 0 0

Tabel 5 menunjukkan ketika nilai eror hasil solusi khusus

persamaan (28) kurang dari 0.05, ketika lebar selang diperkecil menjadi

memiliki eror kurang dari 0.008, dan ketika lebar selang diperkecil menjadi 0.05

memiliki eror kurang dari 0.002. Secara umum terlihat pemilihan nilai

memengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik,

seperti saat , untuk hasil pendekatan metode beda hingga

memiliki eror sebesar 0.041844, ketika nilai diperkecil menjadi 0.1, hasil

pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar 0.006044 dan ketika nilai

diperkecil kembali menjadi 0.05, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki

eror 0.001544 sehingga untuk kasus ini hasil pendekatan metode beda hingga

secara umum memiliki nilai eror terkecil ketika . Pada Tabel 6

ditunjukkan nilai MAPE hasil solusi khusus persamaan (28) pada setiap titik nilai.

17


MAPE

0 0 % 0 % 0 %

0.05 0.013231 % - -

0.1 0.028789 % 0.095819 % -

0.15 0.035193 % - -

0.2 0.054577 % 0.212847 % -

0.25 0.067161 % - 1.795485 %

0.3 0.077416 % 0.326457 % -

0.35 0.094929 % - -

0.4 0.11611 % 0.453106 % -

0.45 0.132980 % - -

0.5 0.151499 % 0.592954 % 4.104977 %

0.55 0.162312 % - -

0.6 0.179346 % 0.738707 % -

0.65 0.199414 % - -

0.7 0.219535 % 0.902419 % -

0.75 0.247918 % - 7.031075 %

0.8 0.258446 % 1.082857 % -

0.85 0.290607 % - -

0.9 0.321398 % 1.283137 % -

0.95 0.339177 % - -

1 0 % 0 % 0 %

Keakuratan metode beda hingga dalam mendekati solusi analitik

persamaan (28) dapat dilihat pada Tabel 6 yang menunjukkan nilai MAPE untuk

solusi khusus persamaan (28) dengan rata-rata nilai MAPE untuk

sebesar 2.586307%, untuk dan memiliki rata-rata nilai MAPE

kurang dari 1% yakni sebesar 0.517119% saat dan 0.142383% saat

yang merupakan rata-rata terkecil sehingga dapat dikatakan bahwa

metode numerik beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang tinggi dalam

mendekati solusi analitik persamaan (28).

3 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel Jika Salah Satu Solusi Diketahui

Pada bagian ini akan dibahas metode analitik reduksi orde d’Alembert

untuk menyelesaian persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan

koefisien variabel jika salah satu solusi persamaan sudah diketahui. Selanjutnya,

akan dibahas pula penyelesaian menggunakan metode numerik beda hingga.

Persamaan diferensial orde dua linear homogen dengan koefisien variabel

diberikan pada persamaan (35) dengan salah satu nilai solusi yang telah diketahui.

18

Misalkan adalah solusi dari persamaan diferensial


a Metode reduksi orde d’Alembert Persamaan (35) memiliki bentuk umum

Misalkan

substitusi persamaan (36), (37), (38) ke persamaan (35)

(

)

misalkan , , maka persamaan (39) dapat dituliskan menjadi

∫

∫

| | | | pilih , akan diperoleh

∫

pilih , akan diperoleh

substitusikan persamaan (40) ke persamaan (36), akan diperoleh

dengan

|

|

Jadi , dan

bebas linear.

Maka solusi umum persamaan (35)


19

eliminasi persamaan (41) dan (42) menggunakan metode eliminasi Gauss

diperoleh , .

Jadi solusi khusus persamaan (35)

b Metode Beda Hingga

Penyelesaian persamaan (35) menggunakan metode numerik beda hingga

diawali dengan mendiskretisasi daerah asal , yakni memartisi daerah menjadi beberapa titik nilai dengan . Dalam karya ilmiah ini

terdapat tiga nilai yang digunakan yakni ,

sehingga untuk terdapat 5 titik nilai hasil partisi, untuk terdapat

11 titik nilai dan untuk terdapat 21 titik nilai. Selanjutnya, proses

penyelesaian dilakukan dengan mengubah turunan pada persamaan (35) dengan

hampiran beda hingga pada setiap titik nilai sehingga diperoleh sistem persamaan

linear

dengan program MATLAB diperoleh solusi khusus persamaan (35) pada setiap




dan nilai MAPE pada setiap titik nilai untuk masing-masing nilai ditunjukkan

pada Tabel 8.


Analitik

20

Gambar 3 menunjukkan plot solusi analitik yang berupa garis berwarna

hitam dan plot hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil

diskretisasi dengan metode beda hingga yang berupa titik-titik diskret dengan titik



hasil pendekatan untuk . Pada Gambar 3 terlihat plot solusi analitik tidak

tepat bertumpuk dengan plot solusi numerik metode reduksi orde d’Alembert.

Nilai eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai diperlihatkan

pada Tabel 7.


Eror

1 0 0 0

1.05 0.314862 - -

1.1 0.544182 0.546782 -

1.15 0.707230 - -

1.2 0.818267 0.821667 -

1.25 0.888300 - 0.082900

1.3 0.925462 0.928662 -

1.35 0.936081 - -

1.4 0.925271 0.928071 -

1.45 0.897010 - -

1.5 0.854133 0.856333 0.515533

1.55 0.799323 - -

1.6 0.734500 0.736200 -

1.65 0.661321 - -

1.7 0.581071 0.582271 -

1.75 0.494857 - 0.376457

1.8 0.403511 0.404211 -

1.85 0.307781 - -

1.9 0.208232 0.208632 -

1.95 0.105541 - -

2 0 0 0

Tabel 7 menunjukkan nilai eror hasil solusi khusus persamaan (35) pada

setiap titik nilai untuk setiap nilai . Pemilihan nilai mempengaruhi hasil

pendekatan metode beda hingga terhadap solusi analitik, seperti saat ,

untuk hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar

0.515533, ketika nilai diperkecil menjadi 0.1, hasil pendekatan metode beda

hingga memiliki eror sebesar 0.856333 dan ketika nilai diperkecil kembali

menjadi 0.05, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror 0.854133.

Solusi khusus persamaan (35) hasil pendekatan metode beda hingga secara umum

21

memiliki nilai eror terkecil ketika . Pada Tabel 8 ditunjukkan nilai

MAPE hasil solusi khusus persamaan (35) pada setiap titik nilai.


MAPE

1 0 % 0 % 0 %

1.05 25.285277 % - -

1.1 36.723926 % 36.899386 % -

1.15 41.337484 % - -

1.2 42.324138 % 42.5 % -

1.25 41.316279 % - 3.855814 %

1.3 39.188925 % 39.32443 % -

1.35 36.444412 % - -

1.4 33.386082 % 33.487113 % -

1.45 30.195357 % - -

1.5 26.972632 % 27.042105 % 16.28 %

1.55 23.791647 % - -

1.6 20.690141 % 20.738028 % -

1.65 17.69242 % - -

1.7 14.809895 % 14.84048 % -

1.75 12.048696 % - 9.165913 %

1.8 9.4082902 % 9.4246114 % -

1.85 6.8871485 % - -

1.9 4.4806342 % 4.4892412 % -

1.95 2.1876694 % - -

2 0 % 0 % 0 %

Dari Tabel 8 terlihat untuk memiliki rata-rata nilai MAPE

lebih dari 10%, yakni untuk secara rata-rata memiliki nilai MAPE

sebesar 22.151%, dan untuk memiliki rata-rata nilai MAPE sebesar

20.79504%, sedangkan untuk memiliki rata-rata nilai MAPE kurang

dari 10%, yakni sebesar 5.860345%. Dari nilai MAPE yang diperoleh dapat

dikatakan bahwa metode beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang baik

dalam mendekati solusi analitik persamaan (35).

4 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Homogen dengan Koefisien Variabel

Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear

homogen dengan koefisien variabel menggunakan metode analitik deret dan

metode numerik beda hingga. Salah satu contoh persamaan diferensial orde dua

linear homogen koefisien variabel ialah persamaan Chebysev yang memiliki

22

bentuk menyerupai persamaan Legandre yang biasa digunakan dalam mekanika

quantum. Persamaan Chebysev diberikan pada persamaan (43).


| |


a Metode Deret Persamaan (43) merupakan persamaan Chebysev, yang memiliki titik

regular singular , dan sehingga penyelesaian secara analitik dapat

menggunakan metode deret pangkat.

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Substitusi persamaan (44), (45), dan (46) ke persamaan (43), akan diperoleh

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

dari persamaan (47) diperoleh

23

dan persamaan indeks

Persamaan (48) dan (49) merupakan kasus khusus persamaan (50), yakni ketika

dan , maka persamaan (50) dapat dituliskan menjadi

Tabel 9 Persamaan indeks untuk persamaan (43)

Sehingga solusi umum persamaan Chebysev dengan

(

) (

)

Solusi khusus persamaan (43) tidak dapat diperoleh karena solusi umum

tidak dalam bentuk tertutup.


variabel menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan









eror untuk masing-masing nilai pada setiap titik nilai ditunjukkan pada Tabel 10.

24

Gambar 4 Plot solusi khusus persamaan (43) metode numerik beda hingga

Tabel 10 Solusi khusus persamaan (43) pada setiap titik nilai

Numerik

1 1 0 0

1.05 1.6367 - -

1.1 2.0231 1.6203 -

1.15 2.3249 - -

1.2 2.5815 2.3097 -

1.25 2.8087 - 2.6229

1.3 3.015 2.8452 -

1.35 3.2053 - -

1.4 3.3829 3.2979 -

1.45 3.5502 - -

1.5 3.7088 3.6971 3.5973

1.55 3.8599 - -

1.6 4.0046 4.0581 -

1.65 4.1436 - -

1.7 4.2776 4.39 -

1.75 4.407 - 4.3565

1.8 4.5324 4.699 -

1.85 4.6541 - -

1.9 4.7724 4.9891 -

1.95 4.8877 - -

2 5 0 0

25

Penyelesaian persamaan Chebysev dengan metode deret tidak

menghasilkan solusi dalam bentuk tertutup sehingga syarat batas tidak dapat

disubstitusikan ke dalam solusi umum untuk memeroleh solusi khusus. Pada

Gambar 4 metode beda hingga dapat menggambarkan nilai solusi pada setiap titik

diskret hasil metode numerik beda hingga dengan nilai solusi pada setiap

titiknya ditunjukkan pada Tabel 10. Secara keseluruhan untuk setiap nilai plot

solusi memiliki pola yang sama. Terlihat bahwa nilai yang lebih kecil dapat

lebih mulus menunjukkan kurva solusi dibandingkan dengan nilai yang lebih

besar. Dari contoh kasus ini dapat dilihat bahwa metode beda hingga mampu

memberikan gambaran bentuk kurva solusi ketika metode analitik tidak

memungkinkan untuk digunakan dalam menyelesaikan suatu permasalahan,

namun pada kasus ini tidak dapat dilihat apakah metode beda hingga akurat dalam

mendekati solusi analitik untuk persamaan (43).

5 Persamaan Diferensial Orde Dua Linear Nonhomogen dengan Koefisien Variabel Jika Kedua Solusi Diketahui

Jika solusi persamaan homogen padanan dari persamaan diferensial orde

dua linear nonhomogen dengan koefisien variabel diketahui, maka penyelesaian

persamaan partikular dapat dilakukan menggunakan metode variasi parameter

yang akan dibahas pada bagian ini. Akan dibahas pula metode numerik beda

hingga untuk penyelesaian persamaan diferensial orde dua linear nonhomogen

dengan koefisien variabel. Contoh persamaan diferensial orde dua linear

nonhomogen dengan koefisien variabel diberikan pada persamaan (52) dengan

solusi homogen padanan yang telah diketahui.

Misalkan , dan adalah solusi dari persamaan

diferensial biasa


a Metode Variasi Parameter Misalkan

dengan metode variasi parameter, misalkan

dapat dicari menggunakan persamaan (18), dari persamaan (17) akan

diperoleh

(lampiran 3). Substitusikan persamaan (54) dan (55) ke persamaan (53) akan

diperoleh

Sehingga solusi umum persamaan (52)


26

substitusi persamaan (56) ke persamaan (57) diperoleh

, sehingga solusi khusus persamaan (52)


konstan menggunakan metode numerik beda hingga diawali dengan










dan nilai MAPE pada setiap titik nilai untuk masing-masing nilai ditunjukkan

pada Tabel 12.


Gambar 5 menunjukkan plot solusi analitik yang berupa garis berwarna

hitam dan plot hasil pendekatan solusi numerik pada setiap titik nilai hasil

diskretisasi dengan metode beda hingga yang berupa titik-titik diskret dengan titik



hasil pendekatan untuk . Pada Gambar 5 terlihat plot solusi numerik

metode beda hingga bersinggungan dengan plot solusi analitik metode variasi

Analitik

27

parameter untuk setiap nilai dengan nilai eror untuk setiap titik ditunjukkan

pada Tabel 11.


Eror

0 0 0 0

0.05 0.030357 - -

0.1 0.059609 0.059709 -

0.15 0.086659 - -

0.2 0.112430 0.110730 -

0.25 0.130769 - 0.131569

0.3 0.146649 0.146749 -

0.35 0.157672 - -

0.4 0.163577 0.163677 -

0.45 0.164347 - -

0.5 0.160113 0.160212 0.160813

0.55 0.150967 - -

0.6 0.137573 0.137673 -

0.65 0.120377 - -

0.7 0.100320 0.10042 -

0.75 0.078556 - 0.078956

0.8 0.056364 0.056464 -

0.85 0.035372 - -

0.9 0.017474 0.017474 -

0.95 0.004851 - -

1 0 0 0

Pada Tabel 11 terlihat metode beda hingga memiliki nilai eror kurang dari

0.2 secara keseluruhan untuk setiap nilai pada setiap titik nilai. Secara umum

terlihat pemilihan nilai mempengaruhi hasil pendekatan metode beda hingga

terhadap solusi analitik. Seperti saat , untuk hasil pendekatan

metode beda hingga memiliki eror sebesar 0.160813, ketika nilai diperkecil

menjadi 0.1, hasil pendekatan metode beda hingga memiliki eror sebesar

0.160212 dan ketika nilai diperkecil kembali menjadi 0.05, hasil pendekatan

metode beda hingga memiliki eror 0.160113. Dari Tabel 11 terlihat solusi khusus

persamaan (52) hasil pendekatan metode beda hingga secara umum memiliki nilai

eror terkecil ketika dengan penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada

Tabel 12.

28


MAPE

0 0 % 0 % 0 %

0.05 0.023093 % - -

0.1 3.640494 % 3.646601 % -

0.15 4.400608 % - -

0.2 4.865674 % 4.792103 % -

0.25 4.912189 % - 4.94224 %

0.3 4.849571 % 4.852878 % -

0.35 4.642421 % - -

0.4 4.328218 % 4.330864 % -

0.45 3.938474 % - -

0.5 3.498437 % 3.500622 % 3.513731 %

0.55 3.025129 % - -

0.6 2.541290 % 2.543138 % -

0.65 2.059413 % - -

0.7 1.596294 % 1.597886 % -

0.75 1.167169 % - 1.173112 %

0.8 0.784855 % 0.786247 % -

0.85 0.463231 % - -

0.9 0.215936 % 0.215936 % -

0.95 0.056754 % - -

1 0% 0% 0 %

Pada Tabel 12 terlihat solusi khusus persamaan (52) secara keseluruhan

memiliki nilai MAPE kurang dari 10% dengan rata-rata nilai MAPE saat sebesar 2.429012%, saat memiliki rata-rata 2.387843% dan rata-rata

terkecil terjadi saat yakni sebesar 1.925817% sehingga dapat dikatakan

bahwa metode numerik beda hingga memiliki tingkat keakuratan yang baik dalam

mendekati solusi analitik persamaan (52).

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Dalam pembahasan pada skripsi ini, dapat ditarik kesimpulan bahwa metode

numerik beda hingga dapat digunakan untuk menyelesaikan semua jenis

persamaan diferensial biasa orde dua linear. Dalam hal metode analitik tidak dapat

menyelesaikan solusi secara eksak, metode beda hingga dapat menyelesaikan

persamaan diferensial biasa orde dua linier seperti terlihat pada kasus ketiga yakni

29

metode beda hingga mampu menunjukkan bentuk kurva solusi khusus secara

eksplisit. Metode beda hingga juga mengubah suatu persamaan diferensial dengan

syarat batas menjadi sebuah sistem persamaan linear yang dapat diselesaikan

dengan proses komputasi sederhana. Pemilihan nilai pada metode beda hingga

menentukan keakuratan hasil pendekatan solusi, namun pemilihan nilai yang

kecil tidak menjamin solusi akan semakin akurat atau akan memiliki eror yang

kecil jika dibandingkan dengan metode analitik. Metode beda hingga memiliki

nilai MAPE kurang dari 10% untuk semua jenis kasus yang diselesaikan.

Saran

Dalam karya ilmiah ini telah dibahas penyelesaian persamaan diferensial

biasa orde dua linier. Metode ini dapat dikembangkan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial tak linier. Saran dari penulis adalah dapat dilakukan

penelitian lebih lanjut untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa orde dua

tak linier menggunakan metode beda hingga.

DAFTAR PUSTAKA

Causon D M dan Mingham C G. 2010. Introductory Finite Different Methods Fr

PDEs. Manchester(UK): Ventus Publishing ApS.

Farlow S J. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their

Applications. Singapore(SG): McGraw-Hill.

LeVaque R J. 2007. Finite Difference Methods For Ordinary and Partial

Differential Equation. Philadelphia(PA): SIAM.

Lewis C D. 1982. Industrial and business forecasting methods. London:

Butterworths.

Mathews J. 1987. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering.

Ed ke-2. New Jersey(US): Prentice-Hall, Inc.

30

LAMPIRAN

Lampiran 1 Wronskian untuk memeriksa kebebasan linear

Misalkan dua fungsi terturunkan dan

|

|

dinamakan Wronskian dari dan

Lampiran 2 Hampiran beda hingga pusat

Deret Taylor dari fungsi di (atau di sekitar atau yang berpusat di )

memenuhi persamaan

∑

(Varberg et al.2008)

Misalkan ekspansi deret Taylor pada

Pada akan diperoleh

Pada akan diperoleh

Untuk k=2, dengan mengurangi persamaan (69) dan (70) akan diperoleh

persamaan (71) dapat dituliskan menjadi

Untuk k=4 dengan menjumlahkan persamaan (69) dan (70) akan diperoleh

persamaan (72) dapat dituliskan menjadi

Lampiran 3 Penurunan metode variasi parameter untuk persamaan (52)

Nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan solusi homogen

persamaan (52) ke persamaan (17), akan diperoleh

31

|

|

∫

dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial dengan dan

diperoleh

Nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan solusi homogen persamaan (52)

ke persamaan (17), akan diperoleh

|

|

dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial dengan ,

dan ,

diperoleh

[

∫ (

∫ )]

dengan menggunakan teknik pengintegralan parsial dengan ,

diperoleh

Lampiran 4 Metode beda hingga persamaan diferensial orde dua linear homogen

dengan koefisien konstan

Dengan metode beda hingga dari persamaan (25) diperoleh sistem

persamaan linear

dengan A1=[-2.5 1.25 0; 0.75 -2.5 1.25; 0 0.75 -2.5]

A1 =

-2.5000 1.2500 0

0.7500 -2.5000 1.2500

0 0.7500 -2.5000

B1=[-0.9; 0; 0]

32

B1 =

-0.900

0

0

Y1=inv(A1)*B1

Y1 =

0.3643

0.1286

0.0386

dengan A3=[-2.08 1.1 0 0 0 0 0 0 0; 0.9 -2.08 1.1 0 0 0 0 0 0; 0 0.9

-2.08 1.1 0 0 0 0 0; 0 0 0.9 -2.08 1.1 0 0 0 0; 0 0 0 0.9 -

2.08 1.1 0 0 0; 0 0 0 0 0.9 -2.08 1.1 0 0; 0 0 0 0 0 0.9 -2.08

1.1 0; 0 0 0 0 0 0 0.9 -2.08 1.1; 0 0 0 0 0 0 0 0.9 -2.08]

A3 =

-2.0800 1.1000 0 0 0 0

0 0 0

0.9000 -2.0800 1.1000 0 0 0

0 0 0

0 0.9000 -2.0800 1.1000 0 0

0 0 0

0 0 0.9000 -2.0800 1.1000 0

0 0 0

0 0 0 0.9000 -2.0800 1.1000

0 0 0

0 0 0 0 0.9000 -2.0800

1.1000 0 0

0 0 0 0 0 0.9000

-2.0800 1.1000 0

0 0 0 0 0 0

0.9000 -2.0800 1.1000

0 0 0 0 0 0

0 0.9000 -2.0800

B3=[-0.75 0 0 0 0 0 0 0 0]

B3 =

-0.7500 0 0 0 0 0

0 0 0

B3=[-0.9; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]

B3 =

-0.9000

0

0

0

33

0

0

0

0

0

Y3=inv(A3)*B3

Y3 =

0.6689

0.4467

0.2974

0.1968

0.1289

0.0827

0.0509

0.0285

0.0123

dengan A2=[-2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0.95 -2.02

1.05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0; 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0

0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0.95

-2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0

0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.95 -2.02 1.05 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02

1.05 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0

0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0 0; 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.95 -2.02 1.05 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95

-2.02 1.05; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.95 -2.02]

A2 =

Columns 1 through 9

-2.0200 1.0500 0 0 0 0

0 0 0

0.9500 -2.0200 1.0500 0 0 0

0 0 0

0 0.9500 -2.0200 1.0500 0 0

0 0 0

0 0 0.9500 -2.0200 1.0500 0

0 0 0

0 0 0 0.9500 -2.0200 1.0500

0 0 0

0 0 0 0 0.9500 -2.0200

1.0500 0 0

0 0 0 0 0 0.9500

-2.0200 1.0500 0

34

0 0 0 0 0 0

0.9500 -2.0200 1.0500

0 0 0 0 0 0

0 0.9500 -2.0200

0 0 0 0 0 0

0 0 0.9500

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

Columns 10 through 18

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

1.0500 0 0 0 0 0

0 0 0

-2.0200 1.0500 0 0 0 0

0 0 0

0.9500 -2.0200 1.0500 0 0 0

0 0 0

0 0.9500 -2.0200 1.0500 0 0

0 0 0

0 0 0.9500 -2.0200 1.0500 0

0 0 0

0 0 0 0.9500 -2.0200 1.0500

0 0 0

35

0 0 0 0 0.9500 -2.0200

1.0500 0 0

0 0 0 0 0 0.9500

-2.0200 1.0500 0

0 0 0 0 0 0

0.9500 -2.0200 1.0500

0 0 0 0 0 0

0 0.9500 -2.0200

0 0 0 0 0 0

0 0 0.9500

Column 19

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.0500

-2.0200

B2=[-0.95; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;

0]

B2 =

-0.9500

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

36

0

Y2=inv(A2)*B2

Y2 =

0.8180

0.6689

0.5468

0.4467

0.3647

0.2974

0.2422

0.1969

0.1596

0.1289

0.1036

0.0827

0.0653

0.0509

0.0388

0.0286

0.0199

0.0124

0.0058

37

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 22 Januari 1995, anak kedua

dari dua bersaudara dari Bapak Djoko Nurprianto dan Ibu Titi Suryani. Tahun

2012 Penulis lulus dari Program Akselerasi SMAN 81 Jakarta dan melanjutkan

pendidikan di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam (MIPA), Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur SNMPTN Undangan.

Selama masa studi sebagai mahasiswa matematika di IPB Penulis tidak aktif

mengikuti kegiatan organisasi dikarenakan faktor kesehatan dan memprioritaskan

perkuliahan. Tahun 2013-2015 Penulis sempat mendapatkan beasiswa PPA.

.

Documents

METODE BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL … · solusi fungsi pada nilai variabel bebas tertentu. Metode beda hingga bekerja dengan mengganti suatu persamaan diferensial dengan