Bab 4 Pemodelan dan Analisis Pengendalian Proses

2

Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukanhal-hal berikut.

• Menyelesaikan model dinamik linear orde satu dan dua secara analitis

• Menyatakan model dinamik kedalam fungsi alih (transfer function)

• Memperkirakan fitur penting dari perilaku dinamik dari dari model tanpa menyelesaikannya

Tujuan Pembelajaran

3

Kerangka Kuliah

• Transformasi Laplace

• Penyelesaikan model dinamik linear

• Struktur model fungsi alih

• Fitur kualitatif secara langsung dari model

• Respon frekuensi

• Workshop

Kerangka Kuliah

4

T

A

Aku bisa memodelkanini; apa lagi yang

aku perlukan? T

A

Aku suka pada• elemen model secara

individual• mengkombinasi sesuai

kebutuhan• menentukan fitur

dinamik kuncitanpa menyelesaikan

Kenapa Kita Perlu Pemodelan Dinamik Lagi

5

T

A

Aku suka pada• elemen model secara

individual• Ada “FUNGSI ALIH”

di situ

Kini, aku bisa menggabungkan elemenuntuk memodelkan beberapa struktur proses


6

Bahkan yang lebihmenakjubkan, aku bisamenggabungkan untukmenurunkan sebuahmodel yang disederhanakan!


Kini, aku bisa menggabungkan elemenuntuk memodelkan beberapa struktur proses

7

Bagaimana Melihat Perilaku Dinamik Proses?

PROSES(Dinamik)

PersamaanDifferensial

FungsiTransformasi

LAPLACE F(s)

SolusiNUMERIK

Pemodelan Teorema TL

EulerRK, dll

FUNGSIWAKTU f(t)

Ekspansidan TLB

Input:Sinyal uji(step, ramp, dll)

RESPONDINAMIK

MA

TL

AB

Linearisasi

FUNGSI ALIH

8

FUNGSI ALIH

VkF

FK

VkF

V

,

)()()(

0 tKCtCdt

tdCAA

A

9

Fungsi Alih (Transfer Function)

Respon transien:(1) Tentukan sinyal input u(t), d(t)

(2) Tulis ODE proses dengan inputnya

(3) Definisikan kondisi awalnya

(4) Gunakan Transformasi Laplace (TL)

(5) Selesaikan untuk Y(s)

(6) Gunakan TL balik (inverse) untuk mendapatkan y(t)

Kerugian:

Prosedur lengkap harus diulang kembali dengan adanya perubahan: kondisi awal jenis sinyal input u(t)

Dapatkah kita menggambarkan dinamika proses yang bebas dari kondisi awal dan input?

10

Apa itu fungsi alih? Pernyataan aljabar untuk hubungan dinamik antara input

dan ouput model proses

Menggunakan fungsi alih untuk menghitung respon proses terhadap input (MV dan gangguan)

G(s)U(s) Y(s)

sY£ty

sUsGsY

tu£sU

1-

)(

)()(

sU

sYsG

Fungsi Alih

11

Keuntungan Penggambaran fungsi alih mempermudah analisis pengaruh input

yang berbeda-beda (hanya dengan mengganti U(s)) Fungsi alih dapat menggambarkan tingkatan proses. Sekali

respon proses terhadap perubahan input diketahui, maka respon proses lainnya yang digambarkan dengan jenis fungsi alih yang sama dapat diketahui pula.

Proses linear (atau dilinearkan) yang khas Sistem orde pertama Sistem terintegrasi (integrating process) Sistem orde kedua

Fungsi Alih

12

Kita perlu TL dari turunan untuk menyelesaikan model dinamik.

Turunan

pertama:

Umum:

0)()(

)(

ttfssF

dt

tdfL

konstan

01

1

0

10

1

tn

n

t

nt

nnn

n

dt

)t(fd....

dt

)t(dfs)t(fs)s(fs

dt

)t(fdL

konstan

Aku dalam kesedihanperlu banyak contoh!

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace

13

Transformasi Laplace Persamaan Differensial

0AA

A KCCdt

dCL

)()()( 0 sKCsCssC AAA

14

Persamaan Differensial menjadi Fungsi Alih

1)(

)()(

)(1

)(

)()1)((

)()()(

0

0

0

0

s

K

sC

sCsG

sCs

KsC

sKCssC

sKCsCsCs

A

A

AA

AA

AAA

FUNGSI ALIH

15

Transformasi Laplace

Berlaku hanya pada Persamaan Differensial (PD) linear: merubah PD menjadi persamaan aljabar

Dapat menggunakan teknik grafik untuk meramal kinerja sistem tanpa menyelesaikan PD tersebut (secara numerik)

Kebanyakan proses adalah PD nonlinear linearisasi Transformasi Laplace (TL)

16

0

dtetfsftfL st)()())((

s

Ce

s

CdtCeCL

s

s

stst

00

)( :Tetap

Perubahan step (Step Change) pada t=0: Tetap sama untuk t=0 sampai t=


17

Desfinisi TL

dengan: F(s) : TL dari f(t) f(t) : fungsi waktu (ingat: proses bersifat dinamik) £ : simbol operasi integral Laplace s : variabel TL t : waktu

0

dtetftfsF stL

18

Bidang S

Bilangan kompleks:

s = a ± bi

s1 = a + bi

s2 = a - bi

imajiner

real

s1

s2

M

19

TL dari Sinyal-sinyal Uji

1. Unit STEP (tangga satuan)

0 00 1)(

tttu

0)( dtetutu stL

101

1

0

s

es

st

s

1tuL

1

0

t=0

t

20


2. Pulsa (sebesar H dan berdurasi T)

TttTtHtf

,0 00 )(

sT

sTst

st

st

es

H

es

He

s

H

dtHe

dtetf

1

1

)(

0

0

0

tfL

tfL

H

0

t=0t

t=T

21


3. Impulsa Dirac Delta function ((t)) Ada 2 pendekatan:

Pendekatan Smith, dll.

dengan: HT = 1 (luas)

H = 1/T

Aturan L’Hopital:

pulsa )(

),(lim)(0

fungsitf

tftT

kan)didefinisi (tdk L 00

011

0)11()1(lim

sTTsT

et

0

t=0 t

1

1lim1

lim00

tL

tL

s

se

Ts

e sT

TdTd

sTdTd

T

22


Pendekatan Luyben

,)(

)(dt

tdut Tt

Tetu /

01lim)(

Tt

Te

dt

d /

01limLtL

1

1lim

1limlim

011

0

/

0 Tsse

TT

TT

Tt

T T1£

1tL

23


4. Gelombang Sinus (amplitudo satuan dan frekuensi )

1,2

sin

ii

eet

titi

0sinsin dttett stL

dtedte tistisi 0

)(

0

)(21

0

)()(

21

is

s

is

s tistis

i

2221 2

2

11010

s

i

iisisi

22

sin

s

tL

1

0t=T

t

24

Tabel Transformasi Laplace

25

26

0

dtetfsftfL st)()())((

0

/

00

// )1())1(( dteedtedteeeL sttststtt

s/1

/se

/sdte t)s /(t)s /(

10

1

10

1 11

)1 (

1

1

/

11

11

ssssss

Kita sering melihatbagian ini! Itu adalah

respon step untuksistem dinamik

orde satu.


27

Mari kita pertimbangkan aliran mampat (plug flow) melewati pipa. Aliran mampat tidak punya backmixing

Apa respon dinamik dari sifat fluida yang keluar (yakni, konsentrasi) terhadap step change pada sifat fluida yang masuk?

Mari kita pelajarirespon dinamik baru

dan TL-nya


28


dan TL-nya

time

Xin

Xout

= dead time

Apa harga waktu tunda (dead time) untuk plug flow?


29

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

time

Y,

outle

t fr

om d

ead

time

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

time

X,

inle

t to

dea

d tim

e


dan TL-nya

• Apa ini dead time?

• Berapa harganya?


30


dan TL-nya

Model dinamik untuk dead time adalah

)t(X)t(X inout

Transformasi Laplace untuk variabel setelah dead time adalah

)())(())(( sXetXLtXL ins

inout

Pabrik kita punya pipa.Kita akan menggunakn

bagian ini!


31

Textbook Example 3.1: CSTR (atau mixing tank) mengalamai step pada komposisi umpan dengan semua variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamiknya.

(Kita akan menyelesaikan ini di kelas.)

F

CA0VCA

AAAA VkC')C'F(C'

dt

dC'V 0

AA kCr

BA

kVF

FKdan

kVF

Vdengan '

0'

'

AA

A KCCdt

dC

Aku harap kita mendapatkan jawaban yang

sama seperti dengan faktor integrasinya!

Menyelesaikan Model Menggunakan Transformasi Laplace

32

AA kCr

BA

F

CA0V1CA1

V2CA2

Dua CSTR isotermal mula-mula pada keadaan tunak dan mengalami perubahan step ke komposisi umpan tangki pertama. Rumuskan model CA2.

2212

2

1101

1

AAAA

AAAA

VkC')C'F(C'dt

dC'V

VkC')C'F(C'dt

dC'V

'''

'''

1222

2

0111

1

AAA

AAA

CKCdt

dC

CKCdt

dC

Jauh lebih mudahdari pada faktor

integrasi!



33

Textbook Example 3.5: Komposisi umpan mengalami step. Semua variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamik dari CA.

2AA kCr

BA

F

CA0

VCA

Non-linear!



34

Mari kita mengatur kembali TL dari model dinamik

Y(s)X(s) G(s)Y(s) = G(s) X(s)

FUNGSI ALIH adalah output variable, Y(s), dibagi dengan input variable, X(s), dengan semua kondisi awalnya nol.

G(s) = Y(s)/X(s)

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input

35

Y(s)X(s) G(s)G(s) = Y(s)/ X(s)

• Bagaimana kita mencapai kondisi awal nol untuk setiap model?

• Kita tidak punya “yang utama” pada variabel; kenapa?

• Apa ini dibatasi oleh step input?

• Bagaimana dengan model non-linear?

• Berapa input dan output?


36


Beberapa contoh:

?)()(

)( :CSTR Dua

?)()(

)( :tank Mixing

0

2

0

sGsC

sC

sGsC

sC

A

A

A

A


37


Kenapa kita melakukan ini?

• Untuk menyusahkan mahasiswa.

• Kita punya model individual yang kita dapat kombinasikan secara model - secara aljabar.

• Kita bisa menentukan banyak informasi tentang sistem tanpa menyelesaikan model dinamik.

Aku pilihjawaban pertama!


38

T

openm

sv

sFsGvalve % .

)(

)()(

30 10

1250

21 3

0

1

s

mK

sF

sTsG

/ .

)(

)()(tank1

1300

01

1

2

s

KK

sT

sTsG

/ .

)(

)()(tank2 110

012

s

KK

sT

sTsG measured

sensor

/ .

)(

)()(

(Waktu dalam detik)

Mari kita lihat bagaimana mengkombinasikan

model


39

DIAGRAM BLOK

Gvalve(s) Gtank2(s)Gtank1(s) Gsensor(s)

v(s) F0(s) T1(s) T2(s) Tmeas(s)

Itu adalah gambar persamaan model!

• Model individual bisa dipindahkan secara mudah

• Visualisasi yang berguna

• Sebab-akibat ditunjukkan oleh panah


40

Kombinasi menggunakan ALJABAR DIAGRAM BLOK

Gvalve(s) Gtank2(s)Gtank1(s) Gsensor(s)

v(s) F0(s) T1(s) T2(s) Tmeas(s)

)()()()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

12

0

0

1

1

2

2

sGsGsGsG

sv

sF

sF

sT

sT

sT

sT

sTsG

sv

sT

vTTs

measmeas

G(s)v(s) Tmeas(s)


41

Rumus Umum Penyederhanaan Diagram Blok

G sY s

X s

G

G

jj

J

l

L

l

ii

I

k

K

k

( )( )

( )

11

111

G3

L(s)

C(s)R(s)R1(s)

C1(s)G4Gc1

Gc2 G1 G2

G5

G6

Sederhanakan diagram blok berikut:

1)(

)(

1)(

)(

5212

31

5212

212

1

1

GGGG

G

sL

sC

GGGG

GGG

sR

sC

cc

c

42

Diagram Blok

G4

Gc1

G6

L(s)

C(s)R(s)

5212

3

1 GGGG

G

c

5212

212

1 GGGG

GGG

c

c

C s

L s

G G

G G G G G G G G G G

G GG G G G

G G G G G GG G G G c c c

c

c c

c

( )

( )

3 4

2 1 2 5

1 2 1 2 4 6

2 1 2 5

1

1

3 4

2 1 2 5 1 2 1 2 4 61 1

43

Aturan kunci ALJABAR DIAGRAM BLOK


44

FINAL VALUE THEOREM: Evaluasi katup akhir dari output model dinamik tanpa menyelesaikan keseluruhan respon transien.

sY(s) lim)(

st

tY

Contoh sistem orde satu

pApA

stA KC

)s (s

KClim|)t(C 0

0

0 1

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan

45

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

Apa dinamik dapatkita tentukan tanpa

menyelesaikan?

Kita bisa menggunakan ekspansi fungsi parsial untuk membuktikan hasil kunci berikut.

Y(s) = G(s)X(s) = [N(s)/D(s)]X(s) = C1/(s-1) + C2/(s-2) + ...

Dengan i solusi untuk penyebut dari fungsi alih menjadi nol, D(s) = 0.

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

Real, distinct i

Real, repeated i

Complex i

q is Re(i)


46

Dengan i solusi untuk D(s) = 0, adalah polinomial.

...)]sin()cos([...

..)(...)(

t

ttt

q

p

etCtC

etBtBBeAeAAtY

21

2210210

21

1. Jika semua i adalah ???, Y(t) stabil

Jika satu saja i adalah ???, Y(t) is tidak stabil

2. Jika semua i adalah ???, Y(t) overdamped (tidak berosilasi)

Jika sepasang i adalah ???, Y(t) underdamped

MelengkapiPernyataan didasarkan

pada persamaan.


47

AA kCr

BA

F

CA0V1CA1

V2CA2''

'

'''

1222

2

0111

1

AAA

AAA

CKCdt

dC

CKCdt

dC

1. Apa sistem ini stabil?

2. Apa sistem ini over- atau underdamped?

3. Berapa orde sistem tersebut?

(Orde = jumlah turunan antara variabel input dan output)

4. Apa itu steady-state gain?

Tanpamenyelesaikan!



48

RESPON FREKUENSI: Respon terhadap input sinus dari variabel output adalah hal penting yang sangat praktis. Kenapa?

Input sinus hampir tidak pernah terjadi. Meski demikian, banyak gangguan yang terjadi secara periodik dan input lain dapat diwakili dengan sebuah kombinasi sinus.

Untuk proses tanpa kendali, kita inginkan sebuah input sinus agar memiliki efek yang kecil pada output.


49

0 1 2 3 4 5 6-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

time

Y,

outle

t fro

m s

yste

m

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.5

0

0.5

1

time

X,

inle

t to

syst

em

input

outputB

A

P

P’

Amplitude ratio = |Y’(t)| max / |X’(t)| max

Phase angle = beda fasa antara input dan output


50

Amplitude ratio = |Y’(t)| max / |X’(t)| max

Phase angle = beda fasa antara input dan output

Untuk sistem linear, kita bisa mengevaluasi secara langsung menggunakan fungsi alih! Tentukan s = j, dengan = frekuensi dan j = variabel kompleks.

))(Re(

))(Im(tan)(angle Phase

))(Im())(Re()(Ratio Amp.

jG

jGjG

jGjGjGAR

1

22

Perhitungan ini membosankan bila dilakukan dengan tangan., tapi mudah jika menggunakan bahasa pemrograman standar.


51

Example 4.15 Respon frekuensi dari mixing tank.

Perilaku sebagaifungsi waktu

Bode Plot - Menunjukkanrespon frekuensi untuk sebuahdaerah frekuensi• Log (AR) vs log()• Phase angle vs log()


52

F

CA0V1CA1

V2CA2Gangguan sinus dengan

amplitudo = 1 mol/m3

frekuensi = 0.20 rad/min

= 8.25 min., Kp = 0.448

Harus punya

fluktuasi

< 0.050 mol/m3

CA2

Menggunakan persamaan untuk rasio amplitudo (AR) respon frekuensi

050.012.0)12.0)(0.1(||

))25.8)(2.0(1(

448.0)0.1(

)1(||||

)1(|)(|

||

||

2

222202

220

2

A

pAA

p

A

A

C

KCC

KjG

C

C

Ditolak. Kita perlumengurangi variabilitasnya.Bagaimana dengan feedback

control?

Data dari 2 CSTR


53

Kita bisa menentukanmodel secara individual

dan kombinasi

1. Orde sistem

2. Final Value

3. Stabilitas

4. Damping

5. Respon frekuensi

Kita bisa menentukanfitur ini tanpa menyelesaikan

keseluruhan transiennya

Fungsi alih dan diagram blok

Overview Metode Analisis

54

Diagram Alir Metode Pemodelan

SASARAN ASUMSI: DATA:

Variable: sesuai dengan sasaran

Sistem: volume dalam mana variabel bebas dari posisi

Neraca dasar : massa, energi

CekDK

Apa model linear? Ekspansi ke Deret Taylor

DK = 0 Persamaan lain:-Neraca dasar-Persamaan konstitutif

DK 0

Tidak

Nyatakan dalam variabel deviasi

Kelompokkan parameters untuk evaluasi [gains (K), time-constants () , dead-times()]

Ambil Transformasi Laplace

Substitusikan masukan spesifik,mis., step, dan selesaikan output

Solusi ana litik(step)

Solusi numerik

Analisis model untuk:- kausali tas- orde- stabilitas- damping

Ya

Kombinasikan beberapa modelkeda lam sistem terintegrasi

Kita bisa menggunakanprosedur pemodelan

standar agar kreativitaskita terfokus!

Menggabungkan Bab 3 dan 4

55

Terlalu kecil untuk dibaca - cek saja di buku ajarnya!

56

Contoh 3.6 Tangki dengan sebuah saluran pembuangan mempunyai aliran masuk dan keluar yang kontinyu. Tangki telah mencapai keadaan tunak saat sebuah penurunan step terjadi ke aliran masuk. Tentukan level sebagai fungsi waktu.

Selesaikan model yang dilinearisasi menggunakan transformasi Laplace

Bab 4: Pemodelan dan Analisis - WORKSHOP 1

57

Model dinamik non-isothermal CSTR diturunkan pada Appendix C. Contoh khusus memiliki fungsi alih berikut.

Tentukan fitur dalam tabel untuk sistem ini.

)..(

)..(

)(

)(

8035791

83450762

ss

s

sF

sT

c

T

A

1. Orde sistem

2. Final Value

3. Stabilitas

4. Damping

5. Respon frekuensi


58

F

CA0

V1CA1

V2CA2

Jawablah yang berikut menggunakan program MATLAB.

Menggunakan fungsi alih yang diturunkan pada Example 4.9, tentukan respon frekuensi untuk CA0 CA2. Cek satu titik pada grafik dengan perhitungan tangan.


59

Kita sering mengukur tekanan proses untuk memonitor dan mengontrol. Jelaskan tiga prinsip untuk sensor, seleksi satu untuk P1 dan jelaskan pilihanmu.

Feed

Vaporproduct

Liquidproduct

Processfluid

Steam

F1

F2 F3

T1 T2

T3

T5

T4

T6 P1

L1

A1

L. Key


60

Banyak perbaikan, tapi kita perlu beberapa studi lagi!• Baca textbook• Tinjau catatannya, khususnya tujuan pembelajaran dan workshop• Uji coba nasihat-nasihat belajar mandiri• Alaminya, kita seharusnya punya tugas (assignment)!

• Menyelesaikan model dinamik linear orde satu dan dua secara analitis

• Menyatakan model dinamik kedalam fungsi alih (transfer function)

• Memperkirakan fitur penting dari perilaku dinamik dari dari model tanpa menyelesaikannya

Saat saya menyelesaikan bab ini, saya ingin dapat melakukanhal-hal berikut.

Bab 4: Pemodelan dan Analisis Pengendalian Proses

61

• Home page

- Instrumentation Notes

- Interactive Learning Module (Chapter 4)

- Tutorials (Chapter 14)

• Perangkat lunak

- MATLAB

• Buku ajar lain Pengendalian Proses

Sumber Pembelajaran

62

1. Kenapa variabel dinyatakan sebagai variabel deviasi saat kita mengembangkan fungsi alih?

2. Diskusikan beda antara reaksi orde dua dan model dinamik orde dua.

3. Untuk masukan sinus ke proses, apakah keluarannya sinus untuk

a. Pabrik linear?b. Pabrik non-linear?

4. Apakah amplitude ratio dari sebuah pabrik selalu sama dengan atau lebih besar dari pada steady-state gain-nya?

SARAN untuk BELAJAR MANDIRI

63

5. Hitung respon frekuensi untuk model pada Workshop 2 menggunakan MATLAB. Diskusikan hasilnya.

6. Putuskan sebuah model yang dilinearisasi apakah yang seharusnya digunakan pada fired heater untuk

FT1

FT2

PT1

PIC

1

AT1

TI1

TI2

TI3

TI4

PI2

PI3

PI4

TI5

TI6

TI7

TI8

TI9

FI3

TI10

TI11

PI5

PI6

a. Kenaikan 3% pada laju alir bahan bakar.

b. Perubahan 2% pada laju alir bahan bakar.

c. Start up dari suhu lingkungan.

d. Penghentian darurat aliran bahan bakar hingga 0.0.

fuel

feed

air

SARAN untuk BELAJAR MANDIRI

Documents

Bab 4 Pemodelan dan Analisis Pengendalian Proses