Upload
ecko-gallerynet
View
263
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
11 Januari 2009 1
Persamaan Differensial Biasa (PDB)
PDB Orde 1Bentuk Peubah TerpisahBentuk LinierBentuk y/x
PDB Order 2PDB HomogenKoefisien Tak TentuVariasi Parameter
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 2
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Konsep Dasar
Orde
Orde : turunan ke-n peubah y thd x yg merupakan turunan tertinggi dlm persamaan Differensial
Persamaan Differensial Biasa
Persamaan Diff. Biasa diartikan sbg relasi yang mencakup satu/beberapa turunan fungsi y thd x
y’ = cos xContoh PDB
First ordery’’ +4y = cos x Second order
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 3
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Konsep DasarSolusiFungsi y=g(x) dikatakan sbg solusi dari PDB jika g(x) iterdefinisi dan differensiabel s.d.h persamaannya menjadi benar ketika y dan y’ diganti dg g dan g’
Solusi UmumSolusi yang memuat konstanta sembarang
Solusi KhususSolusi yg diperoleh ketika konstanta sembarang dlm solusi umum kita set dg nilai tertentu
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 4
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Bentuk Terpisah :
karena y’ = dy/dx, kita dpt menulis
g(y)dy = f(x) dx
Dg mengintegralkan kedua ruas kita akan dapatkan
Dg menghitung integral ini, kita akan mendapatkan solusi umum
( ) ( )xf'yyg =
∫ ∫= dx)x(fdy)y(g
( ) cxhy +=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 5
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Contoh
Tentukan solusi umum
Kemudian tentukan solusi khususnya bila y(2) = 3
Jawaban
karena y’ = dy / dx, maka
x2'yy2 =
3 2 33 += xy
∫ ∫= dxx2dyy2
cxy31 23 +=
)cx(3y 23 +=
31
2 cx3y += Solusi umum
Solusi Khusus ?
Dg substitusi y(3)=3 ke solusi umumnya
Kita dptkan c=3
Solusi khusunya
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 6
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Bentuk Linier :
Terdapat dua nilai q(x)
1. q(x) = 0
2. q(x) ≠ 0
Bila q(x)=0 , kita akan mendapatkan bentuk terpisah
Bila q(x) ≠0 , maka solusi umum akan diperoleh dg beberapa prosedur:
( ) ( )xqyxp'y =+
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 7
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Prosedur utk memperoleh solusi umum bentuk linier
Kalikan kedua ruas dg faktor integrasi
Sederhanakan ruas kiri
Integralkan kedua ruas
Kita dapatkan solusi umum :
∫ dx)x(pe)x(qe)y)x(p'y(e dx)x(pdx)x(p ∫∫ =+
)x(qe)ye(dxd dx)x(pdx)x(p ∫∫ =
dx)x(qeye dx)x(pdx)x(p ∫ ∫∫ =
dx)x(qeey dx)x(pdx)x(p ∫ ∫∫−=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 8
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Contoh 1
Tentukan solusi khusus pers. bila y(0) = 3
Jawaban
Ini merupakan bentuk linier dg p(x)= –1 dan
Faktor Integrasi :
Solusi umum
x2ey'y =−
dxeee xxx ∫ −= 2.
( ) x2exq =
xdx1dx)x(p eee −∫ − ==∫
dxxqeey dxxpx ∫ ∫= )()(
)( cee xx +=xx ceey += 2
Solusi khusus
Dg substitusi y(0)=3,
Kita dapatkan c= 3, sehingga
y = e2x + 3ex
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 9
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Bentuk :Utk mendapatkan solusi umumnya, substitusikan y=ux dan y’=u+u’x atau dy=udx+xdu .
Pers. Diff .akan berubah menjadi bentuk peubah terpisah
=xyg'y
xdx
uduu
−=+ 212
Contoh
Tentukan solusi umum dari
Jawaban
Bagi kedua ruas dg x2, kita akan dapatkan
0xy'xyy2 22 =+−
01xy'y
xy2
2
=+
−
01u)x'uu(u2 2 =+−+ 01'2 2 =++ uxuu
Substitusi y=ux and y’=u+u’x
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 10
Persamaan Differensial BiasaOrde 1
Jawaban
Dg mengintegralkan kedua ruas, kita akan dapatkan
xcu =+ 21
Dg substitusi u=y/x , kita dapatkan x2+y2 = cx
( ) cxu lnln1ln 2 +−=+xcln=
( ) 222 dydx =+−Kita dapat tuliskan sbg
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 11
Trayektori Orthogonal
Keluarga kurva
Untuk setiap nilai C tertentu, persamaan F(x,y,c)=0
menyatakan sebuah kurva dalam bidang xy.
Keseluruhan kurva ini disebut sebuah keluarga kurva dg 1 parameter
Contoh
menyatakan keluarga lingkaran dg jari2 c dan pusat pd titik asalnya (0,0).
( ) 0cyxc,y,xF 222 =−+=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 12
Trayektori Orthogonal
Definisi
Misal diberikan suatu keluarga kurva, maka keluarga kurva lain yg berpotongan secara ortthogonal (garis singgungya saling tegak lurus) disebut trayektori orthogonal
Prosedur utk mendapatkan trayektori orthogonal
1. Nyatkan F(x,y,c)= 0 dlm PD y’ = f(x,y)
2. Ganti nilai c dg c dlm persamaan F(x,y,c)= 0 (jika c muncul dlm y’=f(x,y))
3. Persamaan diff dari Trayektori orthogonal adalah
4. Trayektori orthogonal diperoleh dg menyelesaikan PD tersebut( )yxfy,1'=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 13
Trayektori Orthogonal
Contoh
Tentukan trayektori orthogonal dari x2+(y-c)2 = c2
Jawabn
1. Dg menurunkan thd x,kita dptkan 2x + 2(y-c)y’ = 0
2. Dari x2+(y-c)2 = c2 , kita peroleh
3. Substitusikan C pada 2x + 2(y-c)y’ = 0 ,setelah disederhanakn
4. PD dari trayektori orthogonal
5. Solusi umumnya (lihat hal 10) adalah
y2yxc22 +
=
( ) 222 cycx =+−
0'2 22 =+− xyxyy22
2'yxxyy−
=
Trayektori Orthogonal
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 14
Trayektori Orthogonal
x2+(y-c)2 = c2 :
(x-c)2+y2 = c2 :
Trayektori orthogonal
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 15
Latihan
Nomor : 1 - 3, tentukan solusi umum PD dibawah ini
1.
2.
Nomor 4–8, tentukan solusi khusus PD dibawah ini
4. bila y(2) = 4
5. bila
22 xyyx1'y +++=22 xyyx1'y −−+=
xyxyy
+−
='.3
22 x4y2'xyy +=
θθθ dcosr2sindr = ( ) 22r =π
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 16
Latihan
Tentukan solusi khusus PD dibawah ini
6. bila y(0) = 1
7. bila y(1) = 0
8. bila y(2) = 4
Nomor 9 – 11,tentukan dan gambarkan trayektori orthogonal dari
9.
10.
11.
x2Sinxtgy'y =+
01xxy2'yx2 =+−+22 x4y2'xyy +=
cxy +=2cxy =
cxy +=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 17
Persamaan Differensial BiasaOrde 2
Definisi
Suatu PDB orde 2 dengan koefisien konstan memiliki bentuk : , dimana p dan q : konstanta
Untuk memperoleh solusi umumnya, harus dicari dulu solusi homogennya yaitu
solusi umum dari PD dengan r(x) = 0.
( )xryq'yp"y =++
Solusi Homogen
Secara umum, solusi umum PD : y”+py’ +qy = r(x) adalah
y = C1eλ1x + C2eλ2x dimana λ1 dan λ2 diperoleh dari persamaan karakteristik
λ2 +pλ + q = 0
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 18
Persamaan Differensial BiasaOrde 2Ada 3 kemungkinan nilai λ yaitu :
a. Riil dan berbedab. Riil dan hanya satu c. Memuat bil. imaginer : i
Perlu dilakukan modifikasi solusi umum utk setiap kemungkinana. Rill dan berbeda : λ1 dan λ2
solusi umum : b. Riil dan hanya satu : λ
solusi umum :c. Memuat imaginer : λ = α ± βi
solusi umum :
XX eCeCy 2121
λλ +=
XX xeCeCy λλ21 +=
( )xCxCey x ββα sincos 21 +=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 19
Persamaan Differensial BiasaOrde 2
Contoh 1Tentukan solusi khusus dari
bila y(0)=1 dan y’(0) = 11
JawabanPersamaan Karakteristik :Akar-akarnya : λ1= – 4 or λ2 =1
Solusi umumnya ::
Solusi khusus ?
Substitusi y(0)=1 dan y’(0) = 11 ke solusi umumnya, kita dapatkan
C1 + C2 = 1
C1 - C4 = 11
Solusi khususnya :
0y4'y3"y =−+
0432 =−+ λλ
X42
X1 eCeCy −+=
XX eCeCy 421
−+=
C1 = 3 and C2= -2
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 20
Persamaan Differensial BiasaOrde 2
Contoh 2
Tentukan solusi umum dari
Jawaban
Akar2 persamaan karakteristik λ2 +2 λ+10=0 adalah
atau
Solusi umumnya adalah
0y10'y2"y =++
i31+−=λ i31−−=λ
)33( 21 xSinCxCosCey x += −
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 21
Persamaan Differensial BiasaOrde 2Persamaan Differensial Non-HomogenPersamaan memiliki bentuk dimana r(x) ≠ 0Ada 2 metode utk mendapatkan solusi non-homogen:
Koefisisen Tak TentuVariasi of parameter
Solusi umum PDB non homogeny = yh + yp
Dimana yh solusi umum PD Homogen dan yp solusi PD non-homogen
( )xryq'yp"y =++
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 22
Koefisien Tak Tentu
Dalam metode ini, kita menduga yp sbg r(x) + semua variasi turunan r(x).Setelah yp’ dan yp” ditentukan,substitusikan yp, yp’ dan yp” ke PD non homogen, maka kita akan memperoleh yp solusi particular PDnon homogen
Aex + Bx + Cex+x
Ax2 + Bx + Cx2
Aexex
A cos x + B sin xsin x
A cos x + B sin xcos x
Dugaaan awal Ypr(x)
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 23
Koefisien Tak Tentu
Contoh 1
Tentukan solusi umum dari
Jawaban
Solusi homogen adalah
Kita duga yp sbg
Dg substitusi nilai2 tsb, kita peroleh persamaannya:
Disederhanakan menjadi
x2Sin5y4'y3"y =−+
X42
X1h eCeCy −+=
xBxAyy p 2cos2sin +==
xBxAy 2sin22cos2' −= xBxAy 2cos42sin4" −−=
( ) ( ) xxBxAxBxAxBxA 2sin52cos2sin42sin22cos232cos42sin4 =+−−+−−
( ) ( ) xxBABxABA 2sin52cos4642sin464 =−+−+−−−
5B6A8 =−−
0B8A6 =−A =-0,4 B = -0,3
yp = -0,4 sin2x -0,3 cos 2x
y=C1ex +C2e-4x -0,4 sin2x - 0,3 cos 2x
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 24
Koefisien Tak Tentu
Contoh 2 (kasus khusus)Tentukan solusi umum dari
AnswerSolusi homogennya : Bila yp disuga sbg ex , Kita lihat ex adalah bagian dari yh.
ex harus dikalikan dg x (or x2) untuk memperoleh solusi yg benar
Sekarang kita memiliki
kemudian
Substitusi nilai2 ini ke PD
X42
X1h eCeCy −+=
xe2y4'y3"y =−+
xx AxeAe'y += xx AxeAe2"y +=
xAxey =
xp xey 4,0=
( ) xxxxxx e2Axe4AxeAe3AxeAe2 =−+++ ( ) xx e2eA3A2 =+ 4,0=A
Solusi particular : Solusi umum y=C1ex+C2e-4x +0,4xex
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 25
Variasi Parameter
Misal PD y”+py’+qy = r(x) memiliki yh =u1(x)+u2(x)
Solusi particular nya:
Turunan yp ,bila diambil kondisi :
maka
Dari substitusi yp, yp’ and yp” ke y”+py’+qy = r(x) , kita peroleh
Dg menyelesaikan sistem pers. Linier yg muncul
u1v1’ + u2v2’ = 0
u1v1’ + u2v2’ = 0
kita memperoleh v1’ + v2’
( ) ( )xuxvxuxvyp 2211 ).().( +=
2211' uvuvyp +=
)('''' 2211 xrvuvu =+
0'' 2211 =+ vuvu
"''"''" 22221111 uvuvuvuvyp +++=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 26
Variasi Parameter
Dg menggunakan metode Crammer
Contoh
Tentukan solusi umum dari y”+4y = sec x
Jawaban
Persamaan karakteristik : λ2+4 = 0 , memiliki akar : λ= ±2i
yh= C1 cos 2x + C2 sin 2x 02sin2cos 21 =+= xvxvyp
'u'uuu'u)x(ru0
'v
21
21
2
2
1 =
'u'uuu)x(r'u
0u
'v
21
21
1
1
2 =
DeterminanWronksian (W)
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 27
Variasi Parameter
Answer (continued)
Solusi particular :
Solusi umum :
xx 2sinsec21
−=
22cos22sin22sin2cos
=−
=xxxx
W
22cos2sec2sin0
'1xxx
v =
xv cos1 =
xsin−=
22cossec xx
=
2secsin202cos
'2xx
x
v−
=
2secln
sinsec21cos2
xtgxxdxxxv
+−=−= ∫
2xSecxCos2 −
=
xxtgx
xxxyp 2sin.2
seclnsin2cos.cos
+−+=
( ) xCxtgx
xxxCy 2sin.2
seclnsin2cos.cos 21
+
+−++=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 28
Latihan
Tentukan solusi umum dari PD berikut
1.
2.
3.
4.
5.
6.
x2Siny4"y =+
xxy4'y3"y 3 +=−+x3ey9"y =−
xsecCoy"y =+
xey'y2"yx
=+−
xsecey5'y2"y x2−=++
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 29
Pemodelan Rangkaian Listrik
Konsep Dasar
L : induktansi (Henry)
R : Resistansi (ohm)
C : Kapasitansi (farad)
I : Arus (ampere)
Q : Muatan (dI / dt )
E(t): Sumber tegangan (volts)
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 30
Pemodelan Rangkaian Listrik
Rangkain RLC
PD dalam rangkaian RLC
PD orde 2 diperoleh dg menurunkan thd I
atau dg substitusi Q = dI/dt
( ) ( ) ( ) ( )tEdttIC1tIRt'IL =++ ∫
( ) ( ) )(1'" tEQC
tQRtQL =++
( ) ( ) )('1'" tEIC
tIRtIL =++
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 31
Pemodelan Rangkaian Listrik
Contoh Tentukan muatan Q(t) dlm rangkain RLC dimana R = 16 ohm, L = 0,02 Henry, C = 2.10-4 farad dan E = 12 voltt
JawabanDari ,kita peroleh
akar2nya : ,
sehingga, solusi umum :
dan solusi particular Qp= 2,4.10-3
Muatan pd saat t: 321
400 10.4,2)300sin300cos()( −− ++= tCtCetQ t
( ) ( ) )(1'" tEQC
tQRtQL =++ 600Q250000'Q800"Q =++
i300400±−=λ( )t300SinCt300CosCeQ 21t400
h += −
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 32
Pemodelan Rangkaian Listrik
RC Circuit
PD dalam rangkain RC
Dg menurunkan thd I
Ini merupakan PDB orde 1 bentuk linier
( ) ( ) ( )tEdttIC1tIR =+ ∫
( ) ( ) ( )t'EtIC1t'IR =+
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 33
Pemodelan Rangkaian Listrik
ContohTentukan kuat arus I(t) dlm rangkain RC dimana R = 10 ohm, C = 10 -3
farad dan sumber tegangan E = 100 Volt dan diasumsikan tdk ada arus saat t=0.
JawabanPD nya
Or
Ini adalah PDB orde 1 bentuk terpisah,solusi umumnya : Solusi khusus ( ketika I(0)=0 c=1 ) adalah
( ) ( ) 01000'10 =+ tItI
( ) ( ) 0tI100t'I =+t100CeI =
t100eI =
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 34
Latihan
1. Tentukan muatan Q(t) dan arus I(t) dalam rangkaian RLC dimana R = 1000 ohm, L = 3,5 Henry, C=2.10–6 farad dan E =120 sin 377t Volt dan diasumsikan tidak ada muatan dan arus ketika t=0
2. entukan arus I sebagai fungsi dari waktu t yang mengalir dalam suatu rangkaian RC dengan R = 106 ohm, C = 10 -6 farad dan sumber tegangannya konstan dengan E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah 1
3. Tentukan waktu ketika Q mencapai maksimum dari suatu rangkaian RC dengan R = 20 ohm, C = 10 -2 farad dan sumber tegangannya merupakan fungsi eksponensial dengan Volt bila diasumsikan saat awal muatannya adalah nol
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 35
LatihanTentukan solusi umum atau solusi khusus persamaan diferensial berikut :
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
( ) 02 25 =++ dyydxx
049 =+ xdxdyy
( ) ( ) 0421 =−++ dyxdxy
xyxy
dxdy
34−
=
( ) ( ) 0=−++ dyyyxdxxyx
xydxdy 22 +=+
( ) dxexdxydyx x22 −=+
( ) xxxxydxdyx costan1 2+−=
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 36
Latihan
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
x2sin21xcosy
dxdy
=− xexxy
dxdy 22 +=
dxyxdxydyx 22 422 +=−
( ) ( ) 0322 =+++ dyyxdxyx
( ) 022 =+− dyyxdxxy
( ) 03 233 =++ dyyxdxyx
01221 =
−+
+ dy
yxedxe y
xyx
( ) 110 ==+ yydxdyx
( ) 20 =−+
= yxyxy
dxdy
( ) 012 3' ==− yexyyx x
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 37
LatihanDetermine the general solution and particular solution of the second order differential equations below
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
xyy 2sin4'' =+
23'' 2 xxyy +=+
xxyyy 2sin23 ''' =++
xxx eeeyyy 23''' 36 −−+=++
xyy sec'' =+xeyyyx2
''' 44 =+−
22'' +=+ xeyy xx exexyyy 223''' 44 +=+−
Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 38
Latihan
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15.
16.
xxyy +=− 2sinh24'' xxyy 3sin3cos9'' −=−
xeyyy 62 ''' =+− xyy tan'' =+
xyy csc'' =+ ( ) ( ) 0010,2 ''' =−==− yyeyy x
( ) ( ) 1010,2 '''' −==+=++ − yyexyyy x
( ) ( ) ex yyxeyyy 1'''' 1,01,ln42 −===++ −