Upload
rizkyanandaputra
View
32
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
[email protected] Oil and Gas ProfessionalData & Knowledge Management Masterclass Facilitator
(Persamaan Diferensial, PD)
Obyektif Belajar Persamaan Diferensial
Mengerti dan bisa menggunakan persamaan diferensial
Mengerti persamaan diferensial tingkat satu dan yang lebih tinggi serta mencari solusinya
Mengerti implementasi persamaan diferensial dalam bidang fisika dan tentunya geofisika
3Kenapa Math dan Strategi Belajar Math
Sesuai dengan VMV dan Strategi yang ada, agar bertindak dengan pemikiran yang sistematis, logis, rasional dan kritis serta kreatif ....
Hampir semua orang sanggup mempelajari matematik (tidak perlu memiliki otak yang jenius...)
Ingat matematik adalah akumulasi Menyimak penjelasan dosen, tanya kalau belum
mengerti Selalu mengerjakan PR, tentunya bukan hanya
menyalin dari teman Mengerjakan soal-soal yang ada, kalau perlu cari sendiri
(tidak bisa paham tanpa pratek mengerjakan soal2)
Hafalkan kalau memang perlu saja (matematika tidak sekedar menghafal rumus namun memahaminya)
4Jadi yang Perlu Dalam Belajar Matematik
1. Bertanya di Kelas2. Mendatangi guru di luar pelajaran3. Tanya Teman4. Mengikuti Pelajaran Tambahan yang ada di Sekolah/
asistensi5. Membentuk belajar kelompok6. Cari Guru Privat7. Mengikuti berbagai Media Belajar OnLine
Semuanya kembali ke masing-masing siswa...Punya Vision nggak.......?Boleh nggak melakukan kalau visinya ....DO!
Pokok Bahasan
5
PersamaanDifferensial
(PD)
PendahuluanPersamaan
Differensial
Penyelesaianpersamaan
Order satu
Penyelesaianpersamaan
Order dua/ lebih tinggi
Aplikasi Persamaan Diferensial di bidang
Fisika/ Geofisika
Contoh-2
Soal
Day2Day Math IV1. Pendahuluan dan persamaan diferensial
2. Persamaan diferensial orde satu
3. Persamaan diferensial diferensial orde satu yang dapatdipisahkan
4. Persamaan diferensial homogen
5. Persamaan diferensial linear dan Non Linier (Pers. Riccati)
6. Persamaan diferensial eksak dan Non-Eksak
7. Persamaan diferensial Bernoulli dan aplikasi persamaandiferensial dalam geometri dan fisika
8. UTS (Ujian Tengah Semester)
9. Persamaan diferensial orde lebih tinggi
10. 11. Persamaan diferensial linear orde-n dengan
11. koefisien konstan
12. Persamaan diferensial Clairut
13. Persamaan diferensial Couchy-Euler
14. Persamaan Diferensial Legendre
15. UAS (Ujian Akhir Semester) 6
References
Pendahuluan PD
8
PersamaanDifferensial
(PD)
PendahuluanPersamaan
Differensial
Penyelesaianpersamaan
Order satu
Penyelesaianpersamaan
Order dua/ lebih tinggi
Contoh Persamaan Diferensial di bidang
Fisika/ Geofisika
Contoh
Soal
Persamaan Diferensial
9
Persamaan Diferensial : persamaan yang terdiri dari:
Variabel
Fungsi yang tak diketahui
Turunannya dengan simbol:
Persamaan Differensial (PD)
Bentuk Umum Persamaan Differensial
dapat ditulis sebagai berikut :
10
xfyadx
dya
dx
yda
dx
yda
dx
yda
n
n
nn
n
n
012
2
21
1
1
dimana bukan 0.
Orde Persamaan Diferensial
11
Orde Persamaan Diferensial (PD) mengikuti orde teringgi
dari turunan fungsi pada persamaan tersebut.
PD orde 1 dan 2 yang dapat dituliskan sbb:
xfyadx
dya
dx
yd
axfyadx
dya
012
2
201 PD Orde 1
PD Orde 2
Turunan untuk orde yang lebih tinggi bisa dituliskan sebagai:
12
Homogeneous first-order linear partial differential equation
Homogeneous second-order linear constant coefficient partial differential equation of elliptic type, the Laplace equation
Third-order nonlinear partial differential equation, the Kortewegde Vries equation
Contoh PD dengan orde tertentu dimana fungsi u tergantung pada variabel x dan t atau x dan y.
Orde Persamaan Diferensial
Sekali lagi PD
Persamaan Differensial adalah Persamaan
yang mengandung turunan atau differensial
Derajat dari Persamaan Differensial adalahPangkat dari order Persamaan Differensial
Order dari PD adalah order tertinggi dariturunan dalam persamaan.
Contoh Orde 1 dan Orde 2:
13
2
25 3 7 3 0
dy d y dyy t y
dt dx dx
Solusi Persamaan Diferensial
14
Apakah PD punya solusi?
Keunikan Solusi: Apakah persamaan diferensial bisa mempunyai lebih dari satu solusi? Jika ya, bagaimana kita bisa mendapatkan yang sesuai dengan solusi khususnya.
Solusi khusus (Particular Solution) dapat diketahui dari Initial Value Problem (IVP) atau harga awal dari fungsi dan turunannya yang diketahui.
Jika harga awal tidak diketahui, maka solusi yang didapat adalah Solusi Umum saja (General Solution).
Differential Equation Basics
Finally, we need to solve for any constant(s) in the total solution by defining the system at some point(s) in time or space.
These points are called initial conditions or boundary conditions, depending on when or where they are in the solution space.
15
Penyelesaian PersamaanDifferensial
Penyelesaian Umum ( total solution ) (yt) terdiri dari dua bagian yaitu:
Penyelesaian umum dari persamaan diferensialC.F (complementary Function, yg )
Penyelesaian khusus PS (particular solution, yp), yaitu penyelesaian
P.U(total solution ) adalah jumlah dari C.F dan PS
16
pgt yyy
Contoh:
Dari persamaan differensial order satu
17
Penyelesaian Umum dari soal adalah:
2tydt
dy
Penyelesaian Umum ( C.F ): tg eKty
Penyelesaian khusus: 222 tttyp
222 tteKty tt
Persamaan Differensial
Banyaknya konstanta dalam penyelesaianumum (yg tentunya sama denganbanyaknya IVP) sama dengan order daripersamaan.
18
9;20037
4035
0
2
2
xdx
dyyy
dx
dy
dx
yd
ytydt
dy
Contoh:
Diberikan persamaan :
19
Syarat awal ( initial value problem ):
Penyelesaian Umum adalah:
Total penyelesaian dinamakanpenyelesaian khusus (karenatidak memuat lagi konstanta C)
2tydt
dy
222 tteCty tt
50 y
223 2 ttety tt
Penggunaan PD
Beberapa contoh aplikasi dari PD antara lain :
Seismologi
Climatology and Environmental analysis
Gerakan dalam mekanika
Rambatan panas
Getaran
Aerodinamika & dinamika fluida
Electronik & circuit design
Dinamika Populasi & Sistim biologi
Options trading & economics
20
Persamaan Diferensial
21
Persamaan Diferensial
22
Homogeneous second-order linear constant coefficient ordinary differential equation describing the harmonic oscillator:
Second-order nonlinear ordinary differential equation describing the motion of a pendulum of length L:
Contoh group pertama persamaan diferensial, dengan u sebagai perubah yang tak diketahui sebagai fungsi x, dan c, konstanta.
Modelling via Persamaan Diferensial
23
Salah satu masalah yang sulit bagi para peneliti dalamriset rutinnya adalah:Bagaimana menterjemahkan fenomena fisis ke suatupersamaan yang menerangkan proses fisika tersebut?''
Pada dasarnya tidak mungkin menerangkan fenomenafisika ini secara total, sehingga digunakan beberapapersamaan yang bisa menerangkan pendekatan fisis.
Modelling via Persamaan Diferensial
24
Pada umumnya setelah mendapatkan persamaandiferensialnya, maka dibandingkan data yang didapatdari persamaan yang ada dengan data asli yangdidapatkan dari sistim pengukuran aktual/ fisis.
Jika kedua set data tersebut identik/ mendekati, makapeneliti akan merasa yakin bahwa persamaandiferensial tersebut merupakan deskripsi yang benaruntuk keadaan riil/ fisis yang ada
Modelling via Persamaan Diferensial
25
Sebagai contoh:
Kita bisa menggunakan persamaan-persamaan untukmemprediksi kelakuan suatu sistim secara jangkapanjang (misal klimatologi). Perlu dicatat bahwapersamaan tersebut hanya valid (bisa dipakai) jika, datayang dihasilkan sesuai dengan data fisis/ aktual yangada.
Namun demikian menurunkan persamaan yang bagusbukan merupakan pekerjaan yang mudah, sehingga perluperubahan yang berulang dengan koreksi-koreksi yangdisebut sebagai model suatu sistim.
(http://www.sosmath.com)
Bagaimana Membangun Modelnya
26
Tahapan Dasar untuk membentuk Model:
Tahap 1:Tentukan asumsi-asumsi untuk model tersebut. Asumsi harus berdasarkan hubungan antara besaran yang akan dipelajariTahap 2:Uraikan parameter dan variabel yang digunakan dalam model tersebutTahap 3:Gunakan asumsi-asumsi pada Tahapan 1 untuk menurunkan persamaan matematiknya sehubungan dengan dengan parameter dan variabel dari Tahapan kedua.
http://www.sosmath.com/diffeq/modeling/modeling.html
Contoh Persamaan Diferensial
27
y ' = 3x Turunan pangkat satu, maka PD orde 1
y '' + y' + y = 3x Turunan tertinggi 2, PD orde 2
-2 y ''' + y'' + y 4 = 3x Turunan tertinggi 3 PD Orde 3
y = f(x) + C adalah solusi umum persamaan diferensial
Contoh
28
Selesaikan: y ' = 2x
Jawab:
Integralkan kedua sisinya:
y ' dx = 2x dx
Didapat
y + C1 = x 2 + C2
dimana:
C1 dan C2 adalah konstatnta integrasi.
Solusi persamaan adalah: y = x 2 + C, dimana C = C2 - C1.
Contoh 2
29
C1 dan C2 adalah kondisi awal yang dapat dihitung jika diketahui, misalkan f (0) = 3 dan f (0) = 2, maka:
Solusi akhir:
Contoh 3
Jawab:
y = C*e 4x + e 3x y turunan y : y ' = 4C*e 4x + 3e 3x
Verifikasi persamaan y = C*e 4x + e 3x, untuk C konstanta, merupakan
solisi persamaan deferensial y ' - 4y = -e 3x
Subtitusikan y ' dan y ke persamaan diferensial (sebelah kiri):
y ' - 4y = 4C*e 4x + 3e 3x - 4 (C*e 4x + e 3x) = 4C*e 4x + 3e 3x - 4C*e 4x - 4e 3x
= 4C*e 4x - 4C*e 4x + e 3x (3 - 4) = - e 3x
Ternyata hasil subtitusi sama dengan harga sebelah kanan persamaan
diferensial, oleh karena itu:
y = C*e 4x + e 3x adalah solusi persamaan diferensial y ' - 4y = -e 3x.
Contoh-2 Lain
31
f = sin xf = 7f = ex
f = 1/xf = xf = x cos x